Aus dem Gesetz der allgemeinen Massenanziehung oder der
^Universalgravitation^ lassen sich die Bewegungen der Himmelskörper
erklären und berechnen; aus ihm folgen auch die Keplerschen Gesetze.
[Abbildung: Fig. 359.]
Es sei ~S~ die Sonne, in ~A~ der Planet, und ~AB~ dessen
Geschwindigkeit. Ist die Anziehung der Sonne kleiner, als sie sein
müßte, um eine kreisförmige Bahn zu veranlassen, so kommt der Planet
nach ~A′~ außerhalb des Kreises. ~A′~ findet man, indem man aus der
Eigenbewegung ~AB~ und aus dem Weg ~AC~, den er infolge der Anziehung
der Sonne machen würde, das Wegparallelogramm konstruiert.
~AA′~ stellt zugleich die Geschwindigkeit des Planeten während dieser
Zeit annähernd dar. Im nächsten Zeitteil würde der Planet demnach den
Weg ~A′B′ = AA′~ zurücklegen; zugleich würde ihn die Sonne nach ~AC′~
bewegen, er kommt deshalb nach ~A′′~. Fährt man so fort, indem man für
jeden folgenden Zeitteil die Bahn des Planeten bestimmt, so bekommt man
annähernd die Bahn des Planeten.
Eine mathematische Ableitung der Bahn wie etwa beim schiefen Wurf kann
auf elementarem Wege nicht gegeben werden.
Die Form der Bahn ist eine ^Ellipse^. Die Sonne steht in dem einen
^Brennpunkt^. (1. Kepler’sches Gesetz.) Die Anziehung ist am
^stärksten^, wenn der Planet sich am nächsten an der Sonne befindet, im
^Perihelium^ ~A~, jedoch ist sie dort kleiner, als sie sein müßte, um
eine Kreisbewegung um ~S~ zu veranlassen, da die Geschwindigkeit des
Planeten in ~A~ verhältnismäßig groß ist; der Planet entfernt sich
demnach von der Sonne. Die Anziehung ist am ^schwächsten^, wenn sich der
Planet im ^Aphelium^ befindet. Doch ist die Anziehung dort größer, als
sie sein müßte, um eine Kreisbewegung um ~S~ zu veranlassen, da die
Geschwindigkeit des Planeten in ~X~ verhältnismäßig klein ist; der
Planet nähert sich demnach jetzt der Sonne.
Die Geschwindigkeit ist in ~A~ am größten und nimmt immer mehr ab, je
mehr sich der Planet von der Sonne entfernt; sie ist im Aphelium am
kleinsten und wächst dann wieder mit der Annäherung an die Sonne. Die
Geschwindigkeiten richten sich dabei nach dem 2. Kepler’schen Gesetz.
Der Radiusvektor ~SA~ bestreicht in gleichen Zeiten gleiche Sektoren. Es
ist also etwa der Sektor ~SAA′~ an Fläche gleich dem Sektor ~SA′A′′~ u.
s. w. gleich dem Sektor ~SDD′~.
Die Planetenbahnen sind tatsächlich alle sehr schwach gedrückte Ellipsen
von geringer Exzentrizität, nahezu kreisförmig.
Betrachten wir die Planetenbahnen als kreisförmig, so berechnet sich die
Umlaufszeit eines Planeten aus
4 π² R (4 π² R)
~f = ------~ als ~T = √(------)~.
T² ( f )
Die Umlaufszeit ~T′~ eines anderen Planeten, der in der Entfernung ~R′~
die Zentralbeschleunigung ~f′~ bekommt, ist ebenso:
(4 π² R′)
~T′ = √(-------)~.
( f′ )
Durch Division beider Gleichungen hat man:
T² Rf′
~-- = ---~.
T′² R′f
Nach dem Newton’schen Attraktionsgesetz ist aber ~f : f′ = R′² : R²~,
oder
f′ R² T² R³
~-- = ---~; dies eingesetzt gibt: ~--- = ---~;
f R′² T′² R′³
das ist das dritte Kepler’sche Gesetz, demzufolge die Quadrate der
Umlaufszeiten zweier Planeten sich verhalten wie die dritten Potenzen
ihrer mittleren Abstände von der Sonne. Man bemerke, daß die
Umlaufszeiten der Planeten nicht abhängig sind von ihrer Masse.