~x : S₁ = h : P₁~; also ~S₁ h = x P₁~; ebenso
~y : S₂ = h : P₂; also ~S₂ h = y P₂~; hieraus durch Vergleichung:
~x P₁ = y P₂~ oder
~P₁ : P₂ = y : x = CD : BD~.
Dies ergibt den Satz: ^Wirken zwei Parallelkräfte an den Endpunkten
einer starren Strecke, so ist die Mittelkraft parallel den Kräften,
gleich der Summe der Kräfte, und^ ihr #Angriffspunkt teilt die Strecke
so, daß sich die Teile verhalten umgekehrt wie die Kräfte#.
Daraus folgt auch: der Angriffspunkt der Mittelkraft der Parallelkräfte
ist auch der Stützpunkt des Hebels ~BC~ mit den Kräften ~P₁~ und ~P₂~.
[Abbildung: Fig. 313.]
Wirken die Parallelkräfte nicht in gleicher, sondern in
^entgegengesetzter^ Richtung, so ändert sich die Ableitung wie aus Fig.
313 ersichtlich ist.
Man fügt wie vorher die gleichen Kräfte ~S₁~ und ~S₂~ hinzu, bildet die
Mittelkräfte ~R₁~ und ~R₂~, verlegt ihre Angriffspunkte in den
Schnittpunkt ~A~ ihrer Richtungen, zerlegt sie dort wieder in ihre
Komponenten, so heben sich ~S₁~ und ~S₂~ auf, während die Komponenten
~P₁~ und ~P₂~ nun in entgegengesetzten Richtungen wirken, also eine
^Mittelkraft^ geben gleich ihrer ^Differenz^ ~R = P₁ - P₂~. Die Richtung
von ~R~ schneidet die Strecke ~BC~ außerhalb der Angriffspunkte der
Kräfte und zwar auf Seite der größeren Kraft in ~D~. Bezeichnet man
wieder ~DB~ mit ~x~, ~DC~ mit ~y~, ~DA~ mit ~h~, so ist ebenso
~x : S₁ = h : P₁~; hieraus ~x P₁ = S₁ h~;
~y : S₂ = h : P₂~; hieraus ~y P₂ = S₂ h~; durch Vergleichung:
~x P₁ = y P₂~, oder
~P₁ : P₂ = y : x = DC : DB~. Der Angriffspunkt ~D~ der Mittelkraft teilt
also die Strecke ~BC~ ^äußerlich^ so, daß die Teilstrecken ~DC~ und ~DB~
sich umgekehrt verhalten wie die Kräfte.
[Abbildung: Fig. 314.]
Gleichgewicht kann hergestellt werden, indem man in ~D~ eine der
Mittelkraft gleiche und entgegengesetzte Kraft anbringt; doch muß ~D~
noch starr mit ~B~ und ~C~ verbunden sein.
Sind die zwei Kräfte ~P₁~ und ~P₂~ (Fig. 314) entgegengesetzt gerichtet
und noch dazu einander gleich und macht man dieselbe Ableitung, so
ergibt sich, daß die Mittelkräfte ~R₁~ und ~R₂~ parallel gerichtet sind.
Deshalb ergeben ihre Richtungen keinen Schnittpunkt ~A~, also auch keine
Mittelkraft. Nennt man „zwei gleiche an zwei starr verbundenen Punkten
angreifende und in entgegengesetztem Sinn gerichtete Kräfte ein
#Kräftepaar#“, so hat man den Satz: Ein Kräftepaar hat keine
Mittelkraft, kann also durch eine einzige Kraft allein nicht aufgehoben
werden.
Erweiterung der vorigen Sätze: die Resultierende beliebig vieler
Parallelkräfte ist den Kräften parallel und gleich ihrer algebraischen
Summe.
Der Angriffspunkt der Mittelkraft muß so liegen, daß das #Drehungsmoment
der Mittelkraft gleich ist der Summe der Momente der einzelnen Kräfte#,
und zwar gleichgültig, wo auch der Drehungspunkt der Stange liege.
Ob es möglich ist, einen Angriffspunkt unter diesen Bedingungen zu
finden, ist nicht von vornherein klar. Wir suchen daher zunächst den
Angriffspunkt ~J~ der Mittelkraft, indem wir einen bestimmten Punkt ~O~
als Drehungspunkt annehmen. (Fig. 315.)
[Abbildung: Fig. 315.]