Wenn gegenüber dieser Gruppe keine Fläche mehr individuelle
Eigenschaften besitzt, da jede in jede andere durch Transformationen der
Gruppe übergeführt werden kann, so sind es höhere Gebilde, bei deren
Untersuchung die Gruppe mit Vortheil Anwendung findet. Bei der
Auffassung der Geometrie, wie sie hier zu Grunde gelegt ist, kann es
gleichgültig sein, wenn diese Gebilde seither nicht sowohl als
geometrische sondern nur als analytische betrachtet wurden, die
gelegentlich geometrische Anwendung fanden, und wenn man bei ihrer
Untersuchung Processe anwandte (wie eben beliebige
Puncttransformationen), die man erst in neuerer Zeit bewusst als
geometrische Umformungen aufzufassen begonnen hat. Unter diese
analytischen Gebilde gehören vor allen die homogenen
Differentialausdrücke, sodann auch die partiellen
Differentialgleichungen. Bei der allgemeinen Discussion der letzteren
scheint aber, wie in dem folgenden Paragraphen ausgeführt wird, die
umfassendere Gruppe aller Berührungstransformationen noch vorteilhafter.
Der Hauptsatz, der in der Geometrie, welche die Gruppe aller
Puncttransformationen zu Grunde legt, in Geltung ist, ist der, dass eine
Puncttransformation für eine unendlich kleine Partie des Raumes immer
den Werth einer linearen Transformation hat. Die Entwickelungen der
projectivischen Geometrie haben also nun ihren Werth für das
Unendlichkleine, und hierin liegt, mag sonst die Wahl der Gruppe bei
Behandlung von Mannigfaltigkeiten willkürlich sein — hierin liegt ein
auszeichnender Character für die projectivische Anschauungsweise.
Nachdem nun schon lange von dem Verhältnisse der Betrachtungsweisen, die
einander einschliessende Gruppen zu Grunde legen, nicht mehr die Rede
war, mag hier noch einmal ein Beispiel für die allgemeine Theorie des
§.2 gegeben werden. Wir mögen uns die Frage vorlegen, wie denn vom
Standpuncte „aller Puncttransformationen" projectivische Eigenschaften
aufzufassen sind, wobei von den dualistischen Umformungen, die
eigentlich mit zur Gruppe der projectivischen Geometrie gehören,
abgesehen werden mag. Die Frage deckt sich dann mit der andern: durch
welche Bedingung aus der Gesammtheit der Puncttransformationen die
Gruppe der linearen ausgeschieden wird. Das Characteristische der
letzteren ist, dass sie jeder Ebene eine Ebene zuordnen: sie sind
diejenigen Puncttransformationen, vermöge deren die Mannigfaltigkeit der
Ebenen (oder, was auf dasselbe hinaus kommt, der geraden Linien)
erhalten bleibt. Die projectivische Geometrie ist aus der Geometrie
aller Puncttransformationen ebenso durch Adjunction der Mannigfaltigkeit
der Ebenen zu gewinnen, wie die elementare Geometrie aus der
projectivischen durch Adjunction des unendlich fernen Kugelkreises.
Insbesondere haben wir z. B. vom Standpuncte aller Puncttransformationen
die Bezeichnung einer Fläche als einer algebraischen von einer gewissen
Ordnung als eine invariante Beziehung zur Mannigfaltigkeit der Ebenen
aufzufassen. Es wird dies recht deutlich, wenn man, mit Grassmann, die
Erzeugung der algebraischen Gebilde an ihre lineale Construction knüpft.
§.9. Von der Gruppe aller Berührungstransformationen.
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Berührungstransformationen sind zwar in einzelnen Fällen schon lange
betrachtet; auch hat Jacobi bei analytischen Untersuchungen bereits von
den allgemeinsten Berührungstransformationen Gebrauch gemacht; aber in
die lebendige geometrische Anschauung wurden sie erst durch neuere
Arbeiten von Lie eingeführt[^28]. Es ist daher wohl nicht überflüssig,
hier ausdrücklich auseinanderzusetzen, was eine Berührungstransformation
ist, wobei wir uns, wie immer, auf den Punctraum mit seinen drei
Dimensionen beschränken.
Unter einer Berührungstransformation hat man, analytisch zu reden, jede
Substitution zu verstehen, welche die Variabel-Werthe x, y, z und ihre
partiellen Differentialquotienten dz/dx = p, dz/dy = q durch neue x',
y', z', p', q' ausdrückt. Dabei gehen, wie ersichtlich, sich berührende
Flächen im Allgemeinen wieder in sich berührende Flächen über, was den
Namen Berührungstransformation begründet. Die Berührungstransformationen
zerfallen, wenn man vom Puncte als Raumelement ausgeht, in drei Classen:
solche, die den dreifach unendlich vielen Puncten wieder Puncte zuordnen
— das sind die eben betrachteten Puncttransformationen —, solche, die
sie in Curven, endlich solche, die sie in Flächen überführen. Diese
Eintheilung hat man insofern nicht als eine wesentliche zu betrachten,
als bei Benutzung anderer dreifach unendlich vieler Raumelemente, etwa
der Ebenen, allerdings wieder eine Theilung in drei Gruppen eintritt,
die aber mit der Theilung, die unter Zugrundelegung der Puncte statt
fand, nicht coincidirt.
Wenden wir auf einen Punct alle Berührungstransformationen an, so geht
er in die Gesammtheit aller Puncte, Curven und Flächen über. In ihrer
Gesammtheit erst bilden also Puncte, Curven und Flächen einen Körper
unserer Gruppe. Man mag daraus die allgemeine Regel abnehmen, dass die
formale Behandlung eines Problems im Sinne aller
Berührungstransformationen (also etwa die sogleich vorzutragende Theorie
der partiellen Differentialgleichungen) eine unvollkommene werden muss,
sowie man mit Punct- (oder Ebenen-) Coordinaten operirt, da die zu
Grunde gelegten Raumelemente eben keinen Körper bilden.
Alle in dem gen. Körper enthaltene Individuen als Raumelemente
einzuführen, geht aber, will man in Verbindung mit den gewöhnlichen
Methoden bleiben, nicht an, da deren Zahl unendlichfach unendlich ist.
Hierin liegt die Notwendigkeit, bei diesen Betrachtungen nicht den
Punct, nicht die Curve oder die Fläche, sondern das Flächenelement,
d. h. das Werthsystem x, y, z, p, q als Raumelement einzuführen. Bei
jeder Berührungstransformation wird aus jedem Flächenelemente ein neues;
die fünffach unendlich vielen Flächenelemente bilden also einen Körper.
Bei diesem Standpuncte muss man Punct, Curve, Fläche gleichmässig als
Aggregate von Flächenelementen auffassen, und zwar von zweifach
unendlich vielen. Denn die Fläche wird von ∞^2 Elementen bedeckt,
die Curve von ebenso vielen berührt, durch den Punct gehen ∞^2
hindurch. Aber diese zweifach unendlichen Aggregate von Elementen haben
noch eine characteristische Eigenschaft gemein. Man bezeichne als
vereinigte Lage zweier consecutiven Flächenelemente x, y, z, p, q und
x+dx, y+dy, z+dz, p+dp, q+dq die Beziehung, welche durch
dz - pdx - qdy = 0
dargestellt wird. So sind Punct, Curve, Fläche übereinstimmend zweifach
unendliche Mannigfaltigkeiten von Elementen, deren jedes mit den einfach
unendlich vielen ihm benachbarten vereinigt liegt. Dadurch sind Punct,
Curve, Fläche gemeinsam characterisirt, und so müssen sie auch, wenn man
die Gruppe der Berührungstransformationen zu Grunde legen will,
analytisch repräsentirt werden.
Die vereinigte Lage consecutiver Elemente ist eine bei beliebiger
Berührungstransformation invariante Beziehung. Aber auch umgekehrt
können die Berührungstransformationen definirt werden als diejenigen
Substitutionen der fünf Veränderlichen x, y, z, p, q, vermöge deren die
Relation dz-pdx-qdy=0 in sich selbst übergeführt wird. Der Raum ist also
bei diesen Untersuchungen als eine Mannigfaltigkeit von fünf Dimensionen
anzusehen und diese Mannigfaltigkeit hat man zu behandeln, indem man als
Gruppe die Gesammtheit aller Transformationen der Variabeln zu Grunde
legt, welche eine bestimmte Relation zwischen den Differentialen
ungeändert lassen.
Gegenstand der Untersuchung werden in erster Linie diejenigen
Mannigfaltigkeiten, welche durch eine oder mehrere Gleichungen zwischen
den Variabein dargestellt werden, d. h. die partiellen
Differentialgleichungen erster Ordnung und ihre Systeme. Eine Hauptfrage
wird, wie sich aus den Mannigfaltigkeiten von Elementen, die gegebenen
Gleichungen genügen, einfach, zweifach unendliche Reihen von Elementen
ausscheiden lassen, deren jedes mit einem benachbarten vereinigt liegt.
Auf eine solche Frage läuft z. B. die Aufgabe der Lösung einer
partiellen Differentialgleichung erster Ordnung hinaus. Man soll — so
kann man sie formuliren — aus den vierfach unendlich vielen Elementen,
die der Gleichung genügen, alle zweifach unendlichen Mannigfaltigkeiten
der bewussten Art ausscheiden. Insbesondere die Aufgabe der
vollständigen Lösung nimmt jetzt die präcise Form an: man soll die
vierfach unendlich vielen Elemente, die der Gleichung genügen, auf eine
Weise in zweifach unendlich viele derartige Mannigfaltigkeiten zerlegen.
Ein Verfolg dieser Betrachtung über partielle Differentialgleichungen
kann hier nicht in der Absicht liegen; ich verweise in Bezug hierauf auf
die citirten Lieschen Arbeiten. Es sei nur noch hervorgehoben, dass für
den Standpunct der Berührungstransformationen eine partielle
Differentialgleichung erster Ordnung keine Invariante hat, dass jede in
jede andere übergeführt werden kann, dass also namentlich die linearen
Gleichungen nicht weiter ausgezeichnet sind. Unterscheidungen treten
erst ein, wenn man zu dem Standpuncte der Puncttransformationen
zurückgeht.
Die Gruppen der Berührungstransformationen, der Puncttransformationen,
endlich der projectivischen Umformungen lassen sich in einer
einheitlichen Weise characterisiren, die ich hier nicht unterdrücken
mag[^29]. Berührungstransformationen wurden bereits definirt als
diejenigen Umformungen, bei denen die vereinigte Lage consecutiver
Flächenelemente erhalten bleibt. Die Puncttransformationen haben dagegen
die characteristische Eigenschaft, vereinigt gelegene consecutive
Linienelemente in eben solche zu verwandeln: die linearen und
dualistischen Transformationen endlich bewahren die vereinigte Lage
consecutiver Connex-Elemente. Unter einem Connex-Elemente verstehe ich
die Vereinigung eines Flächenelementes mit einem in ihm enthaltenen
Linienelemente; consecutive Connexelemente heißen vereinigt gelegen,
wenn nicht nur der Punct sondern auch das Linienelement des einen in dem
Flächenelemente des anderen enthalten ist. Die (übrigens vorläufige)
Bezeichnung: Connexelement bezieht sich auf die von Clebsch
neuerdings[^30] in die Geometrie eingeführten Gebilde, welche durch eine
Gleichung dargestellt werden, die gleichzeitig eine Reihe Punct-, eine
Reihe Ebenen- und eine Reihe Liniencoordinaten enthalten, und deren
Analoga in der Ebene Clebsch als Connexe bezeichnet.
§.10. Ueber beliebig ausgedehnte Mannigfaltigkeiten.
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Es wurde bereits wiederholt hervorgehoben, wie bei der Anknüpfung der
bisherigen Auseinandersetzungen an die räumliche Vorstellung nur der
Wunsch maßgebend war, die abstracten Begriffe durch Anlehnung an
anschauliche Beispiele leichter entwickeln zu können. An und für sich
sind die Betrachtungen von dem sinnlichen Bilde unabhängig und gehören
dem allgemeinen Gebiete mathematischer Forschung an, das man als die
Lehre von den ausgedehnten Mannigfaltigkeiten, oder (nach Grassmann)
kurz als Ausdehnungslehre bezeichnet. Wie man die Uebertragung des
Vorhergehenden vom Raume auf den blossen Mannigfaltigkeitsbegriff zu
bewerkstelligen hat, ist ersichtlich. Es sei dabei nur noch einmal
bemerkt, dass wir bei der abstracten Untersuchung, der Geometrie
gegenüber, den Vortheil haben, die Gruppe von Transformationen, welche
wir zu Grunde legen wollen, ganz willkürlich wählen zu können, während
in der Geometrie eine kleinste Gruppe, die Hauptgruppe, von Vornherein
gegeben war.
Wir mögen hier nur die folgenden drei Behandlungsweisen, und auch diese
ganz kurz berühren.
1. Die projectivische Behandlungsweise oder die moderne Algebra
(Invariantentheorie).
Ihre Gruppe besteht in der Gesammtheit der linearen und dualistischen
Transformationen der zur Darstellung des Einzelnen in der
Mannigfaltigkeit verwendeten Veränderlichen; sie ist die
Verallgemeinerung der projectivischen Geometrie. Es wurde bereits
hervorgehoben wie diese Behandlungsweise bei der Discussion des
unendlich Kleinen in einer um eine Dimension mehr ausgedehnten
Mannigfaltigkeit zur Verwendung kommt. Sie schliesst die beiden noch zu
nennenden Behandlungsweisen in dem Sinne ein, als ihre Gruppe die bei
jenen zu Grunde zu legende Gruppe umfasst.