[formula]
für [formula] endlich bleiben, so muss der Grad von [formula] um zwei
Einheiten kleiner sein als der Grad von [formula]. [formula] und [formula]
sollen dabei ohne gemeinsamen Theiler angenommen werden. Dann liefert
[formula] _die freien Kreuzungspuncte_, d. h. diejenigen Kreuzungspuncte,
welche nicht mit Unendlichkeitspuncten zusammenfallen. Die Wurzeln von
[formula] geben die Unendlichkeitspuncte des Integrals. Und zwar
entspricht der einfachen Wurzel von [formula] ein logarithmischer
Unendlichkeitspunct, der Doppelwurzel ein Unendlichkeitspunct, der im
Allgemeinen die Ueberlagerung eines logarithmischen Unstetigkeitspunctes
mit einem einfachen algebraischen sein wird, etc. _Wenn man
dementsprechend jeden Unendlichkeitspunct so oft zählt, als die
Multiplicität des entsprechenden Factors in _[formula]_ beträgt, so ist
die Gesammtmultiplicität der Kreuzungspuncte um zwei Einheiten geringer
als die der Unendlichkeitspuncte_. Uebrigens sei noch an den bekannten
Satz erinnert, dass die Summe der logarithmischen Residua sämmtlicher
Unstetigkeitspuncte gleich Null ist.--
Das Vorstehende gibt uns eine zweifache Möglichkeit, um höhere
Unstetigkeitspuncte aus niederen entstehen zu lassen. Wir können
einmal--und diess ist für uns das Wichtigste--vom Integral der rationalen
Function ausgehen. Bei ihm entsteht ein [formula]-facher algebraischer
Unstetigkeitspunct, wenn [formula] Factoren von [formula] einander gleich
werden, _wenn also _[formula]_ logarithmische Unstetigkeitspuncte in
geeigneter Weise zusammenrücken_. Dabei ist deutlich, dass die
Residuensumme der letzteren gleich Null sein muss, wenn der entstehende
Unendlichkeitspunct ein rein algebraischer sein soll. Die folgenden beiden
Figuren, in denen nur die Strömungscurven angegeben sind, erläutern den
betreffenden Gränzübergang für den einfachen algebraischen
Unstetigkeitspunct der Figur (4):
[Illustration: Fig. 6.]
Fig. 6.
[Illustration: Fig. 7.]
Fig. 7.
Ich habe dabei die Anordnung in doppelter Weise getroffen, so dass linker
Hand zwei Quellenpuncte, rechter Hand zwei Wirbelpuncte einander nahe
gerückt scheinen und Figur 4 als übereinstimmendes Resultat des
Gränzüberganges in beiden Fällen erscheint. In derselben Beziehung stehen
die folgenden beiden Zeichnungen zu Figur 5:
[Illustration: Fig. 8.]
Fig. 8.
[Illustration: Fig. 9.]
Fig. 9.
Die zweite Möglichkeit für das Entstehen höherer Unendlichkeitsstellen aus
niederen bietet die Betrachtung der rationalen Function [formula] selbst.
Logarithmische Unendlichkeitsstellen bleiben dabei ausgeschlossen. _Der
_[formula]_-fache algebraische Unstetigkeitspunct entsteht jetzt aus
_[formula]_ einfachen algebraischen Unstetigkeitspuncten_, indem nämlich
[formula] einfache lineare Factoren von [formula] zu einem
[formula]-fachen zusammenrücken müssen. _Aber zugleich vereinigt sich mit
ihnen eine Anzahl von Kreuzungspuncten, deren Gesammtmultiplicität
_[formula]_ beträgt_. Denn [formula] erhält, wie schon bemerkt, in
demselben Augenblicke, wo [formula] den [formula]-fachen Factor bekommt,
einen [formula]-fachen Factor. Die folgende Figur erläutert in diesem
Sinne das Entstehen des in Figur 5 abgeleiteten zweifachen algebraischen
Unendlichkeitspunctes:
[Illustration: Fig. 10.]
Fig. 10.
Es ist natürlich leicht, diese beiden Arten des Gränzüberganges unter eine
allgemeinere gemeinsam zu subsumiren. Wenn man [formula] logarithmische
Unendlichkeitspuncte und [formula] Kreuzungspuncte successive oder
gleichzeitig zusammenfallen lässt, so wird allemal ein [formula]-facher
algebraischer Unstetigkeitspunct entstehen. Doch ist hier nicht der Ort,
um diese Gedanken weiter auszuführen.
§. 4. Realisation der betrachteten Strömungen auf experimentellem Wege.
Wir wollen unserer Betrachtung nunmehr eine andere Wendung geben, indem
wir uns fragen, wie diejenigen Bewegungsformen, die wir jetzt von den
rationalen Functionen und ihren Integralen kennen, physikalisch realisirt
werden mögen. Dabei sei es gestattet, von dem Princip der _Ueberlagerung_
ausgiebigen Gebrauch zu machen, so dass es sich nur um Herstellung der
allereinfachsten Bewegungsformen handelt. Aus der Theorie der
Partialbrüche folgt, dass man jede der in Betracht kommenden Functionen
aus einzelnen Bestandtheilen additiv zusammensetzen kann, welche sich
unter einen der folgenden beiden Typen subsumiren:
[formula]
Da [formula] bei [formula] einen Unstetigkeitspunct hat, was eine
unnöthige Besonderheit ist, so wollen wir den ersten Typus durch den
allgemeineren ersetzen:
[formula]
und diesen selbst wieder, entsprechend den Erläuterungen des §. 2, in zwei
Bestandtheile zerspalten, indem wir nämlich _A_ gleich A + _i_B setzen
und nun A [formula] und _i_B [formula] gesondert betrachten. Hiernach
haben wir im Ganzen drei Fälle auseinanderzuhalten.
1) Wenn es sich um den Typus A [formula] handelt, so haben wir bei
[formula] eine Quelle von der Ergiebigkeit _2_ A [formula], bei [formula]
eine solche von der Ergiebigkeit [formula] A [formula] anzubringen. Man
denke sich zu dem Zwecke die [formula]-Ebene mit einer unendlich dünnen,
gleichförmigen, elektricitätsleitenden Schicht überdeckt. Dann wird die
entsprechende Bewegungsform offenbar realisirt, _indem wir bei _[formula]_
den einen, bei _[formula]_ den anderen Pol einer galvanischen Batterie von
zweckmässig gewählter Stärke aufsetzen_(2).--Man sieht zugleich, wesshalb
das Residuum von [formula] demjenigen von [formula] entgegengesetzt gleich
sein muss: da der Strömungszustand stationär sein soll, muss an der einen
Stelle ebenso viel Elektricität zugeführt werden, als an der anderen
abströmt. Derselbe Grund gilt, wie man sofort erkennt, für den
entsprechenden Satz bei beliebig vielen logarithmischen
Unendlichkeitspuncten, wobei allerdings zunächst nur von den rein
imaginären Theilen der betreffenden Residua die Rede ist (welche den von
den Unendlichkeitspunkten ausgehenden Quellenbewegungen entsprechen).
2) Im zweiten Falle (wo _i_B [formula] gegeben ist) wird die
experimentelle Anordnung etwas schwieriger. Das einfachste Schema ist
dieses, dass man [formula] und [formula] durch eine sich selbst nicht
schneidende Curve verbindet _und nun dafür sorgt, dass diese Curve der
Sitz einer constanten elektromotorischen Kraft sei_. Es entwickelt sich
dann in der [formula]-Ebene eine Strömung, welche bei [formula] und
[formula] Wirbelpunkte aufweist, welche überall sonst stetig verläuft, und
aus der man durch Integration als zugehöriges Geschwindigkeitspotential
eine Function findet, welche bei jeder Umkreisung von [formula] oder
[formula] um einen gewissen Periodicitätsmodul wächst. Von diesem
Geschwindigkeitspotential ist dabei das nothwendig eindeutige
elektrostatische Potential wohl zu unterscheiden. Die Curve, welche
[formula] und [formula] verbindet, ist für das letztere eine
Unstetigkeitscurve, und wird eben hierdurch die Eindeutigkeit des
elektrostatischen Potentials ermöglicht(3).
[Illustration: Fig. 11.]
Fig. 11.
Ich weiss nicht, ob es eine experimentelle Anordnung giebt, um dieses
einfachste Schema zu realisiren. Es scheint, dass man umständlicher zu
Werke gehen muss. Denken wir zuvörderst etwa an _thermoelektrische_
Ströme. Wir wollen die [formula]-Ebene zum Theil mit dem Materiale I, zum
Theil mit dem Materiale II überdecken und die Stärke der überdeckenden
Schichten dabei so bemessen, dass der specifische Leitungswiderstand
überall derselbe sei. Wenn wir dann dafür sorgen, dass die beiden durch
[formula] und [formula] von einander getrennten Theile der Contour, in
welcher die zweierlei Materialien zusammenstossen, beide auf constanten,
unter sich verschiedenen Temperaturen gehalten werden, so wird in der That
eine elektrische Strömung entstehen, wie wir sie haben wollen. Dabei weist
das elektrostatische Potential, nach den Vorstellungen, die man der Lehre
von der Thermoelektricität zu Grunde legt, an _beiden_ Theilen der
genannten Contour Unstetigkeiten auf.--Noch complicirter scheint es,
elektrische Ströme zu benutzen, wie sie die gewöhnlichen galvanischen
Elemente liefern. Man muss die Ebene dann durch mindestens drei Curven,
welche von [formula] nach [formula] verlaufen, in Theile zerlegen und zwei
dieser Theile mit metallischen Belegen, den dritten mit einem feuchten
Leiter überdecken. Man vergleiche hierzu die Figur 12.
[Illustration: Fig. 12.]
Fig. 12.
Durch alle diese Anordnungen hindurch ist von Vorne herein ersichtlich,
dass die beiden bei [formula] und [formula] auftretenden Wirbelpuncte in
der That entgegengesetzt gleiche Intensität haben müssen. Aus ähnlichen
Gründen wird die Gesammtintensität sämmtlicher Wirbel bei beliebig vielen
gegebenen Wirbelpuncten immer gleich Null sein, und ist dadurch der Satz
von dem Verschwinden der Summe aller logarithmischen Residuen, auch was
den reellen Theil dieser Residuen angeht, auf physikalisch evidente Gründe
zurückgeführt.
3) Die Bewegungsformen, welche den algebraischen Typen [formula]
entsprechen, mögen den Entwickelungen des §. 3 zufolge aus den eben
betrachteten durch Grenzübergang gewonnen werden. Es wird diess natürlich
nur mit einer gewissen Annäherung geschehen können. Man setze z. B.
[formula] Drähte, in welche die Pole einer galvanischen Batterie
auslaufen, _dicht bei einander_ auf die [formula]-Ebene auf. Dann entsteht
eine Strömung, welche in einiger Entfernung von den Drahtenden mit
derjenigen merklich zusammenfällt, welche einem algebraischen
Unstetigkeitspunkte von der Multiplicität [formula] entspricht. Zugleich
ergiebt sich eine Ergänzung unserer obigen Darstellung. Man wird die
galvanische Batterie _sehr stark_ nehmen müssen, wenn bei der erwähnten
Anordnung noch eine mittlere elektrische Strömung zu Stande kommen soll.
Es entspricht diess dem von analytischer Seite wohlbekannten Satze, dass
die Residua logarithmischer Unendlichkeitspuncte selbst in’s Unendliche
wachsen müssen, wenn beim Zusammenfallen der logarithmischen ein
algebraischer Unstetigkeitspunkt entstehen soll.--Ich gehe hier in kein
weiteres Detail, da es im Folgenden allein darauf ankommt, dass auf Grund
der Figuren 6-9 das allgemeine Princip verstanden wird.
§. 5. Uebergang zur Kugelfläche, Strömungen auf beliebigen krummen
Flächen.
Um die unendlich grossen Werthe von _z_ derselben geometrischen
Behandlungsweise zugänglich zu machen, wie die endlichen, bedient man sich
in den Lehrbüchern jetzt allgemein der _Kugelfläche_(_4_), welche
stereographisch auf die [formula]-Ebene bezogen ist. Man kennt die
einfachen geometrischen Beziehungen, welche bei dieser Abbildung
auftreten(5). Man weiss auch zur Genüge, dass das Unendlich-Weite der
Ebene sich in einen bestimmten Punct der Kugel, den Projectionspunct,
zusammenzieht, so dass es keine symbolische Ausdrucksweise mehr ist, wenn
man auf der Kugel von einem Puncte [formula] spricht. Dagegen scheint es
noch immer weniger bekannt zu sein, dass bei dieser Abbildung die
Functionen von [formula] eine Bedeutung für die Kugelfläche gewinnen,
welche derjenigen, die sie für die Ebene hatten, genau analog ist, _dass
man also in den Entwickelungen der vorangehenden Paragraphen statt der
Ebene die Kugel gebrauchen kann, wobei von einer Sonderstellung des
Werthes_ [formula] _von vorne herein keine Rede ist_(6): Ich entwickele
hier kurz diejenigen Sätze der Flächentheorie, aus denen diese Behauptung
folgt, und nehme meinen Standpunct dabei gleich so allgemein, dass meine
Darstellung für später anzustellende Betrachtungen ausreicht.
Indem wir Flüssigkeitsbewegungen parallel der [formula]-Ebene studirten,
haben wir uns bereits gewöhnt, die Flüssigkeitsschicht, welche der
Betrachtung unterliegt, als unendlich dünn vorauszusetzen. In demselben
Sinne kann man Flüssigkeitsbewegungen offenbar auf beliebig gegebenen
Flächen betrachten. Die Verschiebungen frei ausgespannter
Flüssigkeitsmembranen in sich, wie man sie bei den Plateau’schen Versuchen
so schön beobachten kann, geben ein anschauliches Beispiel dafür.--Wir
werden versuchen, auch derartige Bewegungen durch ein Potential zu
definiren, und vor allen Dingen fragen, welche Bewandniss es dann mit den
stationären Bewegungen hat.
Die zweckmässige Verallgemeinerung des Potentialbegriffs bietet sich
unmittelbar. Es sei _u_ eine Function des Ortes auf der Fläche, so denke
man sich auf letzterer die Curven [formula] Const. gezogen. Sodann werde
festgesetzt, dass die Flüssigkeitsbewegung auf der Fläche in jedem Punkte
_senkrecht_ gegen die hindurchgehende Curve [formula] Const. stattfinden
solle, und zwar mit einer Geschwindigkeit, die, unter [formula] das
Bogenelement der zugehörigen, auf der Fläche verlaufenden Normalrichtung
verstanden, gleich [formula] ist. Wir nennen dann _u_, wie in der Ebene,
das zur Bewegung gehörige _Geschwindigkeitspotential_.
Die in solcher Weise definirte Strömung soll nun eine _stationäre_ sein.
Um eine bestimmte Formel zu haben, wollen wir ein krummliniges
Coordinatensystem _p_, _q_ auf unserer Fläche annehmen und uns die Form
bestimmt denken:
[formula]
welche vermöge dieses Coordinatensystems das Bogenelement auf der Fläche
annimmt. Dann gibt eine einfache Zwischenbetrachtung, welche der in der
Ebene üblichen durchaus analog verläuft, dass _u_, um eine stationäre
Bewegung zu veranlassen, der folgenden Differentialgleichung zweiter
Ordnung genügen muss:
[formula]
An diese Differentialgleichung knüpft nun eine kurze Ueberlegung, welche
die volle Analogie mit den auf die Ebene bezüglichen Resultaten herstellt.
Es ergiebt sich nämlich aus der Form von (2); dass man neben jedem _u_,
welches (2) genügt, eine andere Function _v_ einführen kann, _die zu __u__
genau in dem bekannten Reciprocitätsverhältnisse steht_. In der That,
vermöge (2) sind die folgenden beiden Gleichungen verträglich:
[formula]
sie definiren ein _v_ bis auf eine nothwendig unbestimmt bleibende
Constante. Aus ihnen aber folgt durch Auflösung:
[formula]
und hieraus:
[formula]
so dass einmal _u_ sich zu _v_ verhält, wie _v_ zu [formula], und
andererseits _v_, so gut wie _u_, der partiellen Differentialgleichung (2)
genügt. Zugleich haben die Gleichungen (3), bez. (4), die geometrische
Bedeutung, dass die Curven _u_ = Const. und _v_ = Const. einander im
Allgemeinen rechtwinkelig schneiden.
Was nun die Behauptung betrifft, die ich hinsichtlich der
stereographischen Beziehung der Kugel auf die Ebene zu Eingang dieses
Paragraphen voranstellte, so ist sie ein unmittelbarer Ausfluss aus dem
Umstande, _dass die Gleichungen _[formula]_ in __E__, __F__, __G__ homogen
von der nullten Dimension sind_(7). Wenn zwei Flächen conform auf einander
bezogen sind und man führt auf ihnen entsprechende krummlinige Coordinaten
ein, so unterscheidet sich der Ausdruck für das Bogenelement auf der einen
Fläche von dem auf die andere Fläche bezüglichen nur durch einen Faktor.
Dieser Factor aber fällt aus dem angegebenen Grunde aus den Gleichungen
(2)--(5) einfach heraus. Wir haben also einen allgemeinen Satz, der die
besondere auf Kugel und Ebene bezügliche, oben ausgesprochene Behauptung
als speciellen Fall umfasst. Indem ich aus _u_, _v_ die Combination
[formula] bilde und diese als _complexe Function des Ortes auf der Fläche_
bezeichne, spricht sich derselbe folgendermassen aus:
_Wird eine Fläche conform auf eine zweite abgebildet, so verwandelt sich
jede auf ihr existirende complexe Function des Ortes in eine Function
derselben Art auf der zweiten Fläche._
Vielleicht ist es nützlich, ausdrücklich einem Missverständnisse
entgegenzutreten, welches hierbei entstehen könnte. Derselben Function
[formula] entspricht eine Flüssigkeitsbewegung auf der einen und auf der
anderen Fläche; man könnte meinen, dass die eine Bewegung vermöge der
Abbildung aus der anderen hervorgehe. Dies ist natürlich richtig mit Bezug
auf den Verlauf der Strömungscurven und der Niveaucurven, keineswegs aber
in Bezug auf die Geschwindigkeit. Wo das Bogenelement der einen Fläche
grösser ist, als das Bogenelement der anderen Fläche, da ist die
Geschwindigkeit der Strömung entsprechend _kleiner_. Hierin eben liegt es,
dass der Werth [formula] auf der Kugel seine singuläre Stellung verliert.
Für den Unendlichkeitspunct der Ebene erweist sich die Geschwindigkeit der
Strömung, wie man sofort sieht, im Allgemeinen als unendlich klein von der
zweiten Ordnung. Sollte der Unendlichkeitspunkt singulär sein, so wird die
Geschwindigkeit dort allemal um zwei Ordnungen kleiner, als die
Geschwindigkeit in einem gleichzubenennenden Punkt des Endlichen. Man
erinnere sich nun der oben (unter dem Texte) mitgetheilten Formel:
[formula]
welche das Bogenelement der Kugel zum Bogenelement der Ebene in Beziehung
setzt. Hier ist [formula] eben auch eine Grösse zweiter Ordnung, und es
findet daher beim Uebergange zur Kugel genaue Compensation statt.
§. 6. Zusammenhang der entwickelten Theorie mit den Functionen eines
complexen Argumentes.
Nun wir die Kugel als Substrat unserer Betrachtungen gewonnen haben,
übertragen wir auf sie, was wir in den §§. 3 und 4 betreffs rationaler
Functionen und ihrer Integrale haben kennen lernen. Wir gewinnen dadurch,
dass alle früher aufgestellten Sätze auch für unendlich grosses _z_ und
somit ausnahmslos gelten. Um so interessanter wird es, sich auf der Kugel
den Verlauf bestimmter rationaler Functionen zu überlegen und über die
Mittel zu ihrer physikalischen Realisirbarkeit nachzudenken(8). Aber es
ist eine andere wichtige Frage, welche sich bei solchen Untersuchungen
aufdrängt. Die verschiedenen Functionen des Ortes, welche wir auf der
Kugelfläche studiren, sind zugleich Functionen des _Argumentes_ [formula].
Woher dieser Zusammenhang?
Man wolle vor allen Dingen bemerken, dass [formula] selbst eine complexe
Function des _Ortes_ auf unserer Kugel ist; genügen doch _x_ und _y_, für
_u_ und _v_ eingesetzt, den früher (§. 1) für letztere aufgestellten
Differentialgleichungen. So lange man in der Ebene operirt, könnte man
denken, dass diese Function vor den übrigen etwas Wesentliches voraus
habe; nach dem Uebergange zur Kugel ist hierzu keine Veranlassung mehr.
Und in der That verallgemeinert sich die Bemerkung, auf die sich unsere
Frage bezieht, sofort. Wenn [formula] und [formula] Functionen von
[formula] sind, so ist auch [formula] eine Function von [formula] Wir
haben also für Ebene und Kugelfläche den allgemeinen Satz: _dass von zwei
complexen Functionen des Ortes im Sinne der gewöhnlichen
functionentheoretischen Ausdrucksweise jede eine Function der anderen
ist_.
Wird dieses nun eine besondere Eigenthümlichkeit der genannten Flächen
sein? Sicher wird sich dieselbe auf alle solche Flächen übertragen, die
man auf einen Theil der Ebene (oder der Kugel) conform beziehen kann.
Diess folgt aus dem letzten Satze des vorigen Paragraphen. Ich sage aber,
_dass dieselbe Eigenthümlichkeit überhaupt allen Flächen zukommt_, womit
implicite behauptet wird, dass man einen Theil einer _beliebigen_ Fläche
auf die Ebene oder die Kugelfläche conform übertragen kann.
Der Beweis gestaltet sich unmittelbar, wenn man die Bestandteile [formula]
irgend einer auf einer Fläche existirenden complexen Function des Ortes,
[formula], auf der Fläche selbst als krummlinige Coordinaten einführt.
Dann müssen nämlich die Coëfficienten _E_, _F_, _G_ in dem Ausdrucke des
Bogenelementes so beschaffen werden, dass Identitäten entstehen, wenn man
in die Gleichungen (2)-(5) des vorigen Paragraphen für _p_ und _q_ und
gleichzeitig für _u_ und _v_ bez. _x_ und _y_ einführt. _Diess bedingt,
wie man sofort ersieht, dass _[formula]_, _[formula]_ wird_. Hierdurch
aber verwandeln sich jene Gleichungen in die wohlbekannten:
[formula]
Sie gehen also direct in jene Gleichungen über, durch welche man
Functionen des Argumentes [formula] zu definiren pflegt, so dass [formula]
in der That eine Function von [formula] wird, was zu beweisen war.
Zugleich erledigt sich, was hinsichtlich conformer Abbildung behauptet
wurde. Denn ans der Form des Bogenelementes
[formula]
folgt unmittelbar, dass unsere Fläche durch [formula] auf die
[formula]-Ebene conform übertragen wird. Ich will dieses Resultat in etwas
allgemeinerer Form aussprechen, indem ich sage:
_Wenn man auf zwei Flächen zwei complexe Functionen des Ortes kennt, und
man bezieht die Flächen so aufeinander, dass entsprechende Puncte
respective gleiche Functionswerthe aufweisen, so sind die Flächen conform
auf einander bezogen._
Es ist dies die Umkehr des ähnlich lautenden am Schlusse des vorigen
Paragraphen aufgestellten Satzes.
Alle diese Theoreme haben, soweit sie sich auf beliebige Flächen beziehen,
für’s Erste nur dann einen klaren Sinn, wenn man seine Aufmerksamkeit auf
kleine Stücke der Flächen beschränkt, innerhalb deren die complexen
Functionen des Ortes weder Unendlichkeitspuncte noch Kreuzungspuncte
aufweisen. Ich habe desshalb gelegentlich auch nur von einem
Flächen_theile_ gesprochen. Aber es liegt nahe, zu fragen, wie sich die
Verhältnisse gestalten, wenn man geschlossene Flächen _in ihrer ganzen
Ausdehnung_ benutzt. Diese Frage ist mit der weiteren Ideenentwickelung,
die ich im folgenden zu geben habe, auf das Innigste verknüpft; ihr
speciell sind die §§. 19--21 des Folgenden gewidmet.
§. 7. Noch einmal die Strömungen auf der Kugel. Riemann’s allgemeine
Fragestellung.
Wir haben nunmehr alle Vorbedingungen, um die Entwickelungen der ersten
Paragraphen dieser Einleitung in wesentlich neuer Weise aufzufassen und
uns vermöge dieser Auffassung zu einer grossen und allgemeinen
Fragestellung zu erheben, welche die _Riemann’sche_ ist, und deren
Präcisirung und Beantwortung den eigentlichen Gegenstand der gegenwärtigen
Schrift zu bilden hat.
Das Primäre bei der bisherigen Darstellung bildete die Function von
[formula]. Wir haben dieselbe durch eine stationäre Strömung auf der Kugel
gedeutet, und uns bemüht, Eigenschaften der Function in solchen der
Strömung wieder zu erkennen. Insbesondere haben uns die rationalen
Functionen und ihre Integrale mit einer einfachen Art von Strömungen
bekannt gemacht: es sind die _einförmigen_ Strömungen, diejenigen, bei
denen in jedem Puncte der Kugel nur _eine_ Strömung statt hat. Und zwar
sind es unter der Voraussetzung, dass keine anderen Unstetigkeitspuncte
statt haben, als die in §. 2 definirten, die _allgemeinsten_ einförmigen
Strömungen, welche es auf der Kugel gibt.
Es scheint von Vorneherein möglich, diese ganze Entwickelung umzukehren:
_das Studium der Strömungen voranzustellen und aus ihm erst die Theorie
gewisser analytischer Functionen zu entwickeln_. Die Frage nach der
allgemeinsten in Betracht kommenden Strömung mag dann vorab durch
physikalische Betrachtungen beantwortet werden; geben uns doch die
experimentellen Anordnungen des §. 4 zusammen mit dem Princip der
Ueberlagerung das Mittel, um jede derartige Strömung zu definiren! Die
einzelne Strömung bestimmt uns sodann, von einer Integrationsconstante
abgesehen, eine complexe Function des Ortes, deren allgemeinen Verlauf wir
anschauungsmässig verfolgen können. Jede solche Function ist eine
analytische Function jeder anderen. Indem wir irgend zwei complexe
Functionen des Ortes zusammenstellen, werden wir zu analytischen
Abhängigkeiten hingeführt, deren Eigenschaften wir von Vorneherein
übersehen und die wir erst hinterher, um den Zusammenhang mit den
Betrachtungen der Analysis herzustellen, mit sonst in der Analysis
üblichen Abhängigkeiten identificiren.
Alles dieses ist so deutlich, dass eine genauere Ausführung hier
überflüssig erscheint, dass wir vielmehr sofort zu der in Aussicht
gestellten _Verallgemeinerung_ schreiten können. Auch diese bietet sich
auf Grund der bisherigen Entwickelungen fast mit Nothwendigkeit. Wir
werden alle die Fragen, welche wir gerade hinsichtlich der Kugelfläche
formulirten, in gleicher Weise aufwerfen können, _wenn statt der
Kugelfläche eine beliebige geschlossene Fläche gegeben ist_. Auch auf ihr
werden wir einförmige Strömungen und also complexe Functionen des Ortes
bestimmen können, deren Eigenschaften wir anschauungsmässig erfassen. Die
gleichzeitige Betrachtung verschiedener Functionen des Ortes verwandelt
hernach die zu gewinnenden Ergebnisse in ebenso viele Lehrsätze der
gewöhnlichen Analysis.--Die Ausführung dieses Gedankenganges ist _die
Riemann’sche Theorie_; zugleich haben wir die Haupteintheilung, welche bei
der folgenden Exposition derselben zu Grunde zu legen ist.