32 Vergl. meine Arbeiten über elliptische Modulfunctionen in den Bänden
14, 15, 17 der mathematischen Annalen.
33 Man sehe insbesondere die dem 14. Annalenbande beigegebene Tafel
("Zur Transformation siebenter Ordnung der elliptischen
Functionen’’) sowie die später noch zu nennende Arbeit von Dyck im
17. Bande daselbst.
34 "Ueber eine neue Art von Riemann’schen Flächen’’, mathematische
Annalen Bd. 7 und 10.
35 Siehe: Harnack (Ueber die Verwerthung der elliptischen Functionen
für die Geometrie der Curven dritten Grades) im 9. Bande der
mathematischen Annalen, siehe ferner meinen schon oben genannten
Aufsatz: "Ueber den Verlauf der Abel’schen Integrale bei den Curven
vierten Grades’’ im 10. Bande daselbst.
36 Solche Bestimmungen machte z. B. Hr. Kasten in seiner
Inauguraldissertation: Zur Theorie der dreiblättrigen Riemann’schen
Fläche. Bremen 1876.
37 Wenn es hier wieder gestattet ist auf eigene Arbeiten zu verweisen,
so geschehe diess zunächst mit Bezug auf eine Stelle im 12. Bande
der mathematischen Annalen (p. 173), wo der Schluss begründet wird,
dass gewisse rationale Functionen durch die Zahl ihrer Verzweigungen
völlig bestimmt sind, sodann in Bezug auf Bd. 15, p. 533 ebenda, wo
eine ausführliche Betrachtung lehrt, dass es zehn rationale
Functionen elften Grades gibt, die gewisse Verzweigungsstellen
besitzen.
38 Es folgt diese z. B. aus den Sätzen von Lüroth und Clebsch, die man
in den Bänden 4 und 6 der mathematischen Annalen abgeleitet findet.
39 Ich führe dieses Resultat, welches aus der Theorie der elliptischen
Functionen wohlbekannt ist, im Texte ohne Beweis an.
40 Es ist bei diesem Satze an eine _continuirliche_ Schaar von
Transformationen, also an Transformationen mit willkürlich
veränderlichen Parametern gedacht. Ob eine Fläche [formula] unter
Umständen nicht durch unendlich viele _discrete_ Transformationen in
sich übergehen kann, bleibt im Texte unerörtert; doch scheint diess
bei endlichem _p_ in der That auch unmöglich.
41 Vergl. die Darstellung im 14. Bande der mathematischen Annalen, p.
112 ff.
42 Die im Texte aufzustellenden Sätze finden sich explicite
grösstentheils in der Literatur nicht vor. Wegen der Flächen
[formula] vergleiche man den bereits citirten Aufsatz von Schwarz
(Berliner Monatsberichte 1870). Man sehe ferner eine Arbeit von
Schottky: _Ueber die conforme Abbildung mehrfach zusammenhängender
Flächen_}, die als Berliner Inaugural-Dissertation 1875 erschien und
später (1877) in umgearbeiteter Form in Borchardts Journal Bd. 83
abgedruckt wurde. Es handelt sich in derselben um solche _p_-fach
zusammenhängende ebene Bereiche, welche von [formula] Randcurven
begränzt werden.
43 Solchen Flächen entsprechen algebraische Gleichungen mit einer
Gruppe eindeutiger Transformationen in sich. Die Bemerkungen des
Textes zielen also auf solche Untersuchungen ab, wie sie in neuerer
Zeit von Hrn. Dyck verfolgt worden sind (cf. die bereits citirte
Arbeit im 17. Bande der Mathematischen Annalen: Aufstellung und
Untersuchung von Gruppe und Irrationalität regulärer Riemann’scher
Flächen).
44 Es gibt natürlich wieder Flächen, welche neben einer Anzahl von
Transformationen erster Art eine gleiche Anzahl von Transformationen
zweiter Art zulassen; dieselben entsprechen den
_regulär-symmetrischen_ Flächen der Dyck’schen Arbeit.
45 Vergl. Harnack: Ueber die Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen
Curven, in Bd. 10 der Mathematischen Annalen, p. 189 ff.; vergleiche
ferner p. 415, 416 daselbst, wo ich die Eintheilung jener Curven in
zweierlei Arten gegeben habe. Vielleicht ist es zweckmässig, bei
diesen Untersuchungen die Lehre von den symmetrischen Flächen und
die Riemann’sche Theorie, so wie beide hier im Texte dargestellt
werden, geradezu als Ausgangspunct zu wählen.
46 Siehe zumal: Cayley, on the correspondence between homographies and
rotations, Mathematische Annalen, Bd. 15, p. 238-240.
47 Ich verdanke diese Auffassung einer gelegentlichen Unterredung mit
Hrn. Schwarz (Ostern 1881). Man vergl. p. 320 ff. der bereits
genannten Arbeit von Schottky im 83. Bande von Borchardt’s Journal,
sowie die Originaluntersuchungen von Schwarz über die Abbildung
geschlossener Polyederflächen auf die Kugel (Berliner Monatsberichte
1865 p. 150 ff., Borchardt’s Journal Bd. 70, p. 121--136, Bd. 75, p.
330.)
48 Ich drücke mich im Texte der Kürze halber so aus, als wenn die
ursprüngliche Fläche eine zweiseitige Fläche gewesen wäre, während
doch nicht ausgeschlossen sein soll, dass sie eine Doppelfläche ist.