GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE.
RAPPORT DE MICHEL CHASLES SUR LA THÈSE INTITULÉE «SUR LES SURFACES
ORTHOGONALES», SOUTENUE EN SORBONNE PAR M. GASTON DARBOUX LE 14
JUILLET 1866.
Cette Thèse est un travail étendu et fort important sur les surfaces
orthogonales. Elle comprend trois Parties.
La première, intitulée: _Étude d'un système remarquable de coordonnées
orthogonales_, contient différentes propriétés des coordonnées
curvilignes formées par le triple système orthogonal auquel l'auteur et
M. MOUTARD ont été conduits, chacun de son côté. La seconde Partie
renferme des _Recherches sur les surfaces orthogonales en général_. M.
DARBOUX, prenant pour point de départ le théorème de M. DUPIN, d'après
lequel dans tout système triple de surfaces orthogonales les courbes
d'intersection des surfaces sont leurs lignes de courbure, auquel il
ajoute comme complément l'énoncé suivant: _Quand deux systèmes de
surfaces orthogonales se coupent suivant les lignes de courbure de ces
surfaces, il existe un troisième système orthogonal aux deux premiers_,
donne d'abord une démonstration simple de ce théorème de M. OSSIAN
BONNET, que la recherche de tous les systèmes orthogonaux revient à
l'intégration complète d'une équation aux différences partielles du
troisième ordre à trois variables indépendantes. Puis il fait connaître
une _Nouvelle méthode de recherche des systèmes orthogonaux_, fondée sur
l'emploi d'une certaine fonction auxiliaire V. La troisième Partie
contient des _Applications_ de la méthode exposée dans la deuxième
Partie. L'auteur considère d'abord une classe particulière de systèmes
orthogonaux dans lesquels les surfaces d'un même système s'obtiennent en
déplaçant l'une d'elles parallèlement à elle-même par une simple
translation sans altération de forme. La détermination de la
fonction V dépend alors de l'intégration d'une équation aux différences
partielles du troisième ordre à deux variables indépendantes. Le second
cas traité par M. DARBOUX est celui des surfaces pour lesquelles les
lignes de courbure sont planes dans les trois systèmes. Les intégrations
s'effectuent alors complètement, et le résultat, d'une forme très
simple, contient trois fonctions arbitraires; ces surfaces sont, dans
certains cas, un exemple des systèmes orthogonaux étudiés dans le
paragraphe précédent, c'est-à-dire que _chacun des trois systèmes est
formé par une surface de forme invariable qui se déplace parallèlement à
elle-même_. Le troisième et dernier cas se rapporte aux systèmes pour
lesquels chaque surface peut être partagée en carrés infiniment petits
par ses lignes de courbure. M. DARBOUX avait déjà observé, dans la
première Partie, que les surfaces du triple système orthogonal
antérieurement découvert par M. MOUTARD et par lui jouissent de la
propriété dont il s'agit. Par une analyse savante et extrêmement
ingénieuse, il fait voir maintenant que ce dernier système est le seul
qui réponde à la question.
R P G C, 1870, p. 363-364.
ANALYSE PAR JULES HOÜEL DE L'OUVRAGE INTITULÉ «SUR UNE CLASSE
REMARQUABLE DE COURBES ET DE SURFACES ALGÉBRIQUES ET SUR LA
THÉORIE DES IMAGINAIRES», LUE A LA SÉANCE DU 13 JUIN 1870 DE LA
SOCIÉTÉ SCIENTIFIQUE DE BORDEAUX.
Dans le travail actuel, notre Correspondant s'est proposé d'étudier une
classe remarquable de courbes et de surfaces du quatrième ordre, qui se
rapprochent par leurs propriétés des courbes et des surfaces du second
degré. Ces propriétés ont fait l'objet des études de plusieurs
géomètres; M. DARBOUX les soumet à une revision d'ensemble, dans
laquelle il expose, en même temps que des propriétés nouvelles, des
propriétés connues et qui ont déjà été publiées soit par d'autres
géomètres, soit par lui.
Ces courbes et ces surfaces jouissent de la propriété de se transformer
les unes dans les autres quand on les soumet à une transformation par
rayons vecteurs réciproques. Aussi l'Auteur a-t-il consacré la première
Partie de son travail à l'étude analytique et détaillée de cette
transformation dans ses rapports avec la théorie des imaginaires et avec
celle des focales des surfaces, qui lui est due pour les surfaces du
degré supérieur, et qu'il a développée pour la première fois dans un
travail inséré aux _Annales de l'École Normale_ en 1865. Nous
signalerons dans cette Partie la définition des foyers des courbes
planes et sphériques, celle des focales des courbes gauches et des
surfaces, et la théorie complète d'une classe importante de surfaces
développables imaginaires circonscrites au cercle de l'infini, et que
l'Auteur a appelées _développables focales_. On remarquera, dans
cette Partie du travail, un moyen simple de trouver l'équation
différentielle des surfaces applicables sur une surface donnée, et
l'explication des solutions singulières de cette équation, la
démonstration du théorème que, _lorsque les lignes de courbure d'une
surface ont une enveloppe, cette enveloppe, en laissant de côté un cas
exceptionnel, se compose d'une suite de droites isotropes_, etc.
Dans la deuxième et la troisième Partie de cette étude, se trouve
comprise l'étude détaillée des _cycliques_. C'est ainsi que l'Auteur
nomme les courbes sphériques, intersections de la sphère et d'une
surface du second degré, et les courbes planes qui en sont les
transformées par rayons vecteurs réciproques. Les classifications de ces
courbes, leur mode de génération, leurs propriétés métriques et focales
sont successivement examinés. Il est facile de comprendre l'intérêt qui
s'attache à cette étude, si l'on remarque que les coniques sphériques,
les ovales de DESCARTES, la cissoïde de DIOCLÈS, les spiriques de
PERSEUS, les ovales et l'ellipse de CASSINI, les podaires de coniques,
le limaçon de PASCAL, la fenêtre de VIVIANI font partie de cette classe
très générale de courbes, et sont réunis ici dans une étude commune.
Quelques-unes d'entre elles, analogues à l'ellipse de CASSINI, ont des
propriétés semblables à celles du cercle, et l'Auteur donne pour toutes
des propriétés analogues à celle de l'angle inscrit dans le cercle. En
même temps l'étude de ces courbes fournit à l'Auteur une occasion
d'appliquer des principes généraux relatifs à la transformation des
relations où entrent les imaginaires. Je signalerai en particulier un
procédé nouveau pour déduire, des théorèmes généraux sur les coniques
planes et sphériques, les propriétés focales de ces courbes.
Les cycliques sont, après les courbes du troisième degré, les courbes
les plus simples, dont l'étude se ramène à celle des fonctions
elliptiques. L'Auteur signale rapidement ce lien, qui a été déjà étudié
complètement à un point de vue général par M. CLEBSCH.
Les surfaces analogues aux courbes cycliques sont les surfaces du
quatrième ordre, ayant le cercle de l'infini pour ligne double, et les
surfaces du troisième ordre qui contiennent le cercle.
Elles ont d'abord été étudiées en 1864 par M. MOUTARD, mais déjà en 1863
M. KUMMER avait étudié d'une manière générale les surfaces du quatrième
ordre à ligne double, qui comprennent les précédentes comme cas
particulier. On sait que ces surfaces donnent lieu à un système de
coordonnées curvilignes orthogonales tout à fait analogue au système des
coordonnées elliptiques, qui a rendu à la Science de si grands services
entre les mains de LAMÉ et de JACOBI.
L'Auteur étudie les propriétés analytiques et géométriques, la
classification des sections planes des surfaces que nous venons de
définir, et qu'il appelle des _cyclides_, parce qu'elles
comprennent comme cas très particulier la cyclide de M. DUPIN qu'on
pourra distinguer sous le nom de _cyclide à lignes de courbure
circulaires_. En un mot, on a un exposé complet de la théorie de ces
surfaces si importantes, qui trouveront sans aucun doute de belles
applications, et qui paraissent être en quelque sorte l'intermédiaire
par lequel on étendra aux surfaces de degré supérieur une foule de
propositions de la théorie des surfaces du second degré.
M S S B, t. 8, 13 juin 1870, p. CXX-CXXII.
_EXTRAIT DU_ RAPPORT LU PAR M. CAMILLE JORDAN, EN DÉCERNANT A M.
GASTON DARBOUX, AU NOM DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES, LE PRIX PETIT
D'ORMOY POUR LES SCIENCES MATHÉMATIQUES, LE 5 MAI 1884.
Les premières recherches de M. DARBOUX ont eu pour objet la théorie des
surfaces orthogonales, question sur laquelle les beaux théorèmes de
DUPIN et les travaux de MM. BONNET et SERRET avaient fortement attiré
l'attention des géomètres. On connaissait depuis longtemps un système de
ce genre, formé de surfaces homofocales du second ordre. La découverte
d'un système analogue, faite simultanément par M. DARBOUX et par M.
MOUTARD, excita un vif intérêt. Un peu plus tard, M. DARBOUX,
généralisant le problème pour l'étendre aux fonctions d'un nombre
quelconque de variables, forma les équations aux dérivées partielles
analogues à celle que M. BONNET avait donnée pour le cas des surfaces,
et qui sont la condition nécessaire et suffisante pour que la question
admette une solution. Il fit voir en outre que d'un système orthogonal à
_n_ variables on peut déduire un système analogue à _n_ − 1 variables;
théorème important, qui permettait de tirer du système déjà connu à
cette époque une infinité de systèmes nouveaux. Enfin, comme corollaire
de ces recherches, il détermina les lignes de courbure des surfaces
tétraédrales de LAMÉ.
Dans un autre Mémoire, _Sur les systèmes linéaires de coniques et de
surfaces de second ordre_, il a également déterminé les lignes
asymptotiques d'un grand nombre de surfaces (surfaces de STEINER,
surface des centres de l'ellipsoïde, surfaces tétraédrales, etc.).
Les théorèmes célèbres de PONCELET et de CHASLES sur les polygones
inscrits et circonscrits à des coniques ont été pour M. DARBOUX
l'occasion d'une nouvelle et importante série de recherches. Il en donne
une démonstration nouvelle, montre leur liaison avec la théorie de la
transformation des fonctions elliptiques, et enfin les étend aux
polygones inscrits dans un ellipsoïde.
Nous devons citer encore, parmi les travaux géométriques de M.
DARBOUX, un Mémoire justement remarqué sur les groupes de points, de
cercles et de sphères; une élégante application des fonctions
elliptiques à l'étude des déformations d'un quadrilatère articulé; un
Ouvrage sur les théorèmes d'IVORY; un autre Livre plus étendu,
intitulé: _Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces
algébriques et sur la théorie des imaginaires._ Ce dernier Ouvrage et
les notes qui l'accompagnent ont été très favorablement appréciés par
les géomètres les plus éminents, et contiennent une foule de résultats
remarquables. Nous nous bornerons à signaler une méthode nouvelle et
très simple pour former l'équation différentielle des surfaces
applicables sur une surface donnée, et cette proposition que les
coordonnées d'une surface du troisième ordre (et plus généralement d'une
surface cyclide) peuvent s'exprimer par des fonctions hyperelliptiques
de deux paramètres variables. L'analogie de ce dernier résultat avec le
célèbre théorème de CLEBSCH sur les courbes du troisième ordre suffit à
en faire ressortir l'importance.
Enfin, M. DARBOUX a publié récemment de nombreuses recherches sur la
théorie des surfaces, et notamment sur la détermination des surfaces qui
admettent une représentation sphérique donnée....
C R, t. 98, 5 mai 1884, p. 1159-1160.
OUVRAGES.
=1.= SUR LES THÉORÈMES D'IVORY RELATIFS AUX SURFACES HOMOFOCALES DU
SECOND DEGRÉ.
Je me propose d'exposer, dans ce travail, certaines propriétés focales
des surfaces du second ordre, et aussi des surfaces du quatrième ordre
ayant le cercle de l'infini pour ligne double. G. D.
Paris, G.-V., 1872, gr. in-8, IV-84 p.
M S S B, t. 8, 1870, 12 janv. 1872, p. 197-280.
Analyse par J. HOÜEL: M S S B, t. 8. 1870, 25 janv. 1872, p.
CIII-CIV.
Analyse par AUGUST: J F M, Bd. 4, J. 1872, S. 392, 398, 420-422.
=2.= SUR UNE CLASSE REMARQUABLE DE COURBES ET DE SURFACES ALGÉBRIQUES ET
SUR LA THÉORIE DES IMAGINAIRES.
Cet important travail comprend:
La transformation, par rayons vecteurs réciproques, des foyers
et des focales;
L'étude d'une classe remarquable de courbes du quatrième ordre,
de certaines propriétés des imaginaires en Géométrie, d'une
classe générale de courbes algébriques;
L'étude analytique et géométrique des surfaces cyclides;
Plusieurs Notes importantes.
Paris, G.-V., 1873, gr. in-8, XIII-340 p.
M S S B, t. 8, 1870, p. 291-350;--t. 9, 1873, oct. 1872, p. 1-280.
Paris, Hn., 1896, 2e éd. conforme à la 1re.
Préface et Table: B S M, t. 5, août 1873, p. 52-57.
Analyse par J. HOÜEL: M S S B, t. 8, 13 juin 1870, p. CXX-CXXII.
Analyse par AUGUST: J F M, Bd. 5, J. 1873, S. 323, 371, 399-408.
Analyse par R. A. ROBERTS: B A M S, v. 2, 1895-1896, May 1896, p.
249-255.
=3.= LEÇONS SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DES SURFACES ET LES APPLICATIONS
GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFINITÉSIMAL.
Cours de Géométrie de la Faculté des Sciences de Paris.
Ire Partie: _Généralités. Coordonnées curvilignes. Surfaces
minima._
IIe Partie: _Les congruences et les équations linéaires aux
dérivées partielles. Des lignes tracées sur les surfaces._
IIIe Partie: _Lignes géodésiques et courbure géodésique.
Paramètres différentiels. Déformation des surfaces._
IVe Partie: _Déformation infiniment petite et représentation
sphérique._
Paris, G.-V., gr. in-8: Ire P., 1887, VI-513 p.; IIe P., 1889,
VI-522 p.; IIIe P., 1894, VIII-512 p.; IVe P., 1896, VIII-548 p.
Présentation par M. G. DARBOUX de la IVe Partie à l'Académie des
Sciences: C R, t. 122, 11 mai 1896, p. 1042.
Analyse de la Ire Partie par E. R.: N A M, 3e s., t. 6, août
1887, p. 394-395.
Analyse par WEINGARTEN: J F M, Bd. 19, J. 1887, S. 746-751;--Bd.
25, J. 1893, S. 1159-1165.
Analyse par G. KŒNIGS des 4 Parties et des 8 Notes: B S M, 2e
s., 1re p., t. 12, janv. 1888, p. 8-17;--t. 13, oct. 1889, p.
241-252;--t. 22, juin 1898, p. 132-158.
Appréciation de la 3e Partie, Ier f., par ÉMILE PICARD: R O, t.
1, 30 nov. 1890, p. 708.
Analyse par J. HADAMARD: R O, t. 2, 30 sept. 1891, p. 617;--t.
6, 30 juil. 1895, p. 76;--t. 7, 20 fév., 15 oct. 1896, p.
225-226, 835.
Analyse par H. WILLGROD des 4 Parties et des 8 Notes: Z M P, 39.
J., 1894, Abt., 1., 2. Ht., S. 24-30, 69-79;--43. Bd., 1898,
Abt., 4. u. 5 Ht., S. 152-164.
Analyse par GOMES TEIXEIRA: J S T, v. 13, 1897, p. 22-26.
=4.= LEÇONS SUR LES SYSTÈMES ORTHOGONAUX ET LES COORDONNÉES CURVILIGNES.
Cours de Géométrie de la Faculté des Sciences de Paris.
Tome I.
Paris, G.-V., gr. in-8, 1898, vi-338 p.
Préface et Table: Ms, 2e s., t. 8, 1898, p. 67-68.
Analyse par J. HADAMARD: R O, t. 9, 15 août 1898, p. 623-624.
Analyse par E-I: L C D, J. 1898. 3 Dec., S. 1892-1893.
Analyse par WEINGARTEN: J F M, Bd. 29, J. 1898, S. 515-517.
Analyse par EDGAR ODELL LOVETT: B A M S, v. 5, 1898-1899. Jan.
1899, p. 185-202.
Analyse par ED. WEYR: C M F, R. 28, 1899, p. 285-286.
Analyse par TAUBER: M M P, 10. J., 1899, Lit., S. 44-46.
Analyse par H. WILLGROD: Z M P, 45. Bd., 1900, Abt., 1. Ht., S.
25-26.
Analyse par G. KŒNIGS: B S M, 2e s., t. 31, 1re p., déc.
1907, p. 319-336.
MÉMOIRES. NOTES.
=1.= _Note sur une classe de courbes du quatrième ordre et sur l'addition
des fonctions elliptiques._
A S E N, t. 4, 1867, p. 81-91.
Dans son _Traité de Calcul intégral_, M. JOSEPH BERTRAND a
reproduit la méthode d'intégration par l'Analyse de l'équation
différentielle de cette classe de courbes: Paris, G.-V. 1870,
in-4, p. 571-572.
=2.= _Sur un nouveau système de coordonnées et sur les polygones inscrits
et circonscrits aux coniques._
I, 40e a., n^{os} 1962, 1972, 5 juin, 14 août 1872, p. 180-182,
239-263.--B S P, 6e s., t. 9, 25 mai, 8 juin 1872, p. 100-107,
128-142.
Analyse par MAYNZ: J F M, Bd. 4., J. 1872, S. 319-321.
=3.= _Sur une série de lignes analogues aux lignes géodésiques._
A S E N, t. 7, 1870, p. 175-180.
Analyse par BRUNS: J F M, Bd. 2, J. 1869 und 1870, S. 548-550.
=4.= _Sur les cercles géodésiques._
C R, t. 96, 2 janv. 1883, p. 54-56.
Analyse par AUGUST: J F M, Bd. 15, J. 1883, S. 665-667.
=5.= _Remarque au sujet d'une Note de_ M. JAMET,
Intitulée _Sur une propriété des courbes à double courbure_.
C R, t. 100, 25 mai 1885, p. 1335.
=6.= _Sur la torsion des courbes gauches et sur les courbes à torsion
constante._
L T S D, IVe P, n. IV, 1896, p. 423-432.
=7. 8.= _Sur un théorème relatif à la théorie des courbes gauches._
On sait trouver tous les couples de surfaces qui se correspondent point
par point, de telle manière que les deux plans tangents en ces points et
la droite qui joint les points de contact forment un système invariable.
Je me suis proposé de traiter le problème analogue de la théorie des
courbes, c'est-à-dire de rechercher deux courbes qui se correspondent
point par point, de telle manière que les tangentes aux points
correspondants et la droite qui joint ces points forment un système
invariable. G. D.
C R, t. 146, 27 avr. 1908, p. 881-885.
M A S, t. 50, 2e s., 1908, nº 3, p. 1-31.
=9.= _Sur la rectification des ovales de_ DESCARTES.
C R, t. 87, 22 oct., 11 nov. 1878, p. 595-597, 741.
=10.= _Sur la rectification d'une classe de courbes du quatrième ordre._
C R, t. 87, 28 oct. 1878, p. 692-695.
=11.= _Sur le contact des coniques et des surfaces._
C R, t. 91, 13 déc. 1880, p. 969-971.
=12.= _Sur le contact des courbes et des surfaces._
B S M, 2e s., t. 4, 1re p., oct. 1880, p. 348-384.
Analyse par AUGUST: J F M, Bd. 12., J. 1880, S. 590-595.
=13.= _Remarques sur la théorie des surfaces orthogonales._
Extrait d'une Lettre adressée à M. J.-A. SERRET par M. G. DARBOUX, élève
de 3e année à l'École Normale supérieure.
C R, t. 59, 1er août 1864, p. 240-242.
Analyse par MICHEL CHASLES: R P G C, 1870, p. 360-362.
M. SERRET avait présenté le Mémoire de M. G. DARBOUX à
l'Académie des Sciences dans la séance où M. BONNET présentait
une Note de M. MOUTARD, établissant aussi le résultat obtenu par
M. G. DARBOUX. Dans la séance suivante, M. SERRET a ainsi
terminé ses _Observations relatives aux Communications de MM._
DARBOUX _et_ MOUTARD: «Il est certain qu'aucun des deux auteurs
n'a pu avoir connaissance du travail de l'autre, mais il est de
mon devoir de déclarer à l'Académie que M. DARBOUX m'a remis son
Mémoire _in extenso_ dans le courant du mois de juin»: C R, t.
59, 8 août 1864, p. 269-270.
=14.= _Recherches sur les surfaces orthogonales._
M. G. DARBOUX donne quelques propriétés nouvelles des surfaces formant
un système triple orthogonal, puis indique un système de surfaces
orthogonales du quatrième degré qui admettent pour ligne double le
cercle imaginaire de l'infini. Il rappelle la Note nº =13=.
A S E N, t. 2, 1865, p. 55-69.
=15.= _Sur les surfaces orthogonales._
Depuis les travaux de MM. DUPIN et LAMÉ sur les surfaces orthogonales,
le problème de la recherche des systèmes orthogonaux a pris une grande
importance. ... M. O. BONNET, en 1861, a montré que le problème se
ramène à l'intégration d'une équation aux dérivées partielles du
troisième ordre linéaire par rapport aux dérivées d'ordre supérieur.
... Je me propose de démontrer ce résultat en suivant une voie tout à fait
différente. G. D.
I, 34e a., nº 1680, 14 mars 1866, p. 84-86.--B S P, 17 fév.
1866, p. 16-18.
=16.= _Sur les coordonnées orthogonales._
C R, t. 60, 20 mars 1865, p. 560-562.
=17.= _Sur les surfaces orthogonales._
Thèse pour le grade de Docteur ès Sciences mathématiques, soutenue
devant la Faculté des Sciences de Paris le 14 juillet 1866.
Cette Thèse comprend l'_Étude d'un système remarquable de coordonnées
orthogonales, des Recherches sur les surfaces orthogonales en général et
des Applications_.
Paris, G.-V., 1866, in-4º, 45 p.
A S E N, t. 3, 1866, p. 97-141.
Analyse par J. BERTRAND: R P A B, 1867, p. 24.
Analyse par MICHEL CHASLES: R P G C, 1870, p. 363-364.
=18.= _Sur les systèmes de surfaces orthogonales._
C R, t. 67, 30 nov. 1868, p. 1101-1103.
Analyse par MICHEL CHASLES: R P G C, 1870, p. 365-366.
=19.= _Sur une nouvelle série de systèmes orthogonaux algébriques._
C R, t. 69, 9 août 1869, p. 392-394.
=20. 21.= _Sur l'équation du troisième ordre dont dépend le problème des
surfaces orthogonales._
C R, t. 76, 6 janv. 1873, p. 41-44.
C R, t. 76, 13 janv. 1873, p. 83-86.
Analyse par KLEIN: J F M, Bd. 5, J. 1873, S. 213, 374.
=22.= _Sur le problème des surfaces orthogonales._
C R, t. 76, 20 janv. 1873, p. 160-163.
=23.= _Sur une classe de systèmes orthogonaux comprenant comme cas
particulier les systèmes isothermes._
C R, t. 84, 12 fév. 1877, p. 298-301.
=24.= _Sur les systèmes orthogonaux comprenant une famille de surfaces du
deuxième degré._
C R, t. 84, 19 fév. 1877, p. 336-339.
Analyse par AUGUST: J F M, Bd. 9, J. 1877, S. 533-535.
=25.= _Mémoire sur la théorie des coordonnées curvilignes et des systèmes
orthogonaux._
A S E N, 2e s., t. 7, 1878, 2 mars 1877, p. 101-150, 227-260,
275-348.
Analyse par HOPPE: J F M, Bd. 10, J. 1878, S. 500-504.
Analyse: B S M, 2e s., t. 3, 2e p., déc. 1879, p. 224-225,
226-228, 230-232.
=26.= _Sur l'équation aux dérivées partielles du troisième ordre des
systèmes orthogonaux._
M. G. DARBOUX montre que la théorie de LAMÉ conduit à un moyen simple de
former l'équation dont il s'agit, et même de l'écrire avec un système de
variables quelconques.
A M, t. 4, 15 mai 1884, p. 93-96.
=27.= _Note sur une Communication de M._ S. CARRUS,
Intitulée _Sur les familles de surfaces à trajectoires
orthogonales planes_.
C R, t. 140, 23 janv., 29 mai 1905, p. 211-216, 1496.
=28.= _Sur les trajectoires orthogonales d'une famille de surfaces._
C R, t. 140, 6 mars 1905, p. 618-622.
=29.= _Sur un problème relatif à la théorie des systèmes orthogonaux et à
la méthode du trièdre mobile._
C R, t. 147, 3, 10, 17, 24 août 1908, p. 287-293, 325-333,
367-373, 399-405.
=30. 31.= _Détermination des systèmes triples orthogonaux qui comprennent
une famille de cyclides de_ DUPIN _et, plus généralement, une famille de
surfaces à lignes de courbure planes dans les deux systèmes._
C R, t. 147, 14 sept. 1908, p. 484-488.
M A S, t. 51, 2e s., 1910, nº 1, 20 août 1908, p. 1-24.
=32. 33.= _Second Mémoire sur la détermination des systèmes triples
orthogonaux qui comprennent une famille de cyclides de_ DUPIN.
C R, t. 147, 21 sept. 1908, p. 507-510.
M A S, t. 51, 2e s., 1910, nº 2, p. 1-26.
=34.= _Théorèmes sur les surfaces cyclides._
I, 40e a., nº 1945, 7 fév. 1872, p. 45-46.--B S P, 6e s., 27
janv. 1872, p. 9-12.
=35.= _Mémoire sur les surfaces cyclides._
A S E N, 2e s., t. 1, 1872, p. 273-292.
=36.= _Détermination des lignes de courbure de la surface de quatrième
classe, corrélative de la cyclide, qui admet le cercle de l'infini comme
ligne double._
C R, t. 92, 3 janv. 1881, p. 29-31.
=37= à =43=. _Sur la représentation sphérique des surfaces._
M. G. DARBOUX donne la solution du problème suivant, qu'il a posé le
premier dans toute sa généralité: _Trouver toutes les surfaces qui ont
une représentation sphérique donnée_, après avoir fait remarquer que le
problème de la recherche des surfaces à lignes de courbure planes et
sphériques en est un cas particulier.
C R, t. 68, 1er fév. 1869, p. 253-256.
C R, t. 94, 16 janv. 1882, p. 120-122.
C R, t. 94, 23 janv. 1882, p. 158-160.
C R, t. 94, 8 mai 1882, p. 1290-1293.
C R, t. 94, 15 mai 1882, p. 1343-1345.
C R, t. 96, 5 fév. 1883, p. 366-368.
A S E N, 3e s., t. 5, mars 1888, p. 79-96.
Analyse par G. JUNG et OHRTMANN: J F M, Bd. 2, J. 1869 und
1870, S. 550-551.
Analyses par AUGUST: J F M, Bd. 14, J. 1882, S. 662-666;--Bd.
15, J. 1883, S. 645-647;--Bd. 20, J. 1888, S. 764.
Analyse: B S M, 2e s., t. 14, 2e p., oct. 1890, p. 192-195.
=44.= _Des courbes tracées sur une surface et dont la sphère osculatrice
est tangente en chaque point à la surface._
C R, t. 73, 18 sept. 1871, p. 732-736.
=45.= _Détermination des lignes de courbure d'une classe de surfaces et en
particulier des surfaces tétraédrales de_ LAMÉ.
C R, t. 84, 26 fév. 1877, p. 382-384.
Analyse par AUGUST: J F M, Bd. 9, J. 1877, S. 523-525.
=46.= _Sur la forme des lignes de courbure dans le voisinage d'un
ombilic._
L T S D, IVe P., n. VII, 1896, p. 448-465.
=47.= _Observations sur une Note de M._ EUGÈNE COSSERAT,
Intitulée _Sur les surfaces qui peuvent, dans plusieurs mouvements
différents, engendrer une famille de_ LAMÉ.
C R, t. 124, 21 juin 1897, p. 1428-1431.
=48.= _Sur les familles de_ LAMÉ _engendrées par le déplacement d'une
surface qui demeure invariable de forme._
C R, t. 148, 11 janv. 1909, p. 65-70.
=49. 50.= _Détermination d'une classe particulière de surfaces à
lignes de courbure planes dans un système et isothermes._
C R, t. 96, 23, 30 avr. 1883, p. 1202-1205, 1294-1297.
B S M, t. 7, sept. 1883, p. 257-276.
Analyse par AUGUST: J F M, Bd. 15, J. 1883, S. 726-731.
=51.= _Sur la surface des centres de courbure d'une surface algébrique._
C R, t. 70, 20 juin 1870, p. 1328-1333.--B S M, 2e s., t. 3, fév.
1879, Note, p. 59.
=52.= _Réponse aux Observations de M._ CATALAN,
Contenues dans sa Note intitulée _Remarques sur une Note de M._
DARBOUX, _relative à la surface des centres de courbure d'une
surface algébrique_.
Il s'agit d'une proposition que M. G. DARBOUX a énoncée et d'après
laquelle une équation différentielle prise au hasard n'a pas de solution
singulière.
C R, t. 71, 25 juil. 1870, p. 267-270.
=53.= _Sur la surface des centres de courbure de l'ellipsoïde et sur les
coordonnées elliptiques._
B S M, t. 3, avr. 1872, p. 122-128.
Analyse par HOPPE: J F M, Bd. 4, J. 1872, S. 402.
=54.= _Sur les surfaces dont la courbure totale est constante._
C R, t. 96, 15 oct. 1883, p. 848-850.
=55.= _Sur les surfaces à courbure constante._
C R, t. 97, 22 oct. 1883, p. 892-894.
=56.= _Sur l'équation aux dérivées partielles des surfaces à courbure
constante._
C R, t. 96, 29 oct. 1883, p. 946-949.
Analyse par AUGUST des Notes n^{os} =54=, =55= et =56=: J F M, Bd. 15,
J. 1883, S. 644-645.
=57.= _Sur les lignes géodésiques de l'ellipsoïde._
C M D, t. I, n. VI, 1884, p. 395-398.
=58.= _Sur la théorie des surfaces minima._
C R, t. 102, 28 juin 1886, p. 1513-1519.
Analyse par AUGUST: J F M, Bd. 18, J. 1886, S. 778.
=59.= _Sur un problème relatif à la théorie des surfaces minima._
C R, t. 104, 14 mars 1887, p. 728-733.
Analyse par AUGUST: J F M, Bd. 19, J. 1887, S. 822-824.
=60.= _Sur les surfaces dont la courbure totale est constante._
La théorie des surfaces dont la courbure totale est constante a les
rapports les plus étroits avec celle des surfaces minima, bien qu'elle
soit certainement de beaucoup plus difficile. G. D.
A S E N, 3e s., t. 7, janv. 1890, p. 9-18.
=61.= _Sur les surfaces à courbure constante positive._
C R, t. 128, 24 avr. 1899, p. 1018-1024.
=62. 63.= _Sur la déformation des surfaces du second degré._
C R, t. 128, 27 mars 1899, p. 760-766.
C R, t. 128, 4 avr. 1899, p. 854-859.
=64.= _Sur la déformation des surfaces générales du second degré._
C R, t. 128, 23 mai 1899, p. 1264-1270.
=65.= _Sur les transformations des surfaces à courbure totale constante._
C R, t. 128, 17 avr. 1899, p. 953-958.
=66.= _Sur la déformation des surfaces du second degré et sur les
transformations des surfaces à courbure totale constante._
Ce Mémoire est l'ensemble des Notes n^{os} =62=, =63=, =65= et =61=.
A S E N, 3e s., t. 16, nov. 1899, p. 465-490.
=67.= _Sur les déformations finies et sur les systèmes triples de surfaces
orthogonales._
P L M S, v. 32, June 14, 1900, p. 377-383.
Analyse par HESSENBERG: J F M, Bd. 31, J. 1900, S. 604-605.
=68.= _Sur les transformations conformes de l'espace à trois dimensions._
M. G. DARBOUX donne une démonstration très simple du théorème suivant,
dû à J. LIOUVILLE: _Toutes les transformations conformes de l'espace se
ramènent à une inversion ou à une homothétie, précédée ou suivie d'un
déplacement._
A M P G, d. R., 1. Bd., 1901, 20 nov. 1900, p. 34-37.
Analyse par SOMMER: J F M, Bd. 32, J. 1901, S. 678-679.
=69.= _Sur les surfaces isothermiques._
Je voudrais étudier une classe spéciale de surfaces isothermiques
(c'est-à-dire à lignes de courbure isothermes) qui interviennent dans la
théorie de la déformation des surfaces les plus générales du second
degré. G. D.
C R, t. 128, 29 mai, 26 juin 1899, p. 1299-1305, 1538.
Analyse: B S M, 2e s., t. 25, 2e p., mai, juin 1901, p. 132-133.
=70.= _Sur une classe de surfaces isothermiques liées à la déformation des
surfaces du second degré._
C R, t. 128, 19 juin 1899, p. 1483-1487.
Reproduction des trois Notes n^{os} =64=, =69= et =70=: A S E N, 3e s.,
t. 16, déc. 1899, p. 491-508.
=71.= _Des surfaces applicables sur le paraboloïde de révolution._
C R, t. 140, 13 mars 1905, p. 697-702.
=72.= _Sur les surfaces applicables sur le paraboloïde de révolution._
B S M, 2e s., t. 29, 1re p., avr. 1905, p. 109-119.
M. E. ESTANAVE a construit en plâtre des modèles, qui sont à la
Sorbonne, des deux surfaces applicables sur la paraboloïde de révolution
et définies par M. G. DARBOUX dans ses Mémoires n^{os} =71= et =72=:
B S M, t. 29, 1re p., août 1905, p. 225-246.
=73.= _Sur la Géométrie Cayleyenne et sur une propriété des surfaces à
génératrice circulaire._
L T S D, 4e P., n. IX, 1896, p. 489-496.
=74.= _Sur une équation différentielle et sur les surfaces spirales._
L T S D, IVe P., n. VI, 1896, p. 442-447.
=75.= _Sur les congruences de courbes et sur les surfaces normales aux
droites d'un complexe._
M. G. DARBOUX a publié en 1870 (B S M, t. 1, p. 348) une Note _Sur les
systèmes linéaires de coniques et de surfaces du second ordre_ où se
trouvent énoncés sans démonstration un grand nombre de résultats. Dans
cette nouvelle Note, il revient sur la proposition suivante: _Étant
données les normales à une famille de surfaces, on peut déterminer sans
intégration toutes les familles de surfaces normales aux mêmes droites_,
l'énonce autrement, la démontre et lui adjoint quelques autres
propositions relatives aux congruences de courbes.
C R, t. 149, 15 nov. 1909, p. 817-821.