~R = P₁ + P₂ + P₃ - P₄~.
Sind ~a₁~, ~a₂~, ~a₃~, ~a₄~ die Entfernungen dieser Kräfte vom
Drehungspunkte ~O~ und ~OJ = x~ die Entfernung der Mittelkraft von ~O~,
und soll das Moment der Mittelkraft gleich der Summe der Momente der
einzelnen Kräfte sein, so muß
~R · x = a₁ P₁ + a₂ P₂ + a₃ P₃ - a₄ P₄~; hieraus
a₁ P₁ + a₂ P₂ + a₃ P₃ - a₄ P₄
~OJ = x = ---------------------------~.
P₁ + P₂ + P₃ - P₄
Es läßt sich nun zeigen, daß, wenn die Mittelkraft in dem so bestimmten
Punkte ~J~ angreift, ihr Moment auch gleich ist der Summe der Momente
der Einzelkräfte in bezug auf einen beliebigen anderen Punkt ~O′~. Denn
es sei ~OO′ = c~, so ist
~R x = a₁ P₁ + a₂ P₂ + a₃ P₃ - a₄ P₄~; aber es ist
~R c = c P₁ + c P₂ + c P₃ - c P₄~; also durch Addition
~R (x + c) = P₁ (a₁ + c) + P₂ (a₂ + c) + P₃ (a₃ + c) - P₄ (a₄ + c)~.
Aber links steht das Moment der Mittelkraft in bezug auf ~O′~, und
rechts steht die Summe der Momente der einzelnen Kräfte auch in bezug
auf ~O′~; beide sind gleich.
Der Angriffspunkt ~J~ der Mittelkraft mehrerer Parallelkräfte oder deren
Schwerpunkt kann demnach auf obige Art gefunden werden, indem man
zunächst einen beliebigen Punkt ~O~ als Drehpunkt annimmt; die
Gleichheit der Momente gilt dann von selbst für jeden anderen Punkt
~O′~.
Rückt man nun den Punkt ~O~ nach ~J~, nimmt man also den Angriffspunkt
der Mittelkraft als Drehpunkt, so ist in bezug auf ihn das Moment der
Mittelkraft gleich Null, da die Mittelkraft durch den Punkt selbst geht,
also keinen Hebelarm, einen Hebelarm = 0 hat. Folglich ist auch die
Summe der Momente der einzelnen Kräfte in bezug auf ~J~ gleich Null. Das
bedeutet aber, daß der Hebel in bezug auf ~J~ als Drehpunkt im
Gleichgewichte ist. Wir schließen also: der Schwerpunkt mehrerer
paralleler Kräfte ist zugleich Stützpunkt des Hebels und umgekehrt.
Aufgaben:
#146.# An den Enden einer Stange von ~a~ = 80 _cm_ Länge wirken die
Parallelkräfte ~P~ = 56 _kg_ und ~Q~ = 72 _kg_. Wo ist die Stange zu
stützen?
#147.# Eine Stange von der Länge ~l~ ist an beiden Endpunkten gestützt.
Wenn sie nun in der Entfernung ~a~ vom einen Ende mit ~Q~ _kg_ belastet
ist, wie verteilt sich diese Last auf die beiden Stützen? Wo muß die
Last angebracht werden, damit sich die Belastungen wie 2 : 3, wie ~p :
q~ verhalten?
#148.# Eine Last von 100 _kg_ soll auf eine horizontale, an beiden Enden
gestützte Stange von 1,5 _m_ Länge so gelegt werden, daß der eine
Stützpunkt nur einen Druck von 20 _kg_ erfährt. Wo ist die Last
anzubringen?
#149.# Ein Balken hat bei 5,2 _m_ Länge 128 ~℔~ Gewicht, die in seiner
Mitte angreifen, ist an beiden Enden fest aufgelegt und 2,4 _m_ vom
einen Ende noch mit 280 ~℔~ belastet. Welchen Druck übt er auf jede
Stütze aus?
#150.# An einem Balken von der Länge ~l~, der an beiden Enden gestützt
ist, wirken in den Abständen ~a₁~, ~a₂~, ~a₃~, ~a₄~ je vom linken
Endpunkt aus gerechnet die Gewichte ~P₁~, ~P₂~, ~P₃~, ~P₄~. Welchen
Druck hat jede Stütze auszuhalten?
#151.# An einem Hebel wirken folgende Kräfte: Am einen Ende 50 _kg_, 20
_cm_ davon entfernt 60 _kg_, weitere 15 _cm_ davon 125 _kg_, weitere 30
_cm_ davon 4 _kg_ und weitere 16 _cm_ davon 80 _kg_. Wo muß der Hebel
gestützt werden, wenn alle Kräfte in derselben Richtung wirken, und wo,
wenn die 2. und 4. Kraft nach entgegengesetzten Richtungen wirken?
#152.# An einer Stange wirken folgende Parallelkräfte: am einen Ende 40
_kg_, 12 _cm_ davon 70 _kg_, weitere 20 _cm_ davon 50 _kg_ nach
aufwärts, weitere 23 _cm_ davon 60 _kg_ nach abwärts und weitere 23 _cm_
davon 35 _kg_ nach abwärts. Wo und wie stark muß sie gestützt werden?
#153.# Ein Balken von 4,8 _m_ Länge ist an beiden Enden unterstützt. Er
ist in mehreren Punkten belastet, und zwar 0,6 _m_, 1,4 _m_, 2,2 _m_, 3
_m_ je vom linken Endpunkt mit 120 _kg_, 250 _kg_, 75 _kg_, 140 _kg_. An
welchem Punkte dürfen diese Belastungen vereinigt werden, wenn der
Druck auf die Stützen sich nicht ändern soll?
#154.# Ein an beiden Enden unterstützter Balken von 3,6 _m_ Länge ist
1,2 _m_ vom linken Ende schon mit 100 _kg_ belastet. Wo muß eine weitere
Last von 150 _kg_ angebracht werden, damit die Belastungen der beiden
Stützen gleich werden?