[11] Die Kategorie von der kontinuirlichen oder fließenden Größe

stellt sich mit der Betrachtung der äußerlichen und empirischen

Veränderung der Größen, die durch eine Gleichung in die Beziehung, daß

die Eine eine Funktion der Andern ist, gebracht sind, ein; da aber der

wissenschaftliche Gegenstand der Differentialrechnung ein gewisses

(durch den Differential-Koefficienten gewöhnlich ausgedrücktes)

Verhältniß, welche Bestimmtheit ebensowohl Gesetz genannt werden kann,

ist, so ist für diese specifische Bestimmtheit die bloße Kontinuität

Theils schon eine fremdartige Seite, Theils aber auf allen Fall die

abstrakte und hier leere Kategorie, da über das Gesetz der Kontinuität

gar nichts damit ausgedrückt ist.—Auf welche formelle Definitionen

dabei vollends verfallen wird, ist aus meines verehrten Hrn. Collegen,

Prof. Dirksen, scharfsinniger allgemeinen Darstellung der

Grundbestimmungen, die für die Deduktion des Differential-Kalkuls

gebraucht werden, welche sich an die Kritik einiger neueren Werke über

diese Wissenschaft anschließt und sich in den Jahrb. f. wissensch.

Kritik, 1827 Nr. 153 ff., befindet, zu ersehen, es wird daselbst S.

1251 sogar die Definition angeführt: "Eine stätige oder kontinuirliche

Größe, Kontinuum, ist jede Größe, welche man sich im Zustande des

Werdens gedenkt, so daß dieses Werden nicht sprungweise, sondern durch

ununterbrochenen Fortgang geschieht." Das ist doch wohl tautologisch

dasselbe, was das definitum ist.

Es ist gezeigt worden, daß die sogenannten unendlichen Differenzen das

Verschwinden der Seiten des Verhältnisses als Quantorum ausdrücken, und

daß das, was übrig bleibt, ihr Quantitätsverhältniß ist, rein insofern

es auf qualitative Weise bestimmt ist; das qualitative Verhältniß geht

hierin so wenig verloren, daß es vielmehr dasjenige ist, was eben durch

die Verwandlung endlicher Größen in unendliche resultirt. Hierin

besteht, wie wir gesehen, die ganze Natur der Sache.—So verschwinden im

letzten Verhältnisse z.B. die Quanta der Abscisse und Ordinate; aber

die Seiten dieses Verhältnisses bleiben wesentlich die eine, Element

der Ordinate, die andere Element der Abscisse. Indem die

Vorstellungsweise gebraucht wird, daß man die eine Ordinate sich der

anderen unendlich nähern läßt, so geht die vorher unterschiedene

Ordinate in die andere Ordinate, und die vorher unterschiedene Abscisse

in die andere Abscisse über; aber wesentlich geht nicht die Ordinate in

die Abscisse, oder die Abscisse in die Ordinate über. Das Element der

Ordinate,—um bei diesem Beispiele von veränderlichen Größen stehen zu

bleiben, ist nicht als der Unterschied einer Ordinate von einer anderen

Ordinate zu nehmen, sondern ist vielmehr als der Unterschied oder die

qualitative Größenbestimmung gegen das Element der Abscisse; das

Princip der einen veränderlichen Größe gegen das der andern steht im

Verhältnisse miteinander. Der Unterschied, indem er nicht mehr

Unterschied endlicher Größen ist, hat aufgehört, ein Vielfaches

innerhalb seiner selbst zu seyn; er ist in die einfache Intensität

zusammengesunken, in die Bestimmtheit eines qualitativen

Verhältnißmoments gegen das andere.

Diese Beschaffenheit der Sache wird aber dadurch verdunkelt, daß das,

was so eben Element z.B. der Ordinate genannt worden, so als Differenz

oder Inkrement gefaßt wird, daß es nur der Unterschied des Quantums

einer Ordinate zwischen dem Quantum einer andern Ordinate sey. Die

Grenze hat hiermit hier nicht den Sinn des Verhältnisses; sie gilt nur

als der letzte Werth, dem sich eine andere Größe von gleicher Art

beständig so nähere, daß sie von ihm, so wenig als man will,

unterschieden seyn könne, und daß das letzte Verhältniß, ein Verhältniß

der Gleichheit sey. So ist die unendliche Differenz das Schweben eines

Unterschieds eines Quantums von einem Quantum, und die qualitative

Natur, nach welcher dx wesentlich nicht eine Verhältnißbestimmung gegen

x, sondern gegen dy ist, tritt in der Vorstellung zurück. Man läßt

dx[hoch 2] gegen dx verschwinden, aber noch vielmehr verschwindet dx

gegen x, dieß heißt aber wahrhaftig: es hat nur ein Verhältniß zu

dy.—Es ist den Geometern in solchen Darstellungen immer vorzüglich

darum zu thun, die Annäherung einer Größe an ihre Grenze begreiflich zu

machen, und sich an diese Seite des Unterschiedes des Quantums vom

Quantum, wie er kein Unterschied und doch noch ein Unterschied ist, zu

halten. Aber die Annäherung ist ohnehin für sich eine nichts sagende

und nichts begreiflich machende Kategorie; dx hat die Annäherung

bereits im Rücken, es ist nicht nahe noch ein Näheres; und unendlich

nahe heißt selbst die Negation des Naheseyns und des Annäherns.

Indem es nun damit geschehen ist, daß die Inkremente oder unendlichen

Differenzen nur nach der Seite des Quantums, das in ihnen verschwindet,

und nur als Grenze desselben betrachtet worden sind, so sind sie so als

verhältnißlose Momente gefaßt. Es würde die unstatthafte Vorstellung

daraus folgen, daß es erlaubt sey, in dem letzten Verhältnisse etwa

Abscisse und Ordinate, oder auch Sinus, Cosinus, Tangente, Sinus versus

und was alles noch, einander gleich zu setzen.—Diese Vorstellung

scheint zunächst darin obzuwalten, wenn ein Bogen als eine Tangente

behandelt wird; denn auch der Bogen ist wohl inkommensurabel mft der

geraden Linie, und sein Element zunächst von anderer Qualität als das

Element der geraden Linie. Es scheint noch widersinniger und

unerlaubter, als die Verwechslung der Abscisse, Ordinate, des Sinus

versus, Cosinus u.s.f. wenn quadrata rotundis, wenn ein ob zwar

unendlich kleiner Theil des Bogens, für ein Stück der Tangente,

genommen, und somit als gerade Linie behandelt wird. —Allein diese

Behandlung ist von der gerügten Verwechslung wesentlich zu

unterscheiden; sie hat ihre Rechtfertigung darin, daß in dem Dreieck,

weilches das Element eines Bogens und die Elemente seiner Abscisse und

der Ordinate zu seinen Seiten hat, das Verhältniß dasselbe ist, als

wenn jenes Element des Bogens das Element einer geraden Linie, der

Tangente wäre; die Winkel, welche das wesentliche Verhältniß

konstituiren, d. i. dasjenige, das diesen Elementen bleibt, indem von

den ihnen zugehörigen endlichen Größen abstrahirt wird, sind die

nämlichen.—Man kann sich hierüber auch ausdrücken, gerade Linien, als

unendlichklein, seyen in krumme Linien übergegangen, und das Verhältniß

ihrer in ihrer Unendlichkeit sey ein Kurvenverhältniß. Da nach ihrer

Definition die gerade Linie der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten ist,

so gründet sich ihr Unterschied von krummer Linie auf die Bestimmung

von Menge, auf die geringere Menge des Unterscheidbaren auf diesem

Wege, was also eine Bestimmung von Quantum Ist. Aber diese Bestimmung

verschwindet in ihr, sie als intensive Größe, als unendliches Moment,

als Element genommen; somit auch ihr Unterschied von der krummen Linie,

der bloß auf dem Quantumsunterschiede beruhte.—Also als unendlich

behält gerade Linie und Bogen kein quantitatives Verhältniß und damit,

auf den Grund der angenommenen Definition, auch keine qualitative

Verschiedenheit mehr gegeneinander, sondern geht jene vielmehr in diese

über.

Verwandt, jedoch zugleich verschieden, von der Gleichsetzung

heterogener Bestimmungen ist die für sich unbestimmte und völlig

gleichgültige Annahme, daß unendlich kleine Theile desselben Ganzen

einander gleich seyen; jedoch angewandt auf einen in sich heterogenen

d. i. mit wesentlicher Ungleichförmigkeit der Größebestimmung

behafteten Gegenstand, bringt sie die eigenthüniliche Verkehrung

hervor, die in dem Satze der höhern Mechanik enthalten ist, daß in

gleichen und zwar unendlichkleinen Zeiten unendlichkleine Theile einer

Kurve in gleichförmiger Bewegung durchloffen werden, indem dieß von

einer Bewegung behauptet wird, in der in gleichen endlichen d. i.

existirenden Zeittheilen endliche, d. i. existirende ungleiche Theile

der Kurve durchloffen werden, d. i. also von einer Bewegung, die als

existirend ungleichförmig ist und so angenommen wird. Dieser Satz ist

der Ausdruck desjenigen in Worten, was ein analytisches Glied, das sich

in der oben auch angeführten Entwickelung der Formel von

ungleichförmiger übrigens einem Gesetze gemäßen Bewegung ergiebt,

bedeuten soll. Ältere Mathematiker suchten Ergebnisse der neu

erfundenen Infinitesimal-Rechnung, die ohnehin immer mit konkreten

Gegenständen zu thun hatte, in Worte und Sätze auszudrücken und sie in

geometrischen Verzeichnungen darzustellen, wesentlich um sie für die

Lehrsätze nach gewöhnlicher Beweise-Art zu gebrauchen. Die Glieder

einer mathematischen Formel, in welche die analytische Behandlung die

Größe des Gegenstands z.B. der Bewegung zerlegte, erhielten dort eine

gegenständliche Bedeutung, z.B. der Geschwindigkeit, beschleunigende

Kraft u.s.f. sie sollten nach solcher Bedeutung richtige Sätze,

physikalische Gesetze geben und nach der analytischen Verbindung auch

ihre objektiven Verknüpfungen und Verhältnisse bestimmt seyn, wie z.B.

eben daß in einer gleichförmig beschleunigten Bewegung eine besondere

den Zeiten proportionale Geschwindigkeit existire, außerdem aber ein

Zuwachs von der Kraft der Schwere her, immer hinzukomme. Solche Sätze

werden in der modernen, analytischen Gestalt der Mechanik durchaus als

Ergebnisse des Kalkuls aufgeführt unbekümmert darum, ob sie einen

reellen Sinn d. i. dem eine Existenz entspräche, für sich an ihnen

selbst hätten, und um einen Beweis eines solchen; die Schwierigkeit,

den Zusammenhang solcher Bestimmungen, wenn sie im ausgesprochenen

reellen Sinn genommen werden, z.B. den Übergang von jener

schlechtgleichförmigen Geschwindigkeit zu einer gleichförmigen

beschleunigten, begreifflich zu machen, gilt dafür, durch die

analytische Behandlung ganz beseitigt zu seyn, als in welcher solcher

Zusammenhang einfache Folge der nunmehrigen festen Autorität der

Operationen des Kalkuls ist. Es wird für einen Triumph der Wissenschaft

ausgegeben, durch den bloßen Kalkul über die Erfahrung hinaus Gesetze,

d. i. Sätze der Existenz, die keine Existenz haben, zu finden. Aber in

der erstern noch naiven Zeit des Infinitesimal-Kalkuls sollte von jenen

Bestimmungen und Sätzen, in geometrischen Verzeichnungen vorgestellt,

ein reeller Sinn für sich angegeben und plausibel gemacht, und sie in

solchem Sinne zum Beweise von den Hauptsätzen, um die es zu thun war,

angewendet werden, (—man sehe den newtonischen Beweis von seinem

Fundamentalsatze der Theorie der Gravitation in den Princ. mathem.

philosophiae naturalis lib. I. Sect. II. Prop. I. verglichen mit

Schuberts Astronomie (erster Ausg. III. B. §. 20), wo zugestanden wird,

daß es sich nicht genau so, d. i. in dem Punkte, welcher der Nerv des

Beweises ist, sich nicht so verhalte, wie Newton annimmt—).

Es wird nicht geläugnet werden können, daß man sich in diesem Felde

vieles als Beweis, vornehmlich unter der Beihülfe des Nebels des

Unendlich-Kleinen hat gefallen lassen, aus keinem andern Grunde als

dem, daß das, was herauskam, immer schon vorher bekannt war, und der

Beweis, der so eingerichtet wurde, daß es herauskam, wenigstens den

Schein eines Gerüstes von Beweis zu Stande brachte;—einen Schein, den

man dem bloßen Glauben oder dem Wissen aus Erfahrung immer noch vorzog.

Ich aber trage kein Bedenken, diese Manier für nicht mehr als eine

bloße Taschenspielerei und Charlatanerie des Beweisens anzusehen, und

hierunter selbst newtonische Beweise zu rechnen, ins Besondere die zu

dem so eben angeführten gehörigen, wegen welcher man Newton bis an den

Himmel und über Keppler erhoben hat, das was dieser bloß durch

Erfahrung gefunden, mathematisch dargethan zu haben.

Das leere Gerüste solcher Beweise wurde errichtet, um physische Gesetze

zu beweisen. Aber die Mathematik vermag überhaupt nicht

Größenbestimmungen der Physik zu beweisen, insofern sie Gesetze sind,

welche die qualitative Natur der Momente zum Grunde haben; aus dem

einfachen Grunde, weil diese Wissenschaft nicht Philosophie ist, nicht

vom Begriffe ausgeht, und das Qualitative daher, insofern es nicht

lemmatischerweise aus der Erfahrung aufgenommen wird, außer ihrer

Sphäre liegt. Die Behauptung der Ehre der Mathematik, daß alle in ihr

vorkommenden Sätze streng bewiesen seyn sollen, ließ sie ihre Grenze

oft vergessen; so schien es gegen ihre Ehre, für Erfahrungssätze

einfach die Erfahrung als Quelle und als einzigen Beweis anzuerkennen;

später ist das Bewußtseyn hierüber gebildeter geworden; eh dieses aber

über den Unterschied sich nicht klar wird, was mathematisch beweisbar

ist und was nur anderwärts genommen werden kann, wie darüber was nur

Glieder analytischer Entwickelung und was physikalische Existenzen

sind, kann die Wissenschaftlichkeit sich nicht zu strenger und reiner

Haltung herausbilden.—Jenem Gerüste newtonischen Beweisens aber wird

ohne Zweifel noch dasselbe Recht widerfahren, das einem anderen

grundlosen newtonischen Kunstgebäude aus optischen Experimenten und

damit verbundenem Schließen angethan worden ist. Die angewandte

Mathematik ist noch voll von einem gleichen Gebräue aus Erfahrung und

Reflexion, aber wie vonjener Optik seit geraumer Zeit bereits ein Theil

nach dem andern anfing in der Wissenschaft faktisch ignorirt zu werden

mit der Inkonsequenz jedoch, das Übrige obgleich damit Widersprechende

noch gewähren zu lassen, —so ist es auch Faktum, daß bereits ein Theil

jener trügerischen Beweise, von selbst in Vergessenheit gerathen oder

durch andere ersetzt worden ist.

Anmerkung 2.Der Zweck des Differentialkalkuls aus seiner Anwendung

abgeleitet.

In der vorigen Anmerkung ist Theils die Begriffsbestimmtheit des

Unendlich-Kleinen, das in dem Differential-Kalkul gebraucht wird,

Theils die Grundlage seiner Einführung in denselben betrachtet worden;

Beides sind abstrakte und darum an sich auch leichte Bestimmungen; die

sogenannte Anwendung aber bietet größere Schwierigkeiten sowohl als

auch die interessantere Seite dar; die Elemente dieser konkreten Seite

sollen der Gegenstand dieser Anmerkung seyn.—Die ganze Methode der

Differentialrechnung ist in dem Satze, daß dx[hoch n] = nx[hoch n 1]dx,

oder f(x+i)-fx/i = P, d.i. gleich dem Koefficienten des ersten Gliedes

des nach den Potenzen von dx oder i entwickelten Binomiums x + d, x +

i, absolvirt. Man bedarf weiter nichts zu erlernen; die Ableitung der

nächsten Formen, des Differentials eines Produkts, einer

Exponentialgröße und sofort ergiebt sich daraus mechanisch; in wenig

Zeit, vielleicht in einer halben Stunde—mit dem Finden der

Differentiale ist das umgekehrte, das Finden der ursprünglichen

Funktion aus jenen, die Integration gleichfalls gegeben,—kann man die

ganze Theorie inne haben. Was allein länger aufhält, ist die Bemühung

es einzusehn, begreifflich zu machen, daß nachdem der eine Umstand der

Aufgabe, das Finden jenes Koefficienten, auf analytische d. i. ganz

arithmetische Weise, durch die Entwickelung der Funktion der

veränderlichen Größe, nachdem diese durch einen Zuwachs die Form eines

Binomiums erhalten, so leicht bewerkstelligt worden, es auch mit dem

andern Umstand, nämlich mit dem Weglassen der übrigen Glieder der

entstehenden Reihe außer den ersten, seine Richtigkeit habe. Wäre es

der Fall, daß man jenen Koefficienten allein nöthig hätte, so wäre mit

der Bestimmung desselben Alles, was die Theorie betrifft, —wie gesagt

in weniger als einer halben Stunde abgethan, und das Weglassen der

weitern Glieder der Reihe machte so wenig eine Schwierigkeit, daß

vielmehr von ihnen, als Gliedern der Reihe (als zweiten, dritten u.s.f.

Funktionen ist ihre Bestimmung schon mit der Bestimmung des ersten

gleichfalls absolvirt), gar nicht die Rede wäre, da es um sie ganz und

gar nicht zu thun ist.

Es kann die Bemerkung vorangeschickt werden, daß man es der Methode des

Differentialkalkuls wohl sogleich ansieht, daß sie nicht für sich

selbst erfunden und aufgestellt worden ist; sie ist nicht nur nicht für

sich begründet, als eine andere Weise analytischen Verfahrens, sondern

die Gewaltsamkeit, Glieder, die sich aus Entwickelung einer Funktion

ergeben, indem doch das Ganze dieser Entwickelung vollständig zur Sache

zu gehören angenommen ist,—weil die Sache als der Unterschied

der entwickelten Funktion einer veränderlichen Größe, nachdem dieser

die Gestalt eines Binomiums gegeben worden, von der ursprünglichen,

angesehen wird,—geradezu wegzulassen, widerspricht vielmehr durchaus

allen mathematischen Grundsätzen. Das Bedürfniß solcher

Verfahrungsweise, wie die ihr an ihr selbst mangelnde Berechtigung,

weist sogleich darauf hin, daß anderswo der Ursprung und die Grundlage

sich befinden müsse. Es geschieht auch sonst in den Wissenschaften, daß

das, was als das Elementarische vornehin gestellt ist und woraus die

Sätze der Wissenschaft abgeleitet werden sollen, nicht einleuchtend

ist, und daß es sich ausweist, vielmehr in dem Nachfolgenden seine

Veranlassung und seine Begründung zu haben. Der Hergang in der

Geschichte des Differential-Kalkuls thut dar, daß er in den

verschiedenen sogenannten Tangential-Methoden vornehmlich, die Sache

gleichsam als in Kunststücken, den Anfang genommen hat; die Art des

Verfahrens, nachdem es auch auf weitere Gegenstande ausgedehnt worden,

ist spater zum Bewußtseyn und in abstrakte Formeln gebracht worden,

welche nun auch zu Principien zu erheben versucht wurde.

Als die Begriffsbestimmtheit des sogenannten Unendlich-Kleinen ist die

qualitative Quantitäts-Bestimmtheit solcher, die zunächst als Quanta im

Verhältniß zu einander gesetzt sind, aufgezeigt worden, woran sich die

empirische Untersuchung knüpfte, jene Begriffs-Bestimmtheit in den

Beschreibungen oder Definitionen nachzuweisen, die sich von dem

Unendlich-Kleinen, insofern es als unendliche Differenz und dergleichen

genommen ist, vorfinden.—Dieß ist nur im Interesse der abstrakten

Begriffsbestimmtheit als solcher geschehen; die weitere Frage wäre, wie

von ihr der Übergang zur mathematischen Gestaltung und Anwendung

beschaffen wäre. Zu dem Ende ist zuerst das Theoretische, die

Begriffsbestimmtheit, noch weiter vorzunehmen, welche sich an ihr

selbst nicht ganz unfruchtbar zeigen wird; alsdenn ist das Verhältniß

derselben zur Anwendung zu betrachten, und bei beidem nachzuweisen, so

weit es hier angeht, daß die allgeineinen Folgerungen zugleich

demjenigen, um was es in der Differentialrechnung zu thun ist, und der

Art, wie sie es bewerkstelligt, angemessen sind.

Zunächst ist daran zu erinnern, daß die Form, welche die in Rede

stehende Begriffsbestimmtheit im Mathematischen hat, bereits beiläufig

angegeben ist. Die qualitative Bestimmtheit des Quantitativen ist

zuerst im quantitativen Verhältniß überhaupt aufgewiesen, es ist aber

auch schon bei der Nachweisung der unterschiedenen sogenannten

Rechnungsarten (s. d. betreff. Anm.) anticipirt worden, daß das nachher

an seiner eigenthümlichen Stelle noch zu betrachtende

Potenzenverhältniß es ist, worin die Zahl durch Gleichsetzung ihrer

Begriffsmomente, der Einheit und der Anzahl als zu sich selbst

zurückgekehrte gesetzt ist, und damit das Moment der Unendlichkeit, des

Fürsichseyns, d. i. des Bestimmtseyns durch sich selbst, an ihr erhält.

Die ausdrückliche qualitative Größenbestimmtheit bezieht sich somit,

wie gleichfalls schon erinnert, wesentlich auf Potenzenbestimmungen,

und da die Differentialrechnung das Specifische hat, mit qualitativen

Größenformen zu operiren, so muß ihr eigenthümlicher mathematischer

Gegenstand die Behandlung von Potenzenformen seyn, und die sämmtlichen

Aufgaben und deren Auflösungen, zu deren Behuf die Differentialrechnung

gebraucht wird, zeigen es, daß das Interesse allein in der Behandlung

von Potenzenbestimmungen als solchen liegt.

So wichtig diese Grundlage ist, und sogleich an die Spitze etwas

Bestimmtes stellt, statt der bloß formellen Kategorien von

veränderlichen, kontinuirlichen oder unendlichen Größen und

dergleichen, oder auch nur von Funktionen uberhaupt, so ist sie noch zu

allgemein; andere Operationen haben gleichfalls damit zu thun; schon

das Erheben in die Potenz und Wurzelausziehen, dann die Behandlung der

Exponentialgrößen und Logarithmen, Reihen, die Gleichungen höherer

Ordnungen haben ihr Interesse und ihre Bemühung allein mit

Verhältnissen, die auf Potenzen beruhen. Ohne Zweifel müssen sie

zusammen ein System der Potenzenbehandlung ausmachen; aber welches

unter den verschiedenen Verhältnissen, worein Potenzenbestimmungen

gesetzt werden können, dasjenige sey, das der eigentliche Gegenstand

und das Interesse für die Differentialrechnung ist, dieß ist aus dieser

selbst, d. i. aus den sogenannten Anwendungen derselben zu entnehmen.

Diese sind in der That die Sache selbst, das wirkliche Verfahren in der

mathematischen Auflösung eines gewissen Kreises von Problemen; dieß

Verfahren ist früher gewesen, als die Theorie oder der allgemeine

Theil, und Anwendung ist dasselbe später genannt worden nur in

Beziehung auf die nachher erschaffene Theorie, welche die allgemeine

Methode des Verfahrens Theils aufstellen, Theils ihr aber Principien,

d. i. Rechtfertigung geben wollte. Welche vergebliche Bemühung es

gewesen ist, für die bisherige Auffassungsweise des Verfahrens

Principien aufzufinden, welche den Widerspruch, der dabei zum Vorschein

kommt, wirklich lösten, statt ihn nur durch die Unbedeutenheit des nach

dem mathematischen Verfahren nothwendigen hier aber wegzulassenden,

oder durch die auf dasselbe hinauslaufende Möglichkeit der unendlichen

oder beliebigen Annäherung und dergleichen zu entschuldigen oder zu

verstecken, ist in voriger Anmerkung gezeigt worden. Wenn aus dem

wirklichen Theile der Mathematik, der die Differentialrechnung genannt

wird, das Allgemeine des Verfahrens anders abstrahirt würde, als bisher

geschehen ist, so würden sich jene Principien und die Bemühung mit

denselben auch als entbehrlich zeigen, wie sie an ihnen selbst sich als

etwas Schiefes und im Widerspruche Bleibendes ausweisen.

Wenn wir diesem Eigenthümlichen durch einfaches Aufnehmen des in diesem

Theile der Mathematik Vorhandenen nachforschen, so finden wir als

Gegenstand à) Gleichungen, in welchen eine beliebige Anzahl von Größen

(wir können hier überhaupt bei zwei stehen bleiben) zu einem Ganzen der

Bestimmtheit so verbunden sind, daß diese erstens ihre Bestimmtheit in

empirischen Größen, als festen Grenzen und dann in der Art der

Verbindung mit denselben, so wie ihrer Verbindung untereinander, haben;

wie dieß überhaupt in einer Gleichung der Fall ist; indem aber nur Eine

Gleichung für beide Größen (und ebenso relativ wohl mehrere Gleichungen

für mehrere Größen, aber immer weniger, als die Anzahl der Größen ist—)

vorhanden ist, gehören diese Gleichungen zu den unbestimmten; und daß

zweitens eine Seite, wie diese Größen hier ihre Bestimmtheit haben,

darin liegt, daß sie (wenigstens eine derselben) in einer höhern, als

die erste Potenz, in der Gleichung vorhanden sind.

Hierüber sind zunächst einige Bemerkungen zu machen, für's Erste, daß

die Größen nach der ersten der angegebenen Bestimmungen ganz nur den

Charakter solcher veränderlichen Größen haben, wie sie in den Aufgaben

der unbestimmten Analysis vorkommen. Ihr Werth ist unbestimmt, aber so

daß wenn anderswoher ein vollkommen bestimmter Werth, d. i. ein

Zahlenwerth für die eine kommt, auch die andere bestimmt, so die eine,

eine Funktion der andern, ist. Die Kategorien von veränderlichen

Größen, Funktionen und dergleichen sind darum für die specifische

Größebestimmtheit, die hier in Rede steht, nur formell, wie vorhin

gesagt worden ist, weil sie von einer Allgemeinheit sind, in welcher

dasjenige Specifische, worauf das ganze Interesse des

Differentialkalkuls geht, noch nicht enthalten ist, noch daraus durch

Analyse explicirt werden kann; sie sind für sich einfache,

unbedeutende, leichte Bestimmungen, die nur erst schwierig gemacht

werden, insofern das in sie gelegt werden soll, damit es dann aus ihnen

abgeleitet werden könne, was nicht in ihnen liegt, nämlich die

specifische Bestimmung der Differentialrechnung. —Was alsdenn die

sogenannte Konstante betrifft, so kann über sie bemerkt werden, daß sie

zunächst als eine gleichgültige empirische Größe ist, bestimmend für

die veränderlichen Größen bloß in Ansehung ihres empirischen Quantums,

als Grenze ihres Minimums und Maximums; die Art der Verbindung aber der

Konstanten mit den veränderlichen Größen ist selbst eines der Momente

für die Natur der besonderen Funktion, welche diese Größen sind.

Umgekehrt sind aber auch die Konstanten selbst Funktionen; insofern

z.B. eine gerade Linie den Sinn hat, Parameter einer Parabel zu seyn,

so ist dieser ihr Sinn dieß, daß sie die Funktion y[hoch 2]/x ist; wie

in der Entwickelung des Binomiums überhaupt, die Konstante, welche der

Koefficient des ersten Entwickelungsgliedes ist, die Summe der Wurzeln,

der des zweiten, die Summe der Produkte derselben zu zwei und zwei

u.s.f. also diese Konstanten hier überhaupt Funktionen der Wurzeln

sind; wo in der Integralrechnung die Konstante aus der gegebenen Formel

bestimmt wird, wird sie insofern als eine Funktion von dieser

behandelt. Jene Koefficienten werden wir dann weiter in einer anderen

Bestimmung als Funktionen betrachten, deren Bedeutung im Konkreten es

ist, worauf das ganze Interesse geht.

Das Eigenthümliche nun aber, wodurch die Betrachtung der veränderlichen

Größen sich in der Differentialrechnung von ihrer Beschaffenheit in den

unbestimmten Aufgaben unterscheidet, ist in das Angegebene zu setzen,

daß wenigstens eine jener Größen oder auch alle sich in einer höhern

Potenz als die erste befinde, wobei wieder gleichgültig ist, ob

sämmtliche von derselben höhern oder von ungleichen Potenzen sind; ihre

specifische Unbestimmtheit, die sie hier haben, liegt allein darin, daß

sie in solchem Potenzenverhältnisse Funktionen von einander sind.

Dadurch ist die Veränderung der veränderlichen Größen qualitativ

determinirt, damit kontinuirlich, und diese Kontinuität, die für sich

wieder nur die formelle Kategorie überhaupt einer Identität, einer sich

in der Veränderung erhaltenden, gleichbleibenden Bestimmtheit ist, hat

hier ihren determinirten Sinn und zwar allein in dem

Potenzenverhältnisse, als welches kein Quantum zu seinem Exponenten

hat, und die nicht quantitative, bleibende Bestimmtheit des

Verhältnisses der veränderlichen Größen ausmacht. Daher ist gegen einen

andern Formalismus die Bemerkung zu machen, daß die erste Potenz nur

Potenz im Verhältniß zu höhern ist; für sich ist x nur irgend ein

unbestimmtes Quantum. So hat es keinen Sinn, für sich die Gleichungen y

= ax + b, der geraden Linie oder s = ct die der schlechtgleichförmigen

Geschwindigkeit zu differentiren; wenn aus y = ax, oder auch aus y = ax

+ b, a = dy/dx, oder ds/dt = c aus s = ct wird, so ist ebenso sehr a =

y/x, die Bestimmung der Tangente oder s/t = c. die der schlechten

Geschwindigkeit. Letztere wird als dy/dx exponirt im Zusammenhange

dessen, was für die Entwickelung der gleichförmig beschleunigten

Bewegung ausgegeben wird; aber daß ein Moment von einfacher,

schlechtgleichförmiger, d. i. nicht durch die höhere Potenz eines der

Momente der Bewegung bestimmter Geschwindigkeit, im Systeme solcher

Bewegung vorkomme, ist, wie früher bemerkt, selbst eine leere, allein

in der Routine der Methode gegründete Annahme. Indem die Methode von

der Vorstellung des Zuwachses, den die veränderliche Größe erleiden

solle, ausgeht, so kann Freilich auch eine solche, die nur eine

Funktion von erster Potenz ist, auch einen Zuwachs erleiden; wenn nun

hierauf, um das Differential zu finden, der Unterschied der hierdurch

entstandenen zweiten Gleichung von der gegebenen genommen werden soll,

so zeigt sich das Leere der Operation, daß, wie bemerkt, die Gleichung

vor und nach derselben, für die sogenannten Zuwächse dieselbe ist als

für die veränderlichen Größen selbst.

ß) Durch das Gesagte ist die Natur der zu behandelnden Gleichung

bestimmt, und es ist nun anzugeben, auf welches Interesse sich die

Behandlung derselben gerichtet findet. Diese Betrachtung kann nur

bekannte Resultate, wie sie der Form nach in der Lagrange'schen

Auffassung insbesondere vorhanden sind, geben; aber ich habe die

Exposition so ganz elementarisch angestellt, um die damit vermischten

heterogenen Bestimmungen zu entfernen.—Als die Grundlage der Behandlung

der Gleichung von angegebener Art zeigt sich, daß die Potenz innerhalb

ihrer selbst als ein Verhältniß, als ein System von

Verhältnißbestimmungen, gefaßt wird. Die Potenz ist oben als die Zahl

angegeben worden, insofern sie dazu gekommen ist, daß ihre Veränderung

durch sie selbst bestimmt, ihre Momente, Einheit und Anzahl identisch

ist, wie früher nachgewiesen, vollkommen zunächst im Quadrat,

formeller, was hier keinen Unterschied macht, in den höhern Potenzen.

Die Potenz nun, da sie als Zahl—wenn man den Ausdruck Größe als den

allgemeinern vorzieht, so ist sie an sich immer die Zahl,—eine Menge

ist, auch als Summe dargestellt, kann zunächst innerhalb ihrer in eine

beliebige Menge von Zahlen zerlegt werden, die ohne alle weitere

Bestimmung gegen einander und gegen ihre Summe sind, als nur daß sie

zusammen dieser gleich sind. Aber die Potenz kann auch in eine Summe

von solchen Unterschieden discernirt werden, die durch die Form der

Potenz bestimmt sind. Wird die Potenz als Summe genommen, so ist auch

die Grundzahl derselben, die Wurzel als Summe gefaßt, und beliebig nach

mannigfaltiger Zerlegung, welche Mannigfaltigkeit aber das

gleichgültige empirisch-Quantitative ist. Die Summe als welche die

Wurzel seyn soll, auf ihre einfache Bestimmtheit, d. i. ihre wahrhafte

Allgemeinheit zurückgeführt, ist das Binomium; alle weitere Vermehrung

der Glieder ist eine bloße Wiederholung derselben Bestimmung und daher

etwas Leeres.[12] Worauf es ankommt, ist allein die, hiermit

qualitative Bestimmtheit der Glieder, welche sich durch die Potenzirung

der als Summe angenommenen Wurzel ergiebt, welche Bestimmtheit allein

in der Veränderung, die das Potenziren ist, liegt. Diese Glieder sind

somit ganz Funktionen der Potenzirung und der Potenz. Jene Darstellung

nun der Zahl, als Summe einer Menge von solchen Gliedern, welche

Funktionen der Potenzirung sind, alsdenn das Interesse, die Form

solcher Funktionen, und ferner diese Summe aus der Menge solcher

Glieder, zu finden, insofern dieses Finden allein von jener Form

abhängen muß,—dieß macht bekanntlich die besondere Lehre von den Reihen

aus. Aber hierbei haben wir wesentlich das fernere Interesse zu

unterscheiden, nämlich das Verhältniß der zu Grunde liegenden Größe

selbst, deren Bestimmtheit, insofern sie ein Komplex d. i. hier eine

Gleichung, ist, eine Potenz in sich schließt, —zu den Funktionen ihrer

Potenzirung. Dieß Verhältniß, ganz abstrahirt von dem vorhin genannten

Interesse der Summe wird sich als der Gesichtspunkt zeigen, der sich

als der einzige, den die Differentialrechnung sich vorsetzt, aus der

wirklichen Wissenschaft ergiebt.

[12] Es gehört nur zum Formalismus derjenigen Allgemeinheit, auf

welche die Analysis nothwendigen Anspruch macht, wenn statt (a +

b)[hoch n] für die Potenzenentwicklung zu nehmen, (a + b + c +

d…)[hoch n] gesagt wird, wie dieß auch in vielen andern Fällen gethan

wird; es ist solche Form, so zu sagen, nur für eine Koketterie des

Scheins der Allgemeinheit zu halten; in dem Binomium ist die Sache

erschöpft; es wird durch dessen Entwickelung das Gesetz gefunden, und

das Gesetz ist die wahrhafte Allgemeinheit, nicht die äußerliche nur

leere Wiederholung des Gesetzes, welche allein es ist, die durch jenes

a + b + c + d… hervorgebracht wird.

Es ist jedoch vorher noch eine Bestimmung zu dem Gesagten hinzuzufügen,

oder vielmehr eine, die darin liegt, zu entfernen. Es wurde nämlich

gesagt, daß die veränderliche Größe, in deren Bestimmung die Potenz

eintritt, angesehen werde, innerhalb ihrer selbst als Summe und zwar

als ein System von Gliedern, insofern diese Funktionen der Potenzirung

sind, womit auch die Wurzel als eine Summe, und in der einfach

bestimmten Form als Binomium betrachtet werde; x[hoch n] = (y + z)[hoch

n] = (y + ny[hoch n-1] z +….) Diese Darstellung ging für die

Entwickelung der Potenz, d. i. für das Erlangen ihrer

Potenzirungsfunktionen, von der Summe als solcher aus; es ist jedoch

hier nicht um eine Summe als solche noch um die daraus entspringende

Reihe zu thun, sondern von der Summe ist nur die Beziehung aufzunehmen.

Die Beziehung als solche der Größen ist das was einer Seits übrig

bleibt, nachdem von dem plus einer Summa als solcher abstrahirt wird,

und was anderer Seits für das Finden der EntwicklungsFunktionen der

Potenz erforderlich ist. Solche Beziehung aber ist schon darin

bestimmt, daß hier der Gegenstand eine Gleichung, y[hoch m] = ax[hoch

n] auch schon ein Komplex von mehrern (veränderlichen) Größen ist, der

eine Potenzenbestimmung derselben enthält. In diesem Komplex ist jede

dieser Größen schlechthin als in der Beziehung auf die andere mit der

Bedeutung, könnte man sagen, eines plus an ihr selbst,—als Funktion der

andern Größen gesetzt; ihr Charakter, Funktionen von einander zu seyn,

giebt ihnen diese Bestimmung des plus, eben damit aber eines ganz

unbestimmten, nicht eines Zuwachses, Inkrements und dergleichen. Doch

diesen abstrakten Gesichtspunkt konnten wir auch auf der Seite lassen;

es kann ganz einfach dabei stehen geblieben werden, daß nachdem die

veränderlichen Größen in der Gleichung als Funktionen von einander, so

daß diese Bestimmtheit ein Verhältniß von Potenzen enthält, gegeben

sind, nun auch die Funktionen der Potenzirung einer jeden mit einander

verglichen werden,—welche zweiten Funktionen durch gar nichts Anderes

weiter als durch die Potenzirung selbst bestimmt sind. Es kann zunächst

für ein Belieben oder eine Möglichkeit ausgegeben werden, eine

Gleichung von den Potenzen ihrer veränderlichen Größen auf ein

Verhältniß ihrer Entwickelungsfunktionen zu setzen; ein weiterer Zweck,

Nutzen, Gebrauch hat erst das Dienliche solcher Umgestaltung davon

anzugeben; durch ihre Nützlichkeit allein ist jene Umstellung veranlaßt

worden. Wenn vorhin von der Darstellung dieser Potenzirungsbestimungen

an einer Größe, die als Summe in sich different genommen werde,

ausgegangen worden, so diente dieß nur Theils zur Angabe von welcher

Art solche Funktionen seyen, Theils liegt darin die Weise sie zu

finden.

Wir befinden uns hiermit bei der gewöhnlichen analytischen

Entwickelung, die für den Zweck der Differentialrechnung so gefaßt

wird, daß der veränderlichen Größe ein Zuwachs, dx, i gegeben und nun

die Potenz des Binomiums durch die Gliederreihe, die ihm angehört,

explicirt wird. Der sogenannte Zuwachs aber soll nicht ein Quantum, nur

eine Form seyn, deren ganzer Werth ist, zur Entwickelung behülflich zu

seyn; was man eingestandenermaßen, am bestimmtesten von Euler und

Lagrange, und in der früher erwähnten Vorstellung der Grenze, will,

sind nur die sich ergebende Potenzenbestimmungen der veränderlichen

Größen, die sogenannten Koefficienten zwar des Zuwachses und der

Potenzen desselben, nach denen die Reihe sich ordnet und zu denen die

unterschiedenen Koefficienten gehören. Es kann hierzu etwa bemerkt

werden, daß indem nur um der Entwickelung willen ein Zuwachs angenommen

ist, der ohne Quantum sey, es am geschicktesten gewesen wäre, (das

Eins) dafür zu nehmen, indem derselbe in der Entwickelung immer nur als

Faktor vorkommt, womit eben der Faktor Eins den Zweck erfüllt, daß

keine quantitative Bestimmtheit und Veränderung durch den Zuwachs

gesetzt werden solle; dagegen dx mit der falschen Vorstellung von einer

quantitativen Differenz, und andere Zeichen, wie i, mit dem hier

unnützen Scheine von Allgemeinheit behafftet, immer das Aussehen und

die Prätension von einem Quantum und dessen Potenzen haben; welche

Prätension dann die Mühe herbeibringt, sie dessenungeachtet

wegzubringen und wegzulassen. Um die Form einer nach Potenzen

entwickelten Reihe zu behalten, könnten die Exponentenbezeichnungen als

indices ebenso gut dem Eins angefügt werden. Aber es muß ohnehin von

der Reihe und von der Bestimmung der Koefficienten nach der Stelle, die

sie in der Reihe haben, abstrahirt werden, das Verhältniß zwischen

allen ist dasselbe; die zweite Funktion wird ganz ebenso aus der

ersten, als diese aus der ursprünglichen abgeleitet, und für die als

die zweite gezählte ist die erste abgeleitete wieder ursprüngliche

Funktion. Wesentlich aber geht das Interesse nicht auf die Reihe,

sondern ganz allein auf die sich aus der Entwickelung ergebende

Potenzenbestimmung in ihrem Verhältniß zu der für sie unmittelbaren

Größe. Anstatt also jene als den Koefficienten des ersten Gliedes der

Entwickelung zu bestimmen, da ein Glied als das erste in Beziehung auf

die andern in der Reihe folgenden bezeichnet wird, eine solche Potenz

als eines Zuwachses aber, wie die Reihe selbst hierher nicht gehören,

wäre der bloße Ausdruck abgeleitete Potenzenfunktion oder wie vorhin

gesagt wurde, eine Funktion des Potenzirens der Größe vorzuziehen,

wobei als bekannt vorausgesetzt wird, auf welche Weise die Ableitung

als innerhalb einer Potenz eingeschlossene Entwickelung genommen wird.

Wenn nun der eigentliche mathematische Anfang in diesem Theile der

Analytik nichts weiter ist, als das Finden der durch die

Potenzen-Entwickelung bestimmten Funktion, so ist die weitere Frage,

was mit dem damit erhaltenen Verhältnisse anzufangen ist, wo es eine

Anwendung und Gebrauch hat, oder in der That, für welchen Zweck solche

Funktionen gesucht werden. Durch das Finden von Verhältnissen, an

konkreten Gegenständen, welche sich auf jene abstrakte analytische

zurückführen lassen, hat die Differentialrechnung ihr großes Interesse

erhalten.

Über die Anwendbarkeit aber ergiebt sich zunächst aus der Natur der

Sache, ohne noch aus den Fällen der Anwendung selbst zu schließen,

vermöge der aufgezeigten Gestalt der Potenzenmomente, von selbst

Folgendes. Die Entwickelung der Potenzengrößen, wodurch sich die

Funktionen ihrer Potenzirung ergeben, enthält, von näherer Bestimmung

abstrahirt, zunächst überhaupt die Herabsetzung der Größe auf die

nächst niedrigere Potenz. Die Anwendbarkeit dieser Operation findet

also bei solchen Gegenständen statt, bei welchen gleichfalls ein

solcher Unterschied von Potenzenbestimmungen vorhanden ist. Wenn wir

nun auf die Raumbestimmtheit reflektiren, so finden wir, daß sie die

drei Dimensionen enthält, die wir, um sie von den abstrakten

Unterschieden der Höhe, Länge und Breite zu unterscheiden, als die

konkreten bezeichnen können, nämlich die Linie, die Fläche und den

totalen Raum; und indem sie in ihren einfachsten Formen und in

Beziehung auf Selbstbestimmung und damit auf analytische Dimensionen

genommen werden, haben wir die gerade Linie, die ebene Fläche und

dieselbe als Quadrat, und den Kubus. Die gerade Linie hat ein

empirisches Quantum, aber mit der Ebene tritt das Qualitative, die

Potenzenbestimmung ein; nähere Modificationen, z.B. daß dieß gleich

auch mit den ebenen Kurven geschieht, können wir, insofern es zunächst

um den Unterschied bloß im Allgemeinen zu thun ist, unerörtert lassen.

Hiermit entsteht auch das Bedürfniß, von einer höheren

Potenzenbestimmung zu einer niedrigern und umgekehrt überzugehen, indem

z.B. lineare Bestimmungen aus gegebenen Gleichungen der Fläche u.s.f.

oder umgekehrt abgeleitet werden sollen. —Die Bewegung ferner, als an

der das Größenverhältniß des durchloffenen Raumes und der dazu

gehörigen verflossenen Zeit zu betrachten ist, zeigt sich in den

verschiedenen Bestimmungen einer schlechtgleichförmigen, einer

gleichförmig beschleunigten, einer abwechselnd gleichförmig

beschleunigten und gleichförmig retardirten, —in sich zurückkehrenden

Bewegung; indem diese unterschiedenen Arten der Bewegung nach dem

Größenverhältnisse ihrer Momente, des Raums und der Zeit, ausgedrückt

werden, ergeben sich für sie Gleichungen aus unterschiedenen

Potenzenbestimmungen, und insofern es Bedürfniß seyn kann, eine Art der

Bewegung oder auch der Raumgrößen, an welche eine Art gebunden ist, aus

einer anderen Art derselben zu bestimmen, führt die Operation

gleichfalls das Übergehen von einer Potenzenfunktion zu einer höhern

oder medrigern herbei.—Die Beispiele dieser zwei Gegenstände mögen für

den Zweck, zu dem sie angeführt sind, genügen.

Der Anschein von Zufälligkeit, welchen die Differentialrechnung in

ihren Anwendungen präsentirt, würde schon vereinfacht werden, durch das

Bewußtseyn über die Natur der Gebiete, in welchem die Anwendung statt

finden kann, und über das eigenthümliche Bedürfniß und die Bedingung

dieser Anwendung. Nun aber kommt es weiter innerhalb dieser Gebiete

selbst darauf an, zu wissen, zwischen welchen Theilen der Gegenstände

der mathematischen Aufgabe ein solches Verhältniß statt finde, als

durch den Differentialkalkul eigenthümlich gesetzt wird. Es muß gleich

vorläufig bemerkt werden, daß hierbei zweierlei Verhältnisse zu

beachten sind. Die Operation des Depotenzirens einer Gleichung, sie

nach den abgeleiteten Funktionen ihrer veränderlichen Größen

betrachtet, giebt ein Resultat, welches an ihm selbst wahrhaft nicht

mehr eine Gleichung, sondern ein Verhältniß ist; dieses Verhältniß ist

der Gegenstand der eigentlichen Differentialrechnung. Eben damit auch

ist zweitens das Verhältniß vorhanden von der höhern Potenzenbestimmung

(der ursprünglichen Gleichung) selbst zu der niedrigern (dem

Abgeleiteten). Dieß zweite Verhältniß haben wir hier zunächst bei Seite

zu lassen; es wird sich als der eigenthüniliche Gegenstand der

Integralrechnung zeigen.

Betrachten wir zunächst das erste Verhältniß, und nehmen zu der aus der

sogenannten Anwendung zu entnehmenden Bestimmung des Moments, worin das

Interesse der Operation liegt, das einfachste Beispiel an den Kurven

vor, die durch eine Gleichung der zweiten Potenz bestimmt sind.

Bekanntlich ist unmittelbar durch die Gleichung das Verhältniß der

Koordinaten gegeben in einer Potenzenbestimmung. Folgen von der

Grundbestimmung sind die Bestimmungen der mit den Koordinaten

zusammenhängenden anderen geraden Linien, der Tangente, Subtangente,

Normale u.s.f. Die Gleichungen aber zwischen diesen Linien und den

Koordinaten sind lineare Gleichungen; die Ganzen, als deren Theile

diese Linien bestimmt sind, sind rechtwinklichte Dreiecke von geraden

Linien. Der Übergang von der Grundgleichung, welche die

Potenzenbestimmung enthält, zu jenen linearen Gleichungen enthält nun

den angegebenen Übergang von der ursprünglichen Funktion, d. i. welche

eine Gleichung ist, zu der abgeleiteten, welche ein Verhältniß ist, und

zwar zwischen gewissen in der Kurve enthaltenen Linien. Der

Zusammenhang zwischen dem Verhältnisse dieser Linien und der Gleichung

der Curve ist es, um dessen Finden es sich handelt.

Es ist nicht ohne Interesse, von dem Historischen hierüber so viel zu

bemerken, daß die ersten Entdecker ihren Fund nur auf eine ganz

empirische Weise anzugeben wissen, ohne eine Rechenschaft von der

völlig äußerlich gebliebenen Operation geben zu können. Ich begnüge

mich hierüber mit der Anführung Barrow's, des Lehrers Newtons. In

seinen lect. Opt. et Geom., worin er Probleme der höhern Geometrie nach

der Methode der Untheilbaren behandelt, die sich zunächst von dem

Eigenthümlichen der Differentialrechnung unterscheidet, giebt er auch,

"weil seine Freunde in ihn gedrungen," (lect. X.) sein Verfahren, die

Tangente zu bestimmen, an. Man muß bei ihm selbst nachlesen, wie diese

Angabe beschaffen ist, um sich eine gehörige Vorstellung zu machen, wie

das Verfahren ganz als äußerliche Regel angegeben ist,—in demselben

Style, wie vormals in den arithmetischen Schulbüchern die Regel de tri

oder noch besser die sogenannte Neunerprobe der Rechnungsarten

vorgetragen worden ist. Er macht die Verzeichnung der Linienchen, die

man nachher die Inkremente im charakteristischen Dreieck einer Kurve

genannt hat, und giebt nun die Vorschrift als eine bloße Regel, die

Glieder als überflüssig wegzuwerfen, die in Folge der Entwickelung der

Gleichungen, als Potenzen jener Inkremente oder Produkte zum Vorschein

kommen, ( etenim isti termini nihilum valebunt ); ebenso seyen die

Glieder, die nur aus der ursprünglichen Gleichung bestimmte Größen

enthalten, wegzuwerfen (das nachherige Abziehen der ursprünglichen

Gleichung von der mit den Inkrementen gebildeten) und zuletzt für das

Inkrement der Ordinate die Ordinate selbst und für das Inkrement der

Abscisse die Subtangente zu substituiren. Man kann, wenn es so zu reden

erlaubt ist, das Verfahren nicht schulmeistermässiger angeben;—die

letztere Substitution ist die für die Tangentenbestimmung in der

gewöhnlichen Differentialmethode zur Grundlage gemachte Annahme der

Proportionalität der Inkremente der Ordinate und Abscisse mit der

Ordinate und Subtangente; in Barrows Regel erscheint diese Annahme in

ihrer ganz naiven Nacktheit. Eine einfache Weise, die Subtangente zu

bestimmen, war gefunden; die Manieren Robervals und Fermats laufen auf

Ähnliches hinaus,—die Methode, die größten und kleinsten Werthe zu

finden, von der der Letztere ausging, beruht auf denselben Grundlagen

und demselben Verfahren. Es war eine mathematische Sucht jener Zeiten,

sogenannte Methoden, d. i. Regeln jener Art zu finden, dabei aus ihnen

auch ein Geheimniß zu machen, was nicht nur leicht, sondern selbst in

einer Rücksicht nöthig war, aus demselben Grunde, als es leicht

war,—nämlich weil die Erfinder nur eine empirische äußerliche Regel,

keine Methode, d. i. nichts aus anerkannten Principien Abgeleitetes,

gefunden hatten. Solche sogenannte Methoden hat Leibnitz von seiner

Zeit, und Newton ebenfalls von derselben und unmittelbarer von seinem

Lehrer aufgenommen; sie haben durch die Verallgemeinerung ihrer Form

und Anwendbarkeit den Wissenschaften neue Bahnen gebrochen, aber damit

zugleich das Bedürfniß gehabt, das Verfahren aus der Gestalt bloß

äußerlicher Regeln zu reißen, und demselben die erforderliche

Berechtigung zu verschaffen gesucht.

Analysiren wir die Methode näher, so ist der wahrhafte Vorgang dieser.

Es werden erstlich die Potenzenbestimmungen (versteht sich der

veränderlichen Größen), welche die Gleichung enthält, auf ihre ersten

Funktionen herabgesetzt. Damit aber wird der Werth der Glieder der

Gleichung verändert; es bleibt daher keine Gleichung mehr, sondern es

ist nur ein Verhältniß entstanden zwischen der ersten Funktion der

einen veränderlichen Größe zu der ersten Funktion der andern; statt px

= y[hoch 2] hat man p : 2y oder statt 2 ax—x[hoch 2] = y[hoch 2] hat

man a—x : y, was nachher als das Verhältniß dy/dx bezeichnet zu werden

pflegte. Die Gleichung ist Gleichung der Curve, dieß Verhältniß, das

ganz von derselben abhängig, aus derselben (oben nach einer bloßen

Regel) abgeleitet ist, ist dagegen ein lineares, mit welchem gewisse

Linien in Proportion sind; p : 2y oder a—x : y sind selbst Verhältnisse

aus geraden Linien der Kurve, den Koordinaten und den Parameters; aber

damit weiß man noch nichts. Das Interesse ist, von andern an der Kurve

vorkommenden Linien zu wissen, daß ihnen jenes Verhältniß zukommt, die

Gleichheit zweier Verhältnisse zu finden.—Es ist also zweitens die

Frage, welches die geraden, durch die Natur der Kurve bestimmten Linien

sind, welche in solchem Verhältnisse stehen?—dieß aber ist es, was

schon früher bekannt war, daß nämlich solches auf jenem Wege erhaltenes

Verhältniß das Verhältniß der Ordinate zur Subtangente ist. dieß hatten

die Alten auf sinnreichem geometrischen Wege gefunden; was die neuern

Erfinder entdeckt haben, ist das empirische Verfahren, die Gleichung

der Kurve so zuzurichten, daß jenes erste Verhältniß geliefert wird,

von dem bereits bekannt war, daß es einem Verhältnisse gleich ist,

welches die Linie enthält, hier die Subtangente, um deren Bestimmung es

zu thun ist. Theils ist nun jene Zurichtung der Gleichung methodisch

gefaßt und gemacht worden,—die Differentation,—Theils aber sind die

imaginären Inkremente der Koordinaten und das imaginäre hieraus und

einem ebensolchen Inkremente der Tangente gebildete, charakteristische

Dreieck erfunden worden, damit die Proportionalität des durch die

Depotenzirung der Gleichung gefundenen Verhältnisses mit dem

Verhältnisse der Ordinate und der Subtangente nicht als etwas empirisch

nur aus der alten Bekanntschaft Aufgenommenes, sondern als ein

Erwiesenes dargestellt werde. Die alte Bekanntschaft jedoch erweist

sich überhaupt und am unverkennbarsten in der angeführten Form von

Regeln als die einzige Veranlassung und respektive Berechtigung der

Annahme des charakteristischen Dreiecks und jener Proportionalität.

Lagrange hat nun diese Simulation verworfen, und den

ächtwissenschaftlichen Weg eingeschlagen; seiner Methode ist die

Einsicht zu verdanken, worauf es ankommt, indem sie darin besteht, die

beiden Übergänge, die für die Auflösung der Aufgabe zu machen sind, zu

trennen und jede dieser Seiten für sich zu behandeln und zu erweisen.

Der eine Theil dieser Auflösung,—indem wir für die nähere Angabe des

Ganges bei dem Beispiele der elementarischen Aufgabe, die Subtangente

zu finden, bleiben,—der theoretische oder allgemeine Theil, nämlich das

Finden der ersten Funktion aus der gegebenen Kurvengleichung, wird für

sich regulirt; derselbe giebt ein lineares Verhältniß, also von geraden

Linien, die in dem Systeme der Kurvenbestimmung vorkommen. Der andere

Theil der Auflösung ist nun die Findung derjenigen Linien an der Kurve,

welche in jenem Verhältnisse stehen. Dieß wird nun auf die direkte

Weise (Théorie des Fonct. Anal. II. P. II. Chap.) bewerkstelligt, d. i.

ohne das charakteristische Dreieck, nämlich ohne unendlichkleine Bogen,

Ordinaten und Abscissen anzunehmen und diesen die Bestimmungen von dy

und dx, d. i. von den Seiten jenes Verhältnisses und zugleich

unmittelbar die Bedeutung der Gleichheit desselben mit der Ordinate und

Subtangente selbst zu geben. Eine Linie (wie auch ein Punkt) hat allein

ihre Bestimmung, insofern sie die Seite eines Dreiecks ausmacht, wie

auch die Bestimmmung eines Punkts nur in einem solchen liegt. Dieß ist,

um es ini Vorbeigehen zu erwähnen, der Fundamentalsatz der analytischen

Geometrie, welcher die Coordinaten, wie, was dasselbe ist, in der

Mechanik das Parallelogramm der Kräfte herbeiführt, das eben darum der

vielen Bemühung um einen Beweis ganz unbedürftig ist.—Die Subtangente

wird nun als die Seite eines Dreiecks gesetzt, dessen weitere Seiten

die Ordinate und die darauf sich beziehende Tangente ist. Letztere hat

als gerade Linie zu einer Gleichung p = aq, (+ b hinzuzufügen ist für

die Bestimmung unnütz und wird nur um der beliebten Allgemeinheit

hinzugesetzt);—die Determination des Verhältnisses p/q fällt in a, den

Koefficienten von q, der die respective erste Funktion der Gleichung

ist, überhaupt aber nur als a = p/q betrachtet zu werden braucht als,

wie gesagt, die wesentliche Determination der geraden Linie, die als

Tangente an die Kurve applicirt ist. Indem nun ferner die erste

Funktion der Kurvengleichung genommen wird, ist sie ebenso die

Determination einer geraden Linie; indem ferner die eine Koordinate p

der ersten geraden Linie und y, die Ordinate der Kurve, als dieselben

genommen werden, daß also der Punkt, in welchem jene als Tangente

angenommene erste gerade die Kurve berührt, gleichfalls der

Anfangspunkt der durch die erste Funktion der Kurve bestimmten geraden

Linie ist, so kommt es darauf an, zu zeigen, daß diese zweite gerade

Linie mit der ersten zusammenfällt, d. h. Tangente ist; algebraisch

ausgedrückt, daß indem y = fx und p = Fq ist, und nun y = p, also fx =

Fq angenommen wird, auch f'x = F'q. Daß nun die als Tangente applicirte

gerade, und jene aus der Gleichung durch deren erste Funktion

determinirte gerade Linie zusammenfallen, daß die letztere also

Tangente ist; dieß wird mit Zuhilfnahme des Increments i der Abscisse

und des durch die Entwickelung der Funktion bestimmten Increments der

Ordinate gezeigt. Hier kommt denn also gleichfalls das berüchtigte

Increment herein; aber wie es zu dem so eben angegebenen Behufe

eingeführt wird, und die Entwickelung der Funktion nach demselben, muß

von dem früher erwähnten Gebrauch des Inkrements für das Finden der

Differentialgleichung und für das charakteristische Dreieck, wohl

unterschieden werden. Der hier gemachte Gebrauch ist berechtigt und

nothwendig; er fällt in den Umkreis der Geometrie, indem es zur

geometrischen Bestimmung einer Tangente als solcher gehört, daß

zwischen ihr und der Kurve, mit der sie einen Punkt gemeinschaftlich

hat, keine andere gerade Linie, die gleichfalls in diesen Punkt fiele,

durchgehen könne. Denn mit dieser Bestimmung ist die Qualität der

Tangente oder Nicht-Tangente auf den Größenunterschied zurückgeführt,

und diejenige Linie ist die Tangente, auf welche die größere

Kleinheit—schlechthin in Ansehung der Determination, auf welche es

ankommt, falle. Diese scheinbar nur relative Kleinheit enthält durchaus

nichts Empirisches, d. i. von einem Quantum als solchem Abhängiges, sie

ist qualitativ durch die Natur der Formel gesetzt, wenn der Unterschied

des Moments, von dem die zu vergleichende Größe abhängt, ein

Potenzenunterschied ist; indem derselbe auf i und i[hoch 2]

hinauskommt, und i, das zuletzt doch eine Zahl bedeuten soll, dann als

ein Bruch vorzustellen ist, so ist i[hoch 2] an und für sich kleiner

als i, so daß selbst die Vorstellung von einer beliebigen Größe, in der

man i nehmen könne, hier überflüssig und sogar nicht an ihrem Orte ist.

Ebendamit hat der Erweis der größern Kleinheit nichts mit einem

Unendlich-Kleinen zu thun, das hiermit hier keineswegs hereinzukommen

hat.

Wäre es auch nur um der Schönheit und des heutigstags mehr vergessen,

aber wohlverdienten Ruhmes willen, daß ich noch Descartes

Tangentenmethode anführen will; sie hat übrigens auch eine Beziehung

auf die Natur der Gleichungen, über welche dann noch eine fernere

Bemerkung zu machen ist. Descartes trägt diese selbstständige Methode,

worin die geforderte lineare Bestimmung gleichfalls aus derselben

abgeleiteten Funktion gefunden wird, in seiner, sonst auch so fruchtbar

gewordenen Geometrie (liv. II. p. 357 ss. Oeuvres compl. ed. Cousin

Tom. V.) vor, indem er in derselben die große Grundlage von der Natur

der Gleichungen und deren geometrischer Konstruktion und der damit

sosehr erweiterten Analysis auf die Geometrie überhaupt, gelehrt hat.

Das Problem hat bei ihm die Form der Aufgabe, gerade Linien senkrecht

auf beliebige Orte einer Kurve zu ziehen, als wodurch Subtangente

u.s.f. bestimmt wird; man begreift die Befriedigung, die er daselbst

über seine Entdeckung, die einen Gegenstand von allgemeinem

wissenschaftlichen Interesse der damaligen Zeit betraf, und die sosehr

geometrisch ist und dadurch so hoch über den oben erwähnten bloßen

Regelmethoden seiner Nebenbuhler stand, ausdrückt: j'ose dire que c'est

ceci le problème le plus utile et le plus général, non seulement que je

sache, mais même que j'aie jamais desire de savoir en géometrie.—Er

legt für die Auflösung die analytische Gleichung des rechtwinklichten

Dreiecks zu Grund, das durch die Ordinate des Punkts der Kurve, auf

welcher die im Probleme verlangte gerade Linie senkrecht seyn soll,

dann durch diese selbst, die Normale, und drittens durch den Theil der

Achse, der durch die Ordinate und Normale abgeschnitten wird, durch die

Subnormale, gebildet wird. Aus der bekannten Gleichung einer Kurve wird

nun in jene Gleichung des Dreiecks der Werth es sey der Ordinate oder

der Abscisse substituirt, so hat man eine Gleichung des zweiten Grades

(und Descartes zeigt, wie auch Kurven, deren Gleichungen höhere Grade

enthalten, sich hierauf zurückführen), in welcher nur noch die eine der

veränderlichen Größen und zwar im Quadrat und in der ersten Potenz

vorkommt;—eine quadratische Gleichung, welche zunächst als eine

sogenannte unreine erscheint. Nun macht Descartes die Reflexion, daß

wenn der auf der Kurve angenommene Punkt als Durchschnittspunkt

derselben und eines Kreises vorgestellt wird, dieser Kreis die Kurve

noch in einem anderen Punkte schneiden wird, und alsdenn sich für die

zwei damit entstehenden und ungleichen x, zwei Gleichungen mit

denselben Konstanten und von derselben Form ergeben;—oder aber nur Eine

Gleichung mit ungleichen Werthen von x. Die Gleichung wird aber nur

Eine, für das Eine Dreieck, in welchem die Hypotenuse auf die Kurve

senkrecht, Normale, ist, was so vorgestellt wird, daß man die beiden

Durchschnittspunkte der Kurve durch den Kreis, zusammenfallen, diesen

also die Kurve berühren lasse. Damit aber fällt auch der Umstand der

ungleichen Wurzeln des x oder y der quadratischen Gleichung hinweg. Bei

einer quadratischen Gleichung von zwei gleichen Wurzeln nun aber ist

der Koefficient des Gliedes, das die Unbekannte in der ersten Potenz

enthält, das Doppelte der nur Einen Wurzel; dieß nun giebt eine

Gleichung, durch welche die verlangten Bestimmungen gefunden sind.

Dieser Gang ist für den genialen Griff eines ächt analytischen Kopfes

anzusehen, wogegen die ganz assertorisch angenommene Proportionalität

der Subtangente und der Ordinate mit den unendlich klein seyn sollenden

sogenannten Inkrementen der Abscisse und der Ordinate ganz zurücksteht.

Die auf die angegebene Weise erhaltene Endgleichung, welche den

Koefficienten des zweiten Gliedes der quadratischen Gleichung

gleichsetzt der doppelten Wurzel oder Unbekannten, ist dieselbe, welche

durch das Verfahren des Differentialkalkuls gefunden wird. x[hoch

2]—ax—b = 0 differentiirt giebt die neue Gleichung 2x—a = 0; oder

x[hoch 3]—px—q = 0 giebt 3x[hoch 2]—p = 0. Es bietet sich hierbei aber

die Bemerkung an, daß es sich keineswegs von selbst versteht, daß

solche abgeleitete Gleichung auch

richtig ist. Bei einer Gleichung mit zwei veränderlichen Größen, die

darum, daß sie veränderliche sind, den Charakter unbekannte Größen zu

seyn nicht verlieren, kommt, wie oben betrachtet wurde, nur ein

Verhältniß heraus, aus dem angegebenen einfachen Grunde, weil durch das

Substituiren der Funktionen der Potenzirung an die Stelle der Potenzen

selbst der Werth der beiden Glieder der Gleichung verändert wird, und

es für sich selbst noch unbekannt ist, ob auch zwischen ihnen bei so

veränderten Werthen noch eine Gleichung Statt finde. Die Gleichung

dy/dx = P drückt gar nichts weiter aus, als daß P ein Verhältniß ist,

und es ist dem dy/dx sonst kein reeller Sinn zuzuschreiben. Von diesem

Verhältniß = P ist es aber ebenso noch unbekannt, welchem andere

Verhältnisse es gleich sey; solche Gleichung, die Proportionalität,

giebt demselben erst einen Werth und Bedeutung.—Wie angegeben wurde,

daß man diese Bedeutung, was die Anwendung hieß, anderswoher, empirisch

aufnahm, so muß bei den hier in Rede stehenden durch Differentation

abgeleiteten Gleichungen anderswoher gewußt werden, ob sie gleiche

Wurzeln haben, um zu wissen, ob die erhaltene Gleichung noch richtig

sey. Dieser Umstand wird aber in den Lehrbüchern nicht ausdrücklich

bemerklich gemacht; er wird wohl dadurch beseitigt, daß eine Gleichung

mit einer unbekannten, auf Null gebracht, sogleich y gesetzt wird,

wodurch dann bei der Differentation allerdings ein dy/dx, nur ein

Verhältniß herauskommt. Der Funktionen-Kalkul soll es allerdings mit

Funktionen der Potenzirung oder die Differentialrechnung mit

Differentialien zu thun haben, aber daraus folgt für sich noch

keineswegs, daß die Größen, deren Differentialien oder Funktionen der

Potenzirung genommen werden, selbst auch nur Funktionen anderer Größen

seyn sollen. In dem theoretischen Theile, der Anweisung, die

Differentiale, d. i. die Funktionen der Potenzirung abzuleiten, wird

ohnehin noch nicht daran gedacht, daß die Größen, die nach solcher

Ableitung zu behandeln gelehrt wird, selbst Funktionen anderer Größen

seyn sollen.

Noch kann in Ansehung des Weglassens der Konstante bei dem

Differentiiren bemerklich gemacht werden, daß dasselbe hier den Sinn

hat, daß die Konstante für die Bestimmung der Wurzeln im Falle ihrer

Gleichheit gleichgültig ist, als welche Bestimmung durch den

Koefficienten des zweiten Gliedes der Gleichung erschöpft ist. Wie im

angeführten Beispiele von Descartes die Konstante das Quadrat der

Wurzeln selbst ist, also diese aus der Konstante ebenso wie aus den

Koefficienten, bestimmt werden kann; indem sie überhaupt, wie die

Koefficienten, Funktion der Wurzeln der Gleichung ist. In der

gewöhnlichen Darstellung erfolgt das Wegfallen der sogenannten nur

durch + und—mit den übrigen Gliedern verbundenen Konstanten durch den

bloßen Mechanismus des Verfahrens, daß um das Differential eines

zusammengesetzten Ausdrucks zu finden, nur den veränderlichen Größen

ein Zuwachs gegeben, und der hierdurch formirte Ausdruck von dem

ursprünglichen abgezogen wird. Der Sinn der Konstanten und ihres

Weglassens inwiefern sie selbst Funktionen sind und nach dieser

Bestimmung dienen oder nicht, kommt nicht zur Sprache.

Mit dem Weglassen der Konstanten, hängt eine ähnliche Bemerkung

zusammen, die über die Namen von Differentation und Integration,

gemacht werden kann, als früher über den endlichen und unendlichen

Ausdruck gemacht wurde, daß nämlich in ihrer Bestimmung vielmehr das

Gegentheil von dem liegt, was der Ausdruck besagt. Differentiiren

bezeichnet das Setzen von Differenzen; durch das Differentiiren aber

wird eine Gleichung vielmehr auf weniger Dimensionen herabgebracht,

durch das Weglassen der Konstante wird ein Moment der Bestimmtheit

hinweggenommen; wie bemerkt, werden die Wurzeln der veränderlichen

Größe auf eine Gleichheit gesetzt, die Differenz also derselben

aufgehoben. In der Integration hingegen soll die Konstante wieder

hinzugesetzt werden; die Gleichung wird dadurch allerdings, aber in dem

Sinne integrirt, daß die vorher aufgehobene Differenz der Wurzeln

wieder hergestellt, das Gleichgesetzte wieder differentiirt wird. —Der

gewöhnliche Ausdruck trägt dazu bei, die wesentliche Natur der Sache in

Schatten zu setzen und Alles auf den untergeordneten, ja der Hauptsache

fremdartigen Gesichtspunkt Theils der unendlich kleinen Differenz, des

Increments und dergleichen, Theils der bloßen Differenz überhaupt

zwischen der gegebenen und der abgeleiteten Funktion, ohne deren

specifischen, d. i. den qualitativen Unterschied zu bezeichnen, zu

stellen.

Ein anderes Hauptgebiet, in welchem von dem Differentialkalkul Gebrauch

gemacht wird, ist die Mechanik; von den unterschiedenen

Potenzen-Funktionen, die sich bei den elementarischen Gleichungen ihres

Gegenstandes, der Bewegung ergeben, sind deren Bedeutungen bereits

beiläufig erwähnt; ich will dieselben hier direkt aufnehmen. Die

Gleichung, nämlich der mathematische Ausdruck, der

schlechtgleichförmigen Bewegung c = s/t oder s = ct, in welcher die

durch offenen Räume den verflossenen Zeiten nach einer empirischen

Einheit c, der Größe der Geschwindigkeit, proportionirt sind, bietet

für die Differentation keinen Sinn dar; der Koefficient c ist bereits

vollkommen bestimmt und bekannt, und es kann keine weitere

Potenzenentwicklung Statt finden.—Wie s = at[hoch 2], die Gleichung der

Bewegung des Falles, analysirt wird, ist früher schon erinnert; —das

erste Glied der Analyse ds/dt = 2 at wird in die Sprache und resp. in

die Existenz so übersetzt, es solle ein Glied einer Summe (- welche

Vorstellung wir längst entfernt haben), der eine Theil der Bewegung

seyn und zwar solle dieser der Kraft der Trägheit, d. i. einer

schlechtgleichförmigen Geschwindigkeit so zukommen, daß in den

unendlich-kleinen Zeittheilen die Bewegung gleichförmig, in den

endlichen Zeittheilen d. h. in der That existirenden aber

ungleichförmig sey. Freilich ist fs = 2at; und die Bedeutung voll a und

von t für sich bekannt, so wie daß hiermit die Bestimmung von

gleichförmiger Geschwindigkeit einer Bewegung gesetzt ist; da a =

s/[t[hoch 2]] ist 2 at = 2s/t überhaupt; damit aber weiß man im

geringsten nichts weiter; nur die fälschliche Annahme, daß 2at ein

Theil der Bewegung als einer Summe sey, giebt den fälschlichen Schein

eines physikalischen Satzes. Der Faktor selbst, a, die empirische

Einheit—ein Quantum als solches—wird der Schwere zugeschrieben; wenn

die Kategorie der Kraft der Schwere gebraucht wird, so ist vielmehr zu

sagen, daß eben das Ganze s = at[hoch 2] die Wirkung oder besser das

Gesetz der Schwere ist.—Gleichmäßig ist der aus ds/dt = 2at abgeleitete

Satz, daß wenn die Schwere aufhörte zu wirken, der Körper mit der am

Ende seines Falles erlangten Geschwindigkeit den doppelten Raum von

dem, welchen er durchloffen hat, in einer der Dauer seines Falles

gleichen Zeit zurücklegen würde.—Es liegt hierin auch eine für sich

schiefe Metaphysik; das Ende des Falles, oder das Ende eines

Zeittheils, in welchem der Körper gefallen, ist immer selbst noch ein

Zeittheil; wäre es kein Zeittheil, so wäre Ruhe und damit keine

Geschwindigkeit angenommen, die Geschwindigkeit kann nur nach dem Raume

angesetzt werden, welcher in einem Zeittheil, nicht an seinem Ende,

durchloffen worden ist.—Wenn nun aber vollends in andern physikalischen

Gebieten, wo gar keine Bewegung vorhanden ist, wie z.B. im Verhalten

des Lichts (außer dem, was seine Fortpflanzung im Raume genannt wird)

und Größenbestimmungen an den Farben, eine Anwendung der

Differentialrechnung gemacht wird und die erste Funktion von einer

quadratischen Funktion hier auch Geschwindigkeit genannt wird, so ist

dieß für einen noch unstatthafteren Formalismus der Erdichtung von

Existenz anzusehen. -Bewegung, welche durch die Gleichung s = at[hoch

2] vorgestellt wird, finden wir, sagt Lagrange in der Erfahrung vom

Falle der Körper; die einfachste Bewegung derselben würde die seyn,

deren Gleichung s = ct[hoch 3] wäre, aber die Natur zeige keine

Bewegung dieser Art; wir wüßten nicht was der Koefficient c bedeuten

könnte. Wenn dem wohl so ist, so giebt es dagegen eine Bewegung, deren

Gleichung s[hoch 3] = at[hoch 2] ist,—das kepplerische Gesetz der

Bewegung der Körper des Sonnensystems; was hier die erste abgeleitete

Funktion 2at/[3s [hoch 2]] u.s.f. bedeuten soll, und die fernere

direkte Behandlung dieser Gleichung durch die Differentation, die

Entwicklung der Gesetze und Bestimmungen jener absoluten Bewegung von

diesem Ausgangspunkte aus, müßte dagegen wohl als eine interessante

Aufgabe erscheinen, in welcher die Analysis im würdigsten Glanze sich

zeigen würde.

Für sich bietet so die Anwendung des Differential-Kalkuls auf die

elementarischen Gleichungen der Bewegung kein reelles Interesse dar;

das formelle Interesse kommt von dem allgemeinen Mechanismus des

Kalkuls. Eine andre Bedeutung aber erhält die Zerlegung der Bewegung in

Beziehung auf die Bestimmung ihrer Trajektorie; wenn dieses eine Kurve

ist und ihre Gleichung höhere Potenzen enthält, bedarf es der Übergänge

von geradlinigten Funktionen als Funktionen der Potenzirnng, zu den

Potenzen selbst, und indem jene aus der ursprünglichen Gleichung der

Bewegung, welche den Faktor der Zeit enthält, mit Elimination der Zeit

zu gewinnen sind, ist dieser zugleich auf die niedrigern

Entwicklungsfunktionen herabzusetzen, aus welchen jene Gleichungen

linearer Bestimmungen erhalten werden können. Diese Seite führt auf das

Interesse des andern Theils der Differentialrechnung.

Das Bisherige hat den Zweck gehabt, die einfache specifische Bestimmung

des Differential-Kalkuls herauszuheben und festzustellen, und dieselbe

in einigen der elementarischen Beispiele nachzuweisen. Diese Bestimmung

hat sich ergeben darin zu bestehen, daß aus einer Gleichung von

Potenzenfunktionen der Koefficient des Entwicklungsgliedes, die

sogenannte erste Funktion gefunden, und das Verhältniß, welches diese

ist, in Momenten des konkreten Gegenstands aufgewiesen werde, durch

welche so erhaltene Gleichung zwischen den beiden Verhältnissen diese

Momente selbst bestimmt sind. Es ist ebenso von dem Princip der

Integralrechnung kurz zu betrachten, was sich aus dessen Anwendung, für

die specifische konkrete Bestimmnng derselben ergiebt. Die Ansicht

dieses Kalkuls ist dadurch schon vereinfacht und richtiger bestimmt

worden, daß er nicht mehr als Summationsmethode genommen wird, wie er

im Gegensatz gegen das Differentiiren, wo der Zuwachs als das

wesentliche Ingrediens gilt, genannt wurde, und womit er in

wesentlichem Zusammenhang mit der Form der Reihe erschien.—Die Aufgabe

dieses Kalkuls ist zunächst ebenso die theoretische oder vielmehr

formelle, als die der Differentialrechnung, bekanntlich aber die

umgekehrte von dieser;—es wird hier von einer Funktion ausgegangen, die

als abgeleitete, als der Koefficient des nächsten aus der Entwicklung

einer aber noch unbekannten Gleichung entsprungenen Gliedes betrachtet

wird, und aus ihr soll die ursprüngliche Potenzen-Funktion gefunden

werden; die in der natürlichen Ordnung der Entwicklung als ursprünglich

anzusehende wird hier abgeleitet und die früher als abgeleitet

betrachtete ist hier die gegebene oder überhaupt die anfangende. Das

Formelle dieser Operation scheint nun aber bereits durch den

Differential-Kalkul geleistet zu seyn; indem darin überhaupt der

Übergang und das Verhältniß von der ursprünglichen zu der

Entwicklungsfunktion festgestellt ist. Wenn hierbei Theils schon um die

Funktion, von der auszugehen ist, anzusetzen, Theils aber den Übergang

von ihr zu der ursprünglichen zu bewerkstelligen, nothwendig in vielen

Fällen zu der Form der Reihe die Zuflucht genommen werden muß, so ist

zunächst festzuhalten, daß diese Form als solche mit dem

eigenthümlichen Prinzip des Integrirens unmittelbar nichts zu thun hat.

Der andere Theil nun aber der Aufgabe des Kalkuls erscheint in

Rücksicht auf die formelle Operation die Anwendung derselben. Diese ist

nun selbst die Aufgabe, nämlich die Bedeutung in dem oben angegebenen

Sinne zu kennen, welche die ursprüngliche Funktion von der gegebenen

als ersten Funktion betrachteten eines besondern Gegenstandes hat. An

sich könnte auch diese Lehre bereits in der Differentialrechnung ganz

abgethan zu seyn scheinen; allein es tritt ein weiterer Umstand ein,

der die Sache nicht so einfach seyn läßt. Indem nämlich in diesem

Kalkul sich ergeben, daß durch die erste Funktion der Gleichung einer

Kurve das Verhältniß, welches ein lineares ist, erhalten worden, so

weiß man damit auch, daß die Integration dieses Verhältnisses die

Gleichung der Kurve im Verhältnisse der Abscisse und Ordinate giebt;

oder wenn die Gleichung für die Ebene einer Kurve gegeben wäre, so

würde die Differentialrechnung über die Bedeutung der ersten Funktion

solcher Gleichung bereits gelehrt haben sollen, daß diese Funktion die

Ordinate als Funktion der Abscisse, hiermit die Gleichung der Kurve

darstellte.

Nun kömmt es aber darauf an, welches von den Bestimmungsmomenten des

Gegenstandes in der Gleichung selbst gegeben ist; denn nur von dem

Gegebenen kann die analytische Behandlung den Ausgang nehmen und von da

zu den übrigen Bestimmungen des Gegenstands übergehen. Es ist z. B.

nicht die Gleichung eines Flächenraums der Kurve, noch etwa des durch

ihre Umdrehung entstehenden Körpers, noch auch eines Bogens derselben,

sondern nur das Verhältniß der Abscisse und Ordinate in der Gleichung

der Kurve selbst gegeben. Die Übergänge von jenen Bestimmungen zu

dieser Gleichung selbst können daher nicht schon in der

Differentialrechnung behandelt werden; es wird für die Integralrechnung

aufgespart, diese Verhältnisse zu finden.

Ferner aber ist gezeigt worden, daß die Differentiirung der Gleichung

von mehreren veränderlichen Größen, die Entwicklungspotenz oder

Differential-Koefficienten, nicht als eine Gleichung, sondern nur als

ein Verhältniß giebt; die Aufgabe ist dann für dieß Verhältniß, welches

die abgeleitete Funktion ist, ein zweites in den Momenten des

Gegenstandes anzugeben, das jenem gleich sey. Dagegen ist das Object

der Integralrechnung das Verhältniß selbst der ursprünglichen zu der

abgeleiteten, hier gegeben seyn sollenden Funktion, und die Aufgabe

ist, die Bedeutung der zu findenden ursprünglichen Funktion in dem

Gegenstande der gegebenen ersten Funktion anzugeben, oder vielmehr

indem diese Bedeutung z.B. die Ebene einer Kurve oder die zu

rectificirende, als geradlinigt vorgestellte Kurve u.s.f. schon als das

Problem ausgesprochen ist, zu zeigen, daß solche Bestimmung durch eine

ursprüngliche Funktion gefunden werde und welches das Moment des

Gegenstandes sey, welches hierfür zur Ausgangs- (der abgeleiteten)

Funktion, angenommen werden müsse.

Die gewöhnliche Methode nun, welche die Vorstellung der Differenz als

des Unendlichkleinen gebraucht, macht sich die Sache leicht; für die

Quadratur der Kurven also nimmt sie ein unendlich kleines Rektangel,

ein Produkt der Ordinate in das Element d. i. das Unendlichkleine der

Abscisse, für das Trapez, das zu einer seiner Seiten den

unendlichkleinen, jenem unendlichkleinen der Abscisse

gegenüberstehenden Bogen habe; das Produkt wird nun in dem Sinne

integrirt, daß das Integral die Summe der unendlich vielen Trapeze, die

Ebene, deren Bestimmung verlangt wird, nämlich die endliche Größe jenes

Elements der Ebene gebe. Ebenso formirt sie aus den Unendlichkleinen

des Bogens, und der dazu gehörigen Ordinate und Abscisse ein

rechtwincklichtes Dreieck, in welchem das Quadrat jenes Bogens gleich

sey der Summe der Quadrate der beiden andern Unendlichkleinen, deren

Integration den Bogen als einen endlichen giebt.

Dieß Verfahren hat die allgemeine Entdeckung, welche diesem Gebiete der

Analysis zu Grunde liegt, zu seiner Voraussetzung, hier in der Weise,

daß die quadrirte Kurve, der rectificirte Bogen u.s.f. zu einer

gewissen durch die Gleichung der Kurve gegebenen Funktion, in dem

Verhältniß der sogenannten ursprünglichen Funktion zu der abgeleiteten

steht. Es handelt sich darum zu wissen, wenn ein gewisser Theil eines

mathematischen Gegenstandes (z.B. einer Kurve) als die abgeleitete

Funktion angenommen werde, welcher andere Theil desselben durch die

entsprechende ursprüngliche Funktion ausgedrückt ist. Man weiß, daß

wenn die durch die Gleichung der Kurve gegebene Funktion der Ordinate

als abgeleitete Funktion genommen wird, die relativ ursprüngliche

Funktion der Größenausdruck der von dieser Ordinate abgeschnittenen

Area der Kurve ist, daß wenn eine gewisse Tangentenbestimmung als

abgeleitete Funktion angesehen wird, die ursprüngliche Funktion

derselben die Größe des zu dieser Tangentenbestimmung gehörigen Bogens

ausdrückt, u. s. f. daß nun aber diese Verhältnisse, das eine einer

ursprünglichen Funktion zu der abgeleiteten, das andere von den Größen

zweier Theile oder Umstände des mathematischen Gegenstandes, eine

Proportion bilden, dieß zu erkennen und zu beweisen, erspart sich die

Methode, die das Unendlichkleine und die mechanische Operation mit

demselben gebraucht. Das eigenthümliche Verdienst des Scharfsinns ist,

aus den anderwärts her bereits bekannten Resultaten herausgefunden zu

haben, daß gewisse und welche Seiten eines mathematischen Gegenstandes,

in dem Verhältnisse von ursprünglicher und von abgeleiteter Funktion

stehen.

Von diesen beiden Funktionen ist die abgeleitete, oder wie sie bestimmt

worden ist, die Funktion der Potenzirung, hier in diesem Kalkul die

gegebene, relativ gegen die ursprüngliche, als welche erst aus jener

durch die Integration, gefunden werden soll. Allein sie ist nicht

unmittelbar gegeben, noch ist es für sich schon gegeben, welcher Theil

oder Bestimmung des mathematischen Gegenstands als die abgeleitete

Funktion angesehen werden soll, um durch Zurückführung derselben auf

die ursprüngliche den andern Theil oder Bestimmung zu finden, deren

Größe das Problem verlangt. Die gewöhnliche Methode, die, wie gesagt,

sogleich gewisse Theile des Gegenstandes als unendlich klein, in der

Form abgeleiteter Funktionen, vorstellt, welche sich aus der

ursprünglich gegebenen Gleichung des Gegenstandes überhaupt durch die

Differentiirung bestimmen lassen, (—wie für die Rektifikation einer

Kurve, die unendlichkleinen Abscissen und Ordinaten), nimmt dafür

solche, welche sich mit dem Gegenstande des Problems, (in dem

Beispiele, dem Bogen) der ebenso als unendlichklein vorgestellt wird,

in eine Verbindung bringen lassen, die in der Elementar-Mathematik

festgestellt ist, und wodurch, wenn jene Theile bekannt sind, auch

dieser bestimmt ist, dessen Größe zu finden aufgegeben ist; so werden

für die Rektifikation die angegebenen drei Unendlichkleinen in die

Verbindung der Gleichung des rechtwinklichten Dreiecks gebracht, für

die Quadratur die Ordinate mit der unendlichkleinen Abscisse in die

Verbindung eines Produkts, indem eine Ebene überhaupt arithmetisch als

Produkt von Linien angenommen ist. Der Übergang von solchem sogenannten

Elemente der Ebene, des Bogens u.s.f. zur Größe der Ebene, des Bogens

u.s.f. selbst, gilt dann nur als das Aufsteigen von dem unendlichen

Ausdruck zum endlichen, oder zur Summe der unendlich vielen Elemente,

aus denen die verlangte Größe bestehen soll.

Es kann daher nur oberflächlich gesagt werden, daß die Integralrechnung

bloß das umgekehrte, überhaupt jedoch schwierigere Problem der

Differentialrechnung sey; das reelle Interesse der Integralrechnung

geht vielmehr ausschließlich auf das Verhältniß der ursprünglichen und

der abgeleiteten Funktion in den konkreten Gegenständen, zu einander.

Lagrange ist ebenso wenig in diesem Theile des Kalkuls darauf

eingegangen, die Schwierigkeit der Probleme auf die glatte Weise jener

direkten Annahmen abzuthun. Es wird zur Erläuterung der Natur der Sache

beitragen, gleichfalls das Nähere seines Verfahrens aus einigen wenigen

Beispielen anzugeben. Dasselbe macht es sich eben zur Aufgabe, für sich

zu beweisen, daß zwischen besondern Bestimmungen eines mathematischen

Ganzen z.B. einer Kurve, ein Verhältniß von der ursprünglichen zu der

abgeleiteten Funktion Statt finde. Dieß kann nun aber in diesem Felde

vermöge der Natur des Verhältnisses selbst, welches am mathematischen

Gegenstande, krumme mit geraden Linien, lineare Dimensionen und

Funktionen derselben mit Ebenen-Flächen-Dimensionen und deren Funktion

u.s.f. also qualitativ verschiedene in Beziehung bringt, nicht auf

direkte Weise bewerkstelligt werden, die Bestimmung läßt sich so nur

als die Mitte zwischen einem Größern und Kleinern auffassen. Hiermit

tritt von selbst wohl wieder die Form eines Zuwachses mit Plus und

Minus ein, und das rüstige: Développons, ist an seiner Stelle; aber wie

die Zuwächse hier nur arithmetische, endliche Bedeutung haben, davon

ist vorhin gesprochen worden. Aus der Entwicklung jener Bedingung, daß

die zu bestimmende Größe größer als die eine leicht bestimmbare Grenze

und kleiner als die andere sey, wird dann z.B. hergeleitet, daß die

Funktion der Ordinate die abgeleitete erste Funktion zu der Funktion

der Area ist.

Die Rektifikation der Kurven, wie sie von Lagrange aufgezeigt wird,

indem er von dem archimedischen Princip ausgeht, hat das Interesse, die

Übersetzung der archimedischen Methode in das Princip der neuern

Analysis einzusehen,

was einen Blick in das Innere und in den wahrhaften Sinn des auf die

andere Art mechanisch betriebenen Geschäftes thun läßt. Die

Verfahrungsweise ist der so eben angegebenen nothwendig analog; das

archimedische Princip, daß der Bogen einer Kurve größer ist, als seine

Chorde und kleiner als die Summe zweier an den Endpunkten des Bogens,

gezogenen Tangenten, insoweit sie zwischen diesen Punkten und ihrem

Durchschnittspunkt enthalten sind, giebt keine direkte Gleichung. Die

Übertragung jener archimedischen Grundbestimmung in die moderne

analytische Form ist die Erfindung eines Ausdrucks, der für sich eine

einfache Grundgleichung sey, während jene Form nur die Forderung

aufstellt, zwischen einem zu Großen und zu Kleinen, die sich jedesmal

bestimmt haben, ins Unendliche fortzugehen, welches Fortgehen wieder

immer nur ein neues zu Großes und ein neues zu Kleines jedoch in immer

engern Grenzen giebt. Vermittelst des Formalismus des Unendlichkleinen

wird sogleich die Gleichung dz[hoch 2] = dx[hoch 2] + dy[hoch 2]

angesetzt. Die lagrangesche Exposition ausgehend von der angegebenen

Grundlage zeigt hingegen auf, daß die Größe des Bogens die

ursprüngliche Funktion ist zu einer abgeleiteten, von der das

eigenthümliche Glied selbst eine Funktion aus dem Verhältnisse einer

abgeleiteten zu der ursprünglichen der Ordinate ist.

Weil in dem archimedischen Verfahren, wie dann später in der

kepplerschen Behandlung stereometrischer Gegenstände, die Vorstellung

vom Unendlichkleinen vorkommt, so ist dieß so oft als eine Autorität

für den Gebrauch, der von dieser Vorstellung in dem Differentialkalkul

gemacht wird, angeführt worden, ohne daß das Eigenthümliche und

Unterscheidende herausgehoben worden wäre. Das Unendlichkleine bedeutet

zunächst die Negation des Quantums als eines solchen, d. i. eines

sogenannten endlichen Ausdrucks, der vollendeten Bestimmtheit, wie sie

das Quantum als solches hat. Ebenso ist in den darauf folgenden

berühmten Methoden des Valerius, Cavalleri u. a., die sich auf die

Betrachtung der Verhältnisse geometrischer Gegenstände gründen, die

Grundbestimmung, daß das Quantum als solches der Bestimmungen, welche

nur im Verhältnisse zunächst betrachtet werden, für diesen Behuf auf

die Seite gestellt und sie hiernach als ein Nicht-Großes sollen

genommen werden. Aber Theils ist hiermit das Affirmative überhaupt,

welches hinter der bloß negativen Bestimmung liegt, nicht erkannt und

herausgehoben, welches sich oben abstrakt als die qualitative

Größebestimmtheit, und diese bestimmter in dem Potenzenverhältnisse

liegend, sich ergeben hat;—Theils aber, indem dieß Verhältniß selbst

wieder eine Menge näher bestimmter Verhältnisse in sich begreift, wie

das einer Potenz und deren Entwicklungsfunktion, so haben sie auch

wieder auf die allgemeine und negative Bestimmung desselben

Unendlichkleinen gegründet und daraus abgeleitet werden sollen. In der

eben ausgehobenen lagrangeschen Exposition ist das bestimmte

Affirmative, das in der archimedischen Entwicklungsweise der Aufgabe

liegt, gefunden und damit dem mit einem unbegrenzten Herausgehen

behafteten Verfahren seine richtige Grenze gegeben worden. Das Große

der modernen Erfindung für sich und ihre Fähigkeit vorher intraktable

Probleme zu lösen, und die früher lösbaren auf eine einfache Weise zu

behandeln, ist allein in die Entdeckung des Verhältnisses der

ursprünglichen zu den sogenannten abgeleiteten und der Theile, welche

an dem mathematischen Ganzen in solchem Verhältnisse stehen, zu setzen.

Die gemachten Anführungen mögen für den Zweck genügen, das

Eigenthümliche des Verhältnisses von Größen herauszuheben, welches der

Gegenstand der in Rede stehenden besondern Art des Kalkuls ist. Diese

Anführungen konnten sich auf einfache Probleme und deren

Auflösungsweisen beschränken; und weder wäre es für die

Begriffsbestimmung, um die es hier allein zu thun war, zweckmäßig

gewesen, noch hätte es in dem Vermögen des Verfassers gestanden, den

gesammten Umfang der sogenannten Anwendung der Differential- und

Integralrechnung vorzunehmen und die Induktion, daß das aufgezeigte

Princip derselben zu Grunde liege, durch die Zurückführung aller ihrer

Probleme und deren Lösungen darauf, zu vervollständigen. Das

Beigebrachte hat aber hinreichend gezeigt, daß wie jede besondere

Rechnungsweise eine besondere Bestimmtheit oder Verhältniß der Größe zu

ihrem Gegenstande hat, und ein solches das Addiren, Multipliciren, das

Erheben in Potenzen und Ausziehen der Wurzeln, die Rechnung mit

Logarithmen, Reihen u.s.f., konstituirt, ebenso der Differential- und

Integralkalkul; für das diesem Kalkul Angehörige möchte der Name des

Verhältnisses einer Potenzenfunktion und der Funktion ihrer Entwicklung

oder Potenzirung der passendste seyn, weil er der Einsicht der Natur

der Sache am nächsten liegt. Nur wie die Operationen nach den andern

Größenverhältnissen, wie Addiren u.s.f. bei diesem Kalkul überhaupt

gleichfalls gebraucht werden, werden auch die Logarithmen—Kreisund

Reihen-Verhältnisse angewendet, insbesondere um Ausdrücke zum Behuf der

erforderlichen Operationen des Ableitens der ursprünglichen aus den

Entwicklungsfunktionen traktabler zu machen. Mit der Reiheform hat die

Differential- und Integralrechnung wohl das nähere Interesse

geineinschaftlich, die Entwicklungsfunktionen, welche bei den Reihen

die Koefficienten der Glieder heissen, zu bestimmen; aber indem das

Interesse jenes Kalkuls nur auf das Verhältniß der ursprünglichen

Funktion zu dem nächsten Koefficienten ihrer Entwicklung geht, will die

Reihe in der nach Potenzen, die mit jenen Koefficienten versehen sind,

geordneten Menge von Gliedern eine Summe darstellen. Das Unendliche,

das bei der unendlichen Reihe vorkommt, der unbestimmte Ausdruck des

Negativen des Quantums überhaupt, hat mit der affirmativen Bestimmung,

welche im Unendlichen jenes Kalkuls liegt, nichts gemein. Ebenso ist

das Unendlichkleine, als der Zuwachs, vermittelst dessen die

Entwicklung in die Form der Reihe fällt, nur ein äußeres Mittel für die

Entwickelung, und seine sogenannte Unendlichkeit ohne alle andere

Bedeutung, als die, sonst gar keine zu haben, als die jenes Mittels;

die Reihe, da sie in der That es nicht ist, die verlangt wird, führt

ein Zuviel herbei, welches wieder wegzubringen, die überflüssige Mühe

macht. Von dieser Mühe ist die Methode Lagrange's, der die Form der

Reihe vorzugsweise wieder aufgenommen hat, gleichfalls gedrückt;

obgleich sie es ist, durch welche in dem, was die Anwendung genannt

wird, die wahre Eigenthümlichkeit sich heraushebt, indem ohne die

Formen von dx, dy u. s.f. in die Gegenstände hinein zu zwängen, direkt

derjenige Theil nachgewiesen wird, dem an ihnen die Bestimmtheit der

abgeleiteten (- Entwickelungs—) Funktion zukommt, und es sich damit

zeigt, daß die Form der Reihe hier nicht das ist, um das es sich

handelt.[13]

[13] In der obenangeführten Kritik (Jahrb. für wissensch. Krit. II. B.

1827. Nr. 155. 6. folg.) finden sich interessante Äußerungen eines

gründlichen Gelehrten des Faches, Um. Spehr's, aus seinen neuen

Principien des Fluentenkalkuls, Braunschw. 1826. angeführt, die

nämlich einen Umstand betreffen, der wesentlich zu den Dunkelheiten

und dem Unwissenschaftlichen in der Differentialrechnung beitrage, und

stimmen mit dem überein, was über das allgemeine Verhältniß der

Theorie dieses Kalkuls gesagt worden ist: "man hat" heißt es daselbst,

"rein arithmetische Untersuchungen, welche freilich von allen

ähnlichen zunächst auf die Differentialrechnung Bezug haben, nicht von

der eigentlichen Diff.-Rechnung gesondert, ja diese Untersuchungen

wohl gar, wie Lagrange, für die Sache selbst gehalten, während man

diese nur als Anwendung jener ansah. Diese arithmetischen

Untersuchungen begreifen die Regeln der Differentation, die Ableitung

des taylorschen Lehrsatzes u.s.w. ja selbst die verschiedenen

Integrationsmethoden in sich. Es ist ganz umgekehrt der Fall, jene

Anwendungen sind es gerade, welche den Gegenstand der eigentlichen

Differential-Rechnung ausmachen, und alle jene arithmetischen

Entwicklungen und Operationen setzt sie aus der Analysis voraus."—Es

ist aufgezeigt worden, wie bei Lagrange die Trennung der sogenannten

Anwendung von dem Verfahren des allgemeinen Theils, das von den Reihen

ausgeht, eben dazu dient, die eigenthümliche Sache der

Differ.-Rechnung für sich zum Vorschein zu bringen. Aber bei der

interessanten Einsicht des Hrn. Vfs., daß eben die sogenannten

Anwendungen es sind, welche den Gegenstand der eigentlichen

Differ.-Rechnung ausmachen, ist es zu verwundern, wie derselbe sich in

die (ebendas. angeführte) formelle Metaphysik von kontinuirlicher

Größe, Werden, Fließen u.s.f. hat einlassen und solchen Ballast noch

mit neuem gar hat vermehren wollen; formell sind diese Bestimmungen,

indem sie nur allgemeine Kategorien sind, welche eben das Specifische

der Sache nicht angeben, die aus den konkreten Lehren, den

Anwendungen, zu erkennen und zu abstrahiren war.

Anmerkung 3. Noch andere mit der qualitativen Größenbestimmtheit

zusammenhängende Formen.

Das Unendlichkleine der Differentialrechnung ist in seinem affirmativen

Sinn als die qualitative Größenbestimmtheit, und von dieser näher

aufgezeigt worden, daß sie in diesem Kalkul als Potenzenbestimmtheit

nicht nur überhaupt, sondern als die besondere des Verhältnisses einer

Potenzenfunktion zu der Entwicklungspotenz vorhanden ist. Die

qualitative Bestimmtheit ist aber auch noch in weiterer, so zu sagen,

schwächerer Form vorhanden, und diese, wie auch der damit

zusammenhängende Gebrauch des Unendlichkleinen und dessen Sinn in

diesem Gebrauche, soll noch in dieser Anmerkung betrachtet werden.

Es ist, indem wir vom Vorhergehenden ausgehen, in dieser Rücksicht

zuerst daran zu erinnern, daß die unterschiedenen Potenzenbestimmungen

von der analytischen Seite zunächst so hervortreten, daß sie nur

formell, und ganz homogen darin sind, daß sie Zahlengrößen bedeuten,

die als solche jene qualitative Verschiedenheit gegeneinander nicht

haben. Aber in der Anwendung auf räumliche Gegenstände zeigt sich das

analytische Verhältniß ganz in seiner qualitativen Bestimmtheit, als

das Übergehen von linearen zu Flächenbestimmungen, von geradlinigten zu

krummlinigten u.s.f. Diese Anwendung bringt es ferner mit sich, daß die

räumlichen ihrer Natur nach in Form von kontinuirlichen Größen

gegebenen Gegenstände in diskreter Weise gefaßt werden, die Fläche also

als eine Menge von Linien, die Linie als eine Menge von Punkten u.s.f.

Diese Auflösung hat das einzige Interesse, die Punkte, in welche die

Linie, die Linien, in welche die Fläche u.s.f. aufgelöst ist, selbst zu

bestimmen, um von solcher Bestimmung aus analytisch, d. h. eigentlich

arithmetisch fortgehen zu können; diese Ausgangspunkte sind für die zu

findenden Größebestimmungen die Elemente, aus welchen die Funktion und

Gleichung für das Konkrete, die kontinuirliche Größe, abgeleitet werden

soll. Für die Probleme, wo sich nornehmlich das Interesse zeigt, dieß

Verfahren zu gebrauchen, wird im Elemente für den Ausgang ein für sich

selbst Bestimmtes verlangt, gegen den Gang, der indirekt ist, indem er

im Gegentheil nur mit Grenzen beginnen kann, zwischen welchen das

Fürsichbestimmte liege, auf das als sein Ziel er losgehe. Das Resultat

läuft in beiden Methoden dann auf dasselbe hinaus, wenn sich nur das

Gesetz des weitern Fortbestimmens finden läßt, ohne die geforderte

vollkommene d. h. sogenannte endliche Bestimmung erlangen zu können.

Kepplern wird die Ehre zugeschrieben, zuerst den Gedanken jener

Umkehrung des Ganges gehabt und das Diskrete zum Ausgangspunkte gemacht

zu haben. Seine Erklärung, wie er den ersten Satz in Archimed's

Kreismessung verstehe, drückt dieß auf eine einfache Weise aus. Der

erste Satz Archimed's ist bekanntlich, daß der Kreis einem

rechtwinklichten Dreieck gleich ist, dessen eine Kathete dem

Halbmesser, die andere dem Umfange des Kreises gleich ist. Indem

Keppler den Sinn dieses Satzes so nimmt, daß die Peripherie des Kreises

ebenso viele Theile als Punkte, d. i. unendlich viele habe, deren jeder

als die Grundlinie eines gleichschenklichten Dreiecks betrachtet werden

könne, u.s.f., so spricht er die Auflösung des Kontinuirlichen in die

Form des Diskreten aus. Der Ausdruck des Unendlichen, der hierbei

vorkommt, ist noch weit entfernt von der Bestimmung, die er in dem

Differentialkalkul haben soll.—Wenn nun für solche diskrete eine

Bestimmtheit, Funktion gefunden ist, so sollen sie ferner

zusammengefaßt werden, wesentlich als Elemente des Kontinuirlichen

seyn. Da aber eine Summe von Punkten keine Linie, eine Summe von Linien

keine Fläche giebt, werden die Punkte schon sogleich als lineare

genommen, wie die Linien als flächenhafte. Weil jedoch zugleich jene

Lineare noch keine Linien seyn sollen, was sie seyn würden, wenn sie

als Quantum genommen würden, so werden sie als unendlich klein

vorgestellt. Das Diskrete ist nur eines äußerlichen Zusammenfassens

fähig, in welchem die Momente den Sinn von diskretem Eins behalten; der

analytische Übergang von denselben geschieht nur zu ihrer Summe, er ist

nicht zugleich der geometrische von dem Punkte in die Linie, oder von

der Linie in die Fläche u.s.f.; dem Elemente, das als Punkt oder als

Linie seine Bestimmung hat, wird daher zugleich auch mit jenem die

lineare, dieser die Flächenqualität gegeben, damit die Summe als von

kleinen Linien eine Linie, als von kleinen Flächen eine Fläche werde.

Das Bedürfniß, dieß Moment des qualitativen Übergangs zu erhalten und

dafür zu dem Unendlich-kleinen die Zuflucht zu nehmen, muß als die

Quelle aller der Vorstellungen angesehen werden, welche, indem sie jene

Schwierigkeit ausgleichen sollen, an ihnen selbst die größte

Schwierigkeit sind. Diese Nothhülfe entbehrlich zu machen, müßte

gezeigt werden können, daß in dem analytischen Verfahren selbst,

welches als ein bloßes Summiren erscheint, in der That schon ein

Multipliciren enthalten ist. Aber in dieser Rücksicht tritt eine neue

Annahme, welche die Grundlage in dieser Anwendung arithmetischer

Verhältnisse auf geometrische Figurationen ausmacht, ein, nämlich daß

das arithmetische Multipliciren auch für die geometrische Bestimmung

ein Übergang in eine höhere Dimension,—die arithmetische Multiplikation

von Größen, die ihrer räumlichen Bestimmungen nach Linien sind,

zugleich eine Produktion des Linearen zur Flächenbestimmung sey; 3mal 4

lineare Fuße giebt 12 lineare Fuße, aber 3 lineare Fuße, mal 4 linearen

Fußen giebt 12 Flächenfuße und zwar Quadratfuße, indem die Einheit in

beiden als diskreten Größen dieselbe ist. Die Multiplikation von Linien

mit Linien bietet sich zunächst als etwas Widersinniges dar, insofern

die Multiplikation überhaupt Zahlen betrifft, d. i. eine Veränderung

von solchen ist, welche mit dem, in das sie übergehen, mit dem Produkte

ganz homogen sind, und nur die Größe verändern. Dagegen ist das, was

Multipliciren der Linie als solcher mit Linie hieße,—es ist, ductus

lineae in lineam, wie plani in planum genannt worden, es ist auch

ductus puncti in lineam—eine Veränderung nicht bloß der Größe, sondern

ihrer als qualitativer Bestimmung der Räumlichkeit, als einer

Dimension; das Übergehen der Linie in Fläche ist als Außersichkommen

derselben zu fassen, wie das Außersichkommen des Punktes die Linie, der

Fläche ein ganzer Raum ist. Es ist dieß dasselbe, was so vorgestellt

wird, daß die Bewegung des Punktes die Linie u.s.f. sey; aber die

Bewegung schließt die Zeitbestimmung ein, und erscheint so in jener

Vorstellung mehr nur als eine zufällige, äußerliche Veränderung des

Zustands; es ist aber die Begriffsbestimmtheit, die als Außersichkommen

ausgedrückt worden, zu nehmen,—die qualitative Veränderung, und welche

arithmetisch ein Multipliciren, der Einheit (als des Punktes u.s.f.) in

die Anzahl (in die Linie u.s.f.) ist.—Es kann hiezu noch bemerkt

werden, daß bei dem Außersichkommen der Fläche, was als ein

Multipliciren von Fläche in Fläche erscheinen würde, sich der Schein

eines Unterschiedes des arithmetischen und geometrischen Producirens so

ergiebt, daß das Außersichkommen der Fläche, als ductus plani in planum

arithmetisch eine Multiplikation der zweiten Dimensionsbestimmung mit

solcher, hiermit ein Product von vier Dimensionen gäbe, das aber durch

die geometrische Bestimmung auf drei herabgesetzt wird. Wenn auf der

einen Seite die Zahl darum, weil sie das Eins zu ihrem Princip hat, die

feste Bestimmung für das äußerliche Quantitative giebt, so sehr ist ihr

Produciren formell; 3. 3 als Zahlbestimmung genommen sich selbst

producirend ist 3. 3. 3. 3; aber dieselbe Größe als Flächenbestimmung

sich producirend wird bei 3. 3. 3 zurückgehalten, weil der Raum als ein

Hinausgehen vom Punkte, der nur abstrakten Grenze, aus vorgestellt,

seine wahrhafte Grenze, als konkrete Bestimmtheit von der Linie aus in

der dritten Dimension hat. Der angeführte Unterschied könnte sich in

Rücksicht der freien Bewegung, worin die eine die räumliche Seite,

unter der geometrischen Bestimmung (im kepplerischen Gesetze s[hoch 3]

: t[hoch 2]), die andere, die zeitliche Seite unter der arithmetischen

steht, von Wirksamkeit zeigen.

Wie das Qualitative, das hier betrachtet wird, von dem Gegenstande der

vor. Anm. verschieden ist, kann nun ohne weitere Bemerkung von selbst

erhellen. In dieser lag das Qualitative in der Potenzenbestimmtheit;

hier ist dasselbe, wie das Unendlichkleine, nur als Faktor arithmetisch

gegen das Produkt, oder als Punkt gegen die Linie, Linie gegen Fläche

u.s.f. Der qualitative Übergang nun, der von dem Diskreten, als in

welches die kontinuirliche Größe aufgelöst vorgestellt wird, zu dem

Kontinuirlichen zu machen ist, wird als ein Summiren bewerkstelligt.

Daß aber die angebliche bloße Summation in der That eine

Multiplikation, also den Übergang von der linearen in die

Flächenbestimmung in sich selbst enthält, erscheint am einfachsten in

der Art, wie zum Beispiel gezeigt wird, daß der Flächeninhalt eines

Trapezes gleich sey dem Produkt der Summe der beiden gegenüberstehenden

parallelen Linien in die halbe Höhe. Diese Höhe wird nur als die Anzahl

von einer Menge diskreter Größen vorgestellt, welche summirt werden

sollen.

Diese Größen sind Linien, die parallel zwischen jenen zwei begrenzenden

Parallelen liegen; es sind deren unendlich viele; denn sie sollen die

Fläche ausmachen, sind aber Linien, welche also um ein Flächenhaftes zu

seyn, zugleich mit der Negation gesetzt werden müssen. Um der

Schwierigkeit zu entgehen, daß eine Summe von Linien eine Fläche geben

sollte, werden Linien sogleich als Flächen aber gleichfalls als

unendlich dünne angenommen, denn ihre Determination haben sie allein in

dem Linearen der parallelen Grenzen des Trapezes. Als parallel und

durch das andre Paar der geradlinigten Seiten des Trapezes begrenzt,

können sie als die Glieder einer arithmetischen Progression vorgestellt

werden, deren Differenz dieselbe überhaupt ist, aber nicht bestimmt zu

werden braucht, und deren erstes und letztes Glied jene beiden

Parallelen sind; die Summe solcher Reihe ist bekanntlich das Produkt

jener Parallelen in die halbe Anzahl der Glieder. Dieß letzte Quantum

ist nur ganz relativ auf die Vorstellung von den unendlich vielen

Linien Anzahl genannt; es ist die Größebestimmtheit überhaupt eines

Kontinuirlichen,—der Höhe. Es ist deutlich, daß was Summe heißt,

zugleich ein ductus lineae in lineam, Multipliciren von Linearem mit

Linearem, nach obiger Bestimmung ein Hervorgehen von Flächenhaftem ist.

In dem einfachsten Falle nun eines Rektangels überhaupt a b ist jeder

der beiden Faktoren eine einfache Größe, aber schon in dem weitern

selbst elementarischen Beispiele vom Trapez ist nur der eine Faktor das

Einfache der halben Höhe, der andere dagegen wird durch eine

Progression bestimmt; er ist gleichfalls ein Lineares, dessen

Größebestimmtheit aber verwickelter ist; insofern sie nur durch eine

Reihe ausgedrückt werden kann, so heißt analytisch, d. h. arithmetisch

das Interesse, sie zu summiren; das geometrische Moment darin aber ist

die Multiplikation, das Qualitative des Übergangs aus der Dimension der

Linie in die Fläche; der eine Faktor ist diskret nur für die

arithmetische Bestimmung des andern genommen worden, und ist für sich,

wie dieser, die Größe eines Linearen.

Das Verfahren, Flächen als Summen von Linien vorzustellen, wird aber

auch häufig gebraucht, wo nicht eine Multiplikation als solche zu

Behufe des Resultates Statt hat. Dieß geschieht, wo es nicht darum zu

thun ist, die Größe in der Gleichung als Quantum anzugeben, sondern in

einer Proportion. Es ist z.B. eine bekannte Art zu zeigen, daß eine

Kreisfläche sich zur Fläche einer Ellipse, deren große Achse der

Diameter jenes Kreises ist, verhalte wie die große zur kleinen Achse,

indem jede dieser Flächen als die Summe der ihr zugehörigen Ordinaten

genommen wird; jede Ordinate der Ellipse verhält sich zu der

entsprechenden des Kreises wie die kleine zur großen Achse, also wird

geschlossen, verhalten auch die Summen der Ordinaten d. i. die Flächen

ebenso. Diejenigen, welche dabei die Vorstellung der Fläche als eine

Summe von Linien vermeiden wollen, machen die Ordinaten mit der

gewöhnlichen ganz überflüssigen Aushülfe zu Trapezen von unendlich

kleiner Breite; da die Gleichung nur eine Proportion ist, kommt nur das

Eine der zwei linearen Elemente der Fläche in Vergleichung. Das andere,

die Abscissenachse, ist in Ellipse und Kreis als gleich, als Faktor

arithmetischer Größebestimmung also gleich = 1 angenommen, und die

Proportion daher ganz nur von dem Verhältniß des einen bestimmenden

Moments abhängig. Zur Vorstellung der Fläche sind die zwei Dimensionen

nothwendig; aber die Größebestimmung, wie sie in jener Proportion

angegeben werden soll, geht nur auf das eine Moment allein; der

Vorstellung damit nachgeben oder aufhelfen, daß die Vorstellung von

Summe zu diesem einen Momente hinzugefügt wird, ist eigentlich eine

Verkennung dessen, worauf es hier für die mathematische Bestimmtheit

ankömmt.

Was hier auseinandergesetzt worden, enthält auch das Kriterium für die

früher erwähnte Methode der Untheilbaren des Cavalleri, die damit

ebenso gerechtfertigt ist, und der Zuflucht zu dem Unendlichkleinen

nicht bedarf. Diese Untheilbaren sind Linien, indem er eine Fläche,

oder Quadrate, Kreisflächen, indem er eine Pyramide oder Konus u.s.f.

betrachtet; die als bestimmt angenommene Grundlinie, Grundfläche nennt

er die Regel; es ist die Konstante, in Beziehung auf eine Reihe das

erste oder letzte Glied derselben; mit ihr werden jene Untheilbaren

parallel, also in gleicher Bestimmung in Rücksicht der Figur

betrachtet, Der allgemeine Grundsatz Cavalleri's ist nun, (Exerc.

Geometr. VI.—das spätere Werk-Exerc. I. p. 6.), daß alle sowohl ebene,

als körperliche Figuren im Verhältnisse aller ihrer Indivisibilien

sind, diese kollektive und wenn etwa ein gemeinschaftliches Verhältniß

in solchen Statt findet, distributive mit einander verglichen."—Er

vergleicht zu diesem Behufe in den Figuren von gleicher Grundlinie und

Höhe gemacht, die Verhältnisse von den Linien, die parallel mit jener

und in gleicher Entfernung mit ihr gezogen werden; alle solche Linien

einer Figur haben eine und dieselbe Bestimmung, und machen deren ganzen

Inhalt aus. Auf solche Weise beweist Cavalleri z.B. auch den

elementarischen Satz, daß Parallelogramme von gleicher Höhe im

Verhältnisse ihrer Grundlinie sind; jede zwei Linien, in gleicher

Entfernung von der Grundlinie und mit ihr parallel, in beiden Figuren

gezogen, sind in demselben Verhältnisse der Grundlinien, also die

ganzen Figuren. In der That machen die Linien nicht den Inhalt der

Figur als kontinuirlicher aus, aber den Inhalt, insofern er

arithmetisch bestimmt werden soll; das Lineare ist sein Element, durch

welches allein die Bestimmtheit desselben gefaßt werden muß.

Wir werden hierbei darauf geführt, auf den Unterschied zu reflektiren,

der in Ansehung dessen Statt findet, worein die Bestimmtheit einer

Figur fällt, nämlich entweder ist sie beschaffen, wie hier die Höhe der

Figur, oder ist sie äußere Grenze. Insofern sie als äußere Grenze ist,

giebt man zu, daß der Gleichheit oder dem Verhältnisse der Grenze die

Kontinuität der Figur so zu sagen folgt; z.B. die Gleichheit der

Figuren, die sich decken, beruht darauf, daß die begrenzenden Linien

sich decken. Bei Parallelogrammen aber von gleicher Höhe und Grundlinie

ist nur die letztere Bestimmtheit eine äußere Grenze; die Höhe, nicht

die Paralleleität überhaupt, auf welcher die zweite Hauptbestimmung der

Figuren, ihr Verhältniß, beruht, führt ein zweites Princip der

Bestimmung zu den äußern Grenzen herbei. Der euklidische Beweis von der

Gleichheit der Parallelogramme, die gleiche Höhe und Grundlinie haben,

führt sie auf Dreiecke zurück, auf äußerlich begrenzte Kontinuirliche;

in Cavalleri's Beweis, zunächst über die Proportionalität von

Parallelogrammen, ist die Grenze Größebestimmtheit als solche

überhaupt, welche als an jedem Paare von Linien, die mit gleichem

Abstand in beiden Figuren gezogen werden, genommen, explicirt wird,

Diese gleichen oder in gleichem Verhältniß mit der Grundlinie stehenden

Linien, kollektiv genommen, geben die in gleichem Verhältnisse

stehenden Figuren. Die Vorstellung eines Aggregats von Linien geht

gegen die Kontinuität der Figur; allein die Betrachtung der Linien

erschöpft die Bestimmtheit, auf welche es ankommt, vollkommen Cavalleri

giebt häufige Antwort auf die Schwierigkeit, als ob die Vorstellung von

den Untheilbaren es mit sich führe, daß der Anzahl nach unendliche

Linien oder Ebenen verglichen werden sollen, (Geom. Lib. II. Prop. 1.

Schol.); er macht den richtigen Unterschied, daß er nicht die Anzahl

derselben, welche wir nicht kennen,—d. i. vielmehr die, wie bemerkt

worden, eine zu Hülfe genommene leere Vorstellung ist,—sondern nur die

Größe, d. i. die quantitative Bestimmtheit als solche, welche dem von

diesen Linien eingenommenen Raume gleich ist, vergleiche; weil dieser

in Grenzen eingeschlossen ist, ist auch jene seine Größe in dieselben

Grenzen eingeschlossen; das Kontinuirliche ist nichts anderes, als die

Untheilbaren selbst, sagt er; wäre es etwas außer diesen, so wäre es

nicht vergleichbar; es würde aber ungereimt seyn, zu sagen, begrenzte

Kontinuirliche seyen nicht miteinander vergleichbar.

Man sieht, daß Cavalleri dasjenige, was zur äußerlichen Existenz des

Kontinuirlichen gehört, von demjenigen unterscheiden will, worin dessen

Bestimmtheit fällt und das für die Vergleichung und zum Behufe von

Theoremen über dasselbe allein herauszuheben ist. Die Kategorien, die

er dabei gebraucht, daß das Kontinuirliche aus den Untheilbaren

zusammengesetzt sey oder bestehe und dergleichen, sind freilich nicht

genügend, weil dabei die Anschauung des Kontinuirlichen oder, wie

vorhin gesagt, dessen äußerliche Existenz, zugleich in Anspruch

genommen wird; statt zu sagen, "daß das Kontinuirliche nichts anderes

ist, als die Untheilbaren selbst," würde es richtiger und damit auch

sogleich für sich klar heißen, daß die Größebestimmtheit des

Kontinuirlichen keine andere ist, als die der Untheilbaren selbst.

—Cavalleri macht sich nichts aus der schlechten Folgerung, daß es

größere und kleinere Unendliche gebe, welche aus der Vorstellung, daß

die Untheilbaren das Kontinuirliche ausmachen, von der Schule gezogen

werde, und drückt weiterhin (Geom. Lib. VII. Praef.) das bestimmtere

Bewußtseyn aus, daß er durch seine Beweisart keineswegs zur Vorstellung

der Zusammensetzung des Kontinuirlichen aus dem Untheilbaren genöthigt

sey; die Kontinuirlichen folgen nur der Proportion der Untheilbaren. Er

habe die Aggregate der Untheilbaren nicht so genommen, wie sie in die

Bestimmung der Unendlichkeit, um einer unendlichen Menge von Linien

oder Ebenen willen, zu verfallen scheinen, sondern insofern sie eine

bestimmte Beschaffenheit und Natur der Begrenztheit an ihnen haben. Um

denn aber doch diesen Stein des Anstoßes zu entfernen, läßt er sich die

Mühe nicht verdrießen, noch in dem eigens dafür hinzugefügten siebenten

Buche, die Hauptsätze seiner Geometrie auf eine Art zu beweisen, welche

von der Einmischung der Unendlichkeit frei bleibe.—Diese Manier

reducirt die Beweise auf die vorhin angeführte, gewöhnliche Form des

Deckens der Figuren, d. i. wie bemerkt worden, der Vorstellung der

Bestimmtheit als äußerer Raumgrenze.

Über diese Form des Deckens kann zunächst noch diese Bemerkung gemacht

werden, daß sie überhaupt eine so zu sagen kindliche Hülfe für die

sinnliche Anschauung ist. In den elementarischen Sätzen über die

Dreiecke werden zwei solche neben einander vorgestellt, und indem von

ihren je sechs Stücken gewisse drei als gleich groß mit den

entsprechenden drei des andern Dreiecks angenommen werden, so wird

gezeigt, daß solche Dreiecke einander kongruent seyen, d. i. jedes auch

die übrigen drei Stücke gleich groß mit denen des andern habe, —weil

sie vermöge der Gleichheit nach jenen drei ersten einander decken. Die

Sache abstrakter gefaßt, so ist eben um dieser Gleichheit jeden Paars

der in beiden einander entsprechenden Stücke, nur Ein Dreieck

vorhanden; in diesem sind drei Stücke als bereits bestimmt angenommen,

woraus denn die Bestimmtheit auch der drei übrigen Stücke folgt. Die

Bestimmtheit wird auf diese Weise als in drei Stücken vollendet

aufgezeigt; für die Bestimmtheit als solche sind somit die drei übrigen

Stücke ein Überfluß, der Überfluß der sinnlichen Existenz, d. i. der

Anschauung der Kontinuität. In solcher Form ausgesprochen, tritt hier

die qualitative Bestimmtheit im Unterschiede von dem hervor, was in der

Anschauung vorliegt, dem Ganzen als einem in sich kontinuirlichen; das

Decken läßt diesen Unterschied nicht zum Bewußtseyn kommen.

Mit den Parallellinien und bei den Parallelogrammen tritt, wie bemerkt

worden, ein neuer Umstand, Theils die Gleichheit nur der Winkel Theils

die Höhe der Figuren ein, von welcher letztern deren äußere Grenzen,

die Seiten der Parallelogramme, unterschieden sind. Hierbei kommt die

Zweideutigkeit zum Vorschein, inwiefern bei diesen Figuren außer der

Bestimmtheit der einen Seite, der Grundlinie, welche als äußere Grenze

ist, für die andere Bestimmtheit, die andere äußere Grenze, nämlich die

andere Seite des Parallelogramms, oder aber die Höhe zu nehmen ist. Bei

zwei solchen Figuren von einerlei Grundlinie und Höhe, wovon das eine

rechtwinklich ist, das andere sehr spitze, damit zu den

gegenüberstehenden sehr stumpfe Winkel hat, kann der Anschauung

letzteres leicht größer scheinen, als das erstere, insofern sie die

vorliegende große Seite desselben als bestimmend nimmt, und nach der

Vorstellungsweise Cavalleri's die Ebenen nach einer Menge von

parallelen Linien, durch welche sie durchschnitten werden können,

vergleicht; die größere Seite könnte als eine Möglichkeit von mehrern

Linien, als die senkrechte Seite des Rechtecks giebt, angesehen werden.

Solche Vorstellung giebtjedoch keinen Einwurf gegen Cavalleri's Methode

an die Hand; denn die in beiden Parallelogrammen für die Vergleichung

vorgestellte Menge von parallelen Linien setzt die Gleichheit ihrer

Entfernung von einander oder von der Grundlinie zugleich voraus, woraus

folgt, daß die Höhe, und nicht die andere Seite des Parallelogramms,

das andere bestimmende Moment ist. Dieß ändert sich aber ferner, wenn

zwei Parallelogramme mit einander verglichen werden, die von gleicher

Höhe und Grundlinie sind, aber nicht in Einer Ebene liegen, und zu

einer dritten Ebene verschiedene Winkel machen; hier sind die

parallelen Durchschnitte, die entstehen, wenn man sich die dritte Ebene

durch sie gelegt und sich parallel mit sich fortbewegend vorstellt,

nicht mehr gleich weit von einander entfernt, und jene zwei Ebenen sind

einander ungleich. Cavalleri macht sehr sorgfältig auf diesen

Unterschied, den er als einen Unterschied von transitus rectus und

transitus obliquus der Untheilbaren bestimmt, (gleich in Exercit. I. n.

XII. ff. wie schon in der Geometr. I. II.) auf merksam, und schneidet

damit oberflächlichen Mißverstand ab, der nach dieser Seite entstehen

könnte. Ich erinnere mich, daß Barrow in seinem obenangeführten Werke

(Lect. Geom. II. p. 21), indem er die Methode der Untheilbaren

gleichfalls gebraucht, jedoch sie bereits mit der von ihm aus auf

seinen Schüler Newton und die sonstigen mathematischen Zeitgenossen,

darunter auch Leibnitz, übergegangenen Annahme der Gleichsetzbarkeit

eines krummlinigten Dreiecks, wie das sogenannte charakteristische ist,

mit einem geradlinigten, insofern beide unendlich d. h. sehr klein

seyen, versetzt und verunreinigt hat, —einen eben dahin gehenden

Einwurf Tacquet's, eines damaligen in neuen Methoden gleichfalls

thätigen, scharfsinnigen Geometers, anführte. Die von diesem gemachte

Schwierigkeit bezieht sich ebenfalls darauf, welche Linie und zwar bei

Berechnung konischer und sphärischer Oberflächen als Grundmoment der

Bestimmung für die auf Anwendung des Diskreten gestützte Betrachtung

genommen werden solle. Tacquet wende gegen die Methode der Untheilbaren

ein, daß wenn die Oberfläche eines rechtwinklichten Kegels berechnet

werden solle, so werde nach jener atomistischen Methode das Dreieck des

Kegels als zusammengesetzt aus den geraden, mit der Grundlinie

parallelen auf die Achse senkrechten Linien vorgestellt, welche

zugleich die Radien der Kreise sind, aus denen die Oberfläche des

Kegels bestehe. Wenn nun diese Oberfläche als Summe der Peripherien,

und diese Summe aus der Anzahl ihrer Radien, d. i. der Größe der Achse,

der Höhe des Kegels, bestimmt werde, so sey solches Resultat mit der

sonst von Archimed gelehrten und bewiesenen Wahrheit im Widerspruch.

Barrow zeigt nun dagegen, daß für die Bestimmung der Oberfläche nicht

die Achse, sondern die Seite des Dreiecks des Kegels als diejenige

Linie genommen werden müsse, deren Umdrehung die Oberfläche erzeuge,

und welche daher, und nicht die Achse, als die Größebestimmtheit für

die Menge der Peripherien angenommen werden müsse.

Dergleichen Einwürfe oder Unsicherheiten haben ihre Quelle allein in

der gebrauchten unbestimmten Vorstellung der unendlichen Menge von

Punkten, aus denen die Linie, oder von Linien, aus denen die Fläche u.

s.f. bestehend angesehen wird; durch diese Vorstellung wird die

wesentliche Größebestimmtheit der Linien oder Flächen in Schatten

gestellt.—Es ist die Absicht dieser Anmerkungen gewesen, die

affirmativen Bestimmungen, die bei dem verschiedenen Gebrauch, der von

dem Unendlich-kleinen in der Mathematik gemacht wird, so zu sagen im

Hintergrunde bleiben, aufzuweisen und sie aus der Nebulosität

hervorzuheben, in welche sie durch jene bloß negativ gehaltene

Kategorie gehüllt werden. Bei der unendlichen Reihe, wie in der

archimedischen Kreismessung bedeutet das Unendliche nichts weiter, als

daß das Gesetz der Fortbestimmung bekannt ist, aber der sogenannte

endliche Ausdruck, d. i. der arithmetische, nicht gegeben, die

Zurückführung des Bogens auf die gerade Linie nicht bewerkstelligt

werden kann; diese Inkommensurabilität ist die qualitative

Verschiedenheit derselben. Die qualitative Verschiedenheit des

Diskreten mit dem Kontinuirlichen überhaupt, enthält gleichfalls eine

negative Bestimmung, welche sie als inkommensurabel erscheinen läßt,

und das Unendliche herbeiführt, in dem Sinne, daß das als diskret zu

nehmende Kontinuirliche nun kein Quantum nach seiner kontinuirlichen

Bestimmtheit mehr haben soll. Das Kontinuirliche, das arithmetisch als

Produkt zu nehmen ist, ist damit diskret an ihm selbst gesetzt, nämlich

in die Elemente, die seine Faktoren sind, zerlegt; in diesen liegt

seine Größebestimmtheit; sie sind als ebendamit, daß sie diese Faktoren

oder Elemente sind, von einer niedrigern Dimension, und insofern die

Potenzenbestimmtheit eintritt, von einer niedrigern Potenz als die

Größe, deren Elemente oder Faktoren sie sind. Arithmetisch erscheint

dieser Unterschied als ein bloß quantitativer, der Wurzel und der

Potenz oder welcher Potenzenbestimmtheit es sey; jedoch wenn der

Ausdruck nur auf das Quantitative als solches geht, z.B. a : a[hoch 2]

oder d.a[hoch 2] = 2a : a[hoch 2] = 2 : a, oder für das Gesetz des

Falles, t : at[hoch 2] so giebt er die nichtssagenden Verhältnisse von

1 : a, 2 : a, 1: at; die Seiten müßten gegen ihre bloß quantitative

Bestimmung durch die unterschiedene qualitative Bedeutung auseinander

gehalten werden, wie s : at[hoch]2; wodurch die Größe als eine Qualität

ausgesprochen wird, als Funktion der Größe einer andern Qualität.

Hierbei steht dann bloß die quantitative Bestimmtheit vor dem

Bewußtseyn, mit der nach ihrer Art ohne Schwierigkeit operirt wird, und

man kann kein Arges daran haben, die Größe einer Linie mit der Größe

einer andern Linie zu multipliciren; aber die Multiplikation dieser

selben Größen giebt zugleich die qualitative Veränderung des Überganges

von Linie in Fläche; insofern tritt eine negative Bestimmung ein; sie

ist es, welche die Schwierigkeit veranlaßt, die durch die Einsicht in

ihre Eigenthümlichkeit und in die einfache Natur der Sache gelöst, aber

durch die Hilfe des Unendlichen, wodurch sie beseitigt werden soll,

vielmehr nur in Verworrenheit gesetzt und ganz unaufgelöst erhalten

wird.

Drittes Kapitel. Das quantitative Verhältniß.

Die Unendlichkeit des Quantums ist dahin bestimmt worden, daß sie das

negative Jenseits desselben ist, das es aber an ihm selbst hat. Dieß

Jenseits ist das Qualitative überhaupt. Das unendliche Quantum ist als

die Einheit beider Momente, der quantitativen und der qualitativen

Bestimmtheit, zunächst Verhältniß.

Im Verhältnisse hat das Quantum nicht mehr eine nur gleichgültige

Bestimmtheit, sondern ist qualitativ bestimmt als schlechthin bezogen

auf sein Jenseits. Es kontinuirt sich in sein Jenseits; dieses ist

zunächst ein anderes Quantum überhaupt. Aber wesentlich sind sie nicht

als äußerliche Quanta auf einander bezogen, sondern jedes hat seine

Bestimmtheit in dieser Beziehung auf das Andere. Sie sind so in diesem

ihrem Andersseyn in sich zurückgekehrt; was jedes ist, ist es in dem

Andern; das andere macht die Bestimmtheit eines jeden aus. —Das

Hinausgehen des Quantums über sich hat also jetzt diesen Sinn, weder

daß es sich nur in ein Anderes noch in sein abstraktes Anderes, in sein

negatives Jenseits veränderte, sondern darin zu seiner Bestimmtheit

gelangt ist; es findet sich selbst in seinem Jenseits, welches ein

anderes Quantum ist. Die Qualität des Quantums, seine

Begriffsbestimmtheit, ist seine Äußerlichkeit überhaupt, und im

Verhältniß ist es nun so gesetzt, in seiner Äußerlichkeit, an einem

andern Quantum, seine Bestimmtheit zu haben, in seinem Jenseits das zu

seyn, was es ist.

Es sind Quanta, welche die Beziehung, die sich ergab, auf einander

haben. Diese Beziehung ist selbst auch eine Größe; das Quantum ist

nicht nur im Verhältniß, sondern es selbst ist als Verhältniß gesetzt;

es ist ein Quantum überhaupt, das jene qualitative Bestimmtheit

innerhalb seiner hat. So als Verhältniß drückt es sich als in sich

geschlossene Totalität und seine Gleichgültigkeit gegen die Grenze aus,

dadurch daß es die Äußerlichkeit seines Bestimmtseyns innerhalb seiner

selbst hat, und in ihr nur auf sich bezogen, somit an ihm selbst

unendlich ist.