Wirkt eine Kraft unter einem Winkel auf einen bewegten Körper, so setzt
sich die durch die Kraft hervorgebrachte Beschleunigung mit der schon
vorhandenen Geschwindigkeit zu einer resultierenden Geschwindigkeit
zusammen, deren Richtung und Größe durch die Diagonale eines
^Geschwindigkeitsparallelogrammes^ gefunden wird, das ebenso konstruiert
wird wie das Kräfteparallelogramm.
[Abbildung: Fig. 354.]
Umgekehrt kann eine Geschwindigkeit in zwei Geschwindigkeiten mittels
des Parallelogramms zerlegt werden.
Soll ein Körper aus zweierlei Ursachen zweierlei Wege zu gleicher Zeit
zurücklegen, so kann man aus den zwei Wegen ein ^Parallelogramm^
konstruieren (Fig. 354), und im Endpunkt der Diagonale befindet sich der
Körper nach Ablauf der Zeit. Jedoch gibt die Diagonale nicht immer den
Weg an, auf welchem sich der Körper wirklich bewegt, insbesondere dann
nicht, wenn die Bewegungsursachen der Art nach verschieden sind. Hat z.
B. der in ~A~ befindliche Körper eine Geschwindigkeit, vermöge deren er
in ~t′′~ nach ~B~ kommen würde, und wirkt auf ihn zugleich die
Schwerkraft, welche ihn in ~t′′~ von ~A~ nach ~C~ bringen würde, so
befindet er sich nach ~t′′~ in ~D~, hat jedoch nicht den geraden Weg
~AD~ gemacht, sondern eine krummlinige Bahn beschrieben.
Wenn auf einen frei beweglichen Körper, der eine Geschwindigkeit hat,
eine Kraft wirkt, welche hiermit einen Winkel bildet, so nennt man die
entstehende Bewegung eine zusammengesetzte.
Der schiefe Wurf ist eine ^zusammengesetzte Bewegung^ und wurde zuerst
von Galilei untersucht.
[Abbildung: Fig. 355.]
Wird ein Körper schräg nach aufwärts geworfen, so beschreibt er
bekanntlich eine ^krummlinige^ Bahn. Die einzelnen Punkte der Bahn kann
man dadurch bestimmen, daß man von jedem Punkte eine vertikale Linie bis
zur Erde (bis zu der durch den Anfangspunkt gelegten Horizontalen)
zieht, und sowohl die Länge dieser Senkrechten, als auch die Entfernung
ihres Fußpunktes vom Anfangspunkte der Bewegung mißt.
Die Bewegung selbst und auch die Geschwindigkeit kann man zweckmäßig in
zwei ^Komponenten^ zerlegen, nach horizontaler und vertikaler Richtung.
Hat der Körper die Anfangsgeschwindigkeit ~a~, so bewegt er sich gerade
so, wie wenn er in horizontaler Richtung eine Geschwindigkeit = ~a cos
α~ und gleichzeitig in vertikaler Richtung eine solche = ~a sin α~
hätte.
Da in horizontaler Richtung die Geschwindigkeit durch die Schwerkraft
nicht beeinflußt wird, so ist ~#vₕ = a cos α#~. In vertikaler Richtung
wird die Geschwindigkeit durch die Schwerkraft vermindert in jeder
Sekunde um ~g~ wie beim senkrechten Wurf; also ist
~#vᵥ = a sin α - g t#~.
Mit der Zeit ~t~ ändert sich demnach auch die Richtung der
Geschwindigkeit. Bezeichnet man sie mit ~β~, so ist
vᵥ a sin α - g t
~tg β = -- = -------------~.
vₕ a cos α
Wird der Zähler = 0, so ist ~tg β~ = 0, also ~β~ = 0, d. h. ^der Körper
läuft horizontal^ in ~H~. Dies ist der Fall, wenn ~a sin α - g t~ = 0,
also nach
a sin α
~t = -------~ Sekunden.
g
Wird ~t~ noch größer, so wird der Zähler und damit auch ~tg β~ negativ,
also ~β~ ^negativ^; ^die Richtung der Bahn geht nach abwärts^. Man nennt
den ersten Teil ~AH~ den ^aufsteigenden^ Ast der Bahn, den andern ~HW~
den ^absteigenden^.
Die krumme Linie, die der geworfene Körper beschreibt, ist eine
^Parabel^, ~AHW~, deren Achse vertikal steht (Galilei).
Die ^wirkliche Größe der Geschwindigkeit^, die er in einem bestimmten
Punkte der Bahn, also nach bestimmter Zeit hat, setzt sich zusammen als
Hypotenuse eines Dreieckes, dessen Katheten ~vᵥ~ und ~vₕ~ sind, also ist
~v = √(vᵥ² + vₕ²)~.
~v = √((a sin α - g t)² + (a² cos² α))~.
Auch dieser Wert wird anfangs kleiner, wenn ~t~ wächst, aber nur so
lange bis ~a sin α - g t = 0~; also nach
a · sin α
~T = ---------~ Sekunden
g
hat er die ^geringste Geschwindigkeit^ in ~H~. Von da an wird ~v~ wieder
größer.
Wir betrachten die ^Wegstrecken^, die er in horizontaler (~sₕ~) und
vertikaler (~sᵥ~) Richtung zurücklegt. In horizontaler Richtung hat er
die unveränderliche Geschwindigkeit ~a · cos α~, legt also in ~t′′~ den
Weg ~#Sₕ = a · cos α · t#~ zurück. (~AB~). In vertikaler Richtung hat er
die Geschwindigkeit ~a sin α~, und legt deshalb den Weg ~a · sin α · t~
zurück nach aufwärts (~AC~); aber die Schwerkraft bewirkt zugleich einen
Weg von ~½ g t²~ nach abwärts (~DE~); also ist der Weg in vertikaler
Richtung gleich der Differenz beider Strecken ~DB - DE = EB~; also ~#Sᵥ
= a · sin α · t - ½ g t²#~.
Wir berechnen, wo sich der Körper befindet, wenn er den höchsten Punkt
erreicht hat, also nach
a sin α
~t = -------~ Sekunden;
g
es ist dann
a sin α a² sin α · cos α
~sₕ = a cos α · ------- = ---------------- = AJ~.
g g
a sin α g a² sin² α
~sᵥ = a sin α · ------- - -----------~ =
g 2 g²
a² sin² α a² sin² α
~--------- - ---------~.
g 2 g
a² sin² α
~#sᵥ = ---------- = Wₕ = JH#~.
2 g
^Die Wurfhöhe ist proportional dem Quadrat der Anfangsgeschwindigkeit^.
Wir berechnen, in welcher horizontalen Entfernung ~AW~ der Körper den
(horizontalen) Boden wieder erreicht. ^Er hat den Boden erreicht, wenn
seine vertikale Entfernung = 0^ ist, also
g t²
~sᵥ = 0 = a sin α t - ----~,
2
also nach
2 a sin α
~t = --------- = 2 T~.
g