L'APLATISSEMENT DU GLOBE.
ESSAIS DE THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA FIGURE DE LA TERRE.
Trois ans après l'apparition du Livre des _Principes_, Christian Huygens
publiait, à Leyde, son _Traité de la lumière, avec un discours sur la
cause de la pesanteur_. La première Partie de l'Ouvrage est mémorable
comme posant les bases de la théorie ondulatoire de la lumière. Les
idées de Huygens sur la cause de la pesanteur se rattachent à la théorie
des tourbillons de Descartes et offrent aujourd'hui pour nous moins
d'intérêt. Pour le savant hollandais, la gravité reste une puissance
occulte inhérente au centre du globe. Cela revient à supposer toute la
masse de la Terre réunie en un seul point. Même dans cette hypothèse
erronée, l'aplatissement apparaît comme une conséquence de la fluidité
primitive. Huygens formule ce principe fécond: «La surface des mers est,
en chacun de ses points, normale à la direction de la pesanteur», et il
en déduit pour l'aplatissement du globe le chiffre 1/578, pas même la
moitié de ce que Newton avait trouvé dans l'hypothèse d'un globe
homogène, soumis dans toutes ses parties à l'attraction universelle.
La réalité de l'aplatissement était mise en doute aussi bien que sa
valeur. Thomas Burnet, théologien anglais, lui opposait des raisons qui
nous semblent aujourd'hui n'avoir rien de scientifique. Eisenschmidt,
mathématicien allemand, formulait une objection d'un caractère plus
grave. Réunissant les mesures connues du degré terrestre, il trouvait
que leur valeur linéaire va en croissant vers l'équateur, et il en
déduisait, correctement du reste, que la Terre est allongée vers les
pôles[1].
[Note 1: EISENSCHMIDT, _Dissertation de la figure de la Terre_.
Strasbourg, 1691.]
Cassini, adoptant cette conclusion, entreprit de la vérifier. Il aurait
fallu, pour le faire d'une façon probante, mesurer deux arcs de méridien
séparés en latitude par un grand espace. On pensa qu'il suffirait de
relier par une chaîne de triangles Dunkerque à Perpignan, et que la
comparaison des degrés au nord et au sud de Paris trancherait la
question. Cette opération importante est décrite dans l'Ouvrage
intitulé: _De la grandeur et de la figure de la Terre_, Paris, 1720. Le
degré moyen fut trouvé égal à 56960 toises au Nord, à 57097 toises au
Sud, ce qui donne raison à Eisenschmidt contre Newton et indique un
allongement de 1/95. Mais il est reconnu aujourd'hui que de graves
erreurs s'étaient glissées dans la mesure de l'arc du Sud et que le
chiffre final repose sur une base des plus fragiles.
Considérant ce résultat comme établi, Mairan entreprit de le justifier
théoriquement[2]. Il déploie beaucoup d'ingéniosité pour mettre en doute
la fluidité primitive de la Terre. Ne peut-elle pas, dit-il, avoir été
primitivement allongée? Alors la force centrifuge n'aurait fait que
diminuer l'allongement sans le détruire. Reste à concilier la forme
oblongue avec l'augmentation constatée de la pesanteur vers le pôle.
Mairan forge dans ce but une loi compliquée, faisant varier la pesanteur
en raison inverse du produit des rayons de courbure principaux en chaque
point de la surface.
[Note 2: MAIRAN, _Recherches géométriques sur la diminution des degrés
en allant de l'équateur vers les pôles_. Paris, 1720.]
Newton accordait, avec raison, peu de crédit aux chiffres de Cassini,
comme aux raisonnements de Mairan. Dans la troisième édition de son
Ouvrage, parue l'année qui précéda sa mort (1726), il maintient la
position qu'il avait prise concernant la figure de la Terre. Mais, sous
l'influence d'un amour-propre national mal placé, l'opinion publique en
France se prononçait fortement pour Cassini. Celui-ci, d'ailleurs,
annonçait de nouvelles vérifications. La mesure d'un arc de parallèle
par Brest, Paris et Strasbourg, exécutée en collaboration avec Maraldi,
de 1730 à 1734, lui semblait décisive. «Ces observations, disait le
commissaire de l'Académie, se sont trouvées si favorables au sphéroïde
allongé que M. Cassini a eu la modération de ne pas vouloir en tirer
tout l'avantage qu'il eût pu à la rigueur et de s'en retrancher une
partie.» En réalité, la démonstration est plus faible encore que celle
qui se fonde sur l'arc de méridien.
[Illustration: Fig. 3. Pl. _XXXIX_ Instrument employé au XVIIIe siècle
pour la mesure des angles géodésiques.]
Jean Bernoulli, qui s'était déjà trouvé en conflit avec Newton dans une
controverse célèbre, concourait en 1734 pour un prix de l'Académie des
Sciences de Paris. Pour cette double raison, il devait incliner vers
l'opinion qui dominait en France. Aussi le voyons-nous s'écrier pour
conclure: «Après cette heureuse conformité de notre théorie avec les
observations célestes, peut-on plus longtemps refuser à la Terre la
figure du sphéroïde oblong, fondée d'ailleurs sur la discussion des
degrés de la méridienne, entreprise et exécutée par le même M. Cassini
avec une exactitude inconcevable?»[3].
[Note 3: TODHUNTER, _A history of the mathematical theories of
attraction and the figure of the earth_, 1873.]
A cela un disciple de Newton, Désaguliers, répondait qu'aucune loi
d'attraction, aucune distribution de densité à l'intérieur ne pouvait se
concilier avec l'ellipsoïde allongé. C'était aller trop loin. Clairaut
montra depuis qu'avec un noyau solide d'une forme convenable
l'ellipsoïde allongé pourrait être figure d'équilibre. D'autre part,
l'Anglais Childrey estimait que la Terre devait être allongée parce
qu'il tombe annuellement sur les pôles plus de neige que le Soleil n'en
peut fondre. C'était méconnaître l'influence de la marche des glaciers
et de la dérive des banquises.
La thèse de Newton trouvait d'ailleurs des partisans distingués, même en
France. En 1720, un écrit anonyme parut sous le titre: _Examen
désintéressé des diverses opinions concernant la figure de la Terre_.
Sous couleur de rapporter impartialement les arguments pour et contre,
il faisait bonne justice des prétentions de Cassini à une exactitude
supérieure. L'auteur dissimulé de l'Ouvrage était Maupertuis,
académicien et homme du monde, bien reçu chez les grands et en rivalité
avec Cassini. En 1732, il publia, sous son nom cette fois, un _Discours
des différentes figures des astres_. Il y commente et justifie avec
intelligence les résultats de Newton. Il montre comment la mesure de
deux arcs de méridien éloignés est nécessaire pour déduire des valeurs
un peu sûres des demi-axes de l'ellipse.
Sous l'impression produite par le Livre de Maupertuis, l'Académie des
Sciences résolut de procéder à une expérience décisive. Deux expéditions
furent organisées. L'une devait se rendre au Pérou, l'autre en Laponie.
En vue de la mesure des bases, on commanda au même artiste, Langlois,
deux règles de fer aussi égales que possible, connues depuis sous les
noms de _toise du Pérou et de toise du Nord_.
[Illustration: Fig. 4 Cercle méridien portatif de Brünner employé pour
la mesure des latitudes dans le Service géographique de l'Armée
française.]
Maupertuis, désigné comme chef de l'expédition de Laponie, se mit en
route en avril 1736. Il emmenait avec lui Clairaut, Camus, Lemonnier
fils, l'abbé Outhier; Celsius, professeur d'Astronomie à Upsal, se
joignit à eux. Deux relations nous sont parvenues, écrites, l'une par
Maupertuis, l'autre par l'abbé Outhier. Elles se complètent utilement
sur plus d'un point. Les triangulations et les visées astronomiques,
contrariées par les marécages, les moustiques, la brume autour des
sommets, la rigueur du climat, furent cependant menées à bien dans l'été
et l'automne de 1736. On mesura une base de 7406 toises sur la glace
d'un fleuve et l'on s'installa pour le reste de l'hiver dans le village
de Tornea, enseveli sous la neige. Les calculs, mis au net, donnaient 57
422 toises au degré. La comparaison avec l'arc français portait
l'aplatissement à 1/178, chiffre supérieur à celui que Newton avait
prévu. En tout cas, aucun doute ne pouvait subsister sur sa réalité. «On
tint la chose secrète, dit Maupertuis, tant pour se donner le loisir de
la réflexion sur une chose peu attendue que pour avoir le plaisir d'en
apporter à Paris la première nouvelle.»
[Illustration: Fig. 5. Cercle azimutal de Brünner, employé dans le
Service géographique de l'Armée française.]
Le départ eut lieu en juin 1737. Au moment de l'embarquement, un
accident survint. Les instruments tombèrent à la mer et ne purent être
repêchés que déjà endommagés par la rouille. On doit reconnaître aussi
que toutes les vérifications désirables n'avaient pas été faites et leur
omission donna lieu, de la part des amis de Cassini, à quelques
critiques justifiées.
La mission du Pérou comprenait Godin, Bouguer, La Condamine, plusieurs
auxiliaires. Elle s'adjoignit ultérieurement deux officiers espagnols,
George Juan et Antonio de Ulloa. Godin, le plus ancien académicien,
était le chef nominal.
Le départ eut lieu à La Rochelle, le 16 mai 1735, près d'un an avant
celui des académiciens du Nord. Mais l'expédition devait durer bien
davantage et les résultats ne furent élucidés que longtemps après. On
n'avait pas encore mesuré un degré de latitude sur trois quand les
nouvelles d'Europe apprirent le retour et le succès des académiciens du
Nord, partis les derniers.
Ce retard tenait à bien des causes et n'avait pas été sans quelque
profit pour la Science. On avait fait escale à la Martinique, à
Saint-Domingue; on avait entrepris des recherches sur la réfraction, sur
le pendule. C'est à Saint-Domingue que Bouguer imagina et fit réaliser
le pendule invariable. On arriva à Quito le 13 juin 1736; mais à partir
de ce moment des difficultés sans nombre surgirent, occasionnées par le
climat inconstant du pays, son caractère montueux, l'impossibilité
d'obtenir un concours efficace des autorités espagnoles et des indigènes
et aussi, on doit le dire, par le défaut d'entente des observateurs.
Chacun d'eux s'appliquait à garder le plus possible le secret de ses
chiffres et à dissimuler dans ses opérations ce qui pouvait donner prise
à la critique. Il fut fait, en réalité, deux triangulations distinctes
et trois relations furent publiées, dues respectivement à Bouguer, à La
Condamine et aux officiers espagnols. Nous devons à cette circonstance
de connaître divers détails qu'un rapport fait en commun eût laissés
dans l'ombre et qui sont utiles pour apprécier l'exactitude du résultat
final. Cette critique a été faite d'une manière pénétrante par Delambre
dans un travail demeuré longtemps inédit et que M. Bigourdan a eu le
mérite de mettre en lumière[4].
[Note 4: G. BIGOURDAN, _Sur diverses mesures d'arc de méridien, faites
dans la première moitié du XVIIIe siècle_ (_Bulletin astronomique_, t.
XVIII, p. 320).]
Bouguer et La Condamine s'étaient promis de ne point faire connaître au
public les déterminations astronomiques exécutées en premier lieu,
reconnues plus tard défectueuses, et qu'il avait été nécessaire de
recommencer. Mais La Condamine, écrivain facile, causeur brillant et
intarissable, était l'homme du monde le moins propre à tenir strictement
un engagement de ce genre. Les trois académiciens, rentrés en France en
1744, 1745 et 1751, mirent le public au courant de leurs aventures et de
leurs travaux. Bouguer publia en 1752 une _Justification des Mémoires de
l'Académie_, pour se plaindre des indiscrétions de son collègue. Une
vive polémique s'ouvrit et ne se termina que par la mort d'un des
adversaires.
[Illustration: Fig. 6. Signal de Saint-Antoine, pylône en briques,
construit pour le Service géographique de l'Armée.]
Ces querelles personnelles ont perdu de leur intérêt aujourd'hui, et ne
doivent pas nous empêcher d'accorder, aux uns comme aux autres, le
tribut d'éloges qui leur est dû. Les missionnaires du Pérou, pas plus
que ceux de Laponie, n'ont dit le dernier mot sur la question ardue de
la forme de la Terre. Ils ont, au prix d'efforts et de travaux
méritoires, mis hors de doute la réalité de l'aplatissement. Pour la
valeur du degré de latitude à l'équateur, Bouguer donne 56 736 toises,
La Condamine 56 714 toises, les officiers espagnols trouvent 56 768
toises. Adoptons le premier résultat, qui tient le milieu entre les deux
autres. Combiné avec le degré du Nord, il donne l'aplatissement 1/223,
plus fort que celui de Newton. La correction aurait dû, nous ne pouvons
en douter aujourd'hui, être faite en sens contraire. On arrive au
chiffre plus vraisemblable 1/324 si l'on substitue aux données de
Maupertuis celles d'une mission suédoise qui opéra sur le même terrain
de 1801 à 1803 sous la direction de Svanberg. L'arc du Pérou fait aussi
l'objet d'une revision qui s'exécute en ce moment par les soins du
gouvernement français. Tant que les résultats n'en seront pas publiés,
les travaux des académiciens du XVIIIe siècle resteront un élément
essentiel dans notre connaissance des dimensions du globe terrestre. Il
faut en dire autant d'un arc de méridien mesuré vers la même époque par
Lacaille dans le voisinage du cap de Bonne-Espérance, repris au siècle
suivant par Maclear et Airy, et que l'intervention du gouvernement
anglais promet d'étendre bientôt à travers l'Afrique australe tout
entière.
[Illustration: Fig. 7. Mesure d'une base géodésique avec une règle
monométallique. La règle est installée sous un abri, que l'on enlève par
portions pour le reconstruire plus loin. Elle est enfermée dans une auge
qui assure l'uniformité de la température et visée à ses deux extrémités
à l'aide de microscopes.]
D'importantes recherches théoriques s'accomplissaient, vers la même
époque, dans la voie ouverte par Newton. Mac Laurin, dans son _Traité
des fluxions_, publié en 1742, résolut le problème de l'attraction d'un
ellipsoïde homogène de révolution sur un point intérieur quelconque. Il
démontra que l'ellipsoïde aplati est une figure d'équilibre pour une
masse fluide homogène tournant autour du petit axe avec une vitesse
convenable.
Les _Mathematical dissertations_ de Thomas Simpson, parues en 1743,
établissent l'existence d'une vitesse angulaire limite, au delà de
laquelle l'équilibre relatif est impossible. Elles montrent que deux
ellipsoïdes différents peuvent répondre à une même vitesse angulaire.
Tant que les recherches mathématiques n'avaient pour objet que des corps
homogènes, on pouvait douter qu'elles fussent susceptibles d'une
application utile aux planètes. Clairaut fut le premier à s'engager avec
succès dans la voie difficile de l'attraction d'un ellipsoïde
hétérogène. Sa _Théorie de la figure de la Terre_ (1743), où se déploie
un talent analytique de premier ordre, demeure sur bien des points un
modèle qui n'a guère été dépassé. Clairaut suppose que les surfaces
d'égale densité sont, aussi bien que la surface extérieure, des
ellipsoïdes de révolution autour d'un même axe, mais il laisse
arbitraire la loi de variation de densité, aussi bien que la loi de
variation d'ellipticité d'une couche à l'autre. Il admet seulement (ce
qui est d'ailleurs fort vraisemblable) que, d'une couche à l'autre, la
densité augmente toujours quand on se rapproche du centre.
Partant de ces hypothèses, Clairaut démontre tout une série de lois
remarquables. Appelons:
a, b les demi-axes d'une couche quelconque, ρ la densité correspondante;
e l'ellipticité b-a/a de cette même couche;
e_1 l'ellipticité de la surface externe;
φ le rapport de la force centrifuge à la pesanteur équatoriale sur la
surface externe;
g_e la pesanteur à l'équateur;
g la pesanteur à la latitude Ψ. On trouve alors:
_Première loi._--Les ellipticités vont toujours en croissant de la
surface au centre.
_Deuxième loi._--Le rapport e/a³ prend des valeurs croissantes de la
surface au centre.
_Troisième loi._--Si l'on pose n = (5/2)φ - e_1, on peut écrire
approximativement
g = g_e(1 + n sin² Ψ).
_Quatrième loi._--L'ellipticité e_1 de la surface externe est toujours
comprise entre φ/2 et 5φ/4.
_Cinquième loi._--Si l'on regarde _e_ et ρ comme des fonctions inconnues
de _a_, on peut écrire une équation différentielle qui relie ces deux
fonctions, et qui devient intégrable si l'on adopte pour ρ certaines
formes simples en fonction de _a_[5].
[Note 5: Nous renverrons, pour la démonstration de ces propriétés, au
_Traité de Mécanique céleste_ de Tisserand, t. II.]
Les trois dernières lois sont précieuses en ce qu'elles ont lieu pour
toute distribution des matériaux à l'intérieur, sous la réserve que
cette distribution rentre dans les hypothèses, d'ailleurs passablement
larges et souples, de Clairaut. Il n'est pas toutefois démontré, ni même
probable que la constitution du globe terrestre s'y conforme
rigoureusement. Une infraction à ces lois, établie par l'expérience, ne
serait donc pas un paradoxe mathématique.
Ces mêmes lois sont approximatives, et s'obtiennent en négligeant la
seconde puissance de l'ellipticité. On peut se permettre cette
simplification pour la Terre et pour la Lune. Il est plus difficile de
s'en contenter pour Jupiter ou Saturne. Dans un Mémoire inséré aux
_Annales de l'Observatoire de Paris_, t. XIX, Callandreau a montré
comment les énoncés des lois de Clairaut devraient être complétés pour
ces deux planètes.
La troisième loi confirme et précise l'énoncé de Newton, concernant la
variation de la pesanteur à la surface. Elle montre comment la forme du
globe pourrait être connue exactement par les seules mesures du pendule,
s'il ne fallait pas compter avec les anomalies locales.
La limite inférieure de l'ellipticité, donnée par la quatrième loi,
correspond à l'aplatissement de Huygens et à la concentration de toute
la masse en un seul point. La limite supérieure conduit à
l'aplatissement de Newton et à l'homogénéité de toute la masse.
Cette quatrième loi se vérifie pour la Terre, Jupiter et Saturne,
c'est-à-dire pour les astres où la durée de rotation et l'ellipticité
sont l'une et l'autre mesurables. En ce qui concerne le Soleil, Mercure,
Vénus, la Lune et Mars, les deux limites de Clairaut font seulement
prévoir une ellipticité insensible, ce qui est encore conforme à
l'observation. Il n'y a pas là, évidemment, une démonstration précise,
mais une présomption sérieuse pour considérer la théorie de Clairaut
comme exacte dans ses grandes lignes.
[Illustration: Fig. 8. Transport des abris pour la mesure d'une base.
(Expédition française dans la République de l'Équateur, sous la
direction du Colonel BOURGEOIS.)]