Reye[598] und Segre[599] beschaeftigt und von ihnen elegante Anwendungen
gemacht. Aschieri[600] uebertrug eine spezielle ebene zweifache
Transformation, welche Paolis bearbeitet hatte, auf den Raum und dehnte
auch die {97} Anwendungen, die jener davon gemacht hatte, auf die
Nicht-Euklidische Geometrie aus. Allgemeine Untersuchungen auf diesem
Gebiete haben wir jedoch keine ausser den wenigen, die in einer kurzen
Arbeit von Reye[601] aufgezeichnet sind, und den sehr wichtigen ueber die
doppelten Transformationen des Raumes von Paolis.[602] Wir zweifeln nicht,
dass diese und jene als Grundlage einer allgemeinen Theorie der zweifachen
Transformationen, die wir noch erwarten, dienen koennen; und wir erwarten
dieselbe mit Ungeduld, da wir sicher sind, dass dieselbe der Geometrie
nicht geringere Dienste leisten wird, als die sehr bekannten, die ihr durch
die birationalen Transformationen geleistet sind, und jene, die, wie Paolis
bemerkt, die doppelten leisten koennen.
Neben die vielfachen Korrespondenzen zwischen zwei Raeumen von Punkten
(oder Ebenen) kann man die zwischen einem Punktraume und einem Ebenenraume
stellen. Untersucht wurden dieselben fuer den Fall, dass durch jeden Punkt
die entsprechenden Ebenen gehen und in jeder Ebene die entsprechenden
Punkte liegen. Zusammen betrachtet bilden die zwei Raeume ein hoeheres
Nullsystem oder Punktebenensystem. Die Theorie dieser Systeme ist in diesen
letzten Jahren besonders durch die Arbeiten von Ameseder,[603] von
Sturm[604] und Voss[605] hervorgetreten, waehrend Reye[606] das Verdienst
zukommt, den Begriff des gemeinen Nullsystemes[607] zuerst, doch in einer
anderen Weise -- die entsprechenden Elemente sind nicht Punkte und Ebenen,
sondern Flaechen zweiter Ordnung und zweiter Klasse -- erweitert zu haben.
{98}
* * * * *
VII.
Geometrie der Geraden.
------
Die griechische Geometrie betrachtet den Punkt als das erzeugende Element
aller Figuren; die analytische Geometrie des Cartesius machte die
Bestimmung des Punktes zur Grundlage aller ihrer Rechnungen. Das Prinzip
der Dualitaet fuehrte nun die Gelehrten zu dem Schluesse, dass die Gerade
in der Ebene und die Ebene im Raume mit gleichem Rechte und gleichem
Erfolge, wie der Punkt, die Rolle spielen koenne, die bis jetzt dieser in
der Geometrie inne gehabt, und fuehrte in der Folge dazu, die Gerade und
die Ebene als Elemente der Ebene und des Raumes anzunehmen und ein neues
System der (synthetischen und analytischen) Geometrie aufzustellen. Das
Verdienst dieses bemerkenswerten Fortschrittes gebuehrt groesstenteils
Pluecker.[608]
Aber ganz auf Pluecker faellt der Ruhm, ein drittes die raeumlichen Gebilde
erzeugendes Element -- die Gerade -- eingefuehrt und auf eine solche
Betrachtung eine neue Geometrie des Raumes begruendet zu haben. Dieser
beruehmte Gelehrte kehrte, nachdem er fast zwanzig Jahre hindurch die
Geometrie verlassen hatte, um seine bedeutenden Geisteskraefte der Physik
zu widmen, zu der Wissenschaft zurueck, die ihm urspruenglich seinen Ruhm
gesichert hatte, um sie {99} mit einer neuen und wichtigen Disziplin zu
beschenken, mit "der Geometrie der Geraden".
Die ersten Mitteilungen ueber diesen Gegenstand, die im Jahre 1865 der
Koeniglichen Gesellschaft zu London[609] von dem grossen deutschen Geometer
gemacht wurden, enthalten die Saetze ueber einige allgemeine Eigenschaften
der Komplexe, Kongruenzen und Regelflaechen und einige spezielle
Eigenschaften der linearen Komplexe und Kongruenzen;[610] die Beweise
derselben sind nur angedeutet und sollen, nach Angabe des Autors,
vermittelst der Koordinaten einer Geraden im Raume gefuehrt werden, die er
als einen eigenen Gedanken eingefuehrt hatte, die man spaeter aber als
Spezialfall dessen erkannte, was schon Cayley[611] aufgestellt hatte, um
vermittelst einer einzigen Gleichung eine beliebige Kurve im Raume
darstellen zu koennen.
Diese Mitteilungen veranlassten ploetzlich eine Reihe wichtiger Arbeiten,
in denen Battaglini nicht nur, was Pluecker behauptet hatte, sondern auch
viele Lehrsaetze bewies, die sich auf die Komplexe zweiten und hoeheren
Grades beziehen.[612] -- Indessen hatte Pluecker schon die von ihm {100}
skizzierten Gedanken ausgefuehrt und in dem Werke vereinigt, welches den
Titel traegt: _Neue Geometrie des Raumes, gegruendet auf die Betrachtung
der geraden Linie als Raumelement._[613]
Von diesem Buche zu sagen, dass es in allen seinen Teilen gleich wichtig
und interessant sei, wuerde eine der Wahrheit nicht entsprechende
Behauptung sein. Pluecker schaetzte nicht die Eleganz der Rechnung, an die
wir durch Lagrange, Jacobi, Hesse, Clebsch gewoehnt sind; er teilte
sicherlich nicht mit Lame[614] die Ansicht, dass "die Bezeichnung fuer die
Analysis das sei, was die Stellung und Wahl der Worte fuer den Stil ist";
bei ihm brauchte die Rechnung nur der einen Bedingung zu genuegen, naemlich
schnell zur Loesung der ins Auge gefassten Probleme zu fuehren. Dieser
Mangel, der allen Arbeiten von Pluecker gemeinsam ist, macht sich lebhafter
in dem letzten Werke bemerklich, welches einen Wettstreit eingehen sollte
mit Mustern der Eleganz, wie den _Vorlesungen ueber analytische Geometrie
des Raumes_ von Hesse und den _Vorlesungen ueber Dynamik_ von Jacobi, die
kurz vorher (1861 und 1866) herausgekommen waren. Ausser diesem nicht
geringen Mangel ist ein anderer noch bedeutenderer dadurch entstanden, dass
Pluecker lange Zeit hindurch es vernachlaessigt hatte, den Fortschritten
der Geometrie nachzugehen. Infolge dieser einseitigen Ausbildung finden wir
in seinem Buche eine Menge von Untersuchungen, die uns nicht mehr
interessieren, da sie unter andere allgemeinere, schon gemachte fallen,
eine grosse Anzahl von Spezialfaellen, von deren Wichtigkeit wir uns nicht
ueberzeugen koennen, eine Menge von komplizierten Formeln, deren Nutzen wir
nicht einsehen. Trotz dieser Fehler -- die ich anfuehren muss, um die
geringe Anzahl der Leser, die sie heute findet, zu begruenden -- kann man
nicht verkennen, dass die letzte Arbeit von Pluecker reich an originellen
Blicken ist, und es wuerde die Lektuere derselben jedem zu raten sein, der
das Studium dieses Teiles der Geometrie unternehmen will, wenn nicht die
Nachfolger {101} Plueckers seine Untersuchungen in besserer Form
auseinandergesetzt und mit anderen Methoden ausgefuehrt, und jene Gedanken,
die er nur hingeworfen hat, groesstenteils entwickelt haetten.
Pluecker hatte nicht die Zeit, die Theorie der Komplexe zweiten Grades zu
vollenden, da der Tod ihn traf, als er gerade im Begriffe stand, den
zweiten Teil seines Buches zu veroeffentlichen; aber die Untersuchungen,
die er unvollendet zurueckliess, wurden von seinem Schueler F. Klein[615]
zu Ende gefuehrt. Ihm verdanken wir nicht nur den allgemeinen Begriff der
Koordinaten einer Geraden und eine Anzahl sehr schoener Lehrsaetze ueber
die Komplexe zweiten Grades, sondern auch verschiedene allgemeine und
ausserordentlich fruchtbare Ideen ueber die Geometrie der Geraden. In der
That ist es Klein, der, einen Gedanken seines Lehrers praezisierend, die
Bemerkung machte, dass man die Geometrie der Geraden ansehen koenne als das
Studium einer quadratischen Mannigfaltigkeit von vier Dimensionen,
enthalten in einem linearen Raume von fuenf Dimensionen, und zeigte, dass
jeder Komplex durch eine einzige Gleichung zwischen den Koordinaten einer
Geraden darstellbar ist. Dass diese Bemerkung und dieser Lehrsatz von der
groessten Bedeutung fuer den Fortschritt der Geometrie der Geraden seien,
wurde in glaenzender Weise durch die schoenen Untersuchungen meines lieben
Freundes Segre[616] gezeigt, die mit denen von Klein innig zusammenhaengen.
Gleichzeitig mit Klein beschaeftigten sich Pasch,[617] Zeuthen,[618]
Drach,[619] spaeter auch Paolis[620] wiederholt {102} mit der Geometrie der
Geraden, indem sie verschiedene Fragen derselben vermittelst homogener
Koordinaten behandelten. Clebsch[621] wandte auf diese Theorie die Methode
der abgekuerzten Bezeichnung an; im Jahre 1873 vervollstaendigte
Weiler[622] die Einteilung der Komplexe zweiten Grades nach den Begriffen,
die Klein in seiner Dissertation angegeben hatte. Voss[623] studierte in
einer Reihe sehr wichtiger Abhandlungen die Singularitaeten der Systeme von
Geraden; Halphen bestimmte die Zahl der Geraden des Raumes, welche vorher
aufgestellten Bedingungen genuegen;[624] Noether,[625] Klein[626] und
Caporali[627] beschaeftigten sich mit der Abbildung der Komplexe ersten und
zweiten Grades auf den gewoehnlichen Raum, Aschieri mit der einiger
spezieller Komplexe;[628] Lie stellte den innigen Zusammenhang, der
zwischen der Geometrie der Kugel und der Geometrie der Geraden besteht, ins
Licht;[629] Reye endlich studierte die Formen der allgemeinen quadratischen
Komplexe.[630] Nur mit Hilfe der synthetischen Geometrie wurde unsere
Theorie von Chasles studiert[631] -- schon 1839 --, von Reye,[632] {103}
von Silldorf,[633] Schur,[634] Bertini,[635] von d'Ovidio[636] und von W.
Stahl;[637] Buchheim[638] bediente sich der Quaternionen, um die
hauptsaechlichsten Eigenschaften der linearen Kongruenzen zu beweisen,
waehrend viele Fragen aus der Infinitesimalgeometrie, die sich auf Systeme
von Geraden beziehen, gluecklich in einigen Abhandlungen von Mannheim,[639]
Lie,[640] Klein,[641] Picard[642] und Koenigs[643] geloest wurden.
Schliesslich wurden einige spezielle Komplexe studiert von Aschieri,[644]
Painvin,[645] von Reye,[646] Lie,[647] Weiler,[648] Roccella,[649] von
Hirst,[650] Voss,[651] Genty,[652] Montesano,[653] von Segre und von
mir.[654]
Neben der reichhaltigen Schar von Schriften, die wir dem von Pluecker
gegebenen Anstosse verdanken, muessen wir noch eine andere ebenso
glaenzende erwaehnen, die aber {104} von ganz anderer Art ist. Sie umfasst
die Arbeiten von Dupin,[655] Malus[656] (1775-1811) und Ch. Sturm[657]
(1803-1855), Bertrand,[658] Transon[659] ueber die Normalen von
Oberflaechen und ueber die mathematische Theorie des Lichtes, dann die von
Hamilton (1805-1865) ueber Systeme von Strahlen.[660] Diese Arbeiten finden
ihre Kroenung in zwei beruehmten Abhandlungen, die von Kummer in den Jahren
1857 und 1866 veroeffentlicht sind.
In der ersteren, die im _Journal fuer Mathematik_[661] abgedruckt ist, hat
sich Kummer die Aufgabe gestellt, durch eine einheitliche und einfachere
Methode die Resultate von Hamilton darzulegen und sie in den Punkten, wo
sie mangelhaft erschienen, zu vervollstaendigen.[662]
In der zweiten,[663] die noch wichtiger ist, stellte er sich, nach einigen
schoenen allgemeinen Untersuchungen ueber die Zahl der Singularitaeten
eines Systemes von Strahlen und seiner Brennflaeche, und loeste die Frage,
alle algebraischen Systeme von Strahlen erster und zweiter Ordnung zu
bestimmen, d. h. solche, bei denen durch jeden Punkt des Raumes einer oder
zwei Strahlen des Systemes hindurchgehen.
Ich moechte wuenschen, dass mir hinreichender Raum zu Gebote staende, um
den Leser in den Stand zu setzen, die ausgezeichneten Verdienste dieser
klassischen Arbeit hoch {105} zu schaetzen, um ihn an der tiefen
Bewunderung teilnehmen zu lassen, die ich fuer sie empfinde; ich moechte
ihn sehen lassen, mit welch ausserordentlicher Gewandtheit der Verfasser
zur Bestimmung aller Strahlensysteme erster und zweiter Ordnung zu gelangen
weiss, zu den Gleichungen, die sie und ihre Brennflaechen darstellen
(welches jene Oberflaechen vierter Ordnung mit Doppelpunkten sind, die ich
Gelegenheit hatte, im Abschnitt III zu erwaehnen), zu den Singularitaeten
der Systeme, den Konfigurationen, die sie bilden, zum Zusammenhange
zwischen ihnen und den Singularitaeten der Brennflaeche u. s. w. Aber da
die Bemessenheit des Raumes es mir verbietet, so muss ich mich darauf
beschraenken, den Wunsch auszusprechen, dass dieser mein kurzer Ueberblick
es bewirken koenne, dass bei jedwedem das Verlangen entsteht, die
Untersuchungen Kummers selbst kennen zu lernen und den Weg zu verfolgen,
den er mit solchem Gluecke eingeschlagen hat; ich spreche diesen Wunsch
aus, da mich die Beobachtung schmerzlich bewegt, dass in den zwanzig
Jahren, die schon seit dem Erscheinen der Kummerschen Arbeit verflossen
sind, es noch nicht gelungen ist, eine solche Theorie, die sich so
fruchtbar an schoenen Resultaten gezeigt hat, in einer bemerkenswerten
Weise zu foerdern.[664]
{106}
* * * * *
VIII.
Nicht-Euklidische Geometrie.
------
Die letzte Kategorie von Arbeiten, mit denen ich mich zu beschaeftigen
habe, umfasst eine Reihe von Untersuchungen, die zu lebhaften Diskussionen
Veranlassung gegeben haben und -- wunderbar zu sagen -- eine Zeit lang die
Mathematiker in zwei Feldlager geteilt haben, "das eine gewappnet gegen das
andere";[665] heutzutage bilden sie denjenigen Teil der Wissenschaft des
Raumes, den man "Nicht-Euklidische Geometrie" und "Theorie der beliebig
{107} ausgedehnten Mannigfaltigkeiten" oder "Geometrie von n
Dimensionen"[666] nennt.
Jeder weiss, dass unter allen Saetzen, die in den _Elementen_ des Euklid
enthalten sind, es einen giebt,[667] der nur schlecht dazu passt, wie es
der griechische Geometer gethan hat, unter die Axiome oder die Postulate
gestellt zu werden.[668] Derselbe ist von grosser Wichtigkeit im
Euklidischen System, da auf ihn, wie man sagen kann, die ganze Theorie der
Parallelen gegruendet ist. Weil es nun nicht auf Grund unmittelbarer
Anschauung gerechtfertigt ist, ihn unter diejenigen Saetze zu zaehlen, fuer
welche es vergeblich ist, einen Beweis zu fordern, so kam man auf die
Frage, ob er in der That unbeweisbar sei, und ob man nicht, wenn das der
Fall sein sollte, ihn unterdruecken und durch einen anderen ersetzen
koenne, dessen Wahrheit offenbarer sei?
Diese Fragen sind ein natuerlicher Ausfluss unseres Zeitalters, von welchem
eine der hervorragendsten Eigentuemlichkeiten (wie Humboldt bemerkt) die
unparteiliche Kritik alles dessen ist, was uns die Vergangenheit
hinterlassen hat; sie muessen als der erste Ursprung der Nicht-Euklidischen
Geometrie angesehen werden.
Die ersten wichtigen Studien auf diesem Gebiete wurden gegen Ende des
vergangenen Jahrhunderts von Legendre[669] {108} gemacht. Dieselben
stellten den Zusammenhang klar, der zwischen dem Postulate des Euklid und
dem Satze besteht, der sich auf die Winkelsumme eines Dreiecks bezieht, und
fuehrten Legendre dazu, nicht nur jenes Postulat durch ein anderes viel
wichtigeres zu ersetzen, sondern auch eine Geometrie zu entwerfen, die von
eben demselben Postulate unabhaengig ist.[670]
Nahe zur selben Zeit wie Legendre, befasste sich Gauss mit dieser Frage.
Gleichwohl hat er niemals irgend eine Arbeit auf diesem Gebiete
veroeffentlicht; seine Korrespondenz mit Schumacher[671] und mit Wolfgang
Bolyai (1775-1856)[672] und einige bibliographische Artikel von ihm[673]
{109} bezeugen nicht nur das Interesse, das er dafuer besass, sondern
bekunden auch die reiche Ernte von Wahrheiten, die er auf diesem, wie auf
den anderen von ihm bebauten Feldern eingebracht hat. Und als die Schriften
von Lobatschewsky (1793-1856)[674] und Johann Bolyai (1802-1860)[675] ueber
diesen Gegenstand erschienen, da sanktionierte der Fuerst der deutschen
Mathematiker mit seiner Autoritaet die Ergebnisse, welche dieselben
erhalten hatten. Man kann diese Ergebnisse zusammenfassen, indem man sagt,
dass dieselben die Grundlage einer neuen Geometrie sind, die vollstaendig
unabhaengig ist von dem Postulate des Euklid (die Nicht-Euklidische
Geometrie, oder imaginaere oder auch Pangeometrie), die in gewissen Punkten
mit der gewoehnlichen Geometrie uebereinstimmt, jedoch in vielen anderen
sich von ihr unterscheidet, -- eine Geometrie, die eine Zeit lang einige
als absurd verbannt haben wollten, da sie den von einer nur
oberflaechlichen Sinneswahrnehmung bezeugten Erscheinungen widerspricht,
die aber heute allgemein angenommen ist, da ihr logischer Wert ausser
Zweifel gestellt ist.[676]
{110}
Zu diesem Siege der Logik ueber den uebertriebenen Empirismus haben in sehr
wirkungsvoller Weise einige Schriften von grosser Bedeutung beigetragen,
die Riemann (1827-1866), von Helmholtz und Beltrami in den Jahren 1867 und
1868 veroeffentlichten.
Die Riemannsche Schrift: _Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu
Grunde liegen_[677] -- zwoelf Jahre vor ihrer Veroeffentlichung geschrieben
-- war und ist noch durch die Allgemeinheit der Begriffe und die Knappheit
der Form selbst fuer diejenigen, welche in der Mathematik schon
vorgeschritten sind, von schwierigem Verstaendnisse. Jedoch ein grosser
Teil der Ideen, welche dieselbe enthaelt, verbreiteten sich sehr bald, da
sie, durch ein glueckliches Zusammentreffen, auch von Helmholtz
ausgesprochen wurden, und dieser sie nicht nur den Mathematikern in rein
wissenschaftlicher Form darlegte,[678] sondern auch in populaeren
Vortraegen und Artikeln in verschiedenen Zeitschriften auch ausserhalb des
engeren Kreises der Geometer behandelte.[679] Keinen geringeren Einfluss
aber als die Schriften des beruehmten Verfassers der _Physiologischen
Optik_ uebte der klassische _Saggio di interpretazione della Geometria
non-euclidea_[680] von Beltrami aus. Gerade die Schaerfe und analytische
Eleganz, welche diese Schrift auszeichnen, lenkte die Aufmerksamkeit der
Geometer auf dieselbe; das glaenzende und ueberraschende Resultat, dass die
Saetze der Nicht-Euklidischen Geometrie ihre Verwirklichung auf den
Oberflaechen mit konstanter negativer Kruemmung fanden, machte einen tiefen
Eindruck auch auf diejenigen, welche jeder nicht durch das {111} Experiment
bewiesenen Behauptung allen Wert absprachen, und sicherte den Triumph der
neuen Anschauungen; endlich -- die dort verteidigten gesunden Prinzipien
einer wissenschaftlichen Philosophie und die glaenzende Form, in welcher
die Abhandlung geschrieben ist, liessen und lassen noch bei allen eine
lebhafte Bewunderung fuer unseren beruehmten Landsmann entstehen, durch
dessen Bemuehung wiederum einmal die Wahrheit den Sieg davontrug.
Dass die Arbeiten dieser drei grossen Gelehrten einen wohlthaetigen
Einfluss auf die ganze Geometrie ausgeuebt haben, hat sich zur Evidenz
durch die Aenderung gezeigt, welche sich in bezug auf die Art und Weise
vollzogen hat wie man heutzutage die ihr zu Grunde liegenden Saetze
betrachtet.[681] Wenn frueher die Geometer den Philosophen die Sorge
ueberliessen, zu entscheiden, ob die Wahrheiten, mit denen sie sich
beschaeftigten, notwendige oder zufaellige seien, und dahin neigten,
dieselben als notwendige zuzulassen, so streben sie jetzt, nachdem die
empirische Grundlage der Geometrie erkannt ist, fortwaehrend darnach, genau
festzusetzen, welche Thatsachen man der Sinneswahrnehmung entnehmen muss,
um eine Wissenschaft der Ausdehnung zu gruenden.[682] Wer die schoenen
_Vorlesungen ueber neuere {112} Geometrie_ (Leipzig, 1882) von Pasch liest,
die neueren Lehrbuecher prueft und diese und jene mit den aelteren Buechern
vergleicht, wird wesentliche Unterschiede finden.
In den aelteren Werken giebt der Lehrer die Voraussetzungen, die er nicht
beweist, als notwendige, ewige und unanfechtbare Wahrheiten, in den neueren
fuehrt er sozusagen den Schueler dazu, die noetigen Erfahrungen
auszufuehren, um die Praemissen der spaeteren Deduktionen festzustellen. In
den aelteren Arbeiten stellt der Verfasser die Euklidische Geometrie als
die einzig denkbare hin, in den neueren als {113} eine der unendlich
vielen, die man aufstellen koennte. Und diese Unterschiede bezeichnen einen
thatsaechlichen Fortschritt, da sie zeigen, dass die Gelehrten sich von
einem alteingewurzelten und schaedlichen Vorurteile frei gemacht haben; und
fuer den Fortschritt der Wissenschaft hat die Erkenntnis eines Irrtums eine
nicht geringere Wichtigkeit, als die Entdeckung einer Wahrheit.
Kurz nach der Veroeffentlichung der Arbeit von Beltrami erschien eine von
F. Klein,[683] die auch von grosser Wichtigkeit ist; aber um die Stellung
zu kennzeichnen, welche dieselbe in der Geschichte der Nicht-Euklidischen
Geometrie einnimmt, muss ich mich einige Jahrzehnte rueckwaerts wenden.
Es ist bekannt, dass infolge des _Traite des proprietes projectives des
figures_ eine Unterscheidung aufgestellt wurde zwischen den Eigenschaften
der Figuren, die erhalten bleiben, wenn diese projiziert werden, und
solchen, die nicht erhalten werden; es ist ferner bekannt, dass unter den
ersteren alle Lagen-Eigenschaften, aber nur einzelne metrische
Eigenschaften begriffen sind. Nun stellten die Geometer sich die Frage, ob
es nicht moeglich sei, die metrischen Eigenschaften der Figuren so
auszusprechen, dass sie bei der Projektion saemtlich erhalten werden. Fuer
einige Arten der Projektion haben Chasles und Poncelet die Frage geloest,
indem sie den Begriff der unendlich fernen Kreispunkte der Ebene und des
unendlich entfernten imaginaeren Kreises einfuehrten; fuer andere wurde die
Loesung von Laguerre[684] gegeben, dem es gelang, den Begriff des Winkels
projektiv zu machen; aber derjenige, welcher die Loesung in ihrer ganzen
Allgemeinheit gab, war Cayley[685] (1859), der in dem sechsten von seinen
beruehmten _Memoirs upon Quantics_ zeigte, dass jede metrische Eigenschaft
einer ebenen Figur als in einer {114} projektiven Beziehung zwischen dieser
und einem festen Kegelschnitte enthalten betrachtet werden koenne.
Nun besteht der Hauptzweck der angefuehrten Abhandlung von Klein eben
darin, die innige Beziehung zwischen den Schluessen Cayleys und denen, zu
welchen Bolyai und Lobatschewsky gelangt waren, herzustellen; auf welche
lichtvolle Weise dieses Ziel erreicht ist, das beweist der grosse Ruhm, zu
dem diese Schrift alsbald gelangte.[686]
An diese Schriften schliessen sich viele andere; an die von Riemann und
Beltrami einige interessante Arbeiten von de Tilly,[687] Genocchi,[688] von
Escherich[689] und Bianchi;[690] an die von Klein verschiedene Abhandlungen
von Battaglini,[691] d'Ovidio,[692] de Paolis[693] und Aschieri,[694]
Cayley,[695] Lindemann,[696] Schering,[697] von Story,[698] {115} H.
Stahl[699] und Voss,[700] von H. Cox[701] und A. Buchheim.[702]
Die mathematische Litteratur der allerneuesten Zeit jedoch ist nicht sehr
reich an Forschungen auf diesem Gebiete;[703] es hat den Anschein, als wenn
jenes Zeitalter, welches man das heroische nennen koennte, und durch
welches jede Disziplin einmal hindurchgeht, schon von der
Nicht-Euklidischen Geometrie durchlaufen sei. Sollten vielleicht die
unermuedlichen Arbeiter der beiden Jahrzehnte 1860-1880 die Minen in jeder
Richtung so gruendlich durchwuehlt haben, dass sie keine goldfuehrende Ader
mehr bergen?
* * * * *
IX.
Geometrie von n Dimensionen.
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