Considérations générales sur la thermologie mathématique.
D'après la leçon précédente, on considère, en thermologie, deux ordres
principaux de phénomènes: les premiers, directement relatifs à l'action
thermologique proprement dite, consistent dans le mode suivant lequel
certains corps quelconques s'échauffent tandis que d'autres se
refroidissent, en vertu de leurs diverses influences mutuelles, à
distance ou au contact, fondées sur l'inégalité de leurs températures;
les seconds se rapportent, au contraire, aux modifications plus ou moins
profondes et plus ou moins éloignées que le nouvel état thermométrique
de chaque corps fait nécessairement éprouver à sa constitution physique
primitive. Ces derniers phénomènes ne sauraient être jusqu'ici l'objet
d'aucune théorie mathématique, si ce n'est par l'intervention illusoire
des fluides ou des éthers imaginaires, et l'on ne conçoit pas même,
d'une manière nette, comment ils pourraient jamais y être réellement
assujettis, quoique rien, sans doute, n'en doive indiquer
l'impossibilité radicale. Ainsi, la thermologie mathématique embrasse
exclusivement aujourd'hui les phénomènes du premier genre, dont elle est
destinée à compléter et à perfectionner l'étude fondamentale.
On conçoit, en effet, que la thermologie physique, ci-dessus examinée,
puisse nous conduire jusqu'à connaître selon quelles lois la température
s'élève successivement sur la surface extérieure de l'un des deux corps,
et s'abaisse sur celle de l'autre, par suite de leur action réciproque.
Mais là s'arrête évidemment, en général, par la nature même de cette
question physique, le domaine de l'exploration directe; et, néanmoins,
une semblable étude ne saurait être envisagée comme vraiment complète
que dans le cas purement idéal d'un point géométrique. Comment la
chaleur, une fois introduite dans un corps par son enveloppe extérieure,
se propage-t-elle peu à peu en tous les points de sa masse, de manière à
assigner à chacun d'eux, pour un instant désigné, une température
déterminée; ou, en sens inverses, comment cette chaleur intérieure se
dissipe-t-elle au dehors, à travers la surface, par une déperdition
graduelle et continue? C'est ce qu'il faudrait évidemment renoncer à
connaître avec exactitude, si l'analyse mathématique, prolongement
naturel de l'observation immédiate devenue impossible, ne venait ici
permettre à notre intelligence de contempler, par une exploration
indirecte, les lois suivant lesquelles s'accomplissent ces phénomènes
internes, dont l'étude semblait devoir nous être nécessairement
impénétrable. Telle est la destination essentielle de la doctrine
admirable que nous devons au beau génie du grand Fourier, et qu'il
s'agit maintenant de caractériser nettement dans son ensemble.
Cette doctrine comprend deux parties générales bien distinctes: l'une,
relative aux lois de la propagation proprement dite de la chaleur, d'une
manière graduelle et continue, par voie de contiguïté immédiate;
l'autre, qui concerne la théorie de l'action thermologique exercée à des
distances quelconques, ou l'analyse du rayonnement. Je considérerai
surtout, et d'abord, la première partie, principal objet des travaux de
Fourier, et qui constitue, en effet, par sa nature, l'étude la plus
fondamentale.
Afin de mieux circonscrire le sujet propre et essentiel de notre examen
philosophique, il faut, enfin, décomposer cette étude en deux branches
fort différentes, suivant qu'on envisage les lois de la propagation
graduelle de la chaleur dans les solides ou dans les fluides. Outre que
le premier cas est jusqu'ici le seul réellement exploré, c'est
nécessairement celui où ces lois peuvent être contemplées dans toute
leur pureté élémentaire. Quant aux masses fluides, la température
effective de chacun de leurs points, à une époque donnée, ne tient pas
seulement à l'action thermologique que les diverses molécules exercent,
de proche en proche, les unes sur les autres; elle est surtout, en
réalité, comme l'expérience le montre clairement, le résultat des
mouvemens plus ou moins rapides que l'inégalité des températures fait
naître inévitablement dans l'intérieur du système: en sorte que les
recherches purement thermologiques se compliquent de questions
hydrodynamiques, dont elles sont nécessairement inséparables. À la
vérité, Fourier a su étendre à ce cas difficile sa théorie fondamentale,
du moins en ce qui concerne les équations différentielles du problème.
Mais, on conçoit que, la simple étude analytique des mouvemens réels
produits dans les fluides par la seule pesanteur étant jusqu'ici,
d'après la vingt-neuvième leçon, presque inextricable, la question, bien
plus difficile, de la propagation mathématique de la chaleur y sera
long-temps encore essentiellement inaccessible. Du reste, il convient
d'observer que c'est principalement envers les gaz que les hautes
difficultés propres à une telle recherche se trouvent profondément
combinées, dans le cas, par exemple, des températures atmosphériques.
Car les liquides pouvant être échauffés, dans les expériences des
physiciens, de manière à prévenir la formation des courans intérieurs,
ils constituent par leur nature, à cet égard comme à tant d'autres, une
sorte d'intermédiaire entre le cas des solides et celui des gaz.
Quoiqu'un tel mode d'échauffement soit, sans doute, essentiellement
artificiel, son observation exacte et approfondie n'en serait pas moins
très précieuse, par la facilité que procure l'état fluide de mesurer
directement les températures internes, et de vérifier ainsi, d'une
manière fort sensible, les lois fondamentales de la propagation de la
chaleur, qui doit alors s'accomplir presque aussi régulièrement que si
la masse était solide. Néanmoins, c'est, évidemment, au seul cas des
solides que nous devons ici restreindre nos considérations générales.
Le phénomène fondamental de la diffusion de la chaleur dans l'intérieur
d'une masse solide par la seule action graduelle et continue de ses
molécules consécutives, est toujours modifié nécessairement par deux
sortes de conditions générales, qu'il faut d'abord caractériser, afin
que l'ensemble du problème soit nettement défini. Les unes se rapportent
à l'état initial arbitraire, qui, dans chaque cas particulier, détermine
la température primitive propre à un point quelconque du corps. Les
autres concernent l'état thermométrique de la surface extérieure, en
vertu de l'action, variable ou constante, inégale ou commune, du système
ambiant. Ces deux ordres de données sont indispensables pour fixer
exactement, à l'égard de chaque question spéciale, l'interprétation
analytique de l'équation fondamentale de la propagation de la chaleur,
qui, par son extrême généralité nécessaire, ne saurait renfermer aucune
trace immédiate, ni de l'état initial propre aux diverses molécules, ni
des circonstances permanentes particulières à l'enveloppe. Mais, par
cela même que ces conditions sont essentiellement modificatrices, il
importe de considérer, avant tout, la loi principale; quoique, en
elle-même, elle ne puisse avoir de relation directe qu'avec un phénomène
purement abstrait, dont l'entière réalisation immédiate ne saurait avoir
lieu que dans le seul cas d'une masse solide indéfinie en tous sens.
Quant à l'objet analytique d'une telle recherche, il consiste toujours à
découvrir la fonction qui exprime, à tout instant, la température d'un
point quelconque de la masse solide. Cette fonction se rapporte donc, en
général, à quatre variables indépendantes, puisque, outre le temps, elle
doit contenir les trois coordonnées géométriques de chaque molécule:
cependant, le nombre des variables est souvent réductible à trois, ou
même à deux, quand la forme du corps et son mode d'échauffement
permettent de supposer que la température change uniquement d'après une
seule coordonnée.
Il paraîtrait d'abord nécessaire de distinguer deux cas essentiels dans
la question fondamentale, suivant qu'on examine l'état variable des
températures successives, ce qui constitue l'étude la plus complète, ou
qu'on se borne à considérer l'état permanent vers lequel tend finalement
l'ensemble de ces températures, sous l'influence d'une cause quelconque
constante. Le système approche toujours très rapidement de ce dernier
état, et d'autant plus que la perméabilité est plus parfaite, quoiqu'il
ne pût jamais y atteindre rigoureusement que dans un temps indéfini.
Quand on l'envisage isolément, la fonction cherchée, qui devient alors
indépendante du temps, peut se réduire, dans les cas les plus simples,
à ne contenir qu'une seule variable. Ce problème est susceptible, sans
doute, d'être étudié, jusqu'à un certain point, indépendamment du
premier, comme l'avait fait l'illustre Lambert à l'égard des
températures permanentes d'une barre prismatique dont une extrémité est
soumise à l'action d'un foyer constant. Mais une telle étude serait
évidemment très imparfaite, et surtout peu rationnelle, puisque l'état
final ne saurait être bien conçu qu'à la suite des modifications
successives qui l'ont graduellement produit. On ne doit donc pas traiter
cette question séparément de l'ensemble du problème; elle constitue
seulement une des conséquences générales les plus importantes de la
solution totale.
Relativement à la loi physique élémentaire, base nécessaire de cette
théorie mathématique, elle consiste à supposer toujours l'intensité de
l'action thermologique proportionnelle à la différence des températures,
sans qu'on ait d'ailleurs besoin de rien préjuger habituellement quant
au mode suivant lequel elle dépend de la distance. Si cette
proportionnalité n'était point admise, il importe de remarquer, avant
tout, que le véritable esprit fondamental de la doctrine générale créée
par Fourier n'en saurait être aucunement altéré, ce que les physiciens
ont quelquefois trop méconnu; mais l'obligation d'introduire, dans les
élémens de cette doctrine, une fonction nouvelle et moins simple,
compliquerait nécessairement beaucoup les équations différentielles, et
pourrait ainsi rendre inextricables les difficultés purement
analytiques. Or, les expériences de divers physiciens, et surtout celles
de MM. Dulong et Petit, ont clairement constaté, comme je l'ai indiqué
dans la leçon précédente, que cette loi, primitivement imaginée par
Newton, ne pouvait plus être adoptée quand la différence des
températures devenait très considérable. Toutefois, un tel résultat ne
peut nullement affecter la formation des équations différentielles
fondamentales relatives à la propagation intérieure de la chaleur. Car,
en parvenant à ces équations, on n'a jamais à considérer que l'action
thermologique instantanée de molécules infiniment voisines, dont les
températures diffèrent infiniment peu. Dès lors il suffit que cette
action dépende seulement de la différence des températures, ce qui
demeurera toujours incontestable, pour qu'on doive la supposer ici
simplement proportionnelle à cette différence, quelle que puisse être
d'ailleurs la vraie fonction naturelle, conformément à l'esprit général
de la méthode infinitésimale, si clairement prononcé dans toutes les
recherches géométriques et mécaniques. Lorsque, en complétant chaque
application effective, on arrivera à considérer l'état thermologique de
la surface extérieure, modifié par voie de rayonnement, c'est seulement
alors qu'une telle hypothèse deviendra purement approximative, et qu'on
ne devra plus l'employer qu'avec la réserve convenable et en soumettant
ses conséquences définitives aux diverses restrictions indiquées par
l'expérience. Mais la théorie fondamentale ne peut jamais en être
radicalement affectée.
Après ces considérations préliminaires indispensables sur la nature
propre d'un tel problème, et sur l'esprit général de la solution,
examinons directement la formation des équations fondamentales qui
expriment les lois mathématiques de la propagation de la chaleur. Il
faut, pour cela, envisager préalablement deux cas élémentaires,
essentiellement abstraits sans doute, et constituant néanmoins une
préparation nécessaire, puisque toutes les notions essentielles de cette
théorie y trouvent leur véritable origines, et peuvent y être étudiées
dans leur plus grande simplicité. Ils consistent, suivant la judicieuse
expression de Fourier, dans le mouvement uniforme de la chaleur, d'abord
en une seule direction, et ensuite en tous sens; ils remplissent, en
effet, envers l'ensemble de la thermologie mathématique, le même office
essentiel que la théorie du mouvement uniforme à l'égard de la mécanique
rationnelle.
Le premier et le plus simple de ces deux cas concerne l'état final et
permanent des températures dans un solide indéfini compris entre deux
plans parallèles, dont chacun est supposé constamment entretenu à une
température invariable, commune à tous ses points, et différente
seulement de l'une à l'autre base. Quelles que soient les températures
initiales des divers points intérieurs d'une masse ainsi définie, leur
ensemble tendra vers un certain système définitif, qui ne serait
exactement réalisé qu'au bout d'un temps infini, mais qui aurait la
propriété caractéristique de subsister éternellement par lui-même s'il
était une fois établi. Ce système est, par sa nature, entièrement
indépendant des circonstances primitives, susceptibles seulement
d'influer sur l'époque de sa réalisation, et sur les modifications qui
l'auraient graduellement amenée. La définition de la masse proposée
montre clairement que cet état final et fixe doit être identique en tous
les points d'une même section quelconque parallèle aux deux bases, et
varier uniquement d'une tranche à la suivante, d'après la distance à
ces bases données. Toute la difficulté est donc réduite ici à connaître
la loi précise de cette variation. Or, une telle loi doit être déduite
de cette condition, caractéristique de la fixité: une tranche quelconque
transmet à la suivante autant de chaleur qu'elle en reçoit de la
précédente. Ce principe évident conduit aussitôt à reconnaître aisément
que la température de chaque point est exprimée par une fonction du
premier degré de sa distance à l'une des bases: puisque, en vertu d'une
semblable distribution des températures, l'échauffement que tendrait à
produire sur la molécule considérée une quelconque de celles qui
l'avoisinent, serait toujours exactement compensé par le refroidissement
dû à la molécule symétrique; en sorte que toutes les actions
thermologiques du système, ainsi comparées, se détruiraient
mutuellement. Dans cette formule, le terme indépendant de l'ordonnée est
égal à la température de la base à partir de laquelle cette ordonnée est
comptée; le coefficient du terme variable, a pour valeur le rapport de
la différence des deux températures extrêmes données à la distance
connue des deux bases.
Ce dernier coefficient est extrêmement remarquable, comme fournissant la
première source élémentaire d'une notion fondamentale commune à toute
la thermologie mathématique, celle de ce que Fourier a nommé le _flux_
de chaleur, c'est-à-dire la quantité de chaleur plus ou moins grande,
qui, en un temps donné, traverse perpendiculairement une aire plane de
grandeur déterminée[28]. La différence des températures de deux tranches
quelconques étant ici toujours proportionnelle à leur distance, le flux
relatif à l'unité de temps et à l'unité de surface, a pour mesure
naturelle, le rapport constant de ces deux nombres, qu'exprime le
coefficient proposé multiplié par la perméabilité propre à la substance
considérée. Ce cas est le seul où le flux puisse être immédiatement
évalué, et c'est d'après lui qu'on l'estime en toute autre circonstance,
quand l'état du système varie, et que les températures ne sont pas
uniformément réparties.
[Note 28: Contraints de penser à l'aide de langues
jusqu'ici toujours formées sous l'influence exclusive ou
prépondérante d'une philosophie théologique ou métaphysique,
nous ne saurions encore entièrement éviter, dans le style
scientifique, l'emploi exagéré des métaphores. On ne doit
donc pas reprocher à Fourier ce que les expressions
précédentes contiennent, sans doute, de trop figuré. Mais il
est aisé de sentir, malgré cette imperfection, qu'elles
désignent seulement un simple fait thermologique général,
entièrement indépendant de toute vaine hypothèse sur la
nature de la chaleur, comme le savent très bien tous ceux
qui ont quelque connaissance de cette théorie.]
La même démonstration convient à l'analyse du second cas préparatoire,
où l'on envisage l'égale distribution de la chaleur, non plus dans une
seule direction, mais en tous sens. Il s'agit alors de l'état final et
permanent d'une masse solide comprise entre trois couples de plans
parallèles, respectivement rectangulaires, où les températures changent
d'un point à un autre à raison de chacune de ses trois coordonnées. On
prouve encore, dans un tel parallélépipède, que la température d'une
molécule quelconque est exprimée par une fonction complète du premier
degré relative aux trois coordonnées simultanément, pourvu qu'on suppose
les six faces extérieures constamment entretenues aux diverses
températures qu'une telle formule assignerait à chacun de leurs points.
Il est aisé de reconnaître en effet, comme précédemment, que toutes les
actions thermologiques élémentaires se détruisent deux à deux, en vertu
de cette répartition des températures.
Ce cas donne lieu à une nouvelle remarque fondamentale sur
l'interprétation thermologique des trois coefficiens propres aux
diverses coordonnées contenues dans cette équation. Les échanges de
chaleur s'effectuant ici en tous sens, chaque coefficient sert à mesurer
le flux parallèle à l'ordonnée correspondante. Chacun de ces trois flux
principaux se trouve avoir nécessairement la même valeur que si les
deux autres n'existaient pas; comme en mécanique, les divers mouvemens
élémentaires s'accomplissent simultanément, sans aucune altération
mutuelle. En estimant ce flux suivant une nouvelle direction quelconque,
on voit aussi qu'il se déduit des premiers d'après les mêmes lois
mathématiques qui président, en mécanique, à la composition des forces,
et, en géométrie, à la théorie des projections.
On aperçoit ici un nouvel et mémorable exemple de cette admirable
propriété radicalement inhérente à l'analyse mathématique de dévoiler,
quand elle est judicieusement appliquée, des analogies réelles entre les
phénomènes les plus divers, en permettant de saisir dans chacun ce qu'il
présente d'abstrait, et par suite, de commun. Le premier et le plus
fondamental des deux cas thermologiques élémentaires que nous venons de
considérer, correspond exactement, en géométrie, à la marche des
ordonnées d'une ligne droite, et, en mécanique, à la loi du mouvement
uniforme. Les mêmes coefficiens dont la destination thermologique est de
mesurer les flux de chaleur, servent, géométriquement, à estimer les
directions, et, mécaniquement, à évaluer les vitesses. Quoique je me
sois efforcé, dans le premier volume, de faire convenablement ressortir,
par une étude directe et générale, ce caractère fondamental de
l'analyse mathématique, je ne devais pas négliger d'en signaler ici une
vérification aussi capitale.
D'après les théorèmes préliminaires indiqués ci-dessus, la méthode
infinitésimale permet de former aisément l'équation fondamentale
relative à la propagation de la chaleur dans un cas quelconque. En
effet, de quelque manière que doivent varier les températures
successives d'une même molécule, ou les températures simultanées des
différens points, on peut toujours concevoir la masse décomposée en
élémens prismatiques, infiniment petits relativement à chacun des trois
axes coordonnés, suivant les faces desquels les flux de chaleur soient
uniformes et constans pendant toute la durée d'un même instant. Chaque
flux sera donc nécessairement exprimé par la fonction dérivée de la
température relativement à l'ordonnée correspondante. Cela posé, si le
flux avait, dans les trois sens, la même valeur pour les deux faces
égales et opposées perpendiculaires à la même ordonnée, la température
de l'élément ne pourrait, évidemment, éprouver aucun changement,
puisqu'il s'échaufferait autant par l'une de ces faces qu'il se
refroidirait par l'autre. Ainsi, les variations de cette température ne
sont dues qu'à l'inégalité de ces deux flux antagonistes. En évaluant
cette différence, qui dépendra naturellement de la seconde dérivée de
la température rapportée à l'ordonnée considérée, et ajoutant entre
elles les différences propres aux trois axes, on évaluera donc
exactement la quantité totale de chaleur alors introduite, et par suite,
l'accroissement instantané que devra présenter effectivement la
température de la molécule, pourvu qu'on ait convenablement égard à la
chaleur spécifique et à la densité de cet élément. De là résulte
immédiatement l'équation différentielle fondamentale, qui consiste en ce
que la somme des trois dérivées partielles du second ordre de la
température, envisagée tour à tour comme une fonction de chaque ordonnée
isolément, est nécessairement toujours égale à la première dérivée de
cette température relativement au temps, multipliée toutefois par un
coefficient constant: ce coefficient a pour valeur le produit de la
densité par le rapport de la chaleur spécifique à la perméabilité de la
molécule. S'il était convenable de considérer directement l'état final
et permanent du système, on le caractériserait aussitôt en se bornant à
annuller le second membre de cette équation générale, qui ne
contiendrait plus alors que trois variables indépendantes.
On voit que, conformément aux propriétés universelles des relations
différentielles, une telle équation ne renferme immédiatement aucune
trace, non-seulement de l'état thermologique initial, mais encore des
circonstances perpétuelles propres à la surface extérieure. L'équation
exprime simplement ce que le phénomène offre de plus général et de plus
profond, l'échange continuel de la chaleur entre toutes les molécules du
système, en vertu de leurs températures actuelles. C'est ainsi que le
premier volume de cet ouvrage nous a fait voir les équations
différentielles fondamentales de la géométrie et de la mécanique,
représentant d'une manière uniforme, un même phénomène général,
abstraction faite du cas particulier quelconque où il se réalisera.
Telle est l'origine philosophique de cette parfaite coordination
qu'introduit constamment l'emploi convenable de l'analyse mathématique,
quand la nature de nos études les en rend susceptibles. Désormais, en
thermologie, les recherches illimitées que pourront suggérer les
innombrables variétés de la forme des corps et de leur mode
d'échauffement seront toujours, aux yeux des géomètres, les diverses
modifications analytiques d'un problème unique, invariablement assujetti
à une même équation fondamentale. Les différens cas particuliers ne
pourront, en effet, s'y distinguer que par la composition analytique des
fonctions arbitraires propres à l'intégrale générale de cette équation.
Toutefois, comme le sens d'une telle relation abstraite ne saurait
devenir entièrement déterminé qu'en ayant égard aux conditions
caractéristiques de chaque question spéciale, il importe de signaler
maintenant, pour compléter cette indication sommaire, le mode uniforme
suivant lequel Fourier a conçu l'introduction analytique de ces
conditions complémentaires. Il faut distinguer, à cet effet, entre
l'état initial des différens points du système et l'état permanent de la
surface extérieure, titres généraux sous lesquels pourront toujours être
classées toutes ces diverses particularités.
Quant à la considération des températures primitives, elle ne présente
immédiatement aucune difficulté analytique qui lui soit propre, si ce
n'est lorsqu'on en vient à exécuter les intégrations. Alors, les
fonctions arbitraires doivent être choisies de telle manière que, en
annullant le temps dans la formule générale qui représente la
température de chaque point à un instant quelconque, afin de remonter à
l'état initial, cette formule devienne exactement identique avec la
fonction des coordonnées, préalablement définie, par laquelle a été
caractérisé le système thermologique originel. Cette condition ne donne
donc lieu à aucune relation différentielle générale.
Il n'en est pas de même relativement à l'état de la surface. On doit
alors exprimer que la formule générale des températures, quand on y
suppose, entre les coordonnées qui s'y trouvent, la relation convenable
à la surface proposée, coïncide, en tout temps, avec celle qui convient
à cette surface. Or, cette condition étant, de sa nature, permanente,
elle est susceptible d'être prise en considération d'une manière
générale par une équation différentielle subsidiaire, puisqu'elle altère
continuellement le mode fondamental de propagation, tandis que
l'influence de l'état initial devait se borner uniquement à affecter les
valeurs absolues des températures propres à un instant donné. Cette
équation différentielle, qui est nécessairement du premier ordre,
s'obtient en égalant, pour un élément quelconque de la surface, la
quantité de chaleur qu'il reçoit, selon sa normale, de la part des
molécules intérieures correspondantes, avec celle qui tend à sortir par
l'influence donnée du système ambiant. L'ordre moins élevé d'une telle
équation, comparativement à l'équation fondamentale de la propagation
intérieure, résulte de ce que, dans celle-ci, il fallait inévitablement
considérer la différentiation du flux entre les deux faces opposées de
chaque élément, tandis que, pour la surface, on doit, au contraire,
envisager le flux lui-même, immédiatement compensé par l'action du
milieu. Si, par une cause quelconque, une certaine couche intérieure
était assujettie d'avance à un système de températures déterminé, il en
résulterait aussitôt, comme le remarque judicieusement Fourier, la même
solution de continuité qu'à la surface dans le mode général de
propagation de la chaleur.
Cette équation auxiliaire propre à tous les points de l'enveloppe,
contient nécessairement, outre les fonctions dérivées de la température
relativement aux coordonnées qui expriment le flux suivant chacune
d'elles, les coefficiens différentiels purement géométriques par
lesquels est définie analytiquement la direction de la normale en chaque
point de la surface. Tel est le mode général suivant lequel la forme des
corps se trouve convenablement introduite dans la thermologie
mathématique, de manière à exercer toujours sur l'ensemble de la
solution une influence inévitable et spéciale. L'observation avait, sans
doute, signalé depuis long-temps une telle influence, par des
indications incontestables; mais on conçoit qu'il était impossible de
s'en faire une juste idée, avant que la doctrine de Fourier eût
rationnellement assigné son véritable rang général parmi les diverses
causes qui concourent à l'effet total, dont l'exploration directe ne
saurait fournir à cet égard que des notions essentiellement vagues et
confuses.
Tels sont les moyens généraux de mettre en équation tous les problèmes
relatifs à la propagation de la chaleur dans les solides, ainsi que les
deux sortes de conditions complémentaires destinées à déterminer, pour
chaque cas particulier, les fonctions arbitraires correspondantes à
cette équation différentielle du second ordre. La nature de cet ouvrage
et ses limites nécessaires ne me permettent point de donner ici aucune
idée, même sommaire, du système entièrement neuf de procédés analytiques
créé par le génie de Fourier pour l'intégration de ces équations, qui se
trouvaient dépendre inévitablement de la partie la plus difficile et la
plus imparfaite du calcul intégral. Cette belle analyse est surtout
caractérisée par le soin qu'on y prend constamment de chercher
directement l'intégrale convenable à la question thermologique, sans la
déduire de celle qui présente la plus grande généralité abstraite, et
dont la formation serait presque toujours impossible. Les conditions
subsidiaires relatives, soit à l'état primitif du système, soit à
l'état permanent de la surface, y ont introduit la considération
indispensable des fonctions discontinues, dont la théorie, maintenant si
satisfaisante, était jusque alors à peine ébauchée dans ses premiers
rudimens. Les théorèmes généraux sur la transformation de ces fonctions
en séries trigonométriques, procédant selon les sinus ou les cosinus des
multiples indéfinis de la variable, ou en intégrales définies
équivalentes, ont notablement agrandi le domaine fondamental de
l'analyse mathématique, indépendamment de leur destination directe pour
la thermologie. J'ai déjà noté, dans le premier volume, comment la
géométrie pouvait les employer à compléter la représentation analytique
de toutes les figures, en l'étendant à des portions limitées des lieux
géométriques ou à des assemblages quelconques des diverses formes, ce
qui était d'ailleurs nécessaire à la thermologie mathématique, afin d'y
pouvoir étudier la propagation de la chaleur dans les polyèdres. Mais la
manière dont Fourier a dirigé l'usage de ses procédés analytiques n'est
peut-être pas moins remarquable, sous le point de vue philosophique, que
l'invention même de tels moyens. Non-seulement il s'est toujours
scrupuleusement attaché, dans tous les cas importans, à obtenir
finalement des formules claires, simples et facilement évaluables en
nombres, comme on devrait le faire à l'égard de questions quelconques;
mais il les a, en général, tellement composées qu'elles dévoilent, au
premier aspect, la marche essentielle du phénomène proposé, leurs
différens termes exprimant sans cesse des états thermologiques
élémentaires et distincts, qui se superposent continuellement, ainsi que
l'exploration directe le ferait apercevoir, si elle était praticable
avec un tel degré de précision.
Sous le point de vue purement analytique, les problèmes thermologiques
offrent, par leur nature, une analogie fondamentale avec ceux que fait
naître l'étude du mouvement des fluides. Il s'agit, de part et d'autre,
de fonctions de quatre variables indépendantes, assujetties à des
équations aux différences partielles du second ordre, dont la
composition est habituellement semblable. La parité s'étend même, à
beaucoup d'égards, aux conditions auxiliaires. Celles relatives aux
températures primitives des diverses molécules, sont remplacées, dans
les problèmes hydrodynamiques, par les vitesses initiales des différens
points. De même, le maintien constant de la surface du fluide à un degré
donné de pression extérieure, représente l'état permanent de l'enveloppe
du solide échauffé à une température déterminée, indépendante de la
propagation interne. Il y a toutefois, sous ce dernier rapport, une
différence essentielle entre les deux cas, puisque, dans le problème
thermologique, la forme de la surface demeure invariable pendant toute
la durée du phénomène, tandis qu'elle change, dans la question
hydrodynamique, à mesure que le phénomène s'accomplit, ce qui doit
augmenter nécessairement les difficultés analytiques. Mais, quoique les
deux analyses ne puissent pas, sans doute, être envisagées comme
exactement identiques, leurs analogies naturelles n'en sont pas moins
évidemment assez profondes pour que les progrès généraux de l'une,
deviennent immédiatement applicables au perfectionnement de l'autre,
ainsi que Fourier l'a annoncé. On doit donc compter que, lorsque
l'ensemble de la doctrine de Fourier sera plus connu et mieux apprécié,
les géomètres en feront un usage très étendu et fort important dans
l'exploration analytique des mouvemens des fluides, comme Corancez l'a
déjà tenté.
En considérant sous un aspect philosophique l'esprit général de cette
analyse thermologique, elle m'a semblé comporter un perfectionnement
fondamental, que je dois ici indiquer sommairement aux géomètres
susceptibles de le comprendre et de l'utiliser. Il consisterait
essentiellement dans l'application du calcul des variations à la
thermologie, jusqu'ici tout-à-fait privée de cette précieuse méthode.
Partout où une grandeur quelconque reçoit deux sortes d'accroissemens,
non-seulement divers et indépendans, mais aussi radicalement
hétérogènes, la conception des _variations_ peut être introduite, et
présente constamment la propriété essentielle d'améliorer, dans ses
élémens, l'expression analytique des phénomènes, en distinguant mieux,
par le calcul même, les causes naturellement différentes. C'est ainsi
que Lagrange a si heureusement transporté cette conception dans
l'analyse mécanique, où elle empêche de confondre désormais les
différentiations purement géométriques avec celles dont le caractère est
vraiment dynamique. Or, la thermologie me paraît comporter une telle
application, tout aussi naturellement que la mécanique. Car on y
considère toujours évidemment, à l'égard des températures, deux ordres
bien tranchés de changemens généraux: ceux qu'éprouve, aux diverses
époques du phénomène, la température d'une même molécule, et ceux qui se
manifestent en un même instant, en passant d'un point à un autre. Deux
points de vue différentiels aussi distincts, jusqu'ici sans cesse
confondus dans les équations thermologiques, pourraient y être
habituellement séparés avec facilité en appliquant à l'un d'eux
l'algorithme spécial des variations, qui conviendrait surtout au second.
Un tel perfectionnement ne se bornerait pas à l'amélioration des
notations fondamentales, ce qui d'ailleurs aurait déjà, pour tout
analyste, une extrême importance. Mais je ne doute pas, en outre, que
l'emploi judicieux des transformations générales enseignées par le
calcul des variations pour isoler les deux caractéristiques, ne
contribuât beaucoup à simplifier l'ensemble de la solution analytique,
en même temps qu'à l'éclaircir, et à la mettre mieux en harmonie avec la
marche du phénomène thermologique. La nature et l'étendue de mes travaux
propres ne me laissant guère l'espoir de suivre jamais cette pensée
d'une manière convenablement spéciale, j'ai dû la livrer immédiatement
aux géomètres qui seraient disposés à profiter d'une telle ouverture.
Après avoir suffisamment caractérisé sous ses principaux aspects la
théorie mathématique de la propagation graduelle et continue de la
chaleur ou du froid dans les corps solides, il resterait à analyser
philosophiquement la doctrine générale de Fourier en ce qui concerne
l'étude de la chaleur rayonnante. Mais cette opération ne pourrait
s'effectuer clairement qu'à l'aide de développemens très étendus qui
seraient ici déplacés. D'ailleurs, les considérations précédentes,
relatives à la question la plus importante et la plus difficile, font
assez concevoir comment les phénomènes thermologiques ont pu être
irrévocablement ramenés à des lois mathématiques, ce qui devait être,
dans cet ouvrage, mon seul but essentiel. Je me bornerai donc, quant à
l'analyse du rayonnement, à signaler ici son résultat général le plus
remarquable, qui consiste dans l'explication rationnelle du mode suivant
lequel varie l'intensité du rayonnement d'après sa direction.
J'ai déjà noté à ce sujet, dans la leçon précédente, comment M. Leslie
avait découvert, par une expérimentation ingénieuse, la variation
continuelle de cette intensité proportionnellement aux sinus des angles
que forment les rayons, soit émergens, soit incidens, avec la surface
correspondante. Or, Fourier a pleinement démontré que cette loi est
indispensable à l'établissement ou au maintien de l'équilibre
thermométrique entre deux corps quelconques. Une molécule placée
arbitrairement dans l'intérieur d'une enceinte très étendue, dont toutes
les parties sont exactement à une même température constante, prend
toujours, au bout d'un certain temps, cette température commune, et la
conserve indéfiniment quand elle l'a une fois acquise: c'est ce
qu'indiquent clairement les observations les plus vulgaires. Il est
d'abord aisé de prouver qu'un tel résultat ne saurait avoir lieu si
toutes les parties de l'enceinte rayonnaient sur la molécule avec la
même énergie, abstraction faite de l'inégalité des distances: la chaleur
émise perpendiculairement à la surface de l'enceinte ne peut donc avoir
la même intensité que celle qui en émane suivant des directions plus ou
moins obliques. Les considérations employées par Fourier montrent
ensuite, d'après une analyse plus approfondie, que cette température
commune n'existerait pas davantage si l'on faisait varier l'intensité du
rayonnement suivant toute autre loi que celle du sinus de l'obliquité:
l'état thermométrique de la molécule dépendrait alors de sa situation,
et pourrait présenter les différences les plus absurdes d'une position à
l'autre, au point d'être, en certains cas, très supérieur ou très
inférieur à l'état général et permanent de l'enceinte. La démonstration
est simple, quand on a seulement égard à la chaleur directement envoyée
à la molécule par chaque élément de l'enceinte; mais elle se complique
beaucoup lorsqu'on vient à considérer, comme l'exige une analyse
complète, celle qui peut en provenir aussi après un nombre quelconque de
réflexions successives. Enfin, il suffit de remplacer la molécule
proposée par un corps de dimensions sensibles, pour étendre le même
raisonnement mathématique à la partie de la loi empirique de M. Leslie,
qui concerne la chaleur reçue au lieu de la chaleur émise. Ainsi, ce
beau travail de Fourier rattache directement au simple fait général et
vulgaire de l'équilibre thermométrique cette loi remarquable, base
principale de la théorie du rayonnement, et que les expériences des
physiciens ne pouvaient sans doute établir que d'une manière seulement
approximative. Cette démonstration difficile constitue certainement une
des plus heureuses applications de l'analyse mathématique aux études
physiques, envisagées sous un point de vue spécial.
D'après le plan général établi dans les prolégomènes de cet ouvrage, la
philosophie naturelle, conçue abstraitement, doit être le seul sujet de
notre examen habituel, et nous avons dû nous interdire d'y comprendre,
d'ordinaire, les considérations concrètes relatives à l'ensemble de
l'histoire naturelle proprement dite, le système des sciences
secondaires ne pouvant être qu'une dérivation de celui des sciences
fondamentales (voyez la deuxième leçon). Je ne saurais donc envisager
ici, avec toutes les indications spéciales qu'exigerait son exacte
appréciation philosophique, l'importante théorie des températures
terrestres, qui constitue cependant l'application la plus essentielle et
en même temps la plus difficile de la thermologie mathématique.
Toutefois, je ne puis m'empêcher de signaler sommairement une partie
aussi neuve et aussi intéressante de la doctrine générale créée par
Fourier.
La température propre à chaque point de notre globe est essentiellement
due, abstraction faite des influences purement locales ou accidentelles,
à l'action diversement combinée de trois causes générales et
permanentes: 1º la chaleur solaire, affectant inégalement les différens
lieux, et partout assujettie à des variations périodiques; 2º la chaleur
intérieure propre à la terre dès l'origine de sa formation à l'état de
planète distincte; 3º enfin, l'état thermométrique général de l'espace
occupé par le monde dont nous faisons partie. La seconde cause agit
seule directement sur tous les points de la masse terrestre; l'influence
des deux autres est immédiatement limitée à la seule surface extérieure.
Elles sont, d'ailleurs, énumérées ici dans l'ordre effectif suivant
lequel elles ont pu nous être successivement dévoilées, c'est-à-dire
d'après leur participation plus ou moins étendue et plus ou moins
évidente à la production des phénomènes thermologiques de la surface,
les seuls complètement observables.
Avant Fourier, ces phénomènes étaient regardés, par l'ensemble des
physiciens et des naturalistes, comme devant être uniquement attribués à
l'action solaire, tant leur analyse avait été jusque alors vague et
superficielle. L'opinion d'une chaleur centrale était à la vérité très
ancienne; mais cette hypothèse, arbitrairement rejetée par les uns,
tandis que les autres l'admettaient d'une manière non moins hasardée,
n'avait réellement aucune consistance scientifique, la discussion
n'ayant jamais porté sur la part que cette chaleur originaire pouvait
avoir aux variations thermologiques de la surface. La théorie
mathématique de Fourier lui a montré clairement que, à cette surface,
les températures différeraient extrêmement de ce que nous observons,
soit quant à leur valeur, soit surtout quant à leur comparaison
générale, si la masse terrestre n'était point partout pénétrée d'une
chaleur propre et primitive, indépendante de l'action du soleil, et qui
tend à se perdre, à travers l'enveloppe, par son rayonnement vers les
autres astres, quoique l'atmosphère doive ralentir beaucoup cette
déperdition naturelle. Cette chaleur originaire contribue directement
très peu aux températures superficielles effectives; mais elle empêche
que leurs variations périodiques suivent d'autres lois que celles qui
doivent résulter de l'influence solaire, laquelle, sans cela, se
perdrait, en majeure partie, dans la masse totale du globe. En
considérant les points intérieurs, même très près de l'enveloppe, et à
une distance d'ailleurs d'autant moindre qu'ils sont plus rapprochés de
l'équateur, la chaleur centrale devient prépondérante, et bientôt c'est
elle qui règle exclusivement les températures correspondantes, dont la
fixité rigoureuse, et l'accroissement graduel à mesure que la profondeur
augmente, ont tant attiré dans ces derniers temps l'attention des
observateurs.
Quant à la troisième cause générale des températures terrestres,
personne, jusqu'à Fourier, n'en avait seulement conçu la pensée. Et
néanmoins, comme cet illustre philosophe avait coutume de l'indiquer à
ceux qu'il honorait de ses entretiens familiers, si, quand la terre a
quitté une partie quelconque de son orbite, elle y laissait un
thermomètre, cet instrument, supposé soustrait à l'action solaire, ne
pourrait sans doute baisser indéfiniment; la liqueur s'arrêterait
nécessairement à un certain point, qui indiquerait la température de
l'espace où nous circulons. Cette ingénieuse supposition n'est que
l'énoncé le plus simple et le plus frappant du résultat général des
travaux de Fourier à ce sujet, qui ont clairement établi que la marche
effective des températures à la surface de notre globe serait totalement
inexplicable, même en ayant égard à la chaleur intérieure, si l'espace
ambiant n'avait point une température propre et déterminée, qui doit
très peu différer de celle qu'on observerait réellement aux deux pôles
de la terre, quoique son évaluation véritable présente jusqu'ici quelque
incertitude. Il est remarquable que, des deux causes thermologiques
nouvelles découvertes par Fourier, la première soit susceptible d'être
directement mesurée à l'équateur, à quelques centimètres de la surface,
et la seconde aux pôles; tandis que, sur tous les points intermédiaires,
l'observation a besoin d'être dirigée et interprétée par une analyse
mathématique approfondie pour qu'on puisse démêler, dans ses indications
totales, l'influence propre à chacune des trois actions fondamentales.
Le grand problème des températures terrestres étant ainsi défini quant à
ses élémens généraux, sa solution mathématique constitue l'application
la plus difficile de la thermologie analytique. Il s'agit alors
d'analyser exactement la marche des températures dans une sphère donnée,
dont l'état initial est exprimé par une fonction déterminée, mais
inconnue, des coordonnées d'une molécule quelconque, et dont la surface,
en même temps qu'elle rayonne vers un milieu qu'on doit supposer à une
température constante, d'ailleurs ignorée, reçoit continuellement
l'influence d'une cause thermologique variable, exprimée par une
fonction périodique très complexe, quoique donnée, du temps écoulé: il
faut encore avoir égard à l'enveloppe gazeuse dont cette sphère est
entourée, et qui doit sensiblement modifier le mouvement naturel de la
chaleur à sa surface. L'extrême complication d'un tel problème, et notre
ignorance nécessaire à l'égard de l'une des conditions essentielles, ne
sauraient permettre d'en obtenir une solution rationnelle vraiment
complète, quoiqu'on puisse le simplifier en regardant la température
initiale de chaque molécule intérieure comme dépendant seulement de sa
distance au centre. Toutefois, l'état thermologique de la surface ou des
couches qui l'avoisinent devant constituer ici la plus intéressante
partie de la recherche, il a été possible, en dirigeant judicieusement
tous les efforts vers ce seul but, de parvenir, sous ce rapport, à des
résultats très satisfaisans, essentiellement dégagés de toute hypothèse
précaire sur la loi relative à la chaleur intérieure, envers laquelle
Fourier s'est toujours si sagement abstenu de prononcer. La marche
générale des températures superficielles est désormais nettement
caractérisée dans ses variations principales, soit diurnes, soit
annuelles; nous connaissons le mode suivant lequel y participe chacune
des trois causes thermologiques; enfin, nous apprécions convenablement
l'influence essentielle de l'atmosphère, qui, par une alternative
périodique, échauffe et refroidit tour à tour la surface, et contribue
ainsi à la régularité des phénomènes. Quoique cette étude difficile soit
encore si près de sa naissance, ses progrès principaux, relativement à
ce que nous pouvons espérer d'en connaître d'une manière positive, ne
dépendent essentiellement désormais que du perfectionnement des
observations, dont la belle théorie de Fourier a d'ailleurs nettement
tracé le plan le plus rationnel. Quand les données indispensables du
problème seront ainsi mieux connues, celle théorie permettra de remonter
avec certitude à quelques indications précises sur l'ancien état
thermologique de notre globe, aussi bien que sur ses modifications
futures. Mais, dès aujourd'hui, nous avons obtenu par là un résultat
définitif d'une haute importance philosophique, en reconnaissant que
l'état périodique de la surface est maintenant devenu essentiellement
fixe, et ne peut éprouver que d'imperceptibles variations par le
refroidissement continu de la masse intérieure dans la suite des
siècles postérieurs. Ce résumé rapide, quelque imparfait qu'il soit,
montre clairement quelle admirable consistance scientifique a pris tout
à coup, par les seuls travaux d'un homme de génie, cette branche
fondamentale de l'histoire naturelle du globe terrestre, qui, jusqu'à
Fourier, ne se composait que d'opinions vagues et arbitraires,
entremêlées de quelques observations incomplètes et incohérentes, d'où
ne pouvait résulter aucune exacte notion générale.
Tels sont, en aperçu, les principaux caractères scientifiques de la
thermologie mathématique créée par le génie du grand Fourier. Beaucoup
de géomètres contemporains se sont déjà empressés de parcourir cette
nouvelle carrière ouverte à l'esprit mathématique, mais sans ajouter
réellement jusqu'ici rien de vraiment capital aux résultats des travaux
de Fourier. On doit même dire que la plupart d'entre eux n'ont vu
essentiellement encore, en de telles recherches, qu'un nouveau champ
d'exercices analytiques, où l'on pouvait aisément obtenir une célébrité
momentanée, en modifiant, d'une manière plus ou moins intéressante, les
cas traités par l'illustre fondateur. Ces travaux secondaires
n'indiquent pas, le plus souvent, ce sentiment profond de la vraie
philosophie mathématique, dont Fourier fut peut-être plus éminemment
pénétré qu'aucun autre grand géomètre, et qui consiste surtout dans la
relation intime et continue de l'abstrait au concret, comme je me suis
tant efforcé de l'établir nettement. On a vu, par exemple, un géomètre,
aujourd'hui très renommé, attacher une puérile importance à reprendre
l'équation fondamentale de la propagation de la chaleur, en y concevant
variable, d'un point à un autre, la perméabilité, que Fourier avait
supposée constante, mais en continuant d'ailleurs à l'y regarder comme
identique en tous sens. Néanmoins, dans cet ensemble, déjà très étendu,
de recherches analytiques sur la thermologie, il faut distinguer les
travaux de M. Duhamel, les seuls dignes jusqu'ici d'être remarqués comme
ajoutant réellement quelque chose à la théorie fondamentale de Fourier,
en cherchant à perfectionner la représentation analytique des phénomènes
effectifs. J'indiquerai surtout l'heureuse conception de ce géomètre sur
la perméabilité.
M. Duhamel a senti qu'il serait illusoire de faire varier cette
propriété dans les différens points d'un corps, si, pour chaque
molécule, on la laissait égale en tous sens, ses modifications réelles
devant être, évidemment, bien plus prononcées selon les directions que
suivant les lieux. Il a donc reformé l'équation générale de la
thermologie, en y regardant la perméabilité comme assujettie à ces deux
ordres simultanés de variations. Son analyse l'a conduit à découvrir un
théorème général très remarquable sur les relations fixes des diverses
perméabilités d'une même molécule quelconque dans toutes les directions
différentes. Ce théorème est relatif au cas où la perméabilité serait la
même en tous les points du corps, et varierait seulement, pour chacun
d'eux, suivant les directions. Il consiste en ce que, dans une telle
hypothèse, il existe toujours, pour une masse quelconque, trois
directions rectangulaires déterminées, que M. Duhamel a judicieusement
nommées _axes principaux de conductibilité_, et selon lesquelles le flux
de chaleur a la même valeur que si la conductibilité était constante: le
flux est un _maximum_ relativement à l'un de ces axes, et varie, en tout
autre sens, proportionnellement au cosinus de l'angle correspondant. Ces
axes thermologiques offrent, en général, par l'ensemble de leurs
propriétés, une analogie intéressante et soutenue avec les axes
dynamiques découverts par Euler dans la théorie des rotations: il est
digne de remarque que les uns et les autres soient caractérisés par les
mêmes conditions analytiques, comme l'a montré M. Duhamel. Leur
considération présente surtout la même importance pour faciliter
l'étude analytique du phénomène, puisque, en y rapportant les
coordonnées, M. Duhamel est parvenu à rendre l'équation fondamentale
aussi simple, dans le cas de la perméabilité variable, que Fourier
l'avait établie pour la conductibilité constante, avec cette seule
différence que les trois termes du second ordre n'y ont plus des
coefficiens égaux. Cette intéressante découverte, envisagée sous le
point de vue philosophique, complète, d'une manière remarquable,
l'harmonie fondamentale, déjà signalée à tant d'autres égards par
Fourier, entre l'analyse thermologique et l'analyse dynamique. Son
utilité effective est, toutefois, notablement diminuée par la nature
essentiellement hypothétique de la constitution thermologique
correspondante: car, le théorème cesse nécessairement d'avoir lieu
lorsqu'on vient à envisager la perméabilité comme variable,
non-seulement selon les directions, mais aussi suivant les points, ce
qui est, néanmoins, sans doute, le cas réel, à l'égard duquel M. Duhamel
a d'ailleurs établi ensuite l'équation différentielle complète du
phénomène.
On n'a point encore tenté d'examiner les modifications que devrait
éprouver la thermologie mathématique, en tenant compte des changemens
que l'accomplissement du phénomène peut introduire, à ses diverses
époques, dans la perméabilité propre à chaque molécule et à chaque
direction: il en est ainsi des altérations analogues de la chaleur
spécifique. Aucune de ces propriétés, et surtout la dernière, ne saurait
cependant être envisagée comme rigoureusement invariable à toutes les
températures, conformément à ce que j'ai indiqué dans la leçon
précédente. Leurs inégalités doivent, sans doute, exercer une influence
réelle sur tous les cas qui comportent des changemens de température
très étendus. Il serait difficile d'y avoir égard sans compliquer
beaucoup les équations thermologiques fondamentales, dont l'intégration
deviendrait alors peut-être entièrement inextricable, comme on le voit
ordinairement dans l'étude analytique des phénomènes physiques
quelconques, même les plus simples, quand on veut trop rapprocher l'état
abstrait de l'état concret. Ces modifications sont même celles qui, par
leur nature, compliqueraient le plus les difficultés fondamentales du
problème thermologique, envisagé sous le point de vue analytique; car,
en y ayant égard, l'équation différentielle de la propagation de la
chaleur, cesserait nécessairement d'être _linéaire_, et par conséquent
échapperait dès lors à toutes les méthodes d'intégration employées
jusqu'ici, toujours essentiellement relatives à un tel genre
d'équations. Toutefois, l'ignorance complète où nous sommes encore des
lois effectives de ces altérations, dont l'existence est à peine
constatée jusqu'ici par les observations, obligera long-temps les
géomètres et les physiciens à supposer ces deux propriétés spécifiques
parfaitement constantes, quoique cette hypothèse primitive doive être
rectifiée plus tard. La philosophie astronomique nous a fréquemment
montré combien il importe que le véritable esprit scientifique
n'introduise pas, dans ses conceptions rationnelles, une complication
prématurée, quand l'exploration plus attentive des phénomènes n'en a
point encore manifesté la nécessité positive.
Il y a tout lieu de penser que cette maxime philosophique, dont la
sagesse est évidente, a seule empêché Fourier de prendre en
considération toutes les diverses modifications indiquées ci-dessus. Il
a dû même s'abstenir essentiellement d'attirer l'attention sur elles,
dans la crainte de compliquer l'exposition fondamentale d'une théorie
aussi neuve par l'introduction de difficultés accessoires, qui en
auraient obscurci le caractère principal. Ses méditations lui avaient
sans doute montré comment ses successeurs, en poursuivant la carrière
ouverte par son génie, pourraient avoir aisément égard à toutes les
considérations secondaires qu'il avait judicieusement élaguées,
lorsqu'elles auraient été convenablement définies, sauf les embarras
analytiques qui en résulteraient.
Je me suis efforcé, dans cette leçon, de donner, aussi nettement que
possible, sans sortir des limites conformes à la nature de cet ouvrage,
une faible idée générale de l'admirable théorie mathématique créée par
Fourier pour perfectionner l'étude des phénomènes thermologiques
fondamentaux. Indépendamment du génie, non seulement analytique, mais
surtout mathématique, qui caractérise si éminemment ce bel ensemble de
découvertes, on a dû remarquer, dans mon imparfaite indication, avec
quelle persévérante sagesse philosophique Fourier s'était
scrupuleusement attaché, dès l'origine de ses recherches, à la
thermologie positive, dont il ne s'écarta jamais un seul instant tout en
prenant l'essor le plus sublime, à une époque où néanmoins, partout
autour de lui, on s'accordait à ne regarder comme dignes de l'attention
des penseurs que les travaux propres à appuyer telle ou telle conception
arbitraire sur la nature de la chaleur. En considérant d'une manière
impartiale et approfondie l'harmonie de ces hautes qualités, dont la
perte est peut-être encore trop récente pour être convenablement
appréciée par le vulgaire des savans, je ne crains pas de prononcer,
comme si j'étais à dix siècles d'aujourd'hui, que, depuis la théorie de
la gravitation, aucune création mathématique n'a eu plus de valeur et de
portée que celle-ci, quant aux progrès généraux de la philosophie
naturelle: peut-être même, en scrutant de près l'histoire de ces deux
grandes pensées, trouverait-on que la fondation de la thermologie
mathématique par Fourier était moins préparée que celle de la mécanique
céleste par Newton.
Et cependant un tel génie a été long-temps méconnu; ses créations ont
été contestées par d'indignes rivaux; et, lorsqu'il n'a plus été
possible de nier ses droits irrécusables, on s'est efforcé d'atténuer
l'importance de ses immortels travaux. Enfin, quand il nous fut ravi, à
peine commençait-il à jouir librement, depuis quelques années, de la
plénitude d'une gloire si hautement méritée: il a disparu sans avoir
exercé, dans le monde savant, cette prépondérance paisible et continue
du maître sur les disciples, dernière fonction sociale naturellement
assignée aux hommes de génie, dont elle constitue la principale
récompense après le libre développement de leur activité essentielle,
que Newton, Euler et Lagrange obtinrent si complétement, et que Fourier
était, comme eux, si propre à rendre éminemment profitable aux progrès
généraux de l'esprit humain. Une telle destinée a dû être sans doute
bien imparfaitement compensée par la conviction profonde et habituelle
que la postérité le classerait indéfiniment dans le très petit nombre
des géomètres vraiment créateurs, dès l'époque prochaine où l'on aurait
oublié presque jusqu'au nom de ceux que la médiocrité de ses
contemporains avait osé placer à son niveau et même au-dessus de
lui[29].
[Note 29: On excusera, j'espère, ce faible témoignage
spécial, consacré à la mémoire vénérée d'un illustre ami,
dont le génie vraiment supérieur n'a généralement obtenu
qu'une tardive et incomplète justice.]