h
~P = Q · -~,
l
der Weg = ~l~; also ist die Arbeit =
h
~Q · - · l = Q · h~.
l
Sie ist nur von ~h~ abhängig, also für jede Größe von ~l~ gleich groß
und ebenso groß, wie wenn man den Körper von ~C~ nach ~B~ auf die Höhe
~h~ hebt.
Ist jedoch Reibung vorhanden, so ist sie anzusehen als eine Kraft, die
der Richtung der Bewegung entgegengesetzt ist; ^sie ist abhängig auch
vom Drucke und ihm proportional^. Man nennt das ^Verhältnis der Reibung
zum Druck den Reibungskoeffizienten^ ~c~. Er beträgt für einen Wagen,
der sich auf einer gewöhnlichen Landstraße bewegt, zka. ¹/₇, so daß zum
Bewegen eines Wagens von 1200 _kg_ Gewicht eine Kraft von ¹/₇· 1200 =
170 _kg_ notwendig ist. Wird die Last ~Q~ längs der schiefen Ebene von
~A~ nach ~B~ bewegt, so ist der Druck auf die schiefe Ebene =
b
~Q · -~,
l
also die Reibung =
Q · b
~c · -----~;
l
dazu kommt die Komponente
Q h
~P = ---~;
l
also ist die Gesamtkraft
Q b h
~c · --- + Q -~
l l
erforderlich; da der Weg = ~l~, so ist die
( Q b Q h)
Arbeit ~(AB) = (c --- + ---) · l = c Q b + Q h~.
( l l )
Wird nun der Körper von ~A~ nach ~C~ und dann nach ~B~ bewegt, so ist
von ~A~ nach ~C~ die Reibung zu überwinden = ~c Q~, der Weg = ~b~, also
Arbeit (~AC~) = ~c Q b~; dann ist die Last ~Q~ über die Höhe ~h~ zu
heben; also Arbeit (~CB~) = ~Q h~. ^Die Summe beider Arbeiten ist gleich
der von^ ~A~ ^nach^ ~B~.
Liegt ein Körper auf einer schiefen Ebene, so wirkt die Komponente ~P~
der Schwerkraft parallel der schiefen Ebene nach abwärts; aber die
Reibung wirkt dieser Kraft entgegen. Ist diese Komponente kleiner als
die Reibung, so bleibt der Körper auf der schiefen Ebene liegen und zur
Bewegung nach abwärts muß noch eine Kraft = ~c Q cos α - Q sin α~
angebracht werden (nach aufwärts eine Kraft ~c Q cos α + Q sin α~). Ist
die Komponente größer als die Reibung, so bewegt sich der Körper nach
abwärts mit der Kraft ~Q sin α - c Q cos α~. Ist die Komponente gleich
der Reibung, so bleibt der Körper gerade noch auf der schiefen Ebene
liegen. Der Winkel α, bei dem das stattfindet, berechnet sich aus der
Gleichung ~c Q cos α - Q sin α = 0~; also ~tg α = c~; diesen Winkel
nennt man den ^Reibungswinkel^; umgekehrt kann man aus der Größe des
Reibungswinkels den Reibungskoeffizienten berechnen.
[Abbildung: Fig. 339.]
Man erkennt leicht die Richtigkeit folgenden allgemeinen Satzes: Ist ein
Körper auf einer Ebene und wirken auf ihn beliebig Kräfte in
verschiedenen Richtungen, ^so bleibt er in Ruhe, wenn die Resultierende
sämtlicher Kräfte senkrecht steht auf der Ebene und gegen sie gerichtet
ist^; denn die Ebene übt dann einen gleich großen Gegendruck in
entgegengesetzter Richtung aus, wodurch Gleichgewicht hergestellt wird.
Hiermit behandeln wir den Fall, wenn eine Kraft ~P~ angebracht werden
soll, die ^parallel der Basis^ wirkt (Fig. 339). Die Resultierende von
~P~ und ~Q~ muß senkrecht stehen zur schiefen Ebene. Man findet
Q h
~P = Q tg α = ---~, oder ~P : Q = h : b~;
b
#Kraft verhält sich zur Last, wie Höhe zur Basis#.
Liegt die Last auf der schiefen Ebene und hält man sie mittels
eines Strickes, dem man verschiedene Richtung geben kann, so findet
man die Größe der erforderlichen Kräfte durch Zeichnung der
Kräfteparallelogramme, deren Diagonale senkrecht zur schiefen Ebene
steht. (Fig. 340.) Unter diesen Kräften ~P~, ~P′~, ~P′′~ . . . . ^ist
diejenige die kleinste, die ~∥~ der Ebene wirkt^, die bekannte
Komponente ~P = Q sin α~.
[Abbildung: Fig. 340.]
[Abbildung: Fig. 340~a~.]
Man kann das Problem der schiefen Ebene auch noch auf folgende Art
behandeln. Liegt ein Körper auf einer schiefen Ebene, so wirkt auf ihn
sein Gewicht in vertikaler Richtung, ~Q = KJ~. Er drückt damit auf die
schiefe Ebene und diese übt einen Gegendruck ~D~ aus, welcher
erfahrungsgemäß senkrecht zur schiefen Ebene steht. Auf den Körper
wirken demnach zwei Kräfte, ~Q~ und ~D~, und da die Richtung der
Resultierenden erfahrungsgemäß längs der schiefen Ebene nach abwärts
geht, so kann man die Resultierende mittels des Kräfteparallelogramms
finden. Man macht ~JL ∥ KE~ und ~LC ∥ JK~, so ist die Größe der
Resultierenden ~P = KL~ und die des Gegendruckes ~D = KC~. Man beweist
leicht, daß ~P = Q sin α~, ~D = Q cos α~. Die Kraft ~R~ erscheint nun
als Resultierende der Schwerkraft ~Q~ und des elastischen Gegendruckes
~D~ der schiefen Ebene.
Ebenso kann man in den zwei folgenden Kapiteln die durch Einwirkung der
Kraft ~Q~ hervorgerufenen Gegendrücke ~P~ und ~P~ als Kräfte auffassen,
deren Resultierende im Falle des Gleichgewichtes gleich und
entgegengesetzt ~Q~ sein muß.
Aufgaben:
#170.# Welche Kraft braucht man, um eine Last von 510 _kg_ auf einer
schiefen Ebene zu halten, welche bei 10 _m_ Länge um 115 _cm_ steigt?
Wie groß muß diese Kraft sein, wenn sie parallel der Basis wirkt, oder
wenn sie unter 20° nach aufwärts (oder nach abwärts) gerichtet ist?
#171.# Welche Kraft parallel der schiefen Ebene braucht man, um einen
Körper von 160 _kg_ Gewicht auf einer schiefen Ebene von 34° Neigung zu
halten, wenn die Reibung ¹/₈ beträgt? Welche Arbeit leistet man, wenn
man ihn 260 _m_ längs der schiefen Ebene nach aufwärts bringt?
#172.# Eine Kugel von ~k~ _kg_ Gewicht liegt auf einer schiefen Ebene
von ~α~° Neigung und lehnt sich dabei an ein Brett, welches am Fuße der
schiefen Ebene in vertikaler Richtung aufgestellt ist. Welchen Druck
übt die Kugel auf die schiefe Ebene und welchen auf das Brett aus?
#173.# Eine Last von 145 _kg_ liegt auf einer schiefen Ebene von 20°
Neigung und wird gehalten durch einen Strick, der unter 45° nach abwärts
geneigt ist. Welche Kraft muß längs des Strickes wirken und wie stark
drückt die Last auf die schiefe Ebene?
#174.# Welche Kraft ist erforderlich, und welche Arbeit wird geleistet,
wenn ein Wagen von 27 Ztr. Gewicht auf einer Straße von 5½% Steigung und
¹/₈ Reibung 265 _m_ weit nach aufwärts (nach abwärts) gefahren wird?
#175.# Ein Steinblock von 15 Ztr. Gewicht soll über eine schiefe Ebene
von 20° Steigung heraufgeschleift werden. Er wird an einem Seil
befestigt, welches parallel der schiefen Ebene läuft und sich an der
Seiltrommel eines Haspels aufwickelt. Der Durchmesser der Seiltrommel
ist 28 _cm_, die Kurbellänge 54 _cm_. Mit welcher Kraft wird das Seil
gespannt, wenn der Stein auf der schiefen Ebene eine Reibung hat, die
¹/₃ des Druckes beträgt und welche Kraft muß an der Kurbel wirken, um
den Stein heraufzuschleifen, wenn im Haspel noch 10% durch Reibung
verloren gehen?
[Abbildung: Fig. 341.]