MÉCANIQUE ANALYTIQUE, MÉCANIQUE CÉLESTE ET PHYSIQUE MATHÉMATIQUE.
_EXTRAIT DE L'_ANALYSE DUE A PHILIPPE GILBERT DES NOTES INSÉRÉES
PAR M. GASTON DARBOUX DANS LE «COURS DE MÉCANIQUE PAR M.
DESPEYROUS».
Ce qui donne au _Cours de Mécanique_ de DESPEYROUS une valeur et un
intérêt particuliers, ce sont les nombreuses _Notes_ qu'y a jointes M.
G. DARBOUX, en les extrayant de ses propres travaux parus dans les
_Mémoires de la Société des Sciences de Bordeaux_, le _Bulletin des
Sciences mathématiques_, etc. Arrêtons-nous un instant sur ces Notes,
aussi remarquables par la forme que par le fond.
Le but de la Note I est d'examiner à fond les démonstrations purement
statiques du parallélogramme des forces (DANIEL BERNOULLI, D'ALEMBERT,
CAUCHY, etc.), d'indiquer les postulats qu'il est nécessaire
d'introduire pour rester rigoureux et ne rien emprunter à la théorie du
mouvement. L'Auteur discute avec beaucoup de finesse et de rigueur tous
les points, et prouve que les postulats nécessaires et suffisants
peuvent se réduire à _quatre_: 1º la résultante de plusieurs forces
appliquées à un même point doit être unique et déterminée, indépendante
de l'ordre dans lequel on les compose; 2º indépendante de l'orientation
du système des forces dans l'espace; 3º la loi de la composition des
forces doit se réduire à l'addition algébrique dans le cas de forces de
même direction; 4º une certaine fonction φ(P) doit être continue
(ou être toujours positive)....
La Note VII contient la solution complète de ce joli problème: _Trouver
la figure d'équilibre d'un fil flexible parcouru par un courant, sous
l'action d'un pôle d'aimant._ La tension du fil est constante; la
figure d'équilibre est une ligne géodésique d'un cône de révolution qui
a son sommet au pôle. M. DARBOUX donne le moyen de construire ce cône,
connaissant la longueur du fil et ses extrémités.
La Note VIII constitue un beau Mémoire sur le mouvement d'une figure
plane dans son plan. Il y est montré que l'aire décrite par le rayon
vecteur d'un point de la figure mobile, quand celle-ci passe d'une
position à une autre, est égale à la moitié de la rotation de la figure
multipliée par la puissance de ce point par rapport à un cercle
déterminé de la figure mobile. Dans les mouvements fermés, le centre de
ce cercle est au _centre de gravité des courbures_ (STEINER) de la
roulette mobile. Si l'on prend trois points en ligne droite, on trouve
des relations élégantes comprenant le théorème de HOLDITCH. De même, en
étudiant par l'analyse les enveloppes des droites de la figure, on
retrouve le théorème bien connu et celui-ci: _L'arc enveloppé par une
droite quelconque, entre deux positions, a pour mesure l'angle de
rotation multiplié par la distance de la droite à un point fixe de la
figure mobile._ Ce Mémoire a paru (plus complet) dans le _Bulletin_ de
1878, à la suite d'une très intéressante Communication de M. LIGUINE sur
les aires des roulettes.
Dans la Note IX, M. DARBOUX décrit un nouveau système articulé à _cinq_
tiges, de M. HART, propre à décrire une ligne droite et se
transformant, dans certaines conditions, en un compas à ellipses. Il
donne la théorie de cet appareil et l'extension à un système plus
compliqué. On consultera sur ce sujet un autre travail de M. DARBOUX,
publié dans le tome III, 2e série, du _Bulletin_, et les très
instructives Conférences de M. J. NEUBERG (Liége, 1886)....
Dans la Note XII, l'Auteur traite un problème posé par M. J. BERTRAND à
propos des lois de KEPLER; il démontre géométriquement ce résultat dû à
M. HALPHEN: _Quand une force fonction de la position du point lui fait
décrire une trajectoire plane quelle que soit la vitesse initiale, cette
force passe par un point fixe ou est parallèle à une droite fixe_; il
résout par l'analyse cette question: _Un point sollicité par une force
centrale décrit une conique, trouver la loi de la force en fonction de
la position._ Outre les deux solutions connues
a
φ = ar et φ = ---,
r^2
M. DARBOUX en trouve deux autres dans lesquelles la force dépend de _r_
et de ω, avec l'équation générale correspondante de la
trajectoire; il fait voir qu'il n'y a pas d'autres solutions (_Comptes
rendus_, 1877, 1er semestre, pp. 760 et 936)....
La Note XVI est consacrée au développement d'un théorème énoncé par
l'Auteur dans son _Mémoire sur les théorèmes d_'IVORY: _Si l'on sait
calculer l'attraction d'un ellipsoïde sur un point quelconque pour une
loi d'attraction en fonction ψ'(u) de la distance, on saura la
calculer pour la loi_
u
ψ'(√(u^2 + k^2)) ------------,
√(u^2 + k^2)
_k étant une constante quelconque._
La Note XVII est très importante: elle roule sur l'herpolhodie et sur la
théorie de POINSOT. La méthode est entièrement analytique. Après avoir
établi les équations de la polhodie, M. DARBOUX en déduit celles de
l'herpolhodie en suivant une voie bien plus commode que celle de
POINSOT, habituellement adoptée, et qui consiste à établir entre le
rayon vecteur et l'arc de la polhodie une relation qui subsiste
nécessairement pour l'herpolhodie. Il se sert de cette remarque: _Les
aires élémentaires du cône fixe et du cône roulant coïncident, et il en
est de même de leurs projections sur le plan tangent à l'ellipsoïde
central._ Or, on obtient facilement les projections de l'aire
élémentaire sur les plans principaux de l'ellipsoïde et les angles de
ceux-ci avec le plan tangent, ce qui conduit rapidement et sous forme
élégante à l'expression de l'aire élémentaire de l'herpolhodie, le pôle
étant à la projection du centre de l'ellipsoïde sur le plan tangent.
Joignant cette formule à l'expression de la vitesse rotatoire au moyen
du rayon vecteur, on trouve deux équations du mouvement du pôle
instantané de rotation du corps sur le plan tangent, de la forme
dθ dρ
ρ^2 -- = mρ^2 + n, ρ -- = k √(−F(ρ^2)),
dt dt
ρ, θ étant les coordonnées polaires de la courbe, F(ρ^2)
un polynome du 3e degré en ρ^2. Il montre que tout système de deux
équations semblables représente une herpolhodie, si l'on a la relation
_n_^2 = _k_^2 F(0); mais la surface roulante n'est pas nécessairement
un ellipsoïde d'inertie.
M. DARBOUX met encore l'équation différentielle de l'herpolhodie sous
d'autres formes, dont l'une, très simple, lui permet de démontrer
presque sans calcul que, dans le cas d'un ellipsoïde d'inertie, la
courbe ne peut avoir de point d'inflexion. Ce théorème avait été signalé
par M. DE SPARRE et souvent démontré depuis, mais M. HESS, de Munich,
l'avait trouvé dès 1880 (_Ueber das Rollen einer Fläche vom zweiten
Grade_, u. s. w.).
Parmi d'autres résultats importants donnés dans ce travail, notons
celui-ci: En combinant la représentation du mouvement par le roulement
du cône mobile sur le cône fixe de POINSOT, avec une autre
représentation qui lui est due aussi, le roulement d'un troisième cône
sur le plan tangent invariable, on peut représenter en même temps la loi
du temps, et l'on a une image complète du mouvement du corps. M.
Sylvester a donné une solution du même problème (_Philos. Trans._,
1866): M. DARBOUX s'en occupe; il établit, au sujet des normales de
longueur constante menées à l'ellipsoïde le long de la polhodie, un beau
théorème de géométrie, qui lui fournit une infinité de manières de
réaliser le mouvement de POINSOT par le roulement d'un ellipsoïde, ou
même d'une ellipse, sur un plan fixe. Il déduit de là, sans calcul, la
loi du mouvement trouvée par JACOBI au moyen des fonctions elliptiques.
La Note XVIII est intitulée _Sur la théorie de_ POINSOT _et sur deux
mouvements différents correspondant à une même polhodie_. Dans ce
travail d'un haut intérêt, la question traitée conduit à des résultats
géométriques inattendus et, en combinant un théorème de J. DE LA
GOURNERIE avec le théorème d'IVORY sur les surfaces homofocales, on
obtient le beau théorème de M. GREENHILL sur l'hyperboloïde articulé.
La Note XIX, qui exige l'étude de la précédente, est aussi très
remarquable. M. DARBOUX montre d'abord que, dans les deux mouvements de
POINSOT qui répondent à une même polhodie, le mouvement relatif d'une
herpolhodie par rapport à l'autre est le mouvement d'un corps pesant qui
aurait une sphère pour ellipsoïde d'inertie relatif au point fixe. Il
ramène à ce cas celui d'un solide de révolution quelconque et retrouve
ainsi le beau théorème de JACOBI mis au jour par M. WEIERSTRASS
(_Œuvres de_ JACOBI, t. II): _Le mouvement le plus général d'un
solide pesant autour d'un point de son axe de figure est une combinaison
de deux mouvements de_ POINSOT _attribués à un système mobile, l'un par
rapport à des axes fixes, l'autre par rapport au corps considéré._ Il
admet cette représentation géométrique remarquable: le roulement d'un
cône qui a pour base une herpolhodie sur une sphère ayant son centre sur
la verticale du point fixe, et il étudie la courbe sphérique décrite par
le pôle instantané....
La Note XXI, intitulée _Étude géométrique sur les percussions et le choc
des corps_, constitue un Mémoire important sur la théorie des
percussions, exposée d'une manière bien plus rigoureuse qu'on ne le fait
d'habitude: ce Mémoire renferme plusieurs belles propriétés générales
relatives au choc de deux systèmes matériels.
La Note XXII a pour titre: _Sur les rapports de la théorie des moments
d'inertie avec celle des surfaces homofocales._ On connaît, là-dessus,
un célèbre théorème de BINET qui donne les axes principaux d'inertie
relatifs à un point quelconque de l'espace. En introduisant deux autres
espèces de moments d'inertie (relatifs à un point et à un plan), M.
DARBOUX démontre une série de beaux théorèmes concernant les moments
d'inertie, les surfaces homofocales, etc.
Ms, t. 7, juil. 1887, p. 157-160.
MÉMOIRES. NOTES.
=Mécanique analytique.=
=1.= _Sur le centre de gravité de certains volumes._
C M D, t. I, n. III, 1884, p. 383-388.
=2. 3.= _Sur le choc des corps._
C R, t. 78, 18 mai 1874, p. 1421-1425.
C R, t. 78, 1er juin 1874, p. 1559-1562.
=4.= _Sur le frottement dans le choc des corps._
C R, t. 78, 8, 22 juin 1874, p. 1645-1649, 1767.
=5.= _Étude géométrique sur les percussions et le choc des corps._
B S M, 2e s., t. 4, 1re p., avr. 1880, p. 126-160.--C M D, t.
II, n. XXI, 1886, p. 547-581.
Analyse par G. KŒNIGS: B S M, 2e s., t. 10, 1re p., janv.
1886, p. 12.
=6.= _Sur le tautochronisme quand on a égard au frottement._
B S M, 2e s., t. 3, 1re p., nov. 1879, p. 484-488.--C M D, t. I,
n. XIII, 1884, p. 441-446.
=7.= _Recherche de la loi que doit suivre une force centrale pour que la
trajectoire qu'elle détermine soit toujours une conique._
C R, t. 84, 16, 30 avr. 1877, p. 760-762, 936-938.
=8.= _Problème de Mécanique._
M. G. DARBOUX résout le problème suivant: _Trouver la figure d'équilibre
d'un fil flexible inextensible non pesant, traversé par un courant et
soumis à l'influence d'un pôle d'aimant._
B S M, 2e s., t. 2, 1re p., oct. 1878, p. 433-436.--C M D, t. I,
n. VII, 1884, p. 399-401.
=9.= _Sur la brachystochrone relative à un point matériel pesant._
C M D, t. I, n. X, 1884, p. 424-426.
=10.= _Étude d'une question relative au mouvement d'un point sur une
surface de révolution._
B S M F, t. 5, 1876-1877, 21 mars 1877, p. 100-113.
Analyse par OHRTMANN: J F M, Bd. 9, J. 1877, S. 648-650.
=11.= _Sur le mouvement d'une figure invariable; propriétés relatives aux
aires, aux arcs des courbes décrites et aux volumes des surfaces
trajectoires._
B S M, 2e s., t. 2, 1re p., août 1878, 333-356.
Analyse par SCHUMANN: J F M, Bd. 10, J. 1878, S. 562-570.
=12.= _Sur le déplacement d'une figure invariable._
Pour le mouvement d'une figure dans l'espace, on possède, en Géométrie,
des propositions générales applicables à tout déplacement, mais on
connaît peu de mouvements particuliers. Le plus simple des mouvements
dans lesquels tous les points de la figure mobile décrivent des courbes
unicursales de degré donné, en laissant de côté la translation, est
celui dans lequel tous les points de la figure mobile décrivent des
coniques. C'est ce mouvement que M. G. DARBOUX étudie dans cette Note.
C R, t. 92, 17 janv. 1881, p. 118-121.--A S E N, 3e s., t. 7, oct.
1890, p. 323-326.
Analyse par SCHUMANN: J F M, Bd. 13, J. 1881, S. 666-667;--Bd.
22, J. 1890, S. 862-863.
=13.= _Sur le mouvement d'une figure invariable._
C M D, t. I, n. VIII, 1884, p. 402-416.
=14. 15.= _Sur la théorie de_ POINSOT _et sur deux mouvements
correspondant à la même polhodie._
C R, t. 100, 29 juin 1885, p. 1555-1561.
C M D, t. II, n. XVIII, 1886, p. 511-526.
Analyse par SCHUMANN: J F M, Bd. 17, J. 1885, S. 844-846.
Analyse par G. KŒNIGS: B S M, 2e s., t. 10, 1re p., janv.
1886, p. 10-11.
=16.= _Remarque au sujet d'une Note de M._ J.-N. FRANKE,
Intitulée _Sur la courbure de l'herpolhodie_.
C R, t. 100, 29 juin 1885, p. 1576-1577.
=17.= _Sur l'herpolhodie et sur quelques propositions relatives à la
théorie de_ POINSOT.
C M D, t. II, n. XVII, 1886, p. 488-510.
Analyse par G. KŒNIGS: B S M, 2e s., t. 10, 1re p., janv.
1886, p. 9-10.
=18= _à_ =20.= _Sur le mouvement d'un corps pesant de révolution, fixé par
un point de son axe._
JACOBI a énoncé et démontré un théorème d'après lequel le mouvement de
rotation d'un corps pesant de révolution, fixé par un point de son axe,
peut se ramener à une combinaison des mouvements de rotation de deux
solides différents sur lesquels n'agirait aucune force accélératrice. M.
G. DARBOUX, en donnant une démonstration directe et élémentaire de ce
théorème, a été conduit à des propositions nouvelles relatives à la
représentation cinématique du mouvement.
C R, t. 101, 6, 13 juil. 1885, p. 11-17, 115-119.
J L, 4e s., t. 1, f. 4, 1885, p. 403-430.
C M D, t. II, n. XIX, XX, 1886, p. 527-544, 545-546.
Analyse par LAMPE: J F M, Bd. 17, J. 1885, S. 890-892.
Analyse par G. KŒNIGS: B S M, 2e s., t. 10, 1re p., janv.
1886, p. 11-12.
=21.= _Sur diverses propositions relatives au mouvement d'un corps solide
autour d'un point fixe._
C R, t. 101, 20 juil. 1885, p. 199-205.
=22.= _Sur une question relative au mouvement d'un point sur une surface
de révolution._
C M D, t. II, n. XV, 1886, p. 467-482.
Analyse par G. KŒNIGS: B S M, 2e s., t. 10, 1re p., janv.
1886, p. 8-9.
=23.= _Sur les formules d'_EULER _et sur le déplacement d'un solide
invariable._
L T S D, IVe P., n. V, 1896, p. 433-441.
=24.= _Sur la sphère de rayon nul et sur la théorie du déplacement d'une
figure invariable._
Cette Note est le résumé de Leçons professées par M. G. DARBOUX à la
Sorbonne en 1900 et en 1904.
B S M, 2e s., t. 29, 1re p., fév. 1905, p. 34-55.
=25.= _Sur les rapports de la théorie des moments d'inertie avec celle
des surfaces homofocales._
C M D, t. II, n. XXII, 1886, p. 582-606.
Analyse par G. KŒNIGS: B S M, 2e s., t. 10, 1re p., janv.
1886, p. 12-13.
=26.= _Sur un problème de Mécanique._
En 1857, JOSEPH BERTRAND remarque que si l'on connaît une intégrale d'un
problème de Mécanique pour lequel on sait seulement que les forces
dépendent uniquement des coordonnées de leurs points d'application, et
nullement des vitesses de ces points, on peut trouver quel est le
problème et déterminer les composantes de la force qui sollicite chaque
point...
Dans le cas où l'intégrale supposée connue est entière et du second
degré par rapport aux vitesses, J. BERTRAND n'a fait qu'ébaucher la
solution et l'a ramenée à dépendre d'une équation linéaire aux dérivées
partielles dont il n'a pas donné l'intégrale générale. C'est sur ce
point particulier de ses recherches que je veux revenir aujourd'hui.
G. D.
A N S E N, s. 2, t. 6, 1901, 22 sept. 1901, p. 371-376.
Analyse par LAMPE: J F M, Bd. 32, J. 1901, S. 725-726.
Ce Mémoire fait partie du _Livre Jubilaire offert à la Société
Hollandaise des Sciences à Harlem par les amis de_ J. BOSSCHA,
_à l'occasion de son soixante-dixième anniversaire, le 18
novembre 1901_: La Haye, 1901, gr. in-8º.
=27.= _Remarque sur une Note de M._ E. GOURSAT,
Intitulée _Sur les transformations isogonales en Mécanique_.
C R, t. 108, 4 mars 1889, p. 449-450.
=28.= _Sur la solution particulière que peut admettre le problème du
mouvement d'un corps attiré vers deux centres fixes par des forces
réciproquement proportionnelles aux carrés des distances._
_Œuvres de_ LAGRANGE, t. XII, n. III, 1889, p. 349-352.
=29.= _Sur les oscillations infiniment petites d'un système de corps._
M. G. DARBOUX, en suivant une méthode, due à M. KRONECKER, de réduction
des formes quadratiques, montre qu'une certaine équation algébrique,
établie par LAGRANGE, admet, contrairement aux affirmations de ce
géomètre, des racines égales.
_Œuvres de_ LAGRANGE, t. XI, n. VIII, 1888, p. 492-497.
=Mécanique céleste.=
=1. 2.= _Sur des transcendantes qui jouent un rôle important dans la
théorie des perturbations planétaires._
C R, t. 90, 14 juin 1880, p. 1416-1419.
C R, t. 90, 21 juin 1880, p. 1472-1474.
Analyse par F. MÜLLER: J F M, Bd. 12., J. 1880, S. 394-395.
=3.= _Sur les lois de_ KEPLER.
C M D, t. I, n. XII, 1884, p. 432-440.
=4.= _Sur une loi particulière de la force signalée par_ JACOBI.
Dans la théorie des forces centrales, on s'occupe surtout du cas où la
force dépend seulement de la distance du point mobile au centre
attirant. L'illustre JACOBI a signalé une loi plus compliquée de la
force, qui est donnée par la formule R = _f_(ω)/_r_^2, _r_ désignant la
distance au pôle et ω l'angle polaire. G. D.
C M D, t. I, n. XI, 1884, p. 427-431.
=5.= _Sur un problème relatif à la théorie des forces centrales._
C M D, t. II, n. XIV, 1886, p. 461-466.
Analyse par G. KŒNIGS: B S M, 2e s., t. 10, 1re p., janv.
1886, p. 8.
=6.= _Sur une extension du théorème d'_IVORY _relatif à l'attraction des
ellipsoïdes._
C M D, t. II, n. XVI, 1886, p. 483-487.
Analyse par G. KŒNIGS: B S M, 2e s., t. 10, 1re p., janv.
1886, p. 9.
=7.= _Sur les trois intégrales de_ LAPLACE.
M. G. DARBOUX montre que, d'une propriété, qu'il rappelle, de
l'hodographe, dérivent immédiatement les trois intégrales de LAPLACE
pour la solution du problème des trois corps.
B A, t. 5, mars 1888, p. 89-91.
=Physique mathématique.=
=1.= _Sur une nouvelle définition de la surface des ondes._
D'un théorème, dû à M. NIVEN, relatif à la surface des ondes, M. G.
DARBOUX a déduit, pour cette surface, une définition simple et nouvelle,
dont le caractère essentiel est de n'exiger l'emploi d'aucun ellipsoïde.
Il montre que la surface des ondes est une simple variété d'une surface
du quatrième ordre n'ayant aucun point singulier et contenant 16
coniques isolées.
C R, t. 92, 28 fév. 1881, p. 446-448.
Analyse par SCHUMANN: J F M, Bd. 13., J. 1881, S. 509-510.
=2.= _Sur les lignes asymptotiques de la surface des ondes._
C R, t. 96, 12 nov. 1883, p. 1039-1042.
=3.= _Sur les lignes de courbure de la surface des ondes._
C R, t. 96, 19 nov. 1883, p. 1133-1135.
Analyse par AUGUST des Notes n^{os} =2= et =3=: J F M, Bd. 15, J.
1883, S. 709-713.
=4.= _Sur la surface des ondes._
Ce Mémoire contient, avec quelques compléments, les Notes n^{os} =2= et
=3=.
A S E N, 3e s., t. 6, déc. 1889, p. 379-388.
Analyse par AUGUST: J F M, Bd. 21, J. 1889, S. 800-801.
=5.= _Sur les lignes asymptotiques et sur les lignes de courbure de la
surface des ondes de_ FRESNEL.
L T S D, IVe P., n. VIII, 1896, p. 466-488.
Analyse par G. KŒNIGS: B S M, 2e s., t. 22, 1re p., juin
1898, p. 157.
=6.= _Sur l'application des méthodes de la Physique mathématique à l'étude
des corps terminés par des cyclides._
C R, t. 83, 27 nov. 1876, p. 1037-1040.
C R, t. 83, 4 déc. 1876, p. 1099-1102.
=7.= _Sur des Mémoires de_ POISSON _relatifs à la distribution de
l'électricité._
B S M, 2e s., t. 31, janv. 1907, p. 17-28.