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* * * * *
DIE HAUPTSAECHLICHSTEN
THEORIEN DER GEOMETRIE
IN IHRER FRUEHEREN
UND
HEUTIGEN ENTWICKELUNG.
HISTORISCHE MONOGRAPHIE
VON
DR. GINO LORIA,
PROFESSOR DER HOEHEREN GEOMETRIE AN DER UNIVERSITAET ZU GENUA.
------
UNTER BENUTZUNG ZAHLREICHER ZUSAETZE UND VERBESSERUNGEN SEITENS DES
VERFASSERS
INS DEUTSCHE UEBERTRAGEN
VON
FRITZ SCHUETTE.
MIT EINEM VORWORTE VON PROFESSOR R. STURM.
LEIPZIG,
VERLAG VON B. G. TEUBNER.
1888.
* * * * *
Druck von B. G. Teubner in Dresden.
* * * * *
Seiner teueren Mutter
als schwaches Unterpfand inniger Liebe
widmet diese Arbeit
der Verfasser.
{III}
* * * * *
Vorwort.
------
Diese deutsche Uebersetzung der im vergangenen Jahre in den _Memorie della
Reale Accademia delle Scienze di Torino_ (Ser. II, Bd. 38) erschienenen
Monographie des Herrn Gino Loria: _Il passato e il presente delle
principali teorie geometriche_, welche mein Schueler Herr Fritz Schuette
angefertigt hat, begleite ich gern mit einem empfehlenden Vorworte, nachdem
ich sie mit der Originalschrift und den handschriftlichen Zusaetzen und
Verbesserungen des Herrn Verfassers in Bezug auf ihre Richtigkeit
verglichen habe.
Eine Geschichte der Geometrie unserer Zeit, in der jedes Jahrzehnt uns mehr
vorwaerts bringt, als es frueher in einem Jahrhundert geschah, welche uns
zu ungeahnten allgemeinen Anschauungen gefuehrt hat, zu besitzen, ist der
Wunsch aller Geometer; aber wir wissen auch alle, wie unvergleichlich
schwerer die Aufgabe, eine solche zu schreiben, heute ist als vor fuenfzig
Jahren, wo der _Apercu historique_ von Chasles erschien.
Herr Loria will seine "Chronik", wie er seine Schrift in der Einleitung
nennt, nur als eine Vorarbeit angesehen haben, welche zur Inangriffnahme
des grossen Werkes der Abfassung einer Geschichte der modernen Geometrie
anspornen und diesem Werke dienen soll. Der Umfang, den er zunaechst seiner
Arbeit gegeben hat, bringt es, wie er selbst mehrfach bemerkt, freilich mit
sich, dass die Darstellung bisweilen auf eine blosse Aufzaehlung von Namen
und Schriften hinauslaeuft. Aber auch in diesem engeren Rahmen ist es,
meine ich, dem {IV} Verfasser gelungen, dem Leser, als welchen ich mir in
erster Linie einen Studierenden vorstelle, der schon etwas ueber die
Anfaenge hinaus ist, eine anschauliche Uebersicht der hauptsaechlichsten
Untersuchungsrichtungen der Geometrie unserer Zeit vorzufuehren; fuer alle
Geometer aber werden die reichhaltigen Litteraturnachweise von grossem
Werte sein. Etwaige Luecken in denselben wird jeder, der unsere fast
unuebersehbare und den wenigsten vollstaendig zugaengliche mathematische
Litteratur kennt, dem Verfasser nicht anrechnen, und jede Mitteilung einer
wesentlichen Verbesserung oder Ergaenzung wird er gewiss gern
entgegennehmen, um seine Schrift noch wertvoller zu machen, falls ihr eine
neue Auflage beschieden wuerde.
Die Veraenderungen, welche diese Uebersetzung im Vergleich mit dem
italienischen Originale aufweist, bestehen, ausser stark vermehrten
Litteraturnachweisen, in einer viel eingehenderen Besprechung der
Differentialgeometrie im Abschnitte III und der Umarbeitung der auf die
Gestalt der Kurven und der Oberflaechen und die abzaehlende Geometrie
bezueglichen Teile der Abschnitte II und III zu einem besonderen
Abschnitte.
Muenster i. W., Ende Mai 1888.
R. STURM.
{V}
* * * * *
Inhaltsverzeichnis.
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Seite
Einleitung 1
I. Die Geometrie vor der Mitte des 19. Jahrhunderts 3
II. Theorie der ebenen Kurven 21
III. Theorie der Oberflaechen 31
IV. Untersuchungen ueber die Gestalt der Kurven und Oberflaechen.
Abzaehlende Geometrie 60
V. Theorie der Kurven doppelter Kruemmung 71
VI. Abbildungen, Korrespondenzen, Transformationen 80
VII. Geometrie der Geraden 98
VIII. Nicht-Euklidische Geometrie 106
IX. Geometrie von n Dimensionen 115
Schluss 124
Abkuerzungen fuer die haeufig erwaehnten Zeitschriften 130
Verzeichnis der verstorbenen Geometer, deren Lebenszeit angegeben ist 132
{1}
* * * * *
Einleitung.
------
"Apres six mille annees d'observations l'esprit humain n'est pas
epuise; il cherche et il trouve encore afin qu'il connaisse qu'il peut
trouver a l'infini et que la seule paresse peut donner des bornes a ses
connaissances et a ses inventions." -- Bossuet.
Die Fortschritte der exakten Wissenschaft im allgemeinen und der Mathematik
im besonderen[1] sind in diesen letzten Zeiten so betraechtlich gewesen,
fortwaehrend folgen weitere nach, so schnell und unaufhaltsam, dass sich
lebhaft das Beduerfnis fuehlen macht, einen Rueckblick auf den schon
gemachten Weg zu werfen, welcher den Anfaengern ein leichteres Eindringen
in die Geheimnisse derselben und den schon Vorgeschrittenen ein sichereres
Urteil gestattet, welches die Probleme sind, deren Loesung am dringendsten
ist.
Der Wunsch, diesem Beduerfnisse zu entsprechen, soweit es die Geometrie
anlangt, d. h. soweit es den hoeheren Teil {2} unserer positiven Kenntnis
betrifft -- da, wie Pascal sagte, tout ce qui passe la geometrie nous
surpasse -- ist es, der mich veranlasst, vorliegende Abhandlung zu
schreiben.
Moege dieser unvollkommene Abriss die Veranlassung sein zu einer Schrift,
die der Erhabenheit ihres Zieles wuerdig ist; moege diese duerftige Chronik
der Vorlaeufer sein einer "Geschichte der Geometrie in unserem
Jahrhundert". {3}
* * * * *
I.
Die Geometrie vor der Mitte des 19. Jahrhunderts.
------
"Alle Entwickelungsstufen der Zivilisation sind so eng miteinander
verknuepft, dass man vergebens versuchen wuerde, irgend einen Zweig der
Geschichte von einer bestimmten Epoche ab zu studieren, ohne einen Blick
auf die vorhergehenden Zeiten und Ereignisse zu werfen."[2] Wenn das im
allgemeinen wahr ist, so wird es doppelt der Fall sein "bei einer
Wissenschaft, die so konservativ ist, wie die Mathematik, welche das Werk
der vorhergehenden Periode nicht zerstoert, um an dessen Stelle neue Bauten
zu errichten".[3] Daher ist es unerlaesslich, dass ich, bevor ich an das
eigentliche Thema dieser Abhandlung herantrete, d. h. bevor ich ueber die
moderne Geometrie spreche, kurz angebe, auf welche Weise die Geometrie zu
dem Standpunkte gelangt ist, von welchem ab ich vorhabe, ihre Entwickelung
eingehender zu verfolgen.
Den ersten Ursprung der geometrischen Untersuchungen festzustellen, ist ein
fast unausfuehrbares Unternehmen. Die taeglichen Erfahrungen jedes
denkenden Menschen fuehren auf eine so natuerliche Weise zur Vorstellung
der einfacheren geometrischen Formen und zur Erforschung ihrer
gegenseitigen Beziehungen, dass man vergebens versuchen wuerde, den Namen
desjenigen zu nennen, der zuerst Geometrie betrieben hat, und anzugeben, zu
welcher Zeit sie entstanden ist. Daher sind die Kenntnisse, welche man
ueber die ersten Spuren dieser Disziplin hat, sehr unbestimmt; wer sich {4}
vornimmt, sie festzustellen, den umhuellt, wenn nicht voellige Finsternis,
so doch nur ein wenig Daemmerlicht, welches ihm nur gestattet, die Umrisse
bedeutenderer Bruchstuecke, welche sich den Unbilden der Zeit entzogen
haben, zu erkennen. So kann ein solcher feststellen, dass die aeltesten
geometrischen Studien von den Aegyptern gemacht sind, und kann die
Erzaehlung Herodots wiederholen, nach welcher diesem Volke ein sehr
wirksamer Antrieb, sich mit Geometrie zu befassen, durch die periodischen
Ueberschwemmungen des Nils gegeben wurde, welche, indem sie die Grenzen
zwischen den kleinen Besitzungen, in die Aegypten unter seine Einwohner
verteilt war, verwischten, sie noetigten, dieselben jedes Jahr wieder
herzustellen.[4] Die Haltbarkeit dieser Hypothese, um die Thatsache zu
erklaeren, dass in Aegypten die Wissenschaft, von der wir handeln, eifrig
betrieben sei, wird durch die praktische Natur der Gegenstaende bewiesen,
welche dort eingehender behandelt wurden: specielle Konstruktionen,
Messungen von Laengen, Flaecheninhalten, Volumen u. s. f.[5]
Indem die Kenntnisse der Aegypter nach Griechenland uebergingen, erhielten
sie durch Thales (640-540)[6] und die Anhaenger der ionischen Schule,
welche er gruendete, eine wissenschaftlichere Gestalt. Thales ist in der
That der erste, der sich damit beschaeftigt hat, die von den Aegyptern
entdeckten Saetze und einige andere streng zu beweisen. Jedoch erhob sich
die Geometrie unter seinen Haenden noch nicht zur wahren Wissenschaft;
diese Wuerde erlangte sie erst {5} durch die Untersuchungen des Pythagoras
(nach einigen 569-470, 580-500 nach anderen) und seiner Schueler.
Ungluecklicher Weise aber bestand eine der Regeln, welche die Pythagoraeer
strenge beobachten mussten, darin, dass sie die Lehren, welche der Meister
vortrug, geheim halten mussten; daher kam es, dass der geometrische Teil
derselben allen, die nicht dieser Schule angehoerten, unbekannt blieb. Aber
nachdem das Haupt gestorben war, da suchten seine Anhaenger, als sie bei
den inneren Kaempfen, welche die Republiken Grossgriechenlands zerrissen,
besiegt worden waren, Zuflucht in Athen und offenbarten dort, von der Not
getrieben, die Geheimnisse, welche sie bis dahin so strenge verwahrt
hatten. Und der wohlthaetige Einfluss einer groesseren Verbreitung dessen,
was die Pythagoraeer von der Mathematik wussten, ist durch die wichtigen
Forschungen offenbar geworden, welche in der Folgezeit die griechischen
Gelehrten in der Periode, welche zwischen Pythagoras und Plato (429-348)
liegt, gemacht haben. Sie koennen in drei Kategorien geteilt werden,
benannt nach den beruehmten Problemen: der Dreiteilung des Winkels, der
Verdoppelung des Wuerfels, der Quadratur des Kreises, und fuehrten zur
Vervollkommnung des mehr elementaren Teiles der ebenen Geometrie.
Plato verdanken wir den ersten Anstoss zum methodischen Studium der
Stereometrie, und das ist nicht das Einzige, wofuer der goettliche
Philosoph auf den Dank der Geometer Anspruch erheben koennte; denn ihm ist
auch die analytische Methode zuzuschreiben, deren Macht allen bekannt ist,
und seiner Schule (Akademie) die Lehre von den Kegelschnitten und, was
nicht weniger wichtig ist, die von den geometrischen Oertern.
Aus diesen gedraengten Angaben[7] wird man leicht entnehmen koennen, dass
die Bemuehungen der angefuehrten Geometer zu einer Fuelle von Eigenschaften
der Figuren und zu Methoden, sie zu erklaeren, gefuehrt und die Elemente
fuer eine methodische Behandlung der Geometrie vorbereitet hatten. {6}
Daher dauerte es nicht lange, dass vollstaendige Zusammenstellungen dessen,
was entdeckt war, erschienen. Von vielen kennen wir nur die Existenz; nur
eine einzige ist uns vollstaendig erhalten worden, _die Elemente_ des
Euklides, und das glaenzende Licht, welches von ihnen ausgeht, fuehrt uns
zu der Vermutung, dass alle die anderen Zusammenstellungen durch die
Vergleichung mit ihnen verdunkelt sind.
Mit diesem Buche, welches nach zweitausend Jahren noch als einzig angesehen
wird, "von dem man fuer die Entwickelung der Jugend diejenigen Resultate
erhoffen kann, mit Ruecksicht auf die bei allen zivilisierten Nationen der
Unterricht in der Geometrie eine solch bedeutende Stellung in der Erziehung
der Jugend inne hat",[8] nimmt die wahre Wissenschaft der Geometrie ihren
Anfang. Es ist das granitene Piedestal, auf welchem der grossartige Bau der
griechischen Mathematik sich erhebt, auf dessen Gipfel sich die anderen
Werke Euklids und die unsterblichen Arbeiten von Archimedes (287-212),
Eratosthenes (276-194) und Apollonius (ca. 200 v. Ch.) befinden.[9]
Diese beruehmten Gelehrten bezeichnen den Hoehepunkt der griechischen
Wissenschaft; nach ihnen beginnt die Periode des Verfalles, ja sogar, trotz
einiger wichtiger Untersuchungen eines Hipparch (161-126) und eines
Ptolomaeus (125 bis ungefaehr 200), trotz der Arbeit eines genialen
Kommentators, wie Pappus war (derselbe lebte gegen Ende des {7} dritten
Jahrhunderts unserer Zeitrechnung), kommen wir nach und nach zu einer
Periode voelliger Unthaetigkeit auf dem Gebiete der Geometrie.
Die Roemer, die Eroberer und Gesetzgeber der Welt, scheinen jedes
Untersuchungsgeistes zu entbehren, und wenn die Geometrie in der Epoche, in
welcher sie herrschten, nicht ganz verfiel, so geschah das dank ihren
Agrimensoren, welche jedoch bei ihren Operationen nur eine Genauigkeit zu
erreichen suchten, die fuer die Beduerfnisse des taeglichen Lebens
ausreicht.[10]
{8}
Auch das Mittelalter kann keine Veranlassung geben zu einer laengeren
Eroerterung. Die dichte Finsternis, welche in dieser Zeit die ganze
Menschheit bedeckte, gestattete nicht das Auftreten eines Gelehrten, dem
man irgend einen bemerkenswerten Fortschritt in der Geometrie verdankt. Man
kann nur erwaehnen, dass die vielfachen in dieser Zeit errichteten heiligen
Bauwerke, die nach dem Ausspruche eines grossen Dichters so zahlreich und
kuehn waren, weil sie die einzigen der menschlichen Intelligenz damals
erlaubten Aeusserungen darstellen, Kunde davon geben, dass derjenige Teil
unserer Wissenschaft, der jedem Baumeister unentbehrlich ist, auch in
dieser Zeit im allgemeinen bekannt war.
Diese fuer unsere Wissenschaft so traurige Zeit kann man als beendet
ansehen mit Leonardo Fibonacci (etwa 1180-1250); erst als von diesem
ausgezeichneten Gelehrten die Algebra nach Europa uebergefuehrt worden war,
und seine hervorragenden Arbeiten ihren Einfluss ausuebten, da hatte diese
Periode der wissenschaftlichen Unthaetigkeit ein Ende, und es beginnt eine
neue Zeit, deren wir Italiener uns mit Stolz erinnern muessen, da in ihr
unser Vaterland das Scepter der Mathematik inne hatte. Jedoch gravitierte
diese Periode, wenn sie auch von grosser Bedeutung fuer die analytischen
Untersuchungen ist, nicht in merklicher Weise nach den geometrischen.
Cardano (1501-1576), Scipio Ferro (?-1525), Tartaglia (1500-1559), Ludovico
Ferrari (1522-1565) und andere weniger bedeutende, die dieser Periode
angehoeren, haben den Ruhm, in unserem Lande die Entwickelung eines der
wichtigeren Teile der Analysis, naemlich der Theorie der Gleichungen,
bewirkt zu haben, sowie auch die Vervollkommnung einiger der schwierigsten
Teile derselben gefoerdert zu haben, dank den oeffentlichen
wissenschaftlichen Herausforderungen, welche eine charakteristische
Eigentuemlichkeit dieser Zeit waren. Hingegen ueberlieferten {9} sie die
Geometrie ihren Nachkommen fast in demselben Zustande, in welchem sie
dieselbe von den Griechen und den Arabern erhalten hatten.[11]
Nach dem Tode dieser tapferen Kaempen ging der Primat in der Mathematik
ueber die Alpen und wurde von Frankreich infolge der Verdienste eines Vieta
(1540-1603) und eines Fermat (1590-1663) uebernommen. Durch sie bereicherte
sich die Geometrie mit Loesungen, die man vorher vergebens gesucht hatte.
Auch wurden einige Werke des Apollonius, deren Verlust man beklagt hatte,
wieder hergestellt.
Nicht viel spaeter vermehrten Pascal (1623-1662) und Desargues (1593-1662)
das Erbteil der Geometrie mit originellen Gesichtspunkten, mit neuen
Methoden und neuen Saetzen[12]. Aber die von ihnen ausgesprochenen Ideen
blieben {10} viele Jahre hindurch unfruchtbar, weil sie von dem
analytischen Geiste, dessen ueberwiegender Einfluss sich schon geltend
gemacht hatte, unterdrueckt wurden.
Gleichwohl war im 17. Jahrhundert das Vorwiegen der Analysis noch nicht ein
solches, dass es die Geometer die Probleme, deren Loesung man seit langer
Zeit und so lebhaft gewuenscht hatte, vergessen liess. Zwischen den
Bestrebungen dieser Zeit und den Wuenschen der Gelehrten erhob sich in der
Folge ein Wettkampf eigener Art, und aus dem Zusammenstosse
verschiedenartiger Ansichten und Bestrebungen entsprang ein Funke, der
faehig war, eine Flamme zu erregen, welche die kommenden Generationen
erleuchten sollte;[13] es entstand die analytische Geometrie (1637).
Wenn man auch schon in einigen Methoden der griechischen Geometer, in
einigen praktischen Regeln der Maler, der aegyptischen Astronomen und der
roemischen Agrimensoren Spuren von dem finden kann, was wir heute
rechtwinkliges Cartesisches Koordinatensystem nennen; wenn auch schon die
Araber und die italienischen Algebraiker aus der Renaissancezeit
geometrische Betrachtungen auf die Loesung der Gleichungen angewandt
hatten,[14] wenn auch schon Vieta die Abscissen gebraucht hatte, um
vermittelst Zahlen die Punkte einer Geraden zu bestimmen, wenn schliesslich
Nicolaus Oresme (ca. 1320-1382) und Fermat mehr oder weniger bewusst sich
der Koordinaten bedient haben; so scheint doch ganz unbestreitbar Descartes
(1596-1650) der erste zu sein, welcher in ihrer ganzen Ausdehnung die volle
Einsicht von der Moeglichkeit, mit den algebraischen Rechnungszeichen die
nach irgend einem Gesetze aufgebauten Formen des Raumes darzustellen,
gehabt und der den ganzen Vorteil, den die Analysis und die Geometrie aus
ihrer {11} unerwarteten Vereinigung ziehen koennen, erkannt hat. Mit Recht
wird daher Cartesius' Namen immer mit der Entdeckung der analytischen
Geometrie verbunden bleiben.[15]
Die Leichtigkeit, mit welcher dieses neue Werkzeug Fragen zu loesen
gestattete, welche die Alten fuer unangreifbar hielten, liess die
Zeitgenossen und unmittelbaren Nachfolger Descartes' die von Euklides,
Archimedes und Apollonius eroeffneten Wege ganz vergessen, so dass wir eine
Zeitlang niemanden finden, der, um zu irgend einer wichtigen Wahrheit zu
gelangen, sie eingeschlagen haette.
Die kurz nach Descartes gleichzeitig von Leibniz (1646-1716) und Newton
(1642-1727) neu erfundenen Rechnungsarten betonten gerade diese Richtung,
da sie bewirkten, dass man sich um diejenigen Probleme nicht bekuemmerte,
deren Loesung nicht geeignet war, die Allmacht der Methoden, welche die
Welt diesen unsterblichen Geistern verdankt, hervortreten zu lassen,
derartig, dass man sagen kann, dass mit Ausnahme der _Philosophiae
naturalis principia mathematica_ (1686) von Newton und einiger Seiten von
Huygens (1629-1695),[16] von La Hire (1640-1718),[17] von Halley
(1656-1742),[18] Maclaurin (1698-1746),[19] Simpson (1687-1768),[20] von
Stewart {12} (1717-1785)[21] keine mathematische Produktion jener Zeit dem
angehoert, was wir heute synthetische Geometrie zu nennen pflegen.[22]
Das hindert aber nicht, dass man diese Periode ohne Bedenken zu den
erfreulichsten fuer die Geometrie rechnen muss. In der That ist der
groessere Teil der Probleme, welche von den Erfindern der
Infinitesimalrechnung und ihren unmittelbaren Schuelern aufgestellt oder
geloest worden, unter die wichtigsten der ganzen Geometrie zu rechnen, da
sie die interessantesten und verstecktesten geometrischen und mechanischen
Eigenschaften der Kurven und Oberflaechen beruehren. Wir sehen daher, dass
nicht allein die Zahl der Kurven, welche einer naeheren Betrachtung wert
sind, sich ausserordentlich vermehrt,[23] sondern auch -- was viel
wichtiger ist --, dass die Betrachtung von Singularitaeten einer Kurve und
anderer neuer mit dieser verbundener Elemente eingefuebrt wird, und dass
infolge dessen Untersuchungsgebiete sich eroeffnen, deren Existenz man
vorher gar nicht geahnt hatte.
Die Leichtigkeit, welche die Cartesische Methode in der Aufloesung einer so
grossen Anzahl von planimetrischen Aufgaben mit sich brachte, trieb
natuerlich die Geometer an, {13} eine aehnliche fuer das Studium der
Raumkurven und der Oberflaechen zu schaffen. Daher entstand eine
Verallgemeinerung dieser Methode, welche Descartes schon angedeutet hatte,
und die Schooten (16..-1661)[24] in weiterer Ausfuehrung veroeffentlichte.
Diese Andeutungen liessen bei Parent (1666-1716) den Gedanken entstehen,
eine Oberflaeche durch eine Gleichung zwischen den drei Koordinaten eines
ihrer Punkte darzustellen,[25] und bereiteten deshalb die analytische
Geometrie dreier Koordinaten vor, welche im Jahre 1731 einen wesentlichen
Teil der Mathematik zu bilden begann infolge einer klassischen Abhandlung
von Clairaut (1715-1765),[26] in welcher er im Alter von nur 16 Jahren mit
einer seltenen Eleganz viele von den auf die Kurven doppelter Kruemmung
bezueglichen Problemen loeste, welche ihre entsprechenden in der Ebene
finden. Bald nach Clairaut schuf Euler (1707-1783) die analytische Theorie
der Kruemmung der Oberflaechen (1760)[27] und wandte die analytische
Methode an, um eine Klassifikation der Oberflaechen zweiten Grades zu
erhalten, gegruendet auf analoge Kriterien, wie diejenigen, welche den
Alten dazu gedient hatten, die Kurven zweiter Ordnung in Ellipsen, Parabeln
und Hyperbeln zu unterscheiden. Endlich gehoert der zweiten Haelfte des
vergangenen Jahrhunderts das riesige Werk von Monge (1746-1818) an. Dieser
verschaffte der analytischen Geometrie zweier Koordinaten das Aussehen,
welches sie heute besitzt, indem er den methodischen Gebrauch der Gleichung
einer Geraden einfuehrte. Er stellte den wichtigen Begriff von
Flaechenfamilien auf und, indem er einige derselben behandelte
(Regelflaechen, abwickelbare, Roehrenflaechen, "Surfaces moulures"),
entdeckte er einen versteckten innigen Zusammenhang zwischen der Theorie
der Oberflaechen und der Integration der partiellen
Differentialgleichungen, {14} was Licht in diese, wie in jene Lehre brachte
und den Geometern neue Gesichtspunkte enthuellte.[28]
Die geistige Bewegung, welche mit der Renaissancezeit begonnen und Italien
an ihrer Spitze hatte, pflanzte sich, wie wir schon gesehen haben, zuerst
unter Frankreichs Leitung fort, dann unter der von England und Deutschland.
Aber gegen Ende des 18. Jahrhunderts, als Euler aufgehoert hatte "zu
rechnen und zu leben",[29] stellte sich Frankreich wieder an die Spitze der
mathematischen Welt. Nicht allein mit Clairaut, d'Alembert (1716-1783),
Lagrange (1736-1813), Laplace (1749-1827), Legendre (1752-1833), Poisson
(1781-1840) und anderen gab es den Anstoss zum Studium der reinen und
angewandten Analysis, sondern es kehrten auch mit Monge, Carnot (1753-1823)
und Poncelet (1788-1867) die Gelehrten zum Studium der geometrischen Formen
zurueck, in der Weise, wie es die Alten verstanden.
Monge schuf, indem er zu einem wissenschaftlichen Ganzen die wenigen Regeln
vereinigte, welche die Baumeister und Maler sich geschaffen hatten, um die
Beduerfnisse der Kunst zu befriedigen, und gluecklich die Luecken
ausfuellte, die sich zwischen ihnen noch bemerkbar machten, einen neuen
Zweig der Geometrie, die darstellende Geometrie. Mit seinem klassischen
Buche, welches er dieser Disziplin widmete,[30] und noch viel mehr mit
seinen unvergleichlichen Vorlesungen, die er an der polytechnischen Schule
hielt, brachte er das Studium der Geometrie, welches sich auf die direkte
Anschauung der Figur stuetzt, zu Ehren[31] und, indem {15} er die
Vorstellung der geometrischen Figuren von drei Dimensionen erleichterte,
machte er jene systematische Anwendung von stereometrischen Betrachtungen
auf das Studium der ebenen Figuren moeglich, welche Pappus schon erkannt
hatte.[32]
Der _Geometrie descriptive_ von Monge darf man die _Geometrie de position_
von Carnot[33] an die Seite stellen, weil diese, indem sie mit jener das
Ziel gemeinsam hat, der Geometrie diejenige Allgemeinheit zu verschaffen,
welche man ausschliesslich der Analysis zugetraut hatte, nicht weniger als
jene dazu beitrug, den Aufschwung der reinen Geometrie vorzubereiten,
welchen man von dem Erscheinen des _Traite des proprietes projectives des
figures_ (1822)[34] datieren kann.
Um zu ueberzeugen, wie bemerkenswert dieses Datum sei, wird es genuegen, zu
erwaehnen, dass gerade in dem {16} grossen Werke von Poncelet die Macht der
Zentralprojektion als einer Methode der Demonstration und des Prinzips der
Kontinuitaet als eines Untersuchungsmittels zum ersten Male gezeigt
ist;[35] dass das tiefere Studium der Homologie zweier ebener oder
raeumlicher Systeme in demselben zum Begriffe der Korrespondenz zwischen
zwei Mannigfaltigkeiten zweier oder dreier Dimensionen fuehrte; dass die
Kenntnisse der Alten ueber die Polaritaet in Bezug auf einen Kegelschnitt
und die von der Mongeschen Schule gewonnenen ueber die Polaritaet in Bezug
auf eine Flaeche zweiter Ordnung, die dort zum ersten Male sich vereinigt
finden, das Gesetz der Dualitaet vorbereiteten, welches, von Snellius
(1581-1626)[36] und Viete[37] in der sphaerischen Geometrie erkannt,
bestimmt war, in seiner ganzen Allgemeinheit vier Jahre spaeter von
Gergonne (1771-1859)[38] ausgesprochen zu werden; dass sich schliesslich
dort jene eleganten Untersuchungen ueber die Vielecke, die einem
Kegelschnitt ein- und einem anderen umbeschrieben sind, finden, die Jacobi
(1804-1851), Richelot (1808-1875) und anderen Gelegenheit geben sollten,
davon eine der elegantesten Anwendungen der Theorie der elliptischen
Funktionen zu machen, welche man kennt.[39]
Die Abhandlungen, welche Poncelet der Theorie der harmonischen Mittel, der
reciproken Polaren und der {17} Transversalen widmete, sowie andere weniger
bedeutende von Gelehrten, welche zur Mongeschen Schule gehoerten, fuehren
uns zum Jahre 1837, in welchem Chasles' (1796-1880) _Apercu historique sur
l'origine et le developpement des methodes en geometrie_[40]
veroeffentlicht wurde. In diesem unuebertrefflichen Werke brachte der
Autor, nachdem er in bewunderungswerter Form alles, was das Erbteil der
reinen Geometrie in seiner Zeit bildete, zusammengestellt hatte, die Rechte
zur Geltung, die sie auf die Beachtung der Gelehrten hatte und welche von
den blinden Anbetern der Analysis ihr versagt worden waren, und zeigte
durch wichtige und originelle Untersuchungen, mit welchem Rechte er sich
zum Beschuetzer der Sache der Geometrie gemacht hatte.[41]
Jedoch in dem Zeitraume, welcher zwischen dem Erscheinen des Ponceletschen
Werkes und desjenigen von Chasles liegt, hatte sich Deutschland aus dem
Schlafe geruettelt, in welchen die einschlaefernden Arbeiten der Schule
{18} der Kombinatoriker es versetzt hatten. Dieses Wiedererwachen bedeutete
einen neuen Uebergang des Szepters der Mathematik von Frankreich nach
Deutschland.[42] In der That sehen wir durch die Arbeiten von Gelehrten wie
Moebius (1790-1868),[43] Steiner (1796-1863),[44] {19} Pluecker
(1801-1868)[45] und von Staudt (1798-1867)[46] die analytische Geometrie
sich mit Methoden bereichern, von denen wir nicht wissen, ob wir mehr ihre
Eleganz oder ihre Macht bewundern sollen, so der Barycentrische Calcul und
die abgekuerzte Bezeichnung; wir sehen die synthetische Geometrie
Hilfsmittel erwerben fuer das Studium, der Kurven und Oberflaechen, die bis
dahin fuer dieselbe unerreichbar {20} waren, sowie fuer die Gruendung einer
reinen Geometrie der Lage, die ganz und gar unabhaengig ist von dem
Begriffe des Masses. Dank dem von Crelle (1780-1855) in dieser Zeit
gegruendeten Journal (1826), das bald zu verdientem Rufe gelangte,
vorzueglich durch die Abhandlungen Abels (1802-1829), Jacobis und Steiners
verbreiteten sich die eben angefuehrten Resultate schnell. Und so sehen wir
hinter diesen Groessen eine zahlreiche und glaenzende Anzahl von Schuelern,
welche, indem sie Aehren lasen auf den Feldern, die von ihren Meistern
bebaut waren, die Fruchtbarkeit des Samens zeigten, den jene ausgestreut
hatten.
Hiermit will ich den Abriss der geistigen Bewegung, welche die neuesten
geometrischen Untersuchungen vorbereitet hat, geschlossen haben und ich
muss mich nun im einzelnen mit denselben befassen. Um mir nun die
vorgenommene Aufgabe der Darlegung derselben zu erleichtern, werde ich
meine Darstellung in verschiedene Teile teilen. Zuerst will ich mich mit
der Theorie der ebenen Kurven und der Oberflaechen beschaeftigen, dann,
nach einer kurzen Abschweifung zu den Untersuchungen ueber die Gestalt der
Kurven und Oberflaechen und ueber die abzaehlende Geometrie, werde ich mich
mit den Studien ueber die Raumkurven befassen, um davon zur Darlegung des
Ursprunges und der Entwickelung der Lehre von den geometrischen
Transformationen ueberzugehen; darauf wende ich mich zur Geometrie der
Geraden, um dann mit der Nicht-euklidischen Geometrie und der Theorie der
Mannigfaltigkeiten von beliebig vielen Dimensionen zu schliessen.[47]
{21}
* * * * *
II.
Theorie der ebenen Kurven.
------
Die allgemeine Theorie der ebenen Kurven entstand zugleich mit der
cartesischen Geometrie. Es ist leicht die Gruende fuer die Thatsache
anzugeben, dass das Erscheinen einer so wichtigen Theorie sich bis zu
diesem Zeitpunkte verzoegert hatte. In der That sind ja die Definition der
Ordnung einer Kurve, die daraus folgende Einteilung der Kurven in
algebraische und transcendente, der exakte Begriff einer in ihrer Ordnung
allgemeinen Kurve ihrer Natur nach wesentlich analytische Begriffe. Sie
synthetisch zu bestimmen, ist ein sehr schweres Problem, welches heutzutage
erst den wiederholten Anstrengungen der Geometer zu weichen sich anschickt;
dagegen, wenn man ein Koordinatensystem anwendet, eine wie leichte Sache
ist es dann, diese fundamentalen Begriffe festzustellen, sie unter einander
zu verbinden und aus ihnen interessante Folgerungen zu ziehen!
Die Wahrheit dieser Behauptung finden wir durch die Thatsache bestaetigt,
dass kurz nach Descartes wichtige Eigenschaften, die allen algebraischen
Kurven gemeinsam sind, entdeckt wurden. Solche sind z. B. diejenigen,
welche Newton in den drei beruehmten Theoremen, die in seiner _Enumeratio
linearum tertii ordinis_ (1706) enthalten sind, bekannt gemacht hat; ferner
diejenigen, welche Newtons Schueler Cotes (1682-1716) und Maclaurin als
eine Verallgemeinerung der von Newton entdeckten Eigenschaften gaben;[48]
{22} schliesslich die von Waring (1734-1798)[49] gefundenen. Ueberdies
wurden noch von Maclaurin[50] und Braikenridge (etwa 1700, + nach 1759)[51]
einige interessante organische Erzeugungsweisen von Kurven hinzugefuegt,
die aehnlich denjenigen waren, welche Newton fuer die Kegelschnitte gegeben
hat.[52] Endlich wurden von De Gua (1712-1786)[53] Methoden fuer die
Bestimmung der Singularitaeten der durch Gleichungen definierten ebenen
Kurven angegeben.
Es ist ueberfluessig zu sagen, dass die ersten methodischen Bearbeitungen
der Theorie der ebenen Kurven unter dem Einfluesse der analytischen
Geometrie stehen; wir verdanken solche Euler[54] und Cramer
(1704-1752)[55]. Diese studierten dieselben von Grund auf (kurz
nacheinander, der eine 1748, der andere 1750), indem sie sich vorzugsweise
mit den Singularitaeten befassten, besonders mit den Fragen, welche man
heute mit Hilfe der Geometrie des unendlich Kleinen loest. In dem Werke von
Cramer, das in vielen Beziehungen zu bewundern ist, finden wir auch schon
die ersten Untersuchungen ueber die Schnitte von Kurven und unter diesen
auch den Hinweis auf das, was man spaeter "das Cramersche Paradoxon"
genannt hat; das ist jener scheinbare Widerspruch zwischen der Zahl der
Punkte, die zur Bestimmung einer Kurve von gegebener Ordnung noetig {23}
sind, und der Zahl der Schnitte zweier Kurven derselben Ordnung,[56] ein
Widerspruch, welcher viele Jahre spaeter (1818) von Lame (1795-1870) durch
das beruehmte Prinzip aufgehoben wurde, welches seinen Namen traegt und das
man als den Grundstein jenes gewaltigen Bauwerkes ansehen muss, welches aus
einer Fuelle von Lehrsaetzen von Gergonne,[57] Pluecker,[58] Jacobi,[59]
Cayley[60] errichtet ist, und auf dessen Gipfel die geometrische
Interpretation des beruehmten Abelschen Theorems[61] steht.
Nach den Arbeiten Eulers, Cramers und dem _Examen des differentes methodes
employees pour resoudre les problemes de geometrie_, in welchem Lame mit
grossem Erfolge das vorhin angefuehrte Prinzip auseinandergesetzt und
angewandt hatte, muessen wir uns zu Pluecker wenden, um zu Arbeiten zu
kommen, welche einen bemerkenswerten Fortschritt in der Theorie, die uns
beschaeftigt, bewirken. In dem im Jahre 1835 von diesem ausgezeichneten
Geometer veroeffentlichten _System der analytischen Geometrie_ ist von der
Methode der abgekuerzten Bezeichnung Gebrauch gemacht und dieselbe fuer die
Vervollstaendigung der Klassifikation der kubischen ebenen Kurven benutzt
worden, welche so viele bedeutende Gelehrte unternommen hatten. In der vier
Jahre spaeter gedruckten {24} _Theorie der algebraischen Kurven_[62] findet
sich dann noch ausser einer Aufzaehlung der ebenen Kurven vierter
Ordnung,[63] welche Bragelogne (1688-1744)[64] und Euler[65] nur versucht
hatten, die Aufstellung und Loesung einer Frage von sehr grosser
Wichtigkeit, derjenigen naemlich, die Beziehungen zwischen den Zahlen der
gewoehnlichen Singularitaeten einer ebenen Kurve zu finden. Schon Poncelet
hatte (1818) den Zusammenhang zwischen der Ordnung und der Klasse einer
allgemeinen Kurve ihrer Ordnung gefunden und spaeter den Einfluss eines
Doppelpunktes bestimmt; indem er nun auf diese Resultate das Prinzip der
Dualitaet anwandte, stiess er auf jenen anderen scheinbaren Widerspruch,
welchen wir heute das Ponceletsche Paradoxon nennen, ohne dass es ihm
gelang, dafuer eine vollstaendige Erklaerung zu finden. Das geschah durch
Pluecker vermittelst der beruehmten nach ihm benannten Formeln, welche
gestatten, drei Charakteristiken einer Kurve zu finden (Ordnung, Klasse,
Zahl der Doppelpunkte, der Doppeltangenten, Zahl der Wendetangenten und der
Rueckkehrpunkte), wenn man die uebrigen kennt.
Auf die Frage, welche in einem gewissen Sinne reciprok zu der durch die
Plueckerschen Formeln geloesten ist, ob jeder Loesung derselben eine
wirkliche Kurve entspreche, musste man negativ antworten, da neuere
Untersuchungen {25} dargethan haben, dass fuer gewisse Kurven (die
rationalen Kurven) die Zahl der Rueckkehrpunkte eine gewisse Grenze nicht
uebersteigen kann.[66]
Auf der anderen Frage, die Plueckerschen Formeln auf eine Kurve
auszudehnen, welche mit Singularitaeten hoeherer Ordnung ausgestattet ist,
beruhen die Untersuchungen von Cayley und anderen,[67] welche zu dem
Schluesse gefuehrt haben, dass jede Singularitaet einer Kurve als
aequivalent einer gewissen Anzahl von Doppelpunkten, Spitzen,
Wendetangenten und Doppeltangenten betrachtet werden kann.
Ich fuege noch hinzu, dass man durch Jacobi,[68] Hesse (1811-1874),[69]
Salmon,[70] Cayley[71] und deren zahlreiche Kommentatoren[72] heute im
Besitze eleganter Methoden ist, um analytisch die Wendepunkte einer durch
eine Gleichung gegebenen Kurve, sowie die Beruehrungspunkte ihrer
Doppeltangenten anzugeben.
Dank dem einen der ueberaus wertvollen Lehrbuecher,[73] mit welchen Salmon
so gewaltig zur Verbreitung der neuesten algebraischen und geometrischen
Methoden beigetragen hat, ist es heutzutage leicht, sich ueber diese und
viele andere Fragen, welche sich auf die analytische Theorie der ebenen
Kurven beziehen, eine genaue Kenntnis zu verschaffen.
{26}
Man braucht aber nicht zu glauben, dass bei diesem Studium der
fortwaehrende Gebrauch der Analysis unumgaenglich sei; vielmehr erhob sich
bald neben der Darlegung der Theorie der ebenen Kurven durch Euler, Cramer,
Pluecker, Salmon eine ebenso vollstaendige, aber mehr geometrische Theorie.
In einer beruehmten Mitteilung, die im Jahre 1848 der Berliner Akademie
gemacht wurde, zeigte Steiner, indem er die Theorie der Polaren eines
Punktes in Bezug auf eine Kurve wieder aufnahm, welche Bobillier
(1797-1832) schon vordem[74] als eine Erweiterung der Diametralkurven
Newtons und Cramers aufgestellt, und mit welcher auch Grassmann (1809-1877)
sich beschaeftigt hatte,[75] dass dieselbe als Grundlage fuer ein vom
Gebrauche der Koordinaten unabhaengiges Studium der ebenen Kurven dienen
kann, und fuehrte jene bemerkenswerten zu einer gegebenen Kurve covarianten
Kurven ein, die heute seinen, Hesses und Cayleys Namen tragen. Diese kurzen
Andeutungen, verbunden mit den Untersuchungen von Steiner selbst, von
Chasles[76] und Jonquieres[77] ueber die Entstehung der algebraischen
Kurven vermittelst projektiver Bueschel von Kurven niederer Ordnung,
dienten als Grundlage fuer die _Introduzione ad una teoria geometrica delle
curve piane_,[78] in {27} welcher Cremona in einer einheitlichen Methode
zugleich mit vielen neuen Resultaten alles auseinandersetzt, was
wichtigeres von den analytischen Geometern, die ihm vorhergingen, erhalten
worden war.
Bei dem ausserordentlichen Interesse der Sache scheint es mir auch, dass
man in die Reihe der schon zitierten Arbeiten auch die Serie von
Abhandlungen zu stellen hat, in welchen Clebsch (1833-1872) zuerst die
Algebra der linearen Transformationen auf die Geometrie angewandt hat,
dann, nachdem er die Wichtigkeit des Begriffes des Geschlechtes einer Kurve
ins Licht gestellt, die Anwendung der Theorie der elliptischen[79] und
Abelschen Funktionen auf die Wissenschaft von der Ausdehnung darlegte und
sie fuer das Studium der rationalen und elliptischen Kurven benuetzte.[80]
Es ist wahr, dass Brill und Noether in einer Abhandlung,[81] deren
Bedeutung von Tag zu Tag waechst, gezeigt haben, dass die Theorie der
algebraischen Funktionen in vielen Faellen die der eben angefuehrten
Transcendenten ersetzen kann, aber das vermindert nicht, sondern
vergroessert vielmehr das Verdienst, welches man den Methoden von Clebsch
zuerkennen muss, da die von hervorragenden Geistern gemachten
Anstrengungen, den Gebrauch eines {28} Hilfsmittels vermeiden zu koennen,
der ueberzeugendste Beweis der Macht desselben sind.
Die bis jetzt besprochenen Arbeiten behandeln allgemeine Eigenschaften der
ebenen algebraischen Kurven.[82] Aber an sie reiht sich eine grosse Menge
von schoenen Spezialabhandlungen, welche eine bestimmte Kategorie von
Kurven behandeln; auf diese wollen wir einen kurzen Blick werfen.
Unter ihnen sind vor allen zu bemerken die von Maclaurin,[83] von
Sylvester,[84] Cayley,[85] Salmon,[86] Durege,[87] Cremona,[88] von
Sturm,[89] von Kuepper,[90] Grassmann,[91] Milinowski[92] und von anderen
ueber die Kurven dritter Ordnung,[93] die Kapitel des _Barycentrischen
Calculs_, dann verschiedene Arbeiten von Em. Weyr,[94] von Clebsch und {29}
vielen anderen[95] ueber die rationalen Kurven; die wichtigen
Untersuchungen Steiners und Chasles' ueber die Kurven, die mit einem
Centrum versehen sind,[96] und die von Steiner ueber die dreispitzige
Hypocykloide;[97] ferner die Arbeiten, welche dem Beweise oder der
Verallgemeinerung der dort ausgesprochenen Eigenschaften gewidmet sind,[98]
die interessanten Untersuchungen von Bertini[99] ueber rationale Kurven,
fuer welche man willkuerlich die vielfachen Punkte bestimmen kann, die
wichtigen Studien von Brill ueber die Kurven vom Geschlechte zwei,[100]
dann die eleganten Abhandlungen von Klein und Lie[101] ueber die Kurven,
welche eine infinitesimale Transformation in sich selbst zulassen, endlich
die von Fouret ueber die Kurven, welche die eigenen reciproken Polaren in
bezug auf unendlich viele Kegelschnitte sind,[102] und die von Smith
(1826-1883) ueber die Singularitaeten der Modularkurven.[103]
{30}
Neben diesen verdient dann noch eine hervorragende Stelle die Abhandlung
von Steiner ueber die einer ebenen kubischen Kurve[104] oder einer Kurve
vierter Ordnung mit zwei Doppelpunkten eingeschriebenen Vielecke, auf
welche die juengsten Arbeiten von Kuepper[105] und Schoute[106] von neuem
die Aufmerksamkeit der Gelehrten gelenkt haben. Die Knappheit des Raumes
noetigt mich, fluechtig hinwegzugehen ueber die Untersuchungen von Cayley
_On polyzomal Curves otherwise the Curves_ [Wurzel]u + [Wurzel]v + ... =
0;[107] von Grassmann, Clebsch,[108] Schroeter[109] und Durege,[110]
betreffend die Erzeugung ebener Kurven dritter Ordnung, ueber die von
Lueroth,[111] von Casey,[112] Darboux,[113] Siebeck,[114] von Crone,[115]
Zeuthen[116] und noch anderen ueber einige spezielle ebene Kurven vierter
Ordnung, ueber die von Battaglini, die sich auf die syzygetischen Kurven
dritter Ordnung beziehen,[117] und andere, welche auch eine besondere
Erwaehnung verdienen wuerden.
{31}
Was ich aber nicht mit Stillschweigen uebergehen kann, das sind die
Arbeiten von Hesse ueber die Wendepunkte einer Kurve dritter Ordnung und
ueber die Gleichung, welche zu deren Bestimmung dient;[118] dann die von
demselben Hesse,[119] Steiner,[120] Aronhold[121] (1819-1884) ueber die
Doppeltangenten einer Kurve vierter Ordnung, welche eine hervorragende
Stelle verdienen, da sie viele bemerkenswerte Eigenschaften derselben ins
Licht gestellt haben; dieselben wurden darauf von Geiser[122] durch
stereometrische Betrachtungen dargethan, von Clebsch[123] dagegen und
Roch[124] vermittelst der Theorie der Abelschen Funktionen untersucht.
* * * * *
III.
Theorie der Oberflaechen.
------
Das Streben nach Verallgemeinerung, welches die geometrischen
Untersuchungen leitete, seitdem sich der Einfluss der Analysis auf dieselbe
mehr oder weniger offen geltend gemacht, trieb alsbald die Gelehrten dazu,
sich mit den Erscheinungen des Raumes zu beschaeftigen, welche Analogien
mit den schon in der Ebene betrachteten darbieten. Daher sehen wir denn
auch die Forschungen ueber die Oberflaechen {32} bald denen ueber die
ebenen Kurven folgen. Die Theorie dieser Gebilde ist jedoch neueren
Ursprungs.
Den griechischen Geometern waren in der That nur einige wenige besondere
Oberflaechen bekannt (die Kugel, die Cylinder und Kegel, Konoide und
Sphaeroide, die plektoidischen Oberflaechen und wenige andere). Erst Wren
(1669), Parent und Euler begannen sich mit den Oberflaechen zweiten Grades
zu beschaeftigen, und wir muessen zur Schule von Monge gehen, um die
Eigenschaften von groesserer Wichtigkeit dieser hoechst bemerkenswerten
Oberflaechen anzutreffen.[125] Zu diesen ersten Eigenschaften wurden in
unserem Jahrhundert durch das zahlreiche Heer von Geometern, welche die
Flaechen zweiter Ordnung einer besonderen Betrachtung unterwarfen, viele
andere hinzugefuegt, und dank den Arbeiten so ausgezeichneter Gelehrter,
wie Jacobi,[126] {33} MacCullagh (1809-1847),[127] Chasles,[128]
Hesse,[129] Seydewitz (1807-1852),[130] Schroeter[131] konnte die Theorie
der Oberflaechen zweiter Ordnung in den mehr elementaren {34} Unterricht
eingefuehrt werden und methodisch auf analytischem sowohl wie synthetischem
Wege behandelt werden.[132]
Aber nach der Lehre von den Oberflaechen zweiten Grades entstand und
entwickelte sich alsbald die der Oberflaechen hoeherer Ordnung.
Chasles[133] und Gergonne,[134] als die ersten, entdeckten an diesen
Gebilden wunderbare Eigenschaften. Poncelet bestimmte die Klasse einer in
ihrer Ordnung allgemeinen algebraischen Oberflaeche[135] und eroeffnete so
die Untersuchungen, welche zu den Beziehungen fuehren sollten, mit welchen
Salmon[136] und Cayley[137] die Loesung der analogen Aufgabe zu derjenigen
versuchten, welche Pluecker durch seine beruehmten Formeln geloest hatte.
Jacobi[138] und spaeter Reye[139] beschaeftigten sich mit den Kurven und
Gruppen von Punkten, die durch den Schnitt von algebraischen Oberflaechen
entstehen. Chasles,[140] Cremona,[141] Reye,[139] Escherich,[142]
Schur,[143] mit ihrer {35} Entstehung vermittelst projektiver oder
reciproker Systeme von Oberflaechen niederer Ordnung, Grassmann
(1809-1877)[144] mit anderen Erzeugungsweisen; Salmon,[145] Clebsch,[146]
Sturm,[147] Schubert[148] und andere behandelten eine wichtige Klasse von
Aufgaben, welche sich auf Gerade beziehen, die mit einer gegebenen
Oberflaeche Beruehrungen von vorher bestimmter Ordnung haben; schliesslich
entdeckte Schur vor kurzem eine lineare Konstruktion[149] fuer Flaechen
beliebiger Ordnung. Eine interessante Erweiterung der Polarentheorie der
Oberflaechen beliebiger Ordnung verdanken wir Reye.[150]
Trotz dieser und anderer Arbeiten, die ich der Kuerze halber
stillschweigend uebergehen muss, trotz der schoenen Darlegungen, welche
Salmon[151] und Cremona[152] ueber sie gemacht haben, kann man doch nicht
sagen, dass die Theorie der Oberflaechen weit vorgeschritten sei. Die
Fragen, die noch zu loesen bleiben, sind zahlreich und von fundamentaler
Wichtigkeit, und die Mittel, die zur Ueberwindung der Schwierigkeiten,
welche deren Loesung bietet, zur Verfuegung stehen, sind noch nicht
genuegend vervollkommnet. Vielleicht ist das der Grund dafuer, dass so
viele Gelehrte sich zum Studium besonderer Flaechen wandten, indem sie
hofften, nicht nur auf diesem Felde eine reichlichere Ernte von Wahrheiten
zu machen, sondern auch zu Untersuchungsmethoden zu gelangen, die der
Verallgemeinerung faehig sind. -- Und {36} dass ihre Erwartungen teilweise
nicht getaeuscht worden sind, das beweisen die zahlreichen Resultate, die
man schon ueber die Oberflaechen dritten Grades, sowie ueber einige von der
vierten Ordnung erhalten hat, ueber welche es mir noch obliegt, Bericht zu
erstatten.