Linien behandelt, knuepfen sich einige Arbeiten von Joachimsthal
(1818-1861),[335] Schering,[336] Beltrami,[337] die von Lie[338] gemachte
Einteilung der Oberflaechen auf Grund der Transformationsgruppen ihrer
geodaetischen Linien und die Untersuchungen ueber geodaetische Kurven von
demselben Verfasser.[339] Mit demjenigen Abschnitte, welcher sich auf die
Abwickelbarkeit der Oberflaechen bezieht, steht eine wichtige Arbeit von
Minding in enger Beziehung,[340] in der zum ersten Male die Frage
aufgestellt ist, ob die Gleichheit der Kruemmung in entsprechenden Punkten
eine hinreichende Bedingung fuer die Abwickelbarkeit zweier Oberflaechen
sei: er gelangte fuer den allgemeinen Fall zu einem negativen Resultate, zu
einem {56} positiven dagegen fuer den Fall konstanter Kruemmung. Dasselbe
gilt von den Arbeiten von Bour[341] (1832-1866), Codazzi[342] und
Bonnet,[343] welche fuer preiswuerdige Antworten auf die im Jahre 1861 von
der Pariser Akademie der Wissenschaften gestellte Frage erkannt worden
sind. Derselbe Gegenstand oder verwandte Gegenstaende wurden dann in den
Abhandlungen von Christoffel,[344] von Mangoldt,[345] Weingarten,[346]
Brill,[347] Minding,[348] Jellet,[349] Dini,[350] Enneper,[351]
Razzaboni,[352] Lecornu,[353] Beltrami[354] und vielen anderen behandelt.
Die schoene von Gauss gegruendete Theorie der krummlinigen Koordinaten
einer Oberflaeche liess den Wunsch entstehen, eine analoge Theorie fuer den
Raum zu haben. Schon im Jahre 1837 stellte Lame sie fuer einen Spezialfall
auf, naemlich fuer den der elliptischen Koordinaten,[355] spaeter wies er
auf die orthogonalen krummlinigen Koordinaten {57} hin[356] und
konstruierte dann die Theorie derselben,[357] ohne ihre Anwendung[358] und
Entwickelung[359] zu vernachlaessigen. Die beruehmten _Lecons sur la
theorie des coordonnees curvilignes et leurs diverses applications_ (Paris,
1859) von Lame fassen zusammen und vervollstaendigen die glaenzenden
Resultate, die von Lame in diesem Zweige der Geometrie erhalten waren. In
der Folge haben sich viele andere mit demselben beschaeftigt. Vor allen
fuehre ich Aoust an, der ihm viele und wichtige Arbeiten widmete,[360] dann
Brioschi,[361] Codazzi,[362] Chelini (1802-1878),[363] Darboux,[364]
Combescure,[365] Levy,[366] Royer[367] und noch andere. Hierzu sehe man
noch die Schriften, welche dreifache Systeme orthogonaler Oberflaechen
behandeln und von denen ich nur diejenigen von Bouquet,[368] A.
Serret,[369] Bonnet,[370] Catalan,[371] Moutard,[372] Darboux,[373]
Cayley,[374] Ribaucour,[375] {58} Weingarten,[376] Schlaefli,[377]
Hoppe,[378] Bianchi[379] und Molins[380] nennen will.
Von den Arbeiten, welche spezielle Oberflaechen behandeln, die nicht zu bis
jetzt besprochenen Kategorien gehoeren, fuehren wir die von Lie[381] an,
welche sich auf Oberflaechen beziehen, die infinitesimale lineare
Transformationen in sich selbst zulassen; dann die von Enneper,[382] die
sich auf Oberflaechen mit speziellen Meridiankurven beziehen, ferner die
von Cayley[383] und Weingarten[384] und die von Willgrod[385] ueber
Oberflaechen, welche durch ihre Kruemmungslinien in unendlich kleine
Quadrate geteilt werden; schliesslich die von Bianchi[386] ueber
Schraubenflaechen.
Ein bemerkenswerter Fortschritt in der analytischen Infinitesimalgeometrie
der Oberflaechen wurde durch die Bemuehungen de Salverts geschaffen, der in
einigen eleganten Arbeiten,[387] wahrscheinlich hervorgerufen durch die
schoenen _Vorlesungen ueber die analytische Geometrie des Raumes_ von
Hesse, zeigte, wie man durch Benutzung der Gleichung einer Oberflaeche in
ihrer allgemeineren Form, f(x, y, z) = 0, ein bei weitem bequemeres System
von Formeln fuer die Loesung gewisser Probleme aufstellen konnte, als wenn
die Gleichung z = [phi](x, y) zu Grunde gelegt wird.
{59}
Ueber Differentialgeometrie existieren noch einige gute Darlegungen. Eine
verdankt man Hoppe; sie traegt den Titel: _Elemente der Flaechentheorie_;
eine andere wurde von Brisse unternommen;[388] die neuesten sind die von
Bianchi in seinen sehr schoenen _Lezioni di geometria differenziale_ (Pisa,
1886) und die, welche Darboux in seinen _Lecons sur la theorie generale des
surfaces_ begonnen hat, von denen wir schon den ersten Teil besitzen
(Paris, 1887).
Wir wollen diesen Abschnitt beschliessen, indem wir noch bemerken, dass die
Zuhilfenahme der Analysis fuer das Studium der Infinitesimalgeometrie nicht
notwendig ist; vielmehr haben Bertrand[389] und Bonnet[390] zuerst gezeigt,
welchen Nutzen man bei diesen Studien auch aus synthetischen Betrachtungen
ziehen kann. Ausserdem enthalten der erste Band des _Traite de calcul
differential et integral_ von Bertrand und der _Traite de geometrie
descriptive_ von de la Gournerie[391] und eine grosse Zahl von ueberaus
schoenen Abhandlungen von Mannheim[392] bemerkenswerte geometrische
Untersuchungen, welche dem Zweige der Wissenschaft des Raumes, mit dem wir
uns eben beschaeftigt haben, angehoeren.
{60}
* * * * *
IV.
Untersuchungen ueber die Gestalt der Kurven und Oberflaechen. Abzaehlende
Geometrie.
------
Bei der Besprechung der bedeutenderen Fortschritte, welche die Theorie der
Kurven und die der Oberflaechen gemacht, haben wir zwei wichtige Kategorien
der Untersuchung uebergangen, weil wir dieselben besser in einem besonderen
Abschnitte unserer Arbeit zusammenfassen koennen.
Die erstere umfasst eine Reihe von Studien besonderer Natur und hat zum
Zwecke die Bestimmung der Gestalt, welche die Kurven und Oberflaechen von
gegebener Ordnung annehmen koennen, und ich halte es fuer angemessen, bei
diesen eine Zeit lang zu verweilen.
Die Bestimmung der Gestalt der Kurven zweiter Ordnung reicht schon in das
Altertum. Fuer dieselbe bedurfte es auch nicht eines hervorragenden
Geistes, wenn man bedenkt, dass die Alten jene Kurven als Schnitte eines
Kreiskegels betrachteten.
Dagegen ist die Bestimmung der Gestalt, welche die Kurven dritter Ordnung
annehmen koennen, nicht ohne Schwierigkeit. Newton ueberwand diese, indem
er lehrte, dass alle Kurven dritter Ordnung durch Projektion von fuenfen
derselben, welche er divergierende Parabeln nannte, erhalten werden
koennen.[393] Zu dieser ersten Einteilung der Formen {61} der Kurven
dritter Ordnung fuegte Chasles[394] eine weitere hinzu, die, obwohl sie auf
einem ganz anderen Gedanken beruhte, mit der von Newton eine nicht zu
verkennende Analogie bietet. Nach ihr kann man die Formen der Kurven
dritter Ordnung saemtlich auffinden durch Projektion von fuenfen derselben,
die symmetrisch in bezug auf ein Zentrum sind. Eine dritte Methode der
Einteilung endlich stuetzt sich auf das konstante Doppelverhaeltnis der
vier Tangenten, die man an die allgemeine Kurve dritter Ordnung von einem
ihrer Punkte aus ziehen kann; diese wurde von Durege entwickelt.[395]
{62}
Bei weitem groessere Schwierigkeit bietet das Studium der Gestalt der
ebenen Kurven vierter Ordnung, die schon angefuehrten Arbeiten von
Bragelogne, Euler und Pluecker bilden hierzu einen wichtigen Beitrag. Es
scheint aber nicht, dass man diese -- dasselbe gilt auch von den schon
genannten auf die kubische Kurve bezueglichen -- als die Grundlage zu einer
allgemeinen Theorie der Gestalt der ebenen Kurven ansehen darf; vielmehr
muss man dieselben als die ersten Vorlaeufer jener Lehren betrachten, die
man heute als eine feste Grundlage dieser Theorie ansieht. Solche Lehren
gehoeren in das Gebiet der synthetischen Geometrie, zum Teil aber waren sie
das Resultat der Anwendung der Abelschen Funktionen auf die Wissenschaft
der Ausdehnung. Von den ersteren wurden einige von Staudt in seiner
_Geometrie der Lage_[396] auseinandergesetzt und beziehen sich auf die
Gestalten der ebenen Polygone und der Polyeder, die paaren und die unpaaren
Zuege der Kurven, die Rueckkehrelemente der Figuren; andere wurden von
Tait[397] angegeben und von J. Meyer entwickelt,[398] andere schliesslich
von Hart angedeutet[399] und mit vielem Gluecke von E. Koetter
verallgemeinert.[400] Die zweiten sind fast alle aus der Schule von Klein
hervorgegangen. Da ich auf die vielen Einzelheiten dieses Gegenstandes
nicht eingehen kann, so moege es hier genuegen, unter den schon erhaltenen
Resultaten einige besondere Saetze ueber die Kurve vierter Ordnung
anzufuehren, die man Zeuthen[401] und Crone[402] verdankt; dann {63} eine
sehr wichtige Relation zwischen den Zahlen der reellen und imaginaeren
Singularitaeten einer ebenen Kurve, zu welcher Klein gefuehrt wurde,[403]
als er die von Pluecker[404] und Zeuthen vorgeschlagenen Klassifikationen
der Kurven vierter Ordnung studierte; ferner einen sehr schoenen
Lehrsatz,[405] von Harnack (1851-1888) entdeckt, welcher dadurch, dass er
eine unerwartete Beziehung zwischen der Form einer Kurve und ihrem
Geschlechte enthuellte, die Wichtigkeit des letzteren von neuem
bestaetigte.
Wenn so die Theorie der Gestaltlichkeit der ebenen Kurven noch weit
entfernt vom Zustand der Reife ist, so kann man von den analogen
Untersuchungen ueber die Oberflaechen sagen, dass sie sich noch in ihrer
Kindheit befinden. Allgemeine Untersuchungen auf diesem Felde existieren
meines Wissens nicht, ausser denjenigen, die von Moebius in seiner _Theorie
der elementaren Verwandtschaften_ niedergelegt sind,[406] und welche, so
scharfsinnig und interessant sie auch sind, einen geschickten Nachfolger
erwarten lassen, welcher die ganze Fuelle derselben zu Tage foerdert.
Dasselbe gilt fuer gewisse originelle Gesichtspunkte, die in den vielen
Arbeiten von Klein zerstreut sind. Fuer den Fortschritt der Geometrie
wuerde es von hoechstem Interesse sein, beide weiter entwickelt zu sehen;
ungluecklicherweise wird aber diese Theorie wenig betrieben, in den letzten
Jahren ist vielleicht Rohn[407] der einzige, der hierin einige Fortschritte
gemacht hat, die wert sind, verzeichnet zu werden.
{64}
Wenn auch die allgemeine Theorie ein bis jetzt noch unbefriedigtes
Beduerfnis ist, so fehlt es doch nicht an Spezialuntersuchungen. Die
Bestimmung der Gestalt der Oberflaechen zweiten Grades uebergehe ich als zu
einfach und fuehre die der Oberflaechen dritter Ordnung an, die mit Erfolg
von Klein,[408] Schlaefli,[409] Zeuthen[410] gemacht ist, und neuerdings
von Bauer durch die Untersuchung der Gestalt der parabolischen Kurve
vervollstaendigt wurde;[411] ferner die der Dupinschen Cykliden, die wir
Maxwell[412] verdanken; dann die der Oberflaechen vierter Ordnung mit
Doppelkegelschnitt, die ebenfalls von Zeuthen[413] herruehrt; die der
Oberflaechen vierter Ordnung mit Cuspidalkegelschnitt, die von Crone[414]
ausgefuehrt ist; endlich die der Kummerschen Flaechen und der Kegelflaechen
viertes Grades, welche der Gegenstand wichtiger Untersuchungen von
Rohn[415] gewesen sind. Die reichhaltige Sammlung von Modellen von Ludwig
Brill, die sich jedes Jahr um neue und interessante Serien vermehrt, zeigt
das Interesse, welches das gelehrte Deutschland fuer vorliegende
Untersuchungen hat.[416]
Was die Gestalt der Kurven doppelter Kruemmung angeht, so existieren
darueber bis jetzt noch keine allgemeinen Untersuchungen von Bedeutung; man
kann sagen, dass sich dieselben auf die Beobachtungen beschraenken, die
Chr. Wiener[417] {65} und Bjoerling[418] gemacht haben, indem sie die
Modelle der gewoehnlichen Singularitaeten einer Raumkurve konstruierten.
Eine zahllose Reihe wichtiger Untersuchungen hat die Bestimmung der Anzahl
der geometrischen Gebilde zum Ziele, welche Bedingungen genuegen, die
hinreichen, eine endliche Zahl derselben festzulegen. Der Bezoutsche
Lehrsatz, welcher die Zahl der Loesungen eines bestimmten Systems von
algebraischen Gleichungen angiebt, ist fast immer nicht verwendbar fuer die
Loesung solcher Fragen, da, waehrend dieser Satz auf allgemeine Gleichungen
ihres Grades sich stuetzt, die Gleichungen, welche man bei dem Versuche,
diese Probleme analytisch zu loesen, erhaelt, von spezieller Form sind.
Wahrscheinlich ist das der Grund dafuer, dass diese Probleme groesstenteils
bis in verhaeltnismaessig neuerer Zeit ungeloest geblieben sind.[419]
Auf Chasles faellt der Ruhm, in seiner _Methode der Charakteristiken_ ein
feines und maechtiges Hilfsmittel gefunden zu haben (1864), mit dem er eine
grosse Zahl von Problemen der angedeuteten Art fuer den Fall, dass die
betrachteten Gebilde Kegelschnitte in einer Ebene sind, loesen konnte und
einen Weg bahnte, um auch in dem Falle, wo die {66} Gebilde beliebige sind,
zur Loesung derselben zu gelangen.[420] Der Hauptgedanke desselben war die
fortwaehrende Betrachtung der ausgearteten Kurven und der systematische
Gebrauch der Charakteristiken eines einfach-unendlichen Systemes von
Kegelschnitten, d. h. der Zahlen, die angeben, wie viele Kegelschnitte des
Systemes durch einen gegebenen Punkt gehen, wie viele eine gegebene Gerade
beruehren.
Dadurch, dass man diese Begriffe weiter ausdehnte, konnte man Hilfsmittel
erhalten, die auf andere Figuren anwendbar sind. Chasles selbst entdeckte
alsbald die Anwendung seiner Untersuchungen auf die Kegelschnitte im
Raume[421] und auf die Flaechen zweiter Ordnung.[422] Zeuthen und Maillard
gaben neue Beispiele der Erweiterung, der eine in der wichtigen Abhandlung,
die wir schon Gelegenheit hatten zu zitieren, _Almindelige Egenskaber ved
Systemer af plane Kurver_,[423] der andere in seiner Dissertation
_Recherches des caracteristiques des systemes elementaires de courbes {67}
planes du troisieme ordre_;[424] andere findet der Leser in den Schriften
von Sturm ueber die kubischen Raumkurven[425] und denen von Schubert ueber
die ebenen Kurven dritter Ordnung und dritter und vierter Klasse, im Raume
betrachtet.[426] Ferner sind die von Chasles gemachten Betrachtungen enge
mit denjenigen verbunden, welche in den wichtigen Abhandlungen von Cayley,
_On the curves which satisfy given conditions_[427] enthalten sind, sowie
in einigen Arbeiten von Jonquieres ueber Systeme von Kurven und
Flaechen.[428] Endlich gehoeren hierher noch die Untersuchungen von
Hirst[429] und Sturm[430] ueber Systeme von Projektivitaeten und
Korrelationen, sowie die von Zeuthen[431] ueber die Plueckerschen
Charakteristiken der Enveloppen. Wir wollen noch bemerken, dass zwischen
den Systemen ebener Kurven und den Differentialgleichungen erster Ordnung
mit zwei Variabelen eine sehr innige Beziehung besteht, die sich zu
erkennen giebt, indem die Integrale einer dieser Gleichungen ein System von
Kurven darstellen. Die gegebene Differentialgleichung laesst jedem Punkte
eine bestimmte Anzahl von ihm ausgehender Richtungen entsprechen und einer
Geraden eine bestimmte Anzahl auf ihr liegender Punkte. Auf diese
Beziehungen wurde Clebsch durch seine Untersuchungen ueber die Konnexe[432]
(vgl. s. VI) und unabhaengig von Fouret[433] {68} gefuehrt. In aehnlicher
Weise kann man eine Beziehung zwischen den Differentialgleichungen erster
Ordnung mit drei Variabelen und einem Systeme von Oberflaechen aufstellen,
wie dies ebenfalls Fouret[434] bemerkt hat. Dieser Zusammenhang ist von
grosser Wichtigkeit, weil er gestattet, Saetze auf transcendente Kurven
oder Oberflaechen auszudehnen, von denen man glaubte, dass sie nur fuer
algebraische Kurven oder Oberflaechen gueltig seien; so konnte Fouret den
Satz ueber die Zahl der Kurven eines Systemes, welche eine gegebene
algebraische Kurve beruehren, auf Systeme von transcendenten Kurven
ausdehnen,[435] konnte ferner die Ordnung des Ortes der Beruehrungspunkte
eines einfach unendlichen Systemes von Oberflaechen mit den Oberflaechen
eines doppelt unendlichen Systemes bestimmen,[436] ebenso die Ordnung des
Ortes der Beruehrungspunkte der Oberflaechen eines doppelt unendlichen
Systemes mit einer gegebenen algebraischen Oberflaeche[437] u. s. w.[438]
Trotz dieser und anderer Arbeiten, die ich der Kuerze wegen uebergehe, war
die ganze Tragweite der Chaslesschen Betrachtungen noch nicht offenbar
geworden; das geschah durch den letzten, von dem ich zu sprechen habe,
durch Hermann Schubert in seinem _Kalkuel der abzaehlenden Geometrie_.[439]
Dieses Buch, das noch viel zu wenig {69} geschaetzt wird, kann man mit
Recht als dasjenige betrachten, welches zuerst von Grund auf das Problem
behandelte, "zu bestimmen, wie viele geometrische Gebilde von gegebener
Definition einer hinreichenden Zahl von Bedingungen genuegen," d. h. das
Problem der abzaehlenden Geometrie. Dort sind die Korrespondenzprinzipien
unter ihrem wahren Gesichtspunkte auseinandergesetzt,[440] dort ist klar
eroertert, was man unter dem Charakteristikenproblem einer bestimmten Figur
zu verstehen hat, und sind Methoden von ausserordentlicher Macht fuer
dessen Loesung gezeigt. Die Schubertschen Methoden sind dazu bestimmt,
eines Tages das uebliche Hilfsmittel fuer den Mathematiker zu werden, wie
es augenblicklich die Cartesische Geometrie ist, und niemand wird mich der
Uebertreibung beschuldigen, der bedenkt, dass dieselben in einer Unzahl von
Faellen zur Loesung des allgemeinen Problemes der Elimination dienen, d. h.
die Zahl der Loesungen eines Systemes von algebraischen Gleichungen zu
bestimmen. Daher muessen alle, Analytiker und Geometer, dem Werke von
Schubert, durch welches er die abzaehlende Geometrie zu einer besonderen
Disziplin erhoben hat, reiches Lob zollen, oder besser, anstatt es blos zu
bewundern, sich {70} vornehmen, die fruchtbaren Methoden desselben zu
vervollkommnen und sie von Maengeln frei zu machen, d. h. sie von dem
Tadel, der ihnen von einigen gemacht worden ist, dass sie nicht ganz
strenge seien, zu befreien und sie selbst oder wenigstens die Anwendungen,
deren sie faehig sind, zu vermehren.
Die auf die Theorie der Charakteristiken bezueglichen Andeutungen[441]
wuerden eine unverzeihliche Luecke darbieten, wenn sie nicht einen Hinblick
auf eine wichtige Frage boeten, die zwischen einigen Geometern ventiliert
wurde, und die man heute als schon geloest betrachten darf. Geleitet
naemlich durch einen Induktionsschluss, behauptete Chasles, dass die Zahl
derjenigen Kegelschnitte eines einfach unendlichen Systemes, welche einer
neuen einfachen Bedingung genuegen, ausgedrueckt wird durch eine homogene
lineare Funktion der Charakteristiken des Systemes, deren Koeffizienten
einzig und allein von dieser Bedingung abhaengen. Darboux,[442]
Clebsch,[443] Lindemann,[444] Hurwitz und Schubert,[445] sowie noch andere
glaubten diesen Satz beweisen zu koennen. Aber dass die von ihnen
angefuehrten Gruende nicht beweiskraeftig waren, wurde in einer Reihe von
Arbeiten gezeigt, in welchen Halphen[446] die Hinfaelligkeit der Vermutung
Chasles' klar legte und zeigte, wie man den vorher angefuehrten Satz
modifizieren muesse. In der Theorie der Charakteristiken der Systeme von
Flaechen zweiten Grades hat man einen analogen Satz, den ebenfalls
Halphen[447] entdeckt hat. Jedoch glaube man nicht, dass diese Saetze {71}
von Halphen die Resultate zerstoeren, welche man erhalten, indem man den
Chaslesschen Weg einschlug; vielmehr sind dieselben gluecklicherweise
meistenteils unabhaengig von dem fraglichen Theorem, und fuer die anderen
Faelle ist es leicht zu zeigen, welche Korrektionen man machen muss.[448]
* * * * *
V.
Theorie der Kurven doppelter Kruemmung.
------
Die Theorie der ebenen Kurven kann man in zwei verschiedenen Richtungen
verallgemeinern. Indem man die Thatsache ins Auge fasst, dass eine solche
Kurve durch eine Gleichung zwischen den Koordinaten eines Punktes einer
Ebene dargestellt wird, so ergiebt sich als Analogon im Raume die Theorie
der Oberflaechen, indem diese als durch eine Gleichung zwischen den
Koordinaten eines Punktes im Raume darstellbar betrachtet werden, auf
welche Betrachtung wir im Vorhergehenden eingegangen sind. Wenn man
hingegen eine ebene Kurve als eine Reihe von einfach unendlich vielen
Punkten ansieht, so kann man die Theorie ausdehnen, indem man die
Beschraenkung aufhebt, dass diese in einer Ebene gelegen seien: dann
entsteht die Theorie der unebenen Kurven.
Das Studium der Infinitesimaleigenschaften derselben kann man leicht genug
mit Hilfe von Methoden machen, die nicht sehr verschieden sind von
denjenigen, die fuer die {72} ebenen Kurven angewandt werden. Deshalb wurde
dasselbe, wie ich schon sagte, vor mehr als einem Jahrhundert von Clairaut
unternommen und wurde hernach von Lancret (1774-1807),[449] Monge,[450]
Tinseau,[451] de Saint-Venant (1797-1886),[452] von Frenet,[453] Alfred
Serret[454] und Paul Serret, von Liouville (1809-1882),[455] Bertrand,[456]
von Puiseux (1820-1883),[457] von Lie[458] und vielen anderen
fortgesetzt.[459]
Aber abgesehen von dieser Betrachtungsrichtung bietet das Studium der
uebrigen allgemeinen Eigenschaften der unebenen Kurven sehr grosse
Schwierigkeiten. Man vermutete eine Zeit lang, dass jede Kurve im Raume als
der vollstaendige Schnitt zweier Oberflaechen angesehen werden und daher
durch ein System von zwei Gleichungen zwischen den Koordinaten eines
Punktes im Raume dargestellt werden koennte;[460] aber bald erkannte man
die Existenz von Kurven, die nicht der vollstaendige Schnitt von
Oberflaechen sind, und die Notwendigkeit, dieselben nicht vermittelst
zweier, {73} sondern dreier Gleichungen darzustellen, die ebenso vielen
durch dieselbe hindurchgehenden Oberflaechen entsprechen. Man setzte
voraus, dass die Kenntnis der Ordnung zur Einteilung der unebenen Kurven
hinreichen wuerde, aber sobald man an die vierte Ordnung gekommen war,
erkannte man, dass dieselbe nicht genuege.[461] Man haette nun glauben
sollen, dass die Ordnung und die Zahl der scheinbaren Doppelpunkte fuer den
besagten Zweck hinreichen wuerden, aber als man an die neunte Ordnung
herantrat, sah man, dass man sich geirrt habe.[462] Auch eine dritte Zahl,
die niedrigste Ordnung der Kegel, die durch die von einem Punkte
herkommenden Sehnen (Doppelsekanten) der Kurve gehen, konnte nur bei den
Kurven von niederer, als der fuenfzehnten Ordnung dazu verhelfen. So kam
man denn zu dem Schlusse, dass es unmoeglich sei, eine gegebene Kurve
vermittelst einer bestimmten Menge von vornherein angebbarer Zahlen zu
charakterisieren.
Ich habe diese Thatsachen anfuehren wollen, um zu zeigen, dass die
allgemeine Theorie der unebenen Kurven keine Aehnlichkeit mit irgend einem
anderen Teile der Geometrie zeigt und, indem ich auf die erschreckliche
Dunkelheit, die sie darbietet, hinwies, dem Leser das Mittel geben wollen,
den Grund zu finden, warum die Kenntnisse, die wir ueber diese Gebilde
haben, so wenig zahlreich und erst neueren Ursprunges sind.
Die ersten allgemeinen Resultate ueber die Kurven doppelter Kruemmung
verdanken wir Cayley, welcher ihnen zwei wichtige Abhandlungen gewidmet
hat. In einer derselben stellte er die Formeln (analog denen von Pluecker)
auf, welche die Zahl der Singularitaeten einer Raumkurve {74} untereinander
verbinden.[463] In der anderen fuehrte er fuer das Studium der Raumkurven
von der Ordnung n diejenigen bemerkenswerten Flaechen ein, welche er
"Monoide" nannte.[464]