17 Ich will übrigens daran erinnern, dass man auch den Green’schen Satz
anschauungsmässig begründen kann. Vgl. Tait, On Green’s and allied
other theorems, Edinburgh Transactions, 1869--70, p. 69 ff.
18 Eine solche Orientirung ist vermuthlich auch für den praktischen
Physiker von hohem Werthe.
19 Derartige Zeichnungen gab ich bereits in dem Aufsatze: _Ueber den
Verlauf der Abel’schen Integrale bei den Curven vierten Grades_,
Mathematische Annalen, Bd. X. Allerdings haben die Riemann’schen
Flächen daselbst eine etwas andere Bedeutung, so dass bei ihnen nur
in übertragenem Sinne von einer Flüssigkeitsbewegung die Rede sein
kann; vergl. die Erläuterungen, welche darüber in §. 17 des
Nachfolgenden gegeben werden.
20 Zu einem solchen Beweise scheint vor allen Dingen nothwendig, sich
über die verschiedenen Möglichkeiten klar zu werden, die betreffs
der Ueberführung einer gegebenen Fläche in die Normalfläche des §. 8
vorliegen.
21 Sind sie es nicht, so ist die nächste Folge, dass die Zahl der in
_m_ Puncten unendlich werdenden eindeutigen Functionen _grösser_
wird als die im Texte angegebene. Man kennt die Untersuchungen,
welche zumal Roch über diese Möglichkeit angestellt hat (Borchardt’s
Journal Bd. 64; vergl. auch, was die algebraische Formulirung
betrifft: _Brill_ und _Nöther_, über die algebraischen Functionen
und ihre Verwendung in der Geometrie, Mathematische Annalen, Bd. 7).
Ich kann diesen Untersuchungen im Texte nicht folgen, obgleich sie
sich mit Leichtigkeit an die Darstellung des _Abel_’schen Theorems
anschliessen lassen, wie sie Riemann in Nr. 14 der Abel’schen
Functionen giebt,--und will nur, mit Rücksicht auf spätere
Entwickelungen des Textes (cf. §. 19), darauf hinweisen, _dass eine
lineare Abhängigkeit zwischen den _[formula]_ Gleichungen jedenfalls
nicht eintritt, wenn __m__ die Gränse _[formula]_ überschreitet._
22 Ich spreche im Folgenden durchweg von der Ebene, statt von der
Kugel, um mich möglichst an die gewöhnliche Auffassungsweise
anzuschliessen.
23 Man vergleiche hierzu, was Riemann in Nr. 12 seiner Abel’schen
Functionen über die Abbildung durch überall endliche Functionen
sagt.
24 Wir haben oben (§. 11) ohne ausgeführten Beweis angegeben, dass die
Zahl der Kreuzungspuncte von [formula] beträgt. Wie man jetzt sieht,
ist diese Behauptung eine einfache Umsetzung der bekannten Relation,
welche die Zahl der Verzweigungspuncte (oder vielmehr die
Gesammtmultiplicität derselben) mit der Blätterzahl _m_ und dem _p_
einer mehrblättrigen Fläche verknüpft [unter _p_ die Maximahlzahl
der Rückkehrschnitte verstanden, die man auf dieser mehrblättrigen
Fläche ziehen kann, ohne sie zu zerstücken].
25 Wegen der expliciten Formulirung dieser Relationen vergleiche man
die gewöhnlichen Lehrbücher, sodann insbesondere die Schrift von C.
Neumann: Das Dirichlet’sche Princip in seiner Anwendung auf die
Riemann’schen Flächen, Leipzig 1865.
26 Es entsteht hier die interessante Frage, ob es immer möglich ist,
mehrblättrige Flächen mit beliebigen Verzweigungspuncten conform in
solche zu verwandeln, die durchaus keine singuläre Stelle besitzen
Diese Frage greift über die im Texte zu behandelnden Gegenstände
hinaus, aber ich habe sie immerhin anführen wollen. Gelingt es im
einzelnen Falle nicht, so haben die vorgängigen Betrachtungen des
Textes doch noch die Bedeutung, dass sie am einfachsten Beispiele
die allgemeinen Ideen haben entstehen lassen und dadurch die
Behandlung auch der complicirteren Vorkommnisse ermöglicht haben.
27 Vergl. Kirchhoff; Monatsberichte der Berliner Akademie von 1875, l.
c. (wo übrigens explicite nur die Beziehung zwischen Ringfläche und
ebenem Rechtecke besprochen wird).
28 Diese geometrische Umsetzung ist natürlich keineswegs nothwendig;
wir erreichen durch dieselbe nur den Anschluss an die gewöhnlich
eingehaltene Darstellungsweise.
29 Im Besonderen kann diess anders sein. Wenn man _w_ und _z_ als
Parallel-Coordinaten, die zwischen ihnen bestehende Gleichung durch
eine Curve deutet, so sind es, wie man weiss, die _Doppelpuncte_
dieser Curve, welche jenen besonderen Vorkommnissen entsprechen.
30 Vergl. die eingehende Beweisführung bei Prym, Borchardt’s Journal,
Bd. 83, p. 251 ff.: Beweis eines Riemann’schen Satzes.