ANALYSE MATHÉMATIQUE.
_EXTRAIT DU_ RAPPORT LU PAR M. CAMILLE JORDAN, EN DÉCERNANT A M.
GASTON DARBOUX, AU NOM DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES, LE PRIX PETIT
D'ORMOY POUR LES SCIENCES MATHÉMATIQUES, LE 5 MAI 1884.
L'Académie se trouve appelée à décerner, pour la première fois, l'un des
prix que la généreuse munificence de M. PETIT D'ORMOY lui a permis de
fonder.
Les progrès remarquables accomplis depuis quelques années, et notamment
en France, dans le domaine des Mathématiques pures, ont déterminé la
Commission à proposer à l'Académie de fixer son choix sur un géomètre.
Plusieurs auraient été dignes de cet honneur; mais nous avons dû prendre
celui que l'étendue de sa réputation, la maturité de son talent, le
nombre et la variété de ses travaux désignaient plus particulièrement à
nos suffrages.
L'œuvre de M. GASTON DARBOUX est trop étendue pour que nous essayions
de l'analyser en détail, car elle se compose de plus de 100 Mémoires,
dont le cercle embrasse presque toutes les branches du Calcul intégral
et de la Géométrie, diverses parties de l'Algèbre et de la Mécanique.
Tous ces travaux se distinguent par une extrême lucidité, par une
profonde connaissance de toutes les ressources de l'Analyse, par une
rare habileté à relier entre elles des questions en apparence
distinctes, et à remonter aux véritables principes des théorèmes, pour
leur donner toute la généralisation dont ils sont susceptibles; ils
contiennent un grand nombre de résultats nouveaux et importants, dont
nous ne pouvons signaler ici qu'un petit nombre....
Nous signalerons tout d'abord un Mémoire important sur les fonctions
discontinues, où M. DARBOUX soumet à une analyse approfondie les
principes de la théorie des fonctions, et établit, entre autres, une
proposition remarquable, qui permet de définir de la manière la
plus nette la condition d'intégrabilité d'une fonction.
Plusieurs autres Mémoires sont consacrés aux développements en série. M.
DARBOUX y donne une démonstration nouvelle de la convergence des
développements suivant les fonctions de LAPLACE, ou les polynomes de
LEGENDRE. Il a établi un peu plus tard d'autres développements plus
généraux suivant les polynomes de JACOBI, en se fondant sur l'expression
asymptotique qu'il avait trouvée pour ces polynomes.
Les équations différentielles où les variables se trouvent mêlées, et
qui ne se ramènent pas à la forme homogène ou linéaire, ont été jusqu'à
ce jour peu étudiées. Une équation remarquable, intégrée par JACOBI,
était restée jusque-là isolée. M. DARBOUX a montré qu'elle constitue le
premier terme d'une classe étendue d'équations différentielles, dont on
pourra écrire l'intégrale générale toutes les fois qu'on aura réussi à
obtenir des intégrales particulières algébriques en nombre suffisant.
Cette importante proposition permet de construire une foule d'équations
différentielles dont l'intégrale générale s'obtienne, pour ainsi dire, à
la simple vue.
M. DARBOUX a fait cette remarque simple, mais importante, qu'une
équation différentielle n'admet d'intégrale singulière que dans des cas
exceptionnels, et que la méthode indiquée avant lui pour déterminer
l'intégrale singulière en partant de l'équation différentielle fournit
en général le lieu des points singuliers des courbes intégrales, et non
leur enveloppe.
Il a encore montré que, si un système d'équations linéaires admet une
intégrale algébrique, il admettra également comme intégrale tous ses
covariants.
L'Académie avait proposé, il y a quelques années, comme sujet du grand
prix de Mathématiques, l'étude des solutions singulières des équations
aux dérivées partielles du premier ordre. Le Mémoire transmis par M.
DARBOUX en réponse à cette question et couronné par l'Académie est une
œuvre considérable. Il contient, entre autres résultats, la fixation
précise des caractères des solutions singulières; la détermination des
règles qui permettent de les déduire directement de l'équation
différentielle; l'étude des relations de contact qui existent entre
cette solution et les autres intégrales complètes ou générales; enfin
l'extension aux équations aux dérivées partielles de la méthode
d'intégration par différentiation.
Dans un travail antérieur, sur les équations aux dérivées partielles du
second ordre, M. DARBOUX avait indiqué un procédé nouveau d'intégration
qui supplée à la méthode de MONGE lorsque celle-ci n'est pas applicable,
et permet de déterminer l'intégrale, toutes les fois qu'elle ne contient
pas de signe d'intégration....
C R, t. 98, 5 mai 1884, p. 1159, 1160-1162.
OUVRAGES.
=1.= NOTICE SUR LES TRAVAUX SCIENTIFIQUES DE M. GASTON DARBOUX.
Rédigée par lui-même à l'appui de sa candidature comme membre de
l'Académie des Sciences, dans la Section de Géométrie.
Paris, G.-V., in-4; 1881, 46 p.; 2e édit., 14 oct. 1884, 69 p.
=2.= SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
La méthode que PFAFF a fait connaître en 1814, pour l'intégration d'une
équation aux dérivées partielles à un nombre quelconque de variables
indépendantes, a été longtemps négligée....
Cependant, la méthode de PFAFF, qui est, d'ailleurs, la généralisation
de celle qu'on doit à LAGRANGE pour le cas de deux variables
indépendantes, offre de sérieux avantages....
Je me suis proposé d'expliquer la solution du problème de PFAFF sans
rien emprunter à la théorie des équations aux dérivées partielles, et je
me suis surtout attaché à mettre en évidence les propriétés d'invariance
qui jouent un rôle fondamental dans cette solution. G. D.
La première Partie de ce Mémoire a été écrite en 1876 par M. G. DARBOUX
et exposée en janvier 1877 par M. J. BERTRAND au Collège de France.
Paris, G.-V., 1882; gr. in-8, IV-42p.
C R, t. 94, 27 mars 1882, p. 835-837.
B S M, 2e s., t. 6, 1re p., janv., fév. 1882, p. 14-36, 49-68.
Analyse par HAMBURGER: J F M, Bd. 14, J. 1882, S. 294-298.
MÉMOIRES. NOTES.
=Analyse pure.=
=1.= _Sur la série de_ LAPLACE.
LAGRANGE a donné une importante série servant au développement en série
convergente des racines d'une certaine équation. LAPLACE a exposé une
formule plus générale, mais moins simple que celle de ce géomètre. M. G.
DARBOUX est parvenu à simplifier la formule de LAPLACE et a ainsi trouvé
un résultat analogue à celui de LAGRANGE.
C R, t. 68, 8 fév. 1869, p. 323-327.
=2.= _Sur les séries dont le terme général dépend de deux angles et qui
servent à exprimer des fonctions arbitraires entre des limites données._
J L, 2e s., t. 19, janv. 1874, p. 1-18.
Analyse par HOPPE: J F M, Bd. 6, J. 1874, S. 290-294.
Titre sans développement: _Sur les séries trigonométriques. Sur
les séries ordonnées suivant les fonctions Y_{_n_} de_ LAPLACE _et
X_{_n_} de_ LEGENDRE: B S P, 6e s., 22 mars 1873, p. III.
=3. 4.= _Mémoire sur l'approximation des fonctions de très grands
nombres et sur une classe étendue de développements en série._
C R, t. 82, 7, 14 fév., 1876, p. 365-368, 404-406.
J L, 3e s., t. 4, janv., fév. 1878, p. 5-56, 377-416.
Analyse par F. MÜLLER: J F M, Bd. 8, J. 1876, S. 304-305;--Bd.
10, J. 1878, S. 279-280.
Analyse: B S M, 2e s., t. 3, 2e p., janv. 1879, p. 5-6, 18-19.
=5.= _Sur les développements en série des fonctions d'une seule variable._
J L, 3e s., t. 2, sept. 1876, p. 291-312.
Analyse par STOLZ: J F M, Bd. 8, J. 1876, S. 124-127.
Analyse par J. TANNERY: B S M, 2e s., t. 1, 2e p., déc. 1877, p.
333-335.
=6.= _Sur les différentielles des fonctions de plusieurs variables
indépendantes._
B S M, 2e s., t. 5, 1re p., sept., oct. 1881, p. 376-384,
395-417.
=7.= _Note sur une fonction numérique._
B S M, 2e s., t. 5, 1re p., oct. 1881, p. 417-424.
=8.= _Sur les différentielles successives des fonctions de plusieurs
variables indépendantes._
C R, t. 93, 26 déc. 1881, p. 1123-1125.
=9.= _Sur les différentielles successives des fonctions de plusieurs
variables et sur une propriété des fonctions algébriques._
C R, t. 94, 27 fév. 1882, p. 575-577.
=10. 11.= _Mémoire sur les fonction discontinues._
Je reprends, en donnant tous les développements nécessaires, la
définition de l'intégrale définie d'après RIEMANN, et je montre comment
cette définition doit conduire à une infinité de fonctions continues
n'ayant pas de dérivée.
Laissant ensuite de côté la définition des fonctions continues comme
intégrales, j'expose quelques principes sur les séries dont les termes
sont des fonctions de la variable indépendante. G. D.
A S E N, 2e s., t. 4, 1875, 20 janv. 1874, p. 57-112.
A S E N, 2e s., t. 8, juin 1879, p. 195-202.
Analyse par STOLZ: J F M, Bd. 7, J. 1875, S. 243-247;--Bd. 11,
J. 1879, S. 274-275.
Analyse: B S M, t. 10, fév. 1876, p. 76-82;--2e s., t. 4, 2e p.,
janv. 1880, p. 21-24.
Titres sans développements: _Sur les fonctions discontinues et
sur les fonctions continues qui n'ont pas de dérivées; Sur la
théorie des fonctions:_ B S M F, t. 1, 1872-1873, 19 mars 1873,
p. 121;--t. 2, 1873-1874, 28 janv. 1874, p. 66.
=12. 13.= _Sur les solutions singulières des équations aux dérivées
ordinaires du premier ordre._
Dans le second Mémoire, M. G. DARBOUX complète les résultats indiqués
dans le premier, et donne un théorème précis faisant connaître dans
quelles circonstances une équation différentielle peut admettre une
intégrale ou solution singulière.
I, n. s., 1re a., nº 6, 5 fév. 1873, p. 49-50.--B S P, 6e s.,
23 nov. 1872, p. 180-186.
B S M, t. 4, mars 1873, p. 158-173.
=14.= _Mémoire sur les solutions singulières des équations aux dérivées
partielles du premier ordre._
M S A S, t. 27, nº 2, 1880, 243 p.
Ce Mémoire, présenté au Concours pour le grand prix des Sciences
mathématiques (Géométrie), a été couronné.
Rapport de M. J. BERTRAND: C R, t. 84, 23 avr. 1877, p. 804.
=15.= _Sur les équations aux dérivées partielles du second ordre._
Dans l'état actuel de la Science, on connaît peu de choses sur les
équations aux dérivées partielles du second ordre....
Je me propose d'exposer les principes seulement d'une nouvelle méthode
qui, sans donner la solution complète du problème, me paraît constituer
un progrès dans la théorie des équations aux dérivées partielles. G. D.
C R, t. 70, 28 mars 1870, p. 675-678.
=16.= _Sur la théorie des équations aux dérivées partielles._
C R, t. 70, 4 avr. 1870, p. 746-749.
=17.= _Sur les équations aux dérivées partielles du second ordre._
Dans ce Mémoire, qui contient les Notes n^{os} =15= et =16=, M. G.
DARBOUX développe une troisième application de la méthode qu'il a
proposée.
A S E N, t. 7, 1870, p. 163-173.
Appréciation par ÉMILE PICARD: R O, t. 1, 30 nov. 1890, p. 705.
Ce Mémoire a été traduit en allemand et forme la Note III de
l'Ouvrage intitulé _Theorie der Partiellen Differentialgleichungen
erster Ordnung_ von Dr. M. PAUL MANSION, Herausgegeben von H.
MASER: Berlin, JULIUS SPRINGER, 1892, gr. in-8, S. 471-482.
=18.= _Sur l'existence de l'intégrale dans les équations aux dérivées
partielles d'ordre quelconque._
C R, t. 80, 1er fév. 1875, p. 317-319.
=19. 20.= _Sur les équations aux dérivées partielles._
M. G. DARBOUX montre que l'on peut adjoindre à une équation quelconque
aux dérivées partielles une _équation auxiliaire_, linéaire, dont
l'étude conduit à des résultats très importants se rapportant à
l'équation proposée; puis il applique cette méthode à deux problèmes de
Géométrie: l'un se rapporte à une famille d'un système triple
orthogonal, l'autre à la recherche des surfaces applicables sur une
surface donnée.
C R, t. 96, 19 mars 1883, p. 766-769.
L T S D, IVe P., n. X, 1896, p. 497-504.
Analyse par J. HADAMARD: R O, t. 7, 15 oct. 1896, p. 835.
=21.= _Sur l'équation auxiliaire._
Voir n^{os} =19= et =20=.
L T S D, IVe P., n. XI, 1896, p. 505-516.
Analyse par G. KŒNIGS: B S M, 2e s., t. 22, 1re p., juin
1898, p. 157-158.
Analyse par J. HADAMARD: R O, t. 7, 15 oct. 1896, p. 835.
=22. 23.= _Sur une équation différentielle du quatrième ordre._
C R, t. 141, 28 août 1905, p. 415-417.
C R, t. 141, 11 sept. 1905, p. 483-484.
=24.= _Application d'une méthode de_ M. HERMITE _à l'équation linéaire à
coefficients constants avec second membre._
B S M, 2e s., t. 3, 1re p., juil. 1879, p. 325-328.
=25. 26.= _Sur les systèmes formés d'équations linéaires à une seule
variable indépendante._
C R, t. 90, 8 mars 1880, p. 524-526.
C R, t. 90, 15 mars 1880, p. 596-598.
Analyse par HAMBURGER: J F M, Bd. 12., J. 1880, S. 271-273.
=27.= _Remarque sur une Lettre de_ LAPLACE _à_ CONDORCET.
M. G. DARBOUX rectifie une règle pour l'intégration des équations
différentielles linéaires, donnée par LAPLACE dans une Lettre à
CONDORCET.
B S M, 2e s., t. 3, 1re p., mai 1879, p. 209-216.
=28.= _Sur une proposition relative aux équations linéaires._
C R, t. 94, 29 mai 1882, p. 1456-1459.
Analyse par HAMBURGER: J F M, Bd. 14, J. 1882, S. 264-266.
=29.= _Sur une équation linéaire._
C R, t. 94, 19 juin 1882, p. 1645-1648.
=30.= _Sur une équation linéaire aux dérivées partielles._
C R, t. 95, 10 juil. 1882, p. 69-72.
=31.= _Sur les équations linéaires à deux variables indépendantes._
C R, t. 105, 25 juil. 1887, p. 199-201.
=32.= _Sur certains systèmes d'équations différentielles linéaires._
C R, t. 148, 4 janv. 1909, p. 16-22.
=33. 34.= _Sur les systèmes d'équations différentielles homogènes._
C R, t. 148, 15 mars 1909, p. 673-679.
C R, t. 148, 22 mars 1909, p. 745-754.
Reproduction des Notes n^{os} =32=, =33= et =34=: A S E N, 3e s.,
t. 25, 1909, p. 449-472.
=35.= _Sur la première méthode donnée par_ JACOBI _pour l'intégration
des équations aux dérivées partielles du premier ordre._
C R, t. 79, 21 déc. 1874, p. 1488-1489;--t. 80, 18 janv. 1875, p.
160-164.--B S M, t. 8, mai 1875, p. 249-255.
=36.= _Mémoire sur l'existence de l'intégrale dans les équations aux
dérivées partielles contenant un nombre quelconque de fonctions et de
variables indépendantes._
C R, t. 80, 11 janv. 1875, p. 101-104.
=37.= _Note sur deux intégrales elliptiques qui se présentent sous forme
indéterminée._
M S S B, 2e s., t. 3, 1880, 13 nov. 1879, p. 373-376.
=38.= _Remarque sur une Note de_ M. CH. MÉRAY,
Intitulée _Sur des systèmes d'équations aux dérivées partielles
qui sont dépourvues d'intégrales, contrairement à toute
prévision_.
C R, t. 106, 5 mars 1888, p. 651-652.
=39.= _Sur les équations différentielles du premier ordre et du premier
degré._
C R, t. 86, 25 fév. 1878, p. 533-536.
=40.= _Mémoire sur les équations différentielles algébriques du premier
ordre et du premier degré._
B S M, 2e s., t. 2, 1re p., fév., mars, avr. 1878, p. 60-96,
123-144, 151-200.
=41.= _De l'emploi des solutions particulières d'une équation
différentielle du premier ordre et du premier degré dans la recherche de
l'intégrale générale._
C R, t. 86, 4 mars 1878, p. 584-586.
Analyse par TŒPLITZ des Notes n^{os} =40= et =41=: J F M, Bd. 10,
J. 1878, S. 214-219.
=42.= _De l'emploi des solutions particulières algébriques dans
l'intégration d'un système d'équations différentielles algébriques._
C R, t. 86, 22 avr. 1878, p. 1012-1014.
=43.= _Sur l'intégration de l'équation dx^2 + dy^2 = dz^2 et de
quelques équations analogues._
J L, 2e s., t. 18, juil. 1873, p. 236-240.
=44.= _Sur la résolution de l'équation dx^2 + dy^2 + dz^2 = ds^2
et de quelques équations analogues._
Dans ce Mémoire, M. G. DARBOUX complète les résultats qu'il a indiqués
en 1873 (nº =43=) et en déduit de nouvelles conséquences.
J L, 4e s., t. 3, f. 3, 1887, p. 305-325.
Analyse par HAMBURGER: J F M, Bd 19, J. 1887, S. 343-344.
=45.= _Sur l'équation de_ RICCATI.
Ce Mémoire est inséré dans _In Memoriam_ DOMINICI CHELINI _Collectanea
Mathematica_.
C M C, Paris, juin 1880, p. 199-204.
Analyse: B S M, 2e s., t. 5, 1re p., nov. 1881, p. 433.
Analyse par HAMBURGER: J F M, Bd. 13, J. 1881, S. 273.
=46.= _Sur l'application du théorème fondamental d'_ABEL _relatif aux
intégrales algébriques à la recherche de systèmes complètement
orthogonaux dans un espace à n dimensions._
Ce Mémoire est inséré dans le premier des deux Tomes des _Acta
mathematica_ imprimés NIELS HENRIK ABEL _in Memoriam_.
A M, t. 26, 30 juin 1902, p. 227-240.
Analyse par HESSENBERG: J F M, Bd. 33, J. 1902, S. 640-641.
=Analyse appliquée à l'Algèbre.=
=1.= _Sur la résolution de l'équation du quatrième degré._
J L, 2e s., t. 18, juil. 1873, p. 220-235.
Analyse par F. MÜLLER: J F M, Bd. 5, J. 1873, S. 80-81.
=2.= _Mémoire sur la théorie algébrique des formes quadratiques._
J L, 2e s., t. 19, oct., nov. 1874, p. 347-396.
Analyse par NETTO: J F M, Bd. 6, J. 1874, S. 68-70.
Titre sans développement: _Sur divers points relatifs aux formes
quadratiques, sur leur décomposition en carrés la plus générale,
et sur les questions de même nature relatives à deux formes
quadratiques. Application à la démonstration du théorème
fondamental de l'Algèbre:_ B S P, 6e s., 28 fév., 14 mars 1874,
p. III.