§. 19. Ueber die Moduln algebraischer Gleichungen.
Es gibt einen wichtigen Punct, in welchem die Riemann’sche Theorie der
algebraischen Functionen nicht nur der Methode sondern auch dem Resultate
nach über die sonst üblichen Darstellungen dieser Theorie hinausgreift.
Sie besagt nämlich _dass zu jeder über der __z__-Ebene ausgebreiteten,
graphisch gegebenen mehrblättrigen Fläche zugehörige algebraische
Functionen construirt werden können_,--wobei man beachten mag, dass diese
Functionen, sofern sie überhaupt existiren, in hohem Maasse willkürlich
sind, da [formula] im Allgemeinen gerade so verzweigt ist, wie _w_.--Der
genannte Satz ist um so merkwürdiger, als er eine Angabe über eine
interessante Gleichung höheren Grades implicirt. Sind nämlich die
Verzweigungspuncte einer _m_-blättrigen Fläche gegeben, so existiren noch
eine endliche Zahl von wesentlich verschiedenen Möglichkeiten, dieselben
in die _m_-Blätter einzuordnen: man wird diese Zahl durch Betrachtungen
auffinden können, die der reinen Analysis situs angehören(36). Aber
dieselbe Zahl hat unserem Satze zufolge ihre algebraische Bedeutung. Man
bezeichne, wie es Riemann thut, alle solche algebraischen Functionen von
_z_ als derselben Classe angehörig, die sich, unter Benutzung von _z_,
rational durch einander ausdrücken lassen. _Dann ist unsere_(_37_)_ Zahl
die Anzahl der verschiedenen__ Classen algebraischer Functionen, welche in
Bezug auf __z__ die gegebenen Verzweigungswerthe besitzen._
Ich wünsche im gegenwärtigen und im folgenden Paragraphen verschiedene
Folgerungen zu ziehen, die sich aus dem vorausgeschickten Satze gewinnen
lassen, und zwar mag zunächst die Frage nach den _Moduln_ der
algebraischen Functionen behandelt werden, d. h. die Frage nach denjenigen
Constanten, welche bei eindeutiger Transformation der Gleichungen
[formula] die Rolle der Invarianten spielen.
Sei zu diesem Zwecke [formula] eine zunächst unbekannte Zahl, welche
angibt, wie vielfach unendlich oft eine Fläche sich eindeutig in sich
transformiren, d. h. conform auf sich selber abbilden lässt. Sodann
erinnere man sich an die Anzahl der Constanten in den eindeutigen
Functionen auf gegebener Fläche (§. 13). Es gab im Allgemeinen [formula]
eindeutige Functionen mit _m_ Unendlichkeitspuncten, und diese Zahl war
jedenfalls genau richtig (wie ohne Beweis angegeben wurde), wenn [formula]
war. Nun bildet jede dieser Functionen die gegebene Fläche auf eine
_m_-blättrige Fläche über der Ebene eindeutig ab. _Daher ist die
Gesammtheit der __m__-blättrigen Flächen, auf welche man eine gegebene
Fläche conform eindeutig beziehen kann, und also auch der __m__-blättrigen
Flächen, die man einer Gleichung _[formula]_ durch eindeutige
Transformation zuordnen kann, _[formula]_ fach._ Denn jedesmal [formula]
Abbildungen ergeben dieselbe _m_-blättrige Fläche, weil jede Fläche der
Voraussetzung nach [formula] mal auf sich selber abgebildet werden kann.
Nun gibt es aber überhaupt [formula] _m_-blättrige Flächen, unter _w_ die
Zahl der Verzweigungspuncte, d. h. [formula] verstanden. Denn durch die
Verzweigungspuncte wird die Fläche, wie oben bemerkt, endlich-deutig
bestimmt, und Verzweigungspunkte höherer Multiplicität entstehen durch
Zusammenrücken einfacher Verzweigungspuncte, wie dieses betreffs der
entsprechenden Kreuzungspuncte bereits in §. 1 erläutert wurde (vergl.
Figur (2) und (3) daselbst). Zu jeder dieser Flächen gehören, wie wir
wissen, algebraische Functionen. _Die Anzahl der Moduln ist daher
_[formula]_._
Bemerken wir hierzu, dass die Gesammtheit der _m_-blättrigen Flächen mit
_w_ Verzweigungspuncten ein _Continuum_ bildet(38), wie das Entsprechende
betreffs der auf gegebener Fläche existirenden eindeutigen Functionen mit
_m_ Unendlichkeitspuncten bereits in §. 13 hervorgehoben wurde. Wir
schliessen dann, _dass die algebraischen Gleichungen eines gegebenen __p__
ebenfalls eine einzige zusammenhängende Mannigfaltigkeit constituiren_
(wobei wir alle Gleichungen, die aus einander durch eindeutige
Transformation hervorgehen, als ein Individuum erachten). Hierdurch erst
gewinnt die angegebene Zahl der Moduln ihre präcise Bedeutung: _sie ist
die Zahl der Dimensionen dieser zusammenhängenden Mannigfaltigkeit_.
Es kommt jetzt noch darauf an, die Zahl [formula] zu bestimmen. Diess
geschieht durch folgende Sätze:
1. _Jede Gleichung _[formula]_ kann _[formula]_ mal eindeutig in sich,
selbst transformirt werden_. Denn auf der zugehörigen Riemann’schen Fläche
existiren eindeutige Functionen mit nur je einem Unendlichkeitspunct in
dreifach unendlicher Zahl (§. 13), von denen man, um eine eindeutige
Transformation der Fläche in sich zu haben, nur irgend zwei entsprechend
zu setzen hat.--Des Näheren stellt sich die Sache so. Heisst eine der
genannten Functionen _z_, so sind alle anderen (nach §. 16) algebraische
eindeutige, d. h. rationale Functionen von _z_, und, da das Verhältniss
umkehrbar sein muss, _lineare_ Functionen von _z_. Umgekehrt ist auch jede
lineare Function von _z_ eine eindeutige Function des Ortes in unserer
Fläche, mit nur einem Unendlichkeitspuncte. Daher wird man die
allgemeinste eindeutige Transformation der Gleichung in sich bekommen,
wenn man jedem Puncte _z_ der Riemann’schen Fläche einen anderen durch die
Formel zuordnet:
[formula]
unter [formula] beliebige Constante verstanden.
2) _Jede Gleichung _[formula]_ kann einfach unendlich oft eindeutig in
sich transformirt werden_. Zum Beweise betrachte man das zugehörige
überall endliche Integral _W_ und insbesondere die Abbildung, welche von
der zweckmässig zerschnittenen Riemann’schen Fläche in der Ebene _W_
entworfen wird. Wir haben dies in einem besonderen Falle bereits gethan
(§. 15, Figur (38)); eine genaue Ausführung im allgemeinen Falle wird um
so weniger nöthig sein, als es sich um Betrachtungen handelt, die in der
Theorie der elliptischen Functionen ausführlich entwickelt zu werden
pflegen. Das Resultat ist, dass zu jedem Werthe von _W_ _ein_ Punct und
nur ein Punct der betreffenden Riemann’schen Fläche gehört, während sich
die unendlich vielen Werthe von _W_, die demselben Punkte der
Riemann’schen Fläche entsprechen, aus einem derselben in der Form
zusammensetzen: [formula], unter [formula], [formula] beliebige ganze
Zahlen, unter [formula], [formula] die beiden Perioden des Integrals
verstanden. Bei eindeutiger Umformung wird jedem Puncte _W_ ein Punct
[formula] in der Weise zugeordnet werden müssen, dass jeder Vermehrung von
_W_ um Perioden eine solche von [formula] entspricht, und umgekehrt. Diess
gelingt in der That, aber im Allgemeinen nur in der Weise, dass man
[formula]
setzt. Nur im besonderen Falle (wenn das Periodenverhältniss [formula]
bestimmte zahlentheoretische Eigenschaften hat) kann [formula] auch gleich
[formula], oder [formula] gesetzt werden (unter [formula] eine dritte
Einheitswurzel verstanden)(39). Wie dem auch sei, wir haben in jedem Falle
in den Transformationsformeln nur eine willkürliche Constante und also den
wechselnden Werthen derselben entsprechend in der That einfach unendlich
viele Transformationen, wie behauptet wurde.
3) _Gleichungen _[formula]_ können niemals unendlich oft eindeutig in sich
transformirt werden._(_40_)
Ich verweise, was den analytischen Beweis dieser Behauptung angeht, auf
die Darstellungen von _Schwarz_ (Borchardt’s Journal Bd. 87) und _Hettner_
(Göttinger Nachrichten, 1880, p. 386). Auf anschauungsmässigem Wege kann
man sich die Richtigkeit der Behauptung folgendermassen verständlich
machen. Sollte es unendlich viele eindeutige Transformationen der
Gleichung in sich geben, so müsste es möglich sein, die zugehörige
Riemann’sche Fläche derart continuirlich über sich hin zu _verschieben_,
dass jede kleinste Figur mit sich selbst ähnlich bleibt. Die Curven, längs
deren eine solche Verschiebung vor sich ginge, müssten die Fläche
jedenfalls vollständig und zugleich einfach überdecken. Ein
_Kreuzungspunct_ dürfte in diesem Curvensysteme offenbar nicht vorhanden
sein. Man müsste einen solchen Punct nämlich, damit keine Vieldeutigkeit
der Transformation eintritt, als festbleibenden Punct betrachten und also
die Geschwindigkeit der Verschiebung in ihm gleich Null setzen. Dann aber
würde eine kleine Figur, welche bei der Verschiebung auf den
Kreuzungspunct zu rückt, im Sinne der Bewegung nothwendig
zusammengedrückt, senkrecht dazu auseinandergezogen werden; sie könnte
also nicht mit sich selbst ähnlich bleiben, wie es doch durch den Begriff
der conformen Abbildung verlangt wird.--Andererseits müssen aber in jedem
Curvensysteme, das eine Fläche [formula] vollständig und einfach
überdeckt, nothwendig Kreuzungspuncte vorhanden sein. Diess ist derselbe
Satz, den wir, in etwas weniger allgemeiner Form, in §. 11 aufgestellt
haben.--Die ganze Verschiebung der Fläche in sich ist also unmöglich, was
zu beweisen war.
Nach diesen Sätzen ist [formula] für [formula], gleich 1 für [formula],
und gleich Null für alle grösseren _p_. _Die Zahl der Moduln ist also für
_[formula]_ gleich Null, für _[formula]_ gleich Eins, für grössere __p__
gleich _[formula].
Es wird gut sein, noch folgende Bemerkungen hinzuzufügen. Um den Punct
eines Raumes von [formula] Dimensionen zu bestimmen, wird man im
Allgemeinen mit [formula] Grössen nicht ausreichen: man wird mehr Grössen
benöthigen, zwischen denen dann algebraische (oder auch transcendente)
Relationen bestehen. Ausserdem mag es aber auch sein, dass man
zweckmässigerweise Bestimmungsstücke einführt, von denen jedesmal
verschiedene Serien denselben Punct der Mannigfaltigkeit bezeichnen.
Welche Verhältnisse bei den [formula] Moduln, die bei [formula] existiren
müssen, in dieser Hinsicht vorliegen, ist nur erst wenig erforscht.
Dagegen ist der Fall [formula] aus der Theorie der elliptischen Functionen
genau bekannt. Ich erwähne die auf ihn bezüglichen Resultate, um mich im
Folgenden bei aller Kürze doch präcise ausdrücken zu können. Sei vor allen
Dingen hervorgehoben, dass für [formula] das algebraische Individuum (um
diesen oben gebrauchten Ausdruck noch einmal zu verwenden) in der That
durch eine (und nur eine) Grösse charakterisirt werden kann: _die absolute
Invariante_ [formula](41). Wenn im Folgenden gesagt wird, dass zur
Ueberführbarkeit zweier Gleichungen [formula] in einander die Gleichheit
des Moduls nicht nur hinreichend, sondern auch erforderlich sei, so ist
stets an die Invariante _J_ gedacht. Statt ihrer verwendet man, wie
bekannt, gewöhnlich das _Legendre_’sche [formula], welches bei gegebenem
_J_ sechswerthig ist, so dass bei der Formulirung allgemeiner Sätze eine
gewisse Schwerfälligkeit unvermeidbar scheint. In noch höherem Maasse ist
dies der Fall, wenn man das Periodenverhältniss [formula] des elliptischen
Integrals erster Gattung, wie dies in anderer Beziehung vielfach
zweckmässig ist, als Modul einführt. Jedesmal unendlich viele Werthe des
Moduls bezeichnen dann dasselbe algebraische Individuum.
§. 20. Conforme Abbildung geschlossener Flächen auf sich selbst.
In den nun noch folgenden Paragraphen mögen die entwickelten Principien,
wie in Aussicht gestellt, nach der geometrischen Seite verfolgt werden, um
wenigstens die Grundzüge für eine Theorie _der conformen Abbildung_ von
Flächen auf einander zu gewinnen(42) und so den Andeutungen zu
entsprechen, mit denen Riemann, wie bereits in der Vorrede bemerkt, seine
Dissertation abschloss. Ich werde mich dabei, was die Fälle [formula] und
[formula] angeht, um nicht zu weitläufig zu werden, vielfach auf eine
blosse Angabe der Resultate oder eine Andeutung ihres Beweises beschränken
müssen.
Indem wir uns zuvörderst nach conformen Abbildungen einer geschlossenen
Fläche auf sich selbst fragen, haben wir eine Unterscheidung einzuführen,
von der bislang noch nicht die Rede war: _die Abbildung kann ohne Umlegung
der Winkel geschehen oder mit Umlegung derselben_. Wir haben eine
Abbildung der einen Art, wenn wir eine Kugel durch Drehung um den
Mittelpunct mit sich selbst zur Deckung bringen; wir bekommen die zweite
Art, wenn wir zu demselben Zwecke eine Spiegelung an einer Diametralebene
verwenden. Die analytische Behandlung, wie wir sie bisher benutzten,
entspricht nur den Abbildungen der ersten Art. Sind [formula] und
[formula] zwei complexe Functionen des Ortes auf derselben Fläche, so
liefert [formula], [formula] die allgemeinste Abbildung erster Art (vergl.
§. 6). Aber es ist leicht zu sehen, wie man die Erweiterung zu treffen
hat, um auch Abbildungen zweiter Art zu umfassen. _Man hat einfach
_[formula]_, _[formula]_ zu setzen, um eine Abbildung zweiter Art zu
haben_.
Entnehmen wir zunächst den Entwickelungen des vorigen Paragraphen, was
sich auf Abbildung der ersten Art bezieht. Indem wir uns möglichst
geometrischer Ausdrucksweise bedienen, formuliren wir die folgenden
Theoreme:
_Flächen _[formula]_ oder _[formula]_ können immer, Flächen _[formula]_
niemals unendlich oft durch Abbildung der ersten Art in sich übergeführt
werden._
_Bei den Flächen _[formula]_ ist die einzelne Abbildung der ersten Art
bestimmt, wenn man drei beliebige Puncte der Fläche drei beliebigen
Puncten derselben zugeordnet hat._
_Ist _[formula]_, so darf man einen beliebigen Punct der Fläche einem
zweiten nach Willkür zuweisen, und hat dann noch zur Bestimmung der
Abbildung erster Art im Allgemeinen eine zweifache, im besonderen Falle
eine vierfache oder sechsfache Möglichkeit._
Mit diesen Sätzen ist natürlich nicht ausgeschlossen, dass besondere
Flächen [formula] durch _getrennte_ Transformationen der ersten Art in
sich übergehen mögen. Tritt diess ein, so bildet es eine bei beliebiger
conformen Umänderung der Fläche invariante Eigenschaft, nach deren
Vorhandensein und Modalität besonders interessante Flächenclassen aus der
Gesammtheit der übrigen herausgehoben werden können.(43) Doch verfolgen
wir hier diesen Gesichtspunct nicht weiter.
Betreffs der Transformationen zweiter Art mögen wir voranstellen, _dass
jede Transformation der zweiten Art in Verbindung mit einer solchen der
ersten Art eine neue Transformation der zweiten Art ergibt_. Nun kennen
wir bei den Flächen [formula] und [formula] die Transformationen erster
Art auf Grund der angegebenen Sätze vollständig. Es wird bei ihnen also
genügen, zu untersuchen, ob überhaupt _eine_ Transformation der zweiten
Art existirt. _Bei den Flächen _[formula]_ ist diess sofort zu bejahen_.
Denn es genügt, eine beliebige der eindeutigen Functionen des Ortes mit
nur einem Unendlichkeitspuncte, [formula], herauszugreifen, und dann
[formula], [formula] zu setzen. Bei den Flächen [formula] ist die Sache
anders. _Man findet, dass im Allgemeinen keine Transformation der zweiten
Art existirt_. Zum Beweise ist es am einfachsten, die Werthe in Betracht
zu ziehen, welche das überall endliche Integral _W_ auf der Fläche
[formula] annimmt. Man denke sich in der Ebene _W_ die Puncte [formula]
markirt, unter [formula] wie oben beliebige positive oder negative ganze
Zahlen verstanden. Man zeigt dann leicht, dass eine Transformation der
zweiten Art der Fläche [formula] in sich nur dann möglich ist, wenn dieses
Punctsystem eine Symmetrieaxe besitzt. Es ist diess gerade _der_ Fall, in
welchem die oben definirte absolute Invariante _J_ einen _reellen_ Werth
aufweist. Je nachdem dabei [formula] oder [formula], können jene Puncte in
der _W_-Ebene als die Ecken eines _rhombischen_ oder eines _rechteckigen_
Systems betrachtet werden.
Sei nun [formula]. Wenn für eine solche Fläche eine Transformation der
zweiten Art existirt, so wird dieselbe im Allgemeinen von keiner weiteren
Transformation derselben Art begleitet sein(44). Denn sonst würde die
Wiederholung oder Combination dieser Transformationen eine von der
Identität verschiedene Transformation der ersten Art liefern. Die
Transformation muss daher nothwendig eine _symmetrische_ sein, d. h. eine
solche, welche die Puncte der Fläche _paarweise_ zusammenordnet. Ich will
dementsprechend die Fläche selbst eine _symmetrische_ nennen.
Uebrigens mögen hinterher unter diesem Namen überhaupt alle Flächen mit
einbegriffen sein, welche Transformationen zweiter Art in sich zulassen,
die zweimal angewandt zur Identität zurückführen. Es gehören dahin, wie
man sofort sieht, die Flächen [formula], sowie auch sämmtliche Flächen
[formula] mit reeller Invariante.
§. 21. Besondere Betrachtung der symmetrischen Flächen.
Für die symmetrischen Flächen, auf die wir hier unser besonderes Augenmerk
richten wollen, ergibt sich sofort eine Eintheilung nach der Zahl und Art
der auf ihr befindlichen _Uebergangscurven_, d. h. derjenigen Curven,
deren Puncte bei der in Betracht kommenden symmetrischen Umformung
ungeändert bleiben.
_Die Zahl dieser Curven kann jedenfalls nicht grösser sein, als
_[formula]. Denn wenn man eine Fläche längs aller ihrer Uebergangscurven
mit Ausnahme einer einzigen zerschneidet, so bildet sie, indem ihre
symmetrischen Hälften noch immer in der einen Uebergangscurve
zusammenhängen, nach wie vor ein ungetrenntes Ganze. Es würden sich also,
wenn mehr als [formula] Uebergangscurven vorhanden wären, auf der Fläche
mehr als _p_ nicht zerstückende Rückkehrschnitte ausführen lassen, was ein
Widerspruch gegen die Definition der Zahl _p_ ist.
_Dagegen ist unterhalb dieser Gränze jede Zahl von Uebergangscurven
möglich_. Es mag hier genügen, in diesem Sinne die Fälle [formula] und
[formula] zu discutiren; für die höheren _p_ ergeben sich dann von selbst
naheliegen de Beispiele.
1) Wenn wir eine Kugel durch Spiegelung an einer Diametralebene mit sich
zur Deckung bringen, so bildet der grösste Kreis, in welchem sie von der
Diametralebene geschnitten wird, eine Uebergangscurve. Wir erhalten eine
Zuordnung der anderen Art indem wir je zwei solche Puncte der Kugel
entsprechend setzen, welche die Endpuncte eines Durchmessers bilden. Beide
Beispiele sind leicht zu generalisiren. Die analytische Darstellung ist
diese. Wenn eine Uebergangscurve existirt, so gibt es eindeutige
Functionen des Ortes mit nur einem Unendlichkeitspuncte, die auf der
Uebergangscurve reelle Werthe annehmen. Heisst eine derselben [formula],
so ist die Umformung, wie oben schon als Beispiel angegeben, durch
[formula], [formula] gegeben.--Im zweiten Falle kann man eine Function
[formula] so wählen, dass ihre Werthe [formula] und _0_, sowie [formula]
und [formula] zusammengeordnete Puncte vorstellen. Dann ist
[formula]
die analytische Formel der betreffenden Umänderung.
2) Im Falle [formula] müssen wir die Invariante _J_, wie wir wissen,
jedenfalls reell nehmen. Sei dieselbe zunächst [formula]. Dann können wir
das zugehörige überall endliche Integral _W_ (durch Zufügung eines
geigneten constanten Factors) so normiren, dass die eine Periode _reell_,
gleich _a_, die andere _rein imaginär_, gleich [formula], wird. Setzen wir
dann (für [formula]):
[formula]
so haben wir eine symmetrische Umformung der Fläche [formula] mit den
_zwei_ Uebergangscurven:
[formula]
schreiben wir dagegen:
[formula]
was wieder eine symmetrische Umformung unserer Fläche ist, so haben wir
den Fall, in welchem _keine_ Uebergangscurve entsteht.--Der Fall mit nur
_einer_ Uebergangscurve tritt ein, wenn wir [formula] nehmen. Wir können
dann _W_ so wählen, dass seine beiden Perioden conjugirt complex werden.
Wir schreiben dann wieder
[formula]
und haben eine symmetrische Umformung mit der einen Uebergangscurve
[formula].
Neben die hiermit erläuterte erste Unterscheidung der symmetrischen
Flächen nach der _Zahl_ der Uebergangscurven stellt sich aber noch eine
zweite. Ich will die Fälle von _0_ oder [formula] Uebergangscurven einen
Augenblick ausschliessen. Dann bietet sich von vorneherein eine doppelte
Möglichkeit. _Eine Zerschneidung der Fläche längs sämmtlicher
Uebergangscurven mag nämlich entweder ein Zerfallen der Fläche
herbeiführen, oder nicht._ Es sei [formula] die Zahl der Uebergangscurven.
Man zeigt dann leicht, dass [formula] ungerade sein muss, wenn ein
Zerfallen eintreten soll. Eine weitere Beschränkung existirt nicht, wie
man an Beispielen beweist. Wir wollen dementsprechend symmetrische Flächen
_der einen und der andern Art_ unterscheiden und den ersteren (den
zerfallenden) Flächen die Fläche mit [formula] Uebergangscurven, den
letzteren die Fläche ohne Uebergangscurve zurechnen.
Diese Sätze besitzen eine gewisse Analogie mit den Resultaten, welche in
der analytischen Geometrie die gestaltliche Untersuchung der Curven von
gegebenen _p_ erzielt hat.(45) Und in der That zeigt sich, dass diese
Analogie eine begründete ist. Die analytische Geometrie beschäftigt sich
bei jenen Untersuchungen (zunächst) nur mit solchen Gleichungen
[formula]
welche reelle Coefficienten besitzen. Beachten wir zunächst, dass jede
solche Gleichung über der _z_-Ebene in der That eine symmetrische
Riemann’sche Fläche bestimmt, insofern ja die Gleichung und also auch die
Fläche ungeändert bestehen bleibt, wenn man _w_ und _z_ gleichzeitig durch
ihre conjugirten Werthe ersetzt--und dass die Uebergangscurven auf dieser
Fläche den _reellen_ Werthereihen von _w_ und _z_ entsprechen, welche
[formula] befriedigen, d. h. genau den verschiedenen Zügen, welche die
Curve [formula] im Sinne der analytischen Geometrie aufweist.
Aber auch der Rückschluss ist leicht zu machen. Sei eine symmetrische
Fläche und auf ihr eine beliebige complexe Function des Ortes, [formula],
gegeben. Bei der symmetrischen Umformung erfährt unsere Fläche _eine
Umlegung der Winkel_. Wenn man also jedem Puncte der Fläche solche Werthe
[formula], [formula] beilegt, wie sie, unter der Benennung _u_, _v_, sein
symmetrischer Punct aufweist, so wird [formula] eine neue complexe
Function des Ortes sein. Man bilde nun:
[formula]
so hat man einen Ausdruck, der im allgemeinen nicht identisch
verschwindet; es genügt zu dem Zwecke, die Unendlichkeitspuncte von
[formula] in unsymmetrischer Weise anzunehmen. _Man hat also eine complexe
Function des Ortes, welche in symmetrisch gelegenen Puncten gleiche reelle
aber entgegengesetzt gleiche imaginäre Werthe aufweist._--Solcher
[formula] mögen nun irgend zwei: _W_ und _Z_, die überdiess _eindeutige_
Functionen des Ortes sein sollen, herausgegriffen werden. Die zwischen
diesen bestehende algebraische Gleichung hat dann die Eigenschaft,
ungeändert zu bleiben, wenn man _W_ und _Z_ gleichzeitig durch ihre
conjugirten Werthe ersetzt. _Sie ist also eine Gleichung mit reellen
Coefficienten,_ womit der geforderte Beweis in der That erbracht ist.
Ich knüpfe an diese Ueberlegungen noch Bemerkungen üher die _reellen_
eindeutigen Transformationen _reeller_ Gleichungen [formula] in sich,
oder, was dasselbe ist, über solche conforme Abbildungen erster Art
symmetrischer Flächen auf sich selbst, bei denen symmetrische Puncte
wieder in symmetrische Puncte übergehen. In unendlicher Zahl können solche
Transformationen nach dem allgemeinen Satze des §. 19 nur für [formula]
und [formula] auftreten; wir beschränken uns also auf diese Fälle. Nehmen
wir zuvörderst [formula]. Dann sehen wir sofort, dass unter den früher
aufgestellten Transformationen nur noch diejenigen
[formula]
in Betracht kommen, _bei denen_ _C_ _eine reelle Constante bedeutet._
Analog in dem ersten Falle [formula]. Die Beziehung [formula] bleibt
ungeändert, wenn man [formula] und [formula] gleichzeitig derselben
linearen Transformation:
[formula]
unterwirft, _wo die Verhältnissgrössen _[formula]_ reell sind_. In dem
zweiten Falle [formula] ist die Sache etwas complicirter. _Auch bei ihm
sind lineare Transformationen mit drei reellen Parametern möglich._
Dieselben nehmen aber für das oben eingeführte _z_ die folgende Gestalt
an:
[formula]
wo [formula] die drei reellen Parameter vorstellen. Dieses Resultat ist
implicite in den Untersuchungen enthalten, die sich auf die analytische
Repräsentation der Drehungen der [formula]-Kugel um ihren Mittelpunct
beziehen.(46)
§ 22. Conforme Abbildung verschiedener Flächen auf einander.
Wenn es sich jetzt darum handelt, verschiedene geschlossene Flächen auf
einander abzubilden, so liefern die vorausgeschickten Untersuchungen über
die conforme Abbildung geschlossener Flächen auf sich selbst die nöthigen
Nebenbestimmungen, welche angeben, wie oft sich eine solche Abbildung
gestaltet, sofern eine solche überhaupt möglich ist. Flächen, welche sich
conform aufeinander abbilden lassen, besitzen jedenfalls (wie schon
hervorgehoben) übereinstimmende Transformationen in sich selbst. Man
erhält also alle Abbildungen der einen Fläche auf die zweite, wenn man
eine beliebige Abbildung mit allen solchen verbindet, welche _eine_ der
beiden Flächen in sich selbst überführen. Ich werde hierauf nicht weiter
zurückkommen.
Betrachten wir nun zuvörderst allgemeine, d. h. nicht symmetrische
Flächen. Dann treten die Abzählungen des §. 19 betreffs der Moduln
algebraischer Gleichungen unmittelbar in Geltung. Wir haben zunächst:
_Flächen _[formula]_ lassen sich immer conform auf einander abbilden;_ und
finden übrigens, dass die Flächen [formula] _einen_, die Flächen [formula]
[formula] bei conformer Abbildung unzerstörbare Moduln besitzen. Jeder
solche Modul ist im Allgemeinen eine _complexe_ Constante. Dem Umstande
entsprechend, dass bei symmetrischen Flächen reelle Parameter in Betracht
gezogen werden müssen, wollen wir ihn in seinen reellen und seinen
imaginären Bestandtheil zerlegt denken. Dann haben wir:
_Sollen zwei Flächen _[formula]_ auf einander abbildbar sein, so sind im
Falle _[formula]_ zwei, im Falle _[formula]_ _[formula]_ Gleichungen
zwischen den reellen Constanten der Flächen zu erfüllen._
Indem wir uns jetzt zu den _symmetrischen_ Flächen wenden, haben wir noch
eine kleine Zwischenbetrachtung zu machen. Zunächst ist ersichtlich, dass
zwei solche Flächen nur dann "symmetrisch’’ auf einander bezogen werden
können, wenn sie neben dem gleichen _p_ dieselbe Zahl [formula] der
Uebergangscurven darbieten und überdiess beide entweder der ersten oder
der zweiten Art angehören. Im Uebrigen wiederhole man speciell für die
symmetrischen Flächen die Abzählungen des §. 13 betreffs der Zahl der in
eindeutigen Functionen enthaltenen Constanten unter der Bedingung, dass
nur solche Functionen in Betracht gezogen werden, welche an symmetrischen
Stellen conjugirt imaginäre Werthe aufweisen. Hiermit combinire man sodann
nach dem Muster des §. 19 die Zahl solcher über der _Z_-Ebene
construirbarer mehrblättriger Flächen, welche in Bezug auf die Axe der
reellen Zahlen symmetrisch sind. Ich will dabei, um das Auftreten
unendlich vieler Transformationen in sich zu vermeiden, zuvörderst
annehmen, dass [formula] sei. Die Sache ist dann so einfach, dass ich sie
nicht speciell durchzuführen brauche. Der Unterschied ist nur, dass die in
Betracht kommenden, früher unbeschränkten Constanten nunmehr gezwungen
sind, entweder _einzeln reell_ oder _paarweise conjugirt complex_ zu sein.
In Folge dessen reduciren sich alle Willkürlichkeiten auf die Hälfte. Wir
mögen folgendermassen sagen:
_Zur Abbildbarkeit zweier symmetrischer Flächen _[formula]_ auf einander
ist neben der Uebereinstimmung in den Attributen das Bestehen von
_[formula]_ Gleichungen zwischen den reellen Constanten der Fläche
erforderlich._
Die Fälle [formula] und [formula], welche hierbei ausgeschlossen wurden,
sind implicite bereits im vorigen Paragraphen erledigt. Selbstverständlich
müssen zwei symmetrische Flächen [formula], die sich auf einander sollen
abbilden lassen, die gleiche Invariante _J_ besitzen, was _eine_ Bedingung
für die Constanten der Flächen abgibt, insofern _J_ jedenfalls reell ist.
Im Uebrigen aber findet man sofort, dass die Abbildung sich allemal
ermöglicht, sobald die symmetrischen Flächen, wie dies selbstverständlich
verlangt werden muss, _in der Zahl der Uebergangscurven_ übereinstimmen.
§. 23. Berandete Flächen und Doppelflächen.
Auf Grund der nunmehr gewonnenen Resultate können wir den bisherigen
Untersuchungen über die Abbildung _geschlossener_ Flächen eine scheinbar
bedeutende Verallgemeinerung zu Theil werden lassen, und habe ich eben
desshalb die symmetrischen Flächen so ausführlich betrachtet. Wir können
jetzt nämlich _berandete_ Flächen und _Doppelflächen_ in Betracht ziehen
(mögen nun letztere berandet sein, oder nicht) und mit einem Schlage die
auf sie bezüglichen Fragen erledigen. Hierzu gehört, was die Einführung
der Randcurven angeht, dass wir uns von einer gewissen Beschränkung
befreien, welche wir bisher, allerdings nur implicite, vorausgesetzt
haben. Wir dachten uns die Flächen, auf denen wir operirten, bislang
durchweg als stetig gekrümmt, oder doch nur in einzelnen Puncten (den
Verzweigungspuncten) mit Unstetigkeiten behaftet. Aber nichts hindert uns,
jetzt hinterher auch andere Unstetigkeiten zuzulassen. Wir werden uns z.
B. vorstellen dürfen, dass unsere Fläche aus einer endlichen Anzahl
verschiedener (im Allgemeinen selbst gekrümmter) Stücke, welche unter
endlichen Winkeln zusammenstossen, polyederartig zusammengesetzt sei.
Können wir uns doch auf einer solchen Fläche ebensogut elektrische Ströme
verlaufend denken, wie auf einer stetig gekrümmten! Unter diese Flächen
nun lassen sich die berandeten Flächen subsumiren.(47) _Man fasse nämlich
die beiden Seiten der berandeten Fläche als Polyederflächen auf, welche
längs der Randcurve (also durchweg unter einem Winkel von 360 Grad)
zusammenstossen und behandele nunmehr statt der ursprünglichen berandeten
Fläche die aus beiden Seiten zusammengesetzte Gesammtfläche._(48) Diese
Gesammtfläche ist dann in der That eine geschlossene Fläche. Sie ist aber
überdiess eine _symmetrische_ Fläche. Denn wenn man die
übereinanderliegenden Puncte der beiden Flächenseiten vertauscht, so
erfährt die Gesammtfläche eine conforme Abbildung auf sich selbst mit
Umlegung der Winkel. Die Randcurven sind dabei die Uebergangscurven.
_Zugleich aber gewinnt unsere Eintheilung der symmetrischen Flächen in
zweierlei Arten eine wichtige und durchschlagende Bedeutung._ Die
gewöhnlichen berandeten Flächen, bei denen man zwei Flächenseiten
unterscheiden kann, entsprechen offenbar der ersten Art. Der zweiten Art
aber correspondiren die _Doppelflächen_, bei denen man von einer
Flächenseite durch continuirliches Fortschreiten über die Fläche hin zur
anderen gelangen kann. Auch der Fall ist nicht auszuschliessen (wie
bereits angedeutet), dass die Doppelfläche überhaupt keine Randcurve
besitzen mag. _Wir haben dann eine symmetrische Fläche ohne
Uebergangscurve vor uns._
Ich betrachte nunmehr der Reihe nach die verschiedenen
auseinanderzuhaltenden Fälle.
1) _Sei zuvörderst eine einfach berandete, einfach zusammenhängende Fläche
gegeben._ Eine solche Fläche erscheint für uns als eine geschlossene
Fläche [formula], welche unter Auftreten einer Uebergangscurve symmetrisch
auf sich selbst bezogen ist. Wir finden also, _dass zwei solche Flächen
sich allemal durch Abbildung der einen oder der anderen Art conform__ auf
einander beziehen lassen, und dass man dabei in jedem der beiden Fälle
noch drei reelle Constanten zur willkürlichen Verfügung hat._ Wir können
die letzteren insbesondere dazu benutzen, um einen beliebigen inneren
Punct der einen Fläche einem entsprechend gelegenen Puncte der anderen
Fläche zuzuweisen und überdiess einen beliebigen Randpunct der einen
Fläche einem beliebigen Randpuncte der anderen. Diese Bestimmungsweise
entspricht dem bekannten Satze, den Riemann betreffs der conformen
Abbildung einer einfach berandeten, einfach zusammenhängenden, _ebenen_
Fläche auf die Fläche eines Kreises gegeben und in Nro. 21 seiner
Dissertation als Beispiel für die Anwendung seiner Theorie auf Probleme
der conformen Abbildung ausführlich erläutert hat.
2) _Wir betrachten ferner Doppelflächen _[formula]_ (ohne Randcurven)._
Aus §§. 21, 22 folgt sofort, dass zwei solche Flächen allemal conform auf
einander bezogen werden können, und man dabei, den Schlussformeln des §.
21 entsprechend, noch drei reelle Constanten zu beliebiger Verfügung hat.
3) _Die verschiedenen hier in Betracht kommenden Fälle, welche eine
Gesammtfläche _[formula]_ ergeben, betrachten wir gemeinsam._ Es gehören
dahin zunächst die _zweifach berandeten, zweifach zusammenhängenden_
Flächen, also Flächen, die wir uns im einfachsten Falle als geschlossene
_Bänder_ vorstellen dürfen. Es gehören dahin ferner _die bekannten
Doppelflächen mit nur einer Randcurve_, die man erhält, wenn man die
beiden schmalen Seiten eines rechteckigen Papierstreifens zusammenbiegt,
nachdem man den Streifen um 180 Grad tordirt hat. Es gehören endlich dahin
_gewisse unberandete Doppelflächen_. Man kann sich von denselben ein Bild
machen, indem man etwa ein Stück eines Kautschukschlauches umstülpt und
nun so sich selbst durchdringen lässt, dass bei Zusammenbiegung der Enden
die Aussenseite mit der Innenseite zusammenkommt. Bezüglich aller dieser
Flächen besagen die früheren Sätze, dass die Abbildbarkeit der einzelnen
Fläche auf eine zweite derselben Art das Bestehen _einer_ aber nur einer
Gleichung zwischen den reellen Constanten der Flächen voraussetzt, dass
aber die Abbildung, wenn überhaupt, in unendlich vielen Weisen geschehen
kann, indem man ein doppeltes Vorzeichen und eine reelle Constante zu
beliebiger Verfügung hat.
4) _Wir nehmen nunmehr den allgemeinen Fall einer zweiseitigen Fläche._
Die Fläche soll [formula] Randkurven besitzen und überdiess [formula]
nicht zerstückende Rückkehrschnitte zulassen, wobei entweder [formula]
sein muss oder [formula]. Dann wird die aus Vorder- und Rückseite
gebildete Gesammtfläche [formula] nicht zerstückende Rückkehrschnitte
zulassen. Denn man kann erstens die [formula] nach Voraussetzung auf der
einfachen Flächenseite möglichen Rückkehrschnitte jetzt doppelt benutzen
(sowohl auf der Vorderseite, als der Rückseite), man kann ferner noch
längs [formula] der vorhandenen Randcurven Schnitte anbringen, ohne dass
die Gesammtfläche aufhörte, ein einziges zusammenhängendes Flächenstück zu
bilden. Wir werden also in den Sätzen des vorigen Paragraphen [formula]
setzen und haben:
_Zwei Flächen der betrachteten Art lassen sich, wenn überhaupt, nur auf
eine endliche Anzahl von Weisen auf einander abbilden. Die Abbildbarkeit
hängt von _[formula]_ Gleichungen zwischen den reellen Constanten der
Flächen ab._
5) _Wir haben endlich den allgemeinen Fall der Doppelfläche_ mit [formula]
Randcurven und _P_ auf der doppelt gedachten Fläche neben den Randcurven
möglichen Rückkehrschnitten. Indem wir die drei unter 2) und 3)
betrachteten Möglichkeiten ([formula], [formula] oder _1_, und [formula],
[formula]) bei Seite lassen, erhalten wir denselben Satz, wie unter 4),
nur dass überall statt [formula] die Summe [formula] zu schreiben ist, wo
_P_ nach Belieben eine gerade oder ungerade Zahl sein kann. _Insbesondere
beträgt die Zahl der reellen Constanten einer Doppelfläche, die bei
beliebiger conformer Abbildung ungeändert bleiben, _[formula]_._--
Unter die hiermit gewonnenen Resultate subsumiren sich die allgemeinen
Theoreme und Entwickelungen, welche Herr _Schottky_ in seiner wiederholt
citirten Abhandlung gegeben hat, als specielle Fälle.
§. 24. Schlussbemerkung.
Die Entwickelungen des nunmehr zu Ende geführten letzten Abschnitt’s
dieser Schrift sollten, wie wiederholt gesagt, den Andeutungen
entsprechen, mit denen Riemann seine Dissertation abschloss. Allerdings
haben wir uns auf _eindeutige_ Beziehung zweier Flächen durch conforme
Abbildung beschränkt. Riemann hat, wie er ausspricht, ebensowohl an
mehrdeutige Beziehung gedacht. Man würde sich dementsprechend jede der
beiden in Vergleich kommenden Flächen mit mehreren Blättern überdeckt
vorstellen müssen und erst die so entstehenden mehrblättrigen Flächen
conform eindeutig zu beziehen haben. Die Verzweigungspuncte, welche diese
mehrblättrigen Flächen besitzen mögen, würden ebensoviele neue, zur
Disposition stehende complexe Constante abgeben.--Hierzu ist zu bemerken,
dass wir wenigstens _einen_ Fall einer solchen Beziehung bereits
ausführlich in Betracht gezogen haben. Indem wir eine beliebige Fläche
mehrblättrig über die Ebene ausbreiteten (§. 15), haben wir zwischen
Fläche und Ebene eine Beziehung hergestellt, die von der einen Seite
mehrdeutig ist. Es ist dann weiter hervorzuheben, dass eben dieser
specielle Fall auch zwei beliebige Flächen mehrdeutig auf einander
beziehen lässt. Denn sind erst die beiden Flächen auf die Ebene
abgebildet, so sind sie, durch Vermittelung der Ebene, auch auf einander
bezogen.--Mit diesen Bemerkungen ist die Frage nach der mehrdeutigen
Abbildung natürlich keineswegs erschöpft. Aber es ist doch eine Grundlage
zu ihrer Behandlung gewonnen, indem gezeigt ist, wie sie sich in die
übrigen functionentheoretischen Speculationen Riemann’s, von denen wir
hier Rechenschaft zu geben hatten, einfügt.