B irgendeinem C zukommt, jedoch A jedem B, wie z. B. wenn bei Annahme
derselben Begriffe, wie vorhin Mensch als Mittelbegriff gesetzt wird.
Denn weder sinnliches Wesen, noch Mensch wohnt irgendeinem Stein bei,
wohl aber jedem Menschen sinnliches Wesen. Und wenn wir also setzen,
daß der Begriff Mensch keinem zukommt, dem er zukommt, und jedem
zukommt, dem er nicht zukommt, so wird man aus den zwei falschen
Prämissen einen wahren Schlußsatz erhalten.
[Sidenote: 54 a]
Ebenso wird der Beweis geführt werden, wenn man Prämissen nimmt, die
beide nach einem Teil ihres Inhalts falsch sind[215].
Wenn man aber nur eine von den Prämissen als falsch setzt, so kann,
wenn die erste, also AB, ganz falsch ist, der Schlußsatz nicht wahr
sein, wohl aber, wenn BC es ist. Ganz falsch nenne ich die Prämisse,
die der wahren konträr ist, also wenn man das, was keinem zukommt,
jedem, und das, was jedem zukommt, keinem zukommen läßt.
Denn es soll A keinem B zukommen, B aber jedem C. Wenn ich nun die
Prämisse BC wahrheitsgemäß setze, dagegen die Prämisse AB ganz falsch,
so daß also A jedem B zukäme, so kann der Schlußsatz unmöglich wahr
sein. Denn A dürfte keinem C zukommen, da ja keinem, dem B zukam, A
zukam und B jedem C zukam[216].
Ebenso wird der Schlußsatz nicht wahr sein wenn A jedem B zukommt und
B jedem C und die Prämisse BC wahrheitsgemäß gesetzt wird, dagegen die
Prämisse AB ganz falsch, als ob nämlich keinem, dem B zukommt, A zukäme
-- auch so, sage ich, wird der Schlußsatz falsch sein. Denn A wird
jedem C zukommen, da ja jedem, dem B, A, B aber jedem C zukommt[217].
Man sieht also: wenn die erste Prämisse ganz falsch genommen wird,
mag sie nun bejahend oder verneinend sein, die zweite Prämisse aber
wahrheitsgemäß, so kommt kein wahrer Schlußsatz heraus.
Wenn sie aber nicht ganz falsch genommen wird, ergibt sich ein wahrer
Schlußsatz. Denn wenn A jedem C und einigem B zukommt, und B jedem C,
wie z. B. Sinnenwesen jedem Schwan und einigem Weißen und Weiß jedem
Schwan, und wenn man nun annimmt, daß A jedem B und B jedem C zukommt,
so wird A in Wahrheit jedem C zukommen, da jeder Schwan ein Sinnenwesen
ist. Ebenso, wenn AB verneinend ist. Denn es ist möglich, daß A einem
B, aber keinem C, B aber jedem C zukommt, wie etwa Sinnenwesen einem
Weißen, aber keinem Schnee, dagegen Weiß allem Schnee. Nimmt man nun
an, daß A keinem B, B aber jedem C zukommt, so wird A keinem C zukommen.
Wird aber die Prämisse AB ganz wahr genommen und die Prämisse BC ganz
falsch, so kann ein wahrer Schluß erfolgen. Denn nichts hindert, daß
A jedem B und C zukommt, dagegen B keinem C, wie z. B. die sich nicht
untergeordneten Arten derselben Gattung. Denn Sinnenwesen kommt dem
Pferde wie dem Menschen zu, aber Pferd keinem Menschen. Läßt man nun
A jedem B und B jedem C zukommen, so wird der Schlußsatz wahr sein,
während die Prämisse BC ganz falsch ist.
[Sidenote: 54 b]
Ebenso, wenn die Prämisse AB verneinend ist. Denn möglicherweise kommt
A keinem B und keinem C zu und B keinem C, wie die Gattung den Arten
aus einer anderen Gattung. Denn Sinnenwesen kommt weder der Musik noch
der Heilkunst zu und die Musik nicht der Heilkunst. Läßt man nun A
keinem B und B jedem C zukommen, so wird der Schlußsatz wahr sein.
Und wenn die Prämisse BC nicht ganz, sondern nur teilweise falsch ist,
wird der Schlußsatz auch so wahr sein. Denn nichts hindert, daß A dem
ganzen B und C zukommt, B aber einem C, wie die Gattung der Art und der
Differenz. Denn Sinnenwesen kommt jedem Menschen und jedem gehenden
Wesen, Mensch aber einem, nicht jedem gehenden Wesen zu. Läßt man nun
A jedem B und B jedem C zukommen, so wird A jedem C zukommen, was
ja wahr sein mag. Ebenso, wenn die Prämisse AB verneinend ist. Denn
möglicherweise kommt A keinem B und keinem C zu, aber B einem C, wie
die Gattung der Art und der Differenz aus einer anderen Gattung. Denn
Sinnenwesen kommt keiner Klugheit und keinem theoretischen Vermögen zu,
aber die Klugheit wird von einem theoretischen Vermögen ausgesagt. Läßt
man nun A keinem B und B jedem C zukommen, so wird A keinem C zukommen.
Und das ist in dem angeführten Beispiel wahr[218].
Bei den partikulären Schlüssen kann der Schlußsatz wahr sein, wenn die
erste Prämisse ganz falsch und die zweite wahr ist, ferner ebenso, wenn
die erste teilweise falsch und die zweite[E] wahr ist und wenn jene
wahr, diese teilweise falsch ist, endlich, wenn beide falsch sind[219].
[E] Z. 20 ὅλης ausgelassen.
[Sidenote: 55 a]
Denn es steht nichts im Wege, daß A keinem B zukommt, aber einem C,
und B einem C, wie der Begriff Sinnenwesen keinem Schnee und einem
Weißen zukommt und Schnee einem Weißen. Setzt man nun Schnee als
Mittelbegriff und Sinnenwesen als ersten Begriff und läßt A jedem
B zukommen und B einem C, so ist AB ganz falsch, BC wahr und der
Schlußsatz wahr. Gleiches gilt, wenn die Prämisse AB verneinend ist.
Denn A kann dem ganzen B zukommen und einem C nicht zukommen, dagegen
kann B einem C zukommen, wie sinnlich wahrnehmendes Wesen jedem
Menschen zukommt und einigem Weißen nicht logisch folgt, während Mensch
einigem Weißen zukommt. Setzt man folglich Mensch als Mittelbegriff und
läßt A keinem B und B einem C zukommen, so wird der Schlußsatz wahr
sein, während die Prämisse AB ganz falsch ist. Und wenn die Prämisse AB
zum Teil falsch ist, wird die Konklusion wahr sein. Denn A kann ganz
wohl, wie einem B, so einem C und B einem C zukommen, wie Sinnenwesen
einem Schönen und einem Großen und schön wieder einem Großen zukommen
kann. Läßt man nun A jedem B zukommen und B einem C, so wird die
Prämisse AB zum Teil falsch sein, die Prämisse BC aber wahr und der
Schlußsatz wahr. Gleiches gilt, wenn die Prämisse AB verneinend ist.
Denn für den Beweis werden die Begriffe dieselben sein und dieselbe
Stellung haben.
Wiederum, wenn die Prämisse AB wahr und die Prämisse BC falsch ist,
wird der Schlußsatz wahr sein. Denn nichts hindert, daß A dem ganzen
B zukommt und einem C, während B keinem C zukommt, wie Sinnenwesen
jedem Schwan und einem Schwarzen, Schwan dagegen keinem Schwarzen.
Läßt man nun A jedem B und B einem C zukommen, so wird der Schlußsatz
wahr sein, während BC falsch ist. Ebenso, wenn man die Prämisse AB
verneinend nimmt. Denn es ist möglich, daß A keinem B zukommt und einem
C nicht zukommt, und B keinem C, wie z. B. die Gattung der Art aus
einer anderen Gattung und den Akzidenzien ihrer eigenen Arten. Denn
Sinnenwesen kommt zwar keiner Zahl, aber einem Weißen zu, Zahl aber
keinem Weißen. Setzt man nun Zahl als Mittelbegriff und läßt A keinem
B, B aber einem C zukommen, so wird A einem C nicht zukommen, was ja
wahr war, und dabei ist die Prämisse AB wahr, dagegen die Prämisse BC
falsch.
Und, wenn die Prämisse AB zum Teil falsch ist, dabei aber auch die
Prämisse BC falsch ist, wird der Schlußsatz wahr sein. Denn nichts
hindert, daß A je einigem B und C zukommt, B aber keinem C, wie wenn
B dem C konträr entgegengesetzt ist und beide Akzidenzien derselben
Gattung sind. Denn Sinnenwesen kommt einem Weißen und einem Schwarzen
zu, aber Weißes keinem Schwarzen. Läßt man nun A jedem B und B einem C
zukommen, so wird der Schlußsatz wahr sein. Aber es ist auch so, wenn
man die Prämisse AB verneinend nimmt. Denn zum Behufe des Beweises wird
man dieselben Begriffe, in derselben Ordnung, aufstellen.
[Sidenote: 55 b]
Endlich, auch wenn beide Prämissen falsch sind, wird der Schlußsatz
wahr sein. Denn es ist möglich, daß A keinem B, B aber einem C zukommt,
während B keinem C zukommt, wie z. B. die Gattung der Art aus einer
anderen Gattung und dem, was ihrer eigenen Art mitfolgend beiwohnt.
Denn Sinnenwesen kommt keiner Zahl, aber einem Weißen zu, und die Zahl
keinem Weißen. Läßt man nun A jedem B und B einem C zukommen, so ist
der Schlußsatz wahr, während beide Prämissen falsch sind. Ebenso, wenn
die Prämisse AB verneinend ist. Denn nichts hindert, daß A dem ganzen B
zukommt, aber einigen C nicht zukommt, und B keinem C, wie Sinnenwesen
jedem Schwan zukommt, aber einigen Schwarzen nicht zukommt, und Schwan
keinem Schwarzen. Läßt man also A keinem B und B einem C zukommen, so
kommt A einem C nicht zu. So ist denn der Schlußsatz wahr, während die
Prämissen falsch sind.
Drittes Kapitel.
In der mittleren Figur läßt sich in allen Formen und Fällen aus
Falschem Wahres schließen, mag man beide Prämissen ganz falsch ansetzen
oder jede nur zum Teil, und mag die eine ganz wahr, die andere ganz
falsch sein, gleichviel welche von beiden man falsch ansetzt, und mögen
beide nur zum Teil falsch sein oder die eine schlechthin wahr, die
andere zum Teil falsch, oder mag die eine ganz falsch, die andere zum
Teil wahr sein, und das gilt sowohl für die allgemeinen, als auch für
die partikulären Schlüsse.
Denn wenn A keinem B, aber jedem C zukommt, wie Sinnenwesen keinem
Stein, aber jedem Pferd, und wenn man dann die Prämissen in konträrer
Weise faßt und also A jedem B, aber keinem C zukommen läßt, so wird
sich aus ganz falschen Prämissen ein wahrer Schlußsatz ergeben. Ebenso,
wenn A jedem B, aber keinem C zukommt; denn man wird denselben Schluß
erhalten.
Wiederum, wenn die eine Prämisse ganz falsch, die andere ganz wahr ist;
denn nichts hindert, daß A jedem B und C zukommt, aber B keinem C, wie
die Gattung den Arten, die nicht untereinander begriffen sind. Denn
Sinnenwesen kommt, wie jedem Pferd, so jedem Menschen zu, und dabei ist
kein Mensch ein Pferd. Läßt man nun Sinnenwesen dem einen ganz, dem
anderen gar nicht zukommen, so wird die eine Prämisse ganz falsch sein,
die andere ganz wahr und der Schlußsatz wahr, zu welcher Prämisse man
auch die Verneinung setzen möge.
Und, wenn die eine Prämisse zum Teil falsch, die andere ganz wahr ist.
Denn es ist möglich, daß A einem B und jedem C zukommt, aber B keinem
C, wie Sinnenwesen einem Weißen und jedem Raben, und weiß keinem Raben.
Läßt man nun A keinem B und dem ganzen C zukommen, so ist die Prämisse
AB zum Teil falsch, die Prämisse AC ganz wahr, und der Schlußsatz ist
wahr. Ebenso, wenn man die Verneinung umstellt. Denn der Beweis läßt
sich mit Hilfe derselben Begriffe führen. Und, wenn die bejahende
Prämisse zum Teil falsch, die verneinende aber ganz wahr ist. Denn
nichts hindert, daß A einem B zukommt, aber dem ganzen C nicht zukommt,
und B keinem C, wie Sinnenwesen einem Weißen, aber keinem Pech, und
weiß keinem Pech. Und läßt man so A dem ganzen B zukommen, aber keinem
C, so ist die Prämisse AB zum Teil falsch, die Prämisse AC ganz wahr,
und die Konklusion ist wahr.
[Sidenote: 56 a]
Und, wenn beide Prämissen zum Teil falsch sind, kann die Konklusion
wahr sein. Denn es ist möglich, daß A einem B und einem C zukommt, B
aber keinem C, wie Sinnenwesen einem Weißen und einem Schwarzen, weiß
aber keinem Schwarzen. Läßt man nun A jedem B, aber keinem C zukommen,
so sind beide Prämissen zum Teil falsch, die Konklusion aber ist wahr.
Ebenso, wenn man die Verneinung umstellt, wofür der Beweis durch
dieselben Begriffe geführt wird.
Auch bei den partikulären Schlüssen leuchtet dieses ein. Denn nichts
hindert, daß A jedem B und einem C zukommt und B einem C nicht zukommt,
wie etwa Sinnenwesen jedem Menschen und einigem Weißen zukommen wird,
und Mensch einigem Weißen nicht. Wenn man nun A keinem B und einem C
zukommen läßt, ist die allgemeine Prämisse ganz falsch, die partikuläre
wahr und der Schlußsatz wahr.
Ebenso, wenn man die Prämisse AB bejahend nimmt. Denn es ist möglich,
daß A keinem B zukommt und einem C nicht zukommt und B einem C nicht
zukommt, wie etwa Sinnenwesen keinem Unbeseelten zukommt und einigem
Weißen nicht zukommt und unbeseelt einigem Weißen nicht zukommen wird.
Läßt man nun A jedem B zukommen und einigem C nicht zukommen, so ist
die allgemeine Prämisse AB ganz falsch, die Prämisse AC wahr und der
Schlußsatz wahr.
Und, wenn die allgemeine Prämisse wahr und die partikuläre falsch
aufgestellt ist. Denn nichts hindert, daß A weder einem B noch einem
C folgt, dagegen B nur einigem C nicht zukommt, wie Sinnenwesen
keiner Zahl und keinem Unbeseelten folgt und Zahl einigem Unbeseelten
nicht folgt. Läßt man nun A keinem B, aber einem C zukommen, so wird
der Schlußsatz wahr sein und ebenso die allgemeine Prämisse, die
partikuläre aber ist falsch. Ebenso, wenn die allgemeine Prämisse
bejahend gesetzt wird. Denn es ist möglich, daß A allem B und C
zukommt, aber B auf ein C nicht logisch folgt, wie die Gattung auf die
Art und die Differenz. Denn Sinnenwesen folgt auf alles, was Mensch
ist, und folgt auf gehend in dessen ganzem Umfange, aber Mensch nicht
auf alles, was sich durch gehen fortbewegt. Läßt man nun A allem B
zukommen, aber einem C nicht zukommen, so ist die allgemeine Prämisse
wahr, die partikuläre aber falsch, der Schlußsatz aber wahr.
[Sidenote: 56 b]
Endlich leuchtet auch ein, daß der Schlußsatz bei Falschheit beider
Prämissen wahr sein kann, da es ja möglich ist, daß A allem B und C
zukommt, während B auf einiges C nicht folgt. Denn läßt man A keinem
B, aber einem C zukommen, so sind die Prämissen beide falsch, der
Schlußsatz aber ist wahr. Ebenso, wenn die allgemeine Prämisse bejahend
und die partikuläre verneinend ist. Denn es ist möglich, daß A keinem
B und jedem C folgt und B einem C nicht zukommt, wie z. B. Sinnenwesen
auf keine Wissenschaft, aber auf alles, was Mensch ist, folgt, die
Wissenschaft aber nicht auf alles, was Mensch ist. Läßt man nun A allem
B zukommen, aber auf einiges, was C ist, nicht folgen, so sind die
Prämissen falsch, der Schlußsatz aber ist wahr.
Viertes Kapitel.
Auch in der letzten Figur kann aus Falschem Wahres folgen, mögen beide
Prämissen ganz falsch sein oder jede nur zum Teil, und möge die eine
ganz wahr, die andere ganz falsch sein, und möge die eine nur zum Teil
falsch, die andere ganz wahr sein, und umgekehrt, und auf wie viele
Weisen man sonst noch mit den Prämissen wechseln kann.
Denn nichts hindert, daß weder A noch B irgendeinem C zukommt,
A dagegen einem B, wie z. B. weder Mensch noch Gehendes auf ein
Unbeseeltes folgt, Mensch dagegen einigem Gehenden zukommt. Läßt man
nun A und B jedem C zukommen, so sind die Prämissen ganz falsch, der
Schlußsatz aber wahr. Ebenso, wenn die eine Prämisse verneinend, die
andere bejahend ist. Denn es ist möglich, das B keinem, aber A jedem
C zukommt und A einem B nicht zukommt, wie z. B. schwarz keinem und
Sinnenwesen jedem Schwan und Sinnenwesen nicht jedem Schwarzen zukommt.
Läßt man nun B jedem und A keinem C zukommen, so wird A einem B nicht
zukommen; und so ist der Schlußsatz wahr, die Prämissen aber sind
falsch.
Und, wenn jede Prämisse zum Teil falsch ist, wird der Schlußsatz wahr
sein. Denn nichts hindert, daß A wie B einem C zukommt, und A einem
B, wie z. B. weiß und schön einem Sinnenwesen zukommt, und weiß einem
Schönen. Läßt man nun A und B jedem C zukommen, so sind die Prämissen
zum Teil falsch, der Schlußsatz aber ist wahr. Ebenso, wenn die
Prämisse AC verneinend gefaßt ist. Denn nichts hindert, daß A einem C
nicht zukommt, B aber wohl, und daß A nicht jedem B zukommt, wie z. B.
weiß einigen Sinnenwesen nicht zukommt, schön aber wohl, und weiß nicht
jedem Schönen. Läßt man nun A keinem und B jedem C zukommen, so sind
beide Prämissen zum Teil falsch, der Schlußsatz aber ist wahr.
[Sidenote: 57 a]
Ebenso, wenn die eine Prämisse ganz falsch, die andere ganz wahr ist.
Denn es ist möglich, daß A wie B auf jedes C folgt, dagegen A einem
B nicht zukommt, wie z. B. Sinnenwesen und weiß auf alles folgt, was
Schwan ist, dagegen Sinnenwesen nicht jedem Weißen zukommt. Läßt man
nun, wo diese Begriffe angenommen werden, B dem ganzen C zukommen und A
dem ganzen C nicht zukommen, so wird die Prämisse BC ganz wahr sein,
die Prämisse AC ganz falsch, und der Schlußsatz ist wahr. Ebenso,
wenn BC falsch und AC wahr ist. Zum Beweis können dieselben Begriffe
verwandt werden: schwarz, Schwan, unbeseelt.
Aber auch, wenn man beide Prämissen bejahend setzt. Denn nichts
hindert, daß B auf jedes C folgt und A dem ganzen C nicht zukommt, aber
A einem B, wie z. B. allem, was Schwan ist, Sinnenwesen und schwarz
keinem Schwan zukommt, und dabei schwarz einigen Sinnenwesen zukommt.
Und so ist, wenn man A und B jedem C zukommen läßt, die Prämisse BC
ganz wahr, die Prämisse AC ganz falsch und der Schlußsatz wahr. Ebenso,
wenn die Prämisse AC wahrheitsgemäß aufgestellt wird; der Beweis läßt
sich mittelst derselben Begriffe führen.
Wiederum, wenn die eine Prämisse ganz wahr, die andere zum Teil falsch
ist. Denn es kann B jedem und A einem C zukommen, und A einem B, wie
z. B. zweifüßig jedem Menschen und schön nicht jedem Menschen, und die
Schönheit einigem Zweifüßigen zukommt. Läßt man nun A wie B dem ganzen
C zukommen, so ist die Prämisse BC ganz wahr, die Prämisse AC aber zum
Teil falsch, der Schlußsatz aber ist wahr. Ebenso, wenn die Prämisse
AC wahr, BC aber zum Teil falsch ist. Denn der Beweis wird geführt,
indem man dieselben Begriffe umstellt. Und, wenn die eine Prämisse
verneinend, die andere bejahend ist. Denn es ist möglich, daß B jedem,
A dagegen nur einigem C und eben dieses A bei solchem Verhältnis der
Begriffe nicht jedem B zukommt. Wenn man nun B jedem und A keinem C
zukommen läßt, so ist die verneinende Prämisse zum Teil falsch, die
andere ganz wahr und der Schlußsatz wahr. Wiederum, da gezeigt worden
ist, daß wenn A keinem und B einem C zukommt, A möglicherweise einem B
nicht zukommt, so kann offenbar auch, wenn die Prämisse AC ganz wahr
und BC zum Teil falsch ist, der Schlußsatz wahr sein. Denn wenn man A
keinem und B jedem C zukommen läßt, so ist die Prämisse AC ganz wahr
und BC zum Teil falsch.
Es ist aber klar, daß auch bei den partikulären Schlüssen in allen
Fällen aus Falschem Wahres folgen kann. Denn man muß dieselben
Begriffe nehmen, wie wenn die Prämissen allgemein sind, bejahende bei
bejahenden, verneinende bei verneinenden Schlüssen. Denn es macht für
die Wahl[220] der Begriffe keinen Unterschied, ob man statt eines
allgemein verneinenden Satzes einen allgemein bejahenden oder statt
eines allgemeinen einen partikulären nimmt. Ebenso ist es mit den
verneinenden Schlüssen.
Man sieht also: wenn der Schlußsatz falsch ist, sind die Prinzipien
des Schlusses notwendig entweder alle oder teilweise falsch; ist er
aber wahr, so ist weder eine Prämisse, noch sind alle notwendig wahr,
sondern es ist möglich, daß wenn keine Prämisse in dem Schluß wahr ist,
die Konklusion es gleichwohl ist, freilich nicht mit Notwendigkeit[221].
[Sidenote: 57 b]
Davon ist der Grund, daß wenn sich zwei Dinge zueinander so verhalten,
daß wenn das eine ist, notwendig das andere ist, wenn dieses letztere
nicht ist, auch das andere nicht sein kann, wenn es aber ist, nicht
notwendig das andere ist.
Daß aber, wenn und weil dasselbe ist und nicht ist, mit Notwendigkeit
dasselbe ist, ist unmöglich, ich meine, daß z. B. wenn A weiß ist,
B notwendig groß ist, und auch, wenn A nicht weiß ist, B notwendig
groß ist. Denn wenn falls dieses A weiß ist, dieses B notwendig groß
ist und falls B groß ist, C nicht weiß ist, so ist, wenn A weiß ist,
C notwendig nicht weiß. Und wenn von zwei Dingen, falls eines ist,
notwendig das andere ist, so ist, falls dieses letztere nicht ist,
notwendig A nicht. Wenn also B nicht groß ist, so ist es nicht möglich,
daß A weiß ist. Ist aber, wenn A nicht weiß ist, B notwendig groß, so
folgt notwendig, daß wenn B nicht groß ist, eben dieses B groß ist,
was unmöglich ist. Denn wenn B nicht groß ist, wird A notwendig nicht
weiß sein. Wenn nun, falls dieses nicht weiß ist, B groß sein wird, so
folgt wie durch drei Begriffe[222], daß B, wenn es nicht groß ist, groß
ist.
Fünftes Kapitel.
Der Zirkelbeweis, Beweis zweier Sätze auseinander, besteht darin, daß
man aus der Konklusion und dem Ansatz der einen Prämisse in umgekehrter
Fassung auf die andere Prämisse schließt, die man bei dem ersten Schluß
angenommen hat; wie es z. B. geschieht, wenn zu beweisen war, daß A
jedem C zukommt, und man es durch den Mittelbegriff B bewiesen hat und
dann wieder zeigen will, daß A dem B zukommt, auf Grund der Annahme,
daß A dem C und C dem B zukommt und so denn auch A dem B, während man
zuvor umgekehrt angenommen hatte, daß B dem C zukommt. Oder wenn zu
zeigen ist, daß B dem C zukommt und man dann A von C gelten läßt, was
die Konklusion war, B aber von A, während man zuvor umgekehrt A von B
hatte gelten lassen[223].
Anders aber lassen sich zwei Sätze auseinander nicht beweisen. Denn
wenn man einen anderen Mittelbegriff nimmt, so beweist man nicht im
Kreise, da man nichts von dem schon Dagewesenen nimmt; und wenn man
etwas schon Dagewesenes nimmt, so darf es nur die eine von beiden
Prämissen sein; denn wenn man beide nimmt, so erhält man dieselbe
Konklusion, während man doch eine andere erhalten soll.
Bei den nicht konvertiblen Sätzen geschieht nun der Schluß aus einer
nicht bewiesenen Prämisse. Denn man kann durch die Begriffe, die in
solchen Sätzen stehen, nicht beweisen, daß dem Mittelbegriff der dritte
Begriff oder dem ersten Begriff der Mittelbegriff zukommt[224].
[Sidenote: 58 a]
Bei den konvertiblen Sätzen aber läßt sich alles auseinander beweisen,
wie z. B. wenn A und B und C miteinander vertauscht werden können.
Denn es soll AC durch B als Mittelbegriff bewiesen worden sein, und
AB wieder durch die Konklusion und die umgekehrte Prämisse BC, und
ebenso BC durch die Konklusion und die umgekehrte Prämisse AB. Man
muß aber die Prämisse CB und die Prämisse BA noch beweisen. Denn nur
diese Prämissen gebrauchen wir, ohne sie bewiesen zu haben. Läßt man
nun B jedem C und C jedem A zukommen, so wird sich ein Schluß von B
auf A ergeben. Wiederum, läßt man C jedem A und A jedem B zukommen, so
kommt notwendig jedem B das C zu. In diesen beiden Schlüssen ist nun
die Prämisse CA ohne Beweis angenommen, die anderen waren bewiesen. So
werden denn, wenn wir auch diese Prämisse noch bewiesen haben, alle
Sätze durcheinander bewiesen sein. Läßt man nun C jedem B und B jedem
A zukommen, so nimmt man einerseits beide Prämissen als bewiesene und
muß anderseits C dem A zukommen. Man sieht also, daß die Beweise im
Kreis und auseinander nur bei konvertiblen Sätzen möglich sind, während
es sich mit den andern so verhält, wie vorhin gesagt wurde. Es erfüllt
sich hier aber auch, daß wir das Bewiesene zum Beweis verwenden. Denn
C wird von B und B von A auf Grund der Voraussetzung bewiesen, daß C
von A gilt; C wird aber von A mit Hilfe dieser Prämissen bewiesen: wir
verwenden mithin die Konklusion zum Beweis[225].
Bei den verneinenden Schlüssen erhält der wechselseitige Beweis der
Sätze auseinander folgende Gestalt. B soll jedem C und A keinem B
zukommen; Schlußsatz: A keinem C. Wenn man nun wieder, was man zuvor
als Annahme verwandt hatte, als Schlußsatz gewinnen soll, daß nämlich
A keinem B zukommt, so wird A keinem C und C jedem B zukommen. Denn so
ist die Prämisse umgekehrt. Soll man aber als Schlußsatz erhalten, daß
B dem C zukommt, so darf man nicht mehr ebenso AB umkehren, weil es
derselbe Satz ist, daß B keinem A, und daß A keinem B zukommt, sondern
man muß den Satz nehmen: wovon keinem A zukommt, dem allen kommt B
zu[226].
A soll keinem C zukommen, was die Konklusion war. Und wovon keinem A,
dem allen soll B zukommen. Notwendig kommt also B jedem C zu. So ist
denn, da der Sätze, aus denen die ursprüngliche Konklusion besteht,
drei sind, jeder zur Konklusion geworden und besteht auch in diesem
Falle der Zirkelbeweis darin, daß man die Konklusion und die umgekehrte
eine Prämisse nimmt und so auf die andere schließt.
[Sidenote: 58 b]
Bei den partikulären Schlüssen kann man die allgemeine Prämisse durch
die anderen Sätze nicht beweisen, wohl aber die partikuläre. Daß
man die allgemeine Prämisse nicht beweisen kann, ist klar. Denn das
Allgemeine wird durch das Allgemeine bewiesen. Die Konklusion ist aber
nicht allgemein, und doch müßte der Beweis aus der Konklusion und
der anderen Prämisse geführt werden. Auch kommt durch Umkehrung der
Prämisse überhaupt kein Schluß zustande, da infolge derselben beide
Prämissen partikulär werden. Die partikuläre Prämisse aber kann man
beweisen. Denn es sei durch B bewiesen, daß A von einem C gilt. Läßt
man nun B jedem A zukommen und bleibt die Konklusion, so wird B einem C
zukommen. Denn man erhält die erste Figur mit B als Mittelbegriff.
Ist der Schluß verneinend, so kann man aus dem vorhin angegebenen
Grunde die allgemeine Prämisse nicht beweisen; die partikuläre Prämisse
aber kann man zwar, wenn man AB ebenso wie bei den allgemeinen
Schlüssen umkehrt, nicht beweisen, wohl aber durch Proslepsis
(Hinzunahme), also durch die Annahme, daß wovon einem A nicht zukommt,
davon einem B zukommt. Denn auf andere Weise ergibt sich kein Schluß,
weil die partikuläre Prämisse verneinend ist[227].
Sechstes Kapitel.