Wird bei der Drehung der ganze Kreis ~2 R π~ in der Zeit ~T"~
durchlaufen mit der Geschwindigkeit ~v~, so ist ~v T = 2 R π~, also
2 R π
~v = -----~;
T
setzt man dies in den Ausdruck für ~F~ ein, so wird
4 π² R M 4 π² R
~#F = --------#~, und ~#f = ------#~.
T² T²
^Bei gleicher Umlaufszeit ist die Zentrifugalkraft dem Radius
proportional, und bei gleichem Radius dem Quadrat der Umlaufszeit
umgekehrt proportional^. Ist die Masse eines Körpers bekannt, so kann
man die Zentripetalkraft angeben, die notwendig ist, damit er um einen
Mittelpunkt in gegebenem Abstand in gegebener Zeit rotiert.
Wenn bei gleichen Umlaufszeiten zwei verschiedene Massen ~m₁~ und ~m₂~
sich in solchen Entfernungen vom Mittelpunkte befinden, daß diese
Abstände ~R₁~ und ~R₂~ sich verhalten wie umgekehrt die Massen, also daß
~R₁ : R₂ = m₂ : m₁~, oder daß ~m₁ R₁ = m₂ R₂~, so sind die
Zentrifugalkräfte gleich. Bringt man beim früheren Versuch die zwei
durch eine Schnur verbundenen Kugeln so an, daß bei gespannter Schnur
sich die Gewichte verhalten wie umgekehrt ihre Abstände vom
Drehungsmittelpunkt, so daß also der Drehpunkt der Schwerpunkt beider
Massen ist, so bleiben bei jeder Rotationsgeschwindigkeit beide Kugeln
in Ruhe, weil sie gleiche Zentrifugalkräfte bekommen.
Befindet sich ein Körper (etwa von der Masseneinheit) auf der
Erdoberfläche, so bekommt er eine Beschleunigung = ~g~ = 9,809 _m_.
Befindet er sich aber in einer Entfernung gleich der des Mondes, und
läuft er in dieser Entfernung um die Erde kreisförmig, wie es ja der
Mond nahezu wirklich tut, so braucht er dazu die Zeit von 27 Tg. 7 Std.
43' 11" (siderischer Monat). Die Zentralbeschleunigung, die hiezu
erforderlich ist, berechnet sich aus
4 π² · R
~f = ---------~,
T²
wobei ~T~ = 2 360 501" und ~R~ = 382 000 000 _m_ setzen. Es ist dann
4 · 3,14² · 382 000 000
~f~ = ----------------------- = 0,00274 _m_.
2 360 500²
Vergleicht man diese Zentralbeschleunigung mit der Beschleunigung ~g~,
welche der Körper auf der Erdoberfläche bekommt, also mit ~g~ = 9,809
_m_, so findet man, daß sie nahezu 3600 = (60²)mal so klein ist, und da
die Entfernung des Mondes von der Erde 60 mal so groß ist, wie der
Erdradius, so schließt man: Die Kraft, die den Mond zwingt, kreisförmig
um die Erde zu laufen in der Zeit von 27 Tg. 4 Std. u. s. w. ist
dieselbe Kraft, welche den Körper auf der Erdoberfläche zum Fallen
bringt, nur nimmt diese Kraft ab, wie das Quadrat der Entfernung
zunimmt. Durch solche Betrachtungen kam Newton zur Entdeckung des nach
ihm benannten ^Newtonschen Gravitationsgesetzes^ (1666), welches heißt:
^Die Anziehungskraft, Attraktion, der Erde^ wirkt nicht bloß auf der
Erdoberfläche, sondern auch in beliebiger Entfernung, und die Kraft
^nimmt ab, wie das Quadrat der Entfernung zunimmt^.
Indem dann Newton das Gesetz auch auf die Bewegung anderer Himmelskörper
anwandte, auf die Bewegung der Planeten um die Sonne, der Monde um die
Planeten, erkannte er, daß es ganz allgemein gültig sei, und daß ^die
Anziehung auch dem Produkt der beiden sich anziehenden Massen
proportional ist^. Also: #Die gegenseitige Anziehung zweier
Himmelskörper ist proportional dem Produkte beider Massen und umgekehrt
proportional dem Quadrat ihres Abstandes.#
Aufgaben:
#232.# Ein Körper von 50 _kg_ Gewicht bewegt sich mit der
Geschwindigkeit von 6 _m_ im Kreise von 10 _m_ Radius. Welche
Zentrifugalkraft bringt er hervor und wie groß ist die
Zentralbeschleunigung?
#233.# Welche Zentrifugalkraft bringt die Masse von 7,2 _kg_ hervor,
wenn sie den Kreis von 10 _m_ Radius in 8 Sekunden durchläuft?
#234.# Wie schnell muß ein Körper sich auf einem vertikalen Kreise mit
dem Radius ~r~ = 0,8, 1,4 _m_ bewegen, wenn die Schwerkraft durch die
Zentrifugalkraft aufgehoben werden soll?
#235.# Mit welcher Umlaufszeit muß sich die Masse von 12 _kg_ im Kreise
von 6 _m_ Radius bewegen, um 2 _kg_ Kraft hervorzubringen?
#236.# Wie groß ist die Zentrifugalbeschleunigung am Rande eines
rotierenden Zubers von 110 _cm_ Durchmesser bei 340 Touren in der Minute
(Sirupschleuder)?
#237.# Wie groß ist die Zentrifugalkraft und die
Zentrifugalbeschleunigung bei einem Waggon von 250 Zentner Gewicht, wenn
er auf einer Kurve von 170 _m_ Radius mit 7 _m_ Geschwindigkeit sich
bewegt; um welchen Winkel wird dadurch die Schwerkraft abgelenkt; mit
welcher Geschwindigkeit dürfte der Zug sich bewegen, wenn die
Zentrifugalkraft höchstens 2% vom Gewicht betragen sollte?
#238.# Wie rasch müßte die Erde sich drehen, damit am Äquator die
Schwerkraft durch die Zentrifugalbeschleunigung der Erde gerade
aufgehoben wird?
#239.# Auf eine frei bewegliche Masse von 300 _kg_ Gewicht und 4 _m_
Geschwindigkeit soll senkrecht zur Richtung der Geschwindigkeit eine
Kraft angebracht werden, so daß die Masse sich im Kreis von 40 _m_
Radius bewegt. Wie groß muß diese Kraft sein, und wie lange dauert ein
Umlauf?
#240.# Auf eine frei bewegliche Masse von 60 _kg_ und 1,5 _m_
Geschwindigkeit wirkt senkrecht zur Richtung der Geschwindigkeit eine
Kraft von 2 _kg_. Welchen Krümmungsradius hat ihre Kreisbahn und wie
groß ist die Umlaufszeit?
#241.# Auf eine frei bewegliche Masse von 70 _kg_ Gewicht und 3 _m_
Geschwindigkeit soll senkrecht zur Richtung der Geschwindigkeit eine
Kraft wirken, so daß die Masse eine Umlaufszeit von 12" bekommt. Wie
groß ist die Kraft und der Radius der Krümmung?