[formula]
mit constanten Coëfficienten bestünde, so würde dieselbe die folgenden
Relationen begründen:
[formula]
aus denen vermöge der angegebenen Beziehungen das widersinnige Resultat
[formula]
folgen würde.
Es sei nun ferner [formula] von [formula] und [formula] linear unabhängig.
Dann nehmen wir das zugehörige [formula] und haben dann den allgemeineren
Satz:
_Die vier Functionen _[formula]_ sind ebenfalls linear unabhängig._
In der That könnte man aus jeder linearen Relation:
[formula]
durch Benutzung der zwischen den [formula] bestehenden Beziehungen die
folgenden Gleichungen ableiten:
[formula]
aus denen durch Integration eine lineare Abhängigkeit zwischen [formula]
folgen würde.--
So vorwärts schliessend bekommt man endlich [formula] linear unabhängige
Potentiale:
[formula]
wo jedes _v_ mit dem gleichbezeichneten _u_ zusammengehört. Wir setzen
[formula] und nennen nunmehr überall endliche Functionen [formula] linear
unabhängig, wenn zwischen ihnen keinerlei Relation:
[formula]
besteht, unter [formula] beliebige complexe Constanten verstanden. Dann
haben wir sofort:
_Die __p__ überall endlichen Functionen_
[formula]
_sind linear unabhängig._
Wenn nämlich eine lineare Abhängigkeit bestünde, so könnte man in ihr das
Reelle und Imaginäre sondern und erhielte dadurch lineare Beziehungen
zwischen den _u_ und _v_.
Des Weiteren aber folgt: _Jede beliebige überall endliche Function setzt
sich aus unseren _[formula]_ in der Form zusammen:_
[formula]
In der That können wir durch geeignete Wahl der complexen Constanten
[formula] bei der linearen Unabhängigkeit der [formula] erreichen, dass
eine durch vorstehende Formel definirte Function _w_ an den [formula]
Querschnitten beliebig vorgegebene Grössen als Periodicitätsmoduln des
reellen Theils aufweist.
Diess ist das Theorem, welches wir hinsichtlich der Darstellung überall
endlicher Functionen im gegenwärtigen Paragraphen aufzustellen hatten. Der
Uebergang zu _Functionen mit Unendlichkeitsstellen_ ist nun sehr leicht zu
bewerkstelligen.
Es seien [formula] die Punkte, in denen unsere Function in irgendwie
vorgeschriebener Weise unendlich werden soll. Wir wollen dann einen
Hülfspunct [formula] einführen und eine Reihe von einzelnen Functionen
[formula]
construiren, von denen jede einzelne nur in einem der Puncte [formula],
und zwar in der für diesen Punct vorgeschriebenen Weise, unendlich werden
soll und überdies in [formula] einen logarithmischen Unstetigkeitspunct
besitzen mag, dessen Residuum dem, zu dem betreffenden [formula]
gehörigen, logarithmischen Residuum entgegengesetzt gleich kommt. Die
Summe
[formula]
wird dann in [formula] stetig; denn die Summe aller zu den
Unstetigkeitspuncten [formula] gehörigen Residua ist, wie wir wissen,
gleich Null. Ueberdiess wird sie in den [formula] und nur in den
[formula], dabei in der vorgeschriebenen Weise unendlich. Sie
unterscheidet sich also von der gesuchten Function nur um eine überall
endliche Function. _Die gesuchte Function ist also in der Gestalt
darstellbar:_
[formula]
womit wir auch das allgemeine hier in Betracht kommende Theorem gefunden
haben.
Dasselbe entspricht offenbar der Zerlegung, welche wir in §. 4 für die auf
der Kugel existirenden complexen Functionen betrachteten, und die wir
damals, wie man es gewöhnlich thut, der Lehre von der
_Partialbruchzerlegung rationaler Functionen_ entnahmen.
§. 13. Ueber die Vieldeutigkeit unserer Functionen. Besondere Betrachtung
eindeutiger Functionen.
Die Functionen [formula], welche wir auf unseren Flächen studieren, sind
im Allgemeinen unendlich vieldeutig: denn einmal bringt jeder
logarithmische Unendlichkeitspunct einen Periodicitätsmodul mit sich,
andererseits haben wir die Periodicitätsmoduln an den [formula]
Querschnitten [formula], deren reelle Theile wir willkürlich annehmen
konnten. Ich sage nun, _dass mit diesen Angaben die Vieldeutigkeit von
_[formula]_ in der That erschöpft ist_. Zum Beweise müssen wir auf den
Begriff der Aequivalenz zweier Curven auf gegebener Fläche zurückgreifen,
den wir in §. 9 zunächst zu anderem Zwecke einführten. Da die
Differentialquotienten von _u_ und _v_ (oder, was dasselbe ist, die
Componenten der zugehörigen Strömung) auf unserer Fläche durchweg
eindeutig sind, so liefern zwei aequivalente geschlossene Curven, welche
durch keinen logarithmischen Unstetigkeitspunkt getrennt sind, bei
Durchlaufung denselben Zuwachs von _u_, wie von _v_. Nun fanden wir aber,
dass jede geschlossene Curve mit einer ganzzahligen Combination der
Querschnitte [formula] aequivalent ist. Wir bemerkten ferner (§. 10), dass
die Durchlaufung von [formula] denjenigen Periodicitätsmodul liefert,
welcher der Ueberschreitung von [formula] entspricht, und umgekehrt.
Hieraus aber folgt das ausgesprochene Theorem in bekannter Weise.
Es wird uns nun insbesondere interessiren, _eindeutige_ Functionen des
Ortes zu betrachten. Dem Gesagten zufolge werden wir alle solche
Functionen erhalten, wenn wir als Unstetigkeiten nur rein _algebraische_
Unendlichkeitspuncte zulassen und dann dafür sorgen, dass die [formula]
Periodicitätsmoduln an den Querschnitten [formula] sämmtlich verschwinden.
Dabei wird es der leichteren Ausdrucksweise wegen gestattet sein, nur
_einfache_ algebraische Unstetigkeitspuncte in Betracht zu ziehen. Denn
wir wissen ja aus §. 3, dass der [formula]-fache algebraische
Unstetigkeitspunct durch Zusammenrücken von [formula] einfachen entstehen
kann, wobei übrigens, wie man nicht vergessen darf, Kreuzungspuncte in der
Gesammtmultiplicität [formula] absorbirt werden. Seien also _m_ Puncte als
einfache algebraische Unendlichkeitspuncte der gesuchten Function gegeben.
So wollen wir zuerst irgend _m_ Functionen des Ortes bilden: [formula] von
denen jede nur an einer der gegebenen Stellen einfach algebraisch
unendlich werden soll aber übrigens beliebig vieldeutig sein mag. Aus
diesen _Z_ setzt sich die allgemeinste complexe Function des Ortes, welche
an den gegebenen Stellen einfache algebraische Unstetigkeiten besitzt, dem
vorigen Paragraphen zufolge in der Gestalt zusammen:
[formula]
unter [formula] beliebige constante Coëfficienten verstanden. Um eine
eindeutige Function zu haben, setzen wir die Periodicitätsmoduln, welche
dieser Ausdruck an den [formula] Querschnitten besitzt, gleich Null. Aber
diese Periodicitätsmoduln setzen sich vermöge der [formula] aus den
Periodicitätsmoduln der [formula] linear zusammen. _Wir finden also
_[formula]_ lineare homogene Gleichungen für die _[formula]_ Constanten
__a__ und __c__._ Wir wollen annehmen, dass diese Gleichungen linear
unabhängig sind(21). Dann kommt der wichtige Satz:
_Unter der genannten Voraussetzung giebt es bei __m__ beliebig
vorgeschriebenen einfachen algebraischen Unstetigkeitspuncten nur dann
eindeutige Functionen des Ortes, wenn _[formula]_ ist, und zwar enthalten
diese Functionen _[formula]_ linear vorkommende willkürliche Constante._
Man denke sich jetzt die _m_ Unendlichkeitspuncte als beweglich. So treten
_m_ neue Willkürlichkeiten in die Betrachtung ein. Ueberdies ist klar,
dass man beliebige _m_ Puncte auf der Fläche durch continuirliche
Verschiebung in beliebige m andere verwandeln kann. Wir können also sagen,
indem wir uns übrigens immer der Voraussetzung erinnern, die wir gemacht
haben:
_Die Gesammtheit der eindeutigen Functionen mit __m__ einfachen
algebraischen Unstetigkeitspuncten, die auf gegebener Fläche existiren,
bildet ein Continuum von _[formula]_ Abmessungen._
Nun wir die Existenz und die Mannigfaltigkeit der eindeutigen Functionen
haben kennen lernen, wollen wir auf möglichst anschauungsmässigem Wege
noch eine andere wichtige Eigenschaft derselben entwickeln. Die Zahl _m_
der Unendlichkeitspuncte unserer Function hat nämlich für letztere eine
noch viel weiter gehende Bedeutung. Ich sage, _dass unsere Function
_[formula]_ jeden beliebig vorgegebenen Werth _[formula]_ genau an __m__
Stellen annimmt._
Zum Beweise betrachte man den Verlauf der Curven [formula] auf unserer
Fläche. Nach §. 2 ist klar, dass jede dieser Curven einen Ast durch jeden
der _m_ Unendlichkeitspuncte hindurchschickt. Andererseits folgt aus
Betrachtungen, wie wir sie in §. 10 entwickelten, dass jeder Curvenast
mindestens einen Unendlichkeitspunct enthalten muss. Hiernach ist für sehr
grosse [formula] die Richtigkeit unserer Behauptung unmittelbar klar. Denn
die betreffenden Curven [formula] gehen dann in der Nähe des einzelnen
Unendlichkeitspunctes nach §. 2 in kleine durch den Unendlichkeitspunct
hindurchlaufende Kreise über, welche nothwendig neben dem (hier nicht
weiter in Betracht kommenden) Unstetigkeitspuncte noch je _einen_
Schnittpunct gemein haben:
[Illustration: Fig. 33.]
Fig. 33.
Hieraus aber folgt die Sache allgemein. _Denn die Curven _[formula]_,
_[formula]_ können bei continuirlicher Aenderung von _[formula]_,
_[formula]_ niemals einen Schnittpunct verlieren._ Es könnte diess nämlich
nach dem Gesagten nur so geschehen, dass mehrere Schnittpuncte
zusammenrückten, um dann in geringerer Zahl wieder aus einander zu treten.
Nun bilden die Curven [formula] ein Orthogonalsystem. Ein Zusammenrücken
reeller Schnittpuncte ist also nur in den Kreuzungspuncten möglich (in
denen es auch wirklich geschieht). Die Kreuzungspuncte aber sind nur in
endlicher Zahl vorhanden, und also nicht im Stande, die Fläche in
verschiedene Gebiete zu zerlegen. Die Eventualität des Zusammenrückens ist
also überhaupt nicht in Betracht zu ziehen, und somit unsere Behauptung
bewiesen.
Es ist übrigens für das Folgende nützlich, sich die Vertheilung der Werthe
von [formula] in der Nähe eines Kreuzungspunctes deutlich zu machen.
Hierzu genügt eine aufmerksame Beobachtung der oben gegebenen Figur 1. Man
erkennt zumal, dass von den _m_ beweglichen Schnittpuncten der Curven
[formula], [formula] bei Annäherung an den [formula]-fachen Kreuzungspunct
[formula] zusammenrücken.--
Analoge Betrachtungen, wie wir sie hiermit für eindeutige Functionen
erledigt haben, finden natürlich auch bei vieldeutigen Functionen ihre
Stelle. Ich gehe auf sie nur desshalb nicht ein, weil es die im Folgenden
festgehaltene Umgränzung des Stoffes nicht nöthig macht. Auch kommt nur in
den allereinfachsten Fällen ein übersichtliches Resultat. Sei in dieser
Beziehung daran flüchtig erinnert, dass eine complexe Function mit mehr
als zwei incommensurabeln Periodicitätsmoduln an jeder Stelle jedem
beliebigen Werthe unendlich nahe gebracht werden kann.
§. 14. Die gewöhnlichen Riemann’schen Flächen über der x + iy-Ebene.
Statt die Vertheilung der Functionswerthe [formula] auf der ursprünglichen
Fläche zu betrachten, kann man ein sozusagen umgekehrtes Verfahren
einschlagen. Man deute nämlich die Functionswerthe--welche dementsprechend
jetzt [formula] genannt werden sollen--in gewöhnlicher Weise in der Ebene
(oder auch auf der Kugel(22) und studiere die _conforme Abbildung_, welche
demzufolge (nach §. 5) von unserer ursprünglichen Fläche entworfen wird.
Wir beschränken uns dabei wieder, der Einfachheit halber, auf den Fall der
eindeutigen Functionen, trotzdem es besonderes Interesse hat, gerade auch
die Abbildung durch mehrdeutige Fuuctionen in Betracht zu ziehen(23).
Eine kurze Ueberlegung zeigt, _dass wir so gerade zu der mehrblättrigen,
mit Verzweigungsverzweigungspuncten versehenen, über der _[formula]_-Ebene
ausgebreiteten Fläche geführt werden, welche man gewöhnlich als
Riemann’sche Fläche schlechthin bezeichnet._
In der That, sei _m_ die Zahl der (einfachen) Unendlichkeitspuncte, welche
[formula] auf der ursprünglichen Fläche besitzt. Es nimmt dann [formula],
wie wir sahen, _jeden_ Werth auf der gegebenen Fläche _m_-mal an. _Daher
überdeckt die conforme Abbildung unserer Fläche auf die _[formula]_-Ebene
die letztere im Allgemeinen mit __m__ Blättern._ Eine Ausnahmestellung
nehmen nur diejenigen Werthe von [formula] ein, für welche einige der _m_
auf der ursprünglichen Fläche zugehörigen Stellen zusammenfallen, denen
also _Kreuzungspuncte_ entsprechen. Man ziehe zum Verständnisse noch
einmal die Figur (1) heran. Es folgt aus derselben, dass man die Umgebung
eines [formula]-fachen Krenzungspunctes derart in [formula] Sectoren
zerlegen kann, dass [formula] innerhalb jedes Sectors denselben
Werthvorrath durchläuft. _Daher werden oberhalb der betreffenden Stelle
der _[formula]_ Ebene _[formula]_ Blätter der conformen Abbildung derart
zusammenhängen, dass eine Umlaufung der Stelle von einem Blatte in ein
zweites, von diesem in ein drittes führt etc., und dass eine
_[formula]_-malige Umlaufung derselben nöthig wird, um zum Anfangspuncte
zurückzugelangen._ Diess ist aber genau, was man gewöhnlich als einen
[formula]-fachen _Verzweigungspunct_ bezeichnet(24). Dabei ist die
Abbildung in diesem Puncte selbst natürlich keine conforme mehr; man
beweist leicht, dass der Winkel, den irgend zwei auf der ursprünglichen
Fläche verlaufende sich im Kreuzungspuncte schneidende Curven mit einander
bilden, auf der über der [formula]-Ebene ausgebreiteten Riemann’schen
Fläche genau mit [formula] multiplicirt erscheint.--
_Aber zugleich erkennen wir die Bedeutung, welche diese mehrblättrige
Fläche für unsere Zwecke beanspruchen kann._ Alle Flächen, welche durch
conforme Abbildung eindeutig aus einander hervorgehen, sind für uns
gleichbedeutend (§. 8). Wir können also die _m_-blättrige Fläche über der
Ebene ebensogut zu Grunde legen, wie die bisher benutzte Fläche, die wir
uns ohne jedes singuläre Vorkommniss frei im Raume gelegen vorstellten.
Dabei kommt die Schwierigkeit, die man in dem Auftreten der
Verzweigungspuncte erblicken könnte, von vorneherein in Wegfall: denn wir
werden nur solche Strömungen auf der mehrblättrigen Fläche in Betracht
ziehen, welche sich in der Umgebung der Verzweigungspuncte derart
verhalten, dass sie rückwärts auf die im Raume gelegene ursprüngliche
Fläche übertragen dort keine anderen singulären Vorkommnisse darbieten,
als die ohnehin gestatteten. Hierzu ist nicht einmal nöthig, dass man eine
entsprechende im Raume gelegene Fläche kennt; handelt es sich doch nur um
Verhältnisse in der nächsten Umgebung der Verzweigungspuncte, d. h. um
differentielle Relationen, denen unsere Strömungen genügen müssen(25). Es
hat hiernach auch keinen Zweck mehr, wenn wir von beliebig gekrümmten
Flächen sprechen, uns diese ohne singuläre Puncte zu denken: _sie mögen
selbst mit mehreren Blättern überdeckt sein, die unter sich durch
Verzweigungspuncte, beziehungsweise Verzweigungsschnitte zusammenhängen._
Aber welche unter den unbegränzt vielen, sonach gleichberechtigten Flächen
wir auch der Betrachtung zu Grunde legen wollen: wir müssen zwischen
wesentlichen Eigenschaften unterscheiden, welche allen gleichberechtigten
Flächen gemeinsam sind, und _unwesentlichen_ Eigenschaften, die der
particulären Fläche anhaften. Zu ersteren gehört die Zahl _p_, es gehören
dahin die "Moduln", von denen in §. 18 ausführlicher die Rede sein soll;
zu letzteren bei mehrblättrigen Flächen die Art und Lage der
Verzweigungspuncte. Wenn wir uns eine _ideale_ Fläche denken, die nur jene
wesentlichen Eigenschaften besitzen soll, so entsprechen auf ihr den
Verzweigungspuncten der mehrblättrigen Fläche gewöhnliche Puncte, die,
allgemein zu reden, vor den übrigen Puncten Nichts voraus haben, und die
erst dadurch beachtenswerth werden, dass bei der conformen Abbildung, die
von der idealen Fläche zur particulären hinüberführt, in ihnen
Kreuzungspuncte entstehen.
Das Resultat ist also dieses, _dass wir betreffs der Flächen, auf denen
wir operiren dürfen, eine grössere Beweglichkeit gewonnen haben, und dass
wir zugleich die Zufälligkeiten erkennen, welche die Betrachtung jeder
einzelnen besonderen Fläche mit sich bringt._ Insbesondere werden wir im
Folgenden, so oft es nützlich scheint, mehrblättrige Flächen über der
[formula]-Ebene in Betracht ziehen; ihre Verwendung soll aber in keiner
Weise die Allgemeinheit der Auffassung beeinträchtigen(26).
§. 15. Der Ring p = 1 und die zweiblättrige Fläche mit vier
Verzweigungspuncten über der Ebene. (27)
Ich habe mich im vorigen Paragraphen ziemlich kurz fassen können, da ich
die gewöhnliche Riemann’sche Fläche über der Ebene mit ihren
Verzweigungspuncten als bekannt ansah. Immerhin wird es nützlich sein,
wenn ich das Gesagte an einem Beispiele erläutere. Wir wollen einen Ring
[formula] betrachten. Auf ihm existiren nach §. 13 [formula] eindeutige
Functionen mit nur zwei Unendlichkeitspuncten. Eine jede derselben besitzt
nach der allgemeinen Formel des §. 11 vier Kreuzungspuncte. Der Ring ist
also auf mannigfache Weise auf eine zweiblättrige ebene Fläche mit vier
Verzweigungspuncten abzubilden. Ich will den besonderen Fall, in welchem
ich diese Abbildung nunmehr betrachten werde, auf explicite Formeln
stützen, damit auch denjenigen Lesern, die in rein anschauungsmässigen
Operationen minder geübt sind, die Sache zugänglich sei. Allerdings greife
ich damit in etwas den Entwickelungen vor, welche erst der folgende
Paragraph zu bringen bestimmt ist.
[Illustration: Fig. 34.]
Fig. 34.
Wir wollen die Ringfläche als gewöhnlichen Torus voraussetzen, der durch
Rotation eines Kreises um eine denselben nicht schneidende Axe seiner
Ebene entsteht. Sei [formula] der Radius dieses Kreises, _R_ der Abstand
seines Mittelpunctes von der Axe, [formula] ein Polarwinkel.
Wir führen die Rotationsaxe als _Z_-Axe, den Punct _O_ der Figur als
Anfangspunct eines rechtwinkligen Coordinatensystems ein und unterscheiden
die durch [formula] hindurchlaufenden Ebenen nach dem Winkel [formula],
den sie mit der positiven _X_-Axe bilden. Dann hat man für einen
beliebigen Punct der Ringfläche:
[formula]
Daher wird das Bogenelement:
[formula]
oder:
[formula]
wo
[formula]
gesetzt sein soll.
Nach Formel (3) haben wir eine conforme Abbildung der Ringfläche auf die
[formula]-Ebene. Die ganze Ringfläche wird offenbar einmal überstrichen,
wenn [formula] und [formula] (in den Formeln (1)) jedes von [formula] bis
[formula] läuft. _Die conforme Abbildung der Ringfläche überdeckt daher
ein Rechteck der Ebene, wie es durch folgende Figur vorgestellt wird:_
[Illustration: Fig. 35.]
Fig. 35.
Ich habe dabei in der Figur der Kürze halber statt [formula] einfach _p_
geschrieben.--Wollen wir uns die Beziehung zwischen Rechteck und
Ringfläche recht anschaulich vorstellen, so denke man sich ersteres aus
dehnsamem Materiale verfertigt und nun die gegenüberstehenden Kanten des
Rechtecks ohne Torsion zusammengebogen. Oder auch, man denke sich den Ring
von analoger Beschaffenheit, zerschneide ihn längs einer Breitencurve und
einer Meridiancurve und breite ihn dann in die [formula]-Ebene aus. Ich
setze statt weiterer Erläuterung eine Figur her, welche die
Verticalprojection der Ringfläche von der positiven _Z_-Axe aus auf die
[formula]-Ebene vorstellt und bei der die Beziehung zur [formula]-Ebene
markirt ist:
[Illustration: Fig. 36.]
Fig. 36.
Natürlich erblickt man nur die Oberseite der Ringfläche, die auf der
Rückseite abgebildeten Quadranten 3 und 4 werden beziehungsweise von 2 und
1 verdeckt.
Sei nun andererseits bei reellem [formula] [formula] über der Ebene eine
zweiblättrige Fläche mit vier Verzweigungspuncten [formula], [formula]
gegeben:
[Illustration: Fig. 37.]
Fig. 37.
wobei ich mir (wie es in der Figur angedeutet ist) die beiden Halbblätter,
welche die positive Halbebene überlagern, schraffirt denken will. Dabei
sollen die Verzweigungsschnitte mit den geradlinigen Strecken zwischen
[formula] und [formula] einerseits, und [formula] und [formula]
andererseits zusammenfallen.
Diese zweiblättrige Fläche repräsentirt, wie man weiss, die Verzweigung
von [formula], und zwar können wir, in Anbetracht der Wahl der
Verzweigungsschnitte, die Zuordnung so treffen, dass auf dem oberen Blatte
_w_ durchweg einen positiven reellen Theil besitzt. Wir betrachten nun das
Integral
[formula]
Dasselbe liefert uns in bekannter Weise die Abbildung unserer
zweiblättrigen Fläche ebenfalls auf ein Rechteck, dessen nähere Beziehung
zur zweiblättrigen Fläche durch folgende Figur gegeben ist, auf welcher
man die Schraffirungen und sonstigen Unterscheidungen der Figur (37)
wiederfindet:
[Illustration: Fig. 38.]
Fig. 38.
Dem oberen Blatte von Figur (37) entspricht die linke Seite dieser Figur.
Man beachte vor Allem, wie sich die Abbildung für die Umgebung der
Verzweigungspuncte der zweiblättrigen Fläche gestaltet. Vielleicht ist es
am einfachsten, die Sache sich so vorzustellen, dass man von (37) zunächst
durch stereographische Projection zu einer zweimal überdeckten Kugelfläche
übergeht, welche auf einem Meridian vier Verzweigungspuncte trägt,--dass
man die so erhaltene Fläche durch einen längs des Meridians verlaufenden
Schnitt in vier Halbkugeln zerlegt, deren einzelne man durch geeignete
Dehnung und Deformirung in der Nähe der vier Verzweigungspuncte in ein
ebenes Rechteck verwandelt,--dass man endlich die so entstehenden vier
Rechtecke entsprechend den Beziehungen zwischen den vier Halbkugeln nach
Art von Figur (38) neben einander legt. Man sieht auf diese Art auch
deutlich, dass in Figur (38) immer _zwei_ (zusammengehörige) Randpuncte
denselben Punct der ursprünglichen Fläche bezeichnen.
Um nun zwischen dem Ringe und der zweiblättrigen Fläche die gewünschte
Beziehung zu erzielen, haben wir nur dafür zu sorgen, dass das Rechteck
der Figur (38) durch passende Wahl des Moduls [formula] mit dem Rechtecke
der Figur (35) _ähnlich_ wird. Eine proportionale Vergrösserung des einen
Rechtecks (welches auch eine conforme Umgestaltung ist) bringt dasselbe
sodann mit dem anderen Rechteck zur Deckung und vermittelt so eine
eindeutig-conforme Abbildung der zweiblättrigen Fläche auf die Ringfläche
(oder der letzteren auf die erstere). Es wird wiederum genügen, das
Sachverhältniss durch eine Figur zu kennzeichnen, dieselbe entspricht
genau der eben gegebenen Figur (36):
[Illustration: Fig. 39.]
Fig. 39.
Die Schraffirung soll sich dabei nur auf die Vorderseite der Ringfläche
beziehen; auf der Rückseite ist die untere Hälfte der Figur schraffirt zu
denken, die obere frei zu lassen.--
Die conforme Abbildung, welche wir wünschten, ist hiermit thatsächlich
geleistet. Wir wollen jetzt rückwärts die Strömung auf der Ringfläche
bestimmen, durch deren Vermittelung im Sinne des §. 14 die Abbildung zu
Stande kommt. Dieselbe wird an den mit [formula], [formula] bezeichneten
Stellen Kreuzungspuncte besitzen müssen, an den beiden Stellen [formula]
algebraische Unendlichkeitspuncte von einfacher Multiplicität. Man findet
die betreffenden Curven, die Niveaucurven sowohl wie die Strömungscurven,
am besten, wenn man sich des Rechtecks als Zwischenfigur bedient. Offenbar
übertragen sich die Curven [formula] Const., [formula] Const. der
_z_-Ebene (Figur 37) auf das Rechteck der Figur (38), wie die Figuren
(40), (41) angeben. Ich habe dabei allein den Curven [formula] Const.
Pfeilspitzen zugesetzt, um sie im Gegensatze zu den anderen als
Strömungscurven zu charakterisiren.
[Illustration: Fig. 40.]
Fig. 40.
[Illustration: Fig. 41.]
Fig. 41.
Man hat nun einfach diese Zeichnungen in derselben Weise zusammenzubiegen,
wie es bei Figur (35) geschildert wurde, um die Ringfläche und auf ihr die
gewünschten Curvensysteme zu erhalten. Das Resultat ist das folgende:
[Illustration: Fig. 42.]
Fig. 42.
[Illustration: Fig. 43.]
Fig. 43.
Dabei erscheinen in Figur (42) die vier Kreuzungspuncte der Strömung
vermöge der gewählten Projectionsart als Berührungspuncte der Niveaucurven
mit der scheinbaren Contour der Ringfläche.
§. 16. Functionen von [formula], welche den untersuchten Strömungen
entsprechen.
Sei [formula], wie in §. 14, eine eindeutige complexe Function des Ortes
auf unserer Fläche mit _m_ algebraischen, einfachen Unendlichkeitspuncten.
Wir verwandeln unsere Fläche nach Anleitung jenes Paragraphen in eine
_m_-blättrige Fläche über der [formula]-Ebene(28) und legen uns nun die
Frage vor, _in welche Functionen des Argumentes _[formula]_ die bisher
untersuchten complexen Functionen des Ortes übergehen mögen._ Man erinnere
sich dabei der Entwickelungen des §. 6.
Seizunächst _w_ eine complexe Function des Ortes, welche auf unserer
Fläche, ebenso wie [formula], _eindeutig_ ist. Vermöge der Festsetzungen,
die hinsichtlich der Unendlichkeitspuncte unserer Functionen und
insbesondere der eindeutigen Functionen getroffen worden sind, ergibt sich
sofort, dass _w_ als Function von [formula] nirgendwo einen _wesentlich_
singulären Punct hat. Ueberdiess ist _w_ auf der _m_-blättrigen über der
_z_-Ebene ausgebreiteten Fläche, so gut wie auf der ursprünglichen Fläche,
eindeutig. Daher folgt auf Grund bekannter Sätze: _dass __w__ eine
algebraische Function von __z__ ist_.
Dabei ist die Möglichkeit an sich nicht auszuschliessen, dass die _m_
Werthe von _w_, welche demselben _z_ entsprechen, zu je [formula]
übereinstimmen mögen (wobei [formula] natürlich ein Theiler von _m_ sein
muss). Aber jedenfalls können wir solche eindeutige Functionen _w_
auswählen, bei denen dieses nicht der Fall ist. Wir bestimmten oben (§.
13) die eindeutigen Functionen, indem wir ihre Unendlichkeitspuncte
willkürlich annahmen. Wir haben es daher in der Hand, das erwähnte
Vorkommniss jedenfalls zu vermeiden: wir brauchen nur die
Unendlichkeitspuncte von _w_ so anzunehmen, dass nicht jedesmal [formula]
von ihnen dasselbe _z_ aufweisen. Dann kommt:
_Die irreducibele Gleichung, welche zwischen __w__ und __z__ besteht:_
[formula]
_hat in __w__ die _[formula]_ Ordnung._
Ebensogut wird sie in _z_ natürlich die [formula] Ordnung besitzen, wenn
_n_ die Gesammtmultiplicität der Unendlichkeitspuncte ist, die _w_
aufweist.
Aber die Beziehung dieser Gleichung [formula] zu unserer Fläche ist noch
eine innigere, als die blosse Uebereinstimmung der Ordnung mit der
Blätterzahl aussagt. Zu jedem Puncte der Fläche gehört nur _ein_
Werthepaar _w_, _z_, das der Gleichung genügt, und umgekehrt gehört zu
jedem solchen Werthepaare im Allgemeinen(29) nur ein Punct der Fläche.
_Gleichung und Fläche sind sozusagen eindeutig auf einander bezogen._
Es sei jetzt [formula] eine neue eindeutige Function auf unserer Fläche,
also jedenfalls eine algebraische Function von _z_. Dann kann man die Art
dieser algebraischen Function, nachdem einmal die Gleichung [formula]
unter der angegebenen Voraussetzung gebildet ist, mit zwei Worten
kennzeichnen. Man zeigt nämlich, _dass _[formula]_ eine rationale Function
von __w__ und __z__ ist, und dass auch umgekehrt jede rationale Function
von __w__ und __z__ eine Function vom Charakter des _[formula]_ abgibt_.
Das Letztere ist selbstverständlich. Denn eine rationale Function von _w_
und _z_ ist in unserer Fläche eindeutig; überdiess als analytische
Function von _z_ eine complexe Function des Ortes in der Fläche. Aber auch
das Erstere ist leicht zu beweisen(30). Man bezeichne die _m_ Werthe von
_w_, die zu einem beliebigen Werthe von _z_ gehören, mit [formula],
[formula], [formula] (allgemein [formula]), die entsprechenden Werthe von
[formula] (die nicht nothwendig alle verschieden zu sein brauchen) mit
[formula], [formula], [formula]. Dann ist die Summe:
[formula]
(wo [formula] eine beliebige, positive oder negative ganze Zahl bedeuten
soll) als symmetrische Function der verschiedenen Werthe [formula] eine
eindeutige Function von _z_, und also, als algebraische Function, eine
_rationale_ Function von _z_. Aus _m_ beliebigen der so entstehenden
Gleichungen kann man [formula], [formula], [formula] als linear
vorkommende Unbekannte berechnen, und es zeigt dann eine leichte
Discussion, dass in der That das einzelne [formula] eine rationale
Function des zugehörigen [formula] und des _z_ geworden ist.--
Von diesem Satze ausgehend bestimmt man nun auch sofort den Charakter
derjenigen Functionen von _z_, welche durch die von uns in Betracht
gezogenen _mehrdeutigen_ Functionen des Ortes geliefert werden. Sei _W_
eine solche Function. Dann ist _W_ jedenfalls eine analytische Function
von _z_; man kann also von einem _Differentialquotienten_ [formula]
sprechen und diesen selbst wieder als complexe Function des Ortes auf
unserer Fläche deuten. Derselbe ist nothwendig als Function des Ortes
eindeutig. Denn die Vieldeutigkeit von _W_ bezieht sich ja nur auf
constante Periodicitätsmoduln, welche, in beliebiger Vielfachheit
genommen, dem Anfangswerthe additiv hinzutreten können. Daher ist
[formula] nach dem eben Bewiesenen eine rationale Function von _w_ und
_z_, _und es stellt sich also __W__ als Integral einer solchen Function
dar:_
[formula]
Der umgekehrte Satz, dass jedes solche Integral eine complexe Function des
Ortes in unserer Fläche abgibt, welche zu der von uns betrachteten
Functionsclasse gehört, ist auf Grund bekannter Entwickelungen
selbstverständlich. Diese Entwickelungen beziehen sich einmal auf das
Unendlichwerden der Integrale, andererseits auf die Werthänderungen,
welche die Integrale durch Wechsel des Integrationsweges erleiden. Ein
näheres Eingehen hierauf scheint an dieser Stelle unnöthig.--
Wir sind, wie wir sehen, zu einem wohlumgränzten Resultate geführt worden.
_Ist erst einmal die algebraische Gleichung bestimmt, welche die
Abhängigkeit zwischen __z__ und dem in hohem Maasse willkürlichen w
definirt, so sind die übrigen Functionen des Ortes der Art nach
wohlbekannt; sie decken sich in ihrer Gesammtheit mit den rationalen
Functionen von __w__ und __z__, und mit den Integralen solcher
Functionen._
Es wird gut sein, dieses Resultat am Falle der wiederholt betrachteten
Ringfläche [formula] zu erläutern. Als Functionen _z_ und _w_ werden wir
dieselben zu Grunde legen, die im vorigen Paragraphen besprochen wurden,
und von denen die erstere durch die Figuren (42), (43) erläutert wird. Die
zwischen ihnen bestehende Gleichung lautet einfach, wie wir wissen:
[formula]
und es verwandeln sich also die Integrale [formula] in diejenigen, die man
als _elliptische Integrale_ zu bezeichnen pflegt. Unter ihnen gibt es,
nach §. 12, ein einziges "überall endliches" Integral. Aus der in Figur
(38) gegebenen Abbildung folgt, dass dieses kein anderes ist, als das dort
betrachtete [formula], das gewöhnlich sogenannte _Integral erster
Gattung_. Die zugehörigen Niveaucurven und Strömungscurven sind dieselben,
welche in Figur (21) und (22) dargestellt sind. Aber auch diejenigen
Functionen, denen die Figuren (29) und (30), bez. (31) und (32)
entsprechen, sind in der gewöhnlichen Analysis wohlbekannt. Wir haben das
einemal eine Function mit zwei logarithmischen Unstetigkeitspuncten, das
andere Mal eine solche mit nur einem algebraischen Unstetigkeitspuncte.
Als Functionen von _z_ betrachtet geben dieselben solche elliptische
Integrale ab, welche man als _Integrale dritter Gattung_ bez. _zweiter
Gattung_ zu bezeichnen pflegt.
§. 17. Tragweite und Bedeutung unserer Betrachtungen.
Mit den Entwickelungen des vorigen Paragraphen ist der Zielpunct, den wir
uns mit der allgemeinen Fragestellung des §. 7 gesteckt haben,
thatsächlich erreicht. Wir haben auf beliebiger Fläche die allgemeinsten
für uns in Betracht kommenden complexen Functionen des Ortes bestimmt und
nun die analytischen Abhängigkeiten derselben von einander definirt, indem
wir zusahen, wie alle von einer, übrigens beliebig gewählten, eindeutigen
Function des Ortes im Sinne der gewöhnlichen Analysis abhängig sind. Es
bleibt uns also, um unseren Gedankengang abzuschliessen, nur noch ein
Umblick zu halten, was Alles durch unsere Betrachtungen gewonnen sein mag.
Wir haben dann allerdings keineswegs den vollen Inhalt aber doch die
Grundlage der Riemann’schen Theorie gewonnen, und es kann wegen weiterer
Ausführungen auf Riemann’s Originalarbeit sowie die sonstigen
Darstellungen der Theorie verwiesen werden.
Constatiren wir zunächst, _dass es in der That die Gesammtheit der
algebraischen Functionen und ihrer Integrale ist, welche durch unsere
Untersuchung umspannt wird_. Denn wenn eine beliebige algebraische
Gleichung [formula] gegeben ist, so können wir in der gewöhnlichen Weise
über der _z_-Ebene eine zugehörige mehrblättrige Riemann’sche Fläche
construiren und nun auf dieser einförmige Strömungen und complexe
Functionen des Ortes studieren (vergl. §. 15).
Wir fragen, ob das Studium dieser Functionen durch unsere Betrachtungen in
der That gefördert sei. Erinnern wir uns zu dem Zwecke, dass es vor allen
Dingen die _Vieldeutigkeit_ der Integrale war, welche so lange einen
Fortschritt in ihrer Theorie verhindert hat. Dass Integrale durch das
Auftreten logarithmischer Unstetigkeitspuncte vieldeutig werden, hatte
schon _Cauchy_ erkannt. Aber erst durch die Riemann’sche Fläche ist die
andere Art von Periodicität, welche in dem _Zusammenhange_ der Fläche
ihren Grund hat und an den Querschnitten der Fläche gemessen wird, uns
völlig deutlich geworden.--Ein anderer Punct ist dieser. Man hat sich von
je bei der Untersuchung der Integrale der Umformung durch Substitution
bedient, ohne sich indess über eine bloss empirische Verwerthung derselben
beträchtlich zu erheben. Bei Riemann’s Theorie ist eine umfangreiche
Classe von Substitutionen von selbst gegeben und in ihrer Wirkung zu
beurtheilen. Die Variabelen _w_ und _z_ sind für uns nur irgend zwei, von
einander unabhängige, eindeutige Functionen des Ortes; wir können statt
ihrer ebensogut zwei andere, [formula] und [formula], zu Grunde legen,
wobei sich [formula] und [formula] als übrigens beliebige rationale
Functionen von _w_ und _z_ und ebensowohl letztere als rationale
Functionen von [formula] und [formula] erweisen. Die Riemann’sche Fläche,
auf der wir operiren, wird von dieser Umänderung durchaus nicht nothwendig
betroffen. Unter der Menge der _zufälligen_ Eigenschaften unserer
Functionen erkennen wir also _wesentliche_, welche bei eindeutiger
Umformung ungeändert bleiben. Und vor Allem tritt uns in der Zahl _p_ von
vorneherein ein solches invariantes Element entgegen.--Indem die
Riemann’sche Theorie die beiden hiermit bezeichneten Schwierigkeiten,
welche frühere Bearbeiter gehemmt hatten, bei Seite räumt, gelangt sie
unmittelbar zu dem Satze, den wir in §. 10 aufstellten, und der die
Willkürlichkeit der in Betracht zu ziehenden Functionen bestimmt. Ich
meine den Satz, _dass man (unter den wiederholt angegebenen
Beschränkungen) die Unendlichkeitspuncte der Function und die
Periodicitätsmoduln ihres reellen Theiles an den Querschnitten als
willkürliche und hinreichende Bestimmungsstücke derselben erachten
darf._--
So etwa stellt sich die Bilanz, wenn man die functionentheoretischen
Interessen, wie es unter Mathematikern zu geschehen pflegt, voranstellt.
Aber vergessen wir nicht, dass die umgekehrte Auffassung im Grunde ebenso
berechtigt ist. Das Studium einförmiger Strömungen auf gegebenen Flächen
kann umsomehr als Selbstzweck betrachtet werden, als es bei zahlreichen
_physikalischen_ Problemen unmittelbar zu Verwerthung gelangt. In der
unendlichen Mannigfaltigkeit dieser Strömungen orientirt uns die
Riemann’sche Theorie, indem sie auf den Zusammenhang hinweist, der
zwischen diesen Strömungen und den algebraischen Functionen der Analysis
statt hat.
Wir können endlich den _geometrischen_ Gesichtspunct hervorkehren, und die
Riemann’sche Theorie als ein Mittel betrachten, um die Lehre von der
conformen Abbildung geschlossener Flächen auf einander der analytischen
Behandlung zugänglich zu machen. Eben diese Auffassung ist es, der ich im
folgenden, dritten Abschnitte meiner Darstellung Ausdruck zu geben bemüht
bin. Es wird nicht nöthig sein, schon an dieser Stelle ausführlicher
hierauf einzugehen.
§. 18. Weiterbildung der Theorie.
In Riemann’s eigenem Gedankengange, wie ich ihn vorstehend zu schildern
versuchte, veranschaulicht die Riemann’sche Fläche nicht nur die in
Betracht kommenden Functionen, sondern sie _definirt_ dieselben. Es
scheint möglich, diese beiden Dinge zu trennen: die Definition der
Functionen von anderer Seite zu nehmen und die Fläche nur als Mittel der
Veranschaulichung beizubehalten. Das ist es in der That, was von der
Mehrzahl der Mathematiker um so lieber geschehen ist, als Riemann’s
Definition der Function bei genauerer Untersuchung beträchtliche
Schwierigkeiten mit sich bringt(31). Man beginnt also etwa mit der
algebraischen Gleichung und der Begriffsbestimmung des Integrals, und
construirt erst hinterher eine zugehörige Riemann’sche Fläche.
Dann aber ist von selbst eine grosse Verallgemeinerung der ursprünglichen
Auffassung gegeben. Bislang galten uns zwei Flächen nur dann als
gleichwerthig, wenn die eine aus der anderen durch eindeutige conforme
Abbildung entstand. Jetzt ist kein Grund mehr, an der Conformität der
Abbildung festzuhalten. _Jede Fläche, welche durch stetige Abbildung
eindeutig__ in die gegebene verwandelt werden kann, überhaupt jedes
geometrische Gebilde, dessen Elemente sich stetig eindeutig auf die
ursprüngliche Fläche beziehen lassen, kann ebensowohl zur Versinnlichung
der in Betracht zu ziehenden Functionen gebraucht werden._ Ich habe diesem
Gedanken, wie ich bei gegenwärtiger Gelegenheit ausführen möchte, in
früheren Arbeiten nach zwei Richtungen hin Ausdruck gegeben.
Einmal operirte ich mit dem Begriffe einer möglichst übersichtlichen,
übrigens verschiedentlich modificirbaren _Normalfläche_ (vergl. §. 8), auf
welcher ich den Verlauf der in Betracht kommenden Functionen durch
verschiedene graphische Hülfsmittel zu illustriren bemüht war(32). Hierher
gehören auch die _Polygonnetze_, deren ich mich wiederholt bediente(33),
indem ich mir die Riemann’sche Fläche in geeigneter Weise zerschnitten und
dann in die Ebene ausgebreitet dachte. Es bleibe dabei an dieser Stelle
unerörtert, ob nicht den so entstehenden Figuren, die zunächst beliebig
stetig verändert werden dürfen, im Interesse weitergehender
functionentheoretischer Untersuchungen hinterher doch eine gesetzmässige
Gestalt ertheilt werden soll, vermöge deren sich eine _Definition_ der
durch die Figur zu veranschaulichenden Functionen ermöglicht.
Das andere Mal(34) stellte ich mir die Aufgabe, in möglichst anschaulicher
Weise den Zusammenhang darzulegen zwischen der Auffassungsweise der
Functionentheorie und derjenigen der gewöhnlichen analytischen Geometrie,
welch’ letztere eine Gleichung zwischen zwei Variabelen als _Curve_
deutet. Indem ich von dem Satze ausging, dass jede imaginäre Gerade der
Ebene und also auch jede imaginäre Tangente einer Curve einen und nur
einen reellen Punct besitzt, erhielt ich eine Riemann’sche Fläche, die
sich an den Verlauf der gegebenen Curve auf das Innigste anschmiegt. Ich
habe diese Fläche, wie es mein ursprünglicher Zweck war, bisher nur zur
Veranschaulichung gewisser einfacher Integrale gebraucht(35). Aber es
findet eine ähnliche Bemerkung ihre Stelle, wie oben bei den
Polygonnetzen. Insofern die Fläche gesetzmässig ist, muss auch sie zur
_Definition_ der auf ihr existirenden Functionen dienen können. In der
That kann man für diese Functionen eine partielle Differentialgleichung
bilden, welche den Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die wir in §§.
1 und 5 betrachten, in etwa analog ist: nur dass der Differentialausdruck,
an den diese Gleichung anknüpft, nicht unmittelbar als _Bogenelement_
einer Fläche zu deuten ist.--
Diese wenigen Bemerkungen müssen genügen, um auf Betrachtungen
hinzuweisen, deren Verfolg mir interessant scheint.