Die diskrete Größe hat erstlich das Eins zum Princip und ist zweitens
Vielheit der Eins, drittens ist sie wesentlich stätig, sie ist das Eins
zugleich als Aufgehobenes, als Einheit, das Sich-kontinuiren als
solches in der Diskretion der Eins. Sie ist daher als Eine Größe
gesetzt, und die Bestimmtheit derselben ist das Eins, das an diesem
Gesetztseyn und Daseyn ausschließendes Eins, Grenze an der Einheit ist.
Die diskrete Größe als solche soll unmittelbar nicht begrenzt seyn;
aber als unterschieden von der kontinuirlichen ist sie als ein Daseyn
und ein Etwas, dessen Bestimmtheit das Eins und als in einem Daseyn
auch erste Negation und Grenze ist.
Diese Grenze, außer dem, daß sie auf die Einheit bezogen und die
Negation an derselben ist, ist als Eins auch auf sich bezogen; so ist
sie umschließende, befassende Grenze. Die Grenze unterscheidet sich
hier nicht zuerst von dem Etwas ihres Daseyns, sondern ist als Eins
unmittelbar dieser negative Punkt selbst. Aber das Seyn, das hier
begrenzt ist, ist wesentlich als Kontinuität, vermöge der es über die
Grenze und dieß Eins hinausgeht, und gleichgültig dagegen ist. Die
reale diskrete Quantität ist so eine Quantität, oder Quantum,—die
Quantität als ein Daseyn und Etwas.
Indem das Eins, welches Grenze ist, die vielen Eins der diskreten
Quantität in sich befaßt, setzt sie dieselben ebenso wohl als in ihm
aufgehobene; sie ist Grenze an der Kontinuität überhaupt als solcher,
und damit ist hier der Unterschied von kontinuirlicher und diskreter
Größe gleichgültig; oder richtiger, sie ist Grenze an der Kontinuität
der einen sosehr als der andern; beide gehen darein über, Quanta zu
seyn.
Zweites Kapitel. Quantum.
Das Quantum, zunächst Quantität mit einer Bestimmtheit oder Grenze
überhaupt,—ist in seiner vollkommenen Bestimmtheit die Zahl. Das
Quantum unterscheidet sich
zweitens zunächst in extensives, an dem die Grenze als Beschränkung der
daseyenden Vielheit ist, alsdann indem dieses Daseyn ins Fürsichseyn
übergeht,—in intensives Quantum, Grad, welches als fürsich und darin
als gleichgültige Grenze ebenso unmittelbar außersich, seine
Bestimmtheit an einem anderen hat. Als dieser gesetzte Widerspruch, so
einfach in sich bestimmt zu seyn und seine Bestimmtheit außer sich zu
haben und für sie außer sich zu weisen, geht das Quantum
drittens, als das an sich selbst äußerliche Gesetzte in die
quantitative Unendlichkeit über.
A. Die Zahl.
Die Quantität ist Quantum, oder hat eine Grenze; sowohl als
kontinuirliche wie als diskrete Größe. Der Unterschied dieser Arten hat
hier zunächst keine Bedeutung.
Die Quantität ist als das aufgehobene Fürsichseyn schon an und für sich
selbst gegen ihre Grenze gleichgültig. Aber damit ist ihr ebenso die
Grenze, oder ein Quantum zu seyn, nicht gleichgültig; denn sie enthält
das Eins, das absolute Bestimmtseyn, in sich als ihr eigenes Moment,
das also als gesetzt an ihrer Kontinuität oder Einheit ihre Grenze ist,
die aber als Eins, zu dein sie überhaupt geworden, bleibt.
Dieß Eins ist also das Princip des Quantums, aber das Eins als der
Quantität. Dadurch ist es erstlich kontinuirlich, es ist Einheit;
zweitens ist es diskret, an sich seyende (wie in der kontinuirlichen)
oder gesetzte (wie in der diskreten Größe) Vielheit der Eins, welche
die Gleichheit miteinander, jene Kontinuität, dieselbe Einheit haben.
Drittens ist die ß Eins auch Negation der vielen Eins als einfache
Grenze, ein Ausschließen seines Andersseyns aus sich, eine Bestimmung
seiner gegen andere Quanta. Das Eins ist insofern sich à) auf sich
beziehende, (ß) umschließende, und (ç) Anderes ausschließende Grenze.
Das Quantum in diesen Bestimmungen vollständig gesetzt, ist die Zahl.
Das vollständige Gesetztseyn liegt in dem Daseyn der Grenze als
Vielheit und damit ihrem Unterschiedenseyn von der Einheit. Die Zahl
erscheint, deswegen als diskrete Größe, aber sie hat an der Einheit
ebenso die Kontinuität. Sie ist darum auch das Quantum in vollkommener
Bestimmtheit; indem in ihr die Grenze als bestimmte Vielheit, die das
Eins, das schlechthin bestimmte, zu seinem Principe hat. Die
Kontinuität, als in der das Eins nur an sich, als Aufgehobenes
ist,—gesetzt als Einheit,—ist die Form der Unbestimmtheit.
Das Quantum nur als solches ist begrenzt überhaupt, seine Grenze ist
abstrakte, einfache Bestimmtheit desselben. Indem es aber Zahl ist, ist
diese Grenze als in sich selbst mannigfaltig gesetzt. Sie enthält die
vielen Eins, die ihr Daseyn ausmachen, enthält sie aber nicht auf
unbestimmte Weise, sondern die Bestimmtheit der Grenze fällt in sie;
die Grenze schließt anderes Daseyn, d. i. andere Viele aus, und die von
ihr umschlossenen Eins sind eine bestimmte Menge, —die Anzahl, zu
welcher als der Diskretion, wie sie in der Zahl ist, das andere die
Einheit, die Kontinuität derselben, ist. Anzahl und Einheit machen die
Momente der Zahl aus.
Von der Anzahl ist noch näher zu sehen, wie die vielen Eins, aus denen
sie besteht, in der Grenze sind; von der Anzahl ist der Ausdruck
richtig, daß sie aus den Vielen besteht, denn die Eins sind in ihr
nicht als aufgehoben, sondern sind in ihr, nur mit der ausschließenden
Grenze gesetzt, gegen welche sie gleichgültig sind. Aber diese ist es
nicht gegen sie. Beim Daseyn hatte sich zunächst das Verhältniß der
Grenze zu demselben so gestellt, daß das Daseyn als das affirmative
diesseits seiner Grenze bestehen blieb, und diese, die Negation,
außerhalb an seinem Rande sich befand; ebenso erscheint an den vielen
Eins das Abbrechen derselben und das Ausschließen anderer Eins als eine
Bestimmung, die außerhalb der umschlossenen Eins fällt. Aber es hat
sich dort ergeben, daß die Grenze das Daseyn durchdringt, soweit geht
als dieses, und daß Etwas dadurch seiner Bestimmung nach begrenzt, d.
i. endlich ist.—So stellt man im Quantitativen der Zahl etwa Hundert so
vor, daß das hundertste Eins allein die Vielen so begrenze, daß sie
Hundert seyen. Einer Seits ist dieß richtig; anderer Seits aber hat
unter den hundert Eins keines einen Vorzug, da sie nur gleich sind;
jedes ist ebenso das Hundertste; sie gehören also alle der Grenze an,
wodurch die Zahl Hundert ist; diese kann für ihre Bestimmtheit keines
entbehren; die anderen machen somit gegen das hundertste Eins kein
Daseyn aus, das außerhalb der Grenze oder nur innerhalb ihrer,
überhaupt verschieden von ihr wäre. Die Anzahl ist daher nicht eine
Vielheit gegen das umschließende, begrenzende Eins, sondern macht
selbst diese Begrenzung aus, welche ein bestimmtes Quantum ist; die
Vielen machen eine Zahl, Ein Zwei, Ein Zehn, Ein Hundert u.s.f. aus.
Das begrenzende Eins ist nun das Bestimmtseyn gegen Anderes,
Unterscheidung der Zahl von andern. Aber diese Unterscheidung wird
nicht qualitative Bestimmtheit, sondern bleibt quantitativ, fällt nur
in die vergleichende äußerliche Reflexion; die Zahl bleibt als Eins in
sich zurückgekehrt, und gleichgültig gegen Andere. Diese
Gleichgültigkeit der Zahl gegen Andere ist wesentliche Bestimmung
derselben; sie macht ihr An-sich-bestimmtseyn, aber zugleich ihre
eigene Äußerlichkeit aus.—Sie ist so ein numerisches Eins, als das
absolut bestimmte, das zugleich die Form der einfachen Unmittelbarkeit
hat, und dem daher die Beziehung auf anderes völlig äußerlich ist. Als
Eins, das Zahl ist, hat es ferner die Bestimmtheit, insofern sie
Beziehung auf Anderes ist, als seine Momente in ihm selbst, in seinem
Unterschiede der Einheit und der Anzahl, und die Anzahl ist selbst
Vielheit der Eins d. i. es ist in ihm selbst diese absolute
Äußerlichkeit.—Dieser Widerspruch der Zahl oder des Quantums überhaupt
in sich ist die Qualität des Quantums, in deren weitern Bestimmungen
sich dieser Widerspruch entwickelt.
Anmerkung 1.
Die Raumgröße und Zahlgröße pflegen so als zwei Arten betrachtet zu
werden, daß die Raumgröße für sich so sehr bestimmte Größe als die
Zahlgröße wäre; ihr Unterschied bestünde nur in den verschiedenen
Bestimmungen der Kontinuität und Diskretion; als Quantum aber stünden
sie auf derselben Stufe. Die Geometrie hat im Allgemeinen in der
Raumgröße die kontinuirliche, und die Arithmetik in der Zahlgröße die
diskrete Größe zum Gegenstande. Aber mit dieser Ungleichheit des
Gegenstandes haben sie auch nicht eine gleiche Weise und Vollkommenheit
der Begrenzung oder des Bestimmtseyns. Die Raumgröße hat nur die
Begrenzung überhaupt; insofern sie als ein schlechthin bestimmtes
Quantum betrachtet werden soll, hat sie die Zahl nöthig. Die Geometrie
als solche mißt die Raumfiguren nicht, ist nicht Meßkunst; sondern
vergleicht sie nur. Auch bei ihren Definitionen sind die Bestimmungen
zum Theil von der Gleichheit der Seiten, Winkel, der gleichen
Entfernung hergenommen. So bedarf der Kreis, weil er allein auf die
Gleichheit der Entfernung aller in ihm möglichen Punkte von einem
Mittelpunkte beruht, zu seiner Bestimmung keiner Zahl. Diese auf
Gleichheit oder Ungleichheit beruhenden Bestimmungen sind ächt
geometrisch. Aber sie reichen nicht aus, und zu andern z. B. Dreieck,
Viereck, ist die Zahl erforderlich, die in ihrem Princip, dem Eins das
Für-sich-bestimmtseyn, nicht das Bestimmtseyn durch Hülfe eines Andern,
also nicht durch Vergleichung enthält. Die Raumgröße hat zwar an dem
Punkte die dem Eins entsprechende Bestimmtheit; der Punkt aber wird,
insofern er außer sich kommt, ein Anderes, er wird zur Linie; weil er
wesentlich nur als Eins des Raumes ist, wird er in der Beziehung, zu
einer Kontinuität, in der die Punktualität, das Für-sich-Bestimmtseyn,
das Eins, aufgehoben ist. Insofern das Für-sich-Bestimmtseyn im
Außersichseyn sich erhalten soll, muß die Linie als eine Menge von Eins
vorgestellt werden, und die Grenze, die Bestimmung der vielen Eins, in
sich bekommen, d. h. die Größe der Linie—eben so der anderen
Raum-Bestimmungen—muß als Zahl genommen werden.
Die Arithmetik betrachtet die Zahl und deren Figuren, oder vielmehr
betrachtet sie nicht, sondern operirt mit denselben. Denn die Zahl ist
die gleichgültige Bestimmtheit, träge; sie muß von außen bethätigt und
in Beziehung gebracht werden. Die Beziehungsweisen sind die
Rechnungsarten. Sie werden in der Arithmetik nach einander aufgeführt,
und es erhellt, daß eine von der andern abhängt. Der Faden, der ihren
Fortgang leitet, wird jedoch in der Arithmetik nicht herausgehoben.
Aus der Begriffsbestimmung der Zahl selbst aber ergiebt sich leicht die
systematische Zusammenstellung, auf welche der Vortrag dieser Elemente
in den Lehrbüchern einen gerechten Anspruch hat. Diese leitenden
Bestimmungen sollen hier kurz bemerklich gemacht werden.
Die Zahl ist um ihres Principes, des Eins, willen ein äußerlich
Zusammengefaßtes überhaupt, eine schlechthin analytische Figur, die
keinen inneren Zusammenhang enthält. Weil sie so nur ein äußerlich
Erzeugtes ist, ist alles Rechnen das Hervorbringen von Zahlen, ein
Zählen oder bestimmter: Zusammenzählen. Eine Verschiedenheit dieses
äußerlichen Hervorbringens, das nur iminer dasselbe thut, kann allein
in einem Unterschiede der Zahlen gegeneinander, die zusammengezählt
werden sollen, liegen; solcher Unterschied muß selbst anderswoher und
aus äußerlicher Bestimmung genommen werden.
Der qualitative Unterschied, der die Bestimmtheit der Zahl ausmacht,
ist der, den wir gesehen, der Einheit und der Anzahl; auf diesen
reducirt sich daher alle Begriffsbestimmtheit, die in den
Rechnungsarten vorkommen kann. Der Unterschied aber, der den Zahlen als
Quantis zukommt, ist die äußerliche Identität und der äußerliche
Unterschied, die Gleichheit und Ungleichheit, welches
Reflexionsmomente, und unter den Bestimmungen des Wesens beim
Unterschiede, abzuhandeln sind.
Ferner ist noch vorauszuschicken, daß Zahlen im Allgemeinen auf zwei
Weisen hervorgebracht werden können, entweder durch Zusammenfassen oder
durch Trennen bereits zusammengefaßter;—indem beides bei einer auf
dieselbe Weise bestimmten Art von Zählen Statt findet, so entspricht
einem Zusammenfassen von Zahlen, was man positive Rechnungsart, ein
Trennen, was man negative Rechnungsart nennen kann; die Bestimmung der
Rechnungsart selbst, ist von diesem Gegensatze unabhängig.
Nach diesen Bemerkungen folgt hiermit die Angabe der Rechnungsweisen.
Das erste Erzeugen der Zahl ist das Zusammenfassen von Vielen als
solchen, d. i. deren jedes nur als Eins gesetzt ist,—das Numeriren. Da
die Eins äußerliche gegeneinander sind, stellen sie sich unter einem
sinnlichen Bilde dar, und die Operation, durch welche die Zahl erzeugt
wird, ist ein Abzählen an den Fingern, an Punkten u.s.f. Was Vier, Fünf
u.s.f. ist, kann nur gewiesen werden. Das Abbrechen, wie viel zugefaßt
werden soll, ist, indem die Grenze äußerlich ist, etwas Zufälliges,
Beliebiges.—Der Unterschied von Anzahl und Einheit, der im Fortgange
der Rechnungsarten eintritt, begründet ein System, dyadisches,
dekadisches u.s.f.—von Zahlen; ein solches beruht im Ganzen auf der
Beliebigkeit, welche Anzahl konstant wieder als Einheit genommen werden
soll.
Die durch das Numeriren entstandenen Zahlen werden wieder numerirt; und
indem sie so unmittelbar gesetzt sind, sind sie noch ohne alle
Beziehung auf einander bestimmt, gleichgültig gegen Gleichheit und
Ungleichheit, von zufälliger Grösse gegen einander,—daher ungleiche
überhaupt;—Addiren.—Daß 7 und 5 Zwölfe ausmacht, erfährt man dadurch,
daß zu den 7 noch 5 Eins an den Fingern oder sonst hinzunumerirt
werden,—wovon das Resultat nachher im Gedächtnisse, auswendig, behalten
wird; denn Innerliches ist nichts dabei. Ebenso daß 7 x 5 = 35 ist,
weiß man durch das Abzählen an den Fingern u.s.f., daß zu einem Sieben
noch eins hinzu numerirt, dieß fünf Mal bewerkstelligt, und das
Resultat gleichfalls auswendig behalten wird. Die Mühe dieses
Numerirens, der Erfindung der Summen, Produkte, ist durch die fertigen
Eins und Eins oder Eins mal Eins, die man nur auswendig zu lernen hat,
abgethan.
Kant hat (in der Einleitung zur Kritik der reinen Vernunft V.) den
Satz: 7 + 5 = 12, als einen synthetischen Satz betrachtet. "Man
sollte," sagt er, "anfänglich zwar denken, (gewiß!) er sey ein bloß
analytischer Satz, der aus dem Begriffe einer Summe von Sieben und Fünf
nach dem Satz des Widerspruchs erfolge." Der Begriff der Summe heißt
weiter nichts, als die abstrakte Bestimmung, daß diese zwei Zahlen
zusammengefaßt werden sollen, und zwar als Zahlen auf eine äußerliche,
d. i. begrifflose Weise,—daß von Sieben weiter numerirt werden soll,
bis die hinzuzufügenden Eins, deren Anzahl auf Fünf bestimmt ist,
erschöpft worden; das Resultat führt den sonst bekannten Nahmen Zwölfe.
"Allein," fährt Kant fort, "wenn man es näher betrachtet, so findet
man, daß der Begriff der Summe von 7 + 5 nichts weiter enthalte, als
die Vereinigung beider Zahlen in eine einzige, wodurch ganz und gar
nicht gedacht wird, welches diese einzige Zahl sey, die beide
zusammenfaßt;"—"ich mag meinen Begriff von einer solchen möglichen
Summe noch so sehr zergliedern, so werde ich doch darin die Zwölfe
nicht antreffen." Mit dem Denken der Summe, Zergliederung des Begriffs,
hat der Übergang von jener Aufgabe zu dem Resultat allerdings nichts
[zu] thun; "man muß über diese Begriffe hinausgehen und die Anschauung,
fünf Finger u.s.f. zu Hülfe nehmen und so die Einheiten der in der
Anschauung gegebenen Fünf zu dem Begriffe von Sieben hinzuthun," fügt
er hinzu. Fünf ist allerdings in der Anschauung gegeben, d. h. ein ganz
äußerliches Zusammengefügtseyn des beliebig wiederholten Gedankens,
Eins; aber Sieben ist ebenso wenig ein Begriff; es sind keine Begriffe
vorhanden, über die man hinausgeht. Die Summe von 5 und 7 heißt die
begrifflose Verbindung beider Zahlen, das so begrifflos fortgesetzte
Numeriren von Sieben an, bis die Fünfe erschöpft sind, kann man ein
Zusammenfügen, ein Synthesiren, gerade wie das Numeriren von Eins an,
nennen—ein Synthesiren, das aber gänzlich analytischer Natur ist, indem
der Zusammenhang ein ganz gemachter, nichts darin ist noch hineinkommt,
was nicht ganz äußerlich vorliegt. Das Postulat 5 zu 7 zu addiren
verhält sich zu dem Postulate, überhaupt zu numeriren, wie das Postulat
eine gerade Linie zu verlängern, zu dem, eine gerade Linie zu ziehen.
So leer als der Ausdruck Synthesiren ist, ist die Bestimmung, daß es a
priori geschehe. Zählen ist allerdings keine Empfindungsbestimmung, die
für das a posteriori nach der kantischen Bestimmung von Anschauung
allein übrig bleibt, und Zählen ist wohl eine Beschäftigung auf dem
Boden des abstrakten Anschauens, d. i. welches durch die Kategorie des
Eins bestimmt und wobei von allen anderen Empfindungsbestimmungen,
ebenso sehr als auch von Begriffen abstrahirt ist. Das a priori ist
überhaupt etwas nur Vages; die Gefühlsbestimmung hat als Trieb, Sinn
u.s.f. ebenso sehr das Moment der Aprioritaet in ihr, als Raum und Zeit
als existirend, Zeitliches und Räumliches, a posteriori bestimmt ist.
Im Zusammenhange hiermit kann hinzugefügt werden, daß Kants Behauptung
von der synthetischen Beschaffenheit der Grundsätze der reinen
Geometrie ebenso wenig etwas Gründliches enthält. Indem er angiebt, daß
mehrere wirklich analytisch seyen, so ist allein der Grundsatz, daß die
gerade Linie zwischen zwei Punkten die kürzeste ist, für jene
Vorstellung angeführt. "Mein Begriff vom Geraden enthalte nämlich
nichts von Größe, sondern nur eine Qualität; der Begriff des Kürzesten
komme also gänzlich hinzu, und könne durch keine Zergliederung aus dem
Begriffe der geraden Linie gezogen werden; Anschauung müsse also hier
zu Hülfe genommen werden, vermittelst deren allein die Synthesis
möglich sey."—Es handelt sich aber auch hier nicht von einem Begriffe
des Geraden überhaupt, sondern von gerader Linie, und dieselbe ist
bereits ein Räumliches, Angeschautes. Die Bestimmung (oder wenn man
will, der Begriff) der geraden Linie ist doch wohl keine anderes als
daß sie die schlechthin einfache Linie ist, d. i. in dem
Außersichkommen (der sogenannten Bewegung des Punktes) schlechthin sich
auf sich bezieht, in deren Ausdehnung keine Art von Verschiedenheit der
Bestimmung, keine Beziehung auf einen anderen Punkt, oder Linie
außerhalb ihrer gesetzt ist, hält;—die schlechthin in sich einfache
Richtung. Diese Einfachheit ist allerdings ihre Qualität, und wenn die
gerade Linie schwer analytisch zu definiren scheinen sollte, so wäre es
nur um der Bestimmung der Einfachheit oder Beziehung auf sich selbst
willen, und bloß weil die Reflexion beim Bestimmen zunächst vornehmlich
eine Mehrheit, ein Bestimmen durch andere, vor sich hat; es ist aber
für sich schlechthin nichts Schweres, diese Bestimmung der Einfachheit
der Ausdehnung in sich, ihrer Bestimmungslosigkeit durch Anderes, zu
fassen;—Euklids Definition enthält nichts Anderes als diese
Einfachheit.—Der Übergang nun aber dieser Qualität zur quantitativen
Bestimmung (des Kürzesten), welcher das Synthetische ausmachen sollte,
ist ganz nur analytisch. Die Linie ist als räumlich, Quantität
überhaupt; das Einfachste, vom Quantum gesagt, ist das Wenigste, und
dieß von einer Linie gesagt, ist das Kürzeste. Die Geometrie kann diese
Bestimmungen als Corollarium zur Definition aufnehmen; aber Archimedes
in seinen Büchern über Kugel und Cylinder (s. Haubers Übers. S. ) hat
am zweckmäßigsten gethan, jene Bestimmung der geraden Linie als
Grundsatz hinzustellen, in ebenso richtigem Sinne, als Euklides die
Bestimmung, die Parallellinien betreffend, unter die Grundsätze
gestellt hat, da die Entwickelung dieser Bestimmung, um zu einer
Definition zu werden, gleichfalls nicht der Räumlichkeit unmittelbar
angehörige, sondern abstraktere qualitative Bestimmungen, wie vorhin
Einfachheit, Gleichheit der Richtung und dergleichen erfordert hätte.
Diese Alten haben auch ihren Wissenschaften plastischen Charakter
gegeben, ihre Darstellung streng in der Eigenthümlichkeit ihres Stoffes
gehalten, daher das ausgeschlossen, was für denselben heterogener Art
gewesen wäre.
Der Begriff, den Kant in den synthetischen Urtheilen a priori
aufgestellt hat,—der Begriff von Unterschiedenem, das ebenso untrennbar
ist, einem Identischen, das an ihm selbst ungetrennt Unterschied ist,
gehört zu dem Grossen und Unsterblichen seiner Philosophie. Im
Anschauen ist dieser Begriffe da er der Begriff selbst und Alles an
sich der Begriff ist, freilich gleichfalls vorhanden; aber die
Bestimmungen, die in jenen Beispielen herausgenommen sind, stellen ihn
nicht dar; vielmehr ist die Zahl und das Zählen eine Identität und
Hervorbringen einer Identität, die schlechthin nur äußerlich, nur
oberflächliche Synthese ist, eine Einheit von Eins, solchen, die
vielmehr als an ihnen nicht identisch mit einander, sondern äußerliche,
für sich getrennte, gesetzt sind; in der geraden Linie hat die
Bestimmung, die kleinste zwischen zwei Punkten zu seyn, vielmehr nur
das Moment des abstrakt Identischen, ohne Unterschied an ihm selbst, zu
Grunde zu liegen.
Ich kehre von dieser Unterbrechung zum Addiren selbst zurück. Die ihm
entsprechende, negative Rechnungsart, das Subtrahiren, ist das ebenso
ganz analytische Trennen in Zahlen, die wie im Addiren, nur als
Ungleiche überhaupt gegeneinander bestimmt sind.
2. Die nächste Bestimmung ist die Gleichheit der Zahlen, die numerirt
werden sollen. Durch diese Gleichheit sind sie eine Einheit, und es
tritt hiermit an der Zahl der Unterschied von Einheit und Anzahl ein.
Die Multiplikation ist die Aufgabe, eine Anzahl von Einheiten, die
selbst eine Anzahl sind, zusammenzuzählen. Es ist dabei gleichgültig,
welche von den beiden Zahlen als Einheit und welche als Anzahl
angegeben, ob viermal drei, wo Vier die Anzahl, und drei die Einheit
ist, oder umgekehrt dreimal vier, gesagt wird.—Es ist oben schon
angegeben, daß das ursprüngliche Finden des Produkts durch das einfache
Numeriren, d. i. das Abzählen an den Fingern u.s.f. bewerkstelligt
wird; das spätere unmittelbare Angebenkönnen des Produkts beruht auf
der Sammlung jener Produkte, dem Einmaleins, und dem Auswendig-Wissen
desselben.
Die Division ist die negative Rechnungsart nach derselben Bestimmung
des Unterschieds. Es ist ebenso gleichgültig, welcher von beiden
Faktoren, der Divisor oder der Quotient, als Einheit oder als Anzahl
bestimmt wird. Der Divisor wird als Einheit und der Quotient als Anzahl
bestimmt, wenn die Aufgabe der Division ausgesprochen wird, daß man
sehen wolle, wie oft (Anzahl) eine Zahl (Einheit) in einer gegebenen
enthalten sey; umgekehrt wird der Divisor als Anzahl und der Quotient
als Einheit genommen, wenn gesagt wird, man soll eine Zahl in eine
gegebene Anzahl gleicher Theile theilen und die Grösse solchen Theils
(der Einheit) finden.
3. Die beiden Zahlen, welche als Einheit und Anzahl gegeneinander
bestimmt sind, sind als Zahl noch unmittelbar gegeneinander, und daher
überhaupt ungleich. Die weitere Gleichheit ist die der Einheit und der
Anzahl selbst; so ist der Fortgang zur Gleichheit der Bestimmungen, die
in der Bestimmung der Zahl liegen, vollendet. Das Zählen, nach dieser
vollständigen Gleichheit ist das Potenziren, (die negative Rechnungsart
das Wurzelausziehen)—und zwar zunächst das Erheben einer Zahl ins
Quadrat,—das vollkommene Bestimmtseyn des Numerirens in sich selbst, wo
1) die vielen Zahlen, die addirt werden, dieselben sind, und 2) deren
Vielheit oder Anzahl selbst dieselbe ist mit der Zahl, die vielmal
gesetzt wird, die Einheit ist. Es sind sonst keine Bestimmungen in dem
Begriffe der Zahl, die einen Unterschied darbieten könnten; noch kann
ein weiteres Ausgleichen des Unterschiedes, der in in der Zahl liegt,
Statt finden. Erhebung in höhere Potenzen als in das Quadrat, ist eine
formelle Fortsetzung Theils—bei den geraden Exponenten,—nur eine
Wiederholung des Quadrirens, Theils bei den ungeraden Potenzen—tritt
wieder die Ungleichheit ein; bei der nämlich formellen Gleichheit (z.B.
zunächst beim Kubus) des neuen Faktors mit der Anzahl sowohl als mit
der Einheit, ist er als Einheit, gegen die Anzahl (das Quadrat, 3 gegen
3. 3) ein Ungleiches; noch mehr beim Kubus von Vier, wo die Anzahl, 3,
nach der die Zahl, die die Einheit ist, mit sich multiplicirt werden
soll, von dieser selbst verschieden ist.—Es sind an sich diese
Bestimmungen als der wesentliche Unterschied des Begriffs, die Anzahl
und die Einheit, vorhanden, welche für das vollständige
In-sich-Zurückgehen des Außer-sich-gehens auszugleichen sind. In dem so
eben Dargestellten liegt weiter der Grund, warum Theils die Auflösung
der höheren Gleichungen in der Zurückführung auf die quadratische
bestehen muß, Theils warum die Gleichungen von ungeraden Exponenten
sich nur formell bestimmen, und gerade wenn die Wurzeln rational sind,
diese sich nicht anders als durch einen imaginären Ausdruck, d. h. der
das Gegentheil dessen ist, was die Wurzeln sind und ausdrücken, finden
lassen.—Das Quadrat der Arithmetik enthält nach dem Angegebenen, allein
das Schlechthin-Bestimmtseyn in sich; weswegen die Gleichungen mit
weitern formellen Potenzen darauf zurückgeführt werden müssen, gerade
wie das rechtwinklichte Dreieck in der Geometrie das
Schlechthin-in-sich-Bestimmtseyn enthält, das im pythagoräischen
Lehrsatz exponirt ist, weswegen auch darauf für die totale Bestimmung
alle anderen geometrischen Figurationen reducirt werden müssen.
Ein nach einem logisch gebildetem Urtheile fortschreitender Unterricht
handelt die Lehre von den Potenzen vor der Lehre über die Proportionen
ab; diese schließen sich zwar an den Unterschied von Einheit und Anzahl
an, der die Bestimmung der zweiten Rechnungsart ausmacht, aber sie
treten aus dem Eins des unmittelbaren Quantums, in welchem Einheit und
Anzahl nur Momente sind, heraus; die Fortbestimmung nach demselben
bleibt ihm selbst auch noch äußerlich. Die Zahl im Verhältnisse ist
nicht mehr als unmittelbares Quantum; es hat seine Bestimmtheit dann
als Vermittelung; das quantitative Verhältniß wird im Nachfolgenden
betrachtet.
Von der angegebenen Fortbestimmung der Rechnungsarten kann gesagt
werden, daß sie keine Philosophie über dieselben, keine Darlegung etwa
ihrer innern Bedeutung sey, weil sie in der That nicht eine immanente
Entwickelung des Begriffes ist. Aber die Philosophie muß dieß zu
unterscheiden wissen, was seiner Natur nach ein sich selbst äußerlicher
Stoff ist, daß dann an einem solchen der Fortgang des Begriffs nur auf
äußerliche Weise geschehen, und dessen Momente auch nur in der
eigenthümlichen Form ihrer Äußerlichkeit, wie hier Gleichheit und
Ungleichheit, seyn können. Die Unterscheidung der Sphären, in welche
eine bestimmte Form des Begriffs gehört, d. h. als Existenz vorhanden
ist, ist ein wesentliches Erforderniß zum Philosophiren über reale
Gegenstände, um nicht das Äußerliche und Zufällige durch Ideen in
seiner Eigenthümlichkeit zu stören, wie diese Ideen durch die
Unangemessenheit des Stoffes zu entstellen und formell zu machen. Jene
Äußerlichkeit aber, in welcher die Begriffsmomente an jenem äußerlichen
Stoffe, der Zahl, erscheinen, ist hier die angemessene Form; indem sie
den Gegenstand in seinem Verstande darstellen, auch da sie keine
spekulative Anforderung enthalten und daher leicht erscheinen,
verdienen sie in den Lehrbüchern der Elemente angewendet zu werden.
Anmerkung 2.
Bekanntlich hat Pythagoras Vernunftverhältnisse oder Philosopheme in
Zahlen dargestellt, auch in neueren Zeiten ist von ihnen und Formen
ihrer Beziehungen, wie Potenzen u.s.f. in der Philosophie Gebrauch
gemacht worden, um die Gedanken darnach zu reguliren oder damit
auszudrücken.—In pädagogischer Rücksicht ist die Zahl für den
geeignetsten Gegenstand des innern Anschauens, und die rechnende
Beschäftigung mit Verhältnissen derselben für die Thätigkeit des
Geistes gehalten worden, worin er seine eigensten Verhältnisse und
überhaupt die Grundverhältnisse des Wesens zur Anschauung bringe.
—Wiefern der Zahl dieser hohe Werth beikommen könne, geht aus ihrem
Begriffe hervor, wie er sich ergeben hat.
Die Zahl sahen wir als die absolute Bestimmtheit der Quantität, und ihr
Element als den gleichgültig gewordenen Unterschied;—die Bestimmtheit
an sich, die zugleich völlig nur äußerlich gesetzt ist. Die Arithmetik
ist analytische Wissenschaft, weil alle Verknüpfungen und Unterschiede,
die an ihrem Gegenstande vorkommen, nicht in ihm selbst liegen, sondern
ihm völlig äußerlich angethan sind. Sie hat keinen konkreten
Gegenstand, welcher innere Verhältnisse an sich hätte, die zunächst für
das Wissen verborgen, nicht in der unmittelbaren Vorstellung von ihm
gegeben, sondern erst durch die Bemühung des Erkennens herauszubringen
wären. Sie enthält nicht nur den Begriff und damit die Aufgabe für das
begreifende Denken nicht, sondern ist das Gegentheil desselben. Um der
Gleichgültigkeit des Verknüpften gegen die Verknüpfung, der die
Nothwendigkeit fehlt, willen, befindet sich das Denken hier in einer
Thätigkeit, die zugleich die äußerste Entäußerung seiner selbst ist, in
der gewaltsamen Thätigkeit, sich in der Gedankenlosigkeit zu bewegen
und das keiner Nothwendigkeit Fähige zu verknüpfen. Der Gegenstand ist
der abstrakte Gedanke der Äußerlichkeit selbst.
Als dieser Gedanke der Äußerlichkeit ist die Zahl zugleich die
Abstraktion von der sinnlichen Mannigfaltigkeit; sie hat von dem
Sinnlichen nichts als die abstrakte Bestimmung der Äußerlichkeit selbst
behalten; hierdurch ist dieses in ihr dem Gedanken am nächsten
gebracht; sie ist der reine Gedanke der eignen Entäußerung des
Gedankens.
Der Geist, der sich über die sinnliche Welt erhebt, und sein Wesen
erkennt, indem er ein Element für seine reine Vorstellung, für den
Ausdruck seines Wesens sucht, kann daher, ehe er den Gedanken selbst
als dieß Element faßt, und für dessen Darstellung den rein geistigen
Ausdruck gewinnt, darauf verfallen, die Zahl, diese innerliche,
abstrakte Äußerlichkeit zu wählen. Darum sehen wir in der Geschichte
der Wissenschaft früh die Zahl zum Ausdruck von Philosophemen gebraucht
werden. Sie macht die letzte Stufe der Unvollkommenheit aus, das
Allgemeine mit Sinnlichem behaftet zu fassen. Die Alten haben das
bestimmte Bewußtseyn darüber gehabt, daß die Zahl zwischen dem
Sinnlichen und dem Gedanken in der Mitte stehe. Aristoteles führt es
von Plato an (Metaphys. I,5) daß derselbe sage, daß außer dem
Sinnlichen und den Ideen die mathematischen Bestimmungen der Dinge
dazwischen stehen, von dem Sinnlichen dadurch unterschieden sey, daß
sie unsichtbar (ewig) und unbewegt seyen, von den Ideen aber, daß sie
ein Vieles und ein Ähnliches seyen, die Idee aber schlechthin nur
identisch mit sich und in sich Eines sey.—Eine ausführlichere gründlich
gedachte Reflexion hierüber von Moderatus aus Cadix wird in Malchi Vita
Pythagorae ed. Ritterhus. p. 30f. angeführt; daß die Pythagoräer auf
die Zahlen gefallen seyen, schreibt er dem zu, daß sie noch nicht
vermocht haben, die Grundideen und ersten Principien deutlich in der
Vernunft zu fassen, weil diese Principien schwer zu denken und schwer
auszusprechen seyen; die Zahlen dienen zur Bezeichnung gut beim
Unterrichte; sie haben darin unter anderem die Geometer nachgeahmt,
welche das Körperliche nicht in Gedanken ausdrücken können, die Figuren
gebrauchen, und sagen, dieß sey ein Dreieck, wobei sie aber wollen, daß
nicht die in die Augen fallende Zeichnung für das Dreieck genommen,
sondern damit nur der Gedanke desselben vorgestellt sey. So haben die
Pythagoräer den Gedanken der Einheit, der Dieselbigkeit und Gleichheit
und den Grund der Übereinstimmung, des Zusammenhangs und der Erhaltung
von Allem, des mit sich selbst Identischen, als Eins ausgesprochen
u.s.f.—Es ist überflüssig zu bemerken, daß die Pythagoräer von dem
Zahlenauch zum Gedanken-Ausdruck, zu den ausdrücklichen Kategorien des
Gleichen und Ungleichen, der Grenze und der Unendlichkeit übergegangen
sind, es wird schon in Ansehung jener Zahlausdrücke (ebend. in den Anm.
zu p. 31 l.s. aus einem Leben des Pythagoras bei Photius p. 772)
angeführt, daß die Pythagoräer zwischen der Monas und dem Eins
unterschieden haben; die Monas haben sie als den Gedanken genommen, das
Eins aber als die Zahl; ebenso die Zwei für das Arithmetische, die Dyas
(denn so soll es daselbst wohl heißen) für den Gedanken des
Unbestimmten. —Diese Alten sahen vors Erste das Ungenügende der
Zahlformen für Gedankenbestimmungen sehr richtig ein, und ebenso
richtig forderten sie ferner stattjenes ersten Nothbehelfs für Gedanken
den eigenthümlichen Ausdruck; um wie viel weiter waren sie in ihrem
Nachdenken gekommen, als die, welche heutigestages wieder Zahlen selbst
und Zahlbestimmungen, wie Potenzen, dann das Unendlichgroße,
Unendlichkleine, Eins dividirt durch das Unendliche und sonstige solche
Bestimmungen, die selbst auch oft ein verkehrter mathematischer
Formalismus sind, an die Stelle von Gedankenbestimmungen zu setzen und
zu jener unvermögenden Kindheit zurückzukehren, für etwas Löbliches, ja
Gründliches und Tiefes halten.
Wenn vorhin der Ausdruck angeführt worden, daß die Zahl zwischen dem
Sinnlichen und dem Gedanken stehe, indem sie zugleich von jenem dieß
habe, das Viele, das Außereinander, an ihr zu seyn, so ist zu bemerken,
daß dieses Viele selbst, das in den Gedanken aufgenommene Sinnliche,
die ihm angehörige Kategorie des an ihm selbst Äußerlichen ist. Die
weiteren, konkreten, wahren Gedanken, das Lebendigste, Beweglichste,
nur im Beziehen Begriffene, in dieses Element des Außersichseyns selbst
versetzt, werden zu todten, bewegungslosen Bestimmungen. Je reicher an
Bestimmtheit und damit an Beziehung die Gedanken werden, desto
verworrener einer Seits und desto willkürlicher und sinnleerer anderer
Seits wird ihre Darstellung in solchen Formen, als die Zahlen sind. Das
Eins, das Zwei, das Drei, das Vier, Henas oder Monas, Dyas, Trias,
Tetraktys, liegen noch den ganz einfachen abstrakten Begriffen nahe;
aber wenn Zahlen zu konkreten Verhältnissen übergehen sollen, so ist es
vergeblich, sie noch dem Begriffe nahe erhalten zu wollen,
Wenn nun aber die Denkbestimmungen durch Eins, Zwei, Drei, Vier für die
Bewegung des Begriffs, als durch welche er allein Begriff ist,
bezeichnet werden, so ist dieß das Härteste, was dem Denken zugemuthet
wird. Es bewegt sich im Elemente seines Gegentheils, der
Beziehungslosigkeit; sein Geschäfte ist die Arbeit der Verrücktheit.
Daß z.B. Eins Drei, und Drei Eins ist, zu begreifen, ist darum diese
harte Zumuthung, weil das Eins das Beziehungslose ist, also nicht an
ihm selbst die Bestimmung zeigt, wodurch es in sein Entgegengesetztes
übergeht, sondern vielmehr dieß ist, eine solche Beziehung schlechthin
auszuschließen und zu verweigern. Umgekehrt benutzt dieß der Verstand
gegen die spekulative Wahrheit (wie z.B. gegen die in der Lehre, welche
die der Dreieinigkeit genannt wird, niedergelegte) und zählt die
Bestimmungen derselben, welche Eine Einheit ausmachen, um sie als
klaren Widersinn aufzuzeigen,—d. h. er selbst begeht den Widersinn,
das, was schlechthin Beziehung ist, zum Beziehungslosen zu machen. Bei
dem Namen Dreieinigkeit ist freilich nicht darauf gerechnet worden, daß
vom Verstand das Eins und die Zahl als die wesentliche Bestimmtheit des
Inhalts betrachtet werden würde. Jener Name drückt die Verachtung gegen
den Verstand aus, der aber seine Eitelkeit, am Eins und der Zahl als
solcher zu halten, festgestellt und sie gegen die Vernunft gestellt
hat.
Zahlen, geometrische Figuren, wie dieß viel vom Kreis, Dreieck u.s.f.
geschen ist, als bloße Symbole (des Kreises, z.B. von der Ewigkeit, des
Dreiecks von der Dreieinigkeit) zu nehmen ist—einer Seits etwas
Unverfängliches; aber thöricht ist es anderer Seits, zu meinen, daß
dadurch mehr ausgedrückt sey, als der Gedanke zu fassen und
auszudrücken vermöge. Wenn in solchen Symbolen, wie in andern, die von
der Phantasie in den Mythologien der Völker und in der Dichtkunst
überhaupt erzeugt werden, gegen welche die phantasielosen geometrischen
Figuren ohnehin dürftig sind, wie auch in diesen eine tiefe Weisheit,
tiefe Bedeutung liegen soll, so ist es eben dem Denken allein darum zu
thun, die Weisheit, die nur darin liegt, und nicht nur in Symbolen,
sondern in der Natur und im Geiste, heraus zu Tage zu fördern; in
Symbolen ist die Wahrheit durch das sinnliche Element noch getrübt und
verhüllt; ganz offenbar wird sie allein dem Bewußtseyn in der Form des
Gedanken; die Bedeutung ist nur der Gedanke selbst.
Aber mathematische Kategorien herbeizunehmen, um daraus für die Methode
oder den Inhalt philosophischer Wissenschaft etwas bestimmen zu wollen,
zeigt sich wesentlich dadurch als etwas Verkehrtes, daß insofern
mathematische Formeln Gedanken und Begriffsunterschiede bedeuten, diese
ihre Bedeutung sich vielmehr zuerst in der Philosophie anzugeben, zu
bestimmen und zu rechtfertigen hat. In ihren konkreten Wissenschaften
hat diese das Logische aus der Logik, nicht aus der Mathematik zu
nehmen; es kann nur ein Nothbehelf der philosophischen Unvermögenheit
seyn, zu den Gestaltungen, die das Logische in anderen Wissenschaften
annimmt, und deren viele nur Ahnungen, andere auch Verkümmerungen
desselben sind, für das Logische der Philosophie seine Zuflucht zu
nehmen. Die bloße Anwendung solcher entlehnten Formeln ist ohnehin ein
äußerliches Verhalten; der Anwendung selbst müßte ein Bewußtseyn über
ihren Werth wie über ihre Bedeutung vorangehen; ein solches Bewußtseyn
aber giebt nur die denkende Betrachtung, nicht die Autorität derselben
aus der Mathematik. Solches Bewußtseyn über sie ist die Logik selbst,
und dieß Bewußtseyn streift ihre partikulare Form ab, macht diese
überflüssig und unnütz, berichtigt sie und verschafft ihnen allein ihre
Berechtigung, Sinn und Werth.
Was es mit dem Gebrauche der Zahl und des Rechnens auf sich hat,
insofern er eine pädagogische Hauptgrundlage ausmachen soll, geht aus
dem Bisherigen von selbst hervor. Die Zahl ist ein unsinnlicher
Gegenstand, und die Beschäftigung mit ihr und ihren Verbindungen, ein
unsinnliches Geschäft; der Geist wird somit dadurch zur Reflexion in
sich und einer innerlichen abstrakten Arbeit angehalten, was eine
große, jedoch einseitige Wichtigkeit hat. Denn auf der anderen Seite,
da der Zahl nur der äußerliche, gedankenlose Unterschied zu Grunde
liegt, wird jenes Geschäfte ein gedankenloses, mechanisches. Die
Kraftanstrengung besteht vornehmlich darin, Begriffloses festzuhalten,
und begrifflos es zu verbinden. Der Inhalt ist das leere Eins; der
gediegene Gehalt des sittlichen und geistigen Lebens und der
individuellen Gestaltungen desselben, mit welchem als der edelsten
Nahrung die Erziehung den jugendlichen Geist großziehen soll, sollte
von dem inhaltslosen Eins verdrängt werden; die Wirkung, wenn jene
Übungen zur Hauptsache und Hauptbeschäftigung gemacht werden, kann
keine andere seyn, als den Geist nach Form und Inhalt auszuhöhlen und
abzustumpfen. Weil das Rechnen ein so sehr äußerliches, somit
mechanisches Geschäft ist, haben sich Maschinen verfertigen lassen,
welche die arithmetischen Operationen aufs vollkommenste vollführen.
Wenn man über die Natur des Rechnens nur diesen Umstand allein kennte,
so läge darin die Entscheidung, was es mit dem Einfalle für eine
Bewandniß hatte, das Rechnen zum Hauptbildungsmittel des Geistes zu
machen, und ihn auf die Folter, sich zur Maschine zu vervollkommnen, zu
legen.
B. Extensives und intensives Quantum.
a. Unterschied derselben.
1. Das Quantum hat, wie sich vorhin ergeben, seine Bestimmtheit als
Grenze in der Anzahl. Es ist ein in sich Diskretes, ein Vieles, das
nicht ein Seyn hat, welches verschieden wäre von seiner Grenze und sie
außer ihm hätte. Das Quantum so mit seiner Grenze, die ein Vielfaches
an ihr selbst ist, ist extensive Größe.
Die extensive Größe ist von der kontinuirlichen zu unterscheiden; jener
steht direkt nicht die diskrete, sondern die intensive gegenüber.
Extensive und intensive Größe sind Bestimmtheiten der quantitativen
Grenze selbst, das Quantum aber ist identisch mit seiner Grenze;
kontinuirliche und diskrete Größe sind dagegen Bestimmungen der Größe
an sich, d. i. der Quantität als solcher, insofern beim Quantum von der
Grenze abstrahirt wird.—Die extensive Größe hat das Moment der
Kontinuität an ihr selbst und in ihrer Grenze, indem ihr Vieles
überhaupt Kontinuirliches ist; die Grenze als Negation erscheint
insofern an dieser Gleichheit der Vielen, als Begrenzung der Einheit.
Die kontinuirliche Größe ist die sich fortsetzende Quantität ohne
Rücksicht auf eine Grenze, und insofern sie mit einer solchen
vorgesstellt wird, ist diese eine Begrenzung überhaupt, ohne daß die
Diskretion an ihr gesetzt sey. Das Quantum nur als kontinuirliche Größe
ist noch nicht wahrhaft für sich bestimmt, weil sie des Eins, worin das
Für-sich-bestimmtseyn liegt, und der Zahl entbehrt. Eben so ist die
diskrete Größe unmittelbar nur unterschiedenes Vieles überhaupt, das,
insofern es als solches eine Grenze haben sollte, nur eine Menge, d. h.
ein unbestimmt Begrenztes wäre; daß es als bestimmtes Quantum sey, dazu
gehört das Zusammenfassen des Vielen in Eins, wodurch sie mit der
Grenze identisch gesetzt werden. Jede, die kontinuirliche und diskrete
Größe, als Quantum überhaupt hat nur eine der beiden Seiten an ihr
gesetzt, wodurch es vollkommen bestimmt und als Zahl ist. Diese ist
unmittelbar extensives Quantum,—die einfache Bestimmtheit, die
wesentlich als Anzahl, jedoch als Anzahl einer und derselben Einheit
ist; es ist von der Zahl nur dadurch unterschieden, daß ausdrücklich
die Bestimmtheit als Vielheit in dieser gesetzt ist.
2. Die Bestimmtheit jedoch, wie groß etwas ist, durch die Zahl, bedarf
nicht des Unterschiedes von etwas Anderem Großem, so daß zur
Bestimmtheit dieses Großen es selbst und ein Anderes Großes gehörte,
indem die Bestimmtheit der Größe überhaupt für-sich-bestimmte,
gleichgültige, einfach auf sich bezogene Grenze ist; und in der Zahl
ist sie gesetzt als eingeschlossen in das für-sich-seyende Eins, und
hat die Äußerlichkeit, die Beziehung-auf-Anderes innerhalb ihrer
selbst. Dieses Viele der Grenze selbst ferner, ist wie das Viele
überhaupt, nicht ein in sich Ungleiches, sondern ein Kontinuirliches
jedes der Vielen ist was das Andere ist; es als vieles
Außereinanderseyendes oder Diskretes macht daher die Bestimmtheit als
solche nicht aus. dieß Viele fällt also für sich selbst in seine
Kontinuität zusammen und wird einfache Einheit.—Die Anzahl ist nur
Moment der Zahl; aber macht nicht als eine Menge von numerischen Eins
die Bestimmtheit der Zahl aus, sondern diese Eins als gleichgültige,
sich Äußerliche, sind im Zurückgekehrtseyn der Zahl in sich aufgehoben;
die Äußerlichkeit, welche die Eins der Vielheit ausmachte, verschwindet
in dem Eins, als Beziehung der Zahl auf sich selbst.
Die Grenze des Quantums, das als extensives seine daseyende
Bestimmtheit als die sich selbst äußerliche Anzahl hatte, geht also in
einfache Bestimmtheit über. In dieser einfachen Bestimmung der Grenze
ist es intensive Größe; und die Grenze oder Bestimmtheit, die mit dem
Quantum identisch ist, ist nun auch so als Einfaches gesetzt, —der
Grad.
Der Grad ist also bestimmte Größe, Quantum, aber nicht zugleich Menge,
oder Mehreres innerhalb seiner selbst; er ist nur eine Mehrheit; die
Mehrheit ist das Mehrere in die einfache Bestimmung zusammengenommen,
das Daseyn in das Fürsichseyn zurückgegangen. Seine Bestimmtheit muß
zwar durch eine Zahl ausgedrückt werden als dem vollkommenen
Bestimmtseyn des Quantums, aber ist nicht als Anzahl, sondern einfach,
nur Ein Grad. Wenn von 10, 20 Graden gesprochen wird, ist das Quantum,
das so viele Grade hat, der zehente, zwanzigste Grad, nicht die Anzahl
und Summe derselben; so wäre es ein extensives; sondern es ist nur
Einer, der zehnte, zwanzigste Grad. Er enthält die Bestimmtheit, welche
in der Anzahl zehn, zwanzig liegt, aber enthält sie nicht als Mehrere,
sondern ist die Zahl als aufgehobene Anzahl, als einfache Bestimmtheit.
3. In der Zahl ist das Quantum in seiner vollständigen Bestimmtheit
gesetzt; als intensives Quantum aber als in ihrem Fürsichseyn, ist es
gesetzt, wie es seinem Begriffe nach oder an sich ist. Die Form nämlich
der Beziehung auf sich, welche es im Grade hat, ist zugleich das
Sich-Äußerlichseyn desselben. Die Zahl ist als extensives Quantum
numerische Vielheit, und hat so die Äußerlichkeit innerhalb ihrer.
Diese, als Vieles überhaupt, fällt in die Ununterschiedenheit zusammen,
und hebt sich auf in dem Eins der Zahl, ihrer Beziehung auf sich
selbst. Das Quantum hat aber seine Bestimmtheit als Anzahl; es enthält,
wie vorhin gezeigt worden, sie, ob sie gleich nicht mehr an ihm gesetzt
ist. Der Grad also, der als in sich selbst einfach dieß äußerliche
Andersseyn nicht mehr in ihm hat, hat es außer ihm, und bezieht sich
darauf als auf seine Bestimmtheit. Eine ihm äußerliche Vielheit macht
die Bestimmtheit der einfachen Grenze, welche er für sich ist, aus.
Daß die Anzahl, insofern sie sich innerhalb der Zahl im extensiven
Quantum befinden sollte, sich darin aufhob, bestimmt sich somit dahin,
daß sie außerhalb derselben gesetzt ist. Indem die Zahl als Eins, in
sich reflektirte Beziehung auf sich selbst gesetzt ist, schheßt sie die
Gleichgültigkeit und Äußerlichkeit der Anzahl aus sich aus, und ist
Beziehung auf sich als Beziehung durch sich selbst auf ein Äußerliches.
Hierin hat das Quantum die seinem Begriffe gemäße Realität. Die
Gleichgültigkeit der Bestimmtheit macht seine Qualität aus; d. i. die
Bestimmtheit, die an ihr selbst als die sich äußerliche Bestimmtheit
ist.—Sonach ist der Grad einfache Größenbestimmtheit unter einer
Mehrheit solcher Intensitäten, die verschieden, jede nur einfache
Beziehung auf sich selbst, zugleich aber in wesentlicher Beziehung auf
einander sind, so daß jede in dieser Kontinuität mit den anderen ihre
Bestimmtheit hat. Diese Beziehung des Grades durch sich selbst auf sein
Anderes, macht das Auf- und Absteigen an der Skale der Grade zu einem
stätigen Fortgang, einem Fließen, das eine ununterbrochene, untheilbare
Veränderung ist; jedes der Mehrern, die darin unterschieden werden, ist
nicht getrennt von den Anderen, sondern hat sein Bestimmtseyn nur in
diesen. Als sich auf sich beziehende Größebestimmung ist jeder der
Grade gleichgültig gegen die andern; aber er ist eben so sehr an sich
auf diese Äußerlichkeit bezogen, er ist nur vermittelst derselben, was
er ist, seine Beziehung auf sich ist in einem die nicht gleichgültige
Beziehung auf das Äußerliche, hat in dieser seine Qualität.
b. Identität der extensiven und intensiven Größe.
Der Grad ist nicht innerhalb seiner ein sich Äußerliches. Allein er ist
nicht das unbestimmte Eins, das Princip der Zahl überhaupt, das nicht
Anzahl ist, als nur die negative, keine Anzahl zu sein. Die intensive
Größe ist zunächst ein einfaches Eins der Mehrern; es sind mehrere
Grade; bestimmt sind sie aber nicht, weder als einfaches Eins, noch als
Mehrere, sondern nur in der Beziehung dieses Außersichseyns, oder in
der Identität des Eins und der Mehrheit. Wenn also die Mehreren als
solche zwar außer dem einfachen Grade sind, so besteht in seiner
Beziehung auf sie seine Bestimmtheit; er enthält also die Anzahl. Wie
zwanzig als extensive Größe die zwanzig Eins als diskrete in sich
enthält, so enthält der bestimmte Grad sie als Kontinuität, welche
diese bestimmte Mehrheit einfach ist; er ist der zwanzigste Grad; und
ist der zwanzigste Grad nur vermittelst dieser Anzahl, die als solche
außer ihm ist.
Die Bestimmtheit der intensiven Größe ist daher von doppelter Seite zu
betrachten. Sie ist bestimmt durch andere intensive Quanta, und ist in
Kontinuität mit ihrem Andersseyn, so daß in dieser Beziehung auf
dasselbe ihre Bestimmtheit besteht. Insofern sie nun erstens die
einfache Bestimmtheit ist, ist sie bestimmt gegen andere Grade; sie
schließt dieselben aus sich aus, und hat ihre Bestimmtheit in diesem
Ausschließen. Aber zweitens ist sie an ihr selbst bestimmt; sie ist
dieß in der Anzahl, als in ihrer Anzahl, nicht in ihr als
ausgeschlossener, oder nicht in der Anzahl anderer Grade. Der
zwanzigste Grad enthält die zwanzig an ihm selbst; er ist nicht nur
bestimmt als unterschieden vom neunzehnten, ein und zwanzigsten u.s.f.
sondern seine Bestimmtheit ist seine Anzahl. Aber insofern die Anzahl
die seinige ist, und die Bestimmtheit ist zugleich wesentlich als
Anzahl, so ist er extensives Quantum.
Extensive und intensive Größe sind also eine und dieselbe Bestimmtheit
des Quantums; sie sind nur dadurch unterschieden, daß die eine die
Anzahl als innerhalb ihrer, die andere dasselbe, die Anzahl als außer
ihr hat. Die extensive Größe geht in intensive Größe über, weil ihr
Vieles an und für sich in die Einheit zusammenfällt, außer welcher das
Viele tritt. Aber umgekehrt hat dieses Einfache seine Bestimmtheit nur
an der Anzahl und zwar als seiner; als gleichgültig gegen die anders
bestimmten Intensitäten hat es die Äußerlichkeit der Anzahl an ihm
selbst; so ist die intensive Größe eben so wesentlich extensive Größe.
Mit dieser Identität tritt das qualitative Etwas ein; denn sie ist sich
durch die Negation ihrer Unterschiede auf sich beziehende Einheit,
diese Unterschiede aber machen die daseyende Größe-Bestimmtheit aus;
diese negative Identität ist also Etwas, und zwar das gegen seine
quantitative Bestimmtheit gleichgültig ist. Etwas ist ein Quantum, aber
nun ist das qualitative Daseyn, wie es an sich ist, als gleichgültig
dagegen gesetzt. Es konnte vom Quantum, der Zahl als solcher u.s.f.
ohne ein Etwas, das deren Substrat wäre, gesprochen werden. Aber nun
tritt Etwas diesen seinen Bestimmungen, durch deren Negation init sich
vermittelt, als für sich daseyend gegenüber, und, indem es ein Quantum
hat, als dasselbe, welches ein extensives und intensives Quantum habe.
Seine Eine Bestimmtheit, die es als Quantum hat, ist in den
unterschiedenen Momenten der Einheit und der Anzahl gesetzt; sie ist
nicht nur an sich Eine und dieselbe, sondern ihr Setzen in diesen
Unterschieden, als extensives und intensives Quantum, ist das
Zurückgehen in diese Einheit, die als negative das gegen sie
gleichgültig gesetzte Etwas ist.
Anmerkung 1.
In der gewöhnlichen Vorstellung pflegen extensives und intensives
Quantum so als Arten von Größen unterschieden zu werden, als ob es
Gegenstände gäbe, die nur intensive, andere, die nur extensive Größe
hätten. Ferner ist die Vorstellung einer philosophischen
Naturwissenschaft hinzugekommen, welche das Mehrere, das Extensive, z.
B. in der Grundbestimmung der Materie, einen Raum zu erfüllen, so wie
in anderen Begriffen, in ein Intensives verwandelte, in dem Sinne, daß
das Intensive, als das Dynamische die wahrhafte Bestimmung sey, und
z.B. die Dichtigkeit oder specifische Raumerfüllung wesentlich nicht
als eine gewisse Menge und Anzahl materieller Theile in einem Quantum
Raum, sondern als ein gewisser Grad der raumerfüllenden Kraft der
Materie gefaßt werden müsse.
Es sind hierbei zweierlei Bestimmungen zu unterscheiden. Bei dem, was
man die Umwandlung der mechanischen Betrachtungsweise in die dynamische
genannt hat, kommt der Begriff von außereinander bestehenden
selbstständigen Theilen, die nur äußerlich in ein Ganzes verbunden
sind, und der davon verschiedene Begriff von Kraft vor. Was in der
Raumerfüllung einer Seits nur als eine Menge einander äußerlichen Atome
angesehen wird, wird anderer Seits als die Äußerung einer zu Grunde
liegenden einfachen Kraft betrachtet.—Diese Verhältnisse voll Ganzen
und Theilen, der Kraft und ihrer Äußerung, die hier einander gegenüber
treten, gehören aber noch nicht hierher, sondern werden weiterhin
betrachtet werden. Soviel läßt sich sogleich erinnern, daß das
Verhältniß von Kraft und ihrer Äußerung, das dem Intensiven entspricht,
zwar zunächst das wahrhaftere ist gegen das Verhältniß von Ganzen und
Theilen; aber daß darum die Kraft nicht weniger einseitig als das
Intensive, und die Äußerung, die Äußerlichkeit des Extensiven, ebenso
untrennbar von der Kraft ist, so daß ein und derselbe Inhalt ebenso
sehr in beiden Formen, des Intensiven und des Extensiven, vorhanden
ist.
Die andere Bestimmtheit, die dabei vorkommt, ist die quantitative als
solche, die als extensives Quantum aufgehoben und in den Grad, als die
wahrhaft seyn sollende Bestimmung, verwandelt wird; es ist aber gezeigt
worden, daß dieser ebenso die erstere enthält, so daß die eine Form für
die andere wesentlich ist, somit jedes Daseyn seine Größebestimmung
eben so sehr als extensives wie als intensives Quantum darstellt.
Als Beispiel hiervon dient daher alles, insofern es in einer
Größebestimmung erscheint. Selbst die Zahl hat diese gedoppelte Form
nothwendig unmittelbar an ihr. Sie ist eine Anzahl, insofern ist sie
extensive Größe; aber sie ist auch Eins, ein Zehen, ein Hundert;
insofern steht sie auf dem Übergange zur intensiven Größe, indem in
dieser Einheit das Vielfache in Einfaches zusammengeht. Eins ist
extensive Größe an sich, es kann als eine beliebige Anzahl von Theilen
vorgestellt werden. So das Zehnte, das Hundertste ist dieß Einfache,
Intensive, das seine Bestimmtheit an dem außer ihm fallenden Mehrern d.
i. am Extensiven hat. Die Zahl ist Zehen, Hundert, und zugleich die
Zehnte, Hundertste im Zahlensystem; beides ist dieselbe Bestimmtheit.
Das Eins im Kreise heißt Grad, weil der Theil des Kreises wesentlich
seine Bestimmtheit in dem Mehrern außer ihm hat, als eines nur einer
geschlossenen Anzahl solcher Eins bestimmt ist. Der Grad des Kreises
ist als bloße Raumgröße nur eine gewöhnliche Zahl; als Grad angesehen
ist er die intensive Größe, die einen Sinn nur hat, als bestimmt durch
die Anzahl von Graden, in die der Kreis getheilt ist, wie die Zahl
überhaupt ihren Sinn nur hat in der Zahlenreihe.
Die Größe eines konkretern Gegenstandes stellt ihre gedoppelte Seite,
extensiv und intensiv zu seyn, an den gedoppelten Bestimmungen seines
Daseyns dar, in deren einer er als ein Äußerliches, in der andern aber
als ein Innerliches erscheint. So ist z.B. eine Masse als Gewicht, ein
extensiv-Großes, insofern sie eine Anzahl von Pfunden, Centnern u.s.f.
ausmacht; ein intensiv-Großes, insofern sie einen gewissen Druck
ausübt; die Größe des Drucks ist ein Einfaches, ein Grad, der seine
Bestimmtheit an einer Scale von Graden des Druckes hat. Als drückend
erscheint die Masse als ein In-sich-seyn, als Subjekt, dem der
intensive Größenunterschied zukommt.—Umgekehrt was diesen Grad des
Drucks ausübt, ist vermögend, eine gewisse Anzahl von Pfunden u.s.f.
von der Stelle zu bewegen, und mißt seine Größe hieran.
Oder die Wärme hat einen Grad; der Wärmegrad, er sey der l0te, 20ste
u.s.f. ist eine einfache Empfindung, ein Subjektives. Aber dieser Grad
ist eben so sehr vorhanden als extensive Größe, als die Ausdehnung
einer Flüssigkeit, des Quecksilbers im Thermometer, der Luft oder des
Thons u.s.f. Ein höherer Grad der Temperatur drückt sich aus als eine
längere Quecksilbersäule, oder als ein schmälerer Thoncylinder; er
erwärmt einen größern Raum auf dieselbe Weise als ein geringerer Grad
nur den kleinern Raum.
Der höhere Ton ist als der intensivere, zugleich eine größere Menge von
Schwingungen, oder ein lauterer Ton, dem ein höherer Grad zugeschrieben
wird, macht sich in einem größern Raume hörbar.—Mit der intensivern
Farbe läßt sich eine größere Fläche, als mit einer schwächern, auf
gleiche Weise färben; oder das Hellere, eine andere Art von Intensität,
ist weiter sichtbar als das weniger Helle u.s.f.
Eben so im Geistigen ist die hohe Intensität des Charakters, Talents,
Genies, von eben so weitgreifendem Daseyn, ausgedehnter Wirkung und
vielseitiger Berührung. Der tiefste Begriff hat die allgemeinste
Bedeutung und Anwendung.
Anmerkung 2.
Kant hat einen eigenthümlichen Gebrauch von der Anwendung der
Bestimmtheit des intensiven Quantums auf eine metaphysische Bestimmung
der Seele gemacht. In der Kritik der metaphysischen Sätze von der
Seele, die er Paralogismen der reinen Vernunft nennt, kommt er auf die
Betrachtung des Schlusses von der Einfachheit der Seele auf die
Beharrlichkeit derselben. Er setzt diesem Schlusse entgegen, (Kr. d. r.
Vern. S. 414), "daß, wenn wir gleich der Seele diese einfache Natur
einräumen, da sie nämlich kein Mannigfaltiges außer einander, mithin
keine extensive Größe enthält, man ihr doch so wenig wie irgend einem
Existirenden, intensive Größe, d. i. einen Grad der Realität in
Ansehung aller ihrer Vermögen, ja überhaupt alles dessen, was das
Daseyn ausmacht, abläugnen könne, welcher durch alle unendlich viele
kleinere Grade abnehmen, und so die vorgebliche Substanz obgleich nicht
durch Vertheilung, doch durch allmälige Nachlassung (remissio) ihrer
Kräfte, in nichts verwandelt werden könne; denn selbst das Bewußtseyn
hatjederzeit einen Grad, der immer noch vermindert werden kann,
folglich auch das Vermögen sich seiner bewußt zu seyn, und so alle
übrige Vermögen."—Die Seele wird in der rationellen Psychologie, wie
diese abstrakte Metaphysik war, nicht als Geist, sondern als ein nur
unmittelbar Seyendes, als Seelending betrachtet. So hat Kant das Recht,
die Kategorie des Quantums, "wie auf irgend ein Existirendes" und
insofern dieß Seyende als einfach bestimmt ist, die des intensiven
Quantums auf dasselbe anzuwenden. Dem Geiste kommt allerdings Seyn zu,
aber von ganz anderer Intensität, als die des intensiven Quantums ist,
vielmehr einer solchen Intensität, in welcher die Form des nur
unmittelbaren Seyns und alle Kategorie desselben als aufgehoben sind.
Es war nicht nur die Entfernung der Kategorie des extensiven Quantums
zuzugeben, sondern die des Quantums überhaupt zu entfernen. Ein
Weiteres aber ist noch, zu erkennen, wie in der ewigen Natur des
Geistes Daseyn, Bewußtseyn, Endlichkeit ist und daraus hervorgeht, ohne
daß er dadurch ein Ding würde.
c. Die Veränderung des Quantums.
Der Unterschied des extensiven und intensiven Quantums ist der
Bestimmtheit des Quantums als solcher gleichgültig. Aber überhaupt ist
das Quantum die als aufgehoben gesetzte Bestimmtheit, die gleichgültige
Grenze, die Bestimmtheit, welche eben so sehr die Negation ihrer selbst
ist. In der extensiven Größe ist dieser Unterschied entwickelt, aber
die intensive Größe ist das Daseyn dieser Äußerlichkeit, die das
Quantum in sich ist. Er ist als sein Widerspruch in sich selbst
gesetzt, die einfache sich auf sich beziehende Bestimmtheit zu seyn,
welche die Negation ihrer selbst ist, ihre Bestimmtheit nicht an ihr,
sondern in einem anderen Quantum zu haben.
Ein Quantum ist also seiner Qualität nach in absoluter Kontinuität mit
seiner Äußerlichkeit, mit seinem Andersseyn, gesetzt. Es kann daher
nicht nur über jede Größebestimmtheit hinausgegangen, sie kann nicht
nur verändert werden, sondern es ist dieß gesetzt, daß sie sich
verändern muß. Die Größebestimmung kontinuirt sich so in ihr
Andersseyn, daß sie ihr Seyn nur in dieser Kontinuität mit einem
anderen hat; sie ist nicht eine seyende, sondern eine werdende Grenze.
Das Eins ist unendlich oder die sich auf sich beziehende Negation,
daher die Repulsion seiner von sich selbst. Das Quantum ist gleichfalls
unendlich, gesetzt als die sich auf sich beziehende Negativität; es
repellirt sich von sich selbst. Aber es ist ein bestimmtes Eins, das
Eins welches in Daseyn und in die Grenze übergegangen ist, also die
Repulsion der Bestimmtheit von sich selbst, nicht das Erzeugen des sich
selbst Gleichen, wie die Repulsion des Eins, sondern seines
Andersseyns, es ist nun an ihm selbst gesetzt, über sich hinaus zu
schicken, und ein Anderes zu werden. Es besteht darin, sich zu
vermehren oder zu verhindern; es ist die Äußerlichkeit der Bestimmtheit
an ihm selbst.
Das Quantum schickt sich also selbst über sich hinaus; dieß Andere, zu
dem es wird, ist zunächst selbst ein Quantum; aber ebenso als eine
nicht seyende, sondern sich über sich selbst hinaustreibende Grenze.
Die in diesem Hinausgehen wieder entstandene Grenze ist also
schlechthin nur eine solche, die sich wieder aufhebt und zu einer
fernern schickt, und so fort ins Unendliche.