einer Flaeche dritter Ordnung die sind, 27 Gerade zu enthalten, und ein
Pentaeder zu besitzen, welches zu Ecken die Doppelpunkte und zu Kanten die
Geraden der Hesseschen Flaeche jener Oberflaeche hat. England und
Deutschland koennen sich um die Ehre, sie entdeckt zu haben, streiten. Wenn
auch schon im Jahre 1849 Cayley und Salmon[153] die Geraden einer kubischen
Flaeche bestimmt haben, und im Jahre 1851 Sylvester[154] das Pentaeder
entdeckte, so ist doch nicht minder wahr, dass Steiner unabhaengig von
ihnen die Existenz jener und dieses in seiner beruehmten Mitteilung, welche
er der Berliner Akademie im Jahre 1853 machte, behauptet hat.[155] Aber
waehrend die Studien der englischen Geometer fast gaenzlich der Fortsetzung
entbehren,[156] steht die Arbeit von Steiner an der Spitze einer langen
Reihe von Schriften, durch welche die Theorie der Oberflaechen dritter
Ordnung schnell einen ungehofften Grad der Vollendung erhielt. Indem ich
die Abhandlungen von Schroeter,[157] August[158] u. s. w., in welchen
einige der von Steiner ausgesprochenen Saetze bewiesen werden, nur kurz
erwaehne, will ich mich darauf beschraenken, die Aufmerksamkeit der Leser
auf die mit Recht beruehmten Schriften zu lenken, die von {37} Cremona[159]
und von Sturm[160] ueber diese Oberflaechen verfasst und im Jahre 1866 von
der Berliner Akademie mit dem Steiner-Preise gekroent sind, Arbeiten, auf
welche jeder zurueckkommen muss, welcher sich mit diesen wichtigen
geometrischen Gebilden vertraut machen will. Ich kann mich nicht aufhalten
bei den verschiedenen Erzeugungsweisen einer Flaeche dritter Ordnung, die
Grassmann,[161] August,[162] Affolter[163] und Piquet[164] den von Steiner
angegebenen hinzugefuegt haben, bei der Konstruktion dieser Flaechen,
welche Le Paige[165] gegeben hat, bei den vielen Saetzen, die sich auf die
Verteilung der Geraden, der dreifach beruehrenden Ebenen und die Kurven
einer kubischen Flaeche beziehen und welche vor kurzem von Cremona,[166]
Affolter,[167] von Sturm[168] und Bertini[169] entdeckt wurden, endlich bei
den von Cremona,[170] Caporali,[171] Reye[172] und Beltrami[173] studierten
Eigenschaften gewisser Hexaeder, welche mit einer Flaeche dritter Ordnung
verknuepft sind, sowie bei den von Zeuthen[174] betrachteten zwoelf {38}
vollstaendigen, in sie einbeschriebenen Pentaedern. Ich will noch
anfuehren, dass eine Einteilung dieser Oberflaechen, die auf die
Betrachtung der 27 auf ihr gelegenen Geraden sich stuetzt, von Schlaefli
gemacht ist[175] und eine neuere von Rodenberg,[176] die sich auf das
Pentaeder gruendet, dass ferner ein genaues und eingehendes Studium der
Regelflaechen dritten Grades (von denen eine von Cayley entdeckt wurde) den
Gegenstand wertvoller Arbeiten Cremonas,[177] Em. Weyrs[178] und Benno
Kleins[179] bildet, dass schliesslich die sogenannte Diagonalflaeche einen
wichtigen Teil in einer Untersuchung von Clebsch ueber die Gleichungen
fuenftes Grades bildet[180] und dass andere besondere Faelle von
Cayley[181] und Eckardt[182] in einigen wertvollen Abhandlungen betrachtet
wurden. Wenn ich dann noch gesagt habe, dass die Untersuchungen von
Salmon,[183] Clebsch,[184] Gordan[185] und de Paolis[186] die {39}
geometrische Bedeutung fuer das Verschwinden der fundamentalen invarianten
Formen der quaternaeren kubischen Form festgestellt haben, welche gleich
Null gesetzt in homogenen Koordinaten eine Flaeche dritter Ordnung
darstellt, dass schliesslich Jordan[187] von Grund auf die Natur der
Gleichung studiert hat, welche zur Bestimmung der Geraden einer kubischen
Flaeche dient, dann glaube ich dem Leser genug Momente an die Hand gegeben
zu haben, um daraus den (von mir eben angedeuteten) Schluss zu ziehen, dass
die Theorie dieser geometrischen Gebilde, von welchem Punkte man sie auch
betrachten mag, heute einen beachtenswerten Grad der Vollendung erreicht
hat.
Solches kann man jedoch nicht von der Theorie der Oberflaechen vierten
Grades behaupten, vielmehr sind von ihnen nur wenige Klassen genauer
studiert; ueber jede derselben werde ich kurz sprechen. An die erste Stelle
will ich die Developpabele vierter Klasse setzen, die zweien Flaechen
zweiten Grades umbeschrieben ist, und die geradlinigen Flaechen vierten
Grades; jene wurde von Poncelet[188] und Chasles[189] untersucht, diese von
demselben Chasles,[190] von Cayley[191] und vollstaendiger von
Cremona.[192]
Dann lasse ich die Oberflaechen vierter Ordnung folgen, auf welchen Scharen
von Kegelschnitten existieren und welche alle mit ausserordentlichem
Scharfsinne von Kummer[193] bestimmt wurden. Unter diesen sind zwei
besonderer Erwaehnung wert, da sie das Objekt zahlreicher Untersuchungen
gewesen sind: die Oberflaeche vierter Ordnung mit einem Doppelkegelschnitt
und die roemische Flaeche von Steiner.
Von der ersteren entdeckte Kummer im Jahre 1864 die bemerkenswerte
Eigenschaft, dass die ihr doppelt {40} umgeschriebene Developpabele aus
fuenf Kegeln zweiter Ordnung besteht. Gleichzeitig fand Moutard[194]
dieselbe Eigenschaft fuer den Fall, dass die Doppelkurve der Oberflaeche
der unendlich entfernte imaginaere Kugelkreis ist,[195] und er bemerkte
weiter gleichzeitig mit Darboux,[196] dass in diesem Falle die Oberflaeche
zu einem dreifachen Systeme von orthogonalen Oberflaechen, gebildet von
Flaechen derselben Art, gehoeren kann. Von jener Zeit ab wurden die
Oberflaechen vierter Ordnung, welche als Doppelkurve den unendlich
entfernten imaginaeren Kugelkreis haben, wiederholt von Darboux,[197] von
Laguerre (1834-1886)[198] und von Casey[199] studiert; hingegen diejenigen,
welche als Doppelkurve einen beliebigen Kegelschnitt besitzen, von
Cremona,[200] Geiser,[201] Sturm,[202] Zeuthen,[203] von Clebsch,[204]
Korndoerfer,[205] Berzolari[206] und Domsch[207] -- welcher auf sie die
hyperelliptischen Funktionen anwandte -- und diejenigen, welche einen
Kuspidalkegelschnitt haben, von Toetoessy.[208] Was die Klassifikation
dieser Oberflaechen betrifft, so moege {41} es mir gestattet sein, meinen
Namen anzufuehren[209] neben dem meines teuern Freundes Segre.[210]
Die roemische Flaeche von Steiner hat wiederholt die Aufmerksamkeit der
Geometer auf sich gezogen und zwar vorzueglich zweier Eigenschaften wegen;
die eine derselben, naemlich von jeder Tangentialebene in zwei
Kegelschnitten getroffen zu werden, wurde besonders von den Synthetikern
betrachtet, die andere, dass die homogenen Koordinaten ihrer Punkte sich
als ganz allgemeine ternaere quadratische Formen darstellen lassen,[211]
wurde mehr von den analytischen Geometern verwertet. Wer Lust hat, alle
Eigenschaften, die sie besitzt, kennen zu lernen,[212] wird dieselben in
den synthetischen Abhandlungen von Cremona,[213] Schroeter[214] und
Sturm,[215] auf den Seiten, welche Reye ihr in seiner {42} _Geometrie der
Lage_ (2. Bd.) gewidmet hat, und in den analytischen Abhandlungen von
Cayley,[216] Beltrami,[217] Clebsch,[218] Eckardt,[219] Laguerre[220] und
Gerbaldi[221] finden.
Kummer verdanken wir auch die Kenntnis einer anderen wichtigen Klasse von
Flaechen vierter Ordnung; dieselbe besteht aus Oberflaechen, die nicht
singulaere Linien enthalten, sondern nur singulaere Punkte.[222] Wir werden
in kurzem (s. VII) sehen, welche Untersuchungen Kummer zu diesen
Oberflaechen gefuehrt haben; fuer jetzt genuege es, hervorzuheben, dass die
interessanteste unter ihnen (welche man heute die Kummersche Oberflaeche
nennt) 16 singulaere Doppelpunkte und 16 singulaere Tangentialebenen hat
und dass Specialfaelle derselben die Wellenflaeche von Fresnel[223] und das
von Cayley 1846 untersuchte Tetraedroid[224] sind. Eine solche Oberflaeche
ist zu sich selbst dual.[225] Ihre {43} asymptotischen Kurven wurden von
Klein und Lie bestimmt[226] und Reye[227] zeigte, dass jede die Grundkurve
eine Bueschels von Oberflaechen vierter Ordnung ist; zwischen ihnen und den
Thetafunktionen existiert eine innige Beziehung, welche Cayley und
Borchardt (1817-1880)[228] entdeckt haben und die H. Weber[229] zusammen
mit anderen entwickelt hat;[230] die algebraischen Fragen, welche sich an
die Bestimmung ihrer Singularitaeten knuepfen, wurden von Jordan[231]
geloest; endlich kann man dieselbe, wie Rohn[232] es gethan hat,
vermittelst der Theorie der hyperelliptischen Funktionen[233] behandeln.
Indem ich die Oberflaechen vierter Ordnung, welche als Doppelkurve einen in
zwei getrennte oder zusammenfallende Gerade degenerierten Kegelschnitt
haben und andere, mit denen Cayley[234] sich beschaeftigt hat, uebergehe,
will ich noch die Monoide erwaehnen,[235] die von Rohn studiert sind,[236]
und {44} diejenigen Flaechen, welche, ohne geradlinig zu sein, eine gewisse
Anzahl von Geraden enthalten. Dieselben sind der Ort der Punkte, in welchen
vier entsprechende Ebenen von vier kollinearen Raeumen sich schneiden;
Chasles hat ihre Ordnung bestimmt und Schur eine Menge eleganter
Eigenschaften derselben gefunden.[237]
Ich will diesen Abschnitt meiner Musterung beschliessen, indem ich noch
einige Oberflaechen von hoeherer als der vierten Ordnung anfuehre, welche
die Gelehrten schon beschaeftigten. Zuerst verdienen die geradlinigen
Oberflaechen erwaehnt zu werden, welche im allgemeinen von Chasles,[238]
Salmon,[239] Cayley,[240] von Pluecker,[241] La Gournerie (1814-1883),[242]
Voss[243] und im besonderen von Chasles,[244] Cremona,[244] Schwarz,[245]
La Gournerie[246] (Regelflaechen, die in bezug auf ein Tetraeder
symmetrisch sind), von {45} Clebsch,[247] Armenante[248] (rationale und
elliptische Regelflaechen), von Em. Weyr[249] (Regelflaechen, erzeugt durch
die Verbindungslinien entsprechender Punkte zweier gerader Punktreihen in
der Korrespondenz [m, n]), von Ed. Weyr[250] (Oberflaechen, erzeugt durch
die Bewegung eines variabelen Kegelschnittes), von Eckardt[251] und
Chizzoni[252] (Regelflaechen, erzeugt durch die Verbindungslinien
entsprechender Punkte zweier ebener projektiv bezogener Kurven). Dann
folgen solche, die, wenn sie auch nicht Regelflaechen sind, doch Gerade
enthalten und die von Sturm[253] und Affolter[254] untersucht sind, ferner
die algebraischen Minimalflaechen, bei welchen Geiser[255] und Lie[256]
bemerkenswerte Eigentuemlichkeiten fanden. Dann will ich noch einige
Flaechen nennen, die aus einer Oberflaeche zweiten Grades abgeleitet sind
(Ort der Kruemmungscentren; Fusspunktflaechen, Aspidalflaechen etc.), sowie
die Oerter der Spitzen der Kegel zweiten Grades, die m Gerade beruehren und
durch (6-m) Punkte gehen, welche Flaechen eingehend von Chasles,[257]
Lueroth,[258] Hierholzer[259] und von Cayley[260] studiert wurden, da sie
zur Aufloesung gewisser Probleme aus der Theorie der Charakteristiken der
einfach unendlichen Systeme von Kegeln zweiter Ordnung dienten;
schliesslich diejenigen, welche unendlich viele lineare {46}
Transformationen zulassen, die kontinuierlich aufeinander folgen;[261]
diejenigen, welche die eigenen reziproken Polaren in bezug auf unendlich
viele Flaechen zweiten Grades sind,[262] diejenigen, welche durch reciproke
Cremonasche Systeme erzeugt werden,[263] und diejenigen, welche dieselben
Symmetrie-Ebenen wie ein regulaeres Polyeder besitzen.[264]
Die Untersuchungen ueber die Oberflaechen, mit denen wir uns bis jetzt
beschaeftigt haben, behandeln Eigenschaften, welche vermittelst einer wohl
bekannten Betrachtungsweise auf das Gebiet der projektiven Geometrie
zurueckgefuehrt sind oder sich darauf zurueckfuehren lassen. Es giebt aber
noch viele andere Untersuchungen, welche Eigenschaften von ganz anderer Art
behandeln, die groesstenteils auf keine Weise sich als projektiv betrachten
lassen, da die Gruppe der Transformationen, die zu ihnen gehoert, nicht die
der projektiven Geometrie ist.[265] Diese bilden zusammen mit den Studien,
die sich auf die Infinitesimaleigenschaften der Raumkurven beziehen (ueber
welche wir einiges im folgenden Paragraphen sagen werden), einen sehr
wichtigen Zweig der Geometrie fuer sich sowohl, als auch wegen der
Anwendungen, welche man von ihnen in der Geodaesie und der mathematischen
Physik machen kann; man kennt ihn unter dem Namen der
Differentialgeometrie. Ueber die wesentlichen Punkte derselben wollen wir
nun einiges sagen. Und da man den Ursprung dieses Teiles der Geometrie von
dem Erscheinen der _Application de l'Analyse a la Geometrie_[266] {47} von
Monge datieren kann, und das spaetere Werk, welches von groesserem
Einfluesse war, das von Gauss (1777-1855) ist, welches den Titel traegt:
_Disquisitiones generales circa superficies curvas_,[267] so nehmen wir in
unserer kurzen Darlegung die von Monge und Gauss angenommene Einteilung des
Stoffes als Anhalt, indem wir zuerst besprechen, was diese selbst in
Hinsicht auf die von ihnen behandelten Gegenstaende geleistet haben, und
dann vorfuehren, was ihre Nachfolger hinzugefuegt haben.
Der erste Paragraph des Mongeschen Werkes bietet kein besonderes Interesse,
da er nur die Bestimmung der Beruehrungsebenen und Normalen einer
Oberflaeche zum Zwecke hat; er kann also als Einleitung betrachtet werden.
Die vier folgenden Paragraphen behandeln cylindrische Oberflaechen, Kegel-
und Rotationsflaechen und solche, welche (um einen modernen Ausdruck zu
gebrauchen) in einer linearen Kongruenz mit einer unendlich fernen
Leitgeraden enthalten sind. Hoechst bemerkenswert ist der folgende
Paragraph, indem Monge dort bei der Besprechung der Enveloppen den
wichtigen Begriff der Charakteristik und der Rueckkehrkurve (_arete de
rebroussement_) einer Enveloppe eingefuehrt hat; an diesen Paragraphen
schliessen sich die drei folgenden enge an; sie behandeln Roehrenflaechen
mit ebener Leitlinie (s. 7), Flaechen, die als Linien groesster Neigung
gegen eine gegebene Ebene Gerade von konstanter Neigung haben (s. 8), und
schliesslich Enveloppen einer Oberflaeche, die sich unter der Bedingung
bewegt, dass ein mit ihr unveraenderlich verbundener Punkt eine gegebene
Kurve durchlaeuft (s. 9).[268] -- Von da ab beginnt die Theorie der
partiellen {48} Differentialgleichungen die wichtige Rolle zu spielen, die
Monge ihr in der analytischen Geometrie zugewiesen hat; von diesem Punkte
an zeigt es sich, dass es in vielen Faellen fuer die Bestimmung der Natur
einer Oberflaeche nuetzlicher und bequemer ist, eine Differentialgleichung
fuer sie zu haben, als eine solche in endlichen Ausdruecken. Beispiele
hierfuer bieten die Flaechen, die in einem speziellen linearen Komplexe
enthalten sind mit einer unendlich fernen oder endlichen Axe (von Monge im
s. 10 und s. 11 behandelt), fernere Beispiele die abwickelbaren Flaechen
(s. 12), andere die im s. 9 beschriebenen, andere schliesslich die Oerter
beweglicher Kurven, von welchen ein Punkt eine feste Kurve durchlaeuft (s.
14).[269] -- Die Theorie der Kruemmung einer Oberflaeche in einem
Punkte,[270] sowie das Studium der Verteilung der Normalen derselben
Flaeche[271] fuehren zu einer neuen Art von Flaechen, die der Betrachtung
wert sind; jene und diese finden sich im s. 15, der sicherlich einer der
wichtigsten des Mongeschen Werkes ist. Der Spezialfall des Ellipsoides ist
im s. 16 behandelt, derselbe enthaelt die Bestimmung der Kruemmungslinien
dieser Flaeche.[272] -- Gross an Zahl und von grosser Wichtigkeit sind die
Fragen, zu denen die Theorie der Kruemmung Anlass giebt. Man kann z. B. die
Oberflaechen untersuchen, bei denen der eine Kruemmungsradius fuer jeden
Punkt denselben Wert hat; Monge fand (s. 18), dass dieselben von einer
Flaeche von konstanter Form eingehuellt werden, die sich in der {49} vorhin
(in den ss. 9 und 13) angegebenen Weise bewegt. Man kann dagegen auch
voraussetzen, dass in jedem Punkte die beiden Kruemmungsradien gleich und
von gleichem Sinne seien: die Oberflaeche ist dann eine Kugel. Wenn dagegen
die beiden Kruemmungsradien in jedem Punkte gleich, aber von
entgegengesetztem Sinne sind, so ist die Flaeche eine Minimalflaeche.[273]
Oder es sei in jedem Punkte einer der Kruemmungsradien gleich gross (s.
21).[274]
An die Theorie der Kruemmung schliessen sich dann die Studien ueber die
Roehrenflaechen mit beliebiger Leitkurve (ss. 22 und 26) und ueber
diejenigen Flaechen, bei welchen alle Normalen eine gegebene Kugel (s. 23),
einen gegebenen Kegel (s. 24) oder eine gegebene Developpabele (s. 25)
beruehren. -- Fuer einige dieser Flaechenfamilien hat Monge die
Konstruktion angegeben, fuer alle die Gleichungen, sei es die
Differentialgleichungen oder die endlichen, und, da er sich das Problem
gestellt und geloest hat, von jenen zu diesen zu gelangen, so verdient denn
sein grosses Werk, dass es auch von denen, welche sich mit der Analysis des
Unendlichen beschaeftigen, eingehend studiert werde.
Kurz nach dem Erscheinen des Werkes von Monge wurde die
Differentialgeometrie durch eine hoechst wichtige Arbeit bereichert, die
_Developpements de Geometrie_ von Ch. Dupin (1813). In derselben wird unter
anderem der Begriff der konjugierten Tangenten eines Punktes einer
Oberflaeche und der der Indikatrix eingefuehrt; dort sind die
asymptotischen Linien (Haupttangentenkurven)[275] untersucht, und {50} der
beruehmte Satz bewiesen, der unter dem Namen des Dupinschen Theorems
allgemein bekannt ist.
Als Fortsetzung des Mongeschen Werkes kann man die zahlreichen
Untersuchungen ueber Flaechen mit ebenen oder sphaerischen Kruemmungslinien
ansehen, die man Dupin,[276] Alfred Serret (1819-1885),[277] O.
Bonnet,[278] Dini,[279] Enneper (1830-1885),[280] Darboux,[281]
Picart,[282] Lecornu,[283] Dobriner,[284] Voretsch[285] und anderen
verdankt.
Von derselben Art, aber von groesserer Allgemeinheit sind die wichtigen
Untersuchungen von Weingarten ueber solche Oberflaechen, bei denen in jedem
Punkte der eine Kruemmungsradius eine Funktion des anderen ist,[286] welche
Untersuchungen Dini (a. O.), Beltrami[287] und Lie[288] zur Bestimmung der
windschiefen Oberflaechen mit derselben Eigenschaft gefuehrt haben.
Dasselbe kann man von den Untersuchungen sagen, welche man ebenfalls
Weingarten verdankt[289] und die sich auf Oberflaechen beziehen, deren
Normalen eine andere vorgelegte Oberflaeche beruehren. -- Dem s. 20 des
Mongeschen Werkes koennen wir die {51} zahlreichen Abhandlungen
anschliessen, welche die Minimalflaechen behandeln. Wir fuehren zunaechst
die von Steiner[290] und Weierstrass[291] an, die sich mit der allgemeinen
Theorie befassen, dann die von Scherk[292] und Bonnet,[293] welche einige
Spezialfaelle derselben bearbeitet haben; Serret[294] beschaeftigte sich
dann mit solchen, die durch zwei Gerade hindurch gehen, Riemann[295] und
Weierstrass[296] mit solchen, die einen gegebenen Umriss haben, Geiser[297]
mit algebraischen, Noevius[298] mit solchen periodischen, welche unendlich
viele Geraden und unendlich viele ebene geodaetische Linien besitzen;
Catalan[299] mit solchen, die als geodaetische Linie eine Parabel haben,
Henneberg[300] mit denen, welche eine semikubische Parabel als geodaetische
Linie haben; Bonnet[301] untersuchte solche, auf welchen sich eine Schar
von ebenen Kruemmungslinien befindet; Bour[302] diejenigen, welche auf eine
Rotationsflaeche sich abwickeln lassen; Schwarz solche, die durch ein
windschiefes Vierseit bestimmt sind[303] oder die von Kegeln eingehuellt
sind,[304] und solche, die ohne algebraisch zu sein, doch algebraische
Kurven enthalten;[305] {52} Enneper[306] untersuchte diejenigen, welche
unendlich viele Kreise enthalten, u. s. w. Andere Fragen wurden von
Mathet[307] behandelt, von Beltrami,[308] von Lie,[309] Kiepert,[310]
Henneberg,[311] Ribaucour,[312] Bianchi[313] und Pincherle.[314]
Schliesslich ist die Theorie der Minimalflaechen einer bemerkenswerten
Erweiterung faehig, die von Lipschitz[315] entdeckt wurde.
Wir gehen jetzt dazu ueber, kurz auseinander zu setzen, welches die
hervorragenderen Stellen des zweiten Werkes sind, dem wir, wie schon
gesagt, die wichtigsten Lehren der Differentialgeometrie verdanken, der
_Disquisitiones generales circa superficies curvas_ von Gauss.
Schon zu Ende des ersten Paragraphen derselben finden wir einen hoechst
wichtigen Begriff, naemlich den der sphaerischen Abbildung einer
Oberflaeche, dessen Fruchtbarkeit vielfache Anwendungen, die von ihm
gemacht sind, dargethan haben. Kurz darauf (s. IV) treffen wir die zwei
unabhaengigen Veraenderlichen, vermittelst derer man die Koordinaten der
Punkte einer Oberflaeche ausdrueckt, d. h. die krummlinigen Koordinaten auf
einer Oberflaeche. (Vgl. auch die ss. XVII und XIX). Dann enthaelt s. VI
die Erweiterung der Betrachtung, die man gewoehnlich zur Grundlage der
Theorie der Kruemmung der ebenen und unebenen Kurven nimmt, auf den Raum,
aus welcher Erweiterung der Begriff des Kruemmungsmasses einer Oberflaeche
in einem {53} gewoehnlichen Punkte hervorgegangen ist.[316] Bekanntlich ist
dasselbe gleich dem Produkte aus den beiden Hauptkruemmungsradien der
Flaeche in jenem Punkte[317] (s. VIII). Das Kruemmungsmass einer
Oberflaeche kann man sowohl durch die gewoehnlichen kartesischen
Koordinaten (ss. VII und IX) als auch durch die krummlinigen Koordinaten
der Oberflaeche ausdruecken (ss. X und XI).[318]
Bei der Untersuchung dieses letzteren Ausdruckes bieten sich die
Coefficienten E, F, G des Ausdruckes des Kurvenelementes dar, deren
Bedeutung in der Theorie der Oberflaechen, die auf eine andere abwickelbar
sind[319] (s. XII), Gauss zuerst hervorgehoben hat. Dabei stellte er eine
neue Betrachtungsweise der Oberflaechen auf (s. XIII), indem er dieselben
als unendlich duenne, biegsame und unausdehnbare Koerper ansah. Die
folgenden Paragraphen der Abhandlung von Gauss behandeln die geodaetischen
Linien und haben die Bestimmung ihrer Differentialgleichungen zum Zwecke
(s. XIV und XVIII), dann die Uebertragung der Polarkoordinaten, des Kreises
(s. XV), der Parallelkurven (ss. XVI), auf die Geometrie auf einer
Oberflaeche, sowie die Berechnung der totalen Kruemmung eines geodaetischen
Dreiecks (s. XX). Die ss. XXI und XXII beziehen sich auf die Transformation
des Ausdruckes fuer das Kurvenelement, die uebrigen behandeln andere Fragen
aus der Geodaesie und duerften daher unsere Aufmerksamkeit nicht auf sich
ziehen.
{54}
Schon aus diesen fluechtigen Andeutungen ersieht man, wie reich an
fundamentalen Begriffen die Abhandlung von Gauss ist. Die Entwickelungen,
die sie gehabt, und die vielen Arbeiten, welche sie hervorgerufen, und von
denen wir noch kurz zu sprechen haben, werden ihre Bedeutung noch klarer
machen. Unter diesen Arbeiten muss man den schoenen _Ricerche di analisi
applicata alla geometria_, die Beltrami im zweiten und dritten Bande des
_Giornale di Matematiche_ veroeffentlicht hat, eine hervorragende Stelle
einraeumen, dann den Abhandlungen von demselben Verfasser _Dalle variabili
complesse su una superficie qualunque_,[320] _Teoria generale dei parametri
differenziali_[321] und _Zur Theorie des Kruemmungsmasses_.[322]
Bemerkenswert sind ferner die Studien von Bonnet[323] und von Darboux[324]
ueber die sphaerische Abbildung der Oberflaechen, die sich an die ersten in
den _Disquisitiones_ enthaltenen Untersuchungen anknuepfen. Der Begriff der
Kruemmung fuehrte zum Studium der Oberflaechen mit konstanter (positiver
oder negativer) Kruemmung, dem so viele ausgezeichnete Geometer ihre
Kraefte gewidmet haben. Unter diesen fuehren wir die zwei Arbeiten von
Beltrami an: _Risoluzione del problema. Riportare i punti di una superficie
sopra un piano in modo che le geodetiche vengano rappresentate da linee
rette_[325] und _Saggio di una interpretazione della Geometria
non-euclidea_,[326] dann die Schriften von Dini,[327] Lie,[328] {55}
Bianchi,[329] Baeklund,[330] Darboux[331] und Dobriner.[332] Von derselben
Art, aber allgemeiner, sind die Studien von Christoffel[333] ueber die
Bestimmung der Gestalt einer Oberflaeche mit Hilfe von auf ihr selbst
genommenen Massen und von Lipschitz[334] ueber die Oberflaechen, welche
bestimmte auf die Kruemmung bezuegliche Eigenschaften haben, oder bei
welchen der Ausdruck des Kurvenelements von vornherein festgesetzt ist.