g t²
~s = a t - ----~,
2
wenn man
a
~t = -~
g
setzt. Es ist
a² g a²
~s = -- - ----~;
g 2 g²
a²
~#s = ---~.
2 g
#Die Steighöhe ist dem Quadrat der Anfangsgeschwindigkeit proportional#;
wird der Körper mit doppelt so großer Anfangsgeschwindigkeit geworfen,
so steigt er 4 mal so hoch.
Ist der Körper an diesem höchsten Punkte angelangt, so hat er einen
Moment lang die Geschw. = 0; dann fällt er nach den gewöhnlichen
Fallgesetzen. Die Zeit, die er braucht, um die erreichte Höhe wieder
herabzufallen, berechnet sich aus
t² a² a² g t²
~s = g --~, wobei ~s = ---~; das gibt --- = ----~,
2 2 g 2 g 2
hieraus ist
a
~t = -~,
g
d. h. #der Körper braucht zum Herabfallen dieselbe Zeit wie zum
Hinaufsteigen#. Die Endgeschw., mit der er am Boden ankommt, berechnet
sich aus ~v = g t~, wo
a a
~t = -, also ~v = g · -~,
g g
~#v = a~; er kommt mit derselben Geschwindigkeit an, mit der er geworfen
wurde#.
Die Zeit, welche ein Körper braucht, um einen Punkt ~B~ in der Höhe ~h~
zu erreichen, berechnet sich aus ~h = a t - ½ g t²~, und ist
1
~t = - (a ± √(-2 g h + a²))~.
g
Der eine Wert, entsprechend - √, gibt an, in welcher Zeit der Körper den
Punkt ~B~ erreicht; der andere Wert, entsprechend + √, gibt an, welche
Zeit der Körper braucht, um bis zum höchsten Punkte zu gelangen und von
dort aus wieder herunterzufallen, bis er den Punkt ~B~ von oben her
trifft. Die Geschwindigkeit, die er in ~B~ hat, berechnet sich aus
1
~v = a - g t~ für ~t = - (a ± √(-2 g h + a²))~; also
g
~v = a - a ∓ √(-2 g h + a²)~
~v = ∓ √(-2 g h + a²)~.
Der positive Wert bedeutet die nach ^aufwärts gerichtete^
Geschwindigkeit, mit welcher er den Punkt ~B~ erreicht; der negative
bedeutet die ^abwärts gerichtete^ Geschwindigkeit, mit der er beim
Herunterfallen wieder im Punkte ~B~ anlangt; ^beide Geschwindigkeiten
sind gleich groß^ und zwar für jeden Wert von ~h~; #der Körper
durchläuft jeden Punkt seiner Bahn zweimal, einmal beim Hinauf-, einmal
beim Heruntergehen, beidesmal mit derselben Geschwindigkeit#. Die Werte
von ~t~ und ~v~ werden imaginär, wenn ~2 g h > a²~, oder wenn
a²
~h > ---~,
2 g
also wenn ~B~ höher liegt als der höchste Punkt, den der Körper
erreichen kann.
Aufgaben:
#187.# Wie hoch fliegt eine Kanonenkugel, welche mit 440 _m_
Anfangsgeschwindigkeit aufwärts geworfen wird, und mit welcher
Geschwindigkeit müßte sie abgeschossen werden, um die Höhe des Montblanc
(= 4810 _m_) oder die des Gaurisankar (= 8840 _m_) zu erreichen?
#188.# Ein Körper fällt frei herab. Am Schlusse der 3. Sekunde wird ihm
ein anderer Körper nachgeworfen, welcher am Ende der 5. Sek. von ihm
einen Abstand von 40 _m_ hat. Wann treffen die Körper zusammen?
#189.# Ein Körper wird mit 156,8 _m_ Anfangsgeschwindigkeit senkrecht
auswärts geworfen. 18 Sek. später wird ihm ein zweiter mit 186,2 _m_
Anfangsgeschwindigkeit nachgeworfen. Wann und wo treffen sie sich? Wenn
sie nach dem Zusammentreffen wie beim zentralen Stoße mit vertauschten
Geschwindigkeiten voneinander zurückprallen, wann kommt dann jeder
wieder auf den Boden? (~g~ = 9,8 _m_.)
#190.# Ein lotrecht in die Höhe geworfener Körper hat eine Höhe ~a~ =
80,35 _m_ mit einer Geschwindigkeit ~b~ = 1,68 _m_ erreicht. Mit welcher
Geschwindigkeit ist er ausgegangen und welche Zeit hat er gebraucht, um
bis zu jener Höhe zu gelangen (~g~ = 9,81 _m_)?
#191.# Ein Körper wird senkrecht in die Hohe geworfen mit 75 _m_
Anfangsgeschwindigkeit. Mit welcher Anfangsgeschwindigkeit muß ihm 4"
später ein zweiter folgen, wenn er den ersten in dessen höchstem Punkte
(in seinem eigenen h. P.) erreichen soll?
#192.# Wie hoch wird ein Körper gestiegen sein, der nach 12" (15", 40")
wieder zur Erde kommt? Wie groß war seine Anfangsgeschwindigkeit?