Geometrie und die Geometer vor Euklides_ (Leipzig, 1870).
[8] Betti und Brioschi, Vorrede zu _Gli elementi di Euclide_ (Florenz,
1867). Eine gegenteilige Ansicht hat Lacroix in seinem wohlbekannten Buche
_Essais sur l'enseignement en general et sur celui des mathematiques en
particulier_ (4. Aufl. 1883. S. 296) ausgesprochen.
[9] Um zu zeigen, wie glaenzend und bewunderungswuerdig die noch immer
verkannte griechische Mathematik gewesen sein muss, genuege es, die
Thatsache anzufuehren, dass die Theorie der Kegelschnitte, ein
hauptsaechlicher Gegenstand des Studiums der alten Geometer, von ihnen zu
solcher Vollendung gebracht wurde, dass man im wesentlichen nur weniges
hinzuzufuegen haette, um sie auf den Stand zu bringen, auf dem sie sich
heute befindet. Die Bewunderung fuer jene wird noch jeden Tag groesser
durch die historischen Forschungen gelehrter Mathematiker [z. B. Zeuthen
(s. das Werk _Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertume_, deutsch von
Fischer-Benzon. Kopenhagen, 1886), P. Tannery (s. _Bull. des sciences
math._ und _Mem. de la Societe de Bordeaux_) und andere], welche das
Vorurteil zu beseitigen suchen, dass die Griechen keine
Untersuchungsmethoden gehabt haetten, die vergleichbar sind mit denen, auf
welche unsere Zeit so stolz ist, und die als Ersatz dafuer die Ansicht
aufzustellen streben, dass es ihnen nur an den noetigen Formeln zur
Darstellung der Methoden selbst gefehlt habe.
[10] Ich kann nicht umhin, die beredten Worte, welche der beruehmte
Geschichtsschreiber der Mathematik in Italien bei dieser Gelegenheit
geschrieben hat, anzufuehren: "...... mais bientot le Romain arrive, il
saisit la science personnifiee dans Archimede, et l'etouffe. Partout ou il
domine la science disparait: l'Etrurie, l'Espagne, Carthage en font foi. Si
plus tard Rome n'ayant plus d'ennemis a combattre se laisse envahir par les
sciences de la Grece, ce sont des livres seulement qu'elle recevra; elle
les lira et les traduira sans y ajouter une seule decouverte. Guerriers,
poetes, historiens, elle les a, oui; mais quelle observation astronomique,
quel theoreme de geometrie devons-nous aux Romains?" (Libri a. O. S. 186.)
Um zu zeigen, in welchem Ansehen unsere Vorfahren die Mathematik hielten,
genuege es mitzuteilen (vgl. Hankel, _Zur Geschichte der Mathematik im
Altertum und Mittelalter_, Leipzig, 1874. S. 103), dass sie dieselbe oft
mit Astrologie und den verwandten Kuensten zusammenwarfen. Es darf uns
daher nicht Wunder nehmen, wenn wir in dem Codex Justinians unter den
gesammelten Bestimmungen unter dem Titel "De maleficis et mathematicis et
ceteris similibus" folgendes finden: "Ars autem mathematica damnabilis
interdicta est omnino." Wenn man in demselben Codex etwas weiter die
Wendung findet: "Artem geometriae discere atque exercere publice interest,"
so muss man sich hueten, sie als eine Uebersetzung des Ausspruches
Napoleons I. anzusehen: "L'avancement, le perfectionnement des
Mathematiques sont lies a la prosperite de l'Etat," denn es ist fast
sicher, dass der roemische Gesetzgeber den praktischen Teil der Geometrie
meinte.
[11] Unter den Fragen der Geometrie, welche die italienischen Gelehrten des
16. Jahrhunderts sich gegenseitig stellten, finden sich solche von einiger
Wichtigkeit, da sie die _"Geometria del compasso"_ (Geometrie des Kreises)
entstehen liessen, welcher gerade in dieser Zeit Benedetti (?-1590) eine
Schrift widmete, und die in neuerer Zeit von Mascheroni (1750-1808) und
Steiner gepflegt wurde.
[12] Pascal entdeckte an der Cykloide eine Fuelle bemerkenswerter
Eigenschaften, wies auf die Perspektivitaet als eine fuer das Studium der
Kegelschnitte sehr guenstige Methode hin, bewies den beruehmten Lehrsatz
von dem "Hexagramma mysticum," wie er es nannte, u. s. w.
Desargues fuehrte die gemeinsame Betrachtung der drei Kegelschnitte ein,
den wichtigen Begriff des unendlich fernen Punktes einer Geraden, den
Begriff der Involution von sechs Punkten, loeste mehrere wichtige Fragen,
die sich auf die Kegelschnitte beziehen, u. s. w.
In den Werken von Desargues (vgl. die von Poudra 1864 besorgte Ausgabe)
findet sich auch eine Methode vorgeschlagen, um einige projektive
Eigenschaften der Kurven zu untersuchen, welche darauf beruht, dass man
dieselbe durch Systeme von Geraden ersetzt. Descartes und Poncelet
betrachteten die Schluesse, die auf einer solchen Substitution beruhen, als
der Strenge entbehrend (vgl. _Traite des proprietes projectives_, Bd. II,
S. 128). Jedoch wurde das von Desargues vorgeschlagene Verfahren in der
neueren Zeit wiederholentlich von demselben Poncelet (a.a.O. Bd. I, S.
374), von Jonquieres (in verschiedenen Abhandlungen in den _Annali di
Matem., Journ. f. Math._ und in den _Math. Ann._), von Cremona (s. die
_Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane_) gebraucht, und
gehoert heute zu den wertvollen Untersuchungsmethoden, die wir dem "Prinzip
der Erhaltung der Anzahl" verdanken.
[13] Vgl. E. Dubois-Reymond, _Kulturgeschichte und Naturwissenschaft_, in
den Gesammelten Reden, Bd. I 1886, S. 207-208.
[14] Favaro, _Notizie storico-critiche sulla costruzione delle equazioni.
Memorie di Modena_, 18, 1879.
Matthiessen, _Grundzuege der antiken und modernen Algebra der litteralen
Gleichungen_ (Leipzig, 1878), 7. Abschnitt.
[15] Ueber den Ursprung der analytischen Geometrie sehe man Guenther, _Die
Anfaenge und die Entwickelungsstadien des Coordinatenprincipes_
(_Abhandlungen der naturforsch. Gesellsch. zu Nuernberg_, 6) und ueber
Cartesius die Rede von Jacobi, ins Franzoesische uebersetzt und
veroeffentlicht in _Liouvilles Journ._ 12 unter dem Titel: _De la vie de
Descartes et de sa methode pour bien conduire la raison et chercher la
verite dans les sciences._
[16] Siehe z. B. den _Traite de la lumiere_ (Leyden, 1691).
[17] _Sectiones conicae in novem libros distributae_ (Paris, 1685),
_Memoires sur les Epicycloides_ (_Anciennes Memoires de l'Academie des
sciences,_ 9), _Traite des roulettes_ etc. (ebendas., 1704).
[18] Man sehe die von ihm bewirkte Herausgabe von griechischen Werken nach,
sowie seine Versuche, verloren gegangene Buecher (wie das achte Buch von
Apollonius' Kegelschnitten) wieder herzustellen.
[19] Vergl. sein Buch _A complete System of Fluxions_ (Edinburgh, 1742).
[20] _Treatise on conic Sections_ (1735).
[21] _General theorems of considerable use in the higher parts of
mathematics_ (Edinburgh, 1746); _Propositiones geometricae more veterum
demonstratae_ (Edinburgh, 1763).
[22] Hinsichtlich der von Simpson und Stewart gemachten Versuche, die
griechische Geometrie wieder aufleben zu machen, sehe man Buckle,
_Geschichte der Civilisation in England_ (deutsch von A. Ruge), Bd. I,
Kap. 5.
[23] Die von den Griechen hauptsaechlich untersuchten Kurven sind: der
Kreis, die Ellipse, die Hyperbel, die Parabel, die Archimedische Spirale,
die Diokles'sche Cykloide, die Konchoide des Nikomedes, die Quadratrix des
Hippias und Dinostratus, die Schraubenlinien, die Spirallinien und einige
andere. Zu diesen fuegten die neuen Rechnungsarten hinzu: das Folium und
die Ovale von Descartes, die Tschirnhausensche Quadratrix, die Cykloide,
die Hypo- und Epicykloiden, die logarithmische Spirale, die Kettenlinie,
die Sinuscurve, die Logarithmuscurve und unzaehlige andere.
[24] Siehe das fuenfte Buch seiner _Exercitationes geometriae._
[25] Parent, _Essai et Recherches de Mathematiques et de Physique_
(II. Aufl. 1713), Bd. 2.
[26] _Traite de Courbes a double courbure._ 4
[27] _Recherches sur la courbure des surfaces (Berliner Abh.)._
[28] Abhandlungen der Akademie von Turin (1770-1773) und von Paris (1784);
_Feuilles d'analyse appliquee a la geometrie_ (Paris, 1795), oder
_Applications de l'Analyse a la Geometrie_ (Paris, 1801).
[29] Ausspruch von d'Alembert.
[30] _Lecons de geometrie descriptive_ (Paris, 1794).
[31] In Bezug auf Monge sehe man Dupin, _Essai historique sur les services
et les travaux scientifiques de Gaspard Monge_ (Paris, 1819); Arago,
_Notices biographiques._
Ueber die Geschichte des Ursprunges und der Entwickelung der darstellenden
Geometrie sehe man den ersten Abschnitt des 1. Bandes des Werkes von Chr.
Wiener, _Lehrbuch der darstellenden Geometrie_ (Leipzig, 1884, 1887), in
welchem der Studierende eine Menge interessanter Einzelheiten finden wird,
sei es ueber die Studien, welche diese Disziplin vorbereiteten, sei es
ueber die Untersuchungen, welche die Nachfolger von Monge gemacht haben.
Monge hatte als Mitarbeiter bei seinem reformierenden Werke einige seiner
Kollegen [unter anderen Lacroix (1765-1843) und Hachette (1769-1834)],
sowie viele von seinen Schuelern an der polytechnischen Schule. Der Kuerze
halber beschraenke ich mich darauf, den anzufuehren, "der ueber die anderen
wie ein Adler fliegt", Charles Dupin (1784-1873), vorzueglich wegen seiner
klassischen _Developpements de geometrie_ (1813), die noch von allen
gelesen werden muessen, welche auch nur eine maessige Kenntnis des heutigen
Zustandes der Geometrie erlangen wollen.
[32] Monge's Einfluss laesst sich noch in den neuesten Arbeiten bemerken;
zum Beweise genuege es, die Idee anzufuehren, die Schranken, durch welche
die Alten die Planimetrie von der Stereometrie getrennt hatten,
niederzureissen, und den gluecklichen Versuch, den neuerdings (1884) De
Paolis in seinen goldenen _Elementi di Geometria_ (Turin) gemacht hat,
dieselbe auszufuehren.
[33] "La Geometrie de position de Carnot n'aurait pas, sous le rapport de
la metaphysique de la Science, le haut merite que je lui ai attribue,
qu'elle n'en serait pas moins l'origine et la base des progres que la
Geometrie, cultivee a la maniere des anciens, a fait depuis trente ans en
France et en Allemagne" (Arago, _Biographie de Carnot_).
[34] Zweite Auflage, 1865, 1866.
[35] Den Ursprung dieses Prinzipes betreffend, sehe man die Note von C.
Taylor, _On the history of geometrical continuity_ (_Cambridge Proc._, 1880
und 1881).
[36] _Doctrina triangulorum canonicae_ u. s. w. (Leyden, 1627).
[37] _Variorum de rebus mathematicis responsorum liber VIII._ (Opera
Vietae, 1646).
[38] _Gergonnes Ann._ 17.
[39] Jacobi, _Journ. fuer Math._ 3; Richelot, das. 5, 38; Rosanes und
Pasch, ebendas. 64; Leaute, _Comptes rendus_, 79; Fergola, Padeletti und
Trudi, _Napoli Rend._ 21; Simon, _Journ. fuer Math._ 81; Gundelfinger, das.
83; Halphen, _Liouvilles Journ._ III, 5; _Bull. de la Soc. philom._ VII, 3.
Man sehe auch die interessante Abhandlung von Hurwitz: _Ueber
unendlich-vieldeutige geometrische Aufgaben, insbesondere ueber die
Schliessungsprobleme_ (_Math. Ann._ 15) und die Note von Forsith, _On in-
and circumscribed polyhedra_ (_Proc. Math. Soc._ 1883).
[40] In deutscher Uebersetzung von Sohncke: _Geschichte der Geometrie,
hauptsaechlich in Bezug auf die neueren Methoden_ (Halle, 1839), jedoch
ohne das _Memoire sur deux principes generaux de la science_ (vgl. die
folgende Note). Das franzoesische Original erschien 1875 in 2. Auflage.
[41] Unter den Arbeiten, welche das Werk von Chasles bilden, verdient eine
besondere Erwaehnung die Abhandlung (fuer welche urspruenglich der _Apercu
historique_ als Einleitung dienen sollte) _Sur deux principes generaux de
la Science_, welche die allgemeine Theorie der Homographie (Kollineation)
und der Reciprocitaet enthaelt, sowie die Untersuchung der beiden Faelle,
in welchen diese involutorisch ist, und die Anwendung dieser
Transformationen auf das Studium der Flaechen zweiten Grades und der
geometrischen Oberflaechen ueberhaupt, sowie auf die Verallgemeinerung des
cartesischen Koordinatensystems. Auch muessen noch die _Noten_ erwaehnt
werden, da sie eingehende historische Studien und geometrische
Untersuchungen von grosser Bedeutung enthalten. Unter den letzteren will
ich diejenigen anfuehren, in denen die Theorie des Doppel- oder
anharmonischen Verhaeltnisses und der Involution, die anharmonischen
Eigenschaften der Kegelschnitte, die Fokaleigenschaften der Flaechen
zweiten Grades, viele Lehrsaetze ueber die kubischen Raumkurven,
glueckliche Versuche, die Saetze von Pascal und Brianchon auf die Flaechen
zweiten Grades auszudehnen, eine Verallgemeinerung der stereographischen
Projektion u. s. w. auseinandergesetzt sind.
[42] Dieser Uebergang ging nicht friedlich von statten, war vielmehr mit
einer Reihe lebhafter Diskussionen verbunden, in welchen Poncelet, Chasles
und Bobillier zu Gegnern hatten Pluecker, Steiner und Magnus und deren
Hauptschauplatz das _Bulletin_ von Ferussac war. -- Hier wuerde es am Orte
sein, den Anteil zu bestimmen, der jedem dieser Gelehrten in den
Wissensgebieten zukommt, an denen sie zusammen arbeiteten; aber dafuer
wuerde die Feder eines competenteren und gelehrteren Mannes, als ich bin,
noetig sein. Im Uebrigen sind nach meinem Dafuerhalten gewisse Produktionen
der menschlichen Intelligenz eine natuerliche Frucht ihrer Zeit; daher darf
es nicht wunder nehmen, wenn sie gleichzeitig aus verschiedenen Koepfen
hervorgegangen scheinen, und darum braucht man auch keine Erklaerung dieser
Thatsache in der "mala fides" dieses oder jenes zu suchen. Dass solches
wirklich bei der Erfindung der Differentialrechnung eingetreten ist, steht
heute ausser allem Zweifel. Dass dies ebenso bei der modernen Geometrie
eingetreten ist, kann die Thatsache beweisen, dass dieselbe hervorgegangen
ist aus einem allseitig gefuehlten Beduerfnisse (man vergleiche dazu den
Ausspruch Dupins _[Developpements de geometrie]_, der als Motto auf dem
_Traite des proprietes projectives des figures_ steht, mit der Vorrede der
_Systematischen Entwickelung_ und mit dem _Apercu historique_ an
verschiedenen Stellen) nach allgemeinen Methoden, die als Ariadnefaden
dienen sollten zur Fuehrung in dem Labyrinthe von Hilfssaetzen,
Lehrsaetzen, Porismen und Problemen, die von den Vorfahren ueberliefert
sind.
[43] Die hauptsaechlichste Arbeit von Moebius auf dem Gebiete der reinen
Geometrie ist die mit dem Titel: _Der barycentrische Calcul_ (Leipzig,
1827); dort sind die bisherigen Kenntnisse ueber den Schwerpunkt
(Barycentrum) eines Systemes von Punkten einer neuen und wichtigen
Rechnungsart zu Grunde gelegt; diese fuehrt zu einem neuen
Koordinatensystem, dessen Anwendung auf das Studium der Raumkurven und
ebenen Kurven und der Oberflaechen der Verfasser darlegt. In demselben
werden ferner methodisch und in grosser Ausfuehrlichkeit wichtige
geometrische Transformationen, die heute noch fortwaehrend Anwendung
finden, betrachtet. Viele spaetere Abhandlungen von Moebius sind als
Anhaenge zum barycentrischen Calcul zu betrachten. (Siehe die beiden ersten
Baende der _Gesammelten Werke_ von Moebius, herausgegeben auf Veranlassung
der Saechsischen Gesellschaft der Wissenschaften, Leipzig, 1885-1887.)
[44] Ich meine das Werk: _Systematische Entwickelung der Abhaengigkeit
geometrischer Gestalten von einander_ (Berlin, 1832), in dem "der
Organismus aufgedeckt ist, durch welchen die verschiedenartigsten
Erscheinungen in der Raumwelt miteinander verbunden sind". -- Die spaeteren
Schriften von Steiner und diejenigen anderer, welche sich auf das
angefuehrte Werk stuetzen, zeigen, welches Recht der Verfasser desselben
dazu hatte, den Inhalt durch die schon angefuehrten Worte zu
charakterisieren. Steiners _Gesammelte Werke_ sind auf Veranlassung der
Akademie der Wissenschaften zu Berlin herausgegeben (Berlin, 1881, 1882).
[45] Des Naeheren will ich hier nur die drei Buecher anfuehren:
_Analytisch-geometrische Entwickelungen_ (Essen, 1828-1831), _System der
analytischen Geometrie_ (Berlin, 1835), _Theorie der algebraischen Kurven_
(Bonn, 1839), sowie die mit ihnen zusammenhaengenden Abhandlungen, die in
_Gergonnes Ann._ und im _Journ. fuer Math._ veroeffentlicht sind.
[46] Das Werk, in welchem Staudt sein System der Geometrie dargelegt hat,
wurde im Jahre 1847 zu Nuernberg veroeffentlicht unter dem Titel:
_Geometrie der Lage_. Die ungemeine Knappheit des Stiles ist vielleicht die
Ursache der grossen Schwierigkeit, auf welche die Verbreitung desselben
stiess; heute erst sind, dank den von Reye (in erster Auflage 1866-1868
erschienenen und) unter demselben Titel veroeffentlichten Vorlesungen die
in demselben enthaltenen Ideen allen bekannt, die sich mit Geometrie
beschaeftigen. In Italien wird jetzt zuerst von allen Laendern eine
Uebersetzung desselben angefertigt.
Nicht weniger wichtig sind die _Beitraege zur Geometrie der Lage_ (in 3
Heften), welche Staudt seiner _Geometrie der Lage_ 1866-1860 folgen liess.
Wir beschraenken uns darauf, hervorzuheben, dass dort die einzige strenge,
allgemeine und vollstaendige Theorie der imaginaeren Elemente in der
projektiven Geometrie auseinandergesetzt ist; diese Theorie wurde in
verschiedener Weise von mehreren Geometern, Lueroth (_Math. Ann._ 8, 11),
August (_Progr. der Friedrichs-Realschule in Berlin_, 1872) und Stolz
(_Math. Ann._ 4) erlaeutert; ueber die eng mit ihr zusammenhaengende
Rechnung mit den "Wuerfen" sehe man ausser den erwaehnten Abhandlungen von
Lueroth noch zwei Arbeiten von Sturm _(Math. Ann._ 9) und Schroeder
(ebendas. 10).
[47] Ohne Zweifel ist diese Einteilung etwas willkuerlich; vielleicht wird
mancher, indem er bedenkt, dass gewisse Theorien mit demselben Rechte zu
mehr als einem von den folgenden Abschnitten gehoeren koennen, dieselbe
unpassend finden. Gleichwohl schmeichle ich mir, dass die meisten nach
reiflicher Pruefung des besprochenen Gegenstandes finden werden, dass die
von mir gewaehlte Einteilung nicht ohne bemerkenswerte Vorteile ist.
[48] Cotes, _Harmonia mensurarum_ (1722); Maclaurin, _De linearum
geometricarum proprietatibus generalibus tractatus_. (Ins Franzoesische
uebersetzt von de Jonquieres und seinen _Melanges de Geometrie pure_
[Paris, 1856] angehaengt.)
[49] _Miscellanea analytica_ etc. (1762); _Proprietates geometricarum
curvarum_ (1772); _Phil. Trans._ 1763-1791.
[50] _Geometria organica_ (1720).
[51] _Phil. Trans._ 1735; _Exercitationes Geometriae de descriptione
linearum curvarum_ (1733).
[52] Uebrigens hat, wie C. Taylor (_Cambridge Proc._ 3) bemerkte, Newton
selbst seine organische Erzeugungsweise der Kegelschnitte in der
_Enumeratio linearum tertii ordinis_ auf Kurven hoeherer Ordnung
ausgedehnt.
[53] _Usage de l'analyse de Descartes_ (1740).
[54] _Introductio in analysin infinitorum_. 2. Bd.
[55] _Introduction a l'analyse des lignes courbes algebriques_.
[56] Kurz vor der Veroeffentlichung des Cramerschen Werkes fand Euler (man
sehe die _Berliner Abh._ 1748), dass von den neun Grundpunkten eines
Bueschels ebener Kurven dritter Ordnung einer durch die acht uebrigen
bestimmt ist.
[57] _Gergonnes Ann._ 17, 19.
[58] _Journ. fuer Math._ 16; _Theorie der algebraischen Curven_ (wo S.
12-13 sich eine kurze Geschichte dieser Saetze findet).
[59] _Journ. fuer Math._ 15.
[60] _Cambridge Journ._ 3; vgl. Bacharach, _Math. Ann._ 26.
[61] Riemann, _Journ. fuer Math._ 54; Clebsch, das. 58; Roch, ebendas. 64;
Clebsch und Gordan, _Theorie der Abelschen Funktionen_ (Leipzig, 1866);
Brill und Noether, _Ueber die algebraischen Funktionen_ u. s. w. (_Math.
Ann._ 7); Cremona, _Bologna Mem._ 1870; Casorati, Cremona und Brioschi,
_Lombardo Rend._ II, 2.
[62] In diesem Werke ist mit ersichtlicher Bevorzugung von dem "Prinzipe
der Abzaehlung der Konstanten" Kenntnis gegeben und Gebrauch gemacht; wir
wollen dasselbe erwaehnen, da sich darauf eine Untersuchungsmethode
stuetzt, deren ganze Bedeutung aufzuheben nicht gelingen wird, obwohl sich
Beispiele von Irrtuemern anfuehren lassen, zu denen es fuehren kann, wenn
es ohne die notwendige Vorsicht angewandt wird.
Mit der Theorie der ebenen Kurven befassen sich auch die beiden folgenden
Buecher, deren Existenz ich aus einer Anfuehrung Plueckers kenne (_Theorie
der algebraischen Curven_, S. 206); A. Peters, _Neue Curvenlehre_ 1835;
C. C. F. Krause, _Novae theoriae linearum curvarum originariae et vere
scientificae specimina quinque prima_. _Edidit Schroeder_, 1835.
[63] S. auch eine Abhandlung Plueckers, _Liouvilles Journ._ 1.
[64] _Mem. pres._ 1730-31-32.
[65] S. die in Note 54 citierte _Introductio_.
[66] Hierzu siehe Clebsch, _Vorlesungen ueber Geometrie_, S. 352; Malet,
_Hermathema_, 1880; Pellet, _Nouv. Ann._ II., 20, 1881.
[67] Cayley, _Quart. Journ._ 7 und _Journ. fuer Math._ 64; La Gournerie,
_Liouvilles Journ._ II, 14; Noether, _Math. Ann._ 9; Zeuthen, das. 10;
Halphen, _Comptes rendus_ 78, _Liouvilles Journ._ II, 2, _Mem. pres._ 26;
J. S. Smith, _Proc. math. Soc._ 6; Brill, _Math. Ann._ 16; Raffy, das. 23.
-- An diese Frage knuepft sich die Untersuchung der Zahl der Schnitte
zweier Kurven, welche von einem ihnen gemeinsamen vielfachen Punkte
absorbiert werden. Hierzu sehe der Leser die interessante Abhandlung von
Zeuthen, _Acta math._ 1.
[68] _Journ. fuer Math._ 40; vgl. Clebsch (das. 63).
[69] _Journ. fuer Math._ 36, 40, 41.
[70] _Phil. Mag._ Oktoberheft 1858.
[71] _Phil. Trans._ 1859.
[72] z. B. Dersch, _Math. Ann._ 7.
[73] _A Treatise on higher plane curves_ (1852); ins Deutsche uebertragen
durch Fiedler (Leipzig, 1873)
[74] _Gergonnes Ann._ 19.
[75] _Journ. fuer Math._ 24. -- Die Theorie der Polaren in bezug auf Kurven
und Oberflaechen wurde in der letzten Zeit auf eine bemerkenswerte Weise
von Clifford (1845-1879) (_Proc. math. Soc._ 1868 oder _Mathematical Papers
of Clifford_, 1882, S. 115) und von Reye (_Journ. fuer Math._ 72, 78)
verallgemeinert. De Paolis widmete ihr eine interessante Schrift, welche in
den _Lincei Mem._ 1885-1886 veroeffentlicht ist.
[76] _Comptes rendus_, 1853.
[77] _Essai sur la generation des courbes geometriques_, 1858 (_Mem. pres._
16). Vgl. Haertenberger, _Journ. fuer Math._ 58; Olivier das. 70, 71;
Schoute, _Nieuw Archief voor Wiskunde_, 4, und die allerneuesten
Untersuchungen von Jonquieres ueber die Maximalzahl der vielfachen Punkte,
die man bei einer ebenen Kurve beliebig annehmen kann (_Comptes rendus_
105).
[78] Veroeffentlicht im Jahre 1862 in den _Bologna Mem._ Moege es mir
gestattet sein, hier den Wunsch auszusprechen, dass der beruehmte Cremona,
dessen Interesse fuer die Verbreitung der geometrischen Studien bekannt
ist, seine beruehmten Schriften ueber die Theorie der Kurven und
Oberflaechen durch neue Ausgaben allen zugaenglich machen wolle. -- Diese
Schriften sind in deutscher Uebersetzung von Curtze unter dem Titel:
_Einleitung in eine geometrische Theorie der ebenen Kurven_ (Greifswald,
1865), bez. _Grundzuege einer allgemeinen Theorie der Oberflaechen in
synthetischer Behandlung_ (Berlin, 1870) erschienen.
[79] Als Vorbereitung fuer solche Untersuchungen sind die von Aronhold
(_Berliner Ber._ 1861) anzusehen, dann die von Brioschi (_Comptes rendus_,
1863, 64) ueber die Darstellung der Koordinaten der Punkte von gewissen
Kurven als elliptische Funktionen eines Parameters.
[80] _Journ. fuer Math._ 58, 64. Die von Clebsch erhaltenen Resultate haben
sich infolge des schoenen Werkes von Lindemann, welches den Titel traegt:
_Vorlesungen ueber Geometrie von A. Clebsch_ (I. Bd. Leipzig, 1876) und von
dem das Erscheinen des zweiten Bandes allgemein gewuenscht wird, schnell
verbreitet.
[81] _Ueber die algebraischen Funktionen und ihre Anwendung in der
Geometrie. Math. Ann._ 7.