§. 8. Classification geschlossener Flächen nach der Zahl _p_.(9)
Für unsere Betrachtungen sind selbstverständlich alle diejenigen
geschlossenen Fächen als aequivalent aufzufassen, die sich durch
eindeutige Zuordnung conform auf einander abbilden lassen. Denn jede
complexe Function des Ortes auf der einen Fläche wird sich bei einer
solchen Abbildung in eine ebensolche Function auf der anderen Fläche
verwandeln: die analytische Beziehung also, welche durch das
Zusammenbestehen zweier complexer Functionen auf der einen Fläche
versinnlicht wird, bleibt beim Uebergange zur zweiten Fläche durchaus
ungeändert. Wenn man also z. B. (zufolge bekannter Entwickelungen) das
Ellipsoid derart conform auf die Kugel beziehen kann, dass jedem Puncte
desselben ein und nur ein Kugelpunct entspricht, so heisst diess für uns,
dass das Ellipsoid ebenso geeignet ist, die rationalen Functionen und ihre
Integrale zu repräsentiren, wie die Kugel.
Um so wichtiger ist es, ein Element kennen zu lernen, welches nicht nur
bei conformer, sondern überhaupt bei _eindeutiger_ Umgestaltung einer
Fläche ungeändert erhalten bleibt(10). _Es ist diess das __Riemann__’sche
p:_ die Zahl der Rückkehrschnitte, welche man auf einer Fläche ziehen
kann, ohne sie zu zerstücken. Die einfachsten Beispiele genügen, um diesen
Begriff einzuüben. Für die Kugel ist [formula]; denn sie zerfällt durch
jede auf ihr verlaufende geschlossene Curve, in zwei getrennte Bereiche.
Für den gewöhnlichen Ring ist [formula], man kann ihn längs einer, aber
auch nur längs einer, übrigens noch sehr willkürlichen, in sich
zurücklaufenden Curve zerschneiden, ohne dass er in Stücke zerfällt.
Dass es unmöglich ist, zwei Flächen von verschiedenem _p_ eindeutig auf
einander zu beziehen, scheint evident(11). Complicirter ist es, den
umgekehrten Satz zu beweisen, _dass nämlich die Gleichheit des __p__ die
hinreichende Bedingung für die Möglichkeit der eindeutigen Beziehung
zweier Flächen abgibt_. Ich muss mich, was den Beweis dieses wichtigen
Satzes angeht, an dieser Stelle auf blosse Citate unter dem Texte
beschränken(12). Auf Grund desselben ist man berechtigt, bei
Untersuchungen über geschlossene Flächen, so lange nur allgemeine
Lagenverhältnisse in Betracht kommen, für jedes _p_ einen möglichst
einfachen Typus zu Grunde zu legen. In diesem Sinne wollen wir von
_Normalflächen_ sprechen. Für quantitative Bestimmungen reichen die
Normalflächen natürlich in keiner Weise mehr aus; aber sie bieten auch für
sie ein Mittel zur Orientirung.
Die Normalfläche für [formula] sei die Kugel, für [formula] der Ring. Bei
höherem _p_ mag man sich eine Kugel mit _p_ Anhängseln (Handhaben)
versehen denken, wie folgende Figur für [formula] aufweist: (see figure
14)
[Illustration: Fig. 14.]
Fig. 14.
Eine ähnliche Normalfläche ist natürlich auch bei [formula] statthaft, wie
überhaupt man sich diese Flächen nicht als starr gegeben, sondern als
beliebiger Verzerrungen fähig denken muss.
Auf diesen Normalflächen mögen nun gewisse _Querschnitte_, von denen wir
im Folgenden Gebrauch zu machen haben, festgelegt werden. Bei [formula]
kommen dieselben noch nicht in Betracht. Auf dem Ringe [formula] mag eine
\quotedblbase Meridiancurve‘‘ _A_, verbunden mit einer "Breitencurve" _B_
das Querschnittsystem bilden:
[Illustration: Fig. 15.]
Fig. 15.
Allgemein gebrauchen wir [formula] Querschnitte. Es wird, denke ich, mit
Rücksicht auf die folgende Figur verständlich sein, wenn ich bei der
einzelnen Handhabe unserer Normalfläche von einer Meridiancurve und einer
Breitencurve rede:
[Illustration: Fig. 16.]
Fig. 16.
_Wir wählen die _[formula]_ Querschnitte derart, dass wir um jede der
__p__ Handhaben eine Meridiancurve und eine Breitencurve herumlegen._ Wir
wollen diese Querschnitte der Reihe nach mit [formula], [formula],
[formula], beziehungsweise [formula], [formula], [formula] bezeichnen.
§. 9. Vorläufige Bestimmung stationärer Strömungen auf beliebigen Flächen.
Wir haben uns nun mit der Aufgabe zu beschäftigen, auf beliebigen
(geschlossenen) Flächen die allgemeinsten einförmigen, stationären
Strömungen mit Geschwindigkeitspotential zu definiren, immer unter der
Voraussetzung, dass keine anderen Unendlichkeitspuncte zugelassen werden
sollen, als die in §. 2 genannten(13). Zu dem Zwecke richten wir unsere
Ideen auf die Normalflächen des vorigen Paragraphen und benutzen übrigens
wieder Vorstellungen der Elektricitätslehre. Die gegebene Fläche denken
wir uns mit einem unendlich dünnen gleichförmigen Ueberzuge einer
leitenden Substanz versehen, und wenden zunächst diejenigen
experimentellen Mittel an, die uns von §. 3 her bekannt sind. Wir werden
also zuvörderst etwa die beiden Pole einer galvanischen Batterie auf
unsere Fläche an zwei beliebigen Stellen aufsetzen: es entsteht dann eine
Strömung, welche diese beiden Stellen als Quellenpuncte von
entgegengesetzt gleicher Ergiebigkeit besitzt. Wir werden sodann zwei
beliebige Puncte der Fläche durch eine oder mehrere, neben einander
herlaufende, sich selbst nicht schneidende Curven verbinden, welche der
Sitz constanter elektromotorischer Kräfte sein sollen,--wobei man sich
alles Dessen erinnern mag, was in §. 4 betreffs der dann nothwendig
werdenden experimentellen Anordnung gesagt wurde. Wir erhalten dann eine
stationäre Bewegung, für welche die beiden Puncte Wirbelpuncte von
entgegengesetzt gleicher Intensität sind.--Wir werden ferner verschiedene
solche Bewegungsformen überlagern und endlich, wenn es nöthig scheint,
getrennte Unendlichkeitspuncte durch Gränzübergang zu höheren
Unendlichkeitspuncten zusammenfallen lassen. Alles das gestaltet sich
genau so, wie auf der Kugel, und wir haben also jedenfalls den folgenden
Satz:
_Wenn man die Art der Unendlichkeitsstellen nach Anleitung des_ §. 2
_beschränkt, wenn man ferner daran festhält, dass die Summe sämmtlicher
logarithmischer Residua allemal gleich Null sein muss, so existiren auf
unserer Fläche complexe Functionen des Ortes, welche an beliebig gegebenen
Stellen in übrigens beliebig gegebener Weise unendlich werden und überall
sonst stetig verlaufen._
Mit den so bestimmten Functionen ist nun aber, für [formula], die Sache
noch keineswegs erschöpft. Wir können nämlich eine experimentelle
Anordnung treffen, für welche auf der Kugel noch keinerlei Möglichkeit
gegeben war. Es gibt jetzt auf der Fläche in sich zurücklaufende Curven,
vermöge deren die Fläche keineswegs in getrennte Bereiche zerlegt wird.
Nichts steht im Wege, dass die Elektricität von der einen Seite einer
solchen Curve durch die Fläche hindurch zur anderen Seite derselben
hinüberströmt. _Wir werden eine solche Curve, oder auch mehrere neben
einander herlaufende Curven dieser Art ebensogut als Sitz constanter
elektromotorischer Kräfte betrachten können, wie diess in_ §. 4 _mit
Curvenzügen geschah, die von einem Endpuncte zu einem zweiten hinlaufen._
Die Strömungen, welche wir dann erhalten, haben überhaupt keine
Unstetigkeiten. Wir werden sie als _überall endliche Strömungen_ und die
zugehörigen complexen Functionen des Ortes als _überall endliche
Functionen_ bezeichnen können. Diese Functionen sind nothwendig unendlich
vieldeutig. Denn sie erhalten jeweils einen reellen, der angenommenen
elektromotorischen Kraft proportionalen Periodicitätsmodul, so oft man die
gegebene Curve in demselben Sinne überschreitet(14)
Wir fragen, wie mannigfach die so definirten überall endlichen Strömungen
sein mögen. Offenbar sind zwei auf derselben Fläche verlaufende Curven,
als Sitz gleich starker elektromotorischer Kräfte betrachtet, für unseren
Zweck _aequivalent_, wenn sie sich durch stetige Verschiebung über die
Fläche hin zur Deckung bringen lassen. Verzerrt man eine Curve so, dass
Curvenstücke auftreten, welche zweimal in entgegengesetzter Richtung
durchlaufen werden, so dürfen dieselben einfach weggelassen werden. In
Folge dessen beweist man, _dass eine jede geschlossene Curve einer
ganzzahligen Combination der Querschnitte _[formula]_, _[formula]_, wie
diese im vorigen Paragraphen definirt wurden, aequivalent ist_.
[Illustration: Fig. 17.]
Fig. 17.
[Illustration: Fig. 18.]
Fig. 18.
In der That, man verfolge den Weg einer geschlossenen Curve auf unserer
Normalfläche(15). Für [formula] wird die Richtigkeit unserer Behauptung
dann unmittelbar evident. Es genügt, ein Beispiel zu betrachten, wie es in
den vorstehenden Figuren vorliegt.
Die in Figur 17 auf der Ringfläche verlaufende Curve ist mit der anderen,
welche rechter Hand gezeichnet ist, durch blosse Verzerrung zur Deckung zu
bringen, sie ist also mit einer dreifachen Durchlaufung der Meridiancurve
_A_ (vergl. Fig. 15) und einer einfachen Durchlaufung der Breitencurve _B_
aequivalent.--Sei ferner [formula]. So oft dann unsere Curve über eine der
_p_ Handhaben verläuft, kann man ein Stück von ihr abtrennen, das sich
durch blosse Verzerrung in eine ganzzahlige Verbindung der betreffenden
Meridiancurve und der zugehörigen Breitencurve verwandeln lässt. Nach
Absonderung aller solcher Bestandtheile bleibt eine geschlossene Curve
übrig, die sich entweder unmittelbar in einen einzelnen Punct der Fläche
zusammenziehen lässt und also jedenfalls keinen Beitrag zur elektrischen
Strömung liefert, oder die eine oder mehrere Handhaben völlig umschliesst,
wovon Figur 19 ein Beispiel aufweist:
[Illustration: Fig. 19.]
Fig. 19.
[Illustration: Fig. 20.]
Fig. 20.
Die Figur 20 erläutert, wie man eine solche Curve durch Deformation
verändern kann. Durch Fortsetzung des hierdurch angedeuteten Processes
verwandelt sie sich in einen Curvenzug, der aus der inneren Randcurve der
betreffenden Handhabe und einer zugehörigen Meridiancurve besteht, dessen
Stücke aber beide zweimal in entgegengesetzter Richtung durchlaufen
werden. Also auch eine solche Curve gibt keinen Beitrag zur Strömung. Man
hätte dieses übrigens auch von Vorneherein aus der Bemerkung ersehen
können, dass die jetzt betrachtete Curve, gleich einer solchen, die sich
in einen Punct zusammenziehen lässt, die gegebene Fläche in getrennte
Gebiete zerlegt.
Wir erzielen daher durch Heranziehen beliebiger geschlossener Curven nicht
_mehr_, als durch geeignete Benutzung der [formula] Curven [formula],
[formula]. Die allgemeinste überall endliche Strömung, welche wir
hervorrufen können, wird entstehen, wenn wir jeden der [formula]
Querschnitte zum Träger einer beliebigen constanten elektromotorischen
Kraft machen. Oder anders ausgedrückt:
_Die allgemeinste von uns zu construirende überall endliche Function ist
diejenige, deren reeller Theil an den _[formula]_ Querschnitten beliebig
vorgegebene Periodicitätsmoduln aufweist._
§. 10. Die allgemeinste stationäre Strömung. Beweis für die Unmöglichkeit
anderweitiger Strömungen.
Wenn wir die verschiedenen im vorigen Paragraphen construirten complexen
Functionen des Ortes additiv zusammenfügen, so erhalten wir eine Function,
deren Willkürlichkeit wir sofort übersehen. Indem wir die Bedingungen, die
hinsichtlich der Unendlichkeitsstellen ein für allemal vorgeschrieben
sind, nicht noch besonders erwähnen, können wir sagen: _dass unsere
Function an beliebig gegebenen Stellen in beliebig gegebener Weise
unendlich wird und überdiess ihr reeller Theil an den _[formula]_
Querschnitten beliebig gegebene Periodicitätsmoduln aufweist_.
Ich sage nun, _dass diess in der That die allgemeinste Function ist, der
auf unserer Fläche eine einförmige Strömung entspricht_. Zum Beweise mögen
wir diese Behauptung auf eine einfachere reduciren. Ist irgend eine
complexe Function der in Betracht kommenden Art auf unserer Fläche
gegeben, so haben wir im Vorhergehenden das Mittel, eine zugehörige
Function zu construiren, welche an denselben Stellen in derselben Weise
unendlich wird, und deren reeller Theil an den Querschnitten [formula],
[formula] dieselben Periodicitätsmoduln aufweist, wie der reelle Theil der
gegebenen Function. Die Differenz der beiden Functionen ist eine neue
Function, welche nirgendwo unendlich wird und deren reeller Theil an den
Querschnitten verschwindende Periodicitätsmoduln besitzt, welche
überdiess, wie selbstverständlich, wiederum eine einförmige Strömung
definirt. _Offenbar haben wir zu beweisen, dass eine_ _solche Function
nicht existirt, oder vielmehr, dass sie sich auf eine Constante reducirt._
Und in der That ist dieser Beweis nicht schwierig. Was eine Durchführung
desselben in strenger Form betrifft, so will ich mich darauf beschränken,
zu bemerken, dass dieselbe mit Hülfe des verallgemeinerten _Green_’schen
Satzes gelingt(16). Die folgenden Betrachtungen sollen auf
_anschauungsmässigem Wege_ dieselbe Unmöglichkeit darthun. Mag man
dieselben wegen der unbestimmten Form, die sie besitzen, vielleicht auch
nicht als zwingend erachten(17), so scheint es doch nützlich, auch in
dieser Weise den Gründen für das Bestehen jenes Theoremes nachzugehen.
Wir mögen den besonderen Fall [formula] vorweg nehmen und uns also fragen,
wesshalb auf der Kugel eine einförmige, überall endliche Strömung
unmöglich ist. Das Zweckmässigste scheint es zu sein, den Verlauf der
Strömungscurven auf der Kugel zu verfolgen. Da Unendlichkeitspuncte nicht
auftreten sollen, so kann eine Strömungscurve nicht plötzlich abbrechen,
wie es in einem Quellenpuncte, oder in einem algebraischen
Unstetigkeitspuncte geschieht. Ueberdiess halte man vor Augen, dass neben
einander herlaufende Strömungscurven nothwendig gleichen Strömungssinn
haben. Man erkennt dann, dass nur zweierlei Arten von nicht abbrechenden
Strömungscurven möglich sind. Entweder die Curve windet sich, je länger um
so enger, um einen asymptotischen Punct--dann haben wir wieder einen
Unendlichkeitspunct--, oder die Curve ist geschlossen. Ist aber _eine_
Strömungscurve geschlossen, so sind es die nächstfolgenden auch. Dabei
schliessen sie einen kleineren und kleineren Theil der Kugelfläche ein. Es
kann also nicht fehlen, dass man zu einem Wirbelpuncte, d. h. abermals zu
einem Unendlichkeitspuncte geführt wird. Eine überall endliche Strömung
ist also in der That unmöglich. Allerdings haben wir der Möglichkeit nicht
gedacht, die in dem Auftreten von Kreuzungspuncten liegt. Diese Puncte
sind jedenfalls nur, wie oben hervorgehoben, in endlicher Zahl vorhanden.
Es wird also nur eine endliche Zahl von Strömungscurven geben, welche
durch sie hindurchlaufen. Man denke sich die Kugel durch diese Curven in
Gebiete zerlegt und wiederhole innerhalb der einzelnen Gebiete die gerade
angestellten Betrachtungen, wobei sich das frühere Resultat von Neuem
ergeben wird.
Nehmen wir nun [formula] und legen wieder die Normalflächen des §. 8 zu
Grunde. Dass auf diesen Flächen überall endliche, einförmige Strömungen
existiren, liegt nach dem gerade Gesagten an dem Auftreten der Handhaben.
Eine auf der Normalfläche gezogene geschlossene Curve, die sich in einen
Punct zusammenziehen lässt, kann ebensowenig, wie eine geschlossene Curve
auf der Kugel, Strömungscurve für eine überall endliche Strömung sein.
Aber auch eine Curve, wie wir sie in Figur (19) betrachteten, ist nicht zu
brauchen. Denn an eine erste solche Strömungscurve müssen sich weitere
schliessen nach Art der in Figur (20) dargestellten,--so dass wir zuletzt
zu einer Curve gelangen, deren Theile zweimal in entgegengesetztem Sinne
durchlaufen werden! Die Strömungscurve muss also nothwendig sich um die
eine oder andere Handhabe _herumwinden_, mag diess ein einfaches Umfassen
jener Handhabe sein, oder ein wiederholtes Umkreisen derselben im Sinne
der Meridian- oder der Breitencurven. In allen Fällen lässt sich von der
Strömungscurve ein Theil abtrennen, der im Sinne des vorigen Paragraphen
mit einer ganzzahligen Combination der betreffenden Meridiancurve und der
zugehörigen Breitencurve aequivalent ist. Nun wächst _u_, der reelle Theil
der durch die Strömung definirten complexen Function, fortwährend, wenn
man längs einer Strömungscurve fortschreitet. Andererseits liefern zwei
Curven, welche im Sinne des vorigen Paragraphen aequivalent sind, bei
Durchlaufung nothwendig dieselben Incremente von _u_. Es gibt also eine
Combination wenigstens einer Meridiancurve und einer Breitencurve, deren
Durchlaufung einen nicht verschwindenden Zuwachs von _u_ herbeiführt. Das
Gleiche gilt nothwendig von der betreffenden Meridiancurve oder der
Breitencurve selbst. Der Zuwachs aber, den _u_ beim _Durchlaufen_ der
Meridiancurve gewinnt, entspricht dem _Ueberschreiten_ der Breitencurve,
und umgekehrt. Daher hat _u_ nothwendig wenigstens an einer Breitencurve
oder Meridiancurve einen nicht verschwindenden Periodicitätsmodul, und
eine überall endliche, einförmige Strömung, bei der alle diese
Periodicitätsmoduln gleich Null sind, ist in der That unmöglich, w. z. b.
w.
§. 11. Erläuterung der Strömungen an Beispielen.
Es scheint sehr nützlich, sich üher den allgemeinen Verlauf der nunmehr
definirten Strömungen an Beispielen zu orientiren, damit nämlich unsere
Sätze nicht blosse abstracte Formulirungen bleiben, sondern mit concreten
Vorstellungen verbunden werden(18). Es gelingt diess im gegebenen Falle
ziemlich leicht, so lange man sich auf qualitative Verhältnisse
beschränkt; die genaue quantitative Bestimmung würde selbstverständlich
ganz andere Hülfsmittel erfordern. Ich will mich dabei der Einfachheit
halber auf solche Flächen beschränken, bei denen eine Symmetrieebene
existirt, die mit der Ebene der Zeichnung zusammenfällt,--und auf diesen
Flächen nur solche Strömungen in Betracht ziehen, bei denen der scheinbare
Umriss der Fläche (d. h. der Schnitt der Fläche mit der Zeichnungsebene)
entweder Strömungscurve oder Niveaucurve ist. Man hat dann den
wesentlichen Vortheil, dass man die Strömungscurven nur auf der
_Vorderseite_ der Fläche zu zeichnen braucht; denn auf der Rückseite
verlaufen sie genau gerade so(19).
[Illustration: Fig. 21.]
Fig. 21.
Beginnen wir mit überall endlichen Strömungen auf dem Ringe [formula]. Wir
betrachten zunächst eine Breitencurve (oder mehrere solche Curven) als
Sitz der elektromotorischen Kraft. Dann entsteht die Figur 21, in der alle
Strömungscurven Meridiancurven sind und Kreuzungspuncte nicht auftreten.
Die Meridiancurven sind dabei durch Stücke radial verlaufender gerader
Linien vorgestellt. Die Pfeilspitzen geben die Strömungsrichtung auf der
Vorderseite, auf der Rückseite haben wir durchweg den umgekehrten
Bewegungssinn.
Bei der conjugirten Strömung spielen die Breitencurven die analoge Rolle,
wie soeben die Meridiancurven; dieselbe mag durch folgende Zeichnung
erläutert sein:
[Illustration: Fig. 22.]
Fig. 22.
Der Bewegungssinn ist in diesem Falle auf Vorder- und Rückseite derselbe.
[Illustration: Fig. 23.]
Fig. 23.
[Illustration: Fig. 24.]
Fig. 24.
Wir wollen nun den Ring [formula] dadurch umändern, dass wir, etwa auf der
rechten Seite der Figur, zwei Ausstülpungen aus ihm hervorwachsen lassen,
die sich allmählich zusammenbiegen und schliesslich verschmelzen. _So
haben wir eine Fläche_ [formula] _und auf ihr ein Paar conjugirter
Strömungen, wie es die Figuren_ 23 _und_ 24 _erläutern._
Es haben sich, wie man erkennt, rechter Hand zwei _Kreuzungspuncte_
eingestellt (von denen natürlich nur einer auf der Vorderseite gelegen und
also sichtbar ist). Etwas Analoges tritt jedesmal ein, wenn man überall
endliche Strömungen auf einer Fläche [formula] studirt. Ich setze statt
weiterer Erläuterungen noch zwei Figuren mit je vier Kreuzungspuncten her,
die sich auf [formula] beziehen:
[Illustration: Fig. 25.]
Fig. 25.
[Illustration: Fig. 26.]
Fig. 26.
Dieselben entstehen, wenn man auf sämmtlichen "Handhaben" der Fläche
einmal in den Breitencurven, das andere Mal in den Meridiancurven
elektromotorische Kräfte wirken lässt. Auf den beiden unteren Handhaben
sind dieselben in gleichem Sinne orientirt, bei der oberen im
entgegengesetzten. Von den Kreuzungspuncten liegen zwei bei _a_ und _b_,
der dritte bei _c_, der vierte an der entsprechenden Stelle der Rückseite.
Es sind die Kreuzungspuncte bei _a_ und _b_ in Figur (25) nur desshalb
schwer zu erkennen, weil am Rande der Figur bei der von uns gewählten
Darstellungsweise eine perspectivische Verkürzung eintritt und daher beide
im Kreuzungspuncte zusammentreffende Strömungscurven den Rand zu berühren
scheinen. Denkt man sich die (in entgegengesetzter Richtung)
stattfindenden Strömungen auf der Rückseite der Fläche hinzu, so kann über
die Natur dieser Puncte wohl keine Unklarheit bestehen.
Gehen wir nun zum Ringe [formula] zurück und lassen bei ihm zwei
logarithmische Unstetigkeitspuncte gegeben sein! Man erhält zugehörige
Figuren, wenn man die Zeichnungen (23) und (24) einem Deformationsprocesse
unterwirft, der auch in allgemeineren Fällen ebenso interessant als
nützlich ist. Wir wollen nämlich die Partieen linker Hand in den einzelnen
Figuren zusammenziehen, die rechter Hand ausdehnen, so dass wir zunächst
etwa folgende Bilder erhalten:
[Illustration: Fig. 27.]
Fig. 27.
[Illustration: Fig. 28.]
Fig. 28.
und nun die linker Hand bereits sehr schmal gewordene "Handhabe" vollends
zur Curve zusammenziehen, um sie dann wegzuwerfen. _So ist aus der überall
endlichen Strömung auf der Fläche _[formula]_ eine Strömung mit zwei
logarithmischen Unstetigkeitspunkten auf der Fläche _[formula]_ geworden._
Die Figuren haben nämlich folgende Gestalt angenommen:
[Illustration: Fig. 29.]
Fig. 29.
[Illustration: Fig. 30.]
Fig. 30.
Die beiden Kreuzungspuncte von (23), (24) sind geblieben; _m_ und _n_ sind
die beiden logarithmischen Unstetigkeitspuncte. Und zwar sind dieselben im
Falle der Figur 29 Wirbelpuncte von entgegengesetzt gleicher Intensität,
im Falle der Figur 30 Quellenpuncte von entgegengesetzt gleicher
Ergiebigkeit. Dabei ist es wieder eine Folge der von uns gewählten
Projectionsart, wenn im zweiten Falle sämmtliche Strömungscurven, von
einer einzigen abgesehen, in _m_ und _n_ den Rand zu berühren scheinen.
Wollen wir endlich _m_ und _n_ zusammenrücken lassen, so dass ein
algebraischer Unstetigkeitspunct von einfacher Multiplicität entsteht, so
kommen folgende Zeichnungen, bei denen, wie man beachten mag, die
Kreuzungspuncte nach wie vor an ihrer Stelle geblieben sind:
[Illustration: Fig. 31.]
Fig. 31.
[Illustration: Fig. 32.]
Fig. 32.
Ich will diese Figuren nicht noch mehr vervielfältigen, da weitere
Beispiele nach Art der nunmehr betrachteten leicht zu bilden sind. Nur der
eine Umstand werde noch hervorgehoben. Die Zahl der Kreuzungspunkte einer
Strömung wächst offenbar mit dem _p_ der Fläche und mit der Zahl der
Unendlichkeitspunkte. Algebraische Unendlichkeitspuncte von der
Multiplicität _r_ mögen als [formula] logarithmische Unendlichkeitspuncte
gezählt werden. Dann ist auf der Kugel bei [formula] logarithmischen
Unendlichkeitspunkten die Anzahl der eigentlichen Kreuzungspunkte
allgemein [formula]. Andererseits ist mit der Zunahme von _p_ um eine
Einheit nach unseren Beispielen eine Zunahme der Zahl der Kreuzungspunkte
um zwei Einheiten verbunden. _Hiernach wird man vermuthen, dass die Zahl
der Kreuzungspuncte überhaupt _[formula]_ sein wird._ Ein strenger Beweis
dieses Satzes auf Grund der bisher entwickelten Anschauungen hat
jedenfalls keine besondere Schwierigkeit(20); er würde hier aber zu weit
führen. Der einzige Specialfall unseres Satzes, den wir später gebrauchen
werden, ist auf Grund der gewöhnlichen Untersuchungen der Analysis situs
bekannt: es handelt sich bei ihm (§. 14) um solche Strömungen, bei denen
_m_ einfache algebraische Unstetigkeitspuncte vorhanden sind, bei denen
also [formula] Kreuzungspuncte auftreten müssen.
§. 12. Ueber die Zusammensetzung der allgemeinsten complexen Function des
Ortes aus einzelnen Summanden.
Der Beweisgang des §. 10 setzt uns in den Stand, von der allgemeinsten auf
einer Fläche existirenden complexen Function des Ortes uns dadurch eine
concretere Vorstellung zu machen, dass wir dieselbe aus einzelnen
Summanden von möglichst einfacher Eigenschaft additiv zusammensetzen.
Betrachten wir zuvörderst _überall endliche_ Functionen.
Es seien [formula] überall endliche Potentiale. Dieselben mögen _linear
abhängig_ heissen, wenn zwischen ihnen eine Relation
[formula]
mit constanten Coëfficienten besteht. Eine solche Beziehung liefert
entsprechende Gleichungen für die [formula] Serien von [formula]
Periodicitätsmoduln, welche [formula] an den [formula] Querschnitten der
Fläche besitzen. Umgekehrt würde, nach dem in §. 10 bewiesenen Satze, aus
solchen Gleichungen zwischen den Periodicitätsmoduln die lineare Relation
zwischen den _u_ selbst hervorgehen. Es ergiebt sich so, _dass man auf
mannigfachste Weise _[formula]_ linear unabhängige überall endliche
Potentiale_
[formula]
_finden kann, dass sich aber aus ihnen jedes andere überall endliche
Potential linear zusammensetzt:_
[formula]
In der That kann man [formula] z. B. derart wählen, dass jedes nur an
einem der [formula] Querschnitte einen nicht verschwindenden
Periodicitätsmodul besitzt (wobei natürlich jedem Querschnitte ein und nur
ein Potential zugewiesen werden soll). Hernach kann man in [formula] die
Constanten [formula] so bestimmen, dass dieser Ausdruck an sämmtlichen
[formula] Querschnitten dieselben Periodicitätsmoduln aufweist, wie _u_.
Dann ist [formula] eine Constante, und wir haben also die vorstehende
Formel.
Um nun von den Potentialen u zu den überall endlichen Functionen [formula]
überzugehen, denke ich mir der Einfachheit halber ein solches
Coordinatensystem [formula] auf der Fläche eingeführt (§. 6), dass
[formula] durch die Gleichungen verknüpft sind:
[formula]
Sei jetzt [formula] ein beliebiges überall endliches Potential. Wir bilden
das zugehörige [formula] und haben:
[formula]_ und _[formula]_ sind jedenfalls linear unabhängig._