1 Sei insbesondere auf die Darstellung verwiesen, welche Maxwell in
seinem Treatise on Electricity and Magnetisme (Cambridge 1873)
gegeben hat. Dieselbe entspricht, was anschauungsmässige Behandlung
angeht, genau den Gesichtspuncten, die auch ich im Texte verfolge.
2 Man vergl. den grundlegenden Aufsatz von Kirchhoff im 64. Bande von
Poggendorff’s Annalen: Ueber den Durchgang eines elektrischen
Stromes durch eine Ebene (1845).
3 Die Behauptungen des Textes hängen, wie man weiss, auf das Engste
mit der Theorie der sogenannten Doppelbelegungen zusammen, wegen
deren man Helmholtz in Poggendorffs Annalen Bd. 89, p. 224 ff.
(Ueber einige Gesetze der Vertheilung elektrischer Ströme in
körperlichen Leitern, 1853) sowie C. Neumann in dessen Buche:
Untersuchungen über das Logarithmische und Newton’sche Potential
(Leipzig, Teubner, 1877) vergleichen mag.
4 Nach dem Vorgänge von C. Neumann, Vorlesungen über Riemann’s Theorie
der Abel’schen Integrale, Leipzig, 1865.--Die Einführung der
Kugelfläche läuft sozusagen der Ersetzung von _z_ durch das
Verhältniss [formula] _zweier_ Variabler parallel, wodurch, wie man
weiss, die Behandlung unendlich grosser Werthe von _z_ auch _formal_
unter die der endlichen Werthe subsumirt wird.
5 Unter [formula], [formula], [formula] rechtwinklige Coordinaten
verstanden, sei die Gleichung der Kugel [formula]. Projectionspunct
sei [formula], [formula], [formula], Projectionsebene
([formula]-Ebene) die gegenüberliegende Tangentialebene (die
[formula]-Ebene). Dann folgt:
[formula]
Bezeichnet man mit [formula] das Bogenelement der Ebene, mit
[formula] das entsprechende Bogenelement der Kugel, so kommt:
[formula]
eine Formel, welche für das Folgende insofern besonders wichtig ist,
als sie die Abbildung als eine _conforme_ charakterisirt.
6 Man vergleiche hierzu und zu den folgenden Entwickelungen: Beltrami,
Delle variabili complesse sopra una superficie qualunque; Annali di
Matematica, ser. 2, t. I, p. 329 ff.--Die besondere Bemerkung, dass
Oberflächenpotentiale bei conformer Abbildung ebensolche bleiben,
findet sich in den in der Vorrede citirten Schriften von C. Neumann,
Kirchhoff und Töpler, dann auch z. B. bei Haton de la Goupillière:
Méthodes de transformation en Géométrie et en Physique Mathématique,
Journal de l’Ecole Polytechnique, t. XXV, 1867 (p. 169 ff.).
7 Es ist übrigens nicht schwer, sich auch ohne alle Formel von der
Richtigkeit jener Behauptung Rechenschaft zu geben; man sehe die
wiederholt citirten Arbeiten von C. Neumann und Töpler.
8 Ein besonders übersichtliches Beispiel von doch nicht zu elementarem
Charakter gibt die _Ikosaedergleichwng_ (siehe Mathematische
Annalen, Bd. XII, p. 502 ff.). Dieselbe lautet, wie man weiss:
[formula]
ist also (für _z_) eine Gleichung vom sechszigsten Grade. Die
Unendlichkeitspunkte von _w_ fallen zu je 5 in 12 Punkte zusammen,
welche die Ecken eines Ikosaeders sind, das der Kugel, auf welcher
wir _z_ deuten, einbeschrieben ist. Den 20 Seitenflächen dieses
Ikosaeders entsprechend zerlegt sich die Kugel in 20 gleichseitige
sphärische Dreiecke. Die Mittelpunkte dieser Dreiecke sind durch
[formula] gegeben und stellen ebensoviele Kreuzungspuncte von der
Multiplicität Zwei für die Function _w_ dar. Hiernach kennt man
(unter Einrechnung der Unendlichkeitspuncte) von den [formula]
Kreuzungspuncten bereits [formula]. Die 30 noch fehlenden werden
durch die Halbirungspuncte der 30 Kanten, die jenen 20 sphärischen
Dreiecken angehören, geliefert.
[Illustration: Fig. 13.]
Fig. 13.
Die beistehende Figur repräsentirt in schematischer Weise eines
jener 20 Dreiecke und auf ihm den Verlauf der Strömungscurven; auf
den 19 übrigen Dreiecken ist die Sache genau ebenso.
9 Die in diesem Paragraphen gegebene Darstellung weicht von der durch
Riemann selbst gegebenen zumal dadurch ab, dass Flächen mit
Randcurven vorab überhaupt nicht in Betracht gezogen werden und also
statt der Querschnitte, die von einem Randpuncte zu einem zweiten
laufen, sogenannte _Rückkehrschnitte_ zur Verwendung gelangen (vgl.
C. Neumann, Vorlesungen über Riemann’s Theorie der Abel’schen
Integrale, p. 291 ff.).
10 Es ist immer nur an Umformung durch _stetige_ Functionen gedacht.
Ueberdies sollen bei den willkürlichen Flächen des Textes bis auf
Weiteres gewisse besondere Vorkommnisse ausgeschlossen sein. Es ist
am Besten, sich dieselben ohne alle singuläre Puncte zu denken; erst
später kommen Verzweigungspuncte und damit Selbstdurchsetzungen der
Fläche in Betracht (§. 13). Die Flächen dürfen jedenfalls keine
_Doppelflächen_ sein, bei denen man von einer Flächenseite durch
continuirliches Fortschreiten auf der Fläche zur anderen
Flächenseite gelangen kann; man vergleiche indess §. 23. Ueberdiess
wird vorausgesetzt--wie man es immer thut, wenn man sich eine
geschlossene Fläche als _fertig_ gegeben denkt--dass die Fläche
durch eine _endliche_ Zahl von Schnitten in einfach zusammenhängende
Theile zerlegt werden kann.
11 Damit soll keineswegs gesagt sein, dass diese Art geometrischer
Evidenz nicht noch der näheren Untersuchung bedürftig sei. Man
vergleiche die Erläuterungen von G. Cantor in Borchardt’s Journal,
Bd. 84, p. 242 ff. Es bleiben inzwischen diese Untersuchungen von
den Darlegungen des Textes ausgeschlossen, da es für letztere
Princip ist, auf anschauungsmässige Verhältnisse als letzte
Begründung zu recurriren.
12 Man sehe C. Jordan: Sur la déformation des surfaces in Liouville’s
Journal, ser. 2, Bd. 11 (1866). Einige Puncte, die mir besonderer
Aufklärung zu bedürfen schienen, sind in den mathematischen Annalen,
Bd. VII, p. 529, und Bd. IX, p. 476, besprochen.
13 Die Definition dieser Unendlichkeitspuncte bezog sich zunächst nur
auf die Ebene, bez. die Kugel. Aber es ist wohl klar, wie dieselbe
auf beliebige krumme Flächen zu übertragen ist: die
Verallgemeinerung ist so zu treffen, dass wir auf die alten
Unendlichkeitspuncte zurückkommen, wenn wir die Fläche und die
stationären Strömungen auf ihr durch conforme Abbildung auf die
Ebene übertragen.--In dieser Beschränkung hinsichtlich der Art der
Unendlichkeitspuncte liegt auch, wie ich hier nicht ausführen kann,
dass nur eine _endliche_ Zahl von Unendlichkeitspuncten bei unseren
Strömungen möglich ist. Desgleichen folgt aus unseren Prämissen, wie
beiläufig hervorgehoben sei, dass von Kreuzungspuncten bei unseren
Strömungen jedenfalls auch nur eine endliche Zahl auftritt.
14 Ueber die Periodicität des imaginären Theil’s der Function soll
hiermit keinerlei Verfügung getroffen sein. In der That ist _v_ bei
gegebenem _u_ durch die Differentialgleichungen (1) der pag. 1 bis
auf eine additive Constante vollständig bestimmt und es unterliegen
also die Periodicitätsmoduln, welche _v_ an den Querschnitten
[formula], [formula] besitzen mag, keinerlei willkürlicher
Festsetzung.
15 Einen anderen Beweis siehe bei C. Jordan: Des contours tracés sur
les surfaces, in Liouville’s Journal, ser. 2, Bd. 11 (1866).