beweisen, wohl aber das Verneinende. Das Bejahende wird nicht bewiesen,
weil nicht beide Prämissen bejahend sind. Denn die Konklusion ist
(in dieser Figur) verneinend, das Bejahende aber erhält man, wie wir
gesehen haben, nur dann, wenn beide Prämissen bejahend sind.
Das Verneinende wird so bewiesen. A soll jedem B, aber keinem C
zukommen. Konklusion: B keinem C. Läßt man nun B jedem A, aber keinem C
zukommen, so kommt A notwendig keinem C zu. Denn es entsteht die zweite
Figur, Mittelbegriff: B. Wird aber AB verneinend gesetzt und der andere
Satz bejahend, so erhält man die erste Figur. Denn C kommt jedem A und
B keinem C zu, und so denn B keinem A. Mithin auch A keinem B[F]. Durch
die Konklusion und die eine Prämisse erhält man also keinen Schluß,
wohl aber, wenn man eine andere dazu nimmt[228].
[F] Z. 25 hat Pacius noch: Mittelbegriff ist C, was sich im Text von
Bekker und Waitz nicht findet.
Ist der Schluß nicht allgemein, so wird die allgemeine Prämisse nicht
bewiesen, eben aus dem vorhin angegebenen Grunde; dagegen wird es die
partikuläre, falls die allgemeine Prämisse bejahend ist.
Denn A soll jedem B, aber nicht jedem C zukommen; Konklusion: BC. Läßt
man nun B jedem A, aber nicht jedem C zukommen, so wird A einem B nicht
zukommen; Mittelbegriff: B.
Ist die allgemeine Prämisse aber verneinend, so läßt sich die Prämisse
AC nicht durch Umkehrung von AB beweisen. Denn dann werden entweder
beide Prämissen oder eine verneinende, und mithin wird sich kein Schluß
ergeben. Aber es läßt sich auch ebenso beweisen wie bei den allgemeinen
Sätzen, wenn man nämlich A einem Teile dessen zukommen läßt, von dem
ein Teil B nicht zum Prädikat hat.
Siebentes Kapitel.
[Sidenote: 59 a]
In der dritten Figur kann man, wenn beide Prämissen allgemein gefaßt
sind, nicht auseinander beweisen. Denn Allgemeines wird durch
allgemeine Prämissen bewiesen, der Schlußsatz der dritten Figur ist
aber immer partikulär, und so kann denn offenbar die allgemeine
Prämisse durch diese Figur gar nicht bewiesen werden.
Ist aber die eine Prämisse allgemein, die andere partikulär, so ist der
gedachte Beweis bald möglich, bald nicht: möglich, wenn beide Prämissen
bejahend gefaßt sind und das Allgemeine sich mit dem Unterbegriff
verbindet, nicht möglich, wenn es beim Oberbegriff auftritt.
Denn A komme jedem, B einem C zu; Schlußsatz: AB. Läßt man nun C jedem
A zukommen, so ist zwar bewiesen, daß C einem B, nicht aber, daß B
einem C zukommt. Freilich muß, wenn C einem B, auch B einem C zukommen.
Aber es ist nicht dasselbe, wenn das dem und wenn dem das zukommt,
sondern man muß noch die Bestimmung hinzunehmen: wenn das eine dem
anderen nach einem Teile von dessen Umfange zukommt, dann auch ebenso
umgekehrt. Nimmt man das aber an, so geschieht der Schluß nicht mehr
einzig aus der Konklusion und der anderen Prämisse.
Kommt aber B jedem und A einem C zu, so wird sich der Satz AC beweisen
lassen, wenn man C jedem und A einem B zukommen läßt. Denn wenn C jedem
und A einem B zukommt, so muß A einem C zukommen; Mittelbegriff: B.
Und, wenn die eine Prämisse bejahend, die andere verneinend und die
bejahende allgemein ist, kann die andere bewiesen werden. Denn B komme
jedem C zu und A einem C nicht zu; Schlußsatz: A kommt einigem B zu.
Läßt man nun noch dazu C jedem B beiwohnen, so muß A einigem C nicht
beiwohnen; Mittelbegriff: B.
Ist dagegen die verneinende Prämisse allgemein, so läßt die andere
sich nicht beweisen, außer so wie oben, wenn man das eine einem
Teil des anderen nicht zukommen und das andere einem Teil von eben
jenem zukommen läßt, wie etwa, wenn A keinem und B einem C zukommt;
Schlußsatz: A kommt einigem B nicht zu. Läßt man nun einem Teile
dessen, dessen einem Teile A nicht beiwohnt, C beiwohnen, so muß C
einem B beiwohnen. Anders ist es nicht möglich, durch Umkehrung der
allgemeinen Prämisse die andere zu beweisen, da sich keinerlei Schluß
ergibt.
Man sieht also, daß in der ersten Figur der Beweis zweier Sätze
auseinander durch die dritte und durch die erste Figur zustande kommt:
ist der Schlußsatz bejahend, durch die erste, ist er verneinend, durch
die letzte. Denn man nimmt an: während das eine einem bestimmten
Dritten gar nicht zukommt, kommt das andere jedem zu, was unter ihm
begriffen ist.
In der mittleren Figur beweist man, wenn der Schluß allgemein ist,
durch sie und durch die erste Figur, ist er partikulär, durch sie und
durch die letzte.
In der dritten Figur gehen alle Schlüsse durch diese selbst.
Man sieht aber auch, daß in der dritten und der mittleren Figur die
Schlüsse, die nicht durch diese Figuren selbst zustande kommen,
entweder überhaupt nicht durch Zirkelbeweis errichtet werden können,
oder unvollkommen sind[229].
Achtes Kapitel.
[Sidenote: 59 b]
Die Umkehrung besteht darin, daß man die Konklusion wendet und den
Schluß zieht, daß entweder der Oberbegriff dem Mittelbegriff oder
dieser dem Unterbegriff nicht zukommen kann. Denn wenn die Konklusion
umgekehrt worden ist und die eine Prämisse bleibt, muß die andere
umgestoßen werden, da, wenn sie gelten bliebe, auch die Konklusion
gelten bleiben müßte[230].
Es ist aber ein Unterschied, ob man die Konklusion in
kontradiktorischer oder in konträrer Weise umkehrt. Denn es ergibt
sich nicht derselbe Schluß, wenn man sie so oder so umkehrt, wie
aus dem folgenden klar werden wird. Ich lasse aber kontradiktorisch
entgegengesetzt sein: jedem und nicht jedem zukommen, einem und keinem,
konträr dagegen: jedem und keinem, einem und einem nicht[231].
Denn es sei A als Prädikat von C durch den Mittelbegriff B bewiesen.
Läßt man nun A keinem C zukommen, aber jedem B, so wird B keinem C
zukommen. Und läßt man A keinem, B aber jedem C zukommen, so wird A
nicht jedem B, nicht aber keinem B zukommen, da, wie wir gesehen haben,
das Allgemeine nicht durch die letzte Figur bewiesen wird. überhaupt
kann man den Obersatz nicht allgemein durch die Umkehrung widerlegen.
Denn er wird immer durch die dritte Figur umgestoßen, da sich beide
Prämissen auf den Unterbegriff beziehen müssen.
Und wenn der Schluß verneinend ist, ist es ebenso. Denn es soll durch B
bewiesen sein, daß A keinem C zukommt. Somit wird, wenn man A jedem C
und keinem B zukommen läßt, B keinem C zukommen. Und wenn man A und B
jedem C zukommen läßt, so wird A einem B zukommen. Aber zuerst kam es
keinem zu.
Wird die Konklusion aber kontradiktorisch umgekehrt, so werden auch
die Schlüsse kontradiktorisch und nicht allgemein sein. Denn die eine
Prämisse wird partikulär, und so wird auch die Konklusion partikulär
sein. Es sei der Schluß bejahend, und man nehme die Umkehrung so vor.
Mithin kommt, wenn A nicht jedem C, aber jedem B zukommt, B nicht jedem
C zu. Und wenn A nicht jedem C zukommt, wohl aber B, so A nicht jedem
B. Ebenso, wenn der Schluß verneinend ist. Denn wenn A einem und C
keinem B zukommt, so wird B einigem C nicht zukommen, nicht schlechthin
keinem. Und wenn A einem und B jedem C zukommt, wie anfänglich
angenommen worden ist, so wird A einem B zukommen.
Bei den partikulären Schlüssen werden, wenn die Konklusion
kontradiktorisch umgekehrt wird, beide Prämissen umgestoßen, wenn
konträr, keine. Denn es erfolgt nicht mehr, wie bei den allgemeinen
Schlüssen, eine solche Umstoßung, daß die Konklusion, die sich aus der
Umkehrung ergibt, mangelhaft ist, sondern es erfolgt überhaupt keine
Umstoßung[232].
[Sidenote: 60 a]
Denn es soll bewiesen sein, daß A von einem C gilt. Läßt man nun
A keinem und B einem C zukommen, so wird A einem B nicht zukommen.
Und wenn A keinem C und jedem B zukommt, so kommt B keinem C zu. Und
so werden denn beide Prämissen umgestoßen. Wird aber die Konklusion
konträr umgekehrt, so fällt keine Prämisse. Denn wenn A einem C nicht
zukommt, aber jedem A, so wird B einem C nicht zukommen. Damit ist aber
das ursprünglich Gesetzte noch nicht aufgehoben. Denn B kann einem C
zukommen und einem nicht zukommen. Für den allgemeinen Satz AB aber
ergibt sich überhaupt kein Schluß. Denn wenn A einem C nicht zukommt, B
aber wohl, ist keine von beiden Prämissen allgemein.
Ebenso, wenn der Schluß verneinend ist. Denn wenn man A jedem C
zukommen läßt, werden beide Prämissen umgestoßen, wenn einem, keine.
Der Beweis ist derselbe.
Neuntes Kapitel.
In der zweiten Figur läßt der Obersatz sich nicht so umstoßen, daß er
in sein Kontrarium umschlüge, mag man nun die Umkehrung der Konklusion
so oder so vornehmen. Denn man erhält die Konklusion immer nach der
dritten Figur, und wir haben gesehen, daß in ihr kein allgemeiner
Schluß möglich ist.
Die andere Prämisse dagegen, den Untersatz, kann man in derselben
Weise wie die Konklusion umstoßen, in derselben Weise, das heißt, wenn
man die Konklusion konträr umkehrt, konträr, wenn kontradiktorisch,
kontradiktorisch. Denn A komme jedem B und keinem C zu; Schlußsatz:
BC. Läßt man nun B jedem C zukommen und bleibt AB, so wird A jedem C
zukommen. Denn man erhält die erste Figur.
Kommt aber B jedem und A keinem C zu, so kommt A nicht jedem B zu;
letzte Figur. Kehrt man aber BC kontradiktorisch um, so wird AB in
derselben Weise bewiesen werden, dagegen AC kontradiktorisch. Denn wenn
B einem und A keinem C zukommt, so wird A einem B nicht zukommen.
Und wenn wieder B einem C und A jedem B zukommt, so wird A einem C
zukommen, und so entsteht denn ein Schluß in kontradiktorischer Form.
Und ebenso wird der Beweis zu führen sein, wenn sich die Prämissen (in
Bezug auf Bejahung und Verneinung) umgekehrt verhalten.
Ist der Schluß partikulär, so wird bei konträrer Umkehrung der
Konklusion keine von beiden Prämissen umgestoßen, wie auch nicht in der
ersten Figur, aber bei kontradiktorischer Umkehrung werden es beide.
Denn es sei vorausgesetzt, daß A keinem B und einem C zukommt;
Konklusion BC. Läßt man nun B einem C zukommen und bleibt AB, so wird
die Konklusion besagen, daß A einem C nicht zukommt. Aber damit ist die
anfängliche Voraussetzung nicht umgestoßen, weil es gleichzeitig einem
zukommen und einem nicht zukommen kann.
[Sidenote: 60 b]
Wiederum, wenn B einem C und A einem C zukommt, kann sich kein Schluß
ergeben, weil keine der beiden Voraussetzungen allgemein ist, und so
wird denn AB nicht umgestoßen. Bei kontradiktorischer Umkehrung aber
werden beide Prämissen aufgehoben. Denn kommt B jedem C und A keinem B
zu, dann A keinem C; es sollte aber einem zukommen. Wiederum, wenn B
jedem C und A einem C zukommt, dann A einem B. Derselbe Beweis gilt,
wenn das Allgemeine bejahend ist.
Zehntes Kapitel.
In der dritten Figur wird bei konträrer Umkehrung der Konklusion keine
der beiden Prämissen umgestoßen, der Schluß mag lauten wie er will;
bei kontradiktorischer Umkehrung aber werden es beide und in allen
Schlüssen.
Denn es soll bewiesen sein, daß A einem B zukommt; als Mittelbegriff
sei C angenommen, und die Prämissen seien allgemein. Läßt man nun A
einem B nicht zukommen, B aber jedem C, so erhält man keinen Schluß
mit A und C. Und auch wenn A einem B nicht zukommt, aber jedem C,
erhält man keinen Schluß mit B und C[233].
Ebenso läßt sich unsere Regel beweisen, wenn die Prämissen nicht
allgemein sind. Denn entweder müssen beide Prämissen infolge der
Umkehrung partikulär sein, oder das Allgemeine muß zum Unterbegriff
treten. So aber ergibt sich, wie wir gesehen haben, kein Schluß, weder
in der ersten noch in der mittleren Figur[234].
Aber bei kontradiktorischer Umkehrung werden beide Prämissen
umgestoßen. Denn wenn A keinem B zukommt und B jedem C, dann A keinem
C. Wieder, wenn A keinem B zukommt, aber jedem C, dann B keinem C.
Und ebenso, wenn die eine Prämisse nicht allgemein ist. Denn wenn A
keinem B und B einem C zukommt, wird A einem C nicht zukommen. Wenn
aber A keinem B, aber jedem C zukommt, wird B keinem C zukommen.
Ebenso, wenn der Schluß verneinend ist. Denn es soll bewiesen sein,
daß A einem B nicht zukommt, und BC soll bejahend, AC verneinend sein.
So entsteht dieser Schluß ja. Legt man nun das konträre Gegenteil der
Konklusion zugrunde, so kann sich kein Schluß ergeben. Denn wenn A
einem B und B jedem C zukommt, gab es keinen Schluß mit A und B. Und
ebenso gab es, wenn A einem B und keinem C zukommt, keinen Schluß mit B
und C. So werden denn die Prämissen nicht umgestoßen.
Legt man dagegen das kontradiktorische Gegenteil zugrunde, so werden
sie umgestoßen. Denn wenn A jedem B und B jedem C zukommt, dann A jedem
C; aber es kam keinem zu. Wieder, wenn A jedem B und keinem C zukommt,
dann B keinem C. Aber es kam jedem zu.
[Sidenote: 61 a]
Ebenso wird der Beweis erbracht, wenn die Prämissen nicht allgemein
sind. Denn dann wird AC allgemein und verneinend, der andere Satz
aber wird partikulär und bejahend. Wenn nun A jedem B und B einem C
zukommt, kommt A einem C zu; aber es kam keinem zu. Wieder, wenn A
jedem B, aber keinem C zukommt, so B keinem C. Aber die Voraussetzung
war, daß es einem C zukommt. Wenn aber A einem B und B einem C zukommt,
so ergibt sich kein Schluß. Und, wenn A einem B, aber keinem C
zukommt, ebensowenig. Und so werden die Prämissen denn auf jene Weise
umgestoßen, und auf diese Weise werden sie es nicht.
Man sieht also aus dem Gesagten, wie bei Umkehrung der Konklusion in
jeder Figur ein Schluß zustande kommt, und wann derselbe der Prämisse
konträr und wann er ihr kontradiktorisch gegenübersteht.
Und, daß in der ersten Figur die Schlüsse durch die mittlere und die
letzte Figur zustande kommen, und daß der Untersatz immer durch die
mittlere, der Obersatz durch die letzte Figur umgestoßen wird.
Dagegen in der mittleren Figur durch die erste und die letzte, und daß
der Untersatz immer durch die erste, der Obersatz durch die letzte
Figur umgestoßen wird.
Endlich in der dritten Figur durch die erste und durch die mittlere,
und daß der Obersatz immer durch die erste, der Untersatz durch die
mittlere Figur umgestoßen wird.
Elftes Kapitel.
Was nun die Umkehrung ist und wie bei derselben in jeder Figur ein
Schluß errichtet wird und welcher, haben wir hiermit erklärt. Was aber
den Schluß durch das Unmögliche betrifft, so tritt er auf, wenn man
das kontradiktorische Gegenteil der Konklusion setzt und eine andere
Prämisse hinzu nimmt, und er läuft durch alle Figuren; denn er ist
der Umkehrung gleich, und ein Unterschied besteht nur insoweit, als
man die Umkehrung vornimmt, nachdem ein Schluß geschehen ist und
man sich beider Prämissen versichert hat, dagegen auf das Unmögliche
zurückführt, ohne sich zuvor die Wahrheit seines kontradiktorischen
Gegenteils einräumen zu lassen, da dieselbe vielmehr am Tage liegt[235].
Die Begriffe verhalten sich bei beiden Arten der Folgerung gleich und
werden bei beiden auf dieselbe Weise aufgestellt[236].
Es soll z. B. A jedem B zukommen und C Mittelbegriff sein. Setzt man
nun voraus, daß A entweder nicht jedem oder keinem B zukommt, aber
jedem C, was ja wahr war, so muß C entweder keinem oder nicht jedem B
zukommen. Das ist aber unmöglich und folglich die Voraussetzung falsch,
mithin das Gegenteil wahr. Ebenso in den anderen Figuren. Denn wo
Umkehrung möglich ist, da auch der Schluß durch das Unmögliche.
Alle anderen Sätze nun, um deren Wahrheit es sich fragt, werden in
allen Figuren durch das Unmögliche bewiesen, der allgemein bejahende
Satz aber kann zwar in der mittleren und der dritten Figur so bewiesen
werden, nicht aber in der ersten.
[Sidenote: 61 b]
Denn man nehme an, daß A nicht jedem oder keinem B zukommt, und nehme
noch eine andere Prämisse von der einen oder von der anderen Seite zu
Hilfe, d. h. man lasse entweder C jedem A oder B jedem D zukommen.
Denn so bekommt man die erste Figur. Gilt nun die Annahme, daß A nicht
jedem B zukommt, so ergibt sich kein Schluß, nehme man die Prämisse von
der einen oder von der anderen Seite; soll es aber keinem zukommen, so
wird, falls man die Prämisse BD zu Hilfe nimmt, zwar ein Schluß auf
das Falsche gewonnen, aber es wird nicht bewiesen, was bewiesen werden
soll. Denn wenn A keinem B und B jedem D zukommt, so A keinem D. Das
aber möge unmöglich sein. Mithin ist es falsch, daß A keinem B zukommt.
Aber wenn es falsch ist, daß es keinem zukommt, ist es darum noch nicht
wahr, daß es jedem zukommt. Nimmt man aber die Prämisse CA zu Hilfe,
so erhält man keinen Schluß, wie auch nicht, wenn man A nicht jedem B
zukommen läßt[237].
Man sieht also: daß etwas jedem zukommt, wird in der ersten Figur nicht
durch das Unmögliche bewiesen.
Wohl aber beweist man so in ihr, daß etwas einem und keinem und nicht
jedem zukommt. Denn man nehme an, daß A keinem B zukomme, lasse aber
B jedem oder einem C zukommen. Mithin kommt A notwendig keinem oder
nicht jedem C zu. Das ist aber unmöglich. Denn es möge wahr und
augenscheinlich sein, daß A jedem C zukommt. So muß denn, wenn jenes
falsch ist, A einem C zukommen. Wenn man aber die andere Prämisse zu
A zieht, erhält man keinen Schluß. Auch nicht, wenn man das konträre
Gegenteil der Konklusion annimmt, daß es nämlich einem nicht zukommt.
Man sieht also, daß man das kontradiktorische Gegenteil annehmen muß.
Wiederum, man nehme an, daß A einem B zukomme, und lasse C jedem A
zukommen. Dann muß C einem B zukommen. Das aber möge unmöglich sein,
und so ist denn die gedachte Annahme falsch. Wenn aber das, so ist es
wahr, daß es keinem zukommt. Ebenso, wenn man CA verneinend nimmt.
Nimmt man aber die Prämisse mit B, so entsteht kein Schluß. Nimmt man
aber das Konträre an, so ergibt sich zwar ein Schluß, und es ergibt
sich Unmögliches, aber es wird nicht bewiesen, was man sich vorgesetzt
hatte. Denn man nehme an, daß A jedem B zukomme, und lasse C jedem
A zukommen. So muß C jedem B zukommen. Das ist aber unmöglich, und
so ist es falsch, daß A jedem B zukommt. Aber es braucht noch nicht
notwendig, wenn es nicht jedem zukommt, keinem zuzukommen. Ebenso,
wenn man die andere Prämisse zu B setzt. Denn Schluß und Unmögliches
ergibt sich da zwar, aber die Annahme fällt nicht, und so muß denn das
kontradiktorische Gegenteil die Annahme bilden.
Um aber zu beweisen, daß A nicht jedem B zukommt, muß man annehmen, es
komme jedem zu. Denn wenn A jedem B zukommt und C jedem A, so C jedem
B, so daß, wenn dieses unmöglich ist, die Annahme falsch ist. Ebenso,
wenn man die andere Prämisse zu B setzt. Und wenn CA verneinend ist,
desgleichen. Denn auch so entsteht ein Schluß. Wenn aber die Verneinung
mit B verbunden wird, wird nichts bewiesen.
[Sidenote: 62 a]
Wenn man aber nicht annimmt, daß es jedem, sondern daß es einem
zukommt, so beweist man damit nicht, daß es nicht jedem, sondern daß
es keinem zukommt. Denn wenn A einem B und C jedem A zukommt, wird C
einem B zukommen. Ist das nun unmöglich, so ist es falsch, daß A einem
B zukommt, also wahr, daß es keinem zukommt. Mit diesem Nachweis wird
aber auch das Wahre aufgehoben, da A einem B zukam und einem nicht
zukam. Auch stellt sich das Unmögliche nicht auf Grund der Annahme
ein. Denn sie wäre falsch, da man Falsches nicht aus wahren Prämissen
schließen kann. Nun aber ist sie wahr. Denn A kommt einem B zu. Man muß
also nicht annehmen, daß es einem, sondern daß es jedem zukommt.
Ebenso ist zu verfahren bei dem Beweis, daß A einigem B nicht zukommt.
Denn wenn einigem nicht zukommen und nicht jedem zukommen dasselbe ist,
so fällt beides unter denselben Beweis.
Man sieht also, daß man bei allen Schlüssen nicht das Konträre, sondern
das Kontradiktorische annehmen muß. Denn so stellt sich das Notwendige
ein und macht sich das probable Axiom[238] geltend: wenn alles entweder
zu bejahen oder zu verneinen ist, so knüpft sich an den Beweis, daß
die Verneinung nicht wahr ist, logisch die Folge, daß die Bejahung es
ist; und wieder: läßt man die Bejahung nicht wahr sein, so ist es als
probabel anzusprechen, daß die Verneinung es ist. Das Konträre aber
fügt sich diesem Satz auf keine von beiden Weisen. Denn wenn es falsch
ist, daß etwas keinem zukommt, braucht es nicht wahr zu sein, daß es
jedem zukommt, und es ist nicht probabel, daß wenn das eine falsch ist,
das andere wahr ist.
Zwölftes Kapitel.
Man sieht also, daß in der ersten Figur die Probleme insgesamt durch
das Unmögliche bewiesen werden mit Ausnahme derjenigen, die allgemein
bejahend sind. In der mittleren und der letzten Figur aber werden auch
sie so bewiesen.
Denn man nehme an, daß A nicht jedem B zukommt, lasse aber A jedem C
zukommen. Wenn es nun nicht jedem B, aber jedem C zukommt, so C nicht
jedem B. Das ist aber unmöglich. Denn es möge einleuchtend sein, daß
C jedem B zukommt. Und so ist denn die Annahme falsch, wahr mithin,
daß es jedem zukommt. Nimmt man aber das konträre Gegenteil an, so
ergibt sich zwar ein Schluß und das Unmögliche, aber es wird nicht
bewiesen, was man sich vorgesetzt hatte. Denn wenn A keinem B und jedem
C zukommt, so C keinem B. Das ist aber unmöglich, und so ist es denn
falsch, daß es keinem zukommt. Aber wenn dies falsch ist, ist es noch
nicht wahr, daß es jedem zukommt.
Wenn aber A einem B zukommt, so sei angenommen, daß A keinem B und
jedem C zukommt: mithin notwendig C keinem B. So kommt denn, wenn das
unmöglich ist, A notwendig einem B zu. Nimmt man aber an, daß es einem
nicht zukommt, so stellt sich dieselbe Folge ein wie bei der ersten
Figur[239].
Wiederum, man nehme an, A komme einem B zu, dagegen soll es keinem C
zukommen. Es kommt also C notwendig einem B nicht zu. Aber es kam jedem
zu. Die Annahme ist also falsch, und mithin wird A keinem B zukommen.
[Sidenote: 62 b]
Endlich, wenn A nicht jedem B zukommt, mache man die Annahme, daß es
jedem zukommt, dagegen keinem C. Nun kommt C notwendig keinem B zu. Das
ist aber unmöglich, und so ist es denn wahr, daß es (A) nicht jedem
zukommt.
Man sieht also: in der mittleren Figur können alle Schlüsse durch das
Unmögliche bewiesen werden.
Dreizehntes Kapitel.
Ebenso in der letzten Figur. Man nehme an, daß A einem B nicht
zukomme, dagegen C jedem. Mithin kommt A einem C nicht zu. Wenn das
nun unmöglich ist, so ist es falsch, daß es einem nicht zukommt, also
wahr, daß es jedem zukommt. Nimmt man aber an, daß es keinem zukommt,
so erhält man zwar einen Schluß und ein Unmögliches, aber es wird nicht
bewiesen, was man sich vorgesetzt hatte. Denn wenn man das konträre
Gegenteil annimmt, so ergibt sich dieselbe Folge wie vorhin[240].
Vielmehr muß man diese Annahme machen, um zu beweisen, daß es einem
zukommt. Denn wenn A keinem B und C einem B zukommt, so A nicht jedem
C. Ist das nun falsch, so ist wahr, daß A einem B zukommt.
In dem Falle ferner, wo A keinem B zukommt, nehme man an, daß es einem
zukommt, und dazu lasse man C jedem B zukommen. Also muß A einem C
zukommen. Aber es kam keinem zu, und so ist es falsch, daß A einem B
zukommt.
Wenn man aber annimmt, daß A jedem B zukommt, wird das Beabsichtigte
nicht bewiesen, sondern diese Annahme muß man machen, wenn es nicht
jedem beiwohnen soll. Denn wenn A jedem B und C einem B zukommt, so
A einem C. Dem war aber nicht so, und demnach ist es falsch, daß es
(A) jedem (B) zukommt. Wenn aber das, so ist wahr, daß es nicht jedem
zukommt. Nimmt man aber an, daß es einem zukommt, so ergibt sich
dieselbe Folge wie in den vorgenannten Fällen.
Man sieht also, daß in allen Schlüssen durch das Unmögliche das
kontradiktorische Gegenteil von dem, was man zeigen will, die Annahme
bilden muß.
Auch ist klar, daß in der mittleren Figur in gewisser Weise das
Bejahende, und in der letzten Figur das Allgemeine unter Beweis
gestellt wird[241].
Vierzehntes Kapitel.
Es unterscheidet sich aber der Beweis, der auf das Unmögliche führt,
von dem direkten Beweis dadurch, daß er das zur Voraussetzung
nimmt, was er umstoßen will, indem er es auf ein anerkannt Falsches
zurückführt, während der direkte Beweis von anerkannt wahren Sätzen
ausgeht. Es nehmen also beide Beweisarten zwei anerkannte Prämissen,
aber die eine nimmt solche Prämissen, aus denen der Schluß erwächst,
die andere aber nimmt zwar eine von diesen, aber dazu eine andere, die
das kontradiktorische Gegenteil des Schlußsatzes ist. Und dort braucht
der Schlußsatz nicht bekannt zu sein, und man braucht nicht im voraus
zu wissen, daß er gilt oder nicht gilt, hier aber muß man im voraus
wissen, daß er nicht gilt. Es macht aber keinen Unterschied, ob der
Schlußsatz eine Bejahung oder eine Verneinung ist, sondern es hat mit
beiden die gleiche Bewandtnis.