Fortschritt in der Theorie, welche uns beschaeftigt, zu finden, uns zu
Halphen und Noether wenden, deren Abhandlungen[465], im Jahre 1882 von der
Akademie zu Berlin mit dem Preise gekroent, die Grundlage fuer eine
allgemeine Theorie der Raumkurven sind; denn sie behandeln die Probleme:
"alle voneinander verschiedenen Kurven von gegebener Ordnung zu bestimmen",
"anzugeben, welche Kurven es auf einer gegebenen Oberflaeche giebt" und
noch viele andere von nicht geringer Bedeutung. Diese beiden Arbeiten
verschlingen sich so enge und durchdringen sich so innig, dass es sehr
schwer wird, zu entscheiden, welcher Anteil jedem der beiden Autoren in den
vielen gemeinsamen {75} Resultaten zufaellt, die sie enthalten. Wenn
einerseits Noether die Theoreme, welche Ende des Jahres 1870 von Halphen in
den _Comptes rendus_ und an anderen Stellen[466] ausgesprochen sind,
ausbeuten konnte, so konnte dieser sich der Saetze bedienen, welche in der
sehr bedeutenden Abhandlung von Brill und Noether, _Ueber die algebraischen
Funktionen und ihre Anwendung in der Geometrie_[467] enthalten sind, und in
derjenigen, in welcher Noether streng den Fundamentalsatz der Theorie der
algebraischen Funktionen dargethan hatte, welcher in der Auseinandersetzung
von Halphen unumgaenglich notwendig war.[468] Und man glaube nicht, dass
die von den beiden Geometern bei ihrem Thema eingeschlagenen Wege im
wesentlichen verschieden gewesen seien, vielmehr benutzten sie beide (wie
Cayley geraten hatte) Monoide, und wenn der eine vorzugsweise Formeln und
Saetze aus der Theorie der Abelschen Integrale gebraucht, so wendet der
andere solche Lehrsaetze ueber die algebraischen Funktionen an, welche zu
denselben Eigenschaften fuehren. Jedenfalls steht es ausser Zweifel, dass
diese beiden hervorragenden Produktionen unseres Zeitalters bestimmt sind,
die Grundlage fuer die zukuenftigen geometrischen Untersuchungen zu bilden,
und wenn bis jetzt sich ihr Einfluss noch nicht so allgemein geltend
gemacht hat, so ist dieses vorzugsweise den grossen Schwierigkeiten
zuzuschreiben, die ihr Gegenstand noch immer darbietet, und vielleicht auch
den Luecken, die in den Methoden vorhanden sind, die man zu Hilfe nehmen
koennte, um jene zu ueberwinden.[469]
{76}
Aber vor der Begruendung der allgemeinen Theorie wurden viele einzelne
Kurven einem genaueren Studium unterworfen; da ich aber wuensche, mehr als
getreuer, denn als glaenzender Geschichtsschreiber angesehen zu werden, so
muss ich hier eine Aufzaehlung der Arbeiten unternehmen, in welchen die
hervorragenderen unter diesen Untersuchungen enthalten sind.
"_Degli altri fia laudabile il tacerci,_
_Che il tempo saria corto a tanto suono._"[470]
Unter ihnen verdienen den ersten Platz diejenigen, welche die kubischen
Raumkurven behandeln. Ueber diese haben Moebius[471] und Chasles[472]
verschiedene sehr schoene Eigenschaften aufgefunden; dieselben vermehrten
sich mit solcher Schnelligkeit, dass Staudt[473] binnen kurzem die
vollstaendige Analogie, die zwischen ihnen und den Kegelschnitten besteht,
feststellen konnte; diese Analogie hat sich von Tag zu Tag mehr
vervollkommnet, dank den Studien von Seydewitz,[474] Joachimsthal[475]
Cremona,[476] {77} Schroeter,[477] Reye,[478] Emil Weyr,[479] Sturm,[480]
Hurwitz,[481] welche nicht allein die Aufstellung einer vollstaendigen
synthetischen Behandlung dieser Kurven gestatten, sondern auch das Terrain
fuer die so elegante analytische Auseinandersetzung ebneten, die mein
innigst geliebter Lehrer E. d'Ovidio[482] und Pitarelli[483] gemacht haben.
Dann will ich die Theorie der unebenen, auf einem einschaligen Hyperboloide
gezeichneten Kurven anfuehren, fuer welche Chasles[484] das Fundament
gelegt hat, und die von unserem Cremona[485] so sehr bereichert ist. Ferner
will {78} ich der vielen Eigenschaften erwaehnen, welche Poncelet,[486]
Chasles,[487] Cremona,[488] Reye,[489] Paul Serret,[490] Laguerre,[491]
Milinowski[492] und viele andere ueber die Raumkurven vierter Ordnung
erster Art gefunden haben, und die schoenen Anwendungen, die sie fuer die
Theorie der zweifach periodischen Funktionen geliefert haben, --
Harnack,[493] Lange,[494] Westphal,[495] Leaute[496] u. s. w. Auch kann ich
die schoenen Arbeiten von Cremona,[497] von Armenante,[498] Bertini[499]
und Em. Weyr[500] ueber die Raumkurven vierter Ordnung zweiter Art nicht
stillschweigend uebergehen, ferner nicht die von Klein und Lie ueber die
durch unendlich viele lineare Transformationen in sich selbst
transformierten {79} Kurven,[501] noch auch die von Fiedler[502]
angestellte Bestimmung der Kurven von nicht hoeherer als neunter Ordnung,
die zu ihren eigenen Tangenten-Developpabelen dual sind. Und wie koennte
ich es unterlassen, einen Blick auf die grosse Zahl von Kurven zu werfen,
welche Cremona und Sturm[503] studiert haben, indem sie sich mit der
Geometrie auf einer Oberflaeche dritter Ordnung beschaeftigten, dann auf
die wichtigen Probleme, die von Clebsch und seinen Schuelern ueber die
rationalen,[504] elliptischen und hyperelliptischen[505] Kurven geloest
sind, und die eleganten Eigenschaften, welche Bertini[506] an den
rationalen Kurven fuenfter Ordnung auffand, sowie W. Stahl[507] bei
denjenigen, deren Punkte auf einer Oberflaeche zweiten Grades liegen,
waehrend die Oskulationsebenen eine solche zweiter Klasse beruehren?
Indem der unerfahrene Leser so bedeutende und so verschiedene
Untersuchungen aufzaehlen hoert, wird er sich von einem gewissen Kleinmute
bedraengt fuehlen und sich fragen, wie es in kurzer Zeit moeglich sei,
dieselben, wenn auch nicht alle, so doch groesstenteils sich anzueignen?
Man beruhige sich. Die Uebersicht ist fuer den Studierenden viel weniger
schwierig, als es nach meiner Besprechung scheinen koennte. Die von den
Geometern der ersten Haelfte unseres Jahrhunderts aufgestellten Prinzipien
sind so fruchtbar, dass, wenn jemand sich dieselben gruendlich zu eigen
gemacht hat, er nicht allein selbst viele weitere Untersuchungen ableiten,
sondern auch noch darnach streben kann, die Wissenschaft selbst weiter zu
foerdern. Und dieses -- was sicherlich ein {80} nicht zu unterschaetzender
Vorzug der heutigen Wissenschaft vor der unserer Vaeter ist -- wurde in
Kuerze von einem ihrer Gruender mit den fortan klassischen Worten
ausgesprochen: _"Peut donc qui voudra dans l'etat actuel de la science
generaliser et creer en geometrie; le genie n'est plus indispensable pour
ajouter une pierre a l'edifice"_,[508] goldene Worte, welche jeder, der
Mathematik betreiben will, sich einpraegen muss; indem sie ihn auf einen
wahrscheinlichen Sieg hoffen lassen, werden sie ihn anspornen, sich mutig
den geistigen Kaempfen entgegenzustellen, die ihn erwarten.
* * * * *
VI.
Abbildungen, Korrespondenzen, Transformationen.
------
Bei dieser fluechtigen Musterung der neuesten geometrischen Entdeckungen
gelangen wir nun zur Lehre von den Abbildungen, Korrespondenzen und
Transformationen. -- Es ist bekannt, dass zwischen zwei ebenen Punktfeldern
eine Korrespondenz (Verwandtschaft) besteht, wenn jedem Punkte des einen
eine Gruppe von Punkten des anderen zugeordnet ist; diese heissen dann die
"entsprechenden" zu jenem. Wenn im speziellen Falle jeder Punkt des einen
Feldes einen einzigen entsprechenden in dem anderen hat, so heisst die
Korrespondenz "eindeutig".
Die einfacheren Faelle der eindeutigen Korrespondenz sind die Homologie --
von Poncelet studiert (1822) -- und die Kollineation (Homographie), von
Moebius (1827), Magnus (1833) und Chasles (1837) studiert. In diesen
Faellen entspricht nicht nur jedem Punkte ein Punkt, sondern {81} auch
jeder Geraden eine Gerade. -- Ein Beispiel einer komplizierteren
Korrespondenz wurde von Steiner (1832) durch folgende Konstruktion
erhalten:[509] Gegeben sind zwei getrennte Ebenen und zwei windschiefe
Geraden; durch jeden Punkt der einen von jenen ziehe man die Gerade, welche
die beiden gegebenen Geraden schneidet, und bestimme den Schnittpunkt mit
der anderen Ebene. Indem man diesen Schnittpunkt dem in der ersten Ebene
gewaehlten Punkte zuordnet, erhaelt man eine eindeutige Beziehung von der
Art, dass jeder Geraden in der einen Ebene ein Kegelschnitt in der anderen
entspricht. Laesst man nun die beiden Ebenen zusammenfallen, so erhaelt man
eine Korrespondenz, welche im wesentlichen nicht von der durch
Poncelet[510] zwischen in bezug auf ein Kegelschnittbueschel konjugierten
Punkten gefundenen verschieden ist, und welche auf analytischem Wege von
Pluecker[511] untersucht wurde, sodann von Magnus (1790-1861)[512] und von
unserem Schiaparelli,[513] synthetisch aber von Seydewitz[514] und spaeter
von Reye.[515] -- Auf ein drittes Beispiel fuehrte die Loesung einiger
Probleme aus der mathematischen Physik; man gelangt dazu auf folgende
Weise: Gegeben sei in einer Ebene ein fester Punkt, man associiert zwei mit
ihm in gerader Linie gelegene Punkte, deren Abstaende von ihm umgekehrt
proportional sind. Man erhaelt dann eine eindeutige Korrespondenz, welche
jede Gerade in einen Kreis, und jeden Kreis wieder in einen Kreis
verwandelt. Diese wurde von Sir William Thomson[516] {82} als "Prinzip der
elektrischen Bilder" studiert und ist unter dem Namen "Transformation durch
reciproke Radien" oder "Inversion" allgemein bekannt.[517]
Alle diese Transformationen sind linear oder quadratisch, da sie eine
Gerade in eine Kurve erster oder zweiter Ordnung verwandeln. Jedoch machte
Magnus schon die Bemerkung, dass, wenn man eine quadratische Transformation
wiederholt, man im allgemeinen eine solche hoeherer Ordnung erhaelt.[518]
Diese wichtige Bemerkung blieb aber bis zu dem Zeitpunkte unfruchtbar
(1863), in welchem Cremona von den wenigen bisher eroerterten Faellen zur
allgemeinen Theorie der geometrischen Transformationen der ebenen Figuren
ueberging.[519]
{83}
Um dem Leser die Bedeutung der Schriften, welche Cremona dieser
Theorie[520] gewidmet hat, zu zeigen, wuerde ich auseinanderzusetzen haben,
auf welche Weise dieser grosse Geometer das Studium der eindeutigen
Transformationen auf das eines homaloidischen Netzes von Kurven
zurueckgefuehrt hat, und die Bestimmung eines solchen Netzes auf die
Loesung eines unbestimmten Systemes von linearen Gleichungen; aber da die
Anlage meiner Abhandlung mir das nicht gestattet, so muss ich mich darauf
beschraenken, ihn davon durch den alten Beweis des "_consensus omnium_" zu
ueberzeugen. Dann fuehre ich noch die Namen von Geometern an wie
Cayley,[521] Clebsch,[522] Noether,[523] Rosanes,[524] S. Roberts,[525] die
sich bemueht haben, die (bei der ersten Behandlung des Stoffes
unvermeidlichen) Luecken, die sich in den Cremonaschen Abhandlungen[526]
fanden, auszufuellen; ferner die Arbeiten von Ruffini,[527]
Jonquieres,[528] Kantor,[529] Guccia,[530] Autonne,[531] welche mit dieser
Lehre {84} eng zusammenhaengende Fragen behandeln, endlich die von
Hirst,[532] T. Cotterill[533] (1808-1881), von Sturm,[534] Schoute[535] und
sehr vielen anderen, welche sich das bescheidenere Ziel gesetzt haben, die
Verbreitung derselben durch geeignete Beispiele und elegante Formeln zu
erleichtern.[536]
Unter den Arbeiten, welche sich an die von Cremona anschliessen, verdienen
eine hervorragende Stelle diejenigen von Bertini,[537] welche er den ebenen
involutorischen Transformationen gewidmet hat, welche Arbeiten noch
groessere Einfachheit und Eleganz erhielten durch den Begriff der Klasse
und andere Begriffe, die von Caporali[538] (1855-1886) eingefuehrt wurden,
jenem ausgezeichneten Geometer, dessen fruehen Verlust ganz Italien
betrauert.[539]
{85}
Von ganz verschiedenem Charakter sind hingegen die eleganten Untersuchungen
von Laguerre ueber solche Transformationen, welche er "Transformationen
durch reciproke Richtungen" nannte; da es nicht moeglich ist, den
Grundgedanken in wenigen Worten zusammenzufassen und die vielfachen
Anwendungen, welche der Erfinder davon gemacht hat, anzudeuten, verweisen
wir den Leser auf die Originalarbeiten des hervorragenden franzoesischen
Geometers.[540]
Von der Theorie, die wir jetzt besprechen, bildet auch die Lehre von den
"isogonalen Transformationen" einen Teil, welcher sich auf die geometrische
Darstellung der komplexen Zahlen stuetzt und deren Nuetzlichkeit (welche
vielleicht groesser {86} ist fuer die mathematische Physik als fuer die
reine Geometrie) Moebius,[541] Siebeck,[542] Durege,[543] Beltrami,[544]
Vonder-Muehll,[545] F. Lucas,[546] Wedekind[547] und neuerdings
Holzmueller[548] dargethan haben.[549]
{87}
Den Begriff der eindeutigen Korrespondenz zwischen zwei Ebenen kann man auf
verschiedene Weise verallgemeinern; die Weisen, die sich so ziemlich von
selbst darbieten, sind folgende:
Vor allem, ohne die Ebene zu verlassen, kann man eine Korrespondenz
aufstellen zwischen jedem Punkte derselben und einer Kurve eines doppelt
unendlichen Systemes in derselben oder auch einer anderen Ebene;[550] diese
Art der Korrespondenz ist eine Erweiterung der Korrelation (Reciprocitaet)
zwischen zwei Feldern; angegeben von Pluecker, wurde dieselbe von
Clebsch[551] entwickelt und veranlasste die Theorie der Konnexe.[552]
{88}
Wenn man dann zum Raume uebergeht, kann man eine Korrespondenz zwischen den
Punkten zweier Oberflaechen aufstellen (insbesondere zwischen den Punkten
einer krummen Oberflaeche und denen einer Ebene) oder zwischen den Punkten
zweier Raeume.
Die Darstellung einer Oberflaeche auf einer Ebene kann man bis ins Altertum
zurueckverfolgen, da schon Hipparch und Ptolomaeus (und wahrscheinlich
andere vor ihnen) sich die Aufgabe der Herstellung geographischer Karten
gestellt und Loesungen derselben mitgeteilt haben, die auf derjenigen
Projektion beruhen, welche man heute die stereographische nennt. -- Die
Projektion von Mercator (1512-1594), die Untersuchungen von Lambert
(1728-1777) und Lagrange, die beruehmte Antwort von Gauss auf eine von der
daenischen Akademie gestellte Frage[553] zeigen, wie die taeglichen
Beduerfnisse der Geographie und Navigationskunde unaufhoerlich die
Gelehrten angetrieben haben, sich mit dem Probleme der eindeutigen
Darstellung der Oberflaeche unseres Planeten auf einer Ebene zu
beschaeftigen.[554] -- Die erste Abbildung einer Oberflaeche auf einer
anderen jedoch, die nur in der Absicht gemacht wurde, um eine derselben
leichter studieren zu koennen, verdanken wir Gauss, der 1827 in seinen
beruehmten _Disquisitions generales circa superficies curvas_ es als sehr
vorteilhaft erkannte, die Punkte {89} einer beliebigen Oberflaeche den
Punkten einer Kugelflaeche entsprechen zu lassen, indem man zwei solche
Punkte zuordnet, deren Normalen einander parallel sind.[555] Eine besondere
Eigentuemlichkeit dieser Korrespondenz ist die, dass, um Eindeutigkeit zu
erhalten, es fast immer noetig ist, nur den Teil der Oberflaeche
abzubilden, den man gerade ins Auge fasst; wir wollten diese Eigenschaft
nicht stillschweigend uebergehen, da deren Anfuehrung uns Gelegenheit
giebt, den Unterschied hervorzuheben, der zwischen der sphaerischen
Abbildung und den Abbildungen besteht, welche von Pluecker,[556]
Chasles[557] und Cayley[558] fuer das Studium der Geometrie auf einer
Flaeche zweiten Grades, denen, die von Clebsch[559] und Cremona[560] fuer
das Studium der Geometrie auf einer kubischen Flaeche, und von denen
endlich, die von spaeteren Geometern fuer die Untersuchung anderer Flaechen
vorgeschlagen sind.
Die erste Arbeit, welche _ex professo_ die Theorie der Abbildungen dieser
Art behandelt, verdankt man Clebsch.[561] Die zahlreichen Beispiele, durch
welche der Verfasser in dieser Arbeit, sowie in einigen aelteren und
spaeteren[562] die allgemeine Theorie illustrierte, haben zur Aufstellung
der Geometrie auf einer grossen Zahl von Flaechen mit vielen Einzelheiten
gefuehrt. Ferner haben die fast gleichzeitigen Abhandlungen {90} von
Cremona[563] und Noether,[564] sowie die ihnen folgenden von
Armenante,[565] Klein,[566] Korndoerfer,[567] Caporali[568] und von noch
anderen[569] im Verlaufe weniger Jahre diese Zahl ausserordentlich
vermehrt.[570] Man kann sich eine ziemlich genaue Vorstellung von dem
Reichtum dieses Zweiges der Geometrie machen, wenn man die schoene
Abhandlung von Caporali ueber die dreifach unendlichen linearen Systeme
ebener Kurven liest,[571] in welcher er einerseits die Theorie der
Abbildung einer Oberflaeche auf eine Ebene auf das Studium solcher Systeme
anwandte, andererseits in derselben wertvolle Hilfsmittel der Untersuchung
fand.
Bei dem Studium der Abbildung einer Oberflaeche bietet sich von selbst eine
wichtige Frage dar, naemlich die, ob sie alle eindeutig auf eine Ebene
abbildbar sind, oder allgemeiner: ob zwei Oberflaechen sich als Punkt fuer
Punkt {91} einander entsprechend darstellen lassen. Und da man leicht
erkannte, dass die Antwort auf diese Frage eine negative sei, so wurde man
natuerlich auf die andere Frage gefuehrt: Welche Oberflaechen lassen sich
eindeutig auf einer Ebene abbilden? Oder allgemeiner: Welche Oberflaechen
kann man eindeutig auf einer gegebenen abbilden? -- Die analoge Frage fuer
zwei (ebene oder unebene) Kurven wurde von Clebsch vermittelst der
Betrachtung des Geschlechtes und der Moduln geloest. Diese Analogie
veranlasste nun Clebsch, die Loesung des vorhin angegebenen Problems in
einer Ausdehnung des Begriffes des Geschlechtes auf die Oberflaechen[572]
zu suchen. Dieser Versuch wurde jedoch nach meinem Dafuerhalten nicht von
gutem Erfolge gekroent, und auch heute muss man trotz der nach Clebsch
angestellten Versuche ausgezeichneter Mathematiker wie Cayley,[573]
Noether,[574] Zeuthen[575] die Frage als noch ungeloest betrachten; um das
zu beweisen, genuegt es zu sagen, dass, wenn es auch bekannt ist, dass alle
Oberflaechen zweiter und dritter Ordnung (die nicht Kegelflaechen sind)
eindeutig auf einer Ebene abbildbar sind, doch noch nicht alle Oberflaechen
vierter Ordnung bestimmt sind, welche dieselbe Eigenschaft haben.[576] {92}
Die allgemeineren Resultate, die man auf diesem Gebiete kennt, waren, wenn
ich nicht irre, von Noether[577] erhalten; dieser gelangte durch eine
ueberaus elegante analytische Betrachtung bei jeder Oberflaeche, welche
eine einfach unendliche Schar rationaler Kurven enthaelt, zu einer
Abbildung derselben auf einem Kegel.
Die Schwierigkeit aber, auf welche man bei der eindeutigen Abbildung
gewisser Oberflaechen auf eine Ebene stiess, liessen bei Clebsch den
Gedanken entstehen, zwischen einer Oberflaeche und einer Ebene eine
vielfache Korrespondenz aufzustellen, oder auch (wie er an die Riemannschen
Flaechen denkend sagte) eine Flaeche auf eine vielfache Ebene abzubilden
und dann diese auf eine einfache Ebene zu beziehen.[578] Diese Idee, deren
Keime sich vielleicht bis zu der von Chasles[579] vorgeschlagenen
Verallgemeinerung der stereographischen Projektion zurueckverfolgen lassen,
konnte nicht mehr vollstaendig von ihrem Urheber entwickelt werden; jedoch
blieben die von ihm gegebenen Andeutungen nicht unfruchtbar, vielmehr
entstand aus ihnen die Theorie der doppelten ebenen Transformationen,
welche de Paolis aufgestellt und durch vielfache Anwendungen erlaeutert
hat.[580]
Die zweite Verallgemeinerung der Cremonaschen Transformationen veranlasste
die Theorie der rationalen Transformationen im Raeume. Zwei Beispiele einer
solchen Korrespondenz boten sich in der Homographie zweier Raeume (und
deren Spezialfaellen) dar und -- wie Magnus,[581] Hesse[582] und
Cremona[583] bemerkt haben -- in der Transformation, die man erhaelt durch
drei zu demselben Raeume korrelative (reciproke) Raeume, indem man jedem
Punkte jenes Raumes {93} den Schnitt der Ebenen zuordnet, die ihm in diesen
entsprechen. Die allgemeine Theorie entstand jedoch erst um das Jahr 1870
durch die Bemuehungen Cayleys,[584] Noethers[585] und Cremonas,[586] obwohl
schon Magnus[587] Ende 1837 dieselbe angestrebt und ihre Wichtigkeit
eingesehen hatte.
Von den bemerkenswerten Arbeiten, in welchen diese Gelehrten unsere Theorie
im allgemeinen begruendeten, ist ohne Zweifel die wichtigste jene, die wir
der Feder unseres beruehmten Landsmannes verdanken. Geleitet durch die
Analogie, welche diese Disziplin mit der der eindeutigen Korrespondenz
zwischen zwei Ebenen darbietet, zeigte er, wie jene sich auf das Studium
der dreifach unendlichen homaloidischen Systeme von Oberflaechen
zurueckfuehren laesst. Darauf setzte er auf eine sehr schoene Weise
auseinander, wie man unendlich viele solcher Systeme erhalten koenne, wenn
man die ebene Abbildung einer Oberflaeche kennt, und zeigte zuletzt durch
treffende Beispiele, wie man die Theorie der rationalen Transformationen
auf die Abbildung vieler Flaechen auf andere zurueckfuehrt, insbesondere
auf die ebene Abbildung einiger von ihnen. Diese Anwendung, vereint mit der
obenerwaehnten Methode, zeigt klar, wie man aus der ebenen Abbildung einer
Oberflaeche nicht nur die Abbildungen von unendlich vielen anderen erhalten
kann, sondern auch unzaehlig viele rationale Transformationen des Raumes.
Ungeachtet der Schriften, durch welche England, Deutschland und Italien so
maechtig zur Gruendung und Erweiterung dieser Theorie beigetragen haben,
kann man doch nicht sagen, dass dieselbe den Grad der Vollendung erreicht
habe, {94} den andere erlangt haben. Das kommt vielleicht daher, dass die
schwierigsten Fragen, welche sich in derselben darbieten, innig mit der
Bestimmung der Singularitaeten der Oberflaechen zusammenhaengen, und ueber
diese -- wir muessen es leider gestehen -- sind unsere Kenntnisse noch sehr
beschraenkt. Darin hat man vielleicht die Erklaerung der Thatsache zu
suchen, dass die Geometer, die auf jene oben erwaehnten folgten, sich mehr
mit der Erlaeuterung der Methoden ihrer Meister, als mit der
Vervollkommnung derselben und der Ausfuellung ihrer Luecken beschaeftigt
haben.[588] Und dennoch -- wenn auch das Studium der Figur selbst ohne
Zweifel dem der transformierten vorzuziehen ist -- giebt es bei dem
heutigen Standpunkte der Wissenschaft sehr wenige Theorien, die so sehr es
verdienen, dass man sie in allen ihren Einzelheiten vervollkommne, als
gerade diese. In der That, um die Worte eines grossen Mannes zu gebrauchen,
"wenn man ueber das Verfahren der Algebra nachdenkt und den Grund {95} der
gewaltigen Vorteile aufsucht, die sie der Geometrie bietet, sieht man da
nicht, dass sie dieselben der Leichtigkeit verdankt, mit welcher man
anfaenglich eingefuehrte Ausdruecke Transformationen unterziehen kann,
Transformationen, deren Geheimnis und deren Mechanismus die wahre
Wissenschaft bilden und die das staendige Ziel der Analysten sind? Ist es
darum nicht natuerlich, zu versuchen, in die reine Geometrie analoge
Transformationen einzufuehren, welche direkt auf die vorgelegten Figuren
und ihre Eigenschaften hinsteuern?[589]
Auf das allgemeine Studium der Transformationen folgt das solcher
Transformationen, bei denen man einen gewissen Zweck im Auge hat,[590]
z. B. die Verwandlung der Figuren in sich selbst oder ihre Zurueckfuehrung
zur urspruenglichen Figur, wenn die Transformationen mehrmals
hintereinander angewandt werden. Es existieren in der That auch schon
einige gute Arbeiten, in welchen die Kollineationen und Korrelationen
behandelt sind, welche eine Flaeche zweiter Ordnung, einen linearen
Komplex[591] oder eine kubische Raumkurve[592] in sich selbst
transformieren, sowie ueber die cyklischen Projektivitaeten.[593]
{96}
Wir wollen diesen Abschnitt unserer Arbeit beschliessen, indem wir noch
einige Worte ueber die vielfachen Transformationen zwischen zwei Gebilden
zweiter und dritter Stufe sagen, auf welche ich nur im Voruebergehen
hinweisen konnte, indem ich einige Abhandlungen von Paolis anfuehrte. Der
erste, der sich mit ihnen beschaeftigte, war Chr. Wiener,[594] welcher sie
untersuchte, indem er eine eindeutige Korrespondenz in der Ebene herstellte
zwischen den Geraden einer Ebene und den Kurven eines linearen Systemes;
dann ist einem Punkte, betrachtet als Schnitt zweier Geraden, die Gruppe
der Grundpunkte des Bueschels zugeordnet, der durch die entsprechenden
Kurven konstituiert wird. Diese Art und Weise, vielfache Transformationen
zu erzeugen, wurde von Tognoli[595] auf den Raum ausgedehnt; derselbe liess
jedem Punkte, betrachtet als Schnitt dreier Ebenen, die Grundpunkte
desjenigen Netzes entsprechen, das durch die drei den drei Ebenen
entsprechenden Oberflaechen eines dreifach unendlichen linearen Systemes
bestimmt wird. Solche Untersuchungen haben sich bis jetzt jedoch noch nicht
als sehr fruchtbar gezeigt. Ziemlich wichtig dagegen sind die schon
genannten Untersuchungen von Paolis ueber die doppelten Transformationen.
Das zeigen die Arbeiten, in denen Visalli[596] und Jung[597] die vielfachen
Transformationen untersucht haben und welche die Fortsetzungen jener sind.