hinzugezogen werden (_Math. Ann._ 13), ferner die von Geiser (_Annali di
Matem._ II, 9) und die von Del Pezzo (_Napoli Rend._ 22) ueber den
Zusammenhang, der zwischen den Singularitaeten einer Kurve und denen ihrer
Hesseschen Kurve besteht; ferner die von Laguerre (_Comptes rendus_ 40) und
Holst (_Math. Ann._ 11 und _Archiv for Mathematik og Naturvidenskab_ 7),
ueber die metrischen Eigenschaften der Kurven.
[83] _De linearum geometricarum proprietatibus generalibus tractatus._
[84] Vgl. Salmon-Fiedler, _Hoehere ebene Kurven_, 5. Kap.
[85] _Phil. Trans._ 1857; _Liouvilles Journ._ 9, 10.
[86] _Journ. fuer Math._ 42.
[87] _Zeitschr. f. Math._ 17; _Prager Ber._ 1871. -- Man sehe auch das Buch
_Die ebenen Kurven dritter Ordnung_ (Leipzig, 1871) und die Abhandlung von
Gent (_Zeitschr. f. Math._ 17).
[88] _Giorn. di Matem._ 2.
[89] _Journ. fuer Math._ 90.
[90] _Prager Abh._ VI, 5.
[91] _Goettinger Nachr._ 1871 und 1872.
[92] _Journ. fuer Math._ 78.
[93] Hierzu Harnack, _Math. Ann._ 9. Caporali, _Lincei Atti_, III, 1; Folie
und Le Paige, _Memoires de l'Academie de Belgique_, 43. Halphen, _Math.
Ann._ 15; _Bull. Soc. math._ 9.
[94] _Siehe Giorn. di Matem._, _Lombardo Rend._, _Math. Ann._, _Wiener
Ber._ und _Prager Ber._
[95] Fuer die Clebschschen Arbeiten sehe man die in Note 80 angefuehrten
Baende des _Journ. fuer Math._ nach. Ueber die ebenen rationalen Kurven
dritter Ordnung sehe man die Arbeiten von Durege (_Math. Ann._ 1), Igel
(das. 6), Rosenow (Dissertation, Breslau, 1873), Schubert (_Math. Ann._
12), Dingeldey (das. 27, 28); ueber die Kurven vierter Ordnung die von
Brill (Math. Ann. 12) und Nagel (das. 19); ueber die fuenfter Ordnung von
Rohn (das. 25), und ueber die rationalen Kurven beliebiger Ordnung die
Schriften von Haase (_Math. Ann._ 2), von Lueroth (das. 9), Pasch (das.
18), Brill (das. 20), von Weltzien (das. 26) und Garbieri (_Giorn. di
Matem._ 16).
[96] _Journ. fuer Math._ 47; _Comptes rendus_, 1871.
[97] _Journ. fuer Math._ 53.
[98] Guessfeldt, _Math. Ann._ 2; Laguerre, _Bull. Soc. math._ 7; Cremona
und Clebsch, _Journ. f. Math._ 64; Kiepert, _Zeitschr. f. Math._ 17; Frahm
ebendas. 18; Milinowski das. 19; Intrigila, _Giorn. di Matem._ 23; Kantor,
_Wiener Ber._ 1878 und _Bull. Sciences math._ II, 3.
[99] _Giorn. di Matem._ 15.
[100] _Journ. fuer Math._ 65.
[101] _Math. Ann._ 4.
[102] _Bull. de la Societe philomathique_, VII, I.
[103] Wenn p das Quadrat des Moduls einer elliptischen Funktion, q das
Quadrat des vermittelst einer primaeren Transformation ungerader Ordnung
transformierten Moduls und schliesslich F(p, q, 1) = 0 die entsprechende
Modulargleichung ist, so ist die Gleichung einer Modularkurve F([alpha],
[beta], [gamma]) = 0. Siehe _Proc. math. Soc._ 9.
[104] _Journ. f. Math._ 65; vgl. Ed. Weyr das. 73; Hurwitz, _Math. Ann._
19.
[105] _Math. Ann._ 24.
[106] _Journ. fuer Math._ 95, 99; siehe auch die Abhandlung von August,
_Grunerts Arch._ 59.
[107] _Transactions of the Royal Society of Edinburgh_ 25.
[108] _Math. Ann._ 5.
[109] _Math. Ann._ 5, 6. Man sehe auch hierzu die Abhandlung von Harnack in
der _Zeitschr. f. Math._ 22. Die hauptsaechlichsten von Durege und
Schroeter auf synthetischem Wege gefundenen Lehrsaetze sind analytisch von
Walter in seiner Dissertation _Ueber den Zusammenhang der Kurven dritter
Ordnung mit den Kegelschnittscharen_ (Giessen, 1878) bewiesen. Den
genannten Schriften Schroeters ueber die Kurven dritter Ordnung koennen wir
nun noch sein neuerdings erschienenes rein geometrisches Lehrbuch: _Die
Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung_ (Leipzig, 1888) hinzufuegen.
[110] _Math. Ann._ 5.
[111] _Math. Ann._ 1, 13; vgl. Clebsch, _Journ. fuer Math._ 59.
[112] _Irish Trans._ 1869.
[113] Siehe dessen Werk, _Sur une classe remarquable de courbes et surfaces
algebriques_ (Paris, 1873).
[114] _Journ. fuer Math._ 57, 59, 66.
[115] _Tidsskrift for Mathematik_, IV, 3.
[116] _Forhandlinger af Videnskabs Selskab af Kjobenhavn_ 1879.
[117] Erschienen in den _Collectanea mathematica in memoriam D. Chelini_
(Mailand, 1881).
[118] _Journ. fuer Math._ 28, 34, 38.
[119] _Journ. fuer Math._ 49, 55; vgl. auch Cayley (das. 58).
[120] _Journ. fuer Math._ 49.
[121] _Berliner Ber._ 1864, sowie _Nouv. Ann._ II, 11.
[122] _Math. Ann._ 1; _Journ. fuer Math._ 72.
[123] Vgl. Note 80.
[124] _Journ. fuer Math._ 66. -- Ueber die Doppeltangenten einer Kurve
vierter Ordnung sehe man auch folgende Arbeiten: Riemann, _Zur Theorie der
Abelschen Funktionen fuer den Fall p=3_. _Gesammelte Werke_ (Leipzig,
1876), S. 456-499; Noether, _Math. Ann._ 15; Cayley, _Journ. fuer Math._
94; Frobenius (das. 99); Freyberg, _Math. Ann. _17; H. Weber (ebendas. 23).
[125] Um sich von dem bedeutenden Anteil, welchen die Mongesche Schule an
der Schoepfung der Theorie der Flaechen zweiten Grades hatte, zu
ueberzeugen, genuegt es, sich folgendes zu vergegenwaertigen: Ihr verdanken
wir die doppelte Erzeugungsweise des einmanteligen Hyperboloides und des
hyperbolischen Paraboloides durch die Bewegung einer Geraden (Monge,
_Journ. Ec. polyt._ 1) und die Erzeugung aller Flaechen zweiten Grades, mit
Ausnahme des hyperbolischen Paraboloides, durch Bewegung eines Kreises
(Hachette, _Elements de Geometrie a trois dimensions_). Monge und Hachette
verdankt man den Beweis der Existenz der drei Hauptebenen einer Oberflaeche
zweiter Ordnung; Monge (_Correspondance sur l'Ecole polytechnique_) die
Entdeckung des Ortes der Scheitel der dreirechtwinkligen Trieder, deren
Kanten eine Flaeche zweiter Ordnung beruehren, und Bobillier (_Gergonnes
Ann._ 18) die des Ortes der Scheitel der dreirechtwinkligen Trieder, deren
Seitenflaechen eine Flaeche zweiter Ordnung beruehren; Monge bestimmte die
Kruemmungslinien des Ellipsoides (_Journ. Ec. polyt._ 2); Livet (das. 13)
und Binet (ebendas. 16) dehnten die bekannten Lehrsaetze des Apollonius auf
den Raum aus, waehrend Chasles (_Correspondance sur l'Ec. polyt._) andere
analoge Saetze gab; Dupin (_Journ. Ec. polyt._ 14) machte einige
interessante Methoden zur Erzeugung solcher Oberflaechen bekannt. Brianchon
(das. 13) zeigte, dass die reciproke Polare einer Flaeche zweiten Grades
ebenfalls eine Flaeche zweiten Grades sei, u. s. w.
[126] _Journ. fuer Math._ 12.
[127] _Irish Proc._ 2.
[128] _Apercu historique_, Note 25, 28, 31, 32; _Comptes rendus_, 1855;
_Liouvilles Journ._ 1860 u. s. w.
[129] _Journ. fuer Math._ 18, 20, 24, 26, 60, 73, 85, 90.
[130] _Grunerts Arch._ 9.
[131] _Journ. fuer Math._ 62. Ueber die Oberflaechen zweiter Ordnung sehe
man auch die Abhandlungen von Townsend (_Cambridge Journ._ 3), von Darboux
(_Bull. Soc. Math._ 2), von Meray und Cremona (_Annali di matem._ I, 3)
u. s. w. und die _Geometrie de direction_ (Paris, 1869) von P. Serret.
Eine der wichtigsten Fragen, welche sich in der Theorie der Flaechen
zweiten Grades darbietet, ist die Konstruktion derselben, wenn neun ihrer
Punkte gegeben sind. Dieselbe wurde von Seydewitz (_Grunerts Arch._ 9),
Chasles (_Comptes rendus_, 1855), Steiner (_Gesammelte Werke_, II. Bd.,
_Nachlass_), Schroeter (_Journ. fuer Math._ 62), Sturm (_Math. Ann._ 1) und
Dino (_Napoli Rend._ 1879) geloest. -- Daran knuepft sich die Untersuchung
des achten Punktes, der allen Flaechen zweiter Ordnung gemeinsam ist, die
durch sieben gegebene Punkte gehen. Dieser wurde der Gegenstand wichtiger
Untersuchungen von Hesse (_Journ. fuer Math._ 20, 26, 73, 75, 99), Picquet
(das. 73, 99), Caspary, Schroeter, Sturm, Zeuthen (das. 99) und Reye (das.
100).
Ein anderes interessantes Problem ist die Untersuchung der Flaechen zweiten
Grades, in bezug auf welche zwei gegebene Flaechen zweiten Grades reziproke
Polaren voneinander sind; dasselbe wurde analytisch von Battaglini
behandelt (_Lincei Atti,_ 1875), von d'Ovidio (_Giorn. di Matem._ 10) und
synthetisch von Thieme (_Zeitschr. f. Math._ 22).
Ueber einige Flaechen zweiten Grades, welche besondere metrische
Eigenschaften besitzen (orthogonale, gleichseitige Hyperboloide), haben
geschrieben: Steiner (_Journ. fuer Math._ 2 und _Systematische
Entwickelung_), Chasles (_Liouvilles Journ._ 1 [1836]), Schroeter (_Journ.
fuer Math._ 85), Schoenfliess (_Zeitschr. fuer Math._ 23, 24 und _Journ.
fuer Math._ 99), Vogt (_Journ. fuer Math._ 86) und Ruth (_Wiener Ber._ 80).
Zu den neuesten Studien ueber die Flaechen zweites Grades gehoeren die von
Zeuthen (_Math. Ann._ 19, 26) ueber die Theorie der projektiven Figuren auf
einer solchen Flaeche; daran schliessen sich auch einige schoene
Untersuchungen, welche Voss gemacht hat (_Math. Ann._ 25, 26), um gewisse
Resultate von Poncelet und Bruno (_Torino Atti_ 17) weiter auszudehnen.
Auch sind die Anwendungen der hyperelliptischen Funktionen auf sie
bemerkenswert, welche Staude (_Math. Ann._ 20, 21, 25, 27) gemacht hat.
[132] Davon geben Zeugnis die Partien, welche in ihren wertvollen
Lehrbuechern diesen Oberflaechen gewidmet haben: Hesse (_Vorlesungen ueber
die analytische Geometrie des Raumes_), Salmon (_Analytische Geometrie des
Raumes_), Cremona (_Preliminari di una teoria geometrica delle
superficie_), Reye (_Die Geometrie der Lage_) und Schroeter (_Theorie der
Oberflaechen zweiter Ordnung und der Raumkurven dritter Ordnung_).
[133] _Memoire de geometrie sur deux principes generaux de la science_
(Anhang zum _Apercu historique_).
[134] _Gergonnes Ann._ 17.
[135] _Memoire sur la theorie generale des polaires reciproques_. (_Journ.
fuer Math._ 4).
[136] _Cambridge Journ._ 2, 4; _Irish Trans._ 23.
[137] _Cambridge Journ._ 7, 8; _Phil. Trans._ 1869, 71 u. 72. Man sehe auch
die von Zeuthen in den _Math. Ann._ 4, 9, 10, von Jonquieres in den _Nouv.
Ann._ 13 und von Halphen in den _Annali di Matem._ II, 9 veroeffentlichten
Abhandlungen.
[138] _Journ. fuer Math._ 15.
[139] _Math. Ann._ 1, 2. Vgl. auch eine Abhandl. von Padova im _Giorn. di
Matem._ 9, sowie eine von Valentiner, _Tidsskrift for Mathematik_ IV, 3.
[140] _Comptes rendus_ 45.
[141] _Preliminari di una teoria geometrica delle superficie_. (_Bologna
Mem._ II, 6, 7).
[142] _Wiener Ber._ 1877, 1882.
[143] _Math. Ann._ 27.
[144] _Journ. fuer Math._ 49.
[145] _Cambridge Journ._ 4; _Quart. Journ._ 1; _Phil. Trans._ 1860.
[146] _Journ. fuer Math._ 58, 63.
[147] _Journ. fuer Math._ 72.
[148] _Math. Ann._ 10, 11, 12; _Abzaehlende Geometrie_, 5. Abschnitt. S.
auch Krey, _Math. Ann._ 15.
[149] _Math. Ann._ 23.
[150] _Journ. fuer Math._ 72, 78, 79, 82.
[151] _Geometry of three dimensions_; in deutscher Uebersetzung von
Fiedler: _Analytische Geometrie des Raumes in zwei Baenden_ (3. Auflage,
1879/80).
[152] _Preliminari_ etc. Vgl. Note 141.
[153] Vgl. die in Note 136 und 137 angefuehrten Arbeiten.
[154] _Cambridge Journ._ 6.
[155] Auch im _Journ. fuer Math._ 53 publiziert.
[156] Die einzige mir bekannte Arbeit, welche mit den Studien von Cayley
und Salmon im Zusammenhange steht, ist eine von Schlaefli (_Quart. Journ._
2), die besonders dadurch wichtig ist, dass sie die erste ist, welche den
Begriff der "Doppelsechs" enthaelt.
[157] _Journ. fuer Math._ 62.
[158] _Disquisitiones de superficiebus tertii ordinis_ (Berlin, 1862).
[159] _Journ. fuer Math._ 68; ferner _Grundzuege einer allgemeinen Theorie
der Oberflaechen_ (Berlin, 1870), in welchem Buche die deutsche
Uebersetzung der in Note 141 und 152 zitierten "_Preliminari_" und
diejenige dieser Preisschrift (durch Curtze) vereinigt sind.
[160] _Synthetische Untersuchungen ueber Flaechen dritter Ordnung_.
Leipzig, 1867.
[161] _Journ. fuer Math._ 51; vgl. eine von Schroeter (das. 96)
veroeffentlichte Abhandlung.
[162] Vgl. die in Note 158 zitierte Arbeit. -- Man sehe auch Schubert,
_Math. Ann._ 17.
[163] _Grunerts Arch._ 56.
[164] _Bull. soc. math._ 4.
[165] _Acta math._ 3.
[166] _Lombardo Rend._ Maerz 1871.
[167] _Grunerts Arch._ 56.
[168] _Math. Ann._ 23.
[169] _Lombardo Rend._ 1884; _Annali di Matem._ II, 12.
[170] _Math. Ann._ 13; _Lincei Mem._ 1876-1877.
[171] _Napoli Rend._ 1881.
[172] _Journ. fuer Math._ 78.
[173] _Lombardo Rend._ 1879.
[174] _Acta math._ 5.
[175] _Phil Trans._ 1863; vgl. Cayley (das. 1869).
[176] _Math. Ann._ 14.
[177] _Lombardo Atti_, 1861.
[178] _Theorie der mehrdeutigen Elementargebilde_ u. s. w. Leipzig, 1869;
_Geometrie der raeumlichen Erzeugnisse ein-zweideutiger Gebilde_, Leipzig,
1870.
[179] _Ueber die geradlinige Flaeche dritter Ordnung und deren Abbildung
auf eine Ebene._ (Dissertation. Strassburg, 1876.)
[180] _Math. Ann._ 4.
[181] _Phil. Mag._ 1864.
[182] _Math. Ann._ 10.
[183] _Phil. Trans._ 150.
[184] _Journ. fuer Math._ 58.
[185] _Math. Ann._ 5.
[186] _Lincei Mem._ 1880-1881. Man sehe auch eine Note von Brioschi in den
_Lincei Atti_ II, 3, in welcher bewiesen wird, dass die 45 dreifach
beruehrenden Ebenen einer Oberflaeche dritter Ordnung dreien Oberflaechen
zehnter Klasse gemeinsam sind. Neuerdings fand Bauer (_Abh. der Bayr. Akad.
der Wiss._ 14, 1883) analytisch von neuem, was Sturm schon 1867 in seinen
_Synthetischen Untersuchungen ueber Flaechen dritter Ordnung_ erkannt
hatte, dass die Schnittkurve einer Oberflaeche dritter Ordnung mit ihrer
Hesseschen Flaeche fuer beide eine parobolische Kurve ist; ein
bemerkenswertes Resultat, weil es das Analogon im Raume zu einem bekannten
Satze ueber die ebene kubische Kurve ist.
[187] _Liouvilles Journ._ II, 14; _Traite des substitutions et des
equations algebriques_ (Paris, 1870).
[188] _Traite des proprietes projectives des figures_.
[189] _Comptes rendus_, 1862.
[190] Ebendas., 1861.
[191] _Phil. Trans._ 1864.
[192] _Bologna Mem._ 1868.
[193] _Berliner Ber._ 1864; _Journ. fuer Math._ 64.
[194] _Nouv. Ann._ II, 5.
[195] Die Dupinsche Cyklide gehoert zu diesen.
[196] Vgl. _Comptes rendus_ 1864.
[197] Die Untersuchungen von Darboux finden sich in dem schon angefuehrten
Buche: _Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algebriques_
(Paris, 1873) zusammengefasst.
[198] S. die Aufzaehlung der Arbeiten, die zu Ende des in der vorigen Note
zitierten Werkes sich findet, und die _Notice sur la vie et les travaux de
M. Laguerre_, veroeffentlicht von Poincare in den _Comptes rendus_ 104.
[199] _Phil. Trans._ 1871.
[200] _Lombardo Rend._ 1871.
[201] _Journ. fuer Math._ 70.
[202] _Math. Ann._ 4.
[203] _Om Flader af fjerde Orden med Dobbeltkeglesnit_ (Kopenhagen, 1879).
Von dieser Abhandlung habe ich eine italienische Uebersetzung in den
_Annali di Matem._ II, 14 veroeffentlicht.
[204] _Journ. fuer Math._ 69.
[205] _Math. Ann._ 1, 2, 3, 4.
[206] _Annali di Matem._ II, 13.
[207] _Leipziger Dissertation_ (Greifswald, 1885).
[208] _Math. Ann._ 19.
[209] _Torino Mem._ II, 36.
[210] _Math. Ann._ 24. Betreffend die Konstruktion einer Oberflaeche
vierter Ordnung mit Doppelkegelschnitt sehe man eine Abhandlung von Bobek
(_Wiener Ber._ 11. und 18. Dez. 1884) und eine von Veronese (_Atti dell'
Istituto Veneto_, VI, 1); hinsichtlich der Konstruktion einer Cyklide sehe
man eine Abhandlung von Saltel (_Bull. Soc. math._ 3).
[211] Weierstrass, _Berliner Ber._ 1863.
[212] Unter den Eigenschaften der roemischen Flaeche von Steiner verdient
eine hervorragende Stelle die (durch verschiedene Methoden von Cremona und
Clebsch nachgewiesene) Eigenschaft, dass sie zu asymptotischen Kurven
(Haupttangentenkurven) rationale Kurven vierter Ordnung hat. Eine andere
Eigenschaft derselben wurde von Darboux (_Bull. sciences math._ II, 4)
entdeckt und besteht darin, dass sie die einzige Flaeche ist, ausser den
Flaechen zweiten Grades und den Regelflaechen dritten Grades, bei welcher
durch jeden Punkt unendlich viele Kegelschnitte gehen. Neuerdings hat
Picard (_Journ. fuer Math._ 100) gezeigt, dass sie die einzige nicht
geradlinige Oberflaeche ist, deren saemtliche ebene Schnitte rationale
Kurven sind. Man sehe hierzu noch eine Note von Guccia in den _Rendiconti
del circolo matematico di Palermo_, 1. -- Lie machte (_Archiv for Math. og
Naturvidenskab._ 3) die interessante Bemerkung, dass der Ort der Pole einer
Ebene in Bezug auf die Kegelschnitte einer Steinerschen Flaeche eine
ebensolche Flaeche ist.
[213] _Journ. fuer Math._ 63; _Lombardo Rend._ 1867.
[214] _Journ. fuer Math._ 64.
[215] _Math. Ann._ 3.
[216] _Journ. fuer Math._ 64; _Proc. math. Soc._ 5.
[217] _Giorn. di Matem._ 1; _Bologna Mem._ 1879.
[218] _Journ. fuer Math._ 67.
[219] _Math. Ann._ 5.
[220] _Nouv. Ann._ II, 11, 12; _Bull. Soc. math._ 1.
[221] _La superficie di Steiner studiata nella sua rappresentazione
analitica mediante le forme ternarie quadratiche_ (Torino, 1881).
[222] _Berliner Abh._ 1866 und _Berliner Ber._ 1864.
[223] Diese Oberflaeche hat eine fundamentale Bedeutung in der
mathematischen Theorie des Lichtes. Es ist in der That bekannt, dass die
Bestimmung der Ebenen, welche sie laengs Kreisen beruehren, Hamilton zur
Entdeckung der konischen Refraktion fuehrte, einer Erscheinung, welche der
Aufmerksamkeit der Physiker entgangen war. Sie erfreut sich vieler
interessanter Eigenschaften und war Gegenstand wichtiger Untersuchungen
verschiedener Gelehrten, insbesondere Mannheims (_Comptes rendus_, 78, 81,
85, 88, 90; _Association franc. pour l'avanc. des sciences_ 1874, 75, 76,
78), _Proc. Roy. Soc._ 1882; _Collectanea mathematica_ u. s. w.
[224] _Liouvilles Journ._ 11; _Journ. fuer Math._ 87. Vgl. eine Abhandlung
von Segre im _Giorn. di Matem._ 21. Andere Spezialfaelle der Kummerschen
Flaeche wurden von Rohn und Segre (_Leipziger Ber._ 1884) studiert.
[225] Diese Eigenschaft der Kummerschen Flaeche veranlasste eine
Untersuchung ueber die Oberflaechen beliebiger Ordnung, welche dieselbe
besitzen, eine Untersuchung, die schon von Kummer und Cayley unternommen
ist, _Berliner Ber._ 1878.
[226] _Berliner Ber._ 1870, oder _Math. Ann._ 23.
[227] _Journ. fuer Math._ 97; vgl. Segre das. 98.
[228] _Journ. fuer Math._ 83, 94; oder _Borchardts Gesammelte Werke_
(Berlin, 1888, S. 341); vgl. Brioschi und Darboux, _Compt. rend._, 1881.
[229] _Journ. fuer Math._ 84.
[230] S. die in Note 207 zitierte Abhandlung, und fuer die Geschichte der
Anwendung der hyperelliptischen Funktionen auf die Kummersche Oberflaeche
die Einleitung der Abhandlung von Rohn, _Math. Ann._ 15.
[231] _Journ. fuer Math._ 70.
[232] _Muenchener Dissertation_, 1878; _Math. Ann._ 15.
[233] Die anderen Oberflaechen vierter Ordnung mit singulaeren Punkten
wurden von Cayley studiert (_Proc. math. Soc._ 1870, 1871), vollstaendiger
von Rohn in einer sehr schoenen Abhandlung, die von der Jablonowskischen
Gesellschaft kuerzlich praemiiert ist (vgl. _Math. Ann._ 29). Endlich
wurden die von Flaechen zweiten Grades eingehuellten Flaechen vierter
Ordnung von Kummer untersucht, _Berliner Ber._ 1872.
[234] _On the quartic surfaces_ (+) (u, v, w)^2 = 0 (_Quart. Journ._ 10,
11); _On the quartic surfaces represented by the equation symmetrical
determinant_ = 0 (_Quart. Journ._ 14).
[235] Bekanntlich nennt man nach Cayley ein Monoid eine Oberflaeche n^{ter}
Ordnung mit einem (n-1)-fachen Punkte.
[236] _Math. Ann._ 24; vgl. auch die Dissertation von Lampe, Berlin, 1864.
[237] _Math. Ann._ 18, 17. Ausser den im Texte zitierten Oberflaechen
wurden noch andere spezielle Flaechen studiert, die ich der Kuerze wegen
uebergehen muss; der groessere Teil derselben wurde vermittelst der Theorie
der Abbildungen entdeckt oder betrachtet, siehe s. VI.
[238] _Correspondance mathematique_ 9; _Liouvilles Journ._ 2.
[239] _Cambridge Journ._ 8 und _Irish Trans._ 23.
[240] _Phil. Trans._ 1863-1869. In den angefuehrten Arbeiten haben Cayley
und Salmon die Regelflaechen bearbeitet als die Oerter der Geraden, die
drei gegebene Kurven treffen, oder eine einmal und eine zweite zweimal
treffen, oder Trisekanten einer Kurve sind. Rupp hat neuerdings diese
Betrachtungen wieder aufgenommen, um auf eine andere Weise die Resultate zu
erhalten und zu modifizieren, zu denen jene Mathematiker gelangt waren
(_Math. Ann._ 18).
[241] _Annali di Matem._ II, 1.
[242] _Traite de geometrie descriptive_, Art. 629 u. 635.
[243] _Math. Ann._ 8, 12, 13.
[244] _Comptes rendus_, 1862; vgl. d'Ovidio und Dino, _Giorn. di Matem._ 3.
[245] _Dissertation_, gedr. zu Berlin 1864, und _Journ. fuer Math._ 67.
[246] _Recherches sur les surfaces reglees tetraedrales symetriques_
(Paris, 1867). Ich bemerke, dass ein Bueschel von Oberflaechen, die in
Bezug auf ein Tetraeder symmetrisch sind, mit einem projektiven
Ebenenbueschel eine bemerkenswerte Flaeche erzeugt, die von Eckardt
(_Zeitschr. f. Math._ 20) bearbeitet ist und welche die allgemeine
Oberflaeche dritter Ordnung in sich schliesst.
[247] _Math. Ann._ 5.
[248] _Annali di Matem._ II, 4.
[249] _Prager Abhandlungen_ VI, 5.
[250] _Memoires de Bordeaux_ II, 3.
[251] _Ueber die Flaechen, deren Gleichungen aus denen ebener Kurven durch
eine bestimmte Substitution hervorgehen. Math. Ann._ 7.
[252] _Lincei Mem._ 1878-1879.
[253] _Math. Ann._ 4.
[254] _Math. Ann._ 27, 29. S. auch eine Abhandlung von Eckardt (daselbst
7).
[255] _Math. Ann._ 3.
[256] das. 14, 15. S. auch eine Bemerkung von Dino, _Napoli Rend._ 19.
[257] _Comptes rendus_, 52.
[258] _Journ. fuer Math._ 68.
[259] _Math. Ann._ 2.
[260] _Proc. math. Soc._ 4; _Comptes rendus_, 1861; vgl. Hungady _Journ.
fuer Math._ 92.
[261] Klein und Lie, _Comptes rendus_, 70.
[262] Fouret, _Bulletin de la Societe philomatique_, VII, 1.
[263] Jung, _Lincei Rend._ 1885 und 1886. S. auch zwei Bemerkungen ueber
denselben Gegenstand, veroeffentlicht von Visalli (ebendas. 1886).
[264] Goursat, _Ann. Ec. norm._ III, 4; Lecornu, _Acta math._ 10.
[265] Cfr. die bewunderungswerten _Vergleichenden Betrachtungen ueber
neuere geometrische Forschungen_ von F. Klein (Erlangen, 1872).
[266] Veroeffentlicht im Jahre 1795 unter dem Titel: _Feuilles d'Analyse
appliquee a la Geometrie_. Die letzte (fuenfte) Ausgabe wurde von Liouville
im Jahre 1850 besorgt und durch einen Anhang sehr wertvoller Noten
bereichert.
[267] Der Koeniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Goettingen
ueberreicht am 8. Oktober 1827 und abgedruckt im 6. Bande der
_Commentationes recentiores societatis Gottingensis_. Diese
_Disquisitiones_ stehen im 4. Bande der von der genannten Gesellschaft
herausgegebenen _Werke_ von Gauss, ferner in franzoesischer Uebersetzung in
der angefuehrten Liouvilleschen Ausgabe des Werkes von Monge.
[268] Wenn x = e(t), y = f(t), z = g(t) die Ausdruecke der Koordinaten der
Punkte dieser Kurve in Funktionen eines Parameters t sind und F(x, y, z) =
0 die Gleichung der gegebenen Oberflaeche, so ist die fragliche Enveloppe
die der Oberflaeche F{x + e(t), y + f(t), z + g(t)} = 0.
[269] Ueber solche Flaechen sehe man die neue Arbeit von Lie (_Archiv for
Mathematik og Naturvidenskab_ 7).
[270] Vor Monge hatten sich schon Euler (_Histoire de l'Academie de
Berlin_, 1766) und Meunier (_Memoires de l'Academie des sciences de Paris_
10, 1776) mit diesem Thema beschaeftigt.
[271] Unter den neueren Arbeiten ueber die Kruemmungslinien fuehren wir nur
die von Hamilton, Frost und Cayley an, die sich als Aufgabe gestellt haben,
zu finden, wie dieselben um einen Nabelpunkt herum verteilt sind (_Quart.
Journ._ 12).
[272] Vgl. hierzu eine von Cremona veroeffentlichte Arbeit in den _Bologna
Mem._ III, 1. Wir fuehren hier auch einige Noten von Darboux an (_Comptes
rendus_, 84, 92, 97), welche die Bestimmung der Kruemmungslinien einiger
spezieller bemerkenswerter Flaechen zum Zwecke haben.
[273] Die Differentialgleichung der Minimalflaechen verdanken wir Lagrange
(_Miscellanea Taurinensia_, 1760-1761); die geometrische Interpretation
derselben wurde ein wenig spaeter von Meunier gegeben (vgl. Note 270).
[274] An die in den ss. 18 und 21 der _Application_ gemachten
Untersuchungen knuepft sich eine Abhandlung von O. Rodrigues, die sich in
der _Correspondance sur l'Ecole polytechnique_ 3 findet.