regarde comme les plus inaccessibles, sont souvent, dit-il, celles qui
portent avec elles une plus grande lumière. L'obscurité semble s'emparer
de nos idées à mesure que nous examinons dans un objet plus de
propriétés sensibles; l'impénétrabilité ajoutée à l'idée d'étendue
semble ne nous offrir qu'un mystère de plus; la nature du mouvement est
une énigme pour les philosophes; le principe métaphysique des lois de
la percussion ne leur est pas moins caché; en un mot, plus ils
approfondissent l'idée qu'ils forment de la matière et des propriétés
qui la représentent, plus cette idée s'obscurcit et paraît vouloir leur
échapper, plus ils se persuadent que l'existence des objets extérieurs,
appuyée sur le témoignage équivoque de nos sens, est ce que nous
connaissons le moins imparfaitement encore.»
D'Alembert aborde dans son discours une question fort célèbre alors
et que les géomètres, qui peuvent seuls approfondir la discussion,
résolvent tous aujourd'hui, sans, il est vrai, s'en inquiéter beaucoup,
dans un sens opposé à celui qu'il adopte. Les lois de la mécanique
sont-elles des vérités nécessaires ou contingentes? Peut-on, en d'autres
termes, par le seul raisonnement et en dehors de toute expérience,
démontrer les principes de la science et découvrir les lois du
mouvement? «Pour fixer nos idées sur cette question, il faut, dit
d'Alembert, d'abord la réduire au seul sens raisonnable qu'elle puisse
avoir. Il ne s'agit pas de décider si l'auteur de la nature aurait pu
lui donner d'autres lois que celles que nous observons; dès qu'on admet
un être intelligent et capable d'agir sur la matière, il est évident que
cet être peut à chaque instant la mouvoir et l'arrêter à son gré, ou
suivant des lois uniformes, ou suivant des lois qui soient différentes
pour chaque instant et pour chaque partie de matière; l'expérience
continuelle de notre corps nous prouve assez que la matière, soumise à
la volonté d'un principe pensant, peut s'écarter dans ses mouvements de
ceux qu'elle aurait véritablement si elle était abandonnée à elle-même.
La question proposée se réduit donc à savoir si les lois de l'équilibre
et du mouvement qu'on observe dans la nature sont différentes de celles
que la matière abandonnée à elle-même aurait suivies.»
Cette seule manière raisonnable de poser la question semble, il faut
l'avouer, bien singulière, et l'idée de considérer la matière abandonnée
à elle-même et affranchie du gouvernement, on pourrait presque dire des
caprices de la raison souveraine, laisse entrevoir l'ami de Diderot
disposé à écarter partout et toujours, dût-il ne rien rester, les
arguments puisés dans une telle considération.
Lorsque Lagrange déclare que la dynamique de d'Alembert a mis fin entre
les géomètres aux problèmes difficiles proposés par défi, si le lecteur
suppose que la théorie du mouvement, trop bien connue, n'était plus
digne de servir d'épreuve, il a très mal compris l'assertion. Descartes,
parlant de sa grande découverte, l'analyse appliquée à la géométrie,
déclare, non sans orgueil et même avec plus d'orgueil qu'il n'est
permis, qu'il se dispense de résoudre les problèmes auxquels sa méthode
est applicable, pour laisser à ses descendants le plaisir facile de s'y
exercer. Pour la géométrie, comme pour la mécanique, l'assertion est
trompeuse. La science, dans aucun cas, n'a procédé ainsi. Plus une
méthode est nouvelle et féconde, plus elle étend le champ de l'inconnu.
Les difficultés à vaincre pour avancer encore grandissent aux approches
des sommets, qui, pour cette raison peut-être, ne seront jamais
atteints. D'Alembert n'a vu dans son principe qu'une voie signalée à
tous et ouverte à lui-même pour tenter de nouveaux travaux.
Quelques-uns sont admirables. L'un des premiers, malgré le succès
obtenu, ne doit être aujourd'hui loué qu'avec réserves.
D'Alembert, en 1746, obtint le prix proposé par l'Académie de Berlin à
l'auteur du meilleur ouvrage sur la cause des vents. Ce concours eut sur
la vie de d'Alembert une grande influence en le mettant en relation avec
Frédéric, dont, pendant quarante ans, il resta l'ami: c'est le seul mot
qui convienne.
Le livre de d'Alembert sur la cause des vents ne tend pas à
l'application.
D'Alembert n'a pas étudié le véritable mécanisme, déjà connu, dans ses
traits généraux au moins, qui explique les vents alizés soufflant sans
cesse dans la zone torride et presque exactement de l'est vers l'ouest.
Ils sont produits par les différences de température, qui dans ces
régions déterminent l'élévation de l'air: l'air plus froid qui le
remplace et vient des régions boréales est animé d'une moindre vitesse
de rotation et semble par conséquent souffler en sens opposé au
mouvement de la terre.
D'Alembert ne parle de cette cause principale et prépondérante que pour
refuser de s'en occuper. «J'avoue, dit-il, que la différente chaleur
que le soleil répand sur les parties de l'atmosphère doit y exciter des
mouvements; je veux même accorder qu'il en résulte un vent général qui
souffle toujours dans le même sens, quoique la preuve qu'on en donne ne
me paraisse pas assez évidente pour porter dans l'esprit une lumière
parfaite; mais si on se propose de déterminer la vitesse de ce vent
général et sa direction dans chaque endroit de la terre, on verra
facilement qu'un pareil problème ne peut être résolu que par un calcul
exact; or les principes nécessaires pour ce calcul nous manquent
entièrement, puisque nous ignorons et la loi suivant laquelle la chaleur
agit et la dilatation qu'elle produit dans les parties de l'air: cette
dernière raison est plus que suffisante pour nous déterminer à faire ici
abstraction de la chaleur solaire, car, comme il n'est pas possible de
calculer avec quelque exactitude les mouvements qu'elle peut occasionner
dans l'atmosphère, il faut nécessairement reconnaître que la théorie des
vents n'est susceptible d'aucun degré de perfection de ce côté-là.» Ces
lignes contiennent une déclaration de principes bien dangereuse pour les
progrès de la physique. Bien éloigné de vouloir approfondir les causes
cachées, d'Alembert n'accepte que des problèmes bien nets et bien purs,
dont l'énoncé permette une solution exacte et achevée; non content de
négliger ce qui est petit et sans influence sensible, il écarte avec
dédain tout ce qui, lui semblant mal connu et mal déterminé, diminue la
précision et la beauté du problème. C'est la même tendance qui plus tard
et dans un autre ordre d'idées devait le conduire à restreindre, jusqu'à
l'annuler, le champ de la métaphysique et de la philosophie.
Malgré l'habileté qu'il y déploie, l'insuffisance de la théorie de
d'Alembert est visible d'ailleurs au premier coup d'oeil: la grandeur
et la direction actuelle des vents dépendraient en effet, suivant elle,
aujourd'hui encore, de l'état initial des couches atmosphériques, sans
que les frottements et les chocs renouvelés depuis le commencement du
monde en aient dissipé l'influence. Le prix accordé à d'Alembert fut-il
donc le résultat d'une méprise, et le titre de membre de l'Académie de
Berlin était-il immérité? Il y aurait grande injustice à le croire. Dans
l'ouvrage sur la cause des vents on reconnaît à chaque page le grand
géomètre profondément instruit de la science du mouvement et
capable d'ouvrir des voies nouvelles. De tels essais précèdent
les chefs-d'oeuvre et les préparent, parce qu'ils perfectionnent
l'instrument des recherches en enseignant à le manier avec plus
d'élégance et de sûreté.
D'Alembert, suivant les conséquences de son principe de dynamique, en a
fait l'application à la théorie de la précession des équinoxes, et son
livre sur ce sujet difficile suffirait pour le rendre immortel.
Les pôles de la terre, à moins de chocs que rien ne fait prévoir dans
l'avenir et que rien ne prouve dans le passé, sont immobiles à la
surface; ceux du ciel, au contraire, se déplacent sans cesse par rapport
aux étoiles fixes. C'est la grande découverte d'Hipparque. Le pôle,
autour duquel semble tourner le ciel, parcourt un petit cercle dont le
rayon mesure 23° 1/2 et, s'avançant de 50" environ par an, en fera le
tour en vingt-six mille ans. L'équateur, perpendiculaire à la ligne des
pôles, tourne nécessairement avec elle; en vertu de cette rotation, il
coupe le plan écliptique, qui est fixe, en des points variables.
Ces points sont les équinoxes, qui comme le pôle, par conséquent,
accompliront leur révolution en vingt-six mille années.
Les observations astronomiques confirment la prédiction hardie du
grand astronome de l'antiquité. Les siècles succèdent aux siècles et
l'équinoxe continue sa marche uniforme. Quelle force produit et règle
son mouvement? La question pour Képler n'aurait pas eu de sens. Heureux
et fier de pénétrer le mécanisme du monde, il n'avait pas l'audace de
chercher les causes. Newton a révélé le ressort; c'est à la mécanique à
en chercher les effets. La terre chaque année tourne autour du soleil.
C'est qu'elle est attirée par lui; sans cette attraction insuffisante
à les réunir, animés par les vitesses acquises, les deux corps
s'éloigneraient indéfiniment. Le soleil, en attirant la terre, n'est
pas la cause de la rotation qui produit les jours et les nuits; il ne
pourrait, si la terre était homogène et sphérique, ni l'accélérer ni la
ralentir. Mais sur un globe aplati et hétérogène l'action est déviée et,
ne s'exerçant pas exactement vers le centre, produit une rotation qui
déplace chaque jour d'une quantité inappréciable aux observations la
position de l'axe du monde. Newton a signalé cette cause incontestée
du phénomène. D'Alembert l'a soumise au calcul. Écoutons Laplace, en
pareille matière le grand juge. «La découverte de ces résultats, dit-il
après avoir expliqué le détail du phénomène, était au temps de Newton
au-dessus des moyens de l'analyse et de la mécanique; il fallait en
inventer de nouveaux. L'honneur de cette invention était réservé à
d'Alembert. Un an et demi après la publication de l'écrit dans lequel
Bradley présenta sa découverte, d'Alembert fit paraître son traité de la
précession des équinoxes, ouvrage aussi remarquable dans l'histoire de
la mécanique céleste et de la dynamique, que l'écrit de Bradley dans les
annales de l'astronomie.»
D'Alembert en suivant sa voie devait rencontrer les plus grands
problèmes de la mécanique céleste. Les questions depuis Newton étaient
nettement posées, et nul mieux que lui n'était préparé à la lutte. Le
traité de dynamique de d'Alembert est l'annonce et en quelque sorte le
prologue de la mécanique analytique, chef-d'oeuvre de Lagrange. Les
écrits de d'Alembert sur le système du monde forment un traité de
mécanique céleste dans lequel Laplace, qui l'a loyalement reconnu, a
largement et fructueusement puisé. D'Alembert a repris la théorie de la
lune esquissée seulement par Newton. Le problème appartenait à tous; si
Clairaut et Euler, en l'abordant en même temps que lui, y ont rencontré
les mêmes succès, il faut se garder d'en conclure qu'il fût facile.
Newton y avait échoué, et les forces réunies des trois nouveaux
athlètes ont laissé à leurs successeurs un vaste champ à parcourir.
Les observations se perfectionnent; après les degrés sont venues les
minutes, après les minutes les secondes, et aujourd'hui les dixièmes de
seconde. Les calculateurs prétendent tout expliquer et y réussissent;
c'est en astronomie surtout que les détails sont la pierre de touche des
théories. L'accord dans la théorie de la lune n'a pas été immédiat, et
l'observation, en démentant d'abord le calcul, a éveillé de grandes
émotions et provoqué d'ardentes discussions.
Diderot ne faisait qu'en rire et, sans rien entendre à la question, se
faisait lire en la discutant. «Ce qu'il y a d'utile en géométrie peut,
disait-il, s'apprendre en six mois. Le reste est de pure curiosité.»
Cela est vrai sans doute. Mais la poésie, la peinture, la métaphysique
et bien d'autres produits de l'activité humaine sont aussi de pure
curiosité; si l'on doit pour cela les envelopper dans un même dédain,
la barbarie deviendra l'idéal des sages et le voeu des gens sensés. «Il
n'existe dans la nature, ajoute Diderot, ni surface sans profondeur, ni
ligne sans largeur, ni point sans dimensions, ni aucun corps qui ait
cette régularité hypothétique du géomètre Dès que la question qu'on lui
propose le fait sortir de ses suppositions, dès qu'il est forcé de faire
entrer dans la solution d'un problème l'évaluation de quelques causes ou
qualités physiques, il ne sait plus ce qu'il fait.»
«Si le calcul s'applique si parfaitement à l'astronomie--c'est toujours
Diderot qui parle---c'est que la distance immense à laquelle nous sommes
placés des corps célestes réduit leurs orbes à des lignes presque
géométriques. Mais prenez le géomètre au toupet et approchez-le de la
lune d'une cinquantaine de diamètres terrestres: alors, effrayé du
balancement énorme et des terribles alternatives du globe lunaire, il
trouvera qu'il y a autant de folie à lui proposer de tracer la marche de
notre satellite dans le ciel que d'indiquer celle d'un vaisseau dans nos
mers quand elles sont agitées par la tempête.»
L'imagination de Diderot le sert mal. Les géomètres ont depuis le traité
de d'Alembert perfectionné sans cesse les calculs dont il a nettement
donné le principe. Glairaut et Euler ses contemporains, Lagrange et
Laplace, et, après eux, Plana, Damoiseau, Hansen, Delaunay et Adams
ont inscrit leurs noms dans l'histoire de la science en consacrant de
nombreuses années à perfectionner et à refaire cette théorie rebelle aux
formules. La longueur des calculs dépasse toute prévision et s'accroît
sans cesse. Pour l'astronome aujourd'hui tout est fait, rien n'est
ébauché pour le géomètre.
Un problème très connu et par comparaison très facile donnera la clef
de l'énigme. La quadrature du cercle est en géométrie comme la pierre
philosophale en chimie, la chose impossible; les ignorants seuls osent
la chercher, et quand ils l'ont péniblement trouvée, il leur faut
de nouveau de longs efforts pour décider un savant véritable à leur
montrer, en entrant au détail, l'illusion de leur découverte. Les
académies depuis longtemps rejettent avec dédain, sans en avoir pris
connaissance, toute annonce d'une solution nouvelle. Le problème est
classé comme insoluble. Archimède l'a résolu pourtant, précisément comme
d'Alembert a résolu celui du mouvement de la lune, et, depuis deux mille
ans, quiconque ne se contente pas de l'exactitude acquise peut, sans
effort d'esprit, trouver, autant qu'il lui plaît, de nouveaux chiffres
exacts et certains. Le rayon du cercle étant donné, la surface est
connue avec une précision illimitée; on peut partager un millimètre
carré en un million de parties égales, et chaque partie, de nouveau, en
un million de parties nouvelles, recommencer cinquante fois la division;
le résultat imperceptible de toutes ces opérations de l'esprit
restera, si le calculateur le veut, supérieur à l'erreur commise. Que
demande-t-on de plus? Pourquoi traiter d'insoluble un problème si
parfaitement résolu? La réponse est bien simple: le géomètre veut une
erreur nulle. Entre zéro pour lui et l'extrême petitesse, d'après les
règles du jeu qu'il veut jouer, il y a un abîme. Une solution n'est
pas plus ou moins parfaite, elle est exacte ou inexacte. L'histoire du
problème des trois corps est semblable.
Les travaux mathématiques de d'Alembert sont innombrables. Nous ne
pouvons en faire le résumé. Il est impossible même de citer ceux qui
pourraient, en l'absence de tout autre titre, assurer à son nom une
place élevée dans l'histoire de la science. Ses études sur les cordes
vibrantes sont du nombre.
Taylor avant d'Alembert avait résolu le problème; Euler, Bernouilli
et Lagrange s'y sont exercés après lui. Après de longues et subtiles
discussions, leur désaccord a souvent subsisté.
Une gloire incontestable reste à d'Alembert: il a créé à l'occasion de
ce problème de physique une méthode nouvelle d'analyse. D'Alembert
est le créateur de la théorie si féconde des équations aux dérivées
partielles.
Il faut dire toute la vérité. L'esprit de d'Alembert, ingénieux et
profond sur toutes les parties de la science, se refusait sur l'une
d'elles aux démonstrations les plus claires. Il a toujours repoussé les
principes du calcul des probabilités, et, dans ses discussions plusieurs
fois répétées avec Daniel Bernouilli, la postérité ne peut refuser à son
illustre adversaire l'avantage d'avoir eu raison sur tous les points.
Malgré les travaux de Pascal, d'Huygens et de Jacques Bernouilli,
d'Alembert refuse de voir dans le calcul des probabilités une branche
légitime des mathématiques. Le problème qui fut le point de départ
de ses doutes et l'occasion de ses critiques est resté célèbre dans
l'histoire de la science sous le nom de «problème de Saint-Pétersbourg».
On suppose qu'un joueur, Pierre, jette une pièce en l'air autant de fois
qu'il faut pour amener face. Le jeu s'arrête alors et il paye à son
adversaire Paul, 1 franc s'il a suffi de jeter la pièce une fois, 2
francs s'il a fallu la jeter deux fois, 4 francs s'il y a eu trois
coups, puis 8 francs, 16 francs, et ainsi de suite en doublant la somme
chaque fois que l'arrivée de face est retardée d'un coup. On demande
combien Paul doit payer équitablement en échange d'un tel engagement?
Le calcul fait par Daniel Bernouilli, qui avait proposé le problème,
exige que l'enjeu de Paul soit infini. Quelque somme qu'il paye à Pierre
avant de commencer le jeu, l'avantage sera de son côté; tel est le sens
du mot infini. Ce résultat, quoique rigoureusement démontré, semble
contraire aux indications du bon sens. Aucun homme raisonnable ne
voudrait payer cent francs les promesses de Pierre.
L'esprit de d'Alembert, pour repousser ce paradoxe, rejetait avec dédain
les principes qui y conduisent, en proposant, pour en nier la rigueur et
en contester l'évidence, les raisonnements les moins fondés et les plus
singulières objections. Il refuse, par exemple, aux géomètres le droit
d'assimiler dans leurs déductions cent épreuves faites successivement
avec la même pièce à cent autres faites simultanément avec cent pièces
différentes. «Les chances, dit-il, ne sont pas les mêmes dans les deux
cas», et la raison qu'il en donne est fondée sur un singulier sophisme:
«Il est très possible, dit-il, et même facile de produire le même
événement en un seul coup autant de fois qu'on le voudra, et il est au
contraire très difficile de le produire en plusieurs coups successifs,
et peut-être impossible, si le nombre des coups est très grand.»
«Si j'ai, ajoute d'Alembert, deux cents pièces dans la main et que je
les jette en l'air à la fois, il est certain que l'un des coups croix ou
pile se trouvera au moins cent fois dans les pièces jetées, au lieu que,
si l'on jetait une pièce successivement en l'air cent fois, on jouerait
peut-être toute l'éternité avant de produire croix ou pile cent fois de
suite.» Est-il nécessaire de faire remarquer que les deux cas assimilés
sont entièrement distincts, et que jeter deux cents pièces en l'air pour
choisir après coup les cent qui tournent la même face, c'est absolument
comme si l'on jetait en l'air une pièce deux cents fois de suite, en
choisissant après, pour les compter seules, les épreuves qui ont fourni
le résultat désiré? Dans cette discussion, qui d'ailleurs n'occupe
qu'une bien faible place parmi ses opuscules, d'Alembert se trompe
complètement et sur tous les points. Son esprit, désireux de lumière,
toujours prêt à déclarer impénétrable ce qui lui semble obscur,
était plus qu'un autre exposé au péril de condamner légèrement les
raisonnements si glissants et si fins du calcul des chances. Quant au
paradoxe du problème de Saint-Pétersbourg, il disparaît entièrement
lorsqu'on interprète exactement la réponse du calcul: une convention
équitable n'est pas une convention indifférente pour les parties; cette
distinction éclaircit tout. Un jeu peut être à la fois très juste et
très déraisonnable. Supposons, pour mettre cette vérité dans tout son
jour, que l'on propose à mille personnes possédant chacune un million de
former en commun un capital d'un milliard, qui sera abandonné à l'une
d'elles désignée par le sort, toutes les autres restant ruinées. Le jeu
sera équitable, et pourtant aucun homme sensé n'y voudra prendre part.
En termes plus simples et plus évidents encore: un très gros jeu est
insensé sans être inique.
Le problème de Saint-Pétersbourg offre, sous l'apparence d'un jeu très
modéré, dans lequel on doit vraisemblablement payer quelques francs
seulement, des conventions qui peuvent, dans des cas qui n'ont rien
d'impossible, rendre la perte colossale.
Les plus grands géomètres ont écrit sur le calcul des probabilités;
presque tous ont commis des erreurs: la cause en est, le plus souvent,
au désir d'appliquer des principes à des problèmes qui par leur nature
échappent à la science.
D'Alembert commet la faute opposée: il nie les principes. Imposer aux
hasards des lois mathématiques est pour lui un contresens; il rejette le
problème et détourne les yeux. Les géomètres, sur ce point, n'avaient
qu'un parti à prendre, celui de ne pas le lire. Il n'a jamais connu la
question. Daniel Bernouilli l'a invité à se mettre au fait des matières
dont il parle. D'Alembert l'a traité d'impertinent: ils avaient tous les
deux raison.
Lorsque, trop confiant dans la théorie, on l'invoque dans des cas où
elle n'a que faire, le scepticisme reprend l'avantage. La célèbre
question de l'inoculation en offre un exemple.
L'inoculation, au XVIIIe siècle, avant la découverte de la vaccine,
était pour les familles le parti le plus sage; l'étude des faits
le rendait évident, mais il ne fallait pas mêler de formules à la
discussion: telle est la thèse de d'Alembert. Il l'a, selon sa coutume,
soutenue avec chaleur et esprit; il adopte la bonne cause et combat ceux
qui la défendent mal; nous ne devons pas passer sous silence ce rôle qui
lui fait honneur.
La question de fait domine tout; elle repose sur des chiffres
incertains. Les statistiques n'étaient pas d'accord. D'Alembert, dont la
conclusion est résolument favorable à l'inoculation, allègue surtout le
très petit nombre des décès, fort inférieur, suivant les renseignements
les plus certains, à celui qu'on avait proposé d'abord en conseillant
pourtant de braver le danger.
Sur deux cents inoculés, avait dit Daniel Bernouilli, il en meurt un en
moyenne dans le mois qui suit l'opération.
Si cela était vrai, répond d'Alembert, il faudrait laisser chacun libre.
«Chacun, comme dit Pantagruel, serait arbitre de ses propres pensées
et de soy-même prendrait conseil»; mais le chiffre est exagéré. Les
précautions chaque jour mieux connues ont rendu le nombre des victimes
dix fois moindre et pourront le réduire encore.
Sans insister sur ces chiffres douteux, la thèse qu'il soutient est
celle-ci:
L'évaluation de la vie moyenne n'a pour une telle question rien qui
soit décisif. Il n'est pas vrai que, la vie moyenne étant supposée, par
exemple, de vingt-cinq ans pour les hommes de trente ans bien portants,
toute innovation qui la portera à vingt-sept ans doive être acceptée
comme un avantage.