Considérations générales sur la statique céleste.
Avant l'admirable découverte de Newton, les phénomènes célestes étaient
liés entre eux, à un certain degré, par les trois grandes lois de
Képler. Mais cette liaison, quoique infiniment précieuse, était
nécessairement fort imparfaite; car elle laissait entièrement
indépendans les uns des autres les phénomènes qui se rattachaient à deux
lois différentes. La réduction de ces trois divers faits généraux à un
fait unique et encore plus général, a établi, au contraire, parmi tous
les phénomènes intérieurs de notre monde, une harmonie rigoureusement
universelle, qui permet toujours d'apercevoir exactement, d'une manière
plus ou moins indirecte, la relation intime et nécessaire de deux
quelconques d'entre eux, constamment rattachés désormais à une théorie
commune, qui les lie en outre à nos principaux phénomènes terrestres.
C'est ainsi que la science astronomique a enfin acquis la plus haute
perfection spéculative dont nos études soient jamais susceptibles,
l'entière systématisation mathématique de toutes ses diverses parties;
en sorte qu'il n'y aurait rien à gagner, sous ce rapport, à découvrir un
principe encore plus étendu, quand même un tel espoir ne devrait pas
être regardé comme éminemment chimérique.
On ne connaîtrait donc pas convenablement la conception fondamentale de
la mécanique céleste en se bornant à l'envisager en elle-même, ainsi que
nous avons dû le faire dans la leçon précédente. Afin d'en sentir
dignement toute la valeur philosophique, il est indispensable de
caractériser maintenant, sous ses divers aspects principaux,
l'application de la théorie de la gravitation à l'explication
mathématique des phénomènes célestes et au perfectionnement de leur
étude. Tel est l'objet spécial de cette leçon et de la suivante.
Pour faciliter cet aperçu général, je crois utile de transporter ici la
distinction élémentaire que j'ai établie dans l'examen de la géométrie
céleste, entre les phénomènes propres à chaque astre envisagé comme
immobile, et ceux qui concernent ses divers mouvemens. Cette division
est sans doute, en mécanique céleste, plus astronomique que
mathématique; car les deux genres de questions ne présentent point
d'ailleurs des différences bien tranchées quant à leur degré de
difficulté, ni quant à la nature des considérations employées, toujours
nécessairement relatives à une même pensée fondamentale. Mais elle me
paraît propre à éclaircir cette importante exposition, en la rendant
plus méthodique que ne le permet l'ordre essentiellement arbitraire
qu'on y suit ordinairement. La leçon actuelle sera consacrée aux
phénomènes statiques, et la suivante aux phénomènes dynamiques.
La détermination des masses de nos différens astres est aussi
fondamentale, en mécanique céleste, que celle de leurs distances en
géométrie céleste, puisque, sans elle, on ne pourrait évidemment se
former aucune idée exacte de leur gravitation mutuelle. Une telle
connaissance présente en même temps la manifestation la plus saillante
des ressources générales que la théorie de la gravitation nous a
procurées pour obtenir à l'égard des astres des notions entièrement
nouvelles, qui devaient jusque alors nous paraître, quoique à tort,
radicalement inaccessibles. Essayons de caractériser successivement les
trois procédés principaux qu'on applique à cette importante recherche,
et qui diffèrent beaucoup, soit en généralité, soit en simplicité.
Le moyen le plus général, le seul même qui soit réellement applicable à
tous les cas, mais aussi celui dont l'emploi est le plus difficile,
consiste à analyser, aussi exactement que possible, la part spéciale de
chaque astre dans les perturbations qu'éprouve le mouvement principal
d'un autre, en translation ou en rotation. Cette influence ne dépend
évidemment que de deux élémens, la distance et la masse de l'astre
considéré. Le premier est bien connu; et le second, qui est constant,
étant introduit dans le calcul comme un coefficient indéterminé, sa
valeur pourra être appréciée par la comparaison du résultat avec les
observations directes. Malheureusement, dans l'état présent de la
mathématique abstraite, l'analyse des perturbations ne saurait être, par
sa nature, que simplement approximative, comme l'indiquera la leçon
suivante. Il est surtout extrêmement difficile d'isoler, dans chaque
perturbation totale, ce qui tient spécialement à l'action de tel astre
proposé; quelque soin qu'on apporte dans le choix des divers
dérangemens, on ne parvient guère à établir cette séparation d'une
manière aussi précise que l'exigerait une semblable détermination. Aussi
les astronomes et les géomètres sont-ils loin de compter autant
jusqu'ici sur les masses qui n'ont pu être obtenues que par cette
méthode, que sur celles qui ont permis l'application des autres
procédés.
Tel était à cet égard l'état de la mécanique céleste, lorsque, dans ces
dernières années, M. Poinsot a imaginé pour ces évaluations
fondamentales un moyen parfaitement rationnel, le plus direct et le
plus sûr de tous, quoique, par sa nature, son emploi exige
malheureusement beaucoup de temps[12]. Au lieu de se borner à démêler
péniblement dans les diverses perturbations naturelles l'influence
détournée et peu distincte de chaque masse envisagée séparément, M.
Poinsot propose de déterminer désormais toutes les masses à la fois, par
l'examen d'un nouveau genre de perturbations, en quelque sorte
artificielles, spécialement adaptées à un tel usage, et les seules qui
observent nécessairement entre elles une relation invariable, aussi
simple que rigoureuse. Il s'agit des changemens que l'action mutuelle
des astres de notre monde fait subir aux aires décrites en un temps
donné par leurs rayons vecteurs autour du centre de gravité général. On
sait, d'après la mécanique rationnelle, que parmi ces diverses
variations il s'opère nécessairement une telle compensation, que la
somme algébrique de toutes ces aires, projetées en un instant quelconque
sur un même plan d'ailleurs arbitraire, et multipliées chacune par la
masse correspondante, demeure rigoureusement invariable. Ainsi, en
comparant entre eux les divers états du ciel à des époques suffisamment
distinctes, l'égalité mutuelle de toutes ces sommes peut fournir, dans
la suite des temps, autant d'équations qu'on voudra, propres à faire
connaître, si l'on a eu soin d'en former le nombre convenable, les
valeurs des différentes masses, seules inconnues qu'elles contiennent,
puisque les aires sont d'ailleurs exactement mesurables, d'après les
positions et les vitesses effectives des astres considérés.
[Note 12: Voyez le beau Mémoire de ce grand géomètre sur
la vraie théorie du _plan invariable_, maintenant annexé à
la dernière édition de sa _Statique_.]
Indépendamment de sa rationnalité parfaite et de son entière généralité,
cette méthode présente un caractère philosophique bien remarquable, en
ce que, comme l'indique avec raison M. Poinsot, elle rend l'évaluation
des masses relatives de tous les astres de notre monde entièrement
indépendante de la loi de gravitation, suivant l'esprit de la théorie
des aires, ce que jusque alors aucun géomètre n'eût jamais jugé
possible. Il en résulte d'ailleurs que les résultats ne sont plus
affectés des approximations relatives à cette loi dans les calculs
ordinaires de la mécanique céleste.
On doit vivement regretter que la nature de cette méthode ne permette
point son application immédiate, ne fût-ce que pour obtenir, par la
confrontation de ses résultats avec ceux déjà connus, une des
confirmations les plus décisives de la théorie de la gravitation. Mais
la nécessité évidente d'attendre que toutes les aires individuelles
aient assez varié pour rendre significative la comparaison de leurs
sommes, exige un intervalle considérable entre les époques successives,
dont le nombre dépend d'ailleurs de celui des masses cherchées. Le temps
total doit même être d'autant plus grand que, d'après la rectification
importante apportée par M. Poinsot à la théorie générale des aires, il
est mathématiquement indispensable de prendre en considération celles
qui résultent des rotations, comme je l'indiquerai plus tard au sujet du
plan invariable. Cette obligation, en introduisant dans les équations
les divers momens d'inertie, tendrait à doubler le nombre des époques
nécessaires pour obtenir des résultats parfaitement rigoureux; mais en
procurant, à la vérité, une nouvelle détermination essentielle, qui
devait sembler d'abord encore plus inaccessible que celle des masses.
Les observations suffisamment précises sont encore si peu anciennes que
le passé nous offrirait à cet égard un bien petit nombre d'équations, en
sorte qu'un tel procédé ne deviendrait entièrement applicable, sans
aucun auxiliaire, que dans un avenir assez lointain. Je n'ai pas cru
néanmoins pouvoir me dispenser d'indiquer cette méthode générale et
directe, dont le caractère spéculatif est si parfait. On doit
reconnaître d'ailleurs qu'en la réservant pour les masses qui ne sont
pas encore bien connues d'une autre manière, et en négligeant d'abord
les termes peu influens, le temps nécessaire à son application effective
se trouverait notablement abrégé[13].
[Note 13: Cette méthode de M. Poinsot me fait naître
l'idée d'un nouveau moyen rationnel, analogue au précédent,
pour déterminer simultanément les masses de tous les astres
de notre monde, d'après un autre théorème fondamental de
mécanique rationnelle, la conservation nécessaire du
mouvement du centre de gravité de l'ensemble de ces astres,
quelles que puissent être les perturbations provenant de
leur action mutuelle. Il en résulte la constance, à une
époque quelconque, de la somme des produits de toutes les
diverses masses par les vitesses correspondantes,
décomposées suivant une même droite arbitraire; ce qui peut
fournir autant d'équations qu'on voudra comparer d'époques.
Dans l'estimation de ces produits pour les différentes
molécules de chaque astre, il est clair, quant à la
translation, qu'on pourrait traiter l'astre comme condensé à
son centre de gravité, d'après la propriété fondamentale de
ce point; et, quant à la rotation, cette même propriété
indique qu'il n'y aurait pas lieu à la considérer, puisque
l'ensemble des produits qui en résulteraient serait
nécessairement nul pour l'astre entier. Ce procédé me
semblerait donc plus simple que celui fondé sur le théorème
des aires: il exigerait moins d'équations, et par suite
beaucoup moins de temps pour son application complète, en ne
procurant point, il est vrai, l'évaluation des momens
d'inertie, indispensable à la détermination du plan
invariable. La durée totale de l'opération serait d'autant
moindre, que les vitesses varient avec plus de rapidité que
les aires, ce qui permettrait de rapprocher davantage les
époques comparatives d'observation.]
Après le procédé général fondé sur l'analyse des perturbations, soit
sous sa forme ordinaire, soit avec la modification si heureusement
imaginée par M. Poinsot, le moyen le moins restreint pour évaluer les
masses des astres de notre monde, est celui que Newton créa, dès
l'origine, à l'égard des planètes pourvues d'un satellite. La méthode,
aussi simple qu'immédiate, consiste à comparer le mouvement du
satellite autour de la planète, au mouvement de celle-ci autour du
soleil. On sait que, dans chacun d'eux, la gravitation exercée par
l'astre central, et qui doit être en raison de sa masse, est
proportionnelle au rapport entre le cube du demi-grand axe de l'orbite
et le quarré du temps périodique, en ramenant l'action, suivant la loi
ordinaire, à l'unité de distance. Ainsi, il suffit de comparer entre
elles les deux valeurs bien connues que prend cette fraction dans les
deux cas, pour obtenir aussitôt le rapport des masses du soleil et de la
planète. À la vérité, on néglige alors nécessairement la masse de la
planète vis-à-vis de celle du soleil, ou au moins du satellite envers la
planète. Mais l'erreur qui en résulte est trop peu importante, dans
presque tous les cas de notre monde, pour que le degré de précision
auquel nous pouvons réellement prétendre à l'égard des masses
planétaires en soit sensiblement affecté. La masse de Jupiter,
déterminée ainsi par Newton, n'a reçu qu'un très léger changement des
divers moyens qu'on a pu y appliquer depuis; et encore la différence
tient-elle, presqu'en totalité, à ce que les données du procédé
newtonien sont aujourd'hui mieux connues.
Enfin, la méthode la plus simple et la plus directe de toutes, mais
aussi la plus particulière, puisqu'elle est nécessairement bornée à la
planète qu'habité l'observateur, consiste à évaluer les masses relatives
par la comparaison des pesanteurs qu'elles produisent. Si la masse d'un
astre bien connu était exactement déterminée, elle permettrait
évidemment d'apprécier l'énergie de la pesanteur à sa surface, ou à une
distance quelconque donnée: donc, réciproquement, la mesure directe de
cette intensité suffira pour estimer la masse. Ainsi, les expériences du
pendule ayant mesuré, avec la dernière précision, la pesanteur
terrestre; en la diminuant, inversement au quarré de la distance, on
saura quelle serait sa valeur à la distance dit soleil; et l'on n'aura
dès lors qu'à la comparer avec la quantité, préalablement bien connue,
qui exprime l'action du soleil sur la terre, pour trouver immédiatement
le rapport de la masse de la terre à celle du soleil. Envers toute autre
planète, ce serait, au contraire, l'évaluation de sa masse qui
permettrait seule l'estimation de la gravité correspondante. Ce procédé
n'est, en réalité, qu'une modification du précédent, où la chute du
satellite se trouvait être au fond indirectement évaluée, au lieu de
résulter d'une expérience immédiate, qui permet sans doute un peu plus
de précision, surtout à cause de la masse du satellite, relativement à
celles qui nous servent à mesurer la pesanteur.
L'ensemble de tous ces divers moyens étant applicable à la terre, sa
masse comparée à la masse solaire, unité naturelle à cet égard, doit
être regardée comme la mieux connue de notre monde. La masse de la lune,
et surtout celle de Jupiter, sont aujourd'hui estimées presque aussi
parfaitement; viennent ensuite les masses de Saturne et d'Uranus; on
compte moins sur les trois autres déjà évaluées, celles de Mercure, de
Vénus et de Mars, quoique l'incertitude ne puisse pas y être très
grande. On ignore presque entièrement les masses des quatre planètes
télescopiques, et surtout celles des comètes, ce qui tient à leur
extrême petitesse, qui ne leur permet aucune influence appréciable sur
les perturbations. Ce caractère est particulièrement remarquable à
l'égard des comètes, qui, dans leur course allongée, passent fréquemment
dans le voisinage de forts petits astres, comme les satellites de
Jupiter et de Saturne, sans y produire aucun dérangement perceptible.
Quant aux satellites, en exceptant la lune, on ne connaît encore que les
valeurs approchées des masses de ceux de Jupiter.
Aucune exacte comparaison générale des résultats obtenus n'a pu
jusqu'ici faire apercevoir entre eux une harmonie quelconque. La seule
circonstance essentielle qu'ils présentent est l'immense supériorité de
la masse du soleil à l'égard de tout le reste de notre monde, dont la
masse, même réunie, en fait à peine la millième partie. On devait
évidemment s'y attendre, du moins à un certain degré, quoique rien
n'indiquât directement une aussi grande disproportion, si ce n'est la
petitesse des perturbations planétaires, qui en dépend essentiellement.
Du reste, à partir du soleil, on voit alterner, sans aucun ordre
sensible, des masses tantôt décroissantes, tantôt croissantes. On avait
pensé d'abord, conformément à une supposition _à priori_ de Képler, que
les masses étaient régulièrement liées aux volumes (d'ailleurs
irréguliers eux-mêmes, comme nous l'avons remarqué); en sorte que les
densités moyennes fussent continuellement moindres en s'éloignant du
soleil, en raison inverse des racines quarrées des distances. Mais,
indépendamment de cette loi numérique, qui ne s'observe jamais
exactement, le simple fait du décroissement des densités présente
quelques exceptions, entre autres pour Uranus. On ne saurait d'ailleurs
lui assigner aucun motif rationnel.
Tels sont, en aperçu, les divers moyens que possède aujourd'hui
l'astronomie, quant à l'évaluation relative des différentes masses qui
composent notre système solaire. Mais, pour compléter cette connaissance
fondamentale, il reste à indiquer comment on a pu rapporter enfin toutes
ces masses à nos unités de poids habituelles, par l'importante
détermination directe du véritable poids total de la terre, qui
constitue une des applications les plus simples et les plus
intéressantes de la théorie générale de la gravitation.
Bouguer est le premier qui ait aperçu distinctement la possibilité d'une
telle évaluation, en reconnaissant, dans sa célèbre expédition
scientifique au Pérou, l'influence du voisinage des grosses montagnes
pour altérer légèrement la direction de la pesanteur. On conçoit en
effet, d'après la loi fondamentale de la gravitation, qu'une masse
considérable, envisagée comme condensée en son centre de gravité, peut,
quand le fil-à-plomb s'en trouve très rapproché, déterminer en lui, à
raison de cette proximité, une gravitation secondaire, extrêmement
petite sans doute vis-à-vis de celle de l'ensemble de la terre, mais
néanmoins perceptible, qui le fasse dévier vers elle d'une quantité
presque insensible, susceptible cependant d'être mesurée par des
observations très délicates sur la comparaison de sa direction effective
avec la verticale naturelle du lieu, préalablement bien connue. Cette
déviation étant exactement appréciée, l'équation d'équilibre facile à
établir entre l'action de la montagne et celle de la terre doit
permettre d'en déduire le rapport des deux masses, et par suite la
valeur de la masse terrestre, d'après le poids de la montagne, puisque
toutes les autres quantités que renferme cette équation sont déjà
évidemment données. Les observations astronomiques ne pouvaient pas être
assez précises à l'époque de Bouguer pour que ce procédé fut dès lors
réellement applicable, tant est minime la déviation sur laquelle il
repose. Mais un demi-siècle après, Maskelyne parvint à constater, en
Écosse, une altération de cinq à six secondes dans la direction
naturelle de la pesanteur, et Hutton en déduisit le poids de la terre
égal à 4-1/8 fois celui d'un pareil volume d'eau distillée à son
_maximum_ de densité. Toutefois, un tel procédé présente évidemment,
outre la petitesse de la déviation, une source notable d'incertitude,
dans l'impossibilité de connaître avec assez d'exactitude le poids de la
montagne, qui ne peut être que grossièrement obtenu d'après son volume.
Quand Coulomb eut créé sa célèbre balance de torsion, destinée à la
mesure précise des plus petites forces quelconques, Cavendish conçut la
possibilité de déterminer beaucoup plus exactement la masse de la terre
en la comparant, à l'aide de cet appareil, à des masses artificielles,
susceptibles d'être parfaitement connues. C'est ainsi que, dans
l'immortelle expérience qu'il imagina, il parvint à rendre sensible
l'action de deux sphères de plomb sur un petit pendule horizontal, dont
les oscillations, comparées à celles que produit la pesanteur,
permettaient de déterminer mathématiquement, avec une précision
remarquable, le rapport de la masse de ces sphères à celle de la terre.
Par ce procédé bien plus parfait, Cavendish trouva la densité moyenne de
notre globe égale à 5-1/2 fois celle de l'eau; d'où l'on peut déduire,
si on le juge à propos, le vrai poids de la terre en kilogrammes ou en
tonneaux.
Indépendamment de l'importance d'une telle détermination, pour faire
connaître les masses et les densités effectives de tous les astres de
notre monde, ce qui est peu utile en astronomie, où l'on n'a besoin que
de leurs rapports, ce résultat présente la propriété essentielle de nous
fournir, sur la constitution intérieure de notre globe, une première
donnée générale, qui, fort incomplète sans doute, n'en est pas moins
infiniment précieuse, en vertu de son incontestable positivité, qui peut
déjà suffire à exclure plusieurs conjectures hasardées. En effet, la
densité moyenne de la terre étant, d'après cette mesure, très supérieure
à la densité des couches qui composent sa surface, formée d'eau en si
grande partie, il est indispensable que les couches deviennent, en
général, de plus en plus denses, en se rapprochant du centre, sauf les
irrégularités accidentelles, ce qui est d'ailleurs parfaitement en
harmonie avec l'indication mathématique de la mécanique céleste à
l'égard de toutes les planètes, comme nous le mentionnerons ci-après.
Une conjecture quelconque sur la structure interne de la terre est donc
désormais assujettie à cette indispensable condition, en sorte que
celles qui n'y satisferaient pas, en supposant vide par exemple
l'intérieur du globe, seraient, par cela même, radicalement fausses.
Mais, ce renseignement, le seul réel qui existe encore à cet égard, est
malheureusement très imparfait; car il ne donne évidemment aucun indice,
même sur l'état physique des couches internes, qu'on pourrait supposer
liquides et peut-être gazeuses, aussi bien que solides, sans que cette
condition fût effectivement violée.
La seconde grande détermination statique que nous devions caractériser
dans la mécanique céleste, concerne l'importante et difficile étude
mathématique de la figure des astres, envisagée comme déduite de la
théorie générale de leur équilibre, indépendamment d'aucune mesure
géométrique.
Si la terre, ou toute autre planète, avait toujours été dans l'état de
consistance que nous observons, la mécanique céleste n'aurait évidemment
aucune base pour déterminer _à priori_ sa figure, puisque l'équilibre
d'un système solide est certainement compatible avec une forme
extérieure quelconque. C'est pourquoi les géomètres, afin d'étudier la
figure des astres d'après les règles générales de la statique, ont dû
les supposer antérieurement fluides, du moins à la surface, ce qui ne
permet plus l'équilibre qu'avec certaines formes spéciales. L'accord
remarquable des principaux résultats de cette hypothèse indispensable
avec l'ensemble des observations directes, a démontré ensuite la
justesse d'une conjecture indiquée d'ailleurs, surtout envers la terre,
par beaucoup d'autres phénomènes.
En considérant ainsi la question d'une manière générale, il est d'abord
évident que, si les astres n'avaient aucun mouvement de rotation, la
figure parfaitement sphérique conviendrait à l'équilibre de leurs
molécules, puisque la pesanteur, dès lors constamment dirigée au centre,
serait toujours perpendiculaire aux couches de niveau, pourvu qu'on les
supposât homogènes, et que la densité variât seulement de l'une à
l'autre, suivant une loi d'ailleurs arbitraire. Mais on conçoit aisément
que la force centrifuge engendrée par la rotation doit nécessairement
modifier cette forme primitive, en altérant plus ou moins soit la
direction, soit l'intensité de la pesanteur proprement dite.
Sous le premier point de vue, qui est celui d'Huyghens, il est facile de
constater que si la terre, par exemple, était exactement sphérique, la
force centrifuge écarterait sensiblement le fil-à-plomb de la direction
perpendiculaire à la surface. Cette déviation, nécessairement nulle au
pôle, où la force centrifuge n'existe pas, et à l'équateur, où elle agit
suivant la même droite que la pesanteur, atteindrait son _maximum_ vers
quarante-cinq degrés de latitude, où elle devrait être d'environ six
minutes, et, par conséquent, très appréciable. Ainsi, la droite décrite
par les corps dans leur chute naturelle, c'est-à-dire celle suivant
laquelle se dirige, en chaque lieu, la résultante de la gravité et de la
force centrifuge, ne saurait être, conformément à toutes les
observations et à la théorie générale de l'équilibre des fluides,
exactement perpendiculaire à la surface, qu'autant que la planète cesse
d'être une sphère parfaite, pour devenir un sphéroïde aplati aux pôles
et renflé à l'équateur.
Il en est de même sous le point de vue de l'intensité, que Newton
adopta. Deux colonnes fluides menées du centre de l'astre à son pôle et
à son équateur, doivent nécessairement, pour l'égalité de leurs poids,
avoir des longueurs inégales, puisque la gravité naturelle n'est
nullement affaiblie dans la première par la force centrifuge, qui, au
contraire, diminue diversement la pesanteur propre à chacun des points
de la seconde. La comparaison des colonnes correspondantes à deux
latitudes quelconques donnerait lieu évidemment à une remarque analogue,
la différence y étant seulement moins prononcée. Les divers rayons de
l'astre doivent donc augmenter graduellement depuis le pôle jusqu'à
l'équateur, et rester seulement égaux entre eux à la même latitude,
comme dans une surface de révolution.
Cette première vue du sujet explique donc, d'une manière aussi
élémentaire que satisfaisante, et la forme presque sphérique de tous
nos astres, et le léger aplatissement que chacun d'eux nous présente à
ses pôles. Mais quand on veut aller au-delà de cet aperçu général, et
déterminer mathématiquement la véritable figure, ainsi que la valeur
exacte de l'aplatissement, la question devient tout-à-coup
transcendante, et présente des obstacles qui ne sauraient jamais être
entièrement surmontés.
La cause essentielle de ces hautes difficultés tient à ce que, par sa
nature, le fond d'une telle recherche présente une sorte de cercle
vicieux, qui ne comporte point d'issue parfaitement rationnelle. En
effet, la théorie mathématique de l'équilibre des fluides exige
évidemment que, pour former l'équation de la surface, on connaisse
d'abord la vraie loi de la pesanteur dont ses diverses molécules sont
animées. Or, d'un autre côté, cette loi ne saurait être exactement
déterminée, d'après la théorie fondamentale de la gravitation, qu'autant
que la forme de l'astre, et même le mode de variation de la densité dans
son intérieur, seraient préalablement donnés. Il est donc impossible,
même en supposant l'astre homogène, d'obtenir une solution directe et
complète qui indique avec une pleine certitude les formes propres à
l'équilibre, en donnant une exclusion nécessaire à toutes les autres. On
ne peut réellement qu'essayer si telle figure proposée remplit ou non
les conditions fondamentales. Aussi les géomètres attachent-ils avec
raison un très grand prix au beau théorème découvert par Maclaurin, qui
est devenu le fondement nécessaire de toutes leurs recherches à ce
sujet[14], en démontrant que l'ellipsoïde de révolution satisfait
exactement aux conditions de l'équilibre. Ce point de départ, que
Maclaurin avait établi seulement dans l'hypothèse de l'homogénéité, fut
ensuite étendu par Clairaut au cas d'un astre composé de couches dont la
densité varie arbitrairement, et qui ne serait même que partiellement
fluide[15]. La question a dès lors été réduite à la détermination du
rapport des deux axes. Or, cette évaluation ne présente aucune
difficulté en regardant l'astre comme homogène. Mais les mesures
directes ayant toujours montré, à l'égard des diverses planètes, un
aplatissement moindre que celui obtenu ainsi, cette hypothèse,
directement reconnue fausse d'ailleurs envers la terre, comme nous
l'avons vu plus haut, et évidemment invraisemblable en général, a dû
être définitivement exclue. Dès ce moment, l'aplatissement a cessé de
comporter une détermination directe et rigoureuse, puisque nous ignorons
nécessairement la vraie loi suivant laquelle la densité croît de la
surface au centre dans un astre quelconque, et qu'il serait strictement
indispensable d'y avoir égard. Néanmoins, les travaux des géomètres, et
surtout de Laplace, sur l'influence de diverses lois de la densité, ont
fait connaître des limites très précieuses, souvent fort resserrées,
entre lesquelles l'aplatissement doit inévitablement tomber. La plus
générale et la plus usuelle consiste en ce que cet aplatissement est
compris, de toute nécessité, pour un astre quelconque, entre les cinq
quarts et la moitié du rapport de la force centrifuge à l'équateur à la
gravité correspondante, puisque la première valeur aurait lieu si
l'astre était homogène, et la seconde si la densité croissait avec une
telle rapidité qu'elle devînt infinie au centre. C'est ainsi que
l'aplatissement terrestre ne peut excéder un deux cent trentième, ni
être moindre qu'un cinq cent soixante-dix-huitième; ce qui est
parfaitement conforme aux mesures directes, que cette règle mathématique
a plus d'une fois servi à contrôler.
[Note 14: Le travail de Newton ne fit réellement que
poser la question, puisqu'il y avait supposé, sans aucune
démonstration, la figure elliptique des méridiens, ce qui
réduisait dès lors la recherche à la mesure de
l'aplatissement, extrêmement facile dans l'hypothèse
d'homogénéité qu'il avait adoptée.]
[Note 15: M. Jacobi a fait tout récemment, pour le seul
cas de l'homogénéité, la découverte remarquable de la
possibilité de l'équilibre avec un ellipsoïde à trois axes
inégaux, dont le moindre est toujours nécessairement celui
du pôle.]
Au reste, dans presque toutes les planètes, l'aplatissement exerce,
comme nous l'indiquerons prochainement, une influence nécessaire et
appréciable sur certains phénomènes de perturbation, ce qui fournit de
nouveaux moyens indirects de le déterminer, en éludant la difficulté
insurmontable que présente à cet égard la théorie de l'équilibre des
astres.
L'ensemble de ces évaluations coïncide avec les mesures immédiates plus
parfaitement qu'on n'avait lieu de l'espérer d'après les causes
fondamentales d'incertitude inhérentes à une telle recherche. Le seul
cas qui semble présenter une exception réelle, est celui de Mars, qui,
suivant sa grandeur, sa masse, et la durée de sa rotation, ne devrait
être guère plus aplati que la terre, et qui cependant le serait presque
autant que Jupiter, si les observations d'Herschell sont parfaitement
exactes.
Quoique l'équilibre soit compatible avec la figure ellipsoïdique,
d'après le théorème de Maclaurin, la nature de cette question ne permet
nullement d'assurer que cette forme doive être regardée comme exclusive.
Aussi notre monde nous offre-t-il, dans les anneaux de Saturne, un
exemple très prononcé d'une figure différente. Laplace a démontré qu'ils
pouvaient être en équilibre, même à l'état fluide, en les supposant
engendrés par la révolution d'une ellipse autour d'une droite
extérieure, menée, parallèlement à son petit axe et dans son plan, par
le centre de Saturne. L'équilibre subsisterait même encore avec
l'inégalité de ces méridiens elliptiques, qui semble indiquée par les
observations.
La plus utile conséquence finale de la théorie mathématique des formes
planétaires, consiste dans l'importante relation qu'elle a naturellement
établie entre la valeur des différens degrés terrestres et l'intensité
de la pesanteur correspondante mesurée par la longueur du pendule à
secondes aux diverses latitudes. Il en est résulté l'heureuse faculté de
multiplier ainsi presqu'à volonté, de la manière la plus commode, nos
renseignemens indirects sur la figure de notre globe, tandis que
l'estimation géométrique des degrés est une opération longue et pénible,
qui ne saurait être fréquemment répétée avec tout le soin qu'elle exige.
Mais, en général, plus une mesure est indirecte, tout étant d'ailleurs
égal, moins elle est certaine. Aussi, quelque précise que soit
réellement cette ressource, il faut reconnaître, ce me semble, que les
procédés géodésiques convenablement appliqués n'en continuent pas moins
à mériter la préférence, à cause de la loi intérieure des densités
terrestres, élément inconnu qui affecte nécessairement les indications
fournies par les expériences du pendule pour la figure de la terre.
Un appendice naturel et intéressant de la théorie hydrostatique de la
figure des planètes, consiste dans les conditions de la stabilité de
l'équilibre des fluides qui recouvrent, en totalité ou en partie, la
surface des astres. Laplace a établi à ce sujet un théorème général,
aussi simple qu'important, qu'un premier aperçu semble d'ailleurs devoir
indiquer d'avance. Il fait dépendre cette stabilité, quels que puissent
être et le mode de répartition du fluide et la loi interne des densités,
de la seule supériorité de la densité moyenne de l'astre sur celle du
fluide; caractère si évidemment constaté, pour la terre, par la belle
expérience de Cavendish. On pourrait aisément en faire le texte d'une
cause finale, puisque la perpétuité des espèces terrestres exige
clairement que l'équilibre des mers tende à se rétablir spontanément,
après avoir été momentanément troublé d'une manière quelconque. Mais
l'examen attentif du sujet fait aussitôt disparaître la finalité, en
rendant sensible la nécessité d'un tel arrangement dans la formation
primitive des planètes, la densité des couches ayant dû naturellement
croître de la surface au centre, comme l'indique si nettement toute la
théorie de la figure des astres.
La grande question des marées constitue la dernière recherche
essentielle que je crois devoir classer parmi les études principales de
la statique céleste. Sous le point de vue astronomique, le caractère
statique de cette théorie se montre évidemment, puisque l'astre y est
essentiellement envisagé comme immobile. Mais ce caractère n'est pas, au
fond, moins réel sous le point de vue mathématique, en considérant le
véritable esprit de la solution, où l'on ne s'occupe surtout que de la
figure vers laquelle tend l'Océan par l'équilibre périodique des
diverses forces qui le sollicitent, sans penser aux mouvemens que
produisent les variations de cet équilibre. Enfin, cette étude fait
naturellement suite à celle de la figure des astres.
Ce beau problème, indépendamment de son importance propre, présente un
intérêt philosophique tout particulier, en établissant une transition
naturelle et évidente de la physique du ciel à celle de la terre, par
l'explication céleste d'un grand phénomène terrestre.
Descartes est réellement le premier philosophe qui ait tenté de fonder
une théorie positive des marées, exclusivement rattachées jusque alors à
des conceptions métaphysiques, dont Képler lui-même n'avait pas cru
pouvoir se passer. Quoique l'explication proposée par Descartes soit,
sans doute, entièrement inadmissible, c'est néanmoins à lui que nous
devons l'observation fondamentale de l'harmonie constante entre la
marche générale de ce phénomène et le mouvement de la lune, qui a
certainement contribué à mettre Newton sur la voie de la vraie théorie.
Il suffisait, en quelque sorte, d'être averti que la cause réelle de ce
grand phénomène devait nécessairement se trouver dans le ciel, pour que
la théorie de la gravitation dévoilât aussitôt son explication générale,
tant elle en résulte naturellement.
L'inégale gravitation des diverses parties de l'Océan vers un quelconque
des astres de notre monde, et particulièrement vers le soleil et la
lune: tel est le principe, éminemment simple et lucide, d'après lequel
Newton a ébauché la véritable théorie des marées, approfondie ensuite
par Daniel Bernouilli, dont le beau travail n'a réellement subi depuis
aucun perfectionnement essentiel. Essayons de caractériser nettement
l'esprit général de cette grande recherche. La théorie convient en
elle-même aussi bien à l'atmosphère qu'à l'Océan. Mais je considérerai
seulement ce dernier cas, puisque les marées atmosphériques, d'ailleurs
infiniment moindres, à cause de la masse si minime de notre enveloppe
gazeuse, échappent essentiellement, par leur nature, à toute
observation réelle, malgré les efforts tentés quelquefois pour en
manifester l'influence, surtout dans les variations diurnes du
baromètre, dont l'examen attentif pendant plusieurs années a cependant
indiqué à M. Flaugergues une relation certaine avec le mois lunaire.
En joignant le centre de la terre à un astre quelconque, les deux points
correspondans de la surface terrestre doivent graviter évidemment l'un
un peu plus, l'autre un peu moins que le centre lui-même, inversement
aux quarrés de leurs distances respectives. Le premier tend donc à
s'éloigner du centre, ce qui doit produire une certaine élévation de la
surface fluide, et le centre tend, au contraire, à s'éloigner du second
point, où doit survenir ainsi une élévation analogue et à très peu près
égale. Cet effet diminue nécessairement à mesure qu'on s'écarte
davantage de ces deux points dans un sens quelconque, et devient nul à
quatre-vingt-dix degrés de là, où, les parties de l'Océan gravitant
comme le centre, le niveau doit baisser pour fournir à l'exhaussement du
reste, indépendamment d'une dépression directe presque insensible. En
même temps, ces divers changemens de niveau font varier la pesanteur
terrestre des eaux correspondantes; et cette seconde cause, la plus
difficile et la plus incertaine à calculer, agit évidemment dans le
même sens que la première, quoique avec moins d'énergie, pour
l'établissement définitif du niveau général.
On voit ainsi comment l'action d'un astre quelconque sur l'Océan, qui ne
pourrait nullement altérer sa surface naturelle, si elle avait partout
la même intensité, tend nécessairement, à raison de son inégale énergie
sur les divers lieux, à la modifier un peu, en lui faisant prendre la
forme d'un sphéroïde allongé vers l'astre. Sous ce rapport fondamental,
la question est parfaitement semblable à celle considérée ci-dessus de
la figure mathématique de la terre, la force centrifuge étant ici
remplacée par la différence entre la gravitation du centre de notre
globe et celle de sa surface vers l'astre proposé. La recherche est
seulement encore plus compliquée, puisqu'il faut évidemment y tenir
compte aussi de l'ellipticité naturelle du globe. Mais l'esprit et la
marche générale de la solution mathématique doivent être essentiellement
identiques dans les deux cas. C'est ainsi que Newton a pu d'abord
calculer aisément la partie principale du phénomène, en supposant, sans
la démontrer, une figure ellipsoïdique, comme il l'avait déjà fait pour
l'autre question, et se bornant à comparer immédiatement, dans
l'hypothèse de l'homogénéité, les deux axes de l'ellipse. De même
encore, le théorème de Maclaurin est aussi devenu plus tard, pour Daniel
Bernouilli, la base naturelle d'une exacte théorie des marées.
Jusque là, toutefois, il n'y a point de marées proprement dites,
c'est-à-dire ces élévations et dépressions alternatives et périodiques,
qui en font le caractère le plus saillant. Le phénomène semble consister
en un simple renflement fixe de la partie de l'Océan située sous l'astre
considéré. Mais, quoiqu'un tel effet paraisse différer beaucoup d'une
véritable marée, il n'en constitue pas moins la principale base
mathématique de cette grande question. Il est maintenant très facile de
concevoir la périodicité fondamentale du phénomène en introduisant la
considération du mouvement diurne, jusque alors écartée. Si ce mouvement
n'avait pas lieu, ou si seulement il s'exécutait autour de la droite qui
joint l'astre au centre de la terre, toutes les parties de l'Océan
conservant sans cesse la même situation envers cet astre, la surface de
la mer resterait invariable, après avoir pris, dès l'origine, la forme
convenable à son équilibre. Mais, en réalité, la rotation quotidienne de
notre globe transporte successivement les eaux qui le recouvrent dans
toutes les positions où l'astre tend à les élever et dans celles où il
doit les abaisser. C'est ainsi que la marche journalière du phénomène se
compose nécessairement de quatre alternatives périodiques à peu près
également réparties: les deux plus grandes élévations correspondent aux
deux passages de l'astre par le méridien du lieu, et les moindres
niveaux à son lever et à son coucher; la période totale étant d'ailleurs
exactement fixée par la combinaison de la rotation terrestre avec le
mouvement propre de l'astre en un jour.
Un dernier élément indispensable nous reste à indiquer, pour avoir
établi toutes les bases de la notion abstraite des marées; c'est la
règle générale d'après laquelle on peut apprécier à cet égard l'énergie
des différens astres, dont aucun ne semble mathématiquement devoir être
négligé. Cette énergie est évidemment mesurée par la différence entre la
gravitation du centre de notre globe et celle des points extrêmes de sa
surface vers l'astre proposé. En exécutant, d'après la loi fondamentale
de la gravitation, cette différentiation très facile, on trouve aussitôt
que la puissance de chaque astre pour produire nos marées est en raison
directe de sa masse et en raison inverse du cube de sa distance à la
terre. Il résulte de cette règle essentielle la précieuse faculté de
déterminer rationnellement, parmi tous les astres de notre monde, quels
sont ceux qui peuvent concourir sensiblement au phénomène, et de mesurer
à chacun d'eux sa part d'influence. On reconnaît ainsi que le soleil, en
vertu de sa masse immense, et la lune, par son extrême proximité,
doivent seuls produire des marées appréciables; tous les autres corps
célestes sont ou trop éloignés ou de trop peu de poids pour qu'il en
résulte aucun effet perceptible. Enfin, l'action de la lune est de deux
fois et demi à trois fois plus grande que celle du soleil. Ainsi, lors
même que les deux astres agissent en sens opposé, c'est sur la lune que
doit se régler constamment la marche générale du phénomène; ce qui
explique parfaitement l'observation fondamentale de Descartes, quant à
la continuelle coïncidence de la période des marées avec le jour
lunaire.
Toutes les considérations mathématiques précédemment indiquées ne
s'appliquent directement qu'à la marée simple et abstraite, produite par
un astre unique. Mais la nécessité d'envisager simultanément les actions
de deux astres différens rendrait la solution analytiquement
inextricable, si Daniel Bernouilli ne l'eût radicalement simplifiée, en
y appliquant son célèbre principe dynamique sur la coexistence des
petites oscillations, que j'ai exposé à la fin du premier volume de ce
cours. Suivant ce principe, les marées lunaire et solaire se superposent
sans altération, ce qui réduit aussitôt le problème à l'analyse
partielle de chacune d'elles. Toutes les grandes variations régulières
du phénomène s'expliquent dès lors avec une admirable facilité.
Considérons seulement les plus importantes et les plus simples, celles
qui correspondent aux diverses phases mensuelles de la lune. Aux deux
syzygies, l'action solaire et l'action lunaire coïncident exactement;
donc la marée effective doit alors atteindre son _maximum_, égal à la
somme des deux marées élémentaires. Dans les deux quadratures, au
contraire, le moindre niveau produit par l'un des astres accompagne
nécessairement le plus haut niveau correspondant à l'autre; en sorte que
l'on doit alors observer le _minimum_ d'effet, égal à la différence des
marées simples. Aux diverses époques intermédiaires, la marée solaire
modifie toujours inégalement la marée lunaire, et ces variations se
reproduisent par périodes d'un mois lunaire synodique, dont elles
doivent suivre les irrégularités séculaires. La comparaison des deux cas
extrêmes, si les observations permettaient de l'établir avec assez
d'exactitude, conduirait même évidemment à estimer _à posteriori_ le
vrai rapport entre l'action de la lune et celle du soleil. Or, ce
rapport dépendant des distances et des masses relatives des deux astres,
suivant la règle exposée ci-dessus, on en pourrait déduire la raison de
leurs masses, celle de leurs distances étant déjà bien connue. Cette
considération, quoique ne devant pas être exclusivement employée, peut
utilement concourir avec d'autres moyens pour déterminer la masse de la
lune.
Suivant la mesure fondamentale de chaque marée simple, cette classe de
phénomènes doit éprouver un nouvel ordre de modifications régulières et
périodiques, en vertu des changemens naturels qu'éprouve, pendant le
cours de l'année ou du mois, la distance de la terre au soleil ou à la
lune. Cette influence est ici proportionnellement plus sensible que dans
beaucoup d'autres phénomènes, puisqu'elle y dépend du cube de la
distance. Elle doit affecter particulièrement l'action lunaire,
non-seulement comme étant la plus forte, mais encore en vertu de
l'excentricité bien supérieure de l'orbite lunaire. Enfin, les deux
variations peuvent se combiner de diverses manières, tantôt
convergentes, tantôt divergentes; et elles doivent aussi modifier très
diversement les inégalités principales, dues aux phases de la lune.
Dans tout ce qui précède, le mouvement diurne de l'astre proposé est
censé avoir exactement lieu suivant le plan de l'équateur. Mais, à une
époque quelconque, son action doit évidemment être décomposée en deux;
l'une, selon l'axe de rotation de la terre, et qui est nulle pour
produire une marée; l'autre, parallèlement à l'équateur, et qui, seule,
détermine le phénomène. Voilà donc, à cet égard, un dernier genre de
modifications générales, indépendantes de la distance, et uniquement
dues à la direction: en sorte que, toutes choses d'ailleurs égales,
chaque marée élémentaire doit varier proportionnellement au cosinus de
la déclinaison de l'astre correspondant. Telle est la raison simple de
la différence notable, si généralement remarquée, quant à l'ensemble des
marées, entre le mois lunaire équinoxial et le mois lunaire solsticial,
surtout en considérant, pour notre hémisphère, le solstice d'été, où
l'affaiblissement déterminé par la distance du soleil concourt avec
celui qui résulte de sa direction.
Quant aux variations du phénomène dans nos divers climats, la théorie ne
peut apprécier jusqu'ici d'autre influence régulière que celle de la
latitude. Aux deux pôles, il ne saurait exister évidemment que de
faibles marées indirectes dues à la nécessité d'y prendre ou d'y envoyer
les eaux qui s'élèvent ou s'abaissent ailleurs; car, là, il n'y a plus,
à proprement parler, de mouvement diurne. À l'équateur, au contraire, le
phénomène doit se manifester au plus haut degré possible, non-seulement
à cause de la diminution de la pesanteur, mais surtout en vertu de la
diversité plus complète des positions successives occupées par les eaux
pendant la rotation journalière. En tout autre lieu, l'intensité de la
marée doit varier proportionnellement à l'énergie de cette rotation, et,
par conséquent, en raison du cosinus de la latitude.
Tel est, en aperçu, l'esprit général de la grande théorie mathématique
des marées, envisagée sous ses divers aspects réguliers. Toutes ses
différentes parties, abstraction faite des évaluations numériques, sont
dans une admirable harmonie avec l'ensemble des observations directes.
On a même lieu d'être surpris, quant aux nombres, de ne pas les trouver
plus différens de la réalité, convenablement explorée, lorsqu'on pense
aux hypothèses que les géomètres ont dû faire pour rendre les calculs
exécutables, et aux données nécessairement inaccessibles qu'exigerait
une estimation parfaitement rationnelle. Il ne suffirait point, en
effet, de connaître exactement l'étendue et la forme du lit de l'Océan.
La question dépend encore évidemment d'une notion bien plus inabordable,
la vraie loi de la densité dans l'intérieur de la terre, comme à l'égard
de la figure des astres. Il y a même ici une circonstance nouvelle,
suivant la judicieuse remarque de Daniel Bernouilli; car il faudrait
connaître aussi quel est l'état, fluide ou solide, des couches internes,
pour savoir si elles participent ou non au phénomène, et si, par
conséquent, elles modifient l'effet produit à la surface. L'ensemble de
ces considérations peut faire apprécier la profondeur du conseil général
donné par Daniel Bernouilli, qui possédait à un degré si éminent le
véritable esprit mathématique, consistant surtout dans la relation du
concret à l'abstrait, comme je me suis efforcé de le faire sentir en
traitant de la philosophie mathématique. Il recommande prudemment aux
géomètres, à cet égard, ainsi que Clairaut, «de ne point trop presser
les conséquences des formules, de peur d'en tirer des conclusions
contraires à la vérité.» Laplace, en détaillant davantage la théorie de
son illustre prédécesseur, n'a peut-être pas toujours fait assez
d'attention à cette sage maxime philosophique.
Quant à la comparaison générale et exacte de la théorie mathématique des
marées avec leur observation effective, on doit reconnaître, ce me
semble, qu'elle n'a point encore été convenablement faite, puisque
toutes les mesures ont été prises dans des ports, ou du moins très près
des côtes. Or, dans de telles localités, on ne peut apercevoir
essentiellement que des marées indirectes, qui ne doivent représenter
que fort imparfaitement les marées régulières dont elles émanent, leur
intensité étant principalement déterminée le plus souvent par l'étendue
et la configuration du sol, tant au fond qu'à la surface, et pouvant
même être influencée par sa structure. C'est à de telles circonstances,
qu'aucune théorie mathématique ne saurait évidemment considérer, qu'il
faut sans doute attribuer ces énormes différences que présente en
quelques lieux la hauteur des marées, aux mêmes époques, et dans des
positions presque identiques; comme, par exemple, les marées
comparatives de Granville et Dieppe, ou de Bristol et Liverpool. Afin
d'apprécier empiriquement l'exactitude numérique de la théorie des
marées, il serait indispensable d'entreprendre, pendant un nombre
d'années assez grand pour que les diverses variations régulièrement
prévues fussent plusieurs fois reproduites, une suite continue
d'observations précises, dans une île très petite, située à l'équateur,
et à trente degrés au moins de tout continent. Tel est le seul contrôle
réellement susceptible de contribuer essentiellement à vérifier et
surtout à perfectionner la théorie générale des marées mathématiques.
Quelque incertitude inévitable que présentent plusieurs données de cette
grande théorie, surtout dans son application à nos ports, elle n'en
reçoit pas moins, de notre expérience journalière, la sanction la plus
décisive et la plus utile, puisqu'elle atteint le but définitif de toute
science réelle, une exacte prévision des événemens, propre à régler
notre conduite. Les principales circonstances locales devant avoir, à
l'exception des vents, une influence essentiellement constante, il a été
possible de modifier heureusement, d'après l'observation, pour chaque
port, les deux coefficiens fondamentaux, relatifs à la hauteur moyenne
des marées, et à l'heure de leur entier établissement; ce qui a permis
de rendre toutes les déterminations mathématiques suffisamment conformes
à la réalité. C'est ainsi que, depuis un siècle, une classe importante
de phénomènes naturels, généralement regardés jusque alors comme
inexplicables, a été ramenée avec précision à des lois invariables, qui
en excluent irrévocablement toute intervention providentielle et toute
conception arbitraire.
Tels sont les caractères philosophiques des trois hautes questions dont
se compose la mécanique céleste, envisagée sous le point de vue
statique. Il nous reste maintenant à entreprendre, dans la leçon
suivante, le même examen général à l'égard des phénomènes vraiment
dynamiques que présente notre monde, et dont l'étude a été précédemment
ébauchée par la géométrie céleste, résumée dans les trois grandes lois
de Képler, qui éprouvent en réalité des modifications indispensables à
connaître pour l'exacte prévision de l'état du ciel à une époque
quelconque.