§. 1. Stationäre Strömungen in der Ebene als Deutung der Functionen von x
+ iy.
Die physikalische Deutung der Functionen von [formula], mit welcher wir im
Folgenden zu arbeiten haben, ist in ihren Grundlagen wohlbekannt(1), nur
der Vollständigkeit halber müssen letztere kurz zur Sprache gebracht
werden.
Sei [formula], [formula], [formula]. Dann hat man vor allen Dingen:
[formula]
und hieraus:
[formula]
sowie für _v_:
[formula]
Hier wird man nun _u_ als _Geschwindigkeitspotential_ deuten, so dass
[formula] [formula] die Componenten der Geschwindigkeit sind, mit der eine
Flüssigkeit parallel zur [formula]-Ebene strömt. Wir mögen uns diese
Flüssigkeit zwischen zwei Ebenen eingeschlossen denken, die parallel zur
[formula]-Ebene verlaufen, oder auch uns vorstellen, dass die Flüssigkeit
als unendlich dünne, übrigens gleichförmige Membran über der
[formula]-Ebene ausgebreitet sei. Dann sagt die Gleichung (2)--und dies
ist der Kern unserer physikalischen Deutung--, dass unsere Strömung eine
_stationäre_ ist. Die Curven [formula] Const. heissen die _Niveaucurven_,
während die Curven [formula] Const., die vermöge (1) den ersteren überall
rechtwinkelig begegnen, die _Strömungscurven_ abgeben.
Bei dieser Vorstellungsweise ist es zunächst natürlich völlig
gleichgültig, wie beschaffen wir uns die strömende Flüssigkeit denken
wollen. Inzwischen wird es in der Folge vielfach zweckmässig sein,
dieselbe mit dem _elektrischen Fluidum_ zu identificiren. Es wird dann
nämlich _u_ mit dem elektrostatischen Potential, welches die Strömung
hervorruft, proportional, und die experimentelle Physik gibt uns
mannigfache Mittel an die Hand, um zahlreiche Strömungszustände, die uns
interessiren, thatsächlich zu realisiren.
Die Strömung selbst wird übrigens ungeändert bleiben, wenn wir _u_
durchweg um eine Constante vermehren: es sind nur die
Differentialquotienten [formula], welche unmittelbar in Evidenz treten.
Das Analoge gilt von _v_; so dass die Function [formula], welche wir
physikalisch deuten, durch diese Deutung nur bis auf eine additive
Constante bestimmt ist, was im Folgenden wohl zu beachten ist.
Sodann bemerke man noch, dass die Gleichungen (1)-(3) ungeändert bestehen
bleiben, wenn man _u_ durch _v_, _v_ durch [formula] ersetzt.
Dementsprechend erhalten wir einen zweiten Strömungszustand, bei welchem
_v_ das Geschwindigkeitspotential abgibt und die Curven [formula] Const.
die Strömungscurven sind. Derselbe repräsentirt in dem oben erläuterten
Sinne die Function [formula]. Es ist häufig zweckmässig, diese neue
Strömung neben der ursprünglichen zu betrachten, bei welcher _u_ das
Geschwindigkeitspotential war; wir wollen dann der Kürze halber von
_conjugirten_ Strömungen sprechen. Die Benennung ist zwar etwas ungenau,
weil sich _u_ zu _v_ verhält, wie _v_ zu [formula]; sie wird aber für
später ausreichen.
Diese ganze Erläuterung bezieht sich, gleich den Differentialgleichungen
(1)-(3), zuvörderst nur auf einen solchen (übrigens beliebigen) _Theil_
der Ebene, in welchem [formula] eindeutig ist und weder [formula], noch
einer seiner Differentialquotienten unendlich wird. Um den entsprechenden
physikalischen Vorgang deutlich zu übersehen, hat man sich also vorab
einen solchen Bereich abzugränzen und durch geeignete Vorrichtungen an der
Gränze dafür zu sorgen, dass der im Inneren des Gebietes eingeleitete
stationäre Bewegungszustand ungehindert fortdauern kann.
In einem so umgränzten Gebiete werden diejenigen Puncte [formula] unsere
besondere Aufmerksamkeit auf sich ziehen, für welche der
Differentialquotient [formula] verschwindet. Ich will der Allgemeinheit
wegen gleich annehmen, dass auch [formula], [formula], [formula] bis hin
zu [formula] gleich Null sein mögen. Um über den Verlauf der Niveaucurven,
oder auch der Strömungscurven, in der Nähe eines solchen Punctes
Aufschluss zu erhalten, entwickele man _w_ in eine nach Potenzen von
[formula] fortschreitende Reihe. Dieselbe bringt hinter dem constanten
Gliede unmittelbar ein Glied mit [formula]. Durch Einführung von
Polarcoordinaten schliesst man hieraus: _dass sich im Puncte _[formula]_
_[formula]_ Curven _[formula]_ Const. unter resp. gleichen Winkeln
kreuzen, während ebensoviel Curven _[formula]_ Const. als Halbirungslinien
der genannten Winkel auftreten_. Ich werde einen solchen Punct
dementsprechend einen _Kreuzungspunct_ nennen, und zwar einen
_Kreuzungspunct von der Multiplicität _[formula].
Die folgende (selbstverständlich nur schematische) Figur mag dieses
Vorkommniss für [formula] erläutern und namentlich verständlich machen,
wie sich ein Kreuzungspunct in das Orthogonalsystem einfügt, welches
übrigens von den Curven [formula] Const., [formula] Const. gebildet wird:
[Illustration: Figur 1.]
Figur 1.
Die Strömungscurven [formula] Const. erscheinen in der Figur ausgezogen
und die Strömungsrichtungen auf ihnen durch beigesetzte Pfeilspitzen
angegeben; die Niveaucurven sind durch Punctirung angedeutet. Man sieht,
wie die Flüssigkeit von drei Seiten auf den Kreuzungspunct zuströmt, um
ebenfalls nach drei Seiten von demselben abzuströmen. Diess wird nur
dadurch möglich, dass die Geschwindigkeit der Strömung im Kreuzungspunkte
gleich Null wird (dass sich die Flüssigkeit in demselben staut, wie man
nach Analogie bekannter Vorkommnisse sagen könnte). In der That ist ja die
Geschwindigkeit durch [formula] gegeben.
Es ist weiterhin vortheilhaft, den Kreuzungspunkt von der Multiplicität
[formula] _als Gränzfall von _[formula]_ einfachen Kreuzungspuncten_
aufzufassen. Dass diess zulässig ist, zeigt die analytische Behandlung.
Denn im [formula]-fachen Kreuzungspunkte hat die Gleichung [formula] eine
[formula]-fache Wurzel, und eine solche entsteht, wie man weiss, durch
Zusammenrücken von [formula] einfachen Wurzeln. Im Uebrigen mögen folgende
Figuren diese Auffassung erläutern:
[Illustration: Figur 2.]
Figur 2.
[Illustration: Figur 3.]
Figur 3.
Ich habe in denselben der Einfachheit halber nur die Strömungscurven
angegeben. Linker Hand erblickt man denselben Kreuzungspunct von der
Multiplicität Zwei, auf den sich Figur 1 bezieht. Rechter Hand liegt eine
Strömung vor, welche dicht bei einander zwei einfache Kreuzungspuncte
aufweist. Man erkennt, wie der eine Strömungszustand aus dem anderen durch
continuirliche Aenderung hervorgeht.
Bei dieser Erläuterung wurde stillschweigend vorausgesetzt, dass das
Gebiet, in welchem wir den Strömungszustand betrachten, sich nicht in’s
Unendliche erstrecke. Es hat allerdings keinerlei principielle
Schwierigkeit, den Punct [formula] ebenso in Betracht zu ziehen, wie
irgend einen anderen Punct [formula]. An Stelle der Reihenentwickelung
nach Potenzen von [formula] hat dann in bekannter Weise eine solche nach
Potenzen von [formula] zu treten. Man wird von einem [formula]-fachen
Kreuzungspuncte bei [formula] sprechen, wenn diese Entwickelung hinter dem
constanten Gliede sofort einen Term mit [formula] bringt. Aber es scheint
überflüssig, die geometrischen Verhältnisse, welche diesen Vorkommnissen
bei unserer Strömung entsprechen, ausführlicher zu schildern. Denn wir
werden später Mittel und Wege kennen lernen, um die Sonderstellung des
Werthes [formula], wie sie uns hier entgegentritt, ein für allemal zu
beseitigen. Ebendesshalb wird der Punct [formula] in den nächstfolgenden
Paragraphen (§. 2-4) bei Seite gelassen, trotzdem er auch dort, wenn man
vollständig sein wollte, besonders in Betracht gezogen werden müsste.
§. 2. Berücksichtigung der Unendlichkeitspuncte von w = f(z).
Wir wollen nunmehr auch solche Puncte [formula] in unser Gebiet
hereinnehmen, in denen [formula] unendlich gross wird. Dabei schränken wir
indess die unbegränzte Reihe der Möglichkeiten, welche in dieser Richtung
vorliegt, mit Rücksicht auf die specielle von uns allein zu studierende
Functionsclasse bedeutend ein. Wir wollen verlangen, _dass der
Differentialquotient _[formula]_ keine wesentlich singuläre Stelle
besitzen soll_, oder, was dasselbe ist, wir wollen festsetzen, _dass __w__
nur so unendlich werden darf, wie ein Ausdruck der folgenden Form_:
[formula]
_unter _[formula]_ eine bestimmte endliche Zahl verstanden_.
Entsprechend den verschiedenen Formen, die dieser Ausdruck darbietet,
sagen wir, dass sich bei [formula] verschiedene Unstetigkeiten überlagern:
ein _logarithmischer_ Unendlichkeitspunct, ein _algebraischer_
Unendlichkeitspunct von der Multiplicität Eins, u. s. f. Wir werden der
Einfachheit halber hier jedes dieser Vorkommnisse für sich betrachten,
worauf es eine nützliche Uebung sein wird, sich in einzelnen Fällen das
Resultat der Ueberlagerung deutlich zu machen.
Sei [formula] zuvörderst ein _logarithmischer_ Unendlichkeitspunct. Wir
haben dann:
[formula]
Hier ist _A_ diejenige Grösse, welche man, mit [formula] multiplicirt,
nach _Cauchy_ als _Residuum_ des logarithmischen Unendlichkeitspunctes
bezeichnet, eine Benennung, die im Folgenden gelegentlich angewandt werden
soll. Für die Strömung in der Nähe des Unstetigkeitspunctes ist es von
primärer Wichtigkeit, ob _A_ reell ist oder rein imaginär, oder endlich
complex. Offenbar kann man den dritten Fall als eine Ueberlagerung der
beiden ersten auffassen. Wir wollen daher auch ihn bei Seite lassen und
haben uns somit nur mit zwei getrennten Möglichkeiten zu beschäftigen.
1) Wenn _A_ reell ist, so werde [formula] gesetzt. Man hat dann in erster
Annäherung für [formula], [formula]:
[formula]
Die Curven [formula] Const. umgeben also den Unendlichkeitspunct in
Gestalt kleiner Kreise; die Curven [formula] Const. laufen, den
wechselnden Werthen von [formula] entsprechend, in allen Richtungen auf
den Unendlichkeitspunct zu. Wir haben eine Bewegung, bei welcher
[formula]_ eine Quelle von einer gewissen positiven oder negativen
Ergiebigkeit vorstellt_. Um diese Ergiebigkeit zu berechnen, multipliciren
wir das Bogenelement eines kleinen mit dem Radius _r_ um den
Unstetigkeitspunct beschriebenen Kreises mit der zugehörigen
Geschwindigkeit und integriren den so gewonnenen Ausdruck längs der
Kreisperipherie. Da [formula] in erster Annäherung mit [formula] und
dieses mit [formula] zusammenfällt, so kommt:
[formula]
als Werth der Ergiebigkeit. _Die Ergiebigkeit ist also gleich dem
Residuum, getheilt durch __i__; sie ist positiv oder negativ je nach dem
Werthe von __A_.
2) Sei zweitens _A_ rein imaginär, gleich [formula]. Dann kommt unter
Beibehaltung der übrigen Bezeichnungen in erster Annäherung:
[formula]
Die Rollen der Curven [formula] Const., [formula] Const. sind also
geradezu vertauscht. Die Niveaucurven verlaufen jetzt nach allen
Richtungen von [formula] aus, während die Strömungscurven den
Unendlichkeitspunct in kleinen Kreisen umgeben. Die Flüssigkeit _wirbelt_
auf letzteren Curven um den Punct [formula] herum. Ich will den Punct
dementsprechend als einen _Wirbelpunct_ bezeichnen. Sinn und Intensität
des Wirbels werden durch [formula] gemessen. Da die Geschwindigkeit
[formula]
in erster Annäherung gleich [formula] wird, _so findet die Wirbelbewegung
bei positivem_ [formula] _im Sinne des Uhrzeigers, bei negativem
_[formula]_ in entgegengesetztem Sinne statt_. Wir mögen die Intensität
des Wirbels gleich [formula] setzen, sie ist dann dem Residuum des
betreffenden Unendlichkeitspunctes negativ gleich.
Uebrigens können wir sagen, indem wir uns der Definition conjugirter
Strömungen, wie sie im vorigen Paragraphen gegeben wurde, mit der ihr
anhaftenden Unbestimmtheit erinnern: _Hat eine von zwei conjugirten
Strömungen bei _[formula]_ eine Quelle von einer gewissen Ergiebigkeit, so
hat die andere dort einen Wirbelpunct von gleicher oder entgegengesetzt
gleicher Intensität_.
Wir betrachten ferner die _algebraischen_ Unstetigkeitspuncte. Bei ihnen
ist der Verlauf der Strömung seinem allgemeinen Charakter nach davon
unabhängig, ob das erste Glied der Reihenentwickelung einen reellen,
imaginären oder complexen Coefficienten hat. Sei zuvörderst:
[formula]
so wird in erster Annäherung für [formula], [formula]:
[formula]
Betrachten wir zuvörderst den reellen Theil rechter Hand. Wenn _r_ sehr
klein ist, so kann [formula] durch geschickte Wahl von [formula] doch noch
jeden beliebigen vorgegebenen Werth vorstellen. _Die Function __u__ nimmt
also in unmittelbarer Nähe der Unstetigkeitsstelle noch jeden Werth an_.
Zur näheren Orientirung denken wir uns einen Augenblick _r_ und [formula]
als unbegränzte Veränderliche, setzen also
[formula]
Wir erhalten dann ein Büschel von Kreisen, welche alle die feste Richtung
[formula] berühren. Die Kreise sind um so kleiner, je grösser der absolute
Betrag von Const. genommen wird. _In ähnlicher Weise verlaufen daher die
Curven _[formula]_ Const. in der Nähe der Unstetigkeitsstelle.
Insbesondere haben sie für sehr grosse positive oder negative Werthe von
Const. die Gestalt kleiner, geschlossener, kreisähnlicher Ovale_.--Für den
imaginären Theil des Ausdrucks rechter Hand und also die Curven [formula]
Const. gilt eine ähnliche Discussion. Der Unterschied ist nur der, dass
jetzt die Richtung [formula] von allen Curven berührt wird. Hiernach wird
die folgende Figur, in welcher die Niveaucurven wieder punctirt, die
Strömungscurven ausgezogen sind, verständlich sein:
[Illustration: Figur 4.]
Figur 4.
Die analoge Discussion liefert vom [formula]-fachen algebraischen
Unstetigkeitspuncte die erforderliche Anschauung. Ich will hier nur das
Resultat anführen: _Jede Curve _[formula]_ Const. läuft _[formula]_-mal
durch den Unstetigkeitspunct hindurch, indem sie der Reihe nach
_[formula]_ feste, gleich stark gegen einander geneigte Tangenten berührt.
Analog die Curven _[formula]_ Const. Für sehr grosse (positive oder
negative) Werthe der Constante sind beiderlei Curven in__ unmittelbarer
Nähre der Unstetigkeitsstelle geschlossen_. Ich gebe zur Veranschaulichung
eine Figur für [formula]:
[Illustration: Figur 5.]
Figur 5.
Man wird vermuthen, dass diese höheren Vorkommnisse aus den niederen durch
Gränzübergang entstehen mögen. Ich verschiebe die betreffende Erläuterung
bis zum folgenden Paragraphen, wo uns eine bestimmte Functionsclasse die
erforderlichen Anschauungen mit Leichtigkeit vermitteln wird.
§. 3. Rationale Functionen und ihre Integrale. Entstehung höherer
Unendlichkeitspuncte aus niederen.
Die entwickelten Sätze genügen, um den Gesammtverlauf solcher Functionen
zu veranschaulichen, die, übrigens in der ganzen Ebene eindeutig, keine
anderen Unendlichkeitspuncte aufweisen, als die eben betrachteten. Es sind
diess, wie man weiss, _die rationalen Functionen und ihre Integrale_. Ohne
ausgeführte Zeichnungen zu geben, stelle ich hier die Sätze, welche man
bei ihnen betreffs der Kreuzungspuncte und Unendlichkeitspuncte findet, in
knapper Form zusammen. Ich beschränke mich dabei, aus dem oben angegebenen
Grunde, auf solche Fälle, in denen [formula] keinerlei ausgezeichnete
Rolle spielt. Die hierin liegende Beschränkung wird hinterher, wie bereits
angedeutet, von selbst in Wegfall kommen.
1) Die rationale Function, welche wir zu betrachten haben, stellt sich in
der Form dar:
[formula]
wo [formula] und [formula] ganze Functionen desselben Grades sind, die
ohne gemeinsamen Theiler angenommen werden können. Ist dieser Grad der
[formula] und zählt man jeden algebraischen Unendlichkeitspunct so oft,
als seine Multiplicität anzeigt, so erhält man, den Wurzeln von [formula]
entsprechend, _n_ algebraische Unstetigkeitspuncte. Die Kreuzungspuncte
sind durch [formula], eine Gleichung [formula] Grades, gegeben. _Die
Gesammtmultiplicität der Kreuzungspuncte ist also_ [formula], wobei man
aber beachten muss, dass jede [formula]-fache Wurzel von [formula] eine
[formula]-fache Wurzel von [formula] ist und also jeder [formula]-fache
Unendlichkeitspunct der Function für [formula] Kreuzungspuncte mitzählt.