von n Dimensionen verdankt ihren Ursprung der Unterstuetzung, welche die
Algebra von der Geometrie erhielt, seitdem Cartesius jene auf diese
anzuwenden gelehrt hat. In der That ist diese Unterstuetzung eine
begrenzte, da nur die analytischen Thatsachen, welche mit der Theorie der
Funktionen einer, zweier oder dreier Variabelen verknuepft sind (oder mit
der Theorie der binaeren, ternaeren oder quaternaeren Formen), einer den
Sinnen zugaenglichen {116} Darstellung faehig sind. Aber der Geist der
Verallgemeinerung, der, wie ich schon sagte, einer der maechtigsten
Antriebe zu den modernen geometrischen Untersuchungen war und noch
fortwaehrend ist, bewog die Geometer, die Fesseln zu brechen, welche die
Natur ihrem Vorstellungsvermoegen angelegt zu haben schien, und von
beliebig ausgedehnten Raeumen zu sprechen.[704]
Und sie sprachen davon, ehe sie sich noch mit der mehr philosophischen, als
mathematischen Frage beschaeftigt hatten, ob in der That solche Raeume
existieren; und sie thaten dies mit Recht, da sie nur so, ohne ein
vielleicht unloesbares Problem in Angriff zu nehmen, ihr Ziel erreichen
konnten; durch eine kuehne Einbildungskraft verschafften sie sich die
(sinnlich wahrnehmbaren oder uebersinnlichen) Darstellungen vieler
analytischer Resultate.[705]
Um zu zeigen, dass man wirklich in der angegebenen Weise zu einer solchen
Theorie gekommen ist, begnuege ich mich damit, die Thatsache anzufuehren,
dass dieselbe von Analysten wie Cauchy[706] (1789-1857) und Riemann[707]
aufgestellt wurde; dass sie sich noch bei vielen anderen minder bedeutenden
mehr oder weniger versteckt findet in der Absicht, fuer die Theoreme der
Analysis ausdrucksvollere Fassungen zu erhalten; ferner dass Lagrange schon
Ende des vergangenen Jahrhunderts die Bemerkung machte, "dass man die
Mechanik als eine Geometrie von vier Dimensionen {117} ansehen koenne", in
welcher die Zeit als vierte Koordinate fungiert.[708]
Dieser Begriff des beliebig ausgedehnten Raumes ist jedoch seinem Ursprunge
und seiner Bestimmung nach wesentlich analytisch. Pluecker, dem das
Schicksal einen so wichtigen Anteil an der Foerderung der modernen
Geometrie zugeteilt hat, war es vorbehalten, diesem Begriffe ein
geometrisches Gewand zu geben, indem er beobachtete, dass man unserem Raume
eine beliebige Anzahl Dimensionen zuerteilen kann vermittelst einer
passenden Wahl des geometrischen Gebildes, welches man als erzeugendes
Element des Raumes auffasst; so wird er drei Dimensionen haben, wenn man
den Punkt oder die Ebene waehlt, vier, wenn man die Gerade oder die Kugel
nimmt, neun, wenn man die Flaeche zweiten Grades nimmt, u. s. w.[709]
{118}
Dieser Gedanke ist weniger abstrakt als der vorhergehende, und leichter zu
begreifen; dessen ungeachtet verbreitete er sich viel langsamer, als der
erstere, wahrscheinlich deswegen, weil sein Urheber nicht Worte genug
machte, um seine Wichtigkeit zu zeigen. Der andere hingegen wurde besonders
infolge der beruehmten Abhandlung von Riemann, _Ueber die Hypothesen,
welche der Geometrie zu Grunde liegen_, in vielen Richtungen weiter
entwickelt, und die mathematische Litteratur ueber diesen Gegenstand ist
von einer schon betraechtlichen Reichhaltigkeit und waechst noch von Tag zu
Tag.
Zur Rechtfertigung dieser Behauptung erinnere ich an die schon genannten
Abhandlungen von Helmholtz, fuehre die von Beltrami,[710] Schlaefli,[711]
Newcomb,[712] Stringham,[713] das neue Buch von Killing[714] an und die
darauf folgenden Untersuchungen von Schur,[715] die enge mit der
Riemannschen Abhandlung zusammenhaengen; die Untersuchung von Betti[716]
ueber den Zusammenhang eines Raumes von n Dimensionen; die von
Clifford,[717] Beltrami,[718] Jordan,[719] von Lipschitz,[720] Monro,[721]
Scheeffer (1859-1885),[722] Heath[723] und Killing[724] ueber die Kinematik
und Mechanik eines {119} solchen Raumes;[725] ferner die von Jordan[726]
und Brunel[727] ueber die verschiedenen Beruehrungs- und Schmiegungsraeume,
welche eine Kurve in einem Raume von n Dimensionen zulaesst,[728] die von
Craig[729] ueber die metrischen Eigenschaften der Oberflaechen in einem
solchen Raume, die von Kronecker,[730] von Beez,[731] Lipschitz,[732]
Christoffel,[733] von Brill,[734] Suworoff[735] und Voss[736] ueber die
Kruemmung eines beliebig ausgedehnten Raumes; die von Kronecker und
Tonelli[737] ueber das Potential; die von Lie,[738] Klein,[739] Jordan[726]
und Lipschitz[740] ueber die Erweiterung des Dupinschen und des Eulerschen
Lehrsatzes; sodann die konforme Abbildung einer Oberflaeche des
vierdimensionalen Raumes auf den gewoehnlichen Raum, die von Craig[741]
studiert wurde, endlich die von Lipschitz gegebene Verallgemeinerung des
beruehmten Problemes der drei Koerper.[742] Zum Schlusse wollen {120} wir
die Aufmerksamkeit des Lesers lenken auf die Erweiterungen gewisser
Begriffe, einiger Saetze und Formeln der elementaren Geometrie, die
vorzueglich von Rudel,[743] Hoppe,[744] Schlegel[745] und Mehmke[746]
gemacht sind; dazu gehoeren auch die Untersuchungen von Stringham,[747]
Hoppe,[748] Schlegel,[749] Scheffler,[750] Rudel,[751] O. Biermann,[752]
Puchta[753] und anderen ueber die regulaeren Koerper des vierdimensionalen
Raumes, die soweit gediehen, dass sie Schlegel gestatteten, Modelle der
Projektionen dieser Koerper auf unseren Raum herzustellen.[754]
Ausser dieser Richtung wurde eine andere nicht weniger fruchtbare von den
Bearbeitern der Mannigfaltigkeiten von n Dimensionen verfolgt, welche
projektiv ist, waehrend die erstere wesentlich metrisch ist.--Eine kurze
Andeutung, {121} die von Cayley im Jahre 1846 gegeben wurde[755] ueber eine
Methode, um die Konfigurationen von Punkten, Geraden und Ebenen zu
untersuchen, kann man als die erste ansehen, welche auf diese neue Richtung
hinwies. Aber es scheint, wie Bailly[756] bemerkt hat, "dass die Ideen, wie
wir, ein Kindesalter und eine erste Zeit der Schwaeche haben; sie sind
nicht von Geburt an produktiv, sondern erhalten erst mit dem Alter und mit
der Zeit ihre Fruchtbarkeit". Daher sehen wir denn mehr als 30 Jahre
verfliessen, ehe der geniale Gedanke des grossen englischen Geometers, in
der richtigen Weise entwickelt, die synthetische Geometrie der Raeume von n
Dimensionen, welche wir heute besitzen, hervorrief.
Als Einleitung zu derselben muss man die wichtige Arbeit von Clifford
ansehen: _On the classification of loci_,[757] in welcher das allgemeine
Studium der Kurven in beliebigen linearen Raeumen in Angriff genommen ist;
jeden Augenblick kommen in demselben Operationen vor, die wirkliche
Erweiterungen derer sind, die man in der gewoehnlichen projektiven
Geometrie zu machen pflegt. Jedoch kann man sagen, dass dieser neue Zweig
der Geometrie mit der Abhandlung beginnt, die Veronese der _Behandlung der
projektiven Eigenschaften der Raeume von_ n _Dimensionen durch die
Prinzipien des Schneidens und Projizierens_ gewidmet hat.[758] In derselben
laesst der beruehmte Verfasser, Riemann folgend, einen Raum von n
Dimensionen entstehen, indem er von demselben einen solchen, der eine
Dimension weniger hat, von einem ausserhalb gelegenen Punkte projiziert,
und {122} indem er sich dieser Erzeugungsweise bedient, gelangt er zur
Erweiterung des groesseren Teiles der Theorien der gewoehnlichen Geometrie
der Lage.[759] Die Fruchtbarkeit der in dieser grundlegenden Abhandlung
eroerterten Prinzipien wurde durch viele interessante Arbeiten, welche die
Fortsetzung derselben bilden, ins Licht gestellt; dieselben bereichern noch
von Tag zu Tag ein Lehrgebiet, in welchem Italien eine hervorragende Stelle
einnimmt. Unter ihnen will ich -- abgesehen von denen, die Veronese selbst
publiziert hat,[760] -- die Untersuchungen von Segre anfuehren ueber die
Theorie der quadratischen Gebilde in einem Raume von n Dimensionen und ihre
Anwendung auf die Geometrie der Geraden,[761] ueber die kollinearen und
reciproken Korrespondenzen,[762] ueber die Bueschel von Kegeln zweiten
Grades,[763] ueber die Regelflaechen,[764] ueber die Oberflaechen vierter
{123} Ordnung mit Doppelkegelschnitt[765] und ueber die Theorie der Systeme
von Kegelschnitten,[766] dann die von Bertini[767] und Aschieri,[768] die
verwandte Gegenstaende behandeln; die Schriften von del Pezzo ueber die
Oberflaechen in einem n-dimensionalen Raume.[769] Noch viele andere muesste
ich nennen, aber
Io non posso ritrar di tutti appieno;
Perocche si mi caccia il lungo tema,
Che molte volte al fatto il dir vien meno.[770]
Jedoch Arbeiten, welche zu verschweigen mich keine Betrachtung verleiten
koennte, sind die -- viel frueher als die von Veronese erschienenen -- von
Noether ueber die eindeutigen Korrespondenzen zwischen zwei n-dimensionalen
Raeumen (1869, 1874),[771] jene ebenfalls aelteren von Halphen (1875) ueber
die Schnitte der Mannigfaltigkeiten, die in einem beliebigen linearen Raume
enthalten sind,[772] von d'Ovidio {124} ueber die Metrik eines solchen
Raumes (1876),[773] endlich die neuerlichen von Schubert ueber die
abzaehlende Geometrie eines Raumes von solcher Beschaffenheit.[774]
* * * * *
Schluss.
------
Hiermit scheint es mir angemessen, die vorgenommene Musterung zu
beschliessen. Freilich sind viele wirklich interessante Untersuchungen
derselben entgangen, da sie unter keiner der Kategorien, in welche ich die
von mir besprochenen Arbeiten eingeteilt habe, Platz finden konnten. So
konnte ich nicht ueber die Theorie der projektiven Koordinaten berichten,
die von Chasles[775] erhalten wurden, als er die gewoehnlichen Cartesischen
Koordinaten einer kollinearen Verwandlung unterzog, die dann direkt von
Staudt[776] aufgestellt wurde und vollstaendiger von Fiedler;[777] {125}
dann habe ich nicht ueber die Methode der symbolischen Bezeichnung
berichtet, da diese mehr Mittel als Zweck fuer den Geometer ist; die
Theorie der Beruehrungstransformationen (Lie) und der
Differential-Invarianten (Halphen) habe ich stillschweigend uebergangen, da
sie auf der Grenze zwischen der Geometrie und der Theorie der
Differentialgleichungen stehen; ueber die sogenannte _Analysis situs_ habe
ich mich einer Besprechung enthalten, da eben diese Lehre von Riemann
geschaffen und von seinen Schuelern betrieben wurde, um Probleme der
Funktionentheorie zu loesen. Dann haben sich meiner Darlegung die schoenen
Auseinandersetzungen von Battaglini und Ball entzogen ueber die Kraefte und
Bewegungen,[778] von Chasles, Aronhold, Mannheim und Burmester ueber die
kinematische Geometrie und von Reye ueber die Traegheitsmomente, da sie
bisher[779] mehr zur Mechanik als zur Geometrie gehoerig angesehen wurden.
Gleiches gilt von den interessanten Experimenten Plateaus (1801-1883) in
bezug auf die Minimalflaechen, deren Besitz die Physiker fuer sich
beanspruchen, von den schoenen Untersuchungen ueber die Polyeder (Moebius,
Bravais, Jordan, Hess), welche den Uebergang von der Geometrie zur
Mineralogie bilden, und den neuesten Arbeiten ueber die geometrische
Wahrscheinlichkeit (Crofton, Czuber, Cesaro), welche ich geneigt waere
unter die Anwendungen der Geometrie zu rechnen. Dann habe ich nicht ueber
die Methode der Aequipollenzen gesprochen (Bellavitis) und die Theorie der
Quaternionen (Hamilton), da beide sich bis jetzt noch {126} nicht von so
grosser Fruchtbarkeit erwiesen haben, um als notwendiges Hilfsmittel des
Geometers angesehen zu werden.
Ungern musste ich hinweggehen ueber die Theorie der Kugelsysteme, die mit
grossem Erfolge von Lie und Reye bearbeitet ist. Ich habe keinen Blick auf
die Theorie der Konfigurationen werfen koennen (Reye, Kantor, Jung,
Martinetti), da dieselbe gerade noch im Stadium ihrer Bildung begriffen
ist, und auf die mehr den Elementen angehoerige Erweiterung der Lehre vom
Dreiecke, zu welcher Arbeiten von Brocard[780] die Anregung gegeben haben.
Kurz erwaehnen will ich noch zwei Reihen von Untersuchungen ueber Maximal-
und Minimalfiguren, von denen die einen (Painvin, P. Serret, Lebesgue,
Borchardt, Kronecker) das Problem von Lagrange, das Tetraeder groessten
Inhalts zu finden, von dem die Inhalte der Seitenflaechen gegeben sind, und
Erweiterungen, bez. Umgestaltungen desselben behandeln,[781] die anderen
(Lindeloef, Berner, Edler, Sturm, Schwarz, Lange, Certo) sich an die
beruehmten Aufsaetze von Steiner[782] anschliessen.[783]
Keinesfalls aber darf mit Stillschweigen uebergangen werden, dass es
unserem Jahrzehnte vergoennt gewesen ist, die alte Frage der Quadratur des
Kreises zur endgiltigen Erledigung zu bringen. Nachdem im vergangenen
Jahrhundert Lambert[784] die Zahl [pi] als irrational nachgewiesen,
verblieb immer noch der Nachweis, dass [pi] auch nicht Wurzel {127} einer
algebraischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten sei; denn erst damit
ist dargethan, dass die Quadratur des Kreises nicht vermittelst einer
endlichen Anzahl von Konstruktionen, welche mit Hilfe des Lineals und des
Zirkels ausfuehrbar sind, vollzogen werden koenne. Dieser Beweis wurde,
unter Benutzung Hermitescher Vorarbeiten ueber die Exponentialfunktion,
1882 von Lindemann[785] erbracht.
Trotz der aufgezaehlten und unzaehliger anderer Unvollkommenheiten des
Bildes, das ich ueber den heutigen Zustand der Geometrie zu entwerfen
versucht habe, wird dennoch der Leser, wenn er einen Blick auf dasselbe
wirft, von tiefer Verwunderung betroffen sein, nicht allein ueber die
gewaltige Entwickelung der Mathematik in diesen letzten fuenfzig Jahren,
sondern auch ueber die neue, schoenere, verlockendere Gestalt, welche sie
mehr und mehr annimmt.
Die geometrischen Figuren, die eine Zeit lang als fest, unbeweglich, leblos
erschienen, bekamen eine unerwartete Lebendigkeit durch die Theorie der
geometrischen Transformationen, vermoege derer sie sich bewegen, sich in
einander verwandeln, gegenseitige Beziehungen enthuellen und unter sich
bisher unbekannte Verwandtschaften herstellen.
Ferner glaubte man eine Zeit lang, dass wir als dreidimensionale Wesen, die
in einem Raume leben, in welchem wir nur drei Dimensionen wahrnehmen
koennen, dazu verurteilt waeren, ewig nur die Mannigfaltigkeiten von nicht
mehr als drei Dimensionen zu studieren. Jetzt aber ist es uns erlaubt und
fast unsere Pflicht, von dieser Idee als einem gefaehrlichen Vorurteile uns
frei zu machen, und die Fuelle von Arbeiten, die wir vor uns bewundern,
belehren alle diejenigen, welche ihre Augen nicht von der neuen Sonne
wegwenden wollen, ueber die Wichtigkeit dieses Fortschrittes.
Endlich ist, kann man sagen, der Kampf zwischen der Geometrie und der
Analysis, der sich gegen Ende des {128} vergangenen Jahrhunderts erhoben
und zu Anfang dieses fortgesetzt hat, nunmehr beendigt; weder die eine,
noch die andere hat den Sieg davon getragen, aber jede hat auch den
Unglaeubigsten gezeigt, dass sie bei jeglichem Ringen als Siegerin
hervorgehen koenne. Der _Mecanique analytique_, in welcher Lagrange mit
Freuden konstatierte, dass er es soweit gebracht habe, jegliche Figur zu
vermeiden, hat ein Lehrbuch der Mechanik einen glaenzenden Bescheid
gegeben, welches das Motto traegt: "_Geometrica geometrice_"; dem
hundertjaehrigen Dienste, welchen die Algebra der Geometrie bot, koennen
sich heute die zahllosen und unvergleichlichen Vorteile entgegenstellen,
welche jene von dieser zog; schliesslich wird man doch an Stelle der
analytischen oder pseudosynthetischen Theorie der Kurven und Oberflaechen
in Kurzem die rein synthetische Theorie setzen koennen, die man
gegenwaertig aus dem von Staudt[786] gelieferten Materiale errichtet.
Und zu dieser Periode des Friedens oder vielmehr des edlen Wetteifers der
Analysis und Geometrie muessen sich alle Glueck sagen, da jeder Fortschritt
der einen einen entsprechenden in der anderen nach sich zieht oder dazu
{129} auffordert. Das entspricht dem heutigen Standpunkte der gesamten
Wissenschaft, denn nun funktionieren, wie Spencer sagt, die verschiedenen
Disziplinen als Hilfskuenste, die einen fuer die anderen.
Diese Stellung der modernen Mathematik jedoch legt jedem, der sie mit
Erfolg betreiben will, eine schwere Verpflichtung auf, naemlich die, nicht
die eine der beiden Disziplinen, welche sie zusammen bilden, um die andere
zu vernachlaessigen und sich in der Handhabung der Wissenschaft der Zahlen
ebensowohl, als in derjenigen der Ausdehnung auszubilden.[787]
Um heiteren Mutes diese vermehrten Anstrengungen auf uns zu nehmen, dazu
hilft uns die Betrachtung, "dass die Analysis und Synthesis im Grunde
genommen gleichsam immer vereinigt in unseren Arbeiten sind und zusammen
das vollstaendigste Werkzeug des menschlichen Geistes bilden. Denn unser
Geist macht keine Fortschritte, als nur mit der Hilfe von Zeichen oder
Bildern, und wenn er zum ersten Male in schwierige Fragen einzudringen
sucht, so hat er nicht einen Ueberfluss an diesen beiden Mitteln und jener
besonderen Kraft, die er oft genug nur aus ihrem Zusammenwirken
schoepft."[788]
Indem wir uns also der Beschraenktheit unserer Kraefte bewusst sind, werden
wir nur ein kleines Feld waehlen, auf dem wir unsere Thaetigkeit ueben,
aber nicht vergessen, dass {130} wir, um alle Fruechte, die es zu bieten
faehig ist, einzuernten, das Recht und sozusagen die Pflicht haben, alle
die Hilfsmittel pruefend anzuwenden, welche der menschliche Geist waehrend
so vieler Jahrhunderte unausgesetzter Thaetigkeit angehaeuft hat, und die
jedem zu Gebote stehen, der die Klugheit hat, sie zu Rate zu ziehen, und
das Geschick, sie anzuwenden.
* * * * *
Abkuerzungen fuer die haeufig erwaehnten Zeitschriften.
------
_Acta math._: Acta mathematica.
_Amer. Journ._: American Journal of Mathematics pure and applied.
_Ann. Ec. norm._: Annales scientifiques de l'Ecole normale superieure.
_Annali di Matem._: Annali di Matematica pura ed applicata.
_Berliner Abh._: Mathematisch-physikalische Abhandlungen der Akademie
der Wissenschaften zu Berlin.
_Berliner Ber._: Monatsberichte, bez. seit 1882 Sitzungsberichte oder
auch: Mathematisch-naturwissenschaftliche Mitteilungen derselben
Akademie.
_Bologna Mem._: Memorie } dell' Accademia di Scienze dell' Istituto
_Bologna Rend._: Rendiconti } di Bologna.
_Bull. sciences math._: Bulletin des sciences mathematiques (bis 1884:
et astronomiques).
_Bull. Soc. math._: Bulletin de la Societe mathematique de France.
_Cambridge Journ._: Cambridge and Dublin mathematical Journal.
_Cambridge Proc._: Proceedings } of the Philosophical Society of
_Cambridge Trans._: Transactions } Cambridge.
_Comptes rendus_: Comptes rendus hebdomadaires des seances de l'Academie
des sciences (de Paris).
_Gergonnes Ann._: Annales de Mathematiques.
_Giorn. di Matem._: Giornale di Matematiche.
_Goettinger Abh._: Abhandlungen } der Gesellschaft der Wissenschaften
_Goettinger Nachr._: Nachrichten von} zu Goettingen.
_Grunerts Arch._: Archiv der Mathematik und Physik.
_Journ. Ec. polyt._: Journal de l'Ecole polytechnique.
_Journ. fuer Math._: Journal fuer die reine und angewandte Mathematik.
_Irish Proc._: Proceedings } of the Irish Academy.
_Irish Trans._: Transactions }
{131}
_Leipziger Ber._: Berichte ueber die Verhandlungen der Gesellschaft der
Wissenschaften zu Leipzig.
_Lincei Atti_: Atti }
_Lincei Mem._: Memorie } dell' Accademia dei Lincei.
_Lincei Rend._: Rendiconti }
_Lincei Trans._: Transunti }
_Liouvilles Journ._: Journal de Mathematiques pures et appliquees.
_Lombardo Rend._: Rendiconti dell' Istituto Lombardo di scienze e
lettere.
_Math. Ann._: Mathematische Annalen.
_Mem. pres._: Memoires presentes par divers savants a l'Academie des
sciences (de Paris).
_Muenchener Abh._: Abhandlungen } der Akademie der Wissenschaften
_Muenchener Ber._: Sitzungsberichte } zu Muenchen.
_Napoli Rend._: Rendiconti dell' Accademia delle scienze fisiche e
matematiche di Napoli.
_Nouv. Ann._: Nouvelles Annales de Mathematiques.
_Phil. Mag._: London, Edinburgh and Dublin philosophical Magazine.
_Phil. Trans._: Philosophical Transactions } of the Royal Society of
_Proc. Roy. Soc._: Proceedings } London.
_Prager Abh._: Abhandlungen } der boehmischen Gesellschaft der
_Prager Ber._: Sitzungsberichte } Wissenschaften.
_Proc. math. Soc._: Proceedings of the London mathematical Society.
_Quart. Journ._: Quarterly Journal of pure and applied Mathematics.
_Torino Atti_: Atti } dell' Accademia delle scienze di Torino.
_Torino Mem._: Memorie }
_Wiener Ber._: Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen
Klasse der Akademie der Wissenschaften zu Wien. Zweite Abteilung.
_Zeitschr. f. Math._: Zeitschrift fuer Mathematik und Physik.
------
Die arabische Ziffer bezieht sich auf den Band (Teil, Jahrgang), beim
_Journ. Ec. polyt._ auf das Heft, die roemische auf die Serie (Reihe).
{132}
* * * * *
Verzeichnis der verstorbenen Geometer, deren Lebenszeit angegeben ist.
------
Die Zahl ist die der Seite, auf welcher sie steht.
Abel 20 -- d'Alembert 14 -- Apollonius 6 -- Archimedes 6 -- Aronhold 31.
Baltzer 53 -- Bellavitis 60 -- Benedetti 9 -- Bobillier 26 -- Bolyai, J.
109 -- Bolyai, W. 108 -- Borchardt 43 -- Bour 56 -- Bragelogne 24 --
Braikenridge 22.
Caporali 84 -- Cardano 8 -- Carnot 14 -- Cauchy 116 -- Chasles 17 --
Chelini 57 -- Clairaut 13 -- Clebsch 27 -- Clifford 26 -- Cotterill 84 --
Cotes 21 -- Cramer 22 -- Crelle 20.
Desargues 9 -- Descartes 10 -- Dirichlet 119 -- Dupin 15.
Enneper 50 -- Eratosthenes 6 -- Euler 13.
Ferrari 8 -- Fermat 9 -- Ferro 8 -- Fibonacci 8.
Gauss 47 -- Gergonne 16 -- La Gournerie 44 -- Grassmann 26 -- De Gua 22.
Hachette 15 -- Halley 11 -- Hamilton 104 -- Harnack 63 -- Hesse 25 --
Hipparch 6 -- La Hire 11 -- Houeel 109 -- Huygens 11.
Jacobi 16 -- Joachimsthal 55.
Lacroix 15 -- Lagrange 14 -- Laguerre 40 -- Lamarle 125 -- Lambert 88 --
Lame 23 -- Lancret 72 -- Laplace 14 -- Legendre 14 -- Leibniz 11 --
Liouville 72 -- Lobatschewsky 109.
Mac Cullagh 33 -- Maclaurin 11 -- Magnus 81 -- Mascheroni 9 -- Mercator 88
-- Moebius 18 -- Monge 13.
Newton 11.
Oresme 16.
Pappus 6 -- Parent 13 -- Pascal 9 -- Plateau 125 -- Plato 5 -- Pluecker 19
-- Poisson 14 -- Poncelet 14 -- Ptolomaeus 6 -- Puiseux 72 -- Pythagoras 5.
Richelot 16 -- Riemann 110.
Saint-Venant 72 -- Scheeffer 118 -- Schooten 13 -- Serret, A. 50 --
Seydewitz 33 -- Simpson 11 -- Smith 29 -- Snellius 16 -- Spottiswoode 124
-- Staudt 19 -- Steiner 18 -- Stewart 11 --Sturm, Ch. 104.
Tartaglia 8 -- Thales 4 -- Transon 81.
Vieta 9.
Waring 22 -- Wren 32.
* * * * *
Berichtigung. S. 97 Z. 7 v. o. lies viel- statt zwei-.
* * * * *
Noten.
------
[1] "It is difficult to give an idea of the vast extent of modern
mathematics. This word "extent" is not the right one: I mean extent crowded
with beautiful detail -- not an extent of mere uniformity such as an
objectless plain, but of a tract of beautiful country seen at first in the
distance, but which will bear to be rambled through and studied in every
detail of hillside and valley, stream, rock, wood and flower." (Rede von
Cayley i. J. 1883 vor der "British Association for the Advancement of
Science" gehalten.)
Bei dieser Gelegenheit fuehren wir noch folgendes Urteil von E.
Dubois-Reymond ueber den Charakter der modernen Wissenschaft an: "Nie war
die Wissenschaft entfernt so reich an den erhabensten Verallgemeinerungen,
nie stellte sie in ihren Zielen, ihren Ergebnissen eine groessere Einheit
dar. Nie schritt sie rascher, zweckbewusster, mit gewaltigeren Methoden
voran, und nie fand zwischen ihren verschiedenen Zweigen lebhaftere
Wechselwirkung statt." (_Ueber die wissenschaftlichen Zustaende der
Gegenwart_, Reden, Bd. II, S. 452.)
[2] _Histoire des sciences mathematiques en Italie_ par G. Libri, 1838. Bd.
I, S. 3.
[3] Hankel, _Die Entwickelung der Mathematik in den letzten Jahrhunderten_
(Tuebingen. II. Aufl. 1885). S. 7.
[4] Diese Thatsache koennte man als ein neues Moment ansehen, wie sich --
nach einem beruehmten Ausspruche Humboldts -- der Einfluss, den die
tellurischen Erscheinungen auf die Richtung unserer wissenschaftlichen
Untersuchungen ausueben, geltend macht.
[5] Vgl. Emil Weyr, _Ueber die Geometrie der alten Aegypter_ (Wien, 1881).
[6] Fuer die Mathematiker, welche vor 1200 gelebt haben, sind die hier
niedergeschriebenen Jahreszahlen aus den _Vorlesungen ueber die Geschichte
der Mathematik_ von M. Cantor (I. Bd. Leipzig, 1880) entnommen. Die erste
Zahl in der Klammer bezieht sich auf das Geburtsjahr, die zweite auf das
Todesjahr.