Considérations générales sur les lois de Képler, et sur leur
application à la théorie géométrique des mouvemens célestes.
La connaissance du mouvement de la terre nous conduit naturellement à
nous transporter au point de vue solaire, puisqu'il devient dès lors
nécessaire, et en même temps possible, de ramener nos observations
immédiates à celles qui seraient faites du centre du soleil, désormais
reconnu comme le vrai centre immobile de tous les mouvemens intérieurs
de notre monde, seul objet essentiel de nos études astronomiques. Cette
transformation, justement nommée _parallaxe annuelle_, suit, en effet,
les mêmes règles que la parallaxe ordinaire ou diurne, examinée dans la
vingtième leçon: elle est seulement beaucoup plus grande, la distance de
la terre au soleil y remplaçant le rayon de la terre; ce qui n'a
d'influence que sur les coefficiens des formules trigonométriques déjà
usitées dans le premier cas. À la vérité, le changement qu'éprouve,
pendant le cours de l'année, la distance de la terre au soleil, tend à
introduire, entre ces deux réductions, une différence essentielle. Mais,
cette variation, dont la plus grande valeur n'est que d'un trentième,
peut, d'abord, être entièrement négligée, sans aucun inconvénient réel,
dans une première étude des mouvemens célestes: et la découverte des
lois géométriques de ces mouvemens permet, ensuite, d'en tenir compte
avec exactitude, dans les cas qui l'exigent.
C'est ainsi que les astronomes convertissent habituellement toutes leurs
observations géocentriques en observations héliocentriques. À l'égard
des étoiles, nous savons déjà, par l'avant-dernière leçon, que cette
transformation, quelque considérable qu'elle doive paraître, est
toujours entièrement insensible jusqu'ici: en sorte que, dans
l'observation de tous les astres extérieurs à notre monde, il est
parfaitement indifférent que le spectateur soit placé sur la terre, ou
sur le soleil, ou sur une planète quelconque. Mais, pour l'intérieur de
notre système, la parallaxe annuelle doit, évidemment, avoir une valeur
très sensible, quelquefois extrêmement grande, et dont il est
indispensable de tenir compte, même envers les planètes les plus
lointaines.
D'après cette transformation fondamentale, nous pouvons maintenant
poursuivre et terminer l'étude géométrique des mouvemens planétaires,
déjà ébauchée, à la fin de l'avant-dernière leçon, quant à leurs
périodes et aux plans dans lesquels ils s'exécutent, et au sujet de
laquelle nous avions dû réserver la partie la plus importante et la plus
difficile, la détermination exacte de la vraie figure des orbites et de
la manière dont elles sont parcourues. Ces connaissances essentielles
une fois acquises, nous pourrons enfin nettement comprendre comment
l'astronomie atteint son véritable but définitif, la prévision exacte et
rationnelle de l'état de notre système à une époque quelconque donnée.
Tel est l'objet de la leçon actuelle.
Dans la première enfance de l'astronomie mathématique, on a dû
naturellement regarder les mouvemens des planètes comme exactement
uniformes et circulaires. Quoique cette supposition fût, sans doute,
appuyée, si ce n'est inspirée, par des considérations métaphysiques et
même théologiques sur la perfection de ce genre de mouvemens, convenable
à la nature divine des astres, comme les écrits des anciens nous en
offrent d'incontestables témoignages, elle n'en était pas moins alors
profondément rationnelle. Car, il était indispensable de former à cet
égard une hypothèse quelconque pour parvenir graduellement, en la
comparant de plus en plus aux observations, à la vraie connaissance des
mouvemens célestes, qui n'était point susceptible d'être jamais obtenue
d'une manière directe. Or, on ne pouvait, évidemment, adopter une
hypothèse plus simple qui, représentant à peu près l'ensemble des
premières observations, fût plus aisément susceptible de leur être,
ensuite, extrêmement confrontée par la géométrie alors naissante. Telle
est la valeur réelle de cette hypothèse fondamentale, qui a d'abord
constitué la science astronomique, que nous l'employons encore
aujourd'hui, quand nous voulons nous contenter d'une première
approximation, toutes les fois, par exemple, que nous ébauchons la
théorie d'un nouvel astre.
Mais, par les progrès mêmes que permettait l'usage d'une telle
hypothèse, on ne dut pas tarder à reconnaître que les planètes ne
demeurent point à des distances invariables du centre de leurs
mouvemens, et que leurs vitesses autour de lui ne sont pas constantes.
Cette remarque générale dut être surtout hâtée par l'obligation qu'on
s'était imposée de placer ce centre sur la terre; car, si l'on eût
rapporté les mouvemens au soleil, ces irrégularités eussent été beaucoup
moins prononcées, et, par conséquent, bien plus tard constatées. Dès
lors, les astronomes grecs imaginèrent, pour représenter les phénomènes,
de modifier leur hypothèse fondamentale par deux conceptions
principales, dont chacune isolément permettait d'expliquer, jusqu'à un
certain point, les irrégularités observées, et qui, surtout, combinées,
pouvaient long-temps suffire à cette interprétation, tant que les
progrès de la géométrie abstraite ne comportaient pas une confrontation
mathématique entièrement rigoureuse. Ces deux hypothèses secondaires
sont connues sous les noms d'excentrique, et d'épicycle. La première
consiste à placer l'astre central à une certaine distance du centre
géométrique des mouvemens circulaires et uniformes; ce qui suffit pour
faire varier les rayons vecteurs ainsi que les vitesses angulaires,
d'une manière à peu près conforme aux observations, tant que celles-ci
n'ont pas atteint un certain degré de précision, et que, en même temps,
la théorie du cercle n'a point fait exactement connaître la relation
propre de ses coordonnées polaires. Dans la seconde conception, déjà
indiquée par la leçon précédente, l'astre est supposé décrire
immédiatement avec une vitesse constante la circonférence d'un petit
cercle auxiliaire, dont le centre parcourt uniformément l'orbite
primitive; d'où résulte une certaine variation nécessaire dans les
mouvemens rapportés à l'astre central, même sans le déplacer du centre
du cercle principal. Cette seconde hypothèse fournit plus de ressources
que la première, puisqu'elle dispose de deux quantités arbitraires, au
lieu de la seule excentricité. Elle est, d'ailleurs, beaucoup plus
féconde; car, rien n'empêche, à chaque nouvelle découverte d'un défaut
d'harmonie avec les observations, de créer un nouvel épicycle, comme
l'ont fait effectivement, et au degré le plus abusif, les astronomes du
moyen âge. Enfin, les deux hypothèses peuvent, évidemment, être réunies.
À partir de l'époque où l'usage régulier de ces deux conceptions fut
devenu dominant, il n'est pas douteux, ce me semble, que la philosophie
métaphysique, à laquelle se rattachait l'hypothèse fondamentale, ait
considérablement retardé les progrès de la science astronomique. Sans
les mystiques chimères de cette philosophie sur la convenance absolue du
mouvement circulaire et uniforme à l'égard des astres, on eût
certainement tenté beaucoup plus tôt de sortir d'une hypothèse qui,
n'ayant, à l'origine, d'autre mérite réel que celui de sa simplicité
primitive, avait fini par présenter une complication presque
inextricable, par la multiplication graduelle des épicycles successifs.
Les inconvéniens de cette complication étaient déjà vivement sentis par
tous les astronomes lors de la composition des tables pruténiques, et
même à l'époque des tables alphonsines, comme l'indique clairement le
mot célèbre et énergique du roi Alphonse. Néanmoins, l'influence
prépondérante des préjugés métaphysiques prolongea l'emploi de cette
théorie, jusqu'à ce qu'il fût devenu réellement impossible de la suivre
davantage, lorsque, vers la fin du seizième siècle, le nombre total des
cercles employés à l'explication des mouvemens célestes s'éleva jusqu'à
74, pour les sept astres considérés alors; tandis que, en même temps,
les progrès importans que Tycho introduisit dans toutes les observations
astronomiques ne permirent plus de représenter suffisamment ainsi les
mouvemens planétaires effectifs, malgré la multitude de quantités
arbitraires dont les astronomes pouvaient disposer d'après un tel
système. C'est ainsi que, même dans les sciences, les hommes ne se
déterminent à changer radicalement leurs institutions primitives
(surtout quand elles n'ont pas été rationnellement établies), que
lorsqu'elles ont enfin complètement cessé de remplir l'office auquel
elles étaient destinées, et après que les nombreuses modifications dont
on les avait, à cet effet, successivement surchargées, sont évidemment
devenues impuissantes.
Tel était l'état de l'astronomie avant le grand rénovateur Képler, qui,
le premier après vingt siècles, osa reprendre, de fond en comble, le
problème général des mouvemens planétaires, en regardant tous les
travaux antérieurs comme non-avenus, et n'adoptant d'autre base
générale que le système complet d'observations exactes auquel la vie de
son illustre précurseur, Tycho-Brahé, venait d'être si noblement
dévouée. Malgré la hardiesse naturelle de son génie, ses écrits nous
montrent, dans leur admirable naïveté, combien il avait besoin d'exciter
son enthousiasme pour soutenir l'exécution d'une entreprise aussi
audacieuse et aussi difficile, quoique si éminemment rationnelle.
Le choix que fit Képler de la planète Mars, pour son système de
recherches astronomiques, était extrêmement heureux, à cause de
l'excentricité plus prononcée de cette planète, qui devait rendre plus
facile à saisir la vraie loi des inégalités. Mercure, à la vérité, est
encore plus excentrique; mais la difficulté de l'observer d'une manière
assez suivie, ne permettait pas de l'employer.
Il s'agit donc maintenant de considérer directement les trois grandes
lois fondamentales, découvertes par Képler au sujet de Mars, et qu'il
étendit ensuite à tous les autres mouvemens intérieurs de notre système.
L'ordre suivant lequel on les dispose habituellement aujourd'hui n'est
point indifférent: c'est celui dans lequel elles servent à fonder la
mécanique céleste, comme le montrera la leçon prochaine. Sous le point
de vue purement géométrique, les deux premières suffisent pour
déterminer complètement le mouvement propre à chaque planète, l'une en
réglant sa vitesse à chaque instant, l'autre en fixant la figure de
l'orbite. La troisième loi est destinée à établir une harmonie
fondamentale entre tous les divers mouvemens planétaires.
_Première loi._ On avait depuis long-temps remarqué que la vitesse
angulaire de chaque planète, c'est-à-dire, l'angle plus ou moins grand
décrit, en un temps donné, par son rayon vecteur, augmente constamment à
mesure que l'astre s'approche davantage du centre de son mouvement: mais
on ignorait entièrement la relation exacte entre les distances et les
vitesses. Képler la découvrit, en comparant les deux cas extrêmes du
_maximum_ et du _minimum_ de ces quantités, où leur vraie liaison devait
être, en effet, plus sensible. Il reconnut ainsi que les vitesses
angulaires de Mars, à son périhélie et à son aphélie, sont inversement
proportionnelles aux quarrés des distances correspondantes. Cette loi,
saisie par son génie dans le simple rapprochement de deux seules
observations, fut ensuite vérifiée pour toutes les positions
intermédiaires de Mars, et, plus tard, étendue à toutes les autres
planètes. Son exactitude a été constatée depuis par l'expérience
habituelle de tous les astronomes. Elle est ordinairement présentée
sous une autre forme géométrique, imaginée par Képler lui-même. Au lieu
de dire que la vitesse angulaire d'une planète quelconque est, à chaque
point de son orbite, en raison inverse du quarré de la distance au
soleil, on préfère exprimer, plus simplement, que l'aire tracée, en un
temps donné et très court, chaque jour par exemple, par le rayon vecteur
de la planète, est d'une grandeur constante, quoique sa forme soit
variable: ou, en d'autres termes, que les aires décrites croissent
proportionnellement aux temps écoulés. Cet énoncé n'est évidemment
qu'une heureuse transformation géométrique de l'énoncé primitif. Car, en
choisissant un temps assez court pour que le mouvement de l'astre puisse
être envisagé comme momentanément circulaire autour du soleil, il est
clair que l'aire qu'engendre le rayon vecteur est proportionnelle au
produit de la vitesse angulaire par le quarré de la distance; et
qu'ainsi la réciprocité des deux facteurs équivaut à l'invariabilité du
produit.
En détruisant radicalement la prétendue uniformité des mouvemens
célestes, Képler a donc satisfait aux besoins fondamentaux de l'esprit
humain en la remplaçant par une analogie du même ordre et plus réelle:
la constance n'a plus été dans les arcs décrits, mais dans les aires
tracées. On a même judicieusement remarqué à ce sujet que cette loi
nouvelle, quoique moins simple en apparence, était, au fond, beaucoup
plus favorable pour faciliter la solution effective du problème
géométrique des planètes. Car, avec la vraie figure des orbites
planétaires, et même en conservant des cercles excentriques, l'égalité
des arcs eût, en réalité, bien moins simplifié le travail que ne l'a
fait l'égalité des aires.
_Seconde loi._ La véritable nature des orbites était peut-être moins
difficile à découvrir. Car, il suffit essentiellement, à un homme tel
que Képler, d'avoir enfin bien senti, d'une manière franche et complète,
la nécessité d'abandonner irrévocablement les mouvemens circulaires, ce
à quoi l'on conçoit d'ailleurs aisément qu'il n'a pu parvenir tout d'un
coup. C'est là qu'on peut apercevoir clairement la funeste influence des
préjugés métaphysiques pour entraver la marche de Képler, en le faisant
si souvent hésiter, dans ses diverses tentatives, à renoncer
définitivement au mouvement circulaire. Mais, cette condition préalable
une fois remplie, il était fort naturel d'essayer l'ellipse, la plus
simple de toutes les courbes fermées après le cercle, qui n'en est
qu'une modification.
La théorie abstraite de cette courbe avait été heureusement poussée
assez loin par les géomètres grecs pour qu'il devînt possible de la
reconnaître avec certitude dans les orbites planétaires. Il ne pouvait y
avoir une longue hésitation sur la place que le soleil devait occuper.
Car, on ne pouvait, évidemment, lui assigner que deux positions
remarquables, ou le centre, ou l'un des deux foyers. Or, une réflexion
générale sur les mouvemens célestes excluait immédiatement le centre,
sans avoir besoin d'aucun travail mathématique. Car, dans cette
hypothèse, l'orbite présenterait deux périhélies diamétralement opposés,
ainsi que deux aphélies; et chaque périhélie serait à quatre-vingt-dix
degrés seulement, au lieu de cent quatre-vingt degrés, de chaque
aphélie, ce qui est trop manifestement contraire à l'ensemble des
observations, même les plus grossières, pour pouvoir être un seul
instant supposé. Voilà comment Képler, en adoptant les orbites
elliptiques, fut nécessairement conduit à placer le soleil au foyer,
pour toutes les planètes à la fois. Quand son hypothèse eut été ainsi
bien formée, il devint aisé d'en constater la justesse, en la comparant
aux observations, par des calculs dont tous les principes étaient posés
d'avance.
Telle est donc la seconde loi de Képler: les orbites planétaires
elliptiques, ayant le soleil pour foyer commun. Les excentricités sont
toujours fort petites pour les planètes proprement dites, excepté à
l'égard de deux des quatre planètes télescopiques, dans lesquelles la
distance des foyers s'élève jusqu'à un quart du grand axe. Cette belle
loi fut long-temps méconnue par la plupart des astronomes, même de ceux
qui sentaient vivement la nécessité d'abandonner les mouvemens
circulaires, et qui faisaient, à cet effet, dans une autre direction que
Képler, d'infructueuses tentatives. Dominique Cassini lui-même, plus
d'un demi-siècle après, eut la malheureuse idée de remplacer l'ellipse
de Képler par une courbe du quatrième degré, grossièrement semblable, en
certains cas, à l'ellipse, et dans laquelle le produit des distances aux
deux foyers, au lieu de leur somme, reste invariable[9]. Mais,
l'expérience journalière de tous les astronomes a démontré depuis
combien était exacte la découverte de Képler, qui d'ailleurs, avait déjà
donné à cet égard les preuves les plus irrécusables, en construisant,
d'après ses deux premières lois, les célèbres tables rudolphines, qui
représentaient l'ensemble des observations avec bien plus de précision
que toutes les tables antérieures.
[Note 9: Le nom bizarre de _cassinoïde_, donne à cette
courbe par quelques écrivains, a tendu à éterniser le
souvenir de l'erreur fondamentale de ce célèbre astronome.]
_Troisième loi._ Les deux lois précédentes déterminent entièrement la
course de chaque planète, considérée séparément, d'après le petit nombre
de constantes nécessaires pour la caractériser. Mais, les mouvemens des
diverses planètes autour du foyer commun restaient encore complètement
isolés les uns des autres, toutes ces constantes paraissant avoir des
valeurs essentiellement arbitraires. Képler, qui, de tous les hommes
peut-être, a possédé au plus haut degré le génie analogique, chercha (ce
que les anciens n'avaient jamais tenté, même grossièrement) à établir
entre tous ces mouvemens si différens, une certaine harmonie exacte et
fondamentale. Tel est l'objet de sa troisième loi.
Plusieurs philosophes ont pensé (et j'avoue l'avoir d'abord cru
moi-même), que les vagues conceptions de la métaphysique sur les
harmonies mystiques de l'univers n'avaient pas été inutiles à cette
sublime découverte, en excitant les recherches de Képler sur la relation
entre les temps périodiques des diverses planètes et leurs moyennes
distances. Mais, en examinant plus profondément ce point intéressant de
l'histoire de l'esprit humain, il est aisé, ce me semble, de se
convaincre du contraire. Long-temps avant Képler, la philosophie
métaphysique avait entièrement cessé d'avoir, en astronomie, aucune
utilité réelle. Elle n'eût pu servir, en cette occasion, qu'à soutenir
la constance de ses travaux, par la persuasion préalable de l'existence
certaine d'une harmonie quelconque à cet égard. Or, sous ce rapport,
elle était complètement inutile, puisque beaucoup d'astronomes avaient
déjà remarqué que les révolutions planétaires sont toujours d'autant
plus lentes que les orbites ont plus d'étendue, ce qui suffisait,
évidemment, à Képler, pour motiver, à ce sujet, une recherche
mathématique. Il est clair, au contraire, que les considérations
métaphysiques ont considérablement retardé sa marche, en lui faisant
chercher avec une longue obstination, des harmonies qui ne pouvaient
avoir aucune réalité. En suivant d'abord la direction positive, comme il
finit par le faire, après s'être si long-temps égaré dans ces recherches
chimériques, sa découverte n'eût certainement point exigé dix-sept ans
de travaux assidus. Ayant préalablement reconnu que les temps
périodiques des diverses planètes croissent plus rapidement que leurs
moyennes distances au soleil, il suffisait d'essayer successivement,
parmi les diverses puissances du demi-grand axe, celle à laquelle la
durée de la révolution devait être proportionnelle. L'ensemble des
données du problème excluait d'abord les puissances entières, en
montrant que les temps périodiques croissent moins rapidement que les
quarrés des moyennes distances. Képler était ainsi naturellement conduit
à essayer l'exposant 3/2, le plus simple de tous les exposans entre 1 et
2. C'est par là qu'il découvrit enfin que les quarrés des temps des
révolutions sidérales de toutes les diverses planètes sont exactement
proportionnels aux cubes des demi-grands axes de leurs orbites: loi que
les observations postérieures ont toujours entièrement confirmée. On
voit que les conceptions métaphysiques furent, en réalité, parfaitement
étrangères à sa découverte, et que, loin d'y guider Képler, elles l'en
détournèrent long-temps.
Outre la destination fondamentale de cette grande loi pour la mécanique
céleste, comme nous l'indiquerons dans la leçon suivante, elle présente
évidemment, en géométrie céleste, cette importante propriété directe, de
permettre de déterminer, l'un par l'autre, le temps périodique et la
moyenne distance de toutes les diverses planètes, quand ces deux élémens
ont été d'abord bien observés à l'égard d'une seule planète quelconque.
C'est ainsi, par exemple, qu'on a pu évaluer très promptement la durée
de la révolution d'Uranus, une fois que sa distance au soleil a été
mesurée, sans avoir besoin d'attendre l'accomplissement si lent d'une
révolution entière, qui a seulement servi plus tard à confirmer le
résultat primitif. De même, en sens inverse, si l'on venait à découvrir
quelque nouvelle planète très rapprochée du soleil, il suffirait
d'observer la durée très courte de sa révolution sidérale, pour en
conclure immédiatement la valeur de sa distance, dont la détermination
directe serait alors embarrassante. Les astronomes font continuellement
usage de cette double faculté, que la troisième loi de Képler leur a
procurée.
Telles sont les trois lois générales qui serviront éternellement de base
à la géométrie céleste pour l'étude rationnelle des mouvemens
planétaires, et qui régissent aussi, exactement de la même manière, les
mouvemens des satellites autour de leurs planètes, en plaçant l'origine
des aires ou le foyer de l'ellipse au centre de la planète
correspondante. Depuis que l'admirable génie de Képler nous les a
dévoilées, le nombre total des astres de notre monde, sans même y
comprendre les comètes, a plus que triplé; et cette multiplicité
d'épreuves aussi inattendues n'a fait que confirmer successivement de
plus en plus leur profonde justesse. Leur ensemble a réduit toute notre
détermination des mouvemens de translation de ces corps, à un simple
problème de géométrie (dont les difficultés abstraites sont d'ailleurs
considérables), qui n'emprunte plus à l'observation directe que les
données fondamentales strictement indispensables: ce qui a imprimé à
l'astronomie un caractère profondément rationnel. Ces données sont, pour
chaque astre, au nombre de six: 1º. deux, déjà envisagées dans la
vingt-unième leçon, relativement au plan de l'orbite, déterminé
habituellement par la longitude de l'un ou l'autre noeud, et par
l'inclinaison à l'écliptique; 2º. la longitude du périhélie, qui fixe la
direction de l'orbite dans son plan; 3º. le rapport de la distance
focale au grand axe, qui caractérise la forme de l'ellipse décrite; 4º.
la moyenne distance au soleil, c'est-à-dire le demi-grand axe de cette
ellipse, qui définit entièrement sa grandeur; 5º. enfin, la durée de la
révolution sidérale, indiquant suffisamment la vitesse moyenne de
l'astre. Nous devons regarder, dans cette leçon, tous ces élémens
fondamentaux comme rigoureusement constans, l'étude des légères
variations qu'ils subissent progressivement étant le principal objet
définitif de la mécanique céleste, quoique plusieurs aient d'abord été
appréciées, avec plus ou moins d'exactitude, par la simple observation
directe. D'après ces élémens, il suffit de connaître une seule position
de chaque astre, pour que toute sa course se trouve être géométriquement
définie: ce que les astronomes font ordinairement, en se bornant à
indiquer la longitude de l'astre à une époque donnée.
Quoiqu'il soit évident, en thèse générale, que l'étude des mouvemens
intérieurs de notre monde est ainsi entièrement tombée sous le ressort
de la géométrie abstraite, il n'en est pas moins indispensable de
considérer ici la nature spéciale de ce grand problème géométrique,
suivant les principaux cas généraux qu'il doit présenter, sans entrer
d'ailleurs dans aucun détail de solution, incompatible avec l'esprit et
la destination de cet ouvrage. Il faut distinguer, à cet effet, trois
cas essentiels, que je range ici dans l'ordre astronomique de leur
difficulté croissante: le cas des planètes proprement dites, celui des
satellites, et enfin celui des comètes. Nous devons nous borner ici à
caractériser nettement les différences essentielles que présente à cet
égard le problème général de la géométrie céleste. En outre, on doit
reconnaître préalablement que, par sa nature, ce problème se décompose
toujours en deux questions distinctes, inverses l'une de l'autre: 1º.
étant donnés les élémens astronomiques de l'orbite, déterminer tout ce
qui concerne la course entière de l'astre, ce qui est la recherche la
plus ordinaire à l'égard des astres anciennement connus; 2º.
réciproquement, comme on doit surtout le faire envers tout astre
nouvellement étudié, trouver les valeurs de tous ces divers élémens,
d'après l'observation d'une partie suffisamment étendue de la course de
l'astre. Il importe fort peu d'ailleurs laquelle de ces deux questions
essentielles sera placée avant l'autre.
_Problème des planètes._ La difficulté bien moindre que présente l'étude
géométrique des mouvemens des planètes proprement dites résulte
uniquement de la faible excentricité de leurs orbites, et de la petite
inclinaison des plans correspondans, seuls caractères essentiels qui,
aux yeux des astronomes, les distinguent réellement des comètes. Ces
deux circonstances caractéristiques facilitent beaucoup la solution
précise du problème, en permettant, dans les divers développemens
analytiques qu'elle exige, de s'en tenir aux premières puissances des
inclinaisons et des excentricités. En même temps, sous le point de vue
mécanique, les perturbations étant, en général, comme nous le verrons,
bien plus petites, par une suite nécessaire de ces mêmes conditions, on
conçoit que la solution doit naturellement avoir plus d'exactitude.
En supposant d'abord que tous les élémens astronomiques de la planète
soient donnés, il est clair que, partant d'une position connue, on
pourra calculer, par la combinaison des deux premières lois de Képler,
en quel lieu se trouvera l'astre à telle époque, ou, au contraire, en
combien de temps il se transportera de telle situation à telle autre. La
difficulté consiste essentiellement dans cette question relative à la
théorie de l'ellipse: trouver l'angle compris entre deux rayons vecteurs
qui forment un secteur elliptique dont l'aire est donnée, ou,
réciproquement, passer de l'angle à l'aire. Ce problème fondamental, si
justement désigné sous le nom de _Problème de Képler_, ne peut être
résolu que par approximation dans l'état présent de l'analyse
mathématique, car il dépend d'une intégration qu'on ne sait point
jusqu'ici effectuer en termes finis. Les astronomes emploient encore, à
cet égard, des transformations géométriques essentiellement semblables à
celles imaginées par Képler.
Une ellipse, dont le foyer est donné, étant suffisamment déterminée par
trois quelconques de ses points, il est clair, en considérant maintenant
la question inverse, que trois positions exactement observées d'une
planète, doivent permettre de remonter à la connaissance de tous ses
élémens astronomiques. Cette seconde recherche générale est susceptible
d'une solution parfaitement rigoureuse, quoique, d'ailleurs, elle exige
des calculs fort compliqués. L'orbite une fois géométriquement définie,
la simple comparaison de l'aire comprise entre deux des trois rayons
vecteurs primitifs, avec le temps employé par l'astre à passer de l'un à
l'autre, suffira pour faire connaître, d'après la première loi de
Képler, la durée totale de sa révolution, ce qui complétera la solution.
Ici se reproduit d'ailleurs, dans l'évaluation de cette aire, la
difficulté fondamentale du problème de Képler.
En principe, trois positions quelconques sont strictement suffisantes.
Mais il est d'abord évident que, la solution étant fondée sur la
différence de ces positions, les résultats seraient trop incertains si
l'on ne mettait point, entre les trois observations successives un
notable intervalle, dont la valeur doit naturellement augmenter à mesure
qu'il s'agit d'une planète plus lointaine. En second lieu, il est
indispensable de connaître un plus grand nombre de positions
suffisamment distinctes, au moins cinq ou six, afin de se procurer des
moyens de vérifier et de rectifier les premiers résultats par les
diverses combinaisons ternaires des observations effectuées, dont le
degré d'accord mesurera l'exactitude de l'opération.
Cette double nécessité entraînant le besoin d'un temps plus ou moins
considérable, et, en certains cas, très long, pour l'exacte
détermination définitive d'une orbite planétaire, les astronomes ont
senti l'importance d'employer d'abord provisoirement, comme guide
général de leurs observations, l'antique hypothèse du mouvement
circulaire et uniforme, dans toute sa simplicité primitive, qui présente
le précieux avantage de pouvoir être beaucoup plus facilement calculée,
d'après deux positions seulement, contrôlées, tout au plus, si on le
juge à propos, par une troisième. On peut même avant tout, ce qui est
encore plus simple, commencer par regarder, pendant un temps très court,
la route de l'astre comme rectiligne; et les astronomes l'ont fait
quelquefois avec succès, pour discerner tout d'un coup, surtout envers
un astre nouveau, dans quelle partie du ciel il doit être observé
prochainement. Mais, c'est seulement lorsqu'on se borne à des procédés
graphiques, qui suffisent à un tel but, que cette hypothèse peut être
utilement employée. Quant aux calculs, l'hypothèse circulaire méritera
seule d'être considérée, puisqu'elle s'y adapte avec presque autant de
facilité, et que, d'ailleurs, elle représente infiniment mieux le vrai
mouvement, pour une bien plus grande portion de la course totale. Quoi
qu'il en soit, on voit clairement par là que l'astronomie moderne, en
détruisant sans retour les hypothèses primitives, envisagées comme lois
réelles du monde, a soigneusement maintenu leur valeur positive et
permanente, la propriété de représenter commodément les phénomènes quand
il s'agit d'une première ébauche. Nos ressources à cet égard sont même
bien plus étendues, précisément à cause que nous ne nous faisons aucune
illusion sur la réalité des hypothèses; ce qui nous permet d'employer
sans scrupule, en chaque cas, celle que nous jugeons la plus
avantageuse.
_Problème des satellites._ Les lois de Képler, dans leur application aux
satellites, ne concernent que les mouvemens relatifs de chaque satellite
autour de sa planète, envisagée comme immobile. Ainsi, la difficulté
supérieure du problème des satellites a évidemment pour cause
fondamentale la nécessité de tenir compte du déplacement continuel du
foyer de leurs orbites elliptiques, si l'on veut réellement parvenir à
représenter par des tables effectives la suite de leurs positions, comme
les astronomes l'ont toujours finalement en vue dans leurs travaux. À
cela près, et la course de la planète correspondante étant préalablement
connue, la marche générale de la solution est d'ailleurs entièrement
analogue, dans l'une et l'autre des deux questions inverses, à celle
ci-dessus caractérisée, puisque les mêmes circonstances essentielles, de
la petitesse des excentricités et des inclinaisons, se reproduisent ici.
Mais cette mobilité du foyer de l'ellipse décrite doit nécessairement
compliquer beaucoup la recherche, en regardant même, ainsi qu'il
convient à la leçon actuelle, tous les élémens astronomiques comme
constans, quoique leurs variations soient bien plus prononcées qu'à
l'égard des planètes. Heureusement l'extrême rapidité de la circulation
des satellites compense un peu, dans la plupart des cas, cet
accroissement général de difficulté, en permettant de déterminer, par
des observations immédiates fréquemment renouvelées, leurs principaux
élémens. La première approximation, qui consiste ici, en regardant
d'ailleurs le mouvement comme toujours circulaire et uniforme, à
négliger entièrement le déplacement de la planète pendant
l'accomplissement d'une révolution entière, est peut-être même plus
facile alors qu'en aucun autre cas.
La difficulté fondamentale du problème des satellites doit, évidemment,
présenter des degrés très inégaux, à raison de la disproportion plus ou
moins grande entre le temps périodique de chaque satellite et celui de
la planète correspondante. Si l'on compare, par exemple, le premier
satellite d'Uranus avec le dernier satellite de Jupiter, on voit que
celui-ci emploie deux fois plus de temps que l'autre à faire le tour de
sa planète, qui, d'un autre côté circule autour du soleil sept fois plus
rapidement. Il y aura donc, sans doute, beaucoup moins d'inconvénient à
traiter le premier comme s'il tournait autour d'un foyer immobile; et,
lorsqu'on voudra tenir compte du déplacement, son influence réelle étant
bien moindre, on obtiendra par des calculs moins pénibles le même degré
d'approximation. Aucun cas ne présente à cet égard, par sa nature,
autant de difficultés que celui de la lune, dont la théorie a toujours
fait, même sans compter les perturbations, le plus grand embarras des
astronomes, et dont cependant l'étude exacte nous importe davantage que
celle de tout autre satellite. Il est clair, en effet que, le temps
périodique de la lune étant seulement treize fois moindre environ que
celui de la terre, le déplacement de la planète a ici une extrême
influence sur les positions successives du satellite. La disproportion
des deux mouvemens est infiniment supérieure envers tous les autres
satellites.
_Problème des comètes._ Les comètes ne se distinguent essentiellement
des planètes proprement dites, comme je l'ai indiqué plus haut, que par
la très grande excentricité de leurs orbites, et les inclinations
presque illimitées des plans qui les contiennent. La petitesse si
prononcée et si constante de leurs masses, indiquée par la mécanique
céleste, n'est pas même un caractère vraiment exclusif, puisque les
quatre planètes télescopiques n'ont point probablement des masses
supérieures à celles de presque toutes les comètes. Toutes les autres
circonstances, et surtout celles qui attirent principalement l'attention
vulgaire à l'égard des comètes, sont secondaires et accidentelles, et
manquent d'ailleurs dans plusieurs de ces corps, outre qu'elles ne
sauraient exercer aucune sorte d'influence sur leur étude astronomique.
C'est même de l'extrême excentricité des orbites cométaires, comparée à
la faible excentricité des orbites planétaires, que doit résulter
l'ensemble des différences les plus importantes entre les planètes et
les comètes quant à leur constitution physique et chimique,
essentiellement fixe, d'après cela, dans les premières, et, au
contraire, éminemment variable dans les dernières. Les philosophes qui
ont regardé les comètes comme habitables n'ont point suffisamment
considéré, ce me semble, l'influence physiologique de cette distinction
fondamentale. D'après tout ce que nous connaissons de positif jusqu'ici
sur les lois de la vie, son existence doit être jugée radicalement
incompatible avec une aussi énorme variation dans l'ensemble des
circonstances extérieures, sous les rapports thermométriques,
hygrométriques, barométriques, et probablement électriques et chimiques,
que celle qui doit nécessairement avoir lieu lors du passage,
quelquefois très rapide, d'une comète de son périhélie à son aphélie ou
réciproquement.
On conçoit aisément, du point de vue astronomique, la difficulté
nouvelle que doivent introduire, dans l'étude des mouvemens, ces deux
caractères essentiels des comètes, si peu intéressans en apparence.
Indépendamment des perturbations bien plus grandes qui en sont la suite
nécessaire, et que nous ne devons point considérer encore, il est clair
que l'obligation de ne rien négliger, à l'égard des excentricités et des
inclinaisons, doit rendre les calculs purement géométriques presque
inextricables dans l'exécution, quoique d'ailleurs la théorie soit
entièrement semblable à celle des planètes. Il est remarquable toutefois
que, même dans ce cas, l'hypothèse circulaire puisse être encore
réellement employée pour diriger les premières observations, quoiqu'il
faille évidemment la restreindre à un temps beaucoup plus court. C'est
par l'emploi de cette hypothèse, à laquelle Tycho s'était borné, qu'il
démontra, le premier, contrairement à tous les préjugés philosophiques,
que les comètes sont de véritables astres, aussi réguliers dans leur
cours que les planètes elles-mêmes, quoique d'une étude plus difficile,
après qu'il eut d'abord établi, par l'évaluation grossièrement approchée
de leurs distances, qu'on ne saurait y voir des météores atmosphériques.
Mais, la première ébauche de la théorie des comètes se fait
essentiellement aujourd'hui à l'aide d'une nouvelle hypothèse, imaginée
par Newton, et qui leur est spécialement adaptée, à raison même de la
forme très allongée de leurs orbites elliptiques. C'est l'hypothèse
parabolique, qui, moins simple sans doute que l'hypothèse circulaire,
représente nécessairement beaucoup mieux la course de l'astre, jusqu'à
une assez grande distance de son périhélie. On conçoit, en effet, que
l'ellipse d'une comète, vu sa grande excentricité, doit peu s'écarter,
depuis son périhélie jusqu'à environ quatre-vingt-dix degrés de là, de
la parabole qui aurait le même sommet et le même foyer: c'est seulement
plus loin que la distance des deux courbes devient de plus en plus
considérable, et bientôt immense, quelque allongée que puisse être
l'ellipse. La parabole peut donc suffisamment correspondre aux positions
effectives de l'astre pendant cette première partie de sa course, dont
elle simplifie extrêmement l'étude, d'après l'ensemble des propriétés
géométriques de cette courbe, bien plus facile à traiter que l'ellipse.
Cette substitution provisoire est d'autant plus heureuse, qu'elle
convient précisément à la seule portion qui intéresse vivement la
curiosité publique, l'astre n'étant plus ordinairement assez éclairé,
lorsqu'il s'écarte davantage du soleil, pour être visible de la terre à
l'oeil nu.
Pour employer une telle hypothèse, il suffit évidemment, d'après la
nature de la parabole, d'avoir observé la comète dans deux positions
différentes, comme s'il s'agissait du cercle. On en déduit alors
géométriquement tous les élémens ordinaires, sauf bien entendu, le temps
périodique, et le grand axe étant remplacé par la distance du sommet au
foyer. Ce sont ces cinq élémens qui servent aux astronomes de
signalement ordinaire pour reconnaître ou distinguer les comètes dans
leurs apparitions successives, quoique les variations considérables
qu'ils sont susceptibles d'éprouver en réalité puissent souvent induire
en erreur à ce sujet, et qu'elles aient probablement conduit en effet à
multiplier beaucoup trop le nombre des comètes. Enfin, le problème de
Képler, qui comporte alors une solution rigoureuse et même facile,
déterminant l'aire décrite pendant l'intervalle connu des deux
observations primitives, achève de régler tout ce qui concerne la course
de l'astre, en faisant apprécier sa vitesse, ce qui permet dès lors à
nos calculs de le devancer dans toutes ses positions successives,
jusqu'aux limites naturelles de l'hypothèse parabolique.
C'est dans cet esprit que la théorie géométrique des comètes est
habituellement traitée; car, sur le très grand nombre de comètes
actuellement connues et paraboliquement caractérisées, il n'y en a pas
dix dont les orbites elliptiques soient jusqu'ici bien établies, tant
est extrême la difficulté mathématique de la solution rigoureuse.
Néanmoins, sans la théorie elliptique on ne saurait, évidemment,
atteindre à la partie la plus intéressante de cette recherche, la
prévision exacte des retours, d'après l'évaluation du temps périodique.
Il faut même reconnaître, à cet égard, que la durée de la révolution
sidérale constitue le trait le plus caractéristique, et peut-être le
seul vraiment décisif, du signalement d'une comète; car, malgré les
perturbations dont cet élément est aussi susceptible, il varie beaucoup
moins que les divers élémens paraboliques.
On conçoit, par cet ensemble de considérations, quelle est jusqu'ici
l'imperfection nécessaire de la théorie des comètes, comparée à celle
des planètes.
Tels sont, dans leurs caractères essentiels, les trois cas généraux que
présente l'application des lois de Képler au problème fondamental de la
géométrie céleste. C'est ainsi que l'astronomie a pu parvenir à assigner
mathématiquement, pour la suite entière des temps, ou futurs ou passés,
la position qu'occupe, en un instant donné, l'un quelconque des divers
astres qui composent le système solaire dont nous faisons partie.
D'après ces déterminations fondamentales, il devient aisé de comprendre,
en thèse générale, comment tous les phénomènes secondaires qui peuvent
résulter de la situation mutuelle de plusieurs de ces corps ont dû être
exactement calculés et prévus, d'une manière entièrement rationnelle.
Les principaux de ces aspects sont les éclipses de diverses sortes,
qu'entraîne naturellement le passage de ces astres les uns devant les
autres par rapport à nous. L'exactitude et la rationnalité de leur
prévision ont toujours été le critérium évident et décisif d'après
lequel la perfection effective des théories astronomiques est devenue
facilement appréciable, même par le vulgaire, puisqu'un tel résultat
suppose nécessairement une profonde connaissance réelle des lois
géométriques que suivent, dans leurs mouvemens, les deux ou les trois
astres qui concourent au phénomène. À la vérité, tous les événemens
célestes sont, par leur nature, essentiellement périodiques, puisque les
orbites sont toujours nécessairement des courbes fermées. Ainsi, la
notion empirique et grossière de quelques périodes qui reproduisent à
peu près certains genres d'éclipses, a pu devenir, dès la première
enfance de l'astronomie, un moyen direct de prédiction fort imparfait;
ce qui a souvent trompé les érudits sur l'étendue des connaissances de
quelques castes antiques, quoique cela ne supposât essentiellement
d'autre découverte que celle d'une écriture quelconque pour tenir
registre des événemens observés. Mais, il ne saurait évidemment être
question ici de ce procédé anti-géométrique, fondé sur des périodes très
mal observées à l'origine, et d'ailleurs réellement variables, qui
pourrait tout au plus indiquer vaguement, même aujourd'hui, le jour de
l'événement. Il s'agit uniquement de prédictions vraiment mathématiques,
qui n'ont pu commencer que dans l'immortelle école d'Alexandrie; et dont
le degré de précision, à l'heure, à la minute, et enfin à la seconde,
représente fidèlement en effet les grandes phases historiques du
perfectionnement graduel de l'ensemble de la géométrie céleste. Voilà ce
qui, abstraction faite de toute application à nos besoins, fera
toujours, de l'observation des éclipses, un spectacle aussi intéressant
pour les vrais philosophes que pour le public lui-même, et par des
motifs que la propagation de l'esprit positif rendra, j'espère, de plus
en plus, essentiellement analogues, quoique inégalement énergiques.
Indépendamment de la haute utilité pratique de cette classe générale de
phénomènes au sujet du grand problème des longitudes, quelques-uns
d'entre eux sont devenus, depuis un siècle, susceptibles d'une
destination scientifique fort importante, en fournissant, comme je l'ai
annoncé dans l'avant-dernière leçon, les meilleurs moyens de déterminer
avec exactitude la distance du soleil à la terre, donnée si
indispensable à toute notre astronomie.
Quand le soleil est plus ou moins éclipsé par un astre quelconque, soit
qu'il s'agisse d'une éclipse très apparente, comme celles que produit la
lune, soit, au contraire, que le phénomène se réduise à obscurcir un
seul point du disque solaire, d'une manière imperceptible à l'oeil nu,
comme lors des passages de Vénus ou de Mercure entre le soleil et nous,
l'observation de ces phénomènes, dont la théorie est, dans tous les cas,
essentiellement identique, peut nous conduire à apprécier, plus
exactement que par aucune autre voie, la parallaxe relative de cet astre
et du soleil, et par suite la distance du soleil lui-même, d'après la
différence, soigneusement mesurée, que doit présenter la durée totale du
phénomène aux divers observatoires de notre globe. Considérons, en
effet, que la théorie a d'abord déterminé cette durée pour le centre de
la terre, qui verrait l'astre décrivant une certaine corde du disque
solaire. Dès lors, par l'effet de la parallaxe, qui abaisse inégalement
les deux astres, l'observateur situé à la surface du globe verra décrire
une corde différente, ce qui changera la durée effective du phénomène.
Or, dans les cas ordinaires, cet effet se trouvera nécessairement
inverse pour deux lieux situés de part et d'autre de l'équateur
terrestre. Car, si la parallaxe relative rapproche la corde du centre du
disque, à l'égard de l'un de nos hémisphères, et, conséquemment,
augmente la durée mathématique du passage, elle l'en éloignera, au
contraire, et diminuera cette durée, envers l'hémisphère opposé. Il y
aura donc, sous ce rapport, une différence très appréciable entre deux
lieux distincts, convenablement choisis parmi ceux qui permettent
d'apercevoir le phénomène, et surtout d'un hémisphère à l'autre. Cette
différence constatée, ne dépendant, évidemment, que de la parallaxe
relative et de la vitesse angulaire, déjà bien connue, de l'astre
considéré, conduira à l'évaluation de la première de ces deux quantités
et, par suite, de la parallaxe horizontale du soleil.
Tous les astres susceptibles de passer entre le soleil et nos yeux ne
sont pas, à beaucoup près, également propres à une telle détermination.
Il faut d'abord que la parallaxe relative ne soit pas trop considérable,
afin que l'influence propre à la parallaxe solaire ne s'efface point,
pour ainsi dire, vis-à-vis de celle de l'astre, dont la distance à la
terre serait alors insuffisante à nous servir de base dans l'exacte
évaluation de l'éloignement du soleil. D'un autre côté, cette parallaxe
relative serait elle-même trop mal connue si elle ne surpassait pas
notablement la parallaxe du soleil, qu'il vaudrait alors presque autant
déterminer d'une manière directe; et d'ailleurs la différence des durées
serait trop peu prononcée. Enfin, il faut aussi que le mouvement
angulaire de l'astre soit assez lent, pour que, le phénomène se
prolongeant long-temps, cette différence doive être très sensible.
Parmi les trois seuls astres connus qui puissent ainsi éclipser le
soleil, l'ensemble de ces motifs exclut, évidemment, la lune, et même
Mercure, en sorte qu'il ne reste que Vénus. La parallaxe, dans une telle
position, offre les proportions convenables, étant presque triple de
celle du soleil; et la vitesse angulaire est assez petite pour que le
phénomène, dont la durée totale est de six à huit heures, puisse
présenter des différences de vingt minutes au moins entre deux
observatoires bien choisis. Telle est la belle méthode imaginée par
Halley, et pratiquée plus tard par divers astronomes. Le degré de
précision du résultat se trouve, évidemment fixé d'après les
considérations qui précèdent.
J'ai cru devoir caractériser nettement cette application de la théorie
géométrique des mouvemens célestes, à cause de son extrême importance
pour le système entier de la science astronomique. Mais, il serait
contraire à la nature de cet ouvrage d'y considérer spécialement aucune
autre de ces questions secondaires, quelque grande que puisse être,
d'ailleurs, leur utilité pratique.
L'ensemble de ces phénomènes provoque naturellement une remarque
philosophique fort essentielle, sur l'opposition nécessaire et de plus
en plus prononcée de l'esprit positif contre l'esprit théologique ou
métaphysique, à mesure que la géométrie céleste s'est perfectionnée
davantage. Le caractère fondamental de toute philosophie théologique
est d'envisager tous les phénomènes comme gouvernés par des volontés,
et, par conséquent, comme éminemment variables et irréguliers, au moins
virtuellement. Au contraire, la philosophie positive les conçoit comme
assujettis, à l'abri de tout caprice, à des lois invariables, qui
permettent de les prévoir exactement. L'incompatibilité radicale de ces
deux manières de voir n'est, aujourd'hui, nulle part plus saillante qu'à
l'égard des événemens célestes, depuis qu'on a pu les prévoir
complètement et avec la dernière précision. En voyant toujours arriver
les comètes et les éclipses, avec toutes les circonstances minutieuses
exactement annoncées long-temps à l'avance, suivant les lois que le
génie humain a su enfin créer d'après ses observations, le vulgaire
lui-même doit être inévitablement entraîné à sentir que ces phénomènes
sont soustraits à l'empire de toute volonté, qui n'aurait pu, sans
doute, se subordonner aussi complaisamment à nos décisions
astronomiques.
Je me suis efforcé de caractériser aussi nettement que possible, dans
cette leçon et dans les deux précédentes, le véritable esprit général
de la géométrie céleste, envisagée sous ses divers aspects principaux,
et en faisant complètement abstraction de toute considération mécanique.
Il faut maintenant passer à l'examen philosophique, bien plus difficile
et non moins important, de la théorie mécanique dont sont susceptibles
aussi les phénomènes astronomiques, en concevant les résultats généraux
de leur étude géométrique, si admirablement résumés par les trois lois
de Képler, comme autant de faits fondamentaux, propres à nous conduire à
une conception supérieure et unique. Cette seconde étude procure de
nouvelles déterminations, qui, sans elle, nous seraient nécessairement
interdites. Mais, sa principale influence scientifique est de réagir sur
le perfectionnement de la géométrie céleste elle-même, en rendant ses
théories plus précises, par suite de la liaison sublime qu'elle établit
profondément entre tous les phénomènes intérieurs de notre monde, sans
aucune exception. C'est ainsi que l'esprit humain en est enfin venu à
regarder les lois de Képler elles-mêmes comme une sorte d'approximation,
qui n'en conserve pas moins toute l'éminente valeur que nous lui avons
assignée ici. Les divers élémens que ces lois supposent constans sont,
en réalité, ainsi que j'ai dû déjà l'annoncer, susceptibles
d'altérations plus ou moins étendues. La connaissance exacte des lois si
complexes de leurs variations, constitue le principal résultat
astronomique de la mécanique céleste, indépendamment de sa haute
importance directe sous le rapport philosophique.