Wir können nur diejenige Art von Zentralbewegung elementar behandeln,
bei welcher der Körper ^um das Kraftzentrum einen Kreis^ (von Radius
~r~) ^mit gleichförmiger Geschwindigkeit^ (~v~) ^durchläuft^; denn dabei
können wir ableiten, wie groß die ^Zentralkraft^ ~F~ und die von ihr in
der Richtung auf das Zentrum hin hervorgebrachte Beschleunigung ~f~,
^Zentralbeschleunigung^, sein muß, damit der Körper auf der Kreisbahn
bleibe.
[Abbildung: Fig. 357.]
In irgend einem Punkte ~A~ ist die Richtung der Geschwindigkeit gleich
der Richtung der ^Tangente^; der Körper würde also in einer Zeit ~t~ den
Weg ~AB = v t~ durchlaufen. In derselben Zeit würde er infolge der
Zentralkraft, welche ihm eine Beschleunigung ~f~ erteilt, einen Weg ~AD
= ½ f t²~ durchlaufen. Soll nun der Körper durch das Zusammenwirken
beider Ursachen auf dem Kreise bleiben, so muß die Diagonale beider
Bewegungselemente, nämlich ~AA′~ selbst wieder zu einem Punkte des
Kreises führen. ~A~ liegt aber auf dem Kreis, wenn ~AA′² = 2 r · AD~. Da
nun ~AA′~ für kleine Bewegungen (kleinste Werte von ~t~) mit ~AB = v t~
vertauscht werden kann, und ~AD = ½ f t²~ ist, so erhält man die
Gleichung
~v² t² = 2 r · ½ f t²~, oder
v²
~#f = --#~.
r
D. h. wenn die Zentralbeschleunigung gerade diesen Wert hat, so ist ~A′~
wieder auf dem Kreis; hat ~f~ einen größeren oder kleineren Wert, so
liegt ~A′~ innerhalb oder außerhalb des Kreises. Behält ~f~ den
angegebenen Wert, so liegt auch jeder folgende Punkt der Bahn auf dem
Kreis, ~A~ beschreibt die Kreisbahn mit gleichförmiger Geschwindigkeit.
Soll also ein Körper einen Kreis vom Radius ~r~ mit gleichförmiger
Geschwindigkeit ~v~ durchlaufen, so ist notwendig und hinreichend, daß
auf ihn eine vom Zentrum ausgehende oder auf das Zentrum hin gerichtete
Kraft wirke, welche ihm eine Beschleunigung erteilt, deren Größe
v²
~f = --~.
r
^Die Zentralbeschleunigung ist bei gleichen Radien den Quadraten der
Geschwindigkeit direkt, und bei gleicher Geschwindigkeit den Radien
umgekehrt^ proportional.
Hat der Körper die Masse ~M~, so muß die ^Zentralkraft^ ~F~, damit sie
der Masse ~M~ die Beschleunigung ~f~ erteilen kann, die Größe ~F = M f~
haben; also ist
M v²
~#F = ----~#.
r
Die einfachste Art dieser Bewegung erhält man, wenn der Körper ~A~ mit
dem Punkte ~M~ durch einen Faden verbunden ist, und man ihm eine zur
Richtung des Fadens senkrechte Geschwindigkeit ~v~ erteilt. Er läuft
dann, wenn kein Bewegungshindernis (Reibung, Schwere u. s. w.)
vorhanden ist, mit stets gleichbleibender Geschwindigkeit in Kreisform
um ~M~. Der Faden übt hiebei an dem Körper einen Zug in der Richtung
~AM~, ^Zentripetalkraft^. Umgekehrt hat der Körper bei dieser Bewegung
(Zwangsbewegung) das Bestreben, stets in der Richtung der Tangente der
Bahn weiterzulaufen und dadurch sich vom Zentrum zu entfernen; er äußert
dies Bestreben dadurch, daß er seinerseits am Faden in der Richtung des
Fadens zieht (Reaktion); diese Kraft heißt ^Mittelpunktsfliehkraft^ oder
^Zentrifugalkraft^. Sie ist der Zentripetalkraft gleich.
Wenn sich die Masse 1 (eine Masseneinheit) auf dem Kreise vom Radius 1
_m_ mit der gleichförmigen Geschwindigkeit von 1 _m_ in 1" bewegen soll,
so muß auf sie eine Zentralkraft von 1 _kg_ wirken, welche ihr eine
Beschleunigung von 1 _m_ erteilt.