C. Die quantitative Unendlichkeit.

a. Begriff derselben.

Das Quantum verändert sich und wird ein anderes Quantum; die weitere

Bestimmung dieser Veränderung, daß sie ins Unendliche fortgeht, liegt

darin, daß das Quantum als an ihm selbst sich widersprechend gestellt

ist.—Das Quantum wird ein Anderes; es kontinuirt sich aber in sein

Andersseyn; das Andere ist also auch ein Quantum. Aber dieses ist das

Andere nicht nur eines Quantums, sondern des Quantums selbst, das

Negative seiner als eines Begrenzten, somit seine Unbegrenztheit,

Unendlichkeit. Das Quantum ist ein Sollen; es enthält,

Für-sich-bestimmt zu seyn, und dieses Für-sich-bestimmtseyn ist

vielmehr das Bestimmtseyn in einem Anderen; und umgekehrt ist es das

aufgehobene Bestimmtseyn in einem Andern, ist gleichgültiges

Bestehen-für-sich.

Die Endlichkeit und Unendlichkeit erhalten dadurch sogleich jede an ihr

selbst eine gedoppelte, und zwar entgegengesetzte Bedeutung. Endlich

ist das Quantum erstens als Begrenztes überhaupt, zweitens, als das

Hinausschicken über sich selbst, als das Bestimmtseyn in einem Anderen.

Die Unendlichkeit desselben aber ist erstens sein Nichtbegrenztseyn;

zweitens sein Zurückgekehrtseyn-in-sich, das gleichgültige Fürsichseyn.

Vergleichen wir sogleich diese Momente mit einander, so ergiebt sich,

daß die Bestimmung der Endlichkeit des Quantums, das Hinausschicken

über sich zu einem Anderen, in dem seine Bestimmung liege, ebenso

Bestimmung des Unendlichen ist; die Negation der Grenze ist dasselbe

Hinaus über die Bestimmtheit, so daß das Quantum in dieser Negation,

dem Unendlichen, seine letzte Bestimmtheit habe. Das andere Moment der

Unendlichkeit ist das gegen die Grenze gleichgültige Fürsichseyn; das

Quantum selbst aber ist so das Begrenzte, daß es das für sich

Gleichgültige gegen seine Grenze, damit gegen andere Quanta und sein

Hinaus, ist. Die Endlichkeit und die (von ihr getrennt seyn sollende,

schlechte) Unendlichkeit haben beim Quantum jede das Moment der anderen

bereits an ihr.

Das qualitative und quantitative Unendliche unterscheiden sich dadurch,

daß im ersten der Gegensatz des Endlichen und Unendlichen qualitativ

ist, und der Übergang des Endlichen in das Unendliche, oder die

Beziehung beider auf einander nur im Ansich, in ihrem Begriffe liegt.

Die qualitative Bestimmtheit ist als unmittelbar, und bezieht sich auf

das Andersseyn wesentlich als auf ein ihr anderes Seyn, sie ist nicht

gesetzt, ihre Negation, ihr Anderes an ihr selbst zu haben. Die Größe

hingegen ist, als solche, aufgehobene Bestimmtheit; sie ist gesetzt,

ungleich mit sich und gleichgültig gegen sich selbst, daher das

Veränderliche zu seyn. Das qualitative Endliche und Unendliche stehen

sich daher absolut d. h. abstrakt gegeneinander über; ihre Einheit ist,

die zu Grunde liegende innerliche Beziehung; das Endliche kontinuirt

sich daher nur an sich, aber nicht an ihm, in sein Anderes. Hingegen

das quantitative Endliche bezieht sich an ihm selbst in sein

Unendliches, an dem es seine absolute Bestimmtheit habe. Diese ihre

Beziehung stellt zunächst der quantitativ-unendliche Progreß dar.

b. Der quantitative unendliche Progreß.

Der Progreß ins Unendliche ist überhaupt der Ausdruck des Widerspruchs,

hier desjenigen, den das quantitativ-Endliche oder das Quantum

überhaupt enthält. Er ist die Wechselbestimmung des Endlichen und

Unendlichen, die in der qualitativen Sphäre betrachtet worden ist, mit

dem Unterschiede, daß wie so eben erinnert, im Quantitativen sich die

Grenze an ihr selbst in ihr Jenseits fortschickt und fortsetzt, somit

umgekehrt auch das quantitativ-Unendliche gesetzt ist, das Quantum an

ihm selbst zu haben, denn das Quantum ist in seinem Außersichseyn

zugleich es selbst; seine Äußerlichkeit gehört seiner Bestimmung an.

Der unendliche Progreß ist nun nur der Ausdruck dieses Widerspruchs,

nicht die Auflösung desselben, aber um der Kontinuität willen der einen

Bestimmtheit in ihre andere führt er eine scheinbare Auflösung in einer

Vereinigung beider herbei. Wie er zunächst gesetzt ist, ist er die

Aufgabe des Unendlichen, nicht die Erreichung desselben; das

perennirende Erzeugen desselben, ohne über das Quantum selbst

hinauszukommen, und ohne daß das Unendliche ein Positives und

Gegenwärtiges würde. Das Quantum hat es in seinem Begriffe ein Jenseits

seiner zu haben. Dieß Jenseits ist erstlich das abstrakte Moment des

Nichtseyns des Quantums; dieses löst sich an sich selbst auf; so

bezieht es sich auf sein Jenseits als auf seine Unendlichkeit, nach dem

qualitativen Momente des Gegensatzes. Aber zweitens steht das Quantum

in Kontinuität mit diesem Jenseits; das Quantum besteht eben darin, das

Andere seiner selbst, sich selbst äußerlich zu seyn; also ist dieß

Äußerliche eben so sehr nicht ein Anderes als das Quantum; das Jenseits

oder das Unendliche ist also selbst ein Quantum. Das Jenseits ist auf

diese Weise aus seiner Flucht zurückgerufen, und das Unendliche

erreicht. Aber weil dieß zum Diesseits gewordene wieder ein Quantum

ist, ist nur wieder eine neue Grenze gesetzt worden; diese, als

Quantum, ist auch wieder von sich selbst geflohen, ist als solches über

sich hinaus, und hat sich in sein Nichtseyn, in sein Jenseits von sich

selbst repellirt, das ebenso perennirend zum Quantum wird, als dieses

sich von sich selbst zum Jenseits abstößt.

Die Kontinuität des Quantums in sein Anderes bringt die Verbindung

beider in dem Ausdruck eines Unendlich-Großen oder Unendlich-Kleinen

hervor. Da beide die Bestimmung des Quantums noch an ihnen haben,

bleiben sie veränderliche und die absolute Bestimmtheit, die ein

Für-sichseyn wäre, ist also nicht erreicht. Dieß Außersichseyn der

Bestimmung ist in dem gedoppelten Unendlichen, das sich nach dem Mehr

und Weniger entgegengesetzt ist, dem Unendlich-großen und Kleinen,

gesetzt. An jedem selbst ist das Quantum im perennirenden Gegensatze

gegen sein Jenseits erhalten. Das Große noch so sehr erweitert,

schwindet zur Unbeträchtlichkeit zusammen; indem es sich auf das

Unendliche als auf sein Nichtseyn bezieht, ist der Gegensatz

qualitativ; das erweiterte Quantum hat daher dem Unendlichen nichts

abgewonnen; dieses ist vor wie nach das Nichtseyn desselben. Oder, die

Vergrößerung des Quantums ist keine Näherung zum Unendlichen, denn der

Unterschied des Quantums und seiner Unendlichkeit hat wesentlich auch

das Moment ein nicht quantitativer Unterschied zu seyn. Es ist nur der

ins Engere gebrachte Ausdruck des Widerspruchs; es soll ein Großes d.

i. ein Quantum, und unendlich, d. i. kein Quantum seyn.—Eben so das

Unendlichkleine ist als Kleines ein Quantum und bleibt daher absolut d.

h. qualitativ zu groß für das Unendliche, und ist diesem

entgegengesetzt. Es bleibt in beiden der Widerspruch des unendlichen

Progresses erhalten der in ihnen sein Ziel gefunden haben sollte.

Diese Unendlichkeit, welche als das Jenseits des Endlichen beharrlich

bestimmt ist, ist als die schlechte quantitative Unendlichkeit zu

bezeichnen. Sie ist wie die qualitative schlechte Unendlichkeit, das

perennirende Herüber- und Hinübergehen von dem einen Gliede des

bleibenden Widerspruchs zum andern, von der Grenze zu ihrem Nichtseyn,

von diesem aufs neue zurück zu ebenderselben, zur Grenze. Im Progresse

des Quantitativen ist das, zu dem fortgegangen wird, zwar nicht ein

abstrakt Anderes überhaupt, sondern ein als verschieden gesetztes

Quantum; aber es bleibt auf gleiche Weise im Gegensatze gegen seine

Negation. Der Progreß ist daher gleichfalls nicht ein Fortgehen und

Weiterkommen, sondern ein Wiederholen von einem und eben demselben,

Setzen, Aufheben, und Wiedersetzen und Wiederaufheben; eine Ohnmacht

des Negativen, dem das, was es aufhebt, durch sein Aufheben selbst als

ein Kontinuirliches wiederkehrt. Es sind zwei so zusammengeknüpft, daß

sie sich schlechthin fliehen; und indem sie sich fliehen, können sie

sich nicht trennen, sondern sind in ihrer gegenseitigen Flucht

verknüpft.

Anmerkung 1.

Die schlechte Unendlichkeit pflegt vornehmlich in der Form des

Progresses des Quantitativen ins Unendliche,—dieß fortgehende

Überfliegen der Grenze, das die Ohnmacht ist, sie aufzuheben, und der

perennirende Rückfall in dieselbe,—für etwas Erhabenes und für eine Art

von Gottesdienst gehalten zu werden, so wie derselbe in der Philosophie

als ein Letztes angesehen worden ist. Dieser Progreß hat vielfach zu

Tiraden gedient, die als erhabene Produktionen bewundert worden sind.

In der That aber macht diese moderne Erhabenheit nicht den Gegenstand

groß, welcher vielmehr entflieht, sondern nur das Subjekt, das so große

Quantitäten in sich verschlingt. Die Dürftigkeit dieser subjektiv

bleibenden Erhebung, die an der Leiter des Quantitativen hinaufsteigt,

thut sich selbst damit kund, daß sie in vergeblicher Arbeit dem

unendlichen Ziele nicht näher zu kommen eingesteht, welches zu

erreichen freilich ganz anders anzugreifen ist.

Bei folgenden Tiraden dieser Art ist zugleich ausgedrückt, in was

solche Erhebung übergeht und aufhört. Kant z.B. führt es als erhaben

auf, (Kr. d. prakt. V. Schl.)

"wenn das Subjekt mit dem Gedanken sich über den Platz erhebt, den es

in der Sinnenwelt einnimmt, und die Verknüpfung ins unendlich Große

erweitert, eine Verknüpfung mit Sternen über Sternen, mit Welten über

Welten, Systemen über Systemen, überdem noch in grenzenlose Zeiten

ihrer periodischen Bewegung, deren Anfang und Fortdauer.—Das Vorstellen

erliegt diesem Fortgehen ins Unermeßlich-Ferne, wo die fernste Welt

immer noch eine fernere hat, die so weit zurückgeführte Vergangenheit

noch eine weitere hinter sich, die noch so weit hinausgeführte Zukunft

immer noch eine andere vor sich; der Gedanke erliegt dieser Vorstellung

des Unermeßlichen; wie ein Traum, daß einer einen langen Gang immer

weiter und unabsehbar weiter fortgehe, ohne ein Ende abzusehen, mit

Fallen oder mit Schwindel endet."

Diese Darstellung, außerdem daß sie den Inhalt des quantitativen

Erhebens in einen Reichthum der Schilderung zusammendrängt, verdient

wegen der Wahrhaftigkeit vornehmlich Lob, mit der sie es angiebt, wie

es dieser Erhebung am Ende ergeht: der Gedanke erliegt, das Ende ist

Fallen und Schwindel. Was den Gedanken erliegen macht, und das Fallen

desselben und den Schwindel hervorbringt, ist nichts anderes, als die

Langeweile der Wiederholung, welche eine Grenze verschwinden und wieder

auftreten und wieder verschwinden, so immer das eine um das andere, und

eins im andern, in dem Jenseits das Diesseits, in dem Diesseits das

Jenseits perennierend entstehen und vergehen läßt, und nur das Gefühl

der Ohnmacht dieses Unendlichen oder dieses Sollens giebt, das über das

Endliche Meister werden will und nicht kann.

Auch die hallersche, von Kant sogenannte schauderhafte Beschreibung der

Ewigkeit pflegt besonders bewundert zu werden, aber oft gerade nicht

wegen derjenigen Seite, die das wahrhafte Verdienst derselben ausmacht:

"Ich häuffe ungeheure Zahlen,

Gebürge Millionen auf,

Ich setze Zeit auf Zeit, und Welt auf Welt zu Hauf

Und wenn ich von der grausen Höh

Mit Schwindeln wieder nach dir seh,

Ist alle Macht der Zahl, vermehrt zu tausendmalen,

Noch nicht ein Theil von dir."

"Ich zieh sie ab, und du liegst ganz vor mir."

Wenn auf jenes Aufbürgen und Aufthürmen von Zahlen und Welten als auf

eine Beschreibung der Ewigkeit der Werth gelegt wird, so wird

übersehen, daß der Dichter selbst dieses sogenannte schauderhafte

Hinausgehen für etwas Vergebliches und Hohles erklärt, und daß er damit

schließt, daß nur durch das Aufgeben dieses leeren unendlichen

Progresses das wahrhafte Unendliche selbst zur Gegenwart vor ihn komme.

Es hat Astronomen gegeben, die sich auf das Erhabene ihrer Wissenschaft

gern darum viel zu Gute thaten, weil sie mit einer unermeßlichen Menge

von Sternen, mit so unermeßlichen Räumen und Zeiten zu thun habe, in

denen Entfernungen und Perioden, die für sich schon groß sind, zu

Einheiten dienen, welche noch so vielmal genommen, sich wieder zur

Unbedeutenheit verkürzen. Das schaale Erstaunen, dem sie sich dabei

überlassen, die abgeschmackten Hoffnungen, erst noch in jenem Leben von

einem Sterne zum anderen zu reisen und ins Unermeßliche fort

dergleichen neue Kenntnisse zu erwerben, gaben sie für ein Hauptmoment

der Vortreflichkeit ihrer Wissenschaft aus, —welche bewundernswürdig

ist, nicht um solcher quantitativen Unendlichkeit willen, sondern im

Gegentheil um der Maaßverhältnisse und der Gesetze willen, welche die

Vernunft in diesen Gegenständen erkennt, und die das vernünftige

Unendliche gegen jene unvernünftige Unendlichkeit sind.

Der Unendlichkeit, die sich auf die äußere sinnliche Anschauung

bezieht, setzt Kant die andere Unendlichkeit gegenüber, wenn

"das Individuum auf sein unsichtbares Ich zurückgeht, und die absolute

Freiheit seines Willens als ein reines Ich allen Schrecken des

Schicksals und der Thyrannei entgegenstellt, von seinen nächsten

Umgebungen anfangend, sie für sich verschwinden, eben so das, was als

dauernd erscheint, Welten über Welten in Trümmer zusammenstürzen läßt,

und einsam sich als sich selbst gleich erkennt."

Ich in dieser Einsamkeit mit sich ist zwar das erreichte Jenseits, es

ist zu sich selbst gekommen, ist bei sich, diesseits; im reinen

Selbstbewußtseyn ist die absolute Negativität zur Affirmation und

Gegenwart gebracht, welche in jenem Fortgehen über das sinnliche

Quantum nur flieht. Aber indem dieß reine Ich in seiner Abstraktion und

Inhaltslosigkeit sich fixirt, hat es das Daseyn überhaupt, die Fülle

des natürlichen und geistigen Universums, als ein Jenseits sich

gegenüber. Es stellt sich derselbe Widerspruch dar, der dem unendlichen

Progresse zu Grunde liegt; nämlich ein Zurückgekehrtseyn in sich, das

unmittelbar zugleich Außersichseyn, Beziehung auf sein Anderes als auf

sein Nichtseyn, ist; welche Beziehung eine Sehnsucht bleibt, weil Ich

sich seine gehaltlose und unhaltbare Leere einer Seits, und die in der

Negation doch präsent bleibende Fülle als sein Jenseits fixirt hat.

Kant fügt diesen beiden Erhabenheiten die Bemerkung bei, "daß

Bewunderung (für die erstere, äußerliche) und Achtung (für die zweite,

innerliche) Erhabenheit, zwar zur Nachforschung reizen, aber den Mangel

derselben nicht ersetzen können".—Er erklärt damit jene Erhebungen als

unbefriedigend für die Vernunft, welche bei ihnen und den damit

verbundenen Empfindungen nicht stehen bleiben, und das Jenseits und

Leere nicht für das Letzte gelten lassen kann.

Als ein Letztes aber ist der unendliche Progreß vornehmlich in seiner

Anwendung auf die Moralität genommen worden. Der so eben angeführte

zweite Gegensatz des Endlichen und Unendlichen, als der mannigfaltigen

Welt und des in seine Freiheit erhobenen Ichs, ist zunächst qualitativ.

Das Selbstbestimmen des Ich geht zugleich darauf, die Natur zu

bestimmen und sich von ihr zu befreien; so bezieht es sich durch sich

selbst auf sein Anderes, welches als äußerliches Daseyn ein

Vielfältiges und auch Quantitatives ist. Die Beziehung auf ein

Quantitatives wird selbst quantitativ; die negative Beziehung des Ich

darauf, die Macht des Ich über das Nicht-Ich, über die Sinnlichkeit und

äußere Natur, wird daher so vorgestellt, daß die Moralität immer

größer, die Macht der Sinnlichkeit aber immer kleiner werden könne und

solle. Die völlige Angemessenheit aber des Willens zum moralischen

Gesetze wird in den ins Unendliche gehenden Progreß verlegt, das heißt,

als ein absolutes unerreichbares Jenseits vorgestellt, und eben dieß

solle der wahre Anker und der rechte Trost seyn, daß es ein

Unerreichbares ist; denn die Moralität soll als Kampf seyn; dieser aber

ist nur unter der Unangemessenheit des Willens zum Gesetze, dieses

damit schlechthin ein Jenseits für ihn.

In diesem Gegensatze werden Ich und Nicht-Ich oder der reine Wille und

das moralische Gesetz, und die Natur und Sinnlichkeit des Willens als

vollkommen selbstständig und gleichgültig gegeneinander vorausgesetzt.

Der reine Wille hat sein eigenthümliches Gesetz, das in wesentlicher

Beziehung auf die Sinnlichkeit steht; und die Natur und Sinnlichkeit

hat ihrer Seits Gesetze, die weder aus dem Willen genommen und ihm

entsprechend sind, noch auch nur, wenn gleich verschieden davon, an

sich eine wesentliche Beziehung auf ihn hätten, sondern sie sind

überhaupt für sich bestimmt, in sich fertig und geschlossen. Zugleich

sind beide aber Momente eines und desselben einfachen Wesens, des Ich;

der Wille ist als das Negative gegen die Natur bestimmt, so daß er nur

ist, insofern ein solches von ihm verschiedenes ist, das von ihm

aufgehoben werde, von dem er aber hierin berührt und selbst afficirt

ist. Der Natur und ihr als Sinnlichkeit des Menschen ist als einem

selbstständigen System von Gesetzen das Beschränken durch ein anderes

gleichgültig; sie erhält sich in diesem Begrenztwerden, tritt

selbstständig in die Beziehung ein, und begrenzt den Willen des

Gesetzes eben so sehr, als er sie begrenzt.—Es ist Ein Act, daß der

Wille sich bestimmt und das Andersseyn einer Natur aufhebt, und daß

dieß Andersseyn als daseyend gesetzt ist, sich in sein Aufgehobenwerden

kontinuirt, und nicht aufgehoben ist. Der Widerspruch, der hierin

liegt, wird im unendlichen Progresse nicht aufgelöst, sondern im

Gegentheil als unaufgelöst und unauflösbar dargestellt und behauptet;

der Kampf der Moralität und der Sinnlichkeit wird vorgestellt, als das

an und für sich seyende, absolute Verhältniß.

Die Ohnmacht über den qualitativen Gegensatz des Endlichen und

Unendlichen Meister zu werden und die Idee des wahrhaften Willens, die

substantielle Freiheit, zu fassen, nimmt zur Größe ihre Zuflucht, um

sie als die Mittlerin zu gebrauchen, weil sie das aufgehobene

Qualitative, der gleichgültig gewordene Unterschied, ist. Allein indem

beide Glieder des Gegensatzes als qualitativ verschieden zu Grunde

liegen bleiben, so wird vielmehr dadurch, daß sie sich in ihrer

gegenseitigen Beziehung als Quanta verhalten, jedes sogleich als gegen

diese Veränderung gleichgültig gesetzt. Die Natur wird durch Ich, die

Sinnlichkeit durch den Willen des Guten bestimmt, die durch denselben

an ihr hervorgebrachte Veränderung ist nur ein quantitativer

Unterschied, ein solcher, der sie als das bestehen läßt, was sie ist.

In der abstraktern Darstellung der kantischen Philosophie oder

wenigstens ihrer Principien, nämlich in der fichteschen

Wissenschaftslehre, macht der unendliche Progreß auf dieselbe Weise die

Grundlage und das Letzte aus. Auf den ersten Grundsatz dieser

Darstellung, Ich=Ich, folgt ein zweiter davon unabhängiger, die

Entgegensetzung des Nicht-Ich; die Beziehung beider wird sogleich auch

als quantitativer Unterschied angenommen, daß Nicht-Ich zum Theil durch

Ich bestimmt werde, zum Theil auch nicht. Das Nicht-Ich kontinuirt sich

auf diese Weise in sein Nichtseyn so, daß es seinem Nichtseyn

entgegengesetzt bleibt, als ein nicht Aufgehobenes. Nachdem daher die

Widersprüche, die darin liegen, im System entwickelt worden sind, so

ist das schließliche Resultat dasjenige Verhältniß, welches der Anfang

war; das Nicht-Ich bleibt ein unendlicher Anstoß, ein absolut-Anderes;

die letzte Beziehung seiner und des Ich aufeinander ist der unendliche

Progreß, Sehnsucht und Streben,—derselbe Widerspruch, mit welchem

angefangen wurde.

Weil das Quantitative die als aufgehoben gesetzte Bestimmtheit ist, so

glaubte man für die Einheit des Absoluten, für die Eine

Substantialität, Viel oder vielmehr Alles gewonnen zu haben, indem man

den Gegensatz überhaupt zu einem nur quantitativen Unterschiede

herabsetzte. Aller Gegensatz ist nur quantitativ, war einige Zeit ein

Hauptsatz neuerer Philosophie; die entgegengesetzten Bestimmungen haben

dasselbe Wesen, denselben Inhalt, sie sind reale Seiten des

Gegensatzes, insofern jede derselben seine beiden Bestimmungen, beide

Faktoren, in ihr hat, nur daß auf der einen Seite der eine Faktor, auf

der anderen der andere überwiegend, in der einen Seite der eine Faktor,

eine Materie oder Thätigkeit, in größerer Menge oder in stärkerem Grade

vorhanden sey, als in der andern. Insofern verschiedene Stoffe oder

Thätigkeiten vorausgesetzt werden, bestätigt und vollendet der

quantitative Unterschied vielmehr deren Äußerlichkeit und

Gleichgültigkeit gegeneinander und gegen ihre Einheit. Der Unterschied

der absoluten Einheit soll nur quantitativ seyn; das Quantitative ist

zwar die aufgehobene unmittelbare Bestimmtheit, aber die nur

unvollkommene, erst die erste Negation, nicht die unendliche, nicht die

Negation der Negation.—Indem Seyn und Denken als quantitative

Bestimmungen der absoluten Substanz vorgestellt werden, werden auch

sie, als Quanta, wie in untergeordneter Sphäre, der Kohlenstoff,

Stickstoff u.s.f. sich vollkommen äußerlich und beziehungslos. Es ist

ein Drittes, eine äußerliche Reflexion, welche von ihrem Unterschiede

abstrahirt, und ihre innere, nur ansichseyende, nicht ebenso

für-sich-seyende, Einheit erkennt. Diese Einheit, wird dann in der That

nur als erste unmittelbare vorgestellt, oder nur als Seyn, welches in

seinem quantitativen Unterschiede sich gleich bleibt, aber nicht sich

durch sich selbst gleich setzt; es ist somit nicht begriffen, als

Negation der Negation, als unendliche Einheit. Nur im qualitativen

Gegensatze geht die gesetzte Unendlichkeit, das Fürsichseyn, hervor,

und die quantitative Bestimmung selbst geht, wie sich sogleich näher

ergeben wird, in das Qualitative über.

Anmerkung 2.

Es ist oben erinnert worden, daß die kantischen Antinomien

Darstellungen des Gegensatzes des Endlichen und Unendlichen, in einer

konkreteren Gestalt, auf speciellere Substrate der Vorstellung

angewendet, sind. Die daselbst betrachtete Antinomie enthielt den

Gegensatz der qualitativen Endlichkeit und Unendlichkeit. In einer

andern, der ersten der vier kosmologischen Antinomien, ist es mehr die

quantitative Grenze, die in ihrem Widerstreite betrachtet wird. Ich

will die Untersuchung dieser Antinomie daher hier anstellen.

Sie betrifft die Begrenztheit oder Unbegrenztheit der Welt in Zeit und

Raum.—Es konnte eben so gut dieser Gegensatz auch in Rücksicht auf Zeit

und Raum selbst betrachtet werden, denn ob Zeit und Raum Verhältnisse

der Dinge selbst, oder aber nur Formen der Anschauung sind, ändert

nichts für das Antinomische der Begrenztheit oder Unbegrenztheit in

ihnen.

Die nähere Auseinanderlegung dieser Antinomie wird gleichfalls zeigen,

daß die beiden Sätze und eben so ihre Beweise, die wie bei der oben

betrachteten apogogisch geführt sind, auf nichts, als auf die zwei

einfachen, entgegengesetzten Behauptungen hinauslaufen: es ist eine

Grenze, und: es muß über die Grenze hinausgegangen werden.

Die Thesis ist:

"Die Welt hat einen Anfang in der Zeit, und ist dem Raume nach auch in

Grenzen eingeschlossen."

Der eine Theil des Beweises, die Zeit betreffend, nimmt das Gegentheil

an, "die Welt habe der Zeit nach keinen Anfang, so ist bis zu jedem

gegebenen Zeitpunkt eine Ewigkeit abgelaufen, und mithin eine

unendliche Reihe auf einander folgender Zustände der Dinge in der Welt

verflossen. Nun besteht aber eben darin die Unendlichkeit einer Reihe,

daß sie durch successive Synthesis niemals vollendet seyn kann. Also

ist eine unendliche verflossene Weltreihe unmöglich, mithin ein Anfang

der Welt eine nothwendige Bedingung ihres Daseyns; welches zu erweisen

war."

Der andere Theil des Beweises, der den Raum betrifft, wird auf die Zeit

zurückgeführt. Das Zusammenfassen der Theile einer im Raume unendlichen

Welt erforderte eine unendliche Zeit, welche als abgelaufen angesehen

werden müßte, insofern die Welt im Raume nicht als ein Werdendes,

sondern als ein vollendetes Gegebenes anzusehen ist. Von der Zeit aber

wurde im ersten Theile des Beweises gezeigt, daß eine unendliche Zeit

als abgelaufen anzunehmen unmöglich sey.

Man sieht aber sogleich, daß es unnöthig war, den Beweis apagogisch zu

machen, oder überhaupt einen Beweis zu führen, indem in ihm selbst

unmittelbar die Behauptung dessen zu Grunde liegt, was bewiesen werden

sollte. Es wird nämlich irgend ein oder jeder gegebene Zeitpunkt

angenommen, bis zu welchem eine Ewigkeit (—Ewigkeit hat hier nur den

geringen Sinii einer schlecht-unendlichen Zeit) abgelaufen sey. Ein

gegebener Zeitpunkt heißt nun nichts Anders, als eine bestimmte Grenze

in der Zeit. Im Beweise wird also eine Grenze der Zeit als wirklich

vorausgesetzt; sie ist aber eben das, was bewiesen werden sollte. Denn

die Thesis besteht darin, daß die Welt einen Anfang in der Zeit habe.

Nur der Unterschied findet Statt, daß die angenommene Zeitgrenze ein

Jetzt, als Ende der vorher verflossenen, die zu beweisende aber Jetzt

als Anfang einer Zukunft ist. Allein dieser Unterschied ist

unwesentlich. Jetzt wird als der Punkt angenommen, in welchem eine

unendliche Reihe auf einander folgender Zustände der Dinge in der Zeit

verflossen seyn soll, also als Ende, als qualitative Grenze. Würde dieß

Jetzt nur als quantitative Grenze betrachtet, welche fließend und über

die nicht nur hinaus zu gehen sondern die vielmehr nur dieß sey, über

sich hinauszugehen, so wäre die unendliche Zeitreihe in ihr nicht

verflossen, sondern führe fort zu fließen, und das Raisonnement des

Beweises fiele weg. Dagegen ist der Zeitpunkt als qualitative Grenze

für die Vergangenheit angenommen, aber ist so zugleich Anfang für die

Zukunft,—denn an sich ist jeder Zeitpunkt die Beziehung der

Vergangenheit und der Zukunft,—auch ist er absoluter d. h. abstrakter

Anfang für dieselbe, d. i. das, was bewiesen werden sollte. Es thut

nichts zur Sache, daß vor seiner Zukunft und diesem ihrem Anfange schon

eine Vergangenheit ist; indem dieser Zeitpunkt qualitative Grenze

ist,—und als qualitative ihn anzunehmen, liegt in der Bestimmung des

Vollendeten, Abgelaufenen, also sich nicht Kontinuirenden,—so ist die

Zeit in ihm abgebrochen, und jene Vergangenheit, ohne Beziehung auf

diejenige Zeit, welche nur Zukunft in Rücksicht auf diese Vergangenheit

genannt werden konnte, und daher ohne solche Beziehung nur Zeit

überhaupt ist, die einen absoluten Anfang hat. Stünde sie aber,—(wie

sie es denn tut—) durch das Jetzt, den gegebenen Zeitpunkt, in einer

Beziehung auf die Vergangenheit, wäre sie somit als Zukunft bestimmt,

so wäre auch dieser Zeitpunkt von der anderen Seite keine Grenze, die

unendliche Zeitreihe kontinuirte sich in dem, was Zukunft hieß, und

wäre nicht, wie angenommen worden, vollendet.

In Wahrheit ist die Zeit reine Quantität; der im Beweise gebrauchte

Zeitpunkt, in welchem sie unterbrochen seyn sollte, ist vielmehr nur

das sich selbst aufhebende Fürsichseyn des Jetzt. Der Beweis leistet

nichts, als daß er die in der Thesis behauptete absolute Grenze der

Zeit als einen gegebenen Zeitpunkt vorstellig macht und ihn als

vollendeten, d. i. abstrakten Punkt, geradezu annimmt,—eine populare

Bestimmung, welche das sinnliche Vorstellen leicht als eine Grenze

passiren, somit im Beweise dieß als Annahme gelten läßt, was vorher als

das zu Beweisende aufgestellt wurde.

Die Antithesis heißt:

"Die Welt hat keinen Anfang und keine Grenzen im Raume, sondern ist

sowohl in Ansehung der Zeit als des Raumes unendlich."

Der Beweis setzt gleichfalls das Gegentheil:

"Die Welt habe einen Anfang. Da der Anfang ein Daseyn ist, wovor eine

Zeit vorhergeht, darin das Ding nicht ist, so muß eine Zeit

vorhergegangen seyn, darin die Welt nicht war, d. i. eine leere Zeit.

Nun ist aber in einer leeren Zeit kein Entstehen irgend eines Dings

möglich; weil kein Theil einer solchen Zeit vor einem anderen irgend

eine unterscheidende Bedingung des Daseyns vor der des Nichtdaseyns an

sich hat. Also kann zwar in der Welt manche Reihe der Dinge anfangen,

die Welt selbst aber keinen Anfang nehmen, und ist in Ansehung der

vergangenen Zeit unendlich."

Dieser apogogische Beweis enthält, wie die andern, die direkte und

unbewiesene Behauptung dessen, was er beweisen sollte. Er nimmt

neihlich zuerst ein Jenseits des weltlichen Daseyns, eine leere Zeit,

an; aber kontinuirt alsdann auch das weltliche Daseyn ebenso sehr über

sich hinaus in diese leere Zeit hinein, hebt diese dadurch auf, und

setzt somit das Daseyn ins Unendliche fort. Die Welt ist ein Daseyn;

der Beweis setzt voraus, daß dieß Daseyn entstehe, und das Entstehen

eine in der Zeit vorhergehende Bedingung habe. Darin aber eben besteht

die Antithesis selbst, daß es kein unbedingtes Daseyn, keine absolute

Grenze gebe, sondern das weltliche Daseyn immer eine vorhergehende

Bedingung fordere. Das zu Erweisende findet sich somit als Annahme in

dem Beweise.—Die Bedingung wird dann ferner in der leeren Zeit gesucht,

was so viel heißt, als daß sie als zeitlich und somit als Daseyn, und

Beschränktes angenommen wird. Überhaupt also ist die Annahme gemacht,

daß die Welt als Daseyn ein anderes bedingtes Daseyn in der Zeit

voraussetze und hiermit sofort ins Unendliche.

Der Beweis in Ansehung der Unendlichkeit der Welt im Raume ist

dasselbe. Apogogischer Weise wird die räumliche Endlichkeit der Welt

gesetzt; "diese befände sich somit in einem leeren unbegrenzten Raume,

und hätte ein Verhältniß zu ihm; ein solches Verhältniß der Welt zu

keinem Gegenstande aber ist Nichts."

Was bewiesen werden sollte, ist hier ebenso im Beweise direkt

vorausgesetzt. Es wird direkt angenommen, daß die begrenzte räumliche

Welt sich in einem leeren Raume befinden und ein Verhältniß zu ihm

haben sollte, das heißt, daß über sie hinausgegangen werden

müsse,—einer Seits in das Leere, in das Jenseits und Nichtseyn

derselben, anderer Seits aber daß sie damit im Verhältniß stehe, d. i.

sich darein hinein kontinuire, das Jenseits hiermit mit weltlichem

Daseyn erfüllt vorzustellen sey. Die Unendlichkeit der Welt im Raume,

die in der Antithesis behauptet wird, ist nichts anderes, als einer

Seits der leere Raum, anderer Seits das Verhältniß der Welt zu ihm, das

heißt Kontinuität derselben in ihm, oder die Erfüllung desselben;

welcher Widerspruch, der Raum zugleich als leer und zugleich als

erfüllt, der unendliche Progreß des Daseyns im Raume ist. Dieser

Widerspruch selbst, das Verhältniß der Welt zum leeren Raume, ist im

Beweise direkt zur Grundlage gemacht.

Die Thesis und Antithesis und die Beweise derselben stellen daher

nichts dar, als die entgegengesetzten Behauptungen, daß eine Grenze

ist, und daß die Grenze eben so sehr nur eine aufgehobene ist; daß die

Grenze ein Jenseits hat, mit dem sie aber in Beziehung steht, wohin

über sie hinauszugehen ist, worin aber wieder eine solche Grenze

entsteht, die keine ist.

Die Auflösung dieser Antinomien ist, wie die der obigen,

transcendental, das heißt, sie besteht in der Behauptung der Idealität

des Raums und der Zeit, als Formen der Anschauung, in dem Sinne, daß

die Welt an ihr selbst nicht im Widerspruch mit sich, nicht ein sich

Aufhebendes, sondern nur das Bewußtseyn in seinem Anschauen und in der

Beziehung der Anschauung auf Verstand und Vernunft, ein sich selbst

widersprechendes Wesen sey. Es ist dieß eine zu große Zärtlichkeit für

die Welt, von ihr den Widerspruch zu entfernen, ihn dagegen in den

Geist, in die Vernunft, zu verlegen und darin unaufgelöst bestehen zu

lassen. In der That ist es der Geist, der so stark ist, den Widerspruch

ertragen zu können, aber er ist es auch, der ihn aufzulösen weiß. Die

sogenannte Welt aber (sie heiße objektive, reale Welt, oder nach dem

transcendentalen Idealismus subjektives Anschauen, und durch die

Verstandes-Kategorie bestimmte Sinnlichkeit), entbehrt darum des

Widerspruchs nicht und nirgends, vermag ihn aber nicht zu ertragen und

ist darum dem Entstehen und Vergehen preisgegeben.

c. Die Unendlichkeit des Quantums.

Das unendliche Quantum, als Unendlichgroßes oder Unendlichkleines, ist

selbst an sich der unendliche Progreß; es ist Quantum als ein Großes

oder Kleines, und ist zugleich Nichtseyn des Quantums. Das

Unendlichgroße und Unendlichkleine sind daher Bilder der Vorstellung,

die bei näherer Betrachtung sich als nichtiger Nebel und Schatten

zeigen. Im unendlichen Progreß aber ist dieser Widerspruch explicite

vorhanden, und damit das, was die Natur des Quantums ist, das als

intensive Größe seine Realität erreicht hat, und in seinem Daseyn nun

gesetzt, wie es in seinem Begriffe ist. Diese Identität ist es, die zu

betrachten ist.

Das Quantum als Grad ist einfach, auf sich bezogen und als an ihm

selbst bestimmt. Indem durch diese Einfachheit das Andersseyn und die

Bestimmtheit an ihm aufgehoben ist, ist diese ihm äußerlich; es hat

seine Bestimmtheit außer ihm. Dieß sein Außersichseyn ist zunächst das

abstrakte Nichtseyn des Quantums überhaupt, die schlechte

Unendlichkeit. Aber ferner ist dieß Nichtseyn auch ein Großes, das

Quantum kontinuirt sich in sein Nichtseyn, denn es hat eben seine

Bestimmtheit in seiner Äußerlichkeit; diese seine Äußerlichkeit ist

daher eben so sehr selbst Quantum; jenes sein Nichtseyn, die

Unendlichkeit, wird so begrenzt, d. h. dieß Jenseits wird aufgehoben,

dieses ist selbst als Quantum bestimmt, das hiermit in seiner Negation

bei sich selbst ist.

Dieß ist aber das, was das Quantum als solches an sich ist. Denn es ist

eben es selbst durch sein Äußerlichseyn; die Äußerlichkeit macht das

aus, wodurch es Quantum, bei sich selbst, ist. Es ist also im

unendlichen Progresse der Begriff des Quantums gesetzt.

Nehmen wir ihn zunächst in seinen abstrakten Bestimmungen wie sie

vorliegen, so ist in ihm das Aufheben des Quantums, aber eben so sehr

seines Jenseits, also die Negation des Quantums sowohl, als die

Negation dieser Negation vorhanden. Seine Wahrheit ist ihre Einheit,

worin sie, aber als Momente, sind.—Sie ist die Auflösung des

Widerspruchs, dessen Ausdruck er ist, und ihr nächster Sinn somit die

Wiederherstellung des Begriffs der Größe, daß sie gleichgültige oder

äußerliche Grenze ist. Im unendlichen Progresse als solchem pflegt nur

darauf reflektirt zu werden, daß jedes Quantum, es sey noch so groß

oder klein, verschwinden, daß über dasselbe muß hinausgegangen werden

können; aber nicht darauf, daß dieß sein Aufheben, das Jenseits, das

schlecht-Unendliche selbst auch verschwindet.

Schon das erste Aufheben, die Negation der Qualität überhaupt, wodurch

das Quantum gesetzt wird, ist an sich das Aufheben der Negation,—das

Quantum ist aufgehobene qualitative Grenze, somit aufgehobene

Negation,—aber es ist zugleich nur an sich dieß; gesetzt ist es als ein

Daseyn, und dann ist seine Negation als das Unendliche fixirt, als das

Jenseits des Quantums, welches als ein Diesseits steht, als ein

Unmittelbares; so ist das Unendliche nur als erste Negation bestimmt,

und so erscheint es im unendlichen Progresse. Es ist gezeigt worden,

daß aber in diesem mehr vorhanden ist, die Negation der Negation, oder

das, was das Unendliche in Wahrheit ist. Es ist dieß vorhin so

angesehen worden, daß der Begriff des Quantums damit wieder hergestellt

ist; diese Wiederherstellung heißt zunächst, daß sein Daseyn seine

nähere Bestimmung erhalten hat; es ist nämlich das nach seinem Begriff

bestimmte Quantum entstanden, was verschieden ist, von dem

unmittelbaren Quantum, die Äußerlichkeit ist nun das Gegentheil ihrer

selbst, als Moment der Größe selbst gesetzt,—das Quantum so, daß es

vermittelst seines Nichtseyns, der Unendlichkeit, in einem anderen

Quantum seine Bestimmtheit habe, d. i. qualitativ das ist, was es ist.

Jedoch gehört diese Vergleichung des Begriffs des Quantums mit seinem

Daseyn mehr unserer Reflexion, einem Verhältniß, das hier noch nicht

vorhanden ist, an. Die zunächst liegende Bestimmung ist, daß das

Quantum zur Qualität zurückgekehrt, nunmehr qualitativ bestimmt ist.

Denn seine Eigenthümlichkeit, Qualität, ist die Äußerlichkeit,

Gleichgültigkeit der Bestimmtheit; und es ist nun gesetzt, als in

seiner Äußerlichkeit vielmehr es selbst zu seyn, darin sich auf sich

selbst zu beziehen, in einfacher Einheit mit sich, d. i. qualitativ

bestimmt zu seyn.—dieß Qualitative ist noch näher bestimmt, nämlich als

Fürsichseyn; denn die Beziehung auf sich selbst, zu der es gekommen,

ist aus der Vermittelung, der Negation der Negation, hervorgegangen.

Das Quantum hat die Unendlichkeit, das Fürsichbestimmtseyn nicht mehr

außer ihm, sondern an ihm selbst.

Das Unendliche, welches im unendlichen Progresse nur die leere

Bedeutung eines Nichtsseyns, eines unerreichten, aber gesuchten

Jenseits hat, ist in der That nicht anderes als die Qualität. Das

Quantum geht als gleichgültige Grenze über sich hinaus ins Unendliche;

es sucht damit nichts Anderes, als das Fürsichbestimmtseyn, das

qualitative Moment, das aber so nur ein Sollen ist. Seine

Gleichgültigkeit gegen die Grenze, damit sein Mangel an fürsichseyender

Bestimmtheit und sein Hinausgehen über sich ist, was das Quantum zum

Quantum macht; jenes sein Hinausgehen soll negirt werden und im

Unendlichen sich seine absolute Bestimmtheit finden.

Ganz überhaupt: das Quantum ist die aufgehobene Qualität; aber das

Quantum ist unendlich, geht über sich hinaus, es ist die Negation

seiner; dieß sein Hinausgehen ist also an sich die Negation der

negirten Qualität, die Wiederherstellung derselben; und gesetzt ist

dieß, daß die Äußerlichkeit, welche als Jenseits erschien, als das

eigene Moment des Quantums bestimmt ist.

Das Quantum ist hiermit gesetzt als von sich repellirt, womit also zwei

Quanta sind, diejedoch aufgehoben, nur als Momente einer Einheit sind,

und diese Einheit ist die Bestimmtheit des Quantums.—Dieses so in

seiner Äußerlichkeit als gleichgültige Grenze auf sich bezogen, hiermit

qualitativ gesetzt, ist das quantitative Verhältniß.—Im Verhältnisse

ist das Quantum sich äußerlich, von sich selbst verschieden; diese

seine Äußerlichkeit ist die Beziehung eines Quantums auf ein anderes

Quantum, deren jedes nur gilt in dieser seiner Beziehung auf sein

Anderes; und diese Beziehunng macht die Bestimmtheit des Quantums aus,

das als solche Einheit ist.

Es hat darin nicht eine gleichgültige, sondern qualitative Bestimmung;

ist in dieser seiner Äußerlichkeit in sich zurückgekehrt, ist in

derselben, das was es ist.

Anmerkung 1. Die Begriffsbestimmtheit des mathematischen Unendlichen.

Das mathematische Unendliche ist eines Theils interessant durch die

Erweiterung der Mathematik und die großen Resultate, welche seine

Einführung in dieselbe hervorgebracht hat; andern Theils aber ist es

dadurch merkwürdig, daß es dieser Wissenschaft noch nicht gelungen ist,

sich über den Gebrauch desselben durch den Begriff (Begriff im

eigentlichen Sinne genommen) zu rechtfertigen. Die Rechtfertigungen

beruhen am Ende auf der Richtigkeit der mit Hülfe jener Bestimmung sich

ergebenden Resultate, welche aus sonstigen Gründen erwiesen ist; nicht

aber auf der Klarheit des Gegenstandes und der Operation, durch welche

die Resultate herausgebracht werden, sogar daß die Operation vielmehr

selbst als unrichtig zugegeben wird.

Dieß ist schon ein Mißstand an und für sich; ein solches Verfahren ist

unwissenschaftlich. Es führt aber auch den Nachtheil mit sich, daß die

Mathematik, indem sie die Natur dieses ihres Instruments nicht kennt,

weil sie mit der Metaphysik und Kritik desselben nicht fertig ist, den

Umfang seiner Anwendung nicht bestimmen, und von Misbräuchen desselben

sich nicht sichern konnte.

In philosophischer Rücksicht aber ist das mathematische Unendliche

darum wichtig, weil ihm in der That der Begriff des wahrhaften

Unendlichen zu Grunde liegt und es viel höher steht, als das gewöhnlich

sogenannte metaphysische Unendliche, von dem aus die Einwürfe gegen

ersteres gemacht werden. Gegen diese Einwürfe weiß sich die

Wissenschaft der Mathematik häufig nur dadurch zu retten, daß sie die

Kompetenz der Metaphysik verwirft, indem sie behauptet, mit dieser

Wissenschaft nichts zu schaffen und sich um deren Begriffe nicht zu

bekümmern zu haben, wenn sie nur auf ihrem eigenen Boden konsequent

verfahre. Sie habe nicht zu betrachten, was an sich, sondern was auf

ihrem Felde das Wahre sey. Die Metaphysik weiß die glänzenden Resultate

des Gebrauchs des mathematischen Unendlichen bei ihrem Widerspruche

gegen dasselbe nicht zu läugnen oder umzustoßen, und die Mathematik

weiß mit der Metaphysik ihres eigenen Begriffs und daher auch mit der

Ableitung der Verfahrensweisen, die der Gebrauch des Unendlichen nöthig

macht, nicht ins Reine zu kommen.

Wenn es die einzige Schwierigkeit des Begriffs überhaupt wäre, von der

die Mathematik gedrückt würde, so könnte sie diesen ohne Umstände auf

der Seite liegen lassen, insofern nämlich der Begriff mehr ist, als nur

die Angabe der wesentlichen Bestimmtheiten, d. i. der

Verstandesbestimmungen einer Sache, und an der Schärfe dieser

Bestimmtheiten hat sie es nicht fehlen lassen; denn sie ist nicht eine

Wissenschaft, die es mit den Begriffen ihrer Gegenstände zu thun, und

durch die Entwickelung des Begriffs, wenn auch nur durch Raisonnement,

ihren Inhalt zu erzeugen hätte. Allein bei der Methode ihres

Unendlichen findet sie den Hauptwiderspruch an der eigenthümlichen

Methode selbst, auf welcher sie überhaupt als Wissenschaft beruht. Denn

die Rechnung des Unendlichen erlaubt und erfordert Verfahrungsweisen,

welche die Mathematik bei Operationen mit endlichen Größen durchaus

verwerfen muß, und zugleich behandelt sie ihre unendlichen Größen, wie

endliche Quanta, und will auf jene dieselben Verfahrungsweisen

anwenden, welche bei diesen gelten; es ist eine Hauptseite der

Ausbildung dieser Wissenschaft, für die transcendenten Bestimmungen und

deren Behandlung, die Form des gewöhnlichen Kalkuls gewonnen zu haben.

Die Mathematik zeigt bei diesem Widerstreite ihrer Operationen, daß

Resultate, die sie dadurch findet, ganz mit denen übereinstimmen,

welche durch die eigentlich mathematische, die geometrische und

analytische, Methode gefunden werden. Aber Theils betrifft dieß nicht

alle Resultate, und der Zweck der Einführung des Unendlichen ist nicht

allein, den gewöhnlichen Weg abzukürzen, sondern zu Resultaten zu

gelangen, die durch diesen nicht geleistet werden können. Theils

rechtfertigt der Erfolg die Manier des Wegs nicht für sich. Diese

Manier aber der Rechnung des Unendlichen zeigt sich durch den Schein

der Ungenauigkeit gedrückt, den sie sich giebt, indem sie endliche

Größen um eine unendlich kleine Größe das eine Mal vermehrt, diese in

der fernern Operation zum Theil beibehält, aber einen Theil derselben

auch vernachlässigt. Dieß Verfahren enthält die Sonderbarkeit, daß der

eingestandenen Ungenauigkeit unerachtet, ein Resultat herauskommt, das

nicht nur ziemlich und so nahe, daß der Unterschied außer Acht gelassen

werden könnte, sondern vollkommen genau ist. In der Operation selbst

aber, die dem Resultate vorher geht, kann die Vorstellung nicht

entbehrt werden, daß Einiges nicht gleich Null, aber so unbeträchtlich

sey, um außer Acht gelassen werden zu können. Allein bei dem, was unter

mathematischer Bestimmtheit zu verstehen ist, fällt aller Unterschied

einer größern oder geringern Genauigkeit gänzlich hinweg, wie in der

Philosophie nicht von größerer oder geringerer Wahrscheinlichkeit,

sondern von der Wahrheit allein die Rede seyn kann. Wenn die Methode

und der Gebrauch des Unendlichen durch den Erfolg gerechtfertigt wird,

so ist es nicht so überflüssig dessen ungeachtet die Rechtfertigung

derselben zu fordern, als es bei der Nase überflüssig scheint, nach dem

Erweise des Rechts, sich ihrer zu bedienen, zu fragen. Denn es ist bei

der mathematischen als einer wissenschaftlichen Erkenntniß wesentlich

um den Beweis zu thun, und auch in Ansehung der Resultate ist es der

Fall, daß die streng mathematische Methode nicht zu allen den Beleg des

Erfolgs liefert, der aber ohnehin nur ein äußerlicher Beleg ist.

Es ist der Mühe werth, den mathematischen Begriff des Unendlichen und

die merkwürdigsten Versuche näher zu betrachten, welche die Absicht

haben, den Gebrauch desselben zu rechtfertigen und die Schwierigkeit,

von der sich die Methode gedrückt fühlt, zu beseitigen. Die Betrachtung

dieser Rechtfertigungen und Bestimmungen des mathematischen

Unendlichen, welche ich in dieser Anmerkung weitläufiger anstellen

will, wird zugleich das beste Licht auf die Natur des wahren Begriffes

selbst werfen, und zeigen, wie er ihnen vorgeschwebt und zu Grunde

gelegen hat.

Die gewöhnliche Bestimmung des mathematischen Unendlichen ist, daß es

eine Größe sey, über welche es,—wenn sie als das Unendlichgroße—keine

größere oder,—wenn sie als das Unendlichkleine bestimmt ist—kleinere

mehr gebe, oder die, in jenem Falle, größer, in diesem Falle kleiner

sey, als jede beliebige Größe.—In dieser Definition ist freilich der

wahre Begriff nicht ausgedrückt, vielmehr nur, wie schon bemerkt,

derselbe Widerspruch, der im unendlichen Progresse ist; aber sehen wir,

was an sich darin enthalten ist. Eine Größe wird in der Mathematik

definirt, daß sie etwas sey, das vermehrt und vermindert werden könne;

überhaupt also eine gleichgültige Grenze. Indem nun das Unendlich Große

oder Kleine ein solches ist, das nicht mehr vermehrt oder vermindert

werden könne, so ist es in der That kein Quantum als solches mehr.

Diese Konsequenz ist nothwendig und unmittelbar. Aber die Reflexion,

daß das Quantum,—und ich nenne in dieser Anmerkung Quantum überhaupt,

wie es ist, das endliche Quantum,—aufgehoben ist, ist es, welche nicht

gemacht zu werden pflegt und die für das gewöhnliche Begreifen die

Schwierigkeit ausmacht, indem das Quantum, indem es unendlich ist, als

ein Aufgehobenes, als ein solches zu denken gefordert wird, das nicht

ein Quantum ist, und dessen quantitative Bestimmtheit doch bleibt.

Um das anzuführen, wie Kant jene Bestimmung beurtheilt,[9] so findet er

sie nicht übereinstimmend mit dem, was man unter einem unendlichen

Ganzen verstehe. "Nach dem gewöhnlichen Begriffe sey eine Größe

unendlich, über die keine größere (d. i. über die darin enthaltene

Menge einer gegebenen Einheit) möglich ist; es sey aber keine Menge die

größte, weil noch immer eine oder mehrere Einheiten hinzugefügt werden

können.—Durch ein unendliches Ganzes dagegen werde nicht vorgestellt,

wie groß es sey, mithin sey sein Begriff nicht der Begriff eines

Maximums (oder Minimums), sondern es werde dadurch nur sein Verhältniß

zu einer beliebig anzunehmenden Einheit gedacht, in Ansehung deren

dasselbe größer ist, als alle Zahl. Je nachdem diese Einheit größer

oder kleiner angenommen würde, würde das Unendliche größer oder kleiner

seyn; allein die Unendlichkeit, da sie bloß in dem Verhältnisse zu

dieser gegebenen Einheit bestehe, würde immer dieselbe bleiben,

obgleich Freilich die absolute Größe des Ganzen dadurch gar nicht

erkannt würde."

[9] In der Anmerkung zur Thesis der ersten kosmologischen Antinomie,

in der Kritik der reinen Vernunft.

Kant tadelt es, wenn unendliche Ganze als ein Maximum, als eine

vollendete Menge einer gegebenen Einheit angesehen werden. Das Maximum

oder Minimum als solches erscheint noch immer als ein Quantum, eine

Menge. Solche Vorstellung kann die von Kant angeführte Konsequenz nicht

ablehnen, die auf ein größeres oder kleineres Unendliches führt.

Überhaupt indem das Unendliche als Quantum vorgestellt wird, gilt noch

für dasselbe der Unterschied eines Größern oder Kleinern. Allein diese

Kritik trifft nicht den Begriff des wahrhaften mathematischen

Unendlichen, der unendlichen Differenz, denn diese ist kein endliches

Quantum mehr.

Kants Begriff der Unendlichkeit dagegen, den er den wahren

transcendentalen nennt, ist, "daß die successive Synthesis der Einheit

in Durchmessung eines Quantums niemals vollendet seyn könne." Es ist

ein Quantum überhaupt als gegeben vorausgesetzt; dieß solle durch das

Synthesiren der Einheit zu einer Anzahl, einem bestimmt anzugebenden

Quantum gemacht werden, aber dieß Synthesiren niemals vollendet werden

können. Hiermit ist wie erhellt, nichts als der Progreß ins Unendliche

ausgesprochen, nur transcendental, d. i. eigentlich subjektiv und

psychologisch vorgestellt. An sich soll zwar das Quantum vollendet

seyn, aber transcendentaler Weise, nämlich im Subjekte, welches ihm ein

Verhältniß zu einer Einheit giebt, entstehe nur eine solche Bestimmung

des Quantums, die unvollendet und schlechthin mit einem Jenseits

behaftet sey. Es wird also hier überhaupt beim Widerspruche, den die

Größe enthält, stehen geblieben, aber vertheilt an das Objekt und das

Subjekt, so daß jenem die Begrenztheit, diesem aber das Hinausgehen

über jede von ihm aufgefaßte Bestimmtheit, in das schlechte Unendliche

zukommt.

Es ist dagegen vorhin gesagt worden, daß die Bestimmung des

mathematischen Unendlichen und zwar wie es in der höhern Analysis

gebraucht wird, dem Begriffe des wahrhaften Unendlichen entspricht; die

Zusammenstellung beider Bestimmungen soll nun in ausführlicher

Entwickelung vorgenommen werden.—Was zuerst das wahrhafte unendliche

Quantum betrifft, so bestimmte es sich als an ihm selbst unendlich; es

ist dieß, indem, wie sich ergeben hat, das endliche Quantum oder das

Quantum überhaupt, und sein Jenseits, das schlechte Unendliche, auf

gleiche Weise aufgehoben sind. Das aufgehobene Quantum ist damit in die

Einfachheit und in die Beziehung auf sich selbst zurückgegangen, aber

nicht nur wie das extensive, indem es in intensives Quantum überging,

das seine Bestimmtheit nur an sich an einer äußern Vielfachheit hat,

gegen die es jedoch gleichgültig und wovon es verschieden seyn soll.

Das unendliche Quantum enthält vielmehr erstens die Äußerlichkeit und

zweitens die Negation derselben an ihm selbst; so ist es nicht mehr

irgend ein endliches Quantum, nicht eine Größebestimmtheit, die ein

Daseyn als Quantum hätte, sondern es ist einfach, und daher nur als

Moment; es ist eine Größebestimmtheit in qualitativer Form; seine

Unendlichkeit ist, als eine qualitative Bestimmtheit zu seyn.—So als

Moment ist es in wesentlicher Einheit mit seinem Andern, nur als

bestimmt durch dieses sein Anderes, d. i. es hat nur Bedeutung in

Beziehung auf ein im Verhältniß mit ihm Stehendes. Außer diesem

Verhältnisse ist es Null; —da gerade das Quantum als solches gegen das

Verhältniß gleichgültig, in ihm doch eine unmittelbare ruhende

Bestimmung seyn soll. In dem Verhältnisse als nur Moment ist es nicht

ein für sich Gleichgültiges; es ist, in der Unendlichkeit als

Fürsichseyn, indem es zugleich eine quantitative Bestimmtheit ist, nur

als ein Für-Eines.

Der Begriff des Unendlichen, wie er sich hier abstrakt exponirt hat,

wird sich zeigen, dem mathematischen Unendlichen zu Grunde liegen, und

er selbst wird deutlicher werden, indem wir die verschiedenen Stufen

des Ausdrucks des Quantums als eines Verhältniß-Moments betrachten, von

der untersten an, wo es noch zugleich Quantum als solches ist, bis zu

der höhern, wo es die Bedeutung und den Ausdruck eigentlicher

unendlicher Größe erhält.

Nehmen wir also zuerst das Quantum in dem Verhältnisse, wie es eine

gebrochene Zahl ist. Solcher Bruch 2/7 z.B. ist nicht ein Quantum wie

1, 2, 3 u.s.f., zwar eine gewöhnliche endliche Zahl, jedoch nicht eine

unmittelbare, wie die ganzen Zahlen, sondern als Bruch mittelbar

bestimmt durch zwei andere Zahlen, die Anzahl und Einheit gegeneinander

sind, wobei auch die Einheit eine bestimmte Anzahl ist. Aber von dieser

nähern Bestimmung derselben gegeneinander abstrahirt, und sie bloß nach

dem, was ihnen in der qualitativen Beziehung, in der sie hier sind, als

Quantis widerfährt, betrachtet, so sind 2 und 7 sonst gleichgültige

Quanta; indem sie aber hier nur als Momente, eines des andern, und

damit eines Dritten (des Quantums, das der Exponent heißt) auftreten,

so gelten sie sogleich nicht als 2 und 7, sondern nur nach ihrer

Bestimmtheit gegeneinander. Statt ihrer kann darum eben so gut 4 und

14, oder 6 und 21 u.s.f. ins Unendliche gesetzt werden. Hiermit fangen

sie also an, einen qualitativen Charakter zu haben. Gälten sie als

bloße Quanta, so ist 2 und 7, schlechthin das eine nur 2, das andere

nur 7; 4, 14, 6, 21 u.s.f. sind schlechthin etwas Anderes als jene

Zahlen, und können insofern sie nur unmittelbare Quanta wären, die

einen nicht an die Stelle der anderen gesetzt werden. Insofern aber und

nicht nach der Bestimmtheit, solche Quanta zu seyn, gelten, so ist ihre

gleichgültige Grenze aufgehoben; sie haben somit, nach dieser Seite,

das Moment der Unendlichkeit an ihnen, indem sie nicht bloß eben nicht

mehr sie sind, sondern ihre quantitative Bestimmtheit, aber als eine an

sich seyende qualitative,—nämlich nach dem, was sie im Verhältnisse

gelten,—bleibt. Es können unendlich viele andere an ihre Stelle gesetzt

werden, so daß der Werth des Bruches durch, die Bestimmtheit, welche

das Verhältniß hat, sich nicht ändert.

Die Darstellung, welche die Unendlichkeit an einem Zahlenbruche hat,

ist aber darum noch unvollkommen, weil die beiden Seiten des Bruchs, 2

und 7, aus dem Verhältnisse genommen werden können, und gewöhnliche

gleichgültige Quanta sind; die Beziehung derselben, im Verhältnisse und

Momente zu seyn, ist ihnen etwas Äußerliches und Gleichgültiges. Ebenso

ist ihre Beziehung selbst ein gewöhnliches Quantum, der Exponent des

Verhältnisses.

Die Buchstaben, mit denen in der allgemeinen Arithmetik operirt wird,

die nächste Allgemeinheit, in welche die Zahlen erhoben werden, haben

die Eigenschaft nicht, daß sie von einem bestimmten Zahlenwerth sind;

sie sind nur allgemeine Zeichen und unbestimmte Möglichkeiten jedes

bestimmten Werthes. Der Bruch a/b scheint daher ein passenderer

Ausdruck des Unendlichen zu seyn, weil a und b aus ihrer Beziehung

aufeinander genommen, unbestimmt bleiben, und auch getrennt keinen

besonderen eigenthümlichen Werth haben.—Allein diese Buchstaben sind

zwar als unbestimmte Größen gesetzt; ihr Sinn aber ist, daß sie irgend

ein endliches Quantum seyen. Da sie also zwar die allgemeine

Vorstellung, aber nur von der bestimmten Zahl sind, so ist es ihnen

ebenfalls gleichgültig, im Verhältnisse zu seyn, und außer demselben

behalten sie diesen Werth.

Betrachten wir noch näher, was im Verhältnisse vorhanden ist, so hat es

die beiden Bestimmungen an ihm, erstlich ein Quantum zu seyn, dieses

aber ist zweitens nicht als ein unmittelbares, sondern das den

qualitativen Gegensatz an ihm hat; es bleibt in demselben zugleich

jenes bestimmte, gleichgültige Quantum dadurch, daß es aus seinem

Andersseyn, dem Gegensatze, in sich zurückgekehrt, somit auch ein

Unendliches ist. Diese beiden Bestimmungen stellen sich in der

folgenden bekannten Form, in ihrem Unterschiede von einander entwickelt

dar.

Der Bruch 2/7 kann ausgedrückt werden als 0,285714…als 1 + a + a[hoch2]

+ a[hoch3] u.s.f. So ist er als eine unendliche Reihe; der Bruch selbst

heißt die Summe oder der endliche Ausdruck derselben. Vergleichen wir

die beiden Ausdrücke, so stellt der eine, die unendliche Reihe, ihn

nicht mehr als Verhältniß, sondern nach der Seite dar, daß er ein

Quantum ist als eine Menge von solchen, die zu einander hinzukommen,

als eine Anzahl.—Daß die Größen, die ihn als Anzahl ausmachen sollen,

wieder aus Decimalbrüchen, also selbst aus Verhältnissen bestehen,

darauf kommt es hier nicht an; denn dieser Umstand betrifft die

besondere Art der Einheit dieser Größen, nicht sie, insofern sie die

Anzahl constituiren; wie auch eine aus mehreren Ziffern bestehende

ganze Zahl des Decimalsystems wesentlich als eine Anzahl gilt, und

nicht darauf gesehen wird, daß sie aus Produkten einer Zahl und der

Zahl Zehen und deren Potenzen besteht. So wie es hier auch nicht darauf

ankommt, daß es andere Brüche giebt als der z. B. genommene 2/7, die zu

Dezimalbrüchen gemacht, nicht eine unendliche Reihe geben; jeder aber

kann für ein Zahlensystem von anderer Einheit als eine solche

ausgedrückt werden.

Indem nun in der unendlichen Reihe, die den Bruch als Anzahl darstellen

soll, die Seite, daß er Verhältniß ist, verschwindet, so verschwindet

auch die Seite, nach welcher er, wie vorhin gezeigt, die Unendlichkeit

an ihm hatte. Diese aber ist auf eine andere Weise hereingekommen; die

Reihe ist nämlich selbst unendlich.

Von welcher Art nun die Unendlichkeit der Reihe sey, erhellt von

selbst; es ist die schlechte Unendlichkeit des Progresses. Die Reihe

enthält und stellt den Widerspruch dar, etwas, das ein Verhältniß ist

und qualitative Natur in ihm hat, als ein Verhältnißloses, als ein

bloßes Quantum, als Anzahl, darzustellen. Die Folge davon ist, daß an

der Anzahl, die in der Reihe ausgedrückt ist, immer etwas fehlt, so daß

über das, was gesetzt ist, immer hinausgegangen werden muß, um die

geforderte Bestimmtheit zu erreichen. Das Gesetz des Fortgangs ist

bekannt, es liegt in der Bestimmung des Quantums, die im Bruche

enthalten ist, und in der Natur der Form, in der sie ausgedrückt werden

soll. Die Anzahl kann wohl durch Fortsetzung der Reihe so genau gemacht

werden, als man nöthig hat; aber immer bleibt die Darstellung durch sie

nur ein Sollen; sie ist mit einem Jenseits behaftet, das nicht

aufgehoben werden kann, weil ein auf qualitativer Bestimmtheit

beruhendes als Anzahl auszudrücken der bleibende Widerspruch ist.

In dieser unendlichen Reihe ist jene Ungenauigkeit wirklich vorhanden,

von der am wahrhaften mathematischen Unendlichen nur der Schein

vorkommt. Diese beiden Arten des mathematischen Unendlichen sind so

wenig zu verwechseln, als die beiden Arten des philosophischen

Unendlichen. Bei der Darstellung des wahrhaften mathematischen

Unendlichen ist anfangs die Form der Reihe gebraucht oder auch

neuerlich wieder hervorgerufen worden. Aber sie ist für dasselbe nicht

nothwendig; im Gegentheil ist das Unendliche der unendlichen Reihe

wesentlich von jenem unterschieden, wie die Folge zeigen soll. Diese

vielmehr steht sogar dem Ausdrucke des Bruches nach.

Die unendliche Reihe enthält nämlich die schlechte Unendlichkeit, weil

das, was die Reihe ausdrücken soll, ein Sollen bleibt; und was sie

ausdrückt, mit einem Jenseits, das nicht verschwindet, behaftet und

verschieden von dem ist, was ausgedrückt werden soll. Sie ist unendlich

nicht um der Glieder willen, die gesetzt sind, sondern darum, weil sie

unvollständig sind, weil das Andere, das zu ihnen wesentlich gehört,

jenseits ihrer ist; was in ihr da ist, der gesetzten Glieder mögen so

viele seyn als wollen, ist nur ein Endliches, im eigentlichen Sinne,

gesetzt als Endliches, d. i. als solches, das nicht ist, was es seyn

soll. Dagegen ist aber das, was der endliche Ausdruck, oder die Summe

solcher Reihe genannt wird, ohne Mangel; er enthält den Werth, den die

Reihe nur sucht, vollständig; das Jenseits ist aus der Flucht

zurückgerufen; was er ist, und was er seyn soll, ist nicht getrennt,

sondern ist dasselbe.

Das beide Unterscheidende liegt näher sogleich darin, daß in der

unendlichen Reihe das Negative außerhalb ihrer Glieder ist, welche

Gegenwart haben, indem sie nur als Theile der Anzahl gelten. In dem

endlichen Ausdrucke dagegen, der ein Verhältniß ist, ist das Negative

immanent, als das Bestimmtseyn der Seiten des Verhältnisses

durcheinander, welches ein in sich Zurückgekehrtseyn, sich auf sich

beziehende Einheit, als Negation der Negation (beide Seiten des

Verhältnisses sind nur als Momente), ist, hiermit die Bestimmung der

Unendlichkeit in sich hat.—Zu der That ist also die gewöhnlich

sogenannte Summe, das 2/7 oder 1/1-a', ein Verhältniß; und dieser

sogenannte endliche Ausdruck ist der wahrhaft unendliche Ausdruck. Die

unendliche Reihe dagegen ist in Wahrheit Summe; ihr Zweck ist, das was

an sich Verhältniß ist, in der Form einer Summe darzustellen, und die

vorhandenen Glieder der Reihe sind nicht als Glieder eines

Verhältnisses, sondern eines Aggregats. Sie ist ferner vielmehr der

endliche Ausdruck; denn sie ist das unvollkommene Aggregat, und bleibt

wesentlich ein Mangelhaftes. Sie ist nach dem, was in ihr da ist, ein

bestimmtes Quantum, zugleich aber ein geringeres, als sie seyn soll;

alsdann auch das, was ihr fehlt, ist ein bestimmtes Quantum; dieser

fehlende Theil ist in der That das, was das Unendliche an der Reihe

heißt, nach der nur formellen Seite, daß er ein Fehlendes, ein

Nichtseyn ist; nach seinem Inhalte ist er ein endliches Quantum. Das

was in der Reihe da ist, zusammen mit dem was ihr fehlt, macht erst das

aus, was der Bruch ist, das bestimmte Quantum, das sie gleichfalls seyn

soll, aber zu seyn nicht vermag. —Das Wort: Unendlich, pflegt, auch in

der unendlichen Reihe, in der Meinung etwas Hohes und Hehres zu seyn;

es ist dieß eine Art von Aberglauben, der Aberglaube des Verstands; man

hat gesehen, wie es sich vielmehr auf die Bestimmung der

Mangelhaftigkeit reducirt.

Daß es, kann noch bemerkt werden, unendliche Reihen giebt, die nicht

summirbar sind, ist in Bezug auf die Form von Reihe überhaupt ein

äußerlicher und zufälliger Umstand. Sie enthalten eine höhere Art der

Unendlichkeit, als die summirbaren; nämlich eine Incommensurabilität,

oder die Unmöglichkeit, das darin enthaltene quantitative Verhältniß

als ein Quantum, sey es auch als Bruch, darzustellen; die Form der

Reihe aber als solche, die sie haben, enthält dieselbe Bestimmung der

schlechten Unendlichkeit, welche in der summirbaren Reihe ist.

Die so eben am Bruche und an seiner Reihe bemerkte Verkehrung in

Ansehung des Ausdrucks findet auch Statt, insofern das mathematische

Unendliche nämlich nicht das so eben genannte sondern das wahrhafte,

das relative Unendliche,—das gewöhnliche metaphysische dagegen,

worunter das abstrakte, schlechte Unendliche verstanden wird, das

absolute genannt worden ist. In der That ist vielmehr dieses

metaphysische nur das relative, weil die Negation, die es ausdrückt,

nur so im Gegensatze einer Grenze ist, daß diese außer ihm bestehen

bleibt, und von ihm nicht aufgehoben wird; das mathematische Unendliche

hingegen hat die endliche Grenze wahrhaft in sich aufgehoben, weil das

Jenseits derselben mit ihr vereinigt ist.

In dem Sinne, in welchem aufgezeigt worden, daß die sogenannte Summe

oder der endliche Ausdruck einer unendlichen Reihe, vielmehr als der

unendliche anzusehen ist, ist es vornehmlich, daß Spinoza den Begriff

der wahren Unendlichkeit gegen den der schlechten aufstellt und durch

Beispiele erläutert. Sein Begriff gewinnt am neisten Licht, indem ich

das, was er hierüber sagt, an diese Entwickelung anschließe.

Er definirt zunächst das Unendliche als die absolute Affirmation der

Existenz irgend einer Natur, das Endliche im Gegentheil als

Bestimmtheit, als Verneinung. Die absolute Affirmation einer Existenz

ist nämlich als ihre Beziehung auf sich selbst zu nehmen, nicht dadurch

zu seyn, daß ein Anderes ist; das Endliche hingegen ist die Verneinung,

ein Aufhören als Beziehung auf ein Anderes, das außer ihm anfängt. Die

absolute Affirmation einer Existenz erschöpft nun zwar den Begriff der

Unendlichkeit nicht; dieser enthält, daß die Unendlichkeit Affirmation

ist, nicht als unmittelbare, sondern nur als wiederhergestellte durch

die Reflexion des Anderen in sich selbst, oder als Negation des

Negativen. Aber bei Spinoza hat die Substanz und deren absolute Einheit

die Form von unbewegter d. i. nicht sich mit sich selbst vermittelnder

Einheit, von einer Starrheit, worin der Begriff der negativen Einheit

des Selbst, die Subjektivität, sich noch nicht findet.

Das mathematische Beispiel, womit er das wahre Unendliche (Epist.

XXIX.) erläutert, ist ein Raum zwischen zwei ungleichen Kreisen, deren

einer innerhalb des andern, ohne ihn zu berühren, fällt, und die nicht

koncentrisch sind. Er machte, wie es scheint, sich viel aus dieser

Figur und dem Begriffe als deren Beispiel er sie gebrauchte, daß er sie

zum Motto seiner Ethik machte.—"Die Mathematiker, sagt er, schließen,

daß die Ungleichheiten, die in einem solchen Raume möglich sind,

unendlich sind, nicht aus der unendlichen Menge der Theile, denn seine

Größe ist bestimmt und begrenzt, und ich kann größere und kleinere

solche Räume setzen, sondern weil die Natur der Sache jede Bestimmtheit

übertrift."—Man sieht, Spinoza verwirftjene Vorstellung vom

Unendlichen, nach welcher es als Menge oder als Reihe vorgestellt wird,

die nicht vollendet ist, und erinnert, daß hier an dem Raume des

Beispiels das Unendliche nichtjenseits, sondern gegenwärtig und

vollständig ist; dieser Raum ist ein Begrenztes, aber darum ein

Unendliches, "weil die Natur der Sache jede Bestimmtheit übersteigt,"

weil die darin enthaltene Größenbestimmung zugleich nicht als ein

Quantum darstellbar ist, oder nach obigem kantischen Ausdruck das

Synthesiren nicht zu einem—diskreten—Quantum vollendet werden kann.—Wie

überhaupt der Gegensatz von kontinuirlichem und diskretem Quantum auf

das Unendliche führt, soll in einer spätern Anmerkung auseinander

gesetzt werden.—Jenes Unendliche einer Reihe nennt Spinoza das

Unendliche der Imagination; das Unendliche hingegen als Beziehung auf

sich selbst, das Unendliche des Denkens oder infinitum actu. Es ist

nämlich actu, es ist wirklich unendlich, weil es in sich vollendet und

gegenwärtig ist. So ist die Reihe, 0,285714… oder 1 + a + a[hoch 2] +

a[hoch 3]… das Unendliche bloß der Einbildung oder des Meinens; denn es

hat keine Wirklichkeit, es fehlt ihm schlechthin etwas; hingegen 2/7

oder 1/1-a ist das wirklich, nicht nur was die Reihe in ihren

vorhandenen Gliedern ist, sondern noch das dazu, was ihr mangelt, was

sie nur seyn soll. Das 2/7 oder 1/1-a ist gleichfalls eine endliche

Größe, wie der zwischen den zwei Kreisen eingeschlossene Raum Spinoza's

und dessen Ungleichheiten; und kann wie dieser Raum größer oder kleiner

gemacht werden. Aber es kommt damit nicht die Ungereimtheit eines

größern oder kleinern Unendlichen heraus; denn dieß Quantum des Ganzen,

geht das Verhältniß seiner Momente, die Natur der Sache d. h. die

qualitative Größenbestimmung, nichts an; das was in der unendlichen

Reihe da ist, ist ebenso ein endliches Quantum, aber außerdem noch ein

Mangelhaftes.—Die Einbildung dagegen bleibt beim Quantum als solchem

stehen, und reflektirt nicht auf die qualitative Beziehung, welche den

Grund der vorhandenen Inkommensurabilität ausmacht.

Die Inkommensurabilität, welche in dem Beispiel Spinoza's liegt,

schließt überhaupt die Funktionen krummer Linien in sich, und führt

näher auf das Unendliche, das die Mathematik bei solchen Funktionen,

überhaupt bei den Funktionen veränderlicher Größen eingeführt hat, und

welches das wahrhafte mathematische, quantitative Unendliche ist, das

auch Spinoza sich dachte. Diese Bestimmung soll nun hier näher erörtert

werden.

Was vors erste die für so wichtig geltende Kategorie der

Veränderlichkeit betrifft, unter welche die in jenen Funktionen

bezogenen Größen gefaßt werden, so sollen sie zunächst veränderlich

nicht in dem Sinne seyn, wie im Bruche 2/7 die beiden Zahlen 2 und 7,

indem eben so sehr 4 und 14, 6 und 21 und so fort ins Unendliche andere

Zahlen an ihre Stelle gesetzt werden können, ohne den im Bruche

gesetzten Werth zu ändern. So kann noch mehr in a/b an die Stelle von a

und b jede beliebige Zahl gesetzt werden, ohne das zu ändern was a/b

ausdrücken soll. In dem Sinne nur, daß auch an die Stelle von x und y

einer Funktion eine unendliche d. h. unerschöpfliche Menge von Zahlen

gesetzt werden könne, sind a und b so sehr veränderliche Größe als

jene, x und y. Der Ausdruck: veränderliche Größen, ist darum sehr vage,

und unglücklich gewählt für Größebestimmungen, die ihr Interesse und

Behandlungsart in etwas in etwas ganz Anderem liegen haben, als in

ihrer bloßen Veränderlichkeit.

Um es deutlich zu machen, worin die wahrhafte Bestimmung der Momente

einer Funktion liegt, mit denen sich das Interesse der höhern Analysis

beschäftigt, müssen wir die bemerklich gemachten Stufen noch einmal

durchlaufen. In 2/7 oder a/b sind 2 und 7 jedes für sich, bestimmte

Quanta und die Beziehung ist ihnen nicht wesentlich; a und b soll

gleichfalls solche Quanta vorstellen, die auch außer dem Verhältnisse

bleiben, was sie sind. Ferner ist auch 2/7 und a/b ein fixes Quantum,

ein Quotient; das Verhältniß macht eine Anzahl aus, deren Einheit der

Nenner, und die Anzahl dieser Einheiten der Zähler—oder umgekehrt

ausdrückt; wenn auch 4 und 14 u.s.f. an die Stelle von 2 und 7 treten,

bleibt das Verhältniß auch als Quantum dasselbe. Dieß verändert sich

nun aber wesentlich in der Funktion y[hoch 2]/x = p z.B.; hier haben x

und y zwar den Sinn, bestimmte Quanta seyn zu können; aber nicht x und

y, sondern nur x und y[hoch 2] haben einen bestimmten Quotienten.

Dadurch sind diese Seiten des Verhältnisses, x und y, erstens nicht nur

keine bestimmten Quanta, sondern zweitens ihr Verhältniß ist nicht ein

fixes Quantum, (noch ist dabei ein solches wie bei a und b gemeint),

nicht ein fester Quotient, sondern er ist als Quantum schlechthin

veränderlich. Dieß aber ist allein darin enthalten, daß x nicht zu y

ein Verhältniß hat, sondern zum Quadrate von y. Das Verhältniß einer

Größe zur Potenz ist nicht ein Quantum, sondern wesentlich qualitatives

Verhältniß; das Potenzenverhältniß ist der Umstand, der als

Grundbestimmung anzusehen ist.—In der Function der geraden Linie y = a

x aber, ist x/y = a ein gewöhnlicher Bruch und Quotient; diese Funktion

ist daher nur formell eine Funktion von veränderlichen Größen, oder x

und y sind hier was a und b in a/b, sie sind nicht in derjenigen

Bestimmung, in welcher die Differential- und Integralrechnung sie

betrachtet.—Wegen der besondern Natur der veränderlichen Größen in

dieser Betrachtungsweise, wäre es zweckmäßig gewesen, für sie sowohl

einen besonderen Namen, als andere Bezeichnungen einzuführen, als die

gewöhnlichen der unbekannten Größen in jeder endlichen, bestimmten oder

unbestimmten Gleichung; um ihrer wesentlichen Verschiedenheit willen

von solchen bloß unbekannten Größen, die an sich vollkommen bestimmte

Quanta, oder ein bestimmter Umfang von bestimmten Quantis sind.—Es ist

auch nur der Mangel des Bewußtseyns, über die Eigenthümlichkeit dessen,

was das Interesse der höheren Analysis ausmacht und das Bedürfniß und

die Erfindung des Differential-Kalkuls herbeigeführt hat, daß

Funktionen des ersten Grades wie die Gleichung der geraden Linie in die

Behandlung dieses Kalkuls für sich mit hereingenommen werden; seinen

Antheil an solchem Formalismus hat ferner der Mißverstand, der die an

sich richtige Forderung der Verallgemeinerung einer Methode dadurch zu

erfüllen meint, daß die specifische Bestimmtheit, auf

die sich das Bedürfniß gründet, weggelassen wird, daß es dafür gilt,

als ob es sich in diesem Felde nur um veränderliche Größen überhaupt

handle. Es wäre wohl viel Formalismus in den Betrachtungen dieser

Gegenstände wie in der Behandlung erspart worden, wenn man eingesehen

hätte, daß derselbe nicht veränderliche Größen als solche, sondern

Potenzenbestimmungen betreffe.

Aber es ist noch eine weitere Stufe, auf der das mathematische

Unendliche in seiner Eigenthümlichkeit hervortritt. In einer Gleichung,

worin x und y zunächst als durch ein Potenzenverhältniß bestimmt,

gesetzt sind, sollen x und y als solche noch Quanta bedeuten; diese

Bedeutung nun geht vollends in den sogenannten unendlich kleinen

Differenzen gänzlich verloren. d x, d y sind keine Quanta mehr, noch

sollen sie solche bedeuten, sondern haben allein in ihrer Beziehung

eine Bedeutung, einen Sinn blos als Momente. Sie sind nicht mehr Etwas,

das Etwas als Quantum genommen, nicht endliche Differenzen; aber auch

nicht Nichts, nicht die bestimmungslose Null. Außer ihrem Verhältnisse

sind sie reine Nullen, aber sie sollen nur als Momente des

Verhältnisses, als Bestimmungen des Differential-Koefficienten d x/ d y

genommen werden.

In diesem Begriff des Unendlichen ist das Quantum wahrhaft zu einem

qualitativen Daseyn vollendet; es ist als wirklich unendlich gesetzt;

es ist nicht nur als dieses oder jenes Quantum aufgehoben, sondern als

Quantum überhaupt. Es bleibt aber die Quantitätsbestimmtheit als

Element von Quantis, Princip, oder sie wie man auch gesagt hat, in

ihrem ersten Begriffe.

Gegen diesen Begriff ist aller Angriff gerichtet, der auf die

Grundbestimmung der Mathematik dieses Unendlichen, der Differentialund

Integralrechnung, gemacht worden ist. Unrichtige Vorstellungen der

Mathematiker selbst veranlaßten es, wenn er nicht anerkannt worden ist;

vornehmlich aber ist die Unvermögenheit, den Gegenstand als Begriff zu

rechtfertigen, Schuld an diesen Anfechtungen. Den Begriff kann aber die

Mathematik, wie oben erinnert worden, hier nicht umgehen; denn als

Mathematik des Unendlichen schränkt sie sich nicht auf die endliche

Bestimmtheit ihrer Gegenstände ein,—wie in der reinen Mathematik der

Raum und die Zahl und deren Bestimmungen nur nach ihrer Endlichkeit

betrachtet und auf einander bezogen werden—; sondern sie versetzt eine

von daher aufgenommene und von ihr behandelte Bestimmung in Identität

mit ihrer entgegengesetzten, wie sie z.B. eine krumme Linie zu einer

geraden, den Kreis zu einem Polygon u.s.f. macht. Die Operationen, die

sie sich als Differential- und Integralrechnung erlaubt, sind daher der

Natur bloß endlicher Bestimmungen und deren Beziehungen gänzlich

widersprechend und hätten darum ihre Rechtfertigung allein in dem

Begriff.

Wenn die Mathematik des Unendlichen daran festhielt, daß jene

Quantitäts-Bestimmungen verschwindende Größen d. h. solche, die nicht

mehr irgend ein Quantum, aber auch nicht Nichts, sondern noch eine

Bestimmtheit gegen Anderes sind, so schien nichts klarer, als daß es

keinen solchen Mittelzustand, wie man es nannte, zwischen Seyn und

Nichts gebe.—Was es mit diesem Einwurfe und sogenannten Mittelzustande

auf sich habe, ist oben bereits bei der Kategorie des Werdens, Anmerk.

4. gezeigt. Allerdings ist die Einheit des Seyns und Nichts kein

Zustand; ein Zustand wäre eine Bestimmung des Seyns und Nichts, worein

diese Momente nur etwa zufälligerweise gleichsam als in eine Krankheit

oder äußerliche Affektion durch ein irrthümliches Denken gerathen

sollten; sondern diese Mitte und Einheit, das Verschwinden oder eben so

das Werden, ist vielmehr allein ihre Wahrheit.

Was unendlich sey, ist ferner gesagt worden, sey nicht vergleichbar als

ein Größeres oder Kleineres; es könne daher nicht ein Verhältniß von

Unendlichen zu Unendlichen, noch Ordnungen oder Dignitäten des

Unendlichen geben, als welche Unterschiede der unendlichen Differenzen

in der Wissenschaft derselben vorkommen.—Es liegt bei diesem schon

erwähnten Einwurfe immer die Vorstellung zu Grunde, daß hier von

Quantis die Rede seyn solle, die als Quanta verglichen werden; daß

Bestimmungen, die keine Quanta mehr sind, kein Verhältniß mehr zu

einander haben. Vielmehr ist aber das, was nur im Verhältniß ist, kein

Quantum; das Quantum ist eine solche Bestimmung, die außer ihrem

Verhältniß ein vollkommen gleichgültiges Daseyn haben, der ihr

Unterschied von einem anderen gleichgültig seyn soll, da hingegen das

qualitative nur das ist, was es in seinem Unterschiede von dnem Anderen

ist. Jene unendlichen Größen sind daher nicht nur vergleichbar, sondern

sind nur als Momente der Vergleichung, des Verhältnisses.

Ich führe die wichtigsten Bestimmungen an, welche in der Mathematik

über dieß Unendliche gegeben worden sind; es wird daraus erhellen, daß

denselben der Gedanke der Sache, übereinstimmend mit dem hier

entwickelten Begriffe, zu Grunde liegt, daß ihre Urheber ihn aber als

Begriff nicht ergründeten und bei der Anwendung wieder Auskunftsmittel

nöthig hatten, welche ihrer besseren Sache widersprechen.

Der Gedanke kann nicht richtiger bestimmt werden, als Newton ihn

gegeben hat. Ich trenne dabei die Bestimmungen ab, die der Vorstellung

der Bewegung und der Geschwindigkeit angehören, (von welcher er

vornehmlich den Namen Fluxionen nahm), weil der Gedanke hierin nicht in

der gehörigen Abstraktion, sondern konkret, vermischt mit

außerwesentlichen Formen erscheint. Diese Fluxionen erklärt Newton

(Princ. mathem. phil. nat. L. 1. Lemma XI. Schol.) dahin, daß er nicht

untheilbare—eine Form, deren sich frühere Mathematiker, Cavalleri und

andere, bedienten, und welche den Begriff eines an sich bestimmten

Quantums enthält,—verstehe, sondern verschwindende Theilbare. Ferner

nicht Summen und Verhältnisse bestimmter Theile, sondern die Grenzen

(limites) der Summen, und Verhältnisse. Es werde die Einwendung

gemacht, daß verschwindende Größen kein letztes Verhältniß haben, weil

es, ehe sie verschwunden, nicht das Letzte, und wenn sie verschwunden,

keines mehr ist. Aber unter dem Verhältnisse verschwindender Größen sey

das Verhältniß zu verstehen, nicht eh sie verschwinden, und nicht

nachher, sondern mit dem sie verschwinden ( quacum evanescunt ). Eben

so ist das erste Verhältniß werdender Größen, das mit dem sie werden.

Nach dem damaligen Stande der wissenschaftlichen Methode wurde nur

erklärt, was unter einem Ausdrucke zu verstehen sey; daß aber dieß oder

jenes darunter zu verstehen sey, ist eigentlich eine subjektive

Zumuthung oder auch eine historische Forderung, wobei nicht gezeigt

wird, daß ein solcher Begriff an und für sich nothwendig ist und innere

Wahrheit hat. Allein das Angeführte zeigt, daß der von Newton

aufgestellte Begriff dem entspricht, wie die unendliche Größe sich in

der obigen Darstellung aus der Reflexion des Quantums in sich ergab. Es

sind Größen verstanden, in ihrem Verschwinden, d. h. die nicht mehr

Quanta sind; ferner nicht Verhältnisse bestimmter Theile, sondern die

Grenzen des Verhältnisses. Es sollen also sowohl die Quanta für sich,

die Seiten des Verhältnisses, als damit auch das Verhältniß, insofern

es ein Quantum wäre, verschwinden; die Grenze des Größen-Verhältnisses

ist, worin es ist und nicht ist; dieß heißt genauer, worin das Quantum

verschwunden, und damit das Verhältniß nur als qualitatives

Quantitäts-Verhältniß, und die Seiten desselben ebenso als qualitative

Quantitäts-Momente erhalten sind.—Newton fügt hinzu, daß daraus, daß es

letzte Verhältnisse der verschwindenden Größen gebe, nicht zu schließen

sey, daß es letzte Größen, Untheilbare, gebe. Dieß wäre nämlich wieder

ein Absprung von dem abstrakten Verhältnisse auf solche Seiten

desselben, welche für sich außer ihrer Beziehung einen Werth haben

sollten, als Untheilbare, als etwas, das ein Eins, ein Verhältnißloses

seyn würde.

Gegen jenen Mißverstand erinnert er noch, daß die letzten Verhältnisse

nicht Verhältnisse letzter Größen seyen, sondern Grenzen, denen die

Verhältnisse der ohne Grenze abnehmenden Größen näher sind als jeder

gegebene d. h. endliche Unterschied, welche Grenze sie aber nicht

überschreiten, so daß sie Nichts würden.—Unter letzten Größen hätten

nämlich, wie gesagt, Untheilbare oder Eins verstanden werden können. In

der Bestimmung des letzten Verhältnisses aber ist sowohl die

Vorstellung des gleichgültigen Eins, des verhältnißlosen, als auch des

endlichen Quantums entfernt. Es bedürfte aber weder des Abnehmens ohne

Grenze, in das Newton das Quantum versetzt und das nur den Progreß ins

Unendliche ausdrückt, noch der Bestimmung der Theilbarkeit, welche hier

keine unmittelbare Bedeutung mehr hat, wenn die geforderte Bestimmung

sich zum Begriffe einer Größebestimmung, die rein nur Moment des

Verhältnisses ist, fortgebildet hätte.

In Rücksicht der Erhaltung des Verhältnisses im Verschwinden der

Quantorum findet sich (anderwärts, wie bei Carnot, Réflexions sur la

Métaphysique du Calcul Infinitésimal.) der Ausdruck, daß vermöge des

Gesetzes der Stätigkeit die verschwindenden Größen noch das Verhältniß,

aus dem sie herkommen, ehe sie verschwinden, behalten. —Diese

Vorstellung drückt die wahre Natur der Sache aus, insofern nicht die

Stätigkeit des Quantums verstanden wird, die es im unendlichen Progreß

hat, sich in sein Verschwinden so zu kontinuiren, daß im Jenseits

seiner wieder nur ein endliches Quantum, ein neues Glied der Reihe

entsteht; ein stätiger Fortgang wird aber immer so vorgestellt, daß die

Werthe durchloffen werden, welche noch endliche Quanta sind.

In demjenigen Übergange dagegen, welcher in das wahrhafte Unendliche

gemacht wird, ist das Verhältniß das stätige; es ist so sehr stätig und

sich erhaltend, daß er vielmehr allein darin besteht, das Verhältniß

rein herauszuheben, und die verhältnißlose Bestimmung, d. i. daß ein

Quantum, welches Seite des Verhältnisses ist, auch außer dieser

Beziehung gesetzt, noch Quantum ist, verschwinden zu machen. —Diese

Reinigung des quantitativen Verhältnisses ist insofern nichts anders,

als wenn ein empirisches Daseyn begriffen wird. Dieß wird hierdurch so

über sich selbst erhoben, daß sein Begriff dieselben Bestimmungen

enthält, als es selbst, aber in ihrer Wesentlichkeit und in die Einheit

des Begriffes gefaßt, worin sie ihr gleichgültiges, begriffloses

Bestehen verloren haben.

Gleich interessant ist die andere Form der newtonischen Darstellung der

in Rede stehenden Größen, nämlich als erzeugender Größen oder

Principien. Eine erzeugte Größe (genita) ist ein Produkt oder Quotient,

Wurzeln, Rechtecke, Quadrate, auch Seiten von Rechtecken,

Quadraten;—überhaupt eine endliche Größe.—"Sie als veränderlich

betrachtet, wie sie in fortdauernder Bewegung und Fließen zu- oder

abnehmend ist, so verstehe er ihre momentanen Inkremente oder

Dekremente unter dem Namen von Momenten. Diese sollen aber nicht für

Theilchen von bestimmter Größe genommen werden ( particulae finitae ).

Solche seyen nicht selbst Momente, sondern aus Momenten erzeugte

Größen; es seyen vielmehr die werdenden Principien oder Anfänge

endlicher Größen zu verstehen."—Das Quantum wird hier von sich selbst

unterschieden, wie es als ein Produkt oder Daseyendes, und wie es in

seinem Werden, in seinem Anfange und Princip, das heißt, wie es in

seinem Begriffe, oder was hier dasselbe ist, in seiner qualitativen

Bestimmnng ist; in der letztern sind die quantitativen Unterschiede,

die unendlichen Inkremente oder Dekremente, nur Momente; erst das

Gewordene ist das in die Gleichgültigkeit des Daseyns und in die

Äußerlichkeit übergegangene, das Quantum.—Wenn aber diese in Ansehung

der Inkremente oder Dekremente angeführten Bestimmungen des

Unendlichen, von der Philosophie des wahrhaften Begriffs anerkannt

werden müssen, so ist auch sogleich zu bemerken, daß die Formen selbst

von Inkrementen u.s.f. innerhalb der Kategorie des unmittelbaren

Quantums und des erwähnten stätigen Fortgangs fallen, und vielmehr sind

die Vorstellungen von Inkrement, Zuwachs, Zunahme des x um d x oder i

u.s.f. als das in den Methoden vorhandene Grundübel anzusehen;—als das

bleibende Hinderniß, aus der Vorstellung des gewöhnlichen Quantums die

Bestimmung des qualitativen Quantitätsmoments rein herauszuheben.

Gegen die angegebenen Bestimmungen steht die Vorstellung von

unendlich-kleinen Größen, die auch im Inkrement oder Dekrement selbst

steckt, weit zurück. Nach derselben sollen sie von der Beschaffenheit

seyn, daß nicht nur sie gegen endliche Größen, sondern auch deren

höhere Ordnungen gegen die niedrigere, oder auch die Produkte aus

mehrern gegen eine einzelne zu vernachlässigen seyen. —bei Leibnitz

hebt sich die Forderung dieser Vernachlässigung, welche die

vorhergehenden Erfinder von Methoden, die sich auf diese Größe bezogen,

gleichfalls eintreten lassen, auffallender hervor. Sie ist es

vornehmlich, die diesem Kalkul beim Gewinne der Bequemlichkeit den

Schein von Ungenauigkeit und ausdrücklicher Unrichtigkeit in dem Wege

seiner Operation giebt.—Wolf hat sie in seiner Weise, die Sachen

populär zu machen, d. h. den Begriff zu verunreinigen und unrichtige

sinnliche Vorstellungen an dessen Stelle zu setzen, verständlich zu

machen gesucht. Er vergleicht nämlich die Vernachlässigung der

unendlichen Differenzen höherer Ordnungen gegen niedrigere, mit dem

Verfahren eines Geometers, der bei der Messung der Höhe eines Berges um

nicht weniger genau gewesen sey, wenn der Wind indeß ein Sandkörnchen

von der Spitze weggeweht habe, oder mit der Vernachlässigung der Höhen

der Häuser, Thürme bei der Berechnung der Mondfinsternisse (Element.

Mathes. univ. Tom. I. El. Analys. math. P. II. C. I. s. Schol.).

Wenn die Billigkeit des gemeinen Menschenverstandes eine solche

Ungenauigkeit erlaubt, so haben dagegen alle Geometer diese Vorstellung

verworfen. Es dringt sich von selbst auf, daß in der Wissenschaft der

Mathematik von einer solchen empirischen Genauigkeit ganz und gar nicht

die Rede ist, daß das mathematische Messen durch Operationen des

Kalkuls oder durch Konstruktionen und Beweise der Geometrie, gänzlich

vom Feldmessen, vom Messen empirischer Linien, Figuren u.s.f.

unterschieden ist. Ohnehin zeigen, wie oben angeführt, die Analytiker

durch die Vergleichung des Resultats, wie es auf streng geometrischem

Wege und wie es nach der Methode der unendlichen Differenzen erhalten

wird, daß das eine dasselbe ist als das andere, und daß ein Mehr oder

Weniger von Genauigkeit ganz und gar nicht Statt findet. Und es

versteht sich von selbst, daß ein absolut genaues Resultat nicht aus

einem Verfahren herkommen könne, das ungenau wäre. Jedoch kann wieder

auf der anderen Seite das Verfahren selbst, jener Vernachlässigung aus

dem Grunde der Unbedeutenheit, des Protestirens gegen die angeführte

Rechtfertigungsweise unerachtet, nicht entbehren. Und dieß ist die

Schwierigkeit, um welche die Bemühungen der Analytiker gehen, das

hierin liegende Widersinnige begreiflich zu machen, und es zu

entfernen.

Es ist in dieser Rücksicht vornehmlich Eulers Vorstellung anzuführen.

Indem er die allgemeine Newtonische Definition zu Grunde legt, dringt

er darauf, daß die Differentialrechnung die Verhältnisse der Inkremente

einer Größe betrachte, daß aber die unendliche Differenz als solche

ganz als Null zu betrachten sey, (Institut. Calc. different. P. I. C.

III.).—Wie dieß zu verstehen ist, liegt im Vorhergehenden; die

unendliche Differenz ist Null nur des Quantums, nicht eine qualitative

Null, sondern als Null des Quantums vielmehr reines Moment nur des

Verhältnisses. Sie ist nicht ein Unterschied um eine Größe; aber darum

ist es einer Seits überhaupt schief, jene Momente, welche

unendlich-kleine Größen heißen, auch als Inkremente oder Dekremente,

und als Differenzen auszusprechen. Dieser Bestimmung liegt zu Grunde,

daß zu der zuerst vorhandenen endlichen Größe etwas hinzukomme oder

davon abgezogen werde, eine Subtraktion oder Addition, eine

arithmetische, äußerliche Operation vorgehe. Der Übergang von der

Funktion der veränderlichen Größe in ihr Differential ist aber

anzusehen, daß er von ganz anderer Natur ist, nämlich wie erörtert

worden, daß er als Zurückführung der endlichen Funktion auf das

qualitative Verhältniß ihrer Quantitätsbestimmungen zu betrachten

ist.—Anderer Seits fällt die schiefe Seite für sich auf, wenn gesagt

wird, daß die Inkremente für sich Nullen seyen, daß nur ihre

Verhältnisse betrachtet werden; denn eine Null hat überhaupt keine

Bestimmtheit mehr. Diese Vorstellung kommt also zwar bis zum Negativen

des Quantums und spricht es bestimmt aus, aber faßt dieß Negative nicht

zugleich in seiner positiven Bedeutung, von qualitativen

Quantitätsbestimmungen, die, wenn sie aus dem Verhältnisse gerissen und

als Quanta genommen werden wollten, nur Nullen wären.—Lagrange (

Théorie des fonct. analyt. Introd. ) urtheilt über die Vorstellung der

Grenzen oder letzten Verhältnisse, daß wenn man gleich sehr gut das

Verhältniß zweier Größen sich vorstellen könne, so lange sie endlich

bleiben, so gebe dieß Verhältniß dem Verstande keinen deutlichen und

bestimmten Begriff, sobald seine Glieder zugleich Null werden.—In der

That muß der Verstand über diese bloß negative Seite, daß die

Verhältnißglieder Nullen als Quanta sind, hinausgehen, und sie positiv,

als qualitative Momente auffassen.—Was aber Euler (am angeführten Ort

§. 84 ff.) weiter in Betreff der gegebenen Bestimmung hinzufügt, um zu

zeigen, daß zwei sogenannte unendlich kleine Größen, welche nichts

anders als Nullen seyn sollen, doch ein Verhältniß zu einander haben

und deßwegen auch nicht das Zeichen der Null, sondern andere Zeichen

für sie im Gebrauch seyen, kann nicht für genügend angesehen werden. Er

will dieß durch den Unterschied des arithmetischen und geometrischen

Verhältnisses begründen; bei jenem sehen wir auf die Differenz, bei

diesem auf den Quotienten, obgleich das erstere zwischen zwei Nullen

gleich sey, so sey es deßwegen doch das geometrische nicht; wenn 2:1 =

0:0, so müsse wegen der Natur der Proportion, da das erste Glied

doppelt so groß sey als das zweite, auch das dritte Glied doppelt so

groß als das vierte seyn; O:O soll also nach der Proportion als das

Verhältniß von 2:1 genommen werden.—Auch nach der gemeinen Arithmetik

seyn n.O = O; es sey also n:1 = O:O.—Allein eben dadurch, daß 2:1 oder

n:1 ein Verhältniß von Quantis ist, entspricht ihm nicht ein Verhältniß

noch eine Bezeichnung von O:O.

Ich enthalte mich, die Anführungen zu vermehren, indem die betrachteten

zur Genüge gezeigt haben, daß in ihnen wohl der wahrhafte Begriff des

Unendlichen liegt, daß er aber nicht in seiner Bestimmtheit

herausgehoben und gefaßt worden ist. Indem daher zur Operation selbst

fortgegangen wird, so kann es nicht geschehen, daß in ihr die wahrhafte

Begriffsbestimmung sich geltend mache; die endliche

Quantitätsbestimmtheit kehrt vielmehr zurück und die Operation kann der

Vorstellung eines bloß relativ-kleinen nicht entbehren. Der Kalkul

macht es nothwendig, die sogenannten unendlichen Größen den

gewöhnlichen arithmetischen Operationen des Addirens u.s.f., welche

sich auf die Natur endlicher Größen gründen, zu unterwerfen, und sie

somit als endliche Größen für einen Augenblick gelten zu lassen und als

solche zu behandeln. Der Kalkul hätte sich darüber zu rechtfertigen,

daß er sie das eine Mal in diese Sphäre herabzieht und sie als

Inkremente oder Differenzen behandelt, und daß er auf der anderen Seite

sie als Quanta vernachlässigt, nachdem er so eben Formen und Gesetze

der endlichen Größen auf sie angewendet hatte.

Über die Versuche der Geometer, diese Schwierigkeiten zu beseitigen,

führe ich noch das Hauptsächlichste an.

Die ältern Analytiker machten sich hierüber weniger Skrupel; aber die

Bemühungen der Neueren gingen vornehmlich dahin, den Kalkul des

Unendlichen zur Evidenz der eigentlich geometrischen Methode

zurückzubringen und in ihr die Strenge der Beweise der Alten (-

Ausdrücke von Lagrange—) in der Mathematik zu erreichen. Allein da das

Princip der Analysis des Unendlichen höherer Natur, als das Princip der

Mathematik endlicher Größen ist, so mußte jene von selbst sogleich auf

jene Art von Evidenz Verzicht thun, wie die Philosophie auch auf

diejenige Deutlichkeit keinen Anspruch machen kann, die die

Wissenschaften des Sinnlichen, z.B. Naturgeschichte hat, und wie Essen

und Trinken für ein verständlicheres Geschäfte gilt, als Denken und

Begreifen. Es wird sich demnach nur um die Bemühung handeln, die

Strenge der Beweise der Alten zu erreichen.

Mehrere haben versucht, den Begriff des Unendlichen ganz zu entbehren,

und ohne ihn das zu leisten, was an den Gebrauch desselben gebunden

schien.—Lagrange spricht z.B. von der Methode, die Landen erfunden hat,

und sagt von ihr, daß sie rein analytisch sey und die unendlich kleinen

Differenzen nicht gebrauche, sondern zuerst verschiedene Werthe der

veränderlichen Größen einführe, und sie in der Folge gleichsetze. Er

urtheilt übrigens, daß darin die der Differentialrechnung eignen

Vorzüge, Einfachheit der Methode und Leichtigkeit der Operationen

verloren gehe.—Es ist dieß wohl ein Verfahren, das mit demjenigen etwas

Entsprechendes hat, von welchem Descartes Tangentenmethode ausgeht, die

weiterhin noch näher zu erwähnen ist. Soviel, kann hier bemerkt werden,

erhellt sogleich im Allgemeinen, daß das Verfahren überhaupt,

verschiedene Werthe der veränderlichen Größen anzunehmen, und sie

nachher gleichzusetzen, einem anderen Kreise mathematischer Behandlung

angehört, als die Methode des Differential-Kalkuls selbst und die

späterhin näher zu erörternde Eigenthümiichkeit des einfachen

Verhältnisses, auf welches sich die wirkliche konkrete Bestimmung

desselben zurückführt, nämlich der abgeleiteten Funktion zu der

ursprünglichen, nicht herausgehoben wird.

Die Ältern unter den Neuern, wie z.B. Fermat, Barrow und andere, die

sich zuerst des Unendlich-Kleinen in derjenigen Anwendung bedienten,

welche später zur Differential- und Integralrechnung ausgebildet wurde,

und dann auch Leibnitz und die Folgenden, auch Euler, haben immer

unverhohlen, die Produkte von unendlichen Differenzen, so wie ihre

höhern Potenzen nur aus dem Grunde weglassen zu dürfen geglaubt, weil

sie relativ gegen die niedrige Ordnung verschwinden. Hierauf beruht bei

ihnen allein der Fundamentalsatz, nämlich die Bestimmung dessen, was

das Differential eines Produkts oder einer Potenz sey, denn hierauf

reducirt sich die ganze theoretische Lehre. Das Übrige ist Theils

Mechanismus der Entwickelung, Theils aber Anwendung, in welche jedoch,

was weiterhin zu betrachten ist, in der That auch das höhere oder

vielmehr einzige Interesse fällt.—In Rücksicht auf das Gegenwärtige ist

hier nur das Elementarische anzuführen, daß aus dem gleichen Grunde der

Unbedeutenheit als der Hauptsatz, die Curven betreffend, angenommen

wird, daß die Elemente der Curven, nämlich die Inkremente der Abscisse

und der Ordinate, das Verhältniß der Subtangente und der Ordinate zu

einander haben; für die Absicht, ähnliche Dreiecke zu erhalten, wird

der Bogen, der die dritte Seite eines Dreiecks zu den beiden

Inkrementen, des mit Recht vormals sogenannten charakteristischen

Dreiecks, ausmacht, als eine gerade Linie, als Theil der Tangente, und

damit das eine der Inkremente bis an die Tangente reichend angesehen.

Diese Annahmen erheben jene Bestimmungen einer Seits über die Natur

endlicher Größen; anderer Seits aber wird ein Verfahren auf die nun

unendlich genannten Momente angewendet, das nur von endlichen Größen

gilt, und bei dem nichts aus Rücksicht der Unbedeutenheit

vernachiässigt werden darf. Die Schwierigkeit, von der die Methode

gedrückt wird, bleibt bei solcher Verfahrungsweise in ihrer ganzen

Stärke.

Es ist hier eine merkwürdige Procedur Newtons anzuführen; (Princ. Math.

phil. nat. Lib. II. Lemma II. Propos. VII.)—die Erfindung eines

sinnreichen Kunststücks, uni das arithmetisch unrichtige Weglassen der

produkte unendlicher Differenzen oder höherer Ordnungen derselben bei

dem Finden der Differentialien, zu beseitigen. Er findet das

Differential des Produkts,—woraus sich dann die Differentialien der

Quotienten, Potenzen u.s.f. leicht herleiten, —auf folgende Art. Das

Produkt, wenn x, y, jedes um die Hälfte seiner unendlichen Differenz

kleiner genommen wird, geht über in x y—xdy/2—ydx/2 + dxdy/4; aber wenn

man x und y um ebenso viel zunehmen läßt, in x y + xdy/2 + ydx/2 +

dxdy/4. Von diesem zweiten Produkt nun das erste abgezogen, bleibt y d

x + x d y als Überschuß, und dieß sey der Überschuß des Wachsthums um

ein ganzes dx und dy, denn um dieses Wachsthum sind beide Produkte

unterschieden; es ist also das Differential von xy.—Man sieht in diesem

Verfahren fällt das Glied, welches die Hauptschwierigkeit ausmacht, das

Produkt der beiden unendlichen Differenzen, dxdy, durch sich selbst

hinweg. Aber des newtonischen Namens unerachtet muß es gesagt werden

dürfen, daß solche, obgleich sehr elementarische Operation, unrichtig

ist; es ist unrichtig, daß (x + dx/2) (y + dy/2)—(x—dx/2) (y—dy/2) = (x

+ dx) (y + dy)—xy. Es kann nur das Bedürfniß seyn, den Fluxionen-Kalkul

bei seiner Wichtigkeit zu begründen, was einen Newton dahin bringen

konnte, die Täuschung solchen Beweisens sich zu machen.

Andere Formen, die Newton bei der Ableitung des Differentials

gebraucht, sind an konkrete auf Bewegung sich beziehende Bedeutungen

der Elemente und deren Potenzen gebunden.—Beim Gebrauche der

Reihenform, der sonst seine Methode auszeichnet, liegt es zu nahe zu

sagen, daß man es immer in seiner Macht habe, durch das Hinzufügen

weiterer Glieder die Größe so genau zu nehmen, als man nöthig habe, und

daß die weggelassenen relativ unbedeutend, überhaupt das Resultat nur

eine Näherung sey, als daß er nicht auch hier mit diesem Grunde sich

begnügt hätte, wie er bei seiner Methode der Auflösung der Gleichungen

höherer Grade durch Näherung die höheren Potenzen, die bei der

Substitution jedes gefundenen noch ungenauen Werthes in die gegebene

Gleichung entstehen, aus dem rohen Grunde ihrer Kleinigkeit wegläßt; s.

Lagrange Equations Numériques p. 125.

Der Fehler, in welchen Newton bei der Auflösung eines Problems durch

das Weglassen wesentlicher höherer Potenzen verfiel, der seinen Gegnern

die Gelegenheit eines Triumphs ihrer Methode über die seinige gab, und

von welchem Lagrange in seiner neuerlichen Untersuchung desselben

(Théorie des fonct. analyt. 3me P. Ch. IV.) den wahren Ursprung

aufgezeigt hat, beweist das Formelle und die Unsicherheit, die im

Gebrauche jenes Instruments noch vorhanden war. Lagrange zeigt, daß

Newton dadurch in den Fehler fiel, weil er das Glied der Reihe

vernachlässigte, das die Potenz enthielt, auf welche es in der

bestimmten Aufgabe ankam. Newton hatte sich an jenes formelle

oberflächliche Princip, Glieder wegen ihrer relativen Kleinheit

wegzulassen, gehalten.—Es ist nämlich bekannt, daß in der Mechanik den

Gliedern der Reihe, in der die Funktion einer Bewegung entwickelt wird,

eine bestimmte Bedeutung gegeben wird, so daß sich das erste Glied oder

die erste Funktion auf das Moment der Geschwindigkeit, die zweite auf

die beschleunigende Kraft, und die dritte auf den Widerstand von

Kräften beziehe. Die Glieder der Reihe sind hiermit hier nicht nur als

Theile einer Summe anzusehen, sondern als qualitative Momente eines

Ganzen des Begriffs. Hiedurch erhält das Weglassen der übrigen Glieder,

die der schlechtunendlichen Reihe angehören, eine gänzlich verschiedene

Bedeutung, von dem Weglassen aus dem Grunde der relativen Kleinheit

derselben.[10] Die newtonsche Auflösung enthielt jenen Fehler, nicht

weil in ihr Glieder der Reihe, nur als Theile einer Summe, sondern weil

das Glied, das die qualitative Bestimmung, auf die es ankam, enthält,

nicht berücksichtigt wurde.

[10] In einfacher Weise finden sich bei Lagrange in der Anwendung der

Theorie der Funktionen auf die Mechanik, in dem Kapitel von der

geradlinigten Bewegung, beide Rücksichten neben einander gestellt

(Théorie des fonct. 3me P. Ch. I. art. 4.). Der durchloffene Raum als

Funktion der verflossenen Zeit betrachtet, giebt die Gleichung x = ft;

diese als f (t + ë) entwickelt giebt

ft + ëft + [ë'[hoch 2]]/2. f"t + u.s.w.

Also der während der Zeit durchloffene Raum stellt sich in der Formel

dar, ëft + [ë[hoch 2]]/2. f't + [ë[hoch 3]]/2.3. f"t + u.s.w. Die

Bewegung, vermittelst der dieser Raum durchloffen wird, ist also, wird

gesagt, d. h. weil die analytische Entwickelung mehrere und zwar

unendlich viele Glieder giebt,—zusammengesetzt aus verschiedenen

partiellen Bewegungen, deren der Zeit entsprechende Räume seyn werden

ëft, [ë[hoch 2]]/2. f"t, [ë[hoch 3]]/[2.3]. f"t, u.s.w. die erste

partielle Bewegung ist, in bekannter Bewegung die formell=gleichförmige

mit einer durch f't bestimmten Geschwindigkeit, die zweite die

gleichförmig beschleunigte, die von einer dem f't propertionirten

beschleunigenden Kraft herkommt. "Da nun die übrigen Glieder sich auf

keine einfache bekannte Bewegung beziehen, so ist nicht nöthig, sie

besonders in Rücksicht zu nehmen, und wir werden zeigen, daß man von

ihnen in der Bestimmung der Bewegung zu Anfang des Zeitpunkts

abstrahiren kann." Dieß wird nun gezeigt, aber freilich nur durch die

Vergleichung jener Reihe, deren Glieder alle zur Bestimmung der Größe

des in der Zeit durchloffenen Raumes gehörten, mit der art. 3 für die

Bewegung des Falls angegebenen Gleichung x = at + bt[hoch 2], als in

welcher nur diese zwei Glieder vorkommen. Aber diese Gleichung hat

selbst nur diese Gestalt, durch die Voraussetzung der Erklärung, die

den durch analytische Entwicklung entstehenden Gliedern gegeben wird,

erhalten; diese Voraussetzung ist, daß die gleichförmig beschleunigte

Bewegung zusammengesetzt sey, aus einer formell-gleichförmigen mit der

im vorhergehenden Zeittheile erlangten Geschwindigkeit fortgesetzten

Bewegung, und einem Zuwachse, (dem a in s = at[hoch 2] d.i. dem

empirischen Koefficienten), welcher der Kraft der Schwere zugeschrieben

wird,—einem Unterschiede, der keineswegs in der Natur der Sache irgend

eine Existenz oder Grund hat, sondern nur der fälschlich physikalisch

gemachte Ausdruck dessen ist, was bei einer angenommenen analytischen

Behandlung herauskommt.

In diesem Beispiele ist der qualitative Sinn dasjenige, wovon das

Verfahren abhängig gemacht ist. Im Zusammenhange hiermit kann sogleich

die allgemeine Behauptung aufgestellt werden, daß die ganze

Schwierigkeit des Princips beseitigt seyn würde, wenn statt des

Formalismus, die Bestimmung des Differentials nur in die ihm den Namen

gebende Aufgabe, den Unterschied überhaupt einer Funktion von ihrer

Veränderung, nachdem ihre veränderliche Größe einen Zuwachs erhalten,

zu stellen, die qualitative Bedeutung des Princips angegeben, und die

Operation hiervon abhängig gemacht wäre. In diesem Sinne zeigt sich das

Differential von x[hoch n], durch das erste Glied der Reihe, die durch

die Entwickelung von (x + dx)[hoch n] sich ergiebt, gänzlich erschöpft.

Daß die übrigen Glieder nicht berücksichtigt werden, kommt so nicht von

ihrer relativen Kleinheit her;—es wird dabei nicht eine Ungenauigkeit,

ein Fehler oder Irrthum vorausgesetzt, der durch einen anderen Irrthum

ausgeglichen und verbessert würde; eine Ansicht, von welcher aus Carnot

vornehmlich die gewöhnliche Methode der Infinitesimalrechnung

rechtfertigt. Indem es sich nicht um eine Summe, sondern um ein

Verhältniß handelt, so ist das Differential vollkommen durch das erste

Glied gefunden; und wo es fernerer Glieder, der Differentiale höherer

Ordnungen bedarf, so liegt in ihrer Bestimmung nicht die Fortsetzung

einer Reihe als Summe, sondern die Wiederholung eines und desselben

Verhältnisses, das man allein will, und das somit im ersten Glied

bereits vollkommen bestimmt ist. Das Bedürfniß der Form einer Reihe des

Summirens derselben und was damit zusammenhängt, muß dann ganz von

jenem Interesse des Verhältnisses getrennt werden.

Die Erläuterungen, welche Carnot über die Methode der unendlichen

Größen giebt, enthalten das Geläutertste und aufs Klarste exponirt, was

in den oben angeführten Vorstellungen vorkam. Aber bei dem Übergange

zur Operation selbst treten mehr oder weniger die gewöhnlichen

Vorstellungen, von der unendlichen Kleinheit der weggelassenen Glieder

gegen die andern ein. Er rechtfertigt die Methode vielmehr durch die

Thatsache, daß die Resultate richtig werden, und durch den Nutzen, den

die Einführung unvollkommner Gleichungen, wie er sie nennt, d. h.

solcher, in denen eine solche arithmetisch unrichtige Weglassung

geschehen ist, für die Vereinfachung und Abkürzung des Kalkuls habe,

als durch die Natur der Sache selbst.

Lagrange hat bekanntlich die ursprüngliche Methode Newtons, die Methode

der Reihen, wieder aufgenommen, um der Schwierigkeiten, welche die

Vorstellung des Unendlich-Kleinen, so wie derjenigen, welche die

Methode der ersten und letzten Verhältnisse und Grenzen mit sich führt,

überhoben zu seyn. Es ist von seinem Funktionen-Kalkul, dessen sonstige

Vorzüge in Rücksicht auf Präcision, Abstraktion und Allgemeinheit

anerkannt genug sind, als hierher gehörig nur dieß anzuführen, daß er

auf dem Fundamentalsatze beruht, daß die Differenz, ohne daß sie Null

werde, so klein angenommen werden könne, daß jedes Glied der Reihe die

Summe aller folgenden an Größe übertreffe.—Es wird auch in dieser

Methode von den Kategorien vom Zuwachs und von der Differenz der

Funktion angefangen, deren veränderliche Größe den Zuwachs erhalte,

womit die lästige Reihe hereinkommt, von der ursprünglichen Funktion;

so wie im Verfolg die wegzulassenden Glieder der Reihe nur in der

Rücksicht, daß sie eine Summe constituiren, in Betracht kommen, und der

Grund, sie wegzulassen, in das Relative ihres Quantums gesetzt wird.

Die Weglassung ist also hier auch nicht für das Allgemeine auf den

Gesichtspunkt zurückgeführt, der Theils in einigen Anwendungen

vorkommt, worin, wie vorhin erinnert, die Glieder der Reihe eine

bestimmte qualitative Bedeutung haben sollen und Glieder außer Acht

gelassen werden, nicht darum weil sie unbedeutend an Größe sind,

sondern weil sie unbedeutend der Qualität nach sind; Theils aber fällt

dann die Weglassung selbst in dem wesentlichen Gesichtspunkte hinweg,

der sich für den sogenannten Differential-Koefficienten erst in der

sogenannten Anwendung des Kalkuls bei Lagrange bestimmt heraushebt, was

in der folgenden Anmerkung ausführlicher auseinandergesetzt werden

wird.

Der qualitative Charakter überhaupt, der hier an der in Rede stehenden

Größenform in demjenigen, was dabei das Unendlichkleine genannt wird,

nachgewiesen worden ist, findet sich am unmittelbarsten in der

Kategorie der Grenze des Verhältnisses, die oben angeführt worden, und

deren Durchführung im Kalkul zu einer eigenthümlichen Methode

gestempelt worden ist. Was Lagrange von dieser Methode urtheilt, daß

sie der Leichtigkeit in der Anwendung entbehre, und der Ausdruck Grenze

keine bestimmte Idee darbiete, davon wollen wir das Zweite hier

aufnehmen, und näher sehen, was über ihre analytische Bedeutung

aufgestellt wird. In der Vorstellung der Grenze liegt nämlich wohl die

angegebene wahrhafte Kategorie der qualitativen Verhältnißbestimmung

der veränderlichen Größen, denn die Formen, die von ihnen eintreten, dx

und dy, sollen schlechthin nur als Momente von dy/dx genommen, und

dx/dy selbst als ein einziges untheilbares Zeichen angesehen werden.

Daß hiermit für den Mechanismus des Kalkuls besonders in seiner

Anwendung der Vortheil verloren geht, den er davon zieht, daß die

Seiten des Differential-Koefficienten von einander abgesondert werden,

ist hier bei Seite zu setzen. Jene Grenze soll nun Grenze von einer

gegebenen Funktion seyn;—sie soll einen gewissen Werth in Beziehung auf

dieselbe angeben, der sich durch die Weise der Ableitung bestimmt. Mit

der bloßen Kategorie der Grenze aber wären wir nicht weiter, als mit

dem, um das es in dieser Anm. zu thun gewesen ist, nämlich aufzuzeigen,

daß das Unendlichkleine, das in der Differentialrechnung als dx und dy

vorkommt, nicht bloß den negativen, leeren Sinn einer nicht endlichen,

nicht gegebenen Größe habe, wie wenn man sagt, eine unendliche Menge,

ins unendliche fort und dergleichen, sondern den bestimmten Sinn der

qualitativen Bestimmtheit des Quantitativen, eines Verhältnißmoments

als eines solchen. Diese Kategorie hat jedoch so noch kein Verhältniß

zu dem, was eine gegebene Funktion ist, und greift für sich nicht in

die Behandlung einer solchen und in einen Gebrauch, der an ihr von

jener Bestimmung zu machen wäre, ein; so würde auch die Vorstellung der

Grenze, zurückgehalten in dieser von ihr nachgewiesenen Bestimmtheit,

zu nichts führen. Aber der Ausdruck Grenze enthält es schon selbst, daß

sie Grenze von Etwas sey, d. h. einen gewissen Werth ausdrücke, der in

der Funktion veränderlicher Größe liegt; und es ist zu sehen, wie dieß

konkrete Benehmen mit ihr beschaffen ist.—Sie soll die Grenze des

Verhältnisses seyn, welches die zwei Inkremente zu einander haben, um

welche die zwei veränderlichen Größen, die in einer Gleichung verbunden

sind, deren die eine als eine Funktion der andern angesehen wird, als

zunehmend angenommen worden;—der Zuwachs wird hier unbestimmt überhaupt

genommen und insofern von dem Unendlichkleinen kein Gebrauch gemacht.

Aber zunächst führt der Weg, diese Grenze zu finden, dieselben

Inkonsequenzen herbei, die in den übrigen Methoden liegen. Dieser Weg

ist nämlich folgender. Wenn y = fx, soll fx, wenn y in y + k übergeht,

sich in fx + ph + qh[hoch 2] + rh[hoch 3] u.s.f. verändert, hiermit ist

k = ph + qh[hoch 2] u.s.f. und k/h = p + qh + rh[hoch 2] u.s.f. Wenn

nun k und h verschwinden, so verschwindet das zweite Glied außer p,

welches p nun die Grenze des Verhältnisses der beiden Zuwächse sey. Man

sieht, daß h als Quantum = 0 gesetzt wird, aber daß darum k/h nicht

zugleich = 0 seyn, sondern noch ein Verhältniß bleiben soll. Den

Vortheil, die Inkonsequenz, die hierin liegt, abzulehnen, soll nun die

Vorstellung der Grenze gewähren; p soll zugleich nicht das wirkliche

Verhältniß, das = 0/0 wäre, sondern nur der bestimmte Werth seyn, dem

sich das Verhältniß unendlich d.i. so nähern könne, daß der Unterschied

kleiner als jeder gegebene werden könne. Der bestimmtere Sinn der

Näherung in Rücksicht dessen, was sich eigentlich einander nähern soll,

wird unten betrachtet werden. —Daß aber ein quantitativer Unterschied,

der die Bestimmung hat, kleiner als jeder gegebene seyn zu können nicht

nur, sondern seyn zu sollen, kein quantitativer Unterschied mehr ist,

dieß ist für sich klar, so evident als irgend etwas in der Mathematik

evident seyn kann; damit aber ist über dy/dx = 0/0 nicht hinausgekommen

worden. Wenn dagegen dy/dx = p d.i. als ein bestimmtes quantitatives

Verhältniß, angenommen wird, wie dieß in der That der Fall ist, so

kommt umgekehrt die Voraussetzung, welche h = 0 gesetzt hat, in

Verlegenheit, eine Voraussetzung, durch welche allein k/h = p gefunden

wird. Giebt man aber zu, daß k/h = 0 ist, und mit h = 0 wird in der

That von selbst auch k = 0; denn der Zuwachs k zu y findet nur unter

der Bedingung statt, daß der Zuwachs h ist; so wäre zu sagen, was denn

p seyn solle, welches ein ganz bestimmter quantitativer Werth ist.

Hierauf giebt sich sogleich die einfache, trockne Antwort von selbst,

daß es ein Koefficient ist und aus welcher Ableitung er entsteht,—die

auf gewisse bestimmte Weise abgeleitete erste Funktion einer

ursprünglichen Funktion. Begnügte man sich damit, wie denn in der That

Lagrange sich der Sache nach damit begnügt hat, so wäre der allgemeine

Theil der Wissenschaft des Differential-Kalkuls und unmittelbar diese

seine Form selbst, welche die Theorie der Grenzen heißt, von den

Zuwächsen, dann deren unendlicher oder beliebiger Kleinheit, von der

Schwierigkeit, außer dem ersten Gliede oder vielmehr nur dem

Coefficienten des ersten Gliedes die weitern Glieder einer Reihe, als

welche durch die Einführung jener Zuwächse unabwendbar sich einfinden,

wieder wegzubringen, befreit; außerdem aber auch von dem weitern, was

damit zusammenhängt, von den formellen Kategorien vor allem des

Unendlichen, der unendlichen Annäherung, und der weitern hier ebenso

leeren Kategorien von kontinuirlicher Größe,[11] und welche man sonst,

wie Bestreben, Werden, Gelegenheit einer Veränderung für nöthig

erachtet, gereinigt. Aber dann würde gefordert zu zeigen, was denn p,

außer der, für die Theorie ganz genügenden trocknen Bestimmung, daß es

weiter nichts als eine aus der Entwickelung eines Binomiums abgeleitete

Funktion ist, noch für eine Bedeutung und Werth, d. i. welchen

Zusammenhang und Gebrauch für weiteres mathematisches Bedürfniß habe;

hiervon soll die zweite Anmerkung handeln.—Es folgt aber zunächst hier

noch die Auseinandersetzung der Verwirrung, welche durch den

angeführten, in den Darstellungen so geläufigen Gebrauch der

Vorstellung von Annäherung in das Auffassen der eigentlichen,

qualitativen Bestimmtheit des Verhältnisses, um das es zunächst zu thun

war, gebracht worden ist.