SOMMAIRE. Vue générale de la dynamique.
L'objet essentiel de la dynamique consiste, comme nous l'avons vu, dans
l'étude des mouvemens variés produits par les forces _continues_, la
théorie des mouvemens uniformes dus aux forces _instantanées_ n'étant
entièrement qu'une simple conséquence immédiate des trois lois
fondamentales du mouvement. Dans cette dynamique des mouvemens variés ou
des forces continues on distingue ordinairement et avec raison deux cas
généraux, suivant qu'on considère le mouvement d'un point ou celui d'un
corps. Sous le point de vue le plus positif, cette distinction revient à
concevoir que, dans certains cas, toutes les parties du corps prennent
exactement le même mouvement, en sorte qu'il suffit alors en effet de
déterminer le mouvement d'une seule molécule, chacune se mouvant comme
si elle était isolée, sans aucun égard aux conditions de liaison du
système; tandis que, dans le cas le plus général, chaque portion du
corps ou chaque corps du système prenant un mouvement distinct, il faut
examiner ces divers effets et connaître l'influence qu'exercent sur eux
les relations qui caractérisent le système considéré. La seconde théorie
étant évidemment plus compliquée que la première, c'est par celle-ci
qu'il convient nécessairement de commencer l'étude spéciale de la
dynamique, même quand on les déduit toutes deux de principes uniformes.
Tel est aussi l'ordre que nous adopterons ici dans l'indication de nos
considérations philosophiques.
Relativement au mouvement d'un point, nous savons déjà que la question
générale consiste à déterminer exactement toutes les circonstances du
mouvement curviligne composé, résultant de l'action simultanée de
diverses forces continues quelconques, en supposant entièrement connu le
mouvement rectiligne que prendrait le mobile sous l'influence exclusive
de chaque force envisagée isolément. Nous avons également constaté que
ce problème était susceptible, comme tout autre, d'être considéré en
sens inverse, lorsqu'on se proposait, au contraire, de découvrir par
quelles forces le corps est sollicité, d'après les circonstances
caractéristiques directement connues du mouvement composé.
Mais, avant d'entrer dans l'examen philosophique de ces deux questions
générales, nous devons d'abord arrêter notre attention sur une théorie
préliminaire fort importante, celle du mouvement varié envisagé en
lui-même, c'est-à-dire conformément à l'expression ordinaire, la théorie
du mouvement rectiligne produit par une seule force continue, agissant
indéfiniment selon la même direction. Cette théorie élémentaire est
indispensable pour établir les notions fondamentales qui se reproduisent
sans cesse dans toutes les parties de la dynamique. Voici en quoi elle
consiste essentiellement, d'après notre manière de concevoir la
mécanique rationnelle.
Nous avons précédemment remarqué que, dans la question dynamique
directe, il fallait nécessairement supposer connu l'effet de chaque
force unique, la véritable inconnue du problème général étant l'effet
déterminé par le concours de toutes les forces. Cette observation est
incontestable. Mais, d'après cela, quel peut être l'objet de cette
partie préliminaire de la dynamique qu'on destine à l'étude du mouvement
résultant de l'action d'une seule force continue? La contradiction
apparente ne tient qu'aux expressions peu exactes qu'on emploie
ordinairement, et d'après lesquelles une telle question semblerait aussi
distincte et aussi directe que les véritables questions dynamiques,
tandis qu'elle n'est réellement qu'un préliminaire. Pour en concevoir
nettement le vrai caractère, il faut observer que le mouvement varié
produit par une seule force continue peut être défini de plusieurs
manières, qui dépendent les unes des autres, et qui, par conséquent, ne
sauraient jamais être données simultanément, quoique chacune puisse être
séparément la plus convenable, d'où résulte la nécessité de savoir
passer, en général, de l'une quelconque d'entre elles à toutes les
autres: c'est dans ces transformations que consiste proprement la
théorie générale préliminaire du mouvement varié, désignée fort
inexactement sous le nom d'étude de l'action d'une force unique. Ces
diverses définitions équivalentes d'un même mouvement varié résultent de
la considération simultanée des trois fonctions fondamentales
distinctes, quoique co-relatives, qu'on y peut envisager, l'espace, la
vitesse et la force, conçus comme dépendant du temps écoulé. La loi du
mouvement peut être immédiatement donnée par la relation entre l'espace
parcouru et le temps écoulé, et alors il importe d'en déduire la
_vitesse acquise_ par le mobile à chaque instant, c'est-à-dire celle du
mouvement uniforme qui aurait lieu si, la force continue cessant tout à
coup d'agir, le corps ne se mouvait plus qu'en vertu de l'impulsion
naturelle résultant, d'après la loi d'inertie, du mouvement déjà
effectué: il est également intéressant de déterminer aussi quelle est, à
chaque instant, l'intensité de la force continue, comparée à celle d'une
force accélératrice constante bien connue, telle, par exemple, que la
gravité terrestre, la seule force de ce genre qui nous soit assez
familière pour servir habituellement de type convenable. Dans d'autres
occasions, au contraire, le mouvement pourra être naturellement défini
par la loi qui règle la variation de la vitesse en raison du temps, et
d'où il faudra conclure celle relative à l'espace, ainsi que celle qui
concerne la force. Il en serait de même si la définition primitive du
mouvement consistait dans la loi de la force continue, qui pourrait
n'être pas toujours immédiatement donnée en fonction du temps, mais
quelquefois par rapport à l'espace, comme par exemple lorsqu'il s'agit
de la gravitation universelle, ou d'autres fois relativement à la
vitesse, ainsi qu'on le voit pour la résistance des milieux. Enfin, si
l'on considère cet ordre de questions sous le point de vue le plus
étendu, il faut concevoir, en général, que la définition d'un mouvement
varié peut être donnée par une équation quelconque, pouvant contenir à
la fois ces quatre variables dont une seule est indépendante, le temps,
l'espace, la vitesse, et la force; le problème consistera à déduire de
cette équation la détermination distincte des trois lois
caractéristiques relatives à l'espace, à la vitesse et à la force, en
fonction du temps, et, par suite, en corélation mutuelle. Ce problème
général se réduit constamment à une recherche purement analytique, à
l'aide des deux formules dynamiques fondamentales qui expriment, en
fonction du temps, la vitesse et la force, quand on suppose connue la
loi relative à l'espace.
La méthode infinitésimale conduit à ces deux formules avec la plus
grande facilité. Il suffit en effet, pour les obtenir, de considérer,
suivant l'esprit de cette méthode, le mouvement comme uniforme pendant
la durée d'un même intervalle de temps infiniment petit, et comme
uniformément accéléré pendant deux intervalles consécutifs. Dès lors, la
vitesse, supposée momentanément constante, d'après la première
considération, sera naturellement exprimée par la différentielle de
l'espace divisée par celle du temps; et, de même, la force continue,
d'après la seconde considération, sera évidemment mesurée par le rapport
entre l'accroissement infiniment petit de la vitesse, et le temps
employé à produire cet accroissement. Ainsi, en appelant t le temps
écoulé, e l'espace parcouru, v la vitesse acquise et /varphi l'intensité
de la force continue à chaque instant, la corrélation générale et
nécessaire de ces quatre variables simultanées sera exprimée
analytiquement par les deux formules fondamentales, /[v =
/frac{de}{dt},/; /varphi = /frac{dv}{dt} = /frac{d^2e}{dt^2}./] D'après
ces formules, toutes les questions relatives à cette théorie
préliminaire du mouvement varié se réduiront immédiatement à de simples
recherches analytiques, qui consisteront ou dans des différentiations,
ou, le plus souvent, dans des intégrations. En considérant le cas le
plus général, où la définition primitive du mouvement proposé serait
donnée seulement par une équation entre les quatre variables, le
problème analytique consistera dans l'intégration d'une équation
différentielle du second ordre, relative à la fonction e, et qui pourra
être fréquemment inexécutable, vu l'extrême imperfection actuelle du
calcul intégral.
La conception fondamentale de Lagrange, relativement à l'analyse
transcendante, l'ayant nécessairement obligé à se priver des facilités
qu'offre l'emploi de la méthode infinitésimale pour l'établissement des
deux formules dynamiques précédentes, il a été conduit à présenter cette
théorie sous un nouveau point de vue, dont on n'a pas communément, ce me
semble, assez apprécié l'importance, et qui me paraît singulièrement
propre à éclaircir la véritable nature de ces notions élémentaires.
Lagrange a montré dans sa _théorie des fonctions analytiques_ que cette
considération dynamique consistait réellement à concevoir un mouvement
varié quelconque comme composé à chaque instant d'un certain mouvement
uniforme et d'un autre mouvement uniformément varié, en l'assimilant au
mouvement vertical d'un corps pesant lancé avec une impulsion initiale.
Mais, pour donner à cette lumineuse conception toute sa valeur
philosophique, je crois devoir la présenter sous un point de vue plus
étendu que ne l'a fait Lagrange, comme donnant lieu à une théorie
complète de l'assimilation des mouvemens, exactement semblable à la
théorie générale des contacts des courbes et des surfaces, exposée dans
les treizième et quatorzième leçons.
À cet effet, supposons deux mouvemens rectilignes quelconques, définis
par les équations e=f(t), E=F(t); que les deux mobiles soient parvenus
au bout du temps t à une même situation; et considérons leur distance
mutuelle après un certain temps t+h. Cette distance, qui sera égale à la
différence des valeurs correspondantes des deux fonctions f et F aura
évidemment pour expression, d'après la formule de Taylor, la série
/[(f'(t)-F'(t))h + (f''(t)-F''(t))/frac{h^2}{1.2.} +/]
/[(f'''(t)-F'''(t))/frac{h^3}{1.2.3.} + /mbox{/rm etc.}/] À l'aide de
cette série, on pourra, par des considérations entièrement analogues à
celles employées dans la théorie des courbes, se faire une idée nette de
l'assimilation plus ou moins parfaite des deux mouvemens, suivant les
relations analytiques plus ou moins étendues des deux fonctions
primitives f et F. Si leurs dérivées du premier ordre ont une même
valeur, il existera entre les deux mouvemens ce qu'on pourrait appeler
une _assimilation du premier ordre_, semblable au contact du premier
ordre dans les courbes, et qu'on pourra caractériser, sous le rapport
concret, en disant alors que le mouvement des deux corps sera le même
pendant un instant infiniment petit. Si, en outre, les deux dérivées du
second ordre prennent encore la même valeur, l'assimilation des
mouvemens deviendra plus intime, et s'élèvera au second ordre; elle
consistera physiquement alors en ce que les deux mobiles auront le même
mouvement pendant deux instans infiniment petits consécutifs.
Pareillement, en ajoutant à ces deux premières relations l'égalité des
troisièmes dérivées, on établira, entre les mouvemens considérés, une
_assimilation du troisième ordre_, qui les fera coïncider pendant trois
_instans_ consécutifs, et ainsi de suite indéfiniment. Le degré de
similitude des deux mouvemens, déterminé analytiquement par le nombre de
fonctions dérivées successives qui auront respectivement la même valeur,
aura toujours pour interprétation concrète la coïncidence des deux
mobiles pendant un nombre égal d'instans consécutifs; comme nous avons
vu l'ordre du contact des courbes mesuré géométriquement par la
communauté d'un nombre correspondant d'élémens successifs. Si la loi
caractéristique de l'un des mouvemens proposés contient, dans son
expression analytique, quelques constantes arbitraires, on pourra
l'_assimiler_ à un autre mouvement quelconque jusqu'à un _ordre_ marqué
par le nombre de ces constantes, qui seront alors déterminées d'après
les équations destinées à établir, suivant la théorie précédente, ce
degré d'intimité entre les deux mouvemens.
Cette conception fondamentale conduit à apercevoir la possibilité, du
moins sous le point de vue abstrait, d'acquérir une connaissance de plus
en plus approfondie d'un mouvement varié quelconque, en le comparant
successivement à une suite de mouvemens connus, dont la loi analytique
dépende d'un nombre de plus en plus grand de constantes arbitraires, et
qui pourront, par conséquent, avoir avec lui une coïncidence de plus en
plus prolongée. Mais, de même que nous avons vu la théorie générale des
contacts des lignes, appliquée à la mesure de la courbure les unes par
les autres, devoir se réduire effectivement à la comparaison d'une
courbe quelconque d'abord avec une ligne droite et ensuite avec un
cercle, ces deux lignes étant les seules qu'on puisse regarder comme
assez connues pour servir utilement de type à l'égard des autres,
pareillement la théorie dynamique relative à la mesure des mouvemens les
uns par les autres doit être réellement limitée à la comparaison
effective de tout mouvement varié, d'abord avec un mouvement uniforme où
l'espace est proportionnel au temps, et ensuite avec un mouvement
uniformément varié où l'espace croît en raison du carré du temps; ou
bien, afin de tout embrasser en une seule considération, avec un
mouvement composé d'un mouvement uniforme, et d'un autre uniformément
varié, tel que celui d'un corps pesant animé d'une impulsion initiale.
Ces deux mouvemens élémentaires sont, en effet, comme le remarque
Lagrange, les seuls dont nous ayons réellement une notion assez
familière pour que nous puissions les appliquer avec succès à la mesure
de tous les autres. En établissant cette assimilation, on trouve,
d'après la théorie précédente, que tout mouvement varié peut être à
chaque instant comparé à celui d'un corps pesant qui aurait reçu une
vitesse initiale égale à la première dérivée de l'espace parcouru
envisagé comme une fonction du temps écoulé, et qui serait animé d'une
gravité mesurée par la seconde dérivée de cette même fonction, ce qui
nous fait rentrer dans les deux formules fondamentales obtenues
ci-dessus par la méthode infinitésimale. Le mouvement proposé coïncidera
pendant un instant infiniment petit avec le mouvement uniforme exprimé
dans la première partie de cette comparaison, et pendant deux instans
consécutifs avec le mouvement uniformément accéléré qui correspond à la
seconde partie. On se formera donc ainsi une idée nette du mouvement du
mobile à chaque moment, et de la manière dont il varie d'un moment à
l'autre, ce qui est strictement suffisant.
Quoique la conception de Lagrange, telle que je l'ai généralisée,
conduise finalement aux mêmes résultats que la théorie ordinaire, il est
aisé de sentir cependant sa supériorité rationnelle, puisque ces deux
théorèmes fondamentaux, dans lesquels on avait vu jusqu'alors le terme
absolu des efforts de l'esprit humain, relativement à l'étude des
mouvemens variés, peuvent être envisagés maintenant comme une simple
application particulière d'une méthode très-générale, qui nous permet
abstraitement d'entrevoir une mesure beaucoup plus parfaite de tout
mouvement varié, quoique de puissans motifs de convenance nous obligent
à considérer seulement la mesure primitivement adoptée. On conçoit,
d'après ce qui précède, que si la nature nous offrait un exemple simple
et familier d'un mouvement rectiligne dans lequel l'espace croîtrait
proportionnellement au cube du temps, en ajoutant à nos notions
dynamiques ordinaires la considération habituelle de ce mouvement, nous
obtiendrions une connaissance plus approfondie de la nature d'un
mouvement varié quelconque, qui pourrait alors avoir avec le triple
mouvement ainsi composé une assimilation du troisième ordre, ce qui nous
permettrait d'envisager directement, par une seule vue de l'esprit,
l'état du mobile pendant trois instans consécutifs, tandis que nous
sommes maintenant forcés de nous arrêter à deux instans. Sous le rapport
analytique, au lieu de nous borner aux deux premières fonctions dérivées
de l'espace relativement au temps, cette méthode reviendrait à
considérer simultanément la troisième dérivée, qui aurait dès lors aussi
une signification dynamique, dont elle est actuellement dépourvue. Dans
cette supposition, de même que nous concevons habituellement la force
accélératrice pour nous représenter les changemens de la vitesse, nous
aurions pareillement une considération dynamique propre à nous figurer
les variations de la force continue. Notre étude générale des mouvemens
variés deviendrait encore plus parfaite si, étendant cette hypothèse, il
existait en outre un mouvement connu dans lequel l'espace fût
proportionnel à la quatrième puissance du temps, et ainsi de suite. Mais
en réalité, parmi les mouvemens simples où l'espace parcouru se trouve
croître proportionnellement à une puissance entière et positive du temps
écoulé, l'observation ne nous faisant connaître que le mouvement
uniforme produit par une impulsion unique et le mouvement uniformément
accéléré qui résulte de la pesanteur terrestre suivant la découverte de
Galilée, nous sommes contraints de nous arrêter aux deux premiers degrés
de la théorie précédente pour la mesure générale des mouvemens variés
quelconques. Telle est la véritable explication philosophique de la
méthode universellement adoptée, estimée à sa valeur réelle.
J'ai cru devoir insister sur cette explication, parce que cette
conception fondamentale me semble n'être pas encore appréciée d'une
manière convenable, quoiqu'elle soit la base de la dynamique tout
entière.
Après l'examen général de cette importante théorie préliminaire, je
passe maintenant à considérer sommairement le caractère philosophique de
la véritable dynamique rationnelle directe, c'est-à-dire de l'étude du
mouvement curviligne produit par l'action simultanée de diverses forces
continues quelconques, en continuant à supposer d'abord que le mobile
soit regardé comme un point, ou, ce qui revient au même, que toutes les
molécules du corps prenant exactement le même mouvement, chacune se
meuve isolément sans être affectée par sa liaison avec les autres.
On doit distinguer, en général, dans le mouvement curviligne d'une
molécule soumise à l'action de forces quelconques, deux cas
très-différens, suivant qu'elle est d'ailleurs entièrement libre, de
manière à devoir décrire la trajectoire qui résultera naturellement de
la combinaison des forces proposées, ou que, au contraire, elle est
astreinte à se mouvoir sur une seule courbe ou sur une surface donnée.
La théorie fondamentale du mouvement curviligne peut être établie dans
son ensemble suivant deux modes fort distincts, en prenant pour base
l'un ou l'autre de ces deux cas, car chacun d'eux peut être traité
directement et se trouve en même temps susceptible de se rattacher à
l'autre, les deux considérations étant presqu'également naturelles selon
le point de vue où l'esprit se place. En parlant du premier cas, il
suffira, pour en déduire le second, de regarder la résistance, tant
active que passive, de la courbe ou de la surface sur laquelle le corps
est assujetti à rester, comme une nouvelle force à joindre à celles du
système proposé, ainsi que nous avons vu qu'on a coutume de le faire en
statique. Si, au contraire, on préfère d'établir d'abord la théorie du
second cas, on y ramènera ensuite le premier, en considérant le mobile
comme forcé à décrire la courbe qu'il doit effectivement parcourir, ce
qui suffira entièrement pour former les équations fondamentales, malgré
que cette courbe soit alors primitivement inconnue. Quoique cette
dernière méthode ne soit point ordinairement employée, il convient, je
crois, de les caractériser ici toutes deux, pour donner le plus
complétement possible une juste idée de la théorie générale du mouvement
curviligne, car chacune d'elles a, ce me semble, des avantages importans
qui lui sont propres. Considérons d'abord la première.
Examinant, en premier lieu, le mouvement curviligne d'une molécule
entièrement libre soumise à l'action de forces continues quelconques, on
peut former de deux manières distinctes les équations fondamentales de
ce mouvement, en les déduisant par deux modes différens de la théorie
du mouvement rectiligne. Le premier mode, qui a d'abord été le plus
employé par les géomètres, quoique, sous le rapport analytique, il ne
soit pas le plus simple, consiste à décomposer à chaque instant la
résultante totale des forces continues qui agissent sur le mobile en
deux forces, l'une dirigée selon la tangente à la trajectoire qu'il
décrit, l'autre suivant la normale. Considérons alors pendant un instant
infiniment petit, le mouvement comme rectiligne et ayant lieu dans la
direction de la tangente, d'après la première loi fondamentale du
mouvement. La progression du corps en ce sens ne sera évidemment due
qu'à la première de ces deux composantes, à laquelle, par conséquent, on
pourra appliquer la formule élémentaire rapportée ci-dessus par le
mouvement rectiligne. Cette composante, qui est d'ailleurs égale à la
force accélératrice totale multipliée par le cosinus de son inclinaison
sur la tangente, sera donc exprimée par la seconde fonction dérivée de
l'arc de la courbe relativement au temps. En développant cette équation
par les formules géométriques connues, et introduisant dans le calcul
les composantes de la force accélératrice totale parallèlement aux trois
axes coordonnés rectangulaires, on parvient finalement aux trois
équations fondamentales ordinaires du mouvement curviligne Le second
mode, plus simple et plus régulier, dû à Euler, et depuis généralement
adopté, consiste à obtenir immédiatement ces équations en décomposant
directement le mouvement du corps à chaque instant, ainsi que la force
continue totale dont il est animé, en trois autres dans le sens des
trois axes coordonnés. D'après la troisième loi fondamentale du
mouvement, le mouvement selon chaque axe étant indépendant des mouvemens
suivant les deux autres n'est dû qu'à la composante totale des forces
accélératrices parallèlement à cet axe, en sorte que le mouvement
curviligne se trouve ainsi continuellement remplacé par le système de
trois mouvemens rectilignes, à chacun desquels on peut aussitôt
appliquer la théorie dynamique préliminaire indiquée ci-dessus. En
nommant X, Y, Z, les composantes totales, parallèlement aux trois axes
des x, des y, et des z, des forces continues qui agissent à chaque
instant dt sur la molécule dont les coordonnées sont x, y, z, on obtient
ainsi immédiatement les équations /[/frac{d^2x}{dt^2} =
X,/;/frac{d^2y}{dt^2} = Y,/;/frac{d^2z}{dt^2} = Z,/] auxquelles on ne
parvient que par un assez long calcul en suivant le premier mode.
Telles sont les équations différentielles fondamentales du mouvement
curviligne, d'après lesquelles les questions quelconques de dynamique
relatives à un corps dont toutes les molécules prennent exactement le
même mouvement se réduisent immédiatement à des problèmes purement
analytiques, lorsque les données ont été convenablement exprimées. En
considérant d'abord la question générale directe, qui est la plus
importante, on se propose, connaissant la loi des forces continues dont
le corps est animé, de déterminer toutes les circonstances de son
mouvement effectif. Pour cela, de quelque manière que cette loi soit
donnée, ou en fonction du temps, ou en fonction des coordonnées, ou en
fonction de la vitesse, il suffira en général d'intégrer ces trois
équations du second ordre, ce qui donnera lieu à des difficultés
analytiques plus ou moins élevées, que l'imperfection du calcul intégral
pourra rendre fréquemment insurmontables. Les six constantes arbitraires
successivement introduites par cette intégration se détermineront
d'ailleurs en ayant égard aux circonstances de l'état initial du mobile,
dont les équations différentielles n'ont pu conserver aucune trace. On
obtiendra ainsi les trois coordonnées du corps en fonction du temps, de
manière à pouvoir assigner exactement sa position à chaque instant; et
on trouvera ensuite les deux équations caractéristiques de la courbe
qu'il décrit, en éliminant le temps entre ces trois expressions. Quant
à la vitesse acquise par le mobile à une époque quelconque, on pourra
dès lors la déterminer aussi d'après les valeurs de ses trois
composantes, dans le sens des axes, /frac{dx}{dt}, /frac{dy}{dt},
/frac{dz}{dt}. Il est d'ailleurs utile de remarquer, à cet égard, que
cette vitesse v sera souvent susceptible d'être immédiatement calculée
par une combinaison fort simple des trois équations différentielles
fondamentales, qui donne évidemment la formule générale /[v^2 = 2/int
(Xdx + Ydy + Zdz),/] à l'aide de laquelle une seule intégration suffira
pour la détermination directe de la vitesse, lorsque l'expression placée
sous le signe /int satisfera aux conditions connues d'intégrabilité
relativement aux trois variables x, y, z, envisagées comme
indépendantes. Cette propriété n'a pas lieu, sans doute, relativement à
toutes les forces continues possibles, ni même par rapport à toutes
celles que nous présentent en effet les phénomènes naturels, puisque,
par exemple, elle ne saurait se vérifier pour les forces qui
représentent la résistance des milieux, ou les frottemens, ou, en
général, quant à toutes celles dont la loi primitive dépend du temps ou
de la vitesse elle-même. La remarque précédente n'en est pas moins
regardée avec raison par les géomètres comme ayant une extrême
importance pour simplifier les recherches analytiques auxquelles se
réduisent les problèmes de dynamique, car la condition énoncée se
vérifie constamment, ainsi qu'il est aisé de le prouver, dans un cas
particulier fort étendu, qui comprend toutes les grandes applications de
la dynamique rationnelle à la mécanique céleste, c'est-à-dire celui où
toutes les forces continues dont le corps est animé sont des tendances
vers des centres fixes, agissant suivant une fonction quelconque de la
distance du corps à chaque centre, mais indépendamment de la direction.
Si, prenant maintenant en sens inverse la théorie générale du mouvement
curviligne d'une molécule libre, on se propose de déterminer, au
contraire, d'après les circonstances caractéristiques du mouvement
effectif, la loi des forces accélératrices qui ont pu le produire, la
question sera nécessairement beaucoup plus simple sous le rapport
analytique, puisqu'elle ne consistera essentiellement qu'en des
différentiations. Car il sera toujours possible alors, par des
recherches préliminaires plus ou moins compliquées, qui ne pourront
porter que sur des considérations purement géométriques, de déduire, de
la définition primitive du mouvement proposé, les valeurs des trois
coordonnées du mobile à chaque instant en fonction du temps écoulé; et
dès lors, en différentiant deux fois ces trois expressions, on obtiendra
les composantes des forces continues suivant les trois axes, d'où l'on
pourra conclure immédiatement la loi de la force accélératrice totale,
de quelque nature qu'elle soit. C'est ainsi que nous verrons, dans la
seconde section de ce cours, les trois lois géométriques fondamentales
trouvées par Képler pour les mouvemens des corps célestes qui composent
notre système solaire, nous conduire nécessairement à la loi de
gravitation universelle, qui devient ensuite la base de toute la
mécanique générale de l'univers.
Après avoir établi la théorie du mouvement curviligne d'une molécule
libre, il est aisé d'y faire rentrer le cas où cette molécule est
assujétie, au contraire, à rester sur une courbe donnée. Il suffit,
comme je l'ai indiqué, de comprendre alors, parmi les forces continues
auxquelles la molécule est primitivement soumise, la résistance totale
exercée par la courbe proposée, ce qui permettra évidemment de
considérer le mobile comme entièrement libre. Toute la difficulté propre
à ce second cas se réduit donc essentiellement à analyser avec
exactitude cette résistance. Or il faut, à cet effet, distinguer
d'abord, dans la résistance de la courbe, deux parties très-différentes
qu'on pourrait appeler, pour les caractériser nettement, l'une
_statique_, l'autre _dynamique_. La résistance _statique_ est celle qui
aurait lieu lors même que le corps serait immobile; elle provient de la
pression exercée sur la courbe proposée par les forces accélératrices
dont il est animé; ainsi on l'obtiendra en déterminant la composante de
la force continue totale suivant la normale à la courbe donnée au point
que l'on considère. La résistance _dynamique_ a une origine toute
différente; elle n'est engendrée que par le mouvement, et résulte de la
tendance perpétuelle du corps à abandonner la courbe qu'il est forcé de
décrire, pour continuer à suivre, en vertu de la première loi
fondamentale du mouvement, la direction de la tangente. Cette seconde
résistance, qui se manifeste dans le passage du corps d'un élément de la
courbe à l'élément suivant, est évidemment dirigée à chaque instant
selon la normale à la courbe située dans le plan osculateur, et pourra,
par conséquent, n'avoir pas la même direction que la résistance
statique, si le plan osculateur ne contient pas la droite suivant
laquelle agit la force accélératrice totale. C'est à cette résistance
dynamique qu'on donne, en général, le nom de _force centrifuge_, tenant
à ce que les seules forces accélératrices considérées d'abord par les
géomètres étaient des forces _centripètes_, ou des tendances vers des
centres fixes. Quant à son intensité, en concevant cette force
centrifuge comme une nouvelle force accélératrice, elle sera mesurée par
la composante normale que produit, dans chaque instant infiniment petit,
la vitesse du mobile, lorsqu'il passe d'un élément de la courbe à un
autre. On trouve aisément ainsi, après avoir éliminé les infinitésimales
auxiliaires introduites d'abord naturellement par cette considération,
que la force centrifuge est continuellement égale au carré de la vitesse
effective du mobile divisé par le rayon de courbure correspondant de la
courbe proposée. Du reste, cette expression fondamentale, aussi bien que
la direction même de la force centrifuge, pourraient être entièrement
obtenues par le calcul, en introduisant préalablement cette force, d'une
manière complétement indéterminée, dans les trois équations
différentielles générales du mouvement curviligne rapportées ci-dessus.
Quoi qu'il en soit, après avoir déterminé la résistance dynamique, on la
composera convenablement avec la résistance statique, et, en faisant
entrer la résistance totale parmi les forces proposées, le problème sera
immédiatement ramené au cas précédent. La question la plus remarquable
de ce genre consiste dans l'étude du mouvement oscillatoire d'un corps
pesant sur une courbe quelconque (et particulièrement sur un cercle ou
sur une cycloïde), dont l'examen philosophique doit naturellement être
renvoyé à la partie de ce cours qui concerne la physique proprement
dite.
Il serait superflu de considérer distinctement ici le cas où le mobile,
au lieu de devoir décrire une courbe donnée, serait seulement assujéti à
rester sur une certaine surface. C'est essentiellement par les mêmes
considérations qu'on ramène ce nouveau cas, d'ailleurs peu important
dans les applications, à celui d'un corps libre. Il n'y a d'autre
différence réelle qu'en ce qu'alors la trajectoire du mobile n'est pas
d'abord entièrement déterminée, et qu'on est obligé, pour la connaître,
de joindre à l'équation de la surface proposée une autre équation
fournie par l'étude dynamique du problème.
Considérons maintenant, par aperçu, le second mode général distingué
précédemment pour construire la théorie fondamentale du mouvement
curviligne d'une molécule isolée, en partant, au contraire, du cas où la
molécule est préalablement assujétie à décrire une courbe donnée.
Toute la difficulté réelle consiste alors à établir directement le
théorème fondamental relatif à la mesure de la forme centrifuge. Or
c'est ce qu'on peut faire aisément, en considérant d'abord le mouvement
uniforme du corps dans un cercle, en vertu d'une impulsion initiale, et
sans aucune force accélératrice, ainsi que l'a supposé Huyghens, auquel
est due la base de cette théorie. La force centrifuge est dès lors
évidemment proportionnelle au sinus-verse de l'arc de cercle décrit dans
un instant infiniment petit, convenablement comparé au temps
correspondant, d'où il est facile de conclure, comme l'a fait Huyghens,
qu'elle a pour expression le carré de la vitesse constante avec laquelle
le mobile décrit le cercle divisé par le rayon de ce cercle. Ce résultat
une fois obtenu, en le combinant avec une autre notion fondamentale due
à Huyghens, on en déduit immédiatement la valeur de la force centrifuge
dans une courbe quelconque. Il suffit, pour cela, de concevoir que la
détermination de cette force exigeant seulement la considération
simultanée de deux élémens consécutifs de la courbe proposée, le
mouvement peut être continuellement envisagé comme ayant lieu dans le
cercle osculateur correspondant, puisque ce cercle présente relativement
à la courbe deux élémens successifs communs. On peut donc directement
transporter à une courbe quelconque l'expression de la force centrifuge
trouvée primitivement pour le cas du cercle, et établir, comme dans la
première méthode, mais bien plus simplement, qu'elle est généralement
égale au carré de la vitesse divisé par le rayon du cercle osculateur.
Cette manière de procéder présente l'avantage de donner une idée plus
nette de la force centrifuge.
Le cas du mouvement dans une courbe déterminée étant ainsi traité
préalablement avec toute la généralité convenable, il est aisé d'y
ramener celui d'un corps entièrement libre, décrivant la trajectoire qui
doit naturellement résulter de l'action simultanée de certaines forces
accélératrices quelconques. Il suffit, en effet, suivant l'indication
précédemment exprimée, de concevoir le corps comme assujéti à rester sur
la courbe qu'il décrira réellement, ce qui revient évidemment au même,
puisqu'il importe peu, en dynamique, le corps ne pouvant point
véritablement parcourir toute autre courbe, qu'il y soit contraint par
la nature des forces dont il est animé, ou par des conditions de liaison
spéciales. Dès lors ce mouvement donnera naissance à une véritable force
centrifuge, exprimée par la formule générale trouvée ci-dessus.
Maintenant il est clair que, si la force continue totale dont le mobile
est animé a été d'abord conçue comme décomposée à chaque instant en deux
autres, l'une dirigée suivant la tangente à la trajectoire, et l'autre
selon la normale située dans le plan osculateur, cette dernière doit
nécessairement être égale et directement opposée à la force centrifuge.
Or, cette composante normale ayant pour expression la force continue
totale multipliée par le cosinus de l'angle que sa direction forme avec
la normale, en égalant cette valeur à celle de la force centrifuge, on
formera une équation fondamentale d'où l'on pourra déduire les équations
générales du mouvement curviligne précédemment obtenues par une autre
méthode. On n'aura, pour cela, d'autre transformation à faire que
d'introduire dans cette équation, au lieu de la force continue totale et
de sa direction, ses composantes selon les trois axes coordonnés, et de
remplacer, dans la formule qui exprime la force centrifuge, la vitesse
et le rayon de courbure par leurs valeurs générales en fonction des
coordonnées. L'équation ainsi obtenue se décomposera naturellement en
trois, si l'on considère que, devant avoir lieu pour quelque système que
ce soit de forces accélératrices et pour une trajectoire quelconque,
elle doit se vérifier séparément par rapport à chacune des trois
coordonnées, envisagées momentanément comme trois variables entièrement
indépendantes. Ces trois équations se trouveront être exactement
identiques à celles rapportées ci-dessus. Quoique cette manière de les
obtenir soit bien moins directe, et qu'elle exige un plus grand appareil
analytique, j'ai cependant cru nécessaire de l'indiquer distinctement,
parce qu'elle me semble propre à éclairer, sous un rapport fort
important, la théorie ordinaire du mouvement curviligne, en rendant
sensible l'existence de la force centrifuge, même dans le cas d'un corps
libre, notion sur laquelle la méthode habituellement adoptée aujourd'hui
laisse communément beaucoup d'incertitude et d'obscurité.
Ayant suffisamment étudié, dans ce qui précède, le caractère général de
la partie de la dynamique relative au mouvement d'un point, ou, ce qui
revient au même, d'un corps dont toutes les molécules se meuvent
identiquement, nous devons maintenant examiner, sous un semblable point
de vue, la partie de la dynamique la plus difficile et la plus étendue,
celle qui se rapporte au cas plus réel du mouvement d'un système de
corps liés entre eux d'une manière quelconque, et dont les mouvemens
propres sont altérés par les conditions dépendantes de leur liaison. Je
considérerai soigneusement, dans la leçon suivante, les résultats
généraux obtenus jusqu'ici par les géomètres, relativement à cet ordre
de recherches. Je dois donc me borner strictement ici à caractériser la
méthode générale d'après laquelle on est parvenu à convertir tous les
problèmes de cette nature en de pures questions d'analyse.
Dans cette dernière partie de la dynamique, il faut préalablement
établir une nouvelle notion élémentaire, relativement à la mesure des
forces. En effet, les forces considérées jusqu'ici étant toujours
appliquées à une molécule unique, ou du moins agissant toutes sur un
même corps, leur intensité se trouvait être suffisamment mesurée, en
ayant seulement égard à la vitesse plus ou moins grande qu'elles
pouvaient imprimer au mobile à chaque instant. Mais, quand on vient à
envisager simultanément les mouvemens de plusieurs corps différens,
cette manière de mesurer les forces devient évidemment insuffisante,
puisqu'on ne saurait se dispenser de tenir compte de la masse de chaque
mobile, aussi bien que de sa vitesse. Pour la prendre convenablement en
considération, les géomètres ont établi cette notion fondamentale, que
les forces susceptibles d'imprimer à diverses masses une même vitesse
sont exactement entre elles comme ces masses; ou, en d'autres termes,
que les forces sont proportionnelles aux masses, aussi bien que nous les
avons reconnues, dans la quinzième leçon, d'après la troisième loi
physique du mouvement, être proportionnelles aux vitesses. Tous les
phénomènes relatifs à la communication du mouvement par le choc, ou de
toute autre manière, ont constamment confirmé la supposition de cette
nouvelle proportionnalité. Il en résulte évidemment que lorsqu'il faut
comparer, dans le cas le plus général, des forces qui impriment à des
masses inégales des vitesses différentes, chacune d'elles doit être
mesurée d'après le produit de la masse sur laquelle elle agit par la
vitesse correspondante. Ce produit, auquel les géomètres ont donné
communément le nom de _quantité de mouvement_, détermine exactement, en
effet, la force d'impulsion d'un corps dans le choc, la _percussion_
proprement dite, ainsi que la _pression_ qu'un corps peut exercer contre
tout obstacle fixe à son mouvement. Telle est la nouvelle notion
élémentaire relative à la mesure générale des forces, dont il serait
peut-être convenable de faire une quatrième et dernière loi fondamentale
du mouvement, en tant du moins que cette notion n'est point réellement
susceptible, comme quelques géomètres l'ont pensé, d'être logiquement
déduite des notions précédentes, et ne saurait être solidement établie
que sur des considérations physiques qui lui soient propres.
Cette notion préliminaire étant établie, examinons maintenant la
conception générale d'après laquelle peut être traitée la dynamique d'un
système quelconque de corps soumis à l'action de forces quelconques. La
difficulté caractéristique de cet ordre de questions consiste
essentiellement dans la manière de tenir compte de la liaison des
différens corps du système, en vertu de laquelle leurs réactions
mutuelles altéreront nécessairement les mouvemens propres que chaque
corps prendrait, s'il était seul, par l'influence des forces qui le
sollicitent, sans qu'on sache nullement _à priori_ en quoi peut
consister cette altération. Ainsi, pour choisir un exemple très-simple,
et néanmoins important, dans le célèbre problème du mouvement d'un
pendule composé, qui a été primitivement le principal sujet des
recherches des géomètres sur cette partie supérieure de la dynamique, il
est évident que, par suite de la liaison établie entre les corps ou les
molécules les plus rapprochés du point de suspension, et les corps ou
les molécules qui en sont les plus éloignés, il s'exercera une réaction
telle que ni les uns ni les autres n'oscilleront comme s'ils étaient
libres, le mouvement des premiers étant retardé, et celui des derniers
étant accéléré en vertu de la nécessité où ils se trouvent d'osciller
simultanément, sans qu'aucun principe dynamique déjà établi puisse faire
connaître la loi qui détermine ces réactions. Il en est de même dans
tous les autres cas relatifs au mouvement d'un système de corps. On
éprouve donc évidemment ici le besoin de nouvelles conceptions
dynamiques. Les géomètres, obéissant à ce sujet, à l'habitude imposée
presque constamment par la faiblesse de l'esprit humain, ont d'abord
traité cette nouvelle série de recherches, en créant pour ainsi dire un
nouveau principe particulier relativement à chaque question
essentielle. Telles ont été l'origine et la destination des diverses
propriétés générales du mouvement que nous examinerons dans la leçon
suivante, et qui, primitivement envisagées comme autant de _principes_
indépendans les uns des autres, ne sont plus aujourd'hui, aux yeux des
géomètres, que des théorèmes remarquables fournis simultanément par les
équations dynamiques fondamentales. On peut suivre, dans la _Mécanique
analytique_, l'histoire générale de cette série de travaux, que Lagrange
a présentée d'une manière si profondément intéressante pour l'étude de
la marche progressive de l'esprit humain. Cette manière de procéder a
été continuellement adoptée jusqu'à d'Alembert, qui a mis fin à toutes
ces recherches isolées, en s'élevant à une conception générale sur la
manière de tenir compte de la réaction dynamique des corps d'un système
en vertu de leurs liaisons, et en établissant par suite les équations
fondamentales du mouvement d'un système quelconque. Cette conception,
qui a toujours servi depuis, et qui servira indéfiniment de base à
toutes les recherches relatives à la dynamique des corps, consiste
essentiellement à faire rentrer les questions de mouvement dans de
simples questions d'équilibre, à l'aide de ce célèbre principe général
auquel l'accord unanime des géomètres a donné, avec tant de raison, le
nom de principe de d'Alembert. Considérons donc maintenant ce principe
d'une manière directe.
Lorsque, par les réactions que divers corps exercent les uns sur les
autres en vertu de leur liaison, chacun d'eux prend un mouvement
différent de celui que les forces dont il est animé lui eussent imprimé
s'il eût été libre, on peut évidemment regarder le mouvement naturel
comme décomposé en deux, dont l'un est celui qui aura effectivement
lieu, et dont l'autre, par conséquent, a été détruit. Le principe de
d'Alembert consiste proprement en ce que tous les mouvemens de ce
dernier genre, ou, en d'autres termes, les quantités de mouvemens
perdues ou gagnées par les différens corps du système dans leur
réaction, se font nécessairement équilibre, en ayant égard aux
conditions de liaison qui caractérisent le système proposé. Cette
lumineuse conception générale a été d'abord entrevue par Jacques
Bernouilli dans un cas particulier; car telle est évidemment la
considération qu'il emploie pour résoudre le problème du pendule
composé, lorsqu'il regarde la quantité de mouvement perdue par le corps
le plus rapproché du point de suspension, et la quantité de mouvement
gagnée par celui qui en est le plus éloigné, comme devant nécessairement
satisfaire à la loi d'équilibre du levier, relativement au point de
suspension, ce qui le conduit à former immédiatement une équation
susceptible de déterminer le centre d'oscillation du système de poids le
plus simple. Mais cette idée n'était, pour Jacques Bernouilli, qu'un
artifice isolé qui n'ôte rien au mérite de la grande conception de
d'Alembert, dont la propriété essentielle consiste dans son entière
généralité nécessaire.
En considérant le principe de d'Alembert sous le point de vue le plus
philosophique, on peut, ce me semble, en reconnaître le véritable germe
primitif dans la seconde loi fondamentale du mouvement (voyez la
quinzième leçon), établie par Newton sous le nom d'égalité de la
réaction à l'action. Le principe de d'Alembert coïncide exactement, en
effet, avec cette loi de Newton, quand on envisage seulement un système
de deux corps, agissant l'un sur l'autre suivant la ligne qui les joint.
Ce principe peut donc être envisagé comme la plus grande généralisation
possible de la loi de la réaction égale et contraire à l'action; et
cette manière nouvelle de le concevoir me paraît propre à faire
ressortir sa véritable nature, en lui donnant ainsi un caractère
physique, au lieu du caractère purement logique qui lui avait été
imprimé par d'Alembert. En conséquence nous ne verrons désormais dans ce
grand principe que notre seconde loi du mouvement étendue à un nombre
quelconque de corps, disposés entr'eux d'une manière quelconque.
D'après ce principe général, on conçoit que toute question de dynamique
pourra être immédiatement convertie en une simple question de statique,
puisqu'il suffira de former, dans chaque cas, les équations d'équilibre
entre les mouvemens détruits; ce qui donne la certitude nécessaire de
pouvoir mettre en équation un problème quelconque de dynamique, et de le
faire ainsi dépendre uniquement de recherches analytiques. Mais la forme
sous laquelle le principe de d'Alembert a été primitivement conçu n'est
point la plus convenable pour effectuer avec facilité cette
transformation fondamentale, vu la grande difficulté qu'on éprouve
souvent à discerner quels doivent être les mouvemens détruits, comme on
peut pleinement s'en convaincre par l'examen attentif du _Traité de
dynamique_ de d'Alembert, dont les solutions sont ordinairement si
compliquées. Hermann, et surtout Euler ont cherché à faire disparaître
la considération embarrassante des quantités de mouvement perdues ou
gagnées, en remplaçant les mouvemens détruits par les mouvemens
primitifs composés avec les mouvemens effectifs pris en sens contraire,
ce qui revient évidemment au même, puisque, quand une force a été
décomposée en deux, on peut réciproquement substituer à l'une des
composantes la combinaison de la résultante avec l'autre composante
prise en sens contraire. Dès lors le principe de d'Alembert, envisagé
sous ce nouveau point de vue, consiste simplement, en ce que les
mouvemens effectifs conformes à la liaison des corps du système devront
nécessairement, étant pris en sens inverse, faire toujours équilibre aux
mouvemens primitifs qui résulteraient de la seule action des forces
proposées sur chaque corps supposé libre; ce qui peut d'ailleurs être
établi directement, car il est évident que le système serait en
équilibre si on imprimait à chaque corps une quantité de mouvement égale
et contraire à celle qu'il prendra effectivement. Cette nouvelle forme
donnée par Euler au principe de d'Alembert est la plus convenable pour
en faire usage, comme ne prenant en considération que les mouvemens
primitifs et les mouvemens effectifs, qui sont les véritables élémens du
problème dynamique, dont les uns constituent les données et les autres
les inconnues. Tel est, en effet, le point de vue définitif sous lequel
le principe de d'Alembert a été habituellement conçu depuis.
Les questions relatives au mouvement étant ainsi généralement réduites,
de la manière la plus simple possible, à de pures questions d'équilibre,
la méthode la plus philosophique pour traiter la dynamique rationnelle
consiste à combiner le principe de d'Alembert avec le principe des
vitesses virtuelles, qui fournit directement, comme nous l'avons vu dans
la leçon précédente, toutes les équations nécessaires à l'équilibre
d'un système quelconque. Telle est la combinaison conçue par Lagrange,
et si admirablement développée dans sa _Mécanique analytique_, qui a
élevé la science générale de la mécanique abstraite au plus haut degré
de perfection que l'esprit humain puisse ambitionner sous le rapport
logique, c'est-à-dire à une rigoureuse unité, toutes les questions qui
peuvent s'y rapporter étant désormais uniformément rattachées à un
principe unique, d'après lequel la solution définitive d'un problème
quelconque ne présente plus nécessairement que des difficultés
analytiques. Pour établir le plus simplement possible la formule
générale de la dynamique, concevons que toutes les forces accélératrices
du système quelconque proposé aient été décomposées parallèlement aux
trois axes des coordonnées, et soient X, Y, Z, les groupes de forces
correspondant aux axes des x, y, z; en désignant par m la masse du
système, il devra y avoir équilibre, d'après le principe de d'Alembert,
entre les quantités primitives de mouvement mX, mY, mZ, et les quantités
de mouvement effectives prises en sens contraire, qui seront évidemment
exprimées par -m{d^2x}/over{dt^2}, -m{d^2y}/over{dt^2},
-m{d^2z}/over{dt^2}, suivant les trois axes. Ainsi, appliquant à cet
ensemble de forces le principe général des vitesses virtuelles, en ayant
soin de distinguer les variations relatives aux différens axes, on
obtiendra l'équation /[/int m/left(X-/frac{d^2x}{dt^2}/right)/delta x +
/int m/left(Y-/frac{d^2y}{dt^2}/right)/delta y +/] /[/int
m/left(Z-/frac{d^2z}{dt^2}/right)/delta z = 0,/] qui peut être regardée
comme comprenant implicitement toutes les équations nécessaires pour
l'entière détermination des diverses circonstances relatives au
mouvement d'un système quelconque de corps sollicités par des forces
quelconques. Les équations explicites se déduiront convenablement, dans
chaque cas, de celle formule générale, en réduisant toutes les
variations au plus petit nombre possible, d'après les conditions de
liaison qui caractériseront le système proposé, ce qui fournira autant
d'équations distinctes qu'il restera de variations réellement
indépendantes.
Afin de faire ressortir, sous le point de vue philosophique, toute la
fécondité de cette formule, et de montrer qu'elle comprend
rigoureusement l'ensemble total de la dynamique, il convient de
remarquer qu'on en pourrait même tirer, comme un simple cas particulier,
la théorie du mouvement curviligne d'une molécule unique; que nous avons
spécialement considérée dans la première partie de cette leçon. En effet
il est évident que, si toutes les forces continues proposées agissent
sur une seule molécule, la masse m disparaît de l'équation générale
précédente, qui, en distinguant séparément le mouvement virtuel relatif
à chaque axe, fournit immédiatement les trois équations fondamentales
établies ci-dessus pour le mouvement d'un point. Mais, bien qu'on doive
considérer cette filiation, sans laquelle on ne concevrait pas toute
l'étendue réelle de la formule générale de la dynamique, la théorie du
mouvement d'une seule molécule n'exige point véritablement l'emploi du
principe de d'Alembert, qui est essentiellement destiné à l'étude
dynamique des systèmes de corps. Cette première théorie est trop simple
par elle-même, et résulte trop immédiatement des lois fondamentales du
mouvement, pour que je n'aie pas cru devoir, conformément à l'usage
ordinaire, la présenter d'abord isolément, afin de rendre plus nettes
les importantes notions générales auxquelles elle donne naissance,
quoique nous devions finir par la faire rentrer, en vue d'une
coordination plus parfaite, dans la formule invariable qui renferme
nécessairement toutes les théories dynamiques possibles.
Ce serait sortir des limites naturelles de ce cours que d'indiquer ici
aucune application spéciale de cette formule générale à la solution
effective d'un problème dynamique quelconque, la méthode devant être le
seul objet essentiel de nos considérations philosophiques, sauf
l'indication des résultats principaux qu'elle a produits, et dont nous
nous occuperons dans la leçon suivante. Je crois cependant devoir
rappeler à ce sujet, comme une conception vraiment relative à la
_méthode_ bien plus qu'à la _science_, la distinction nécessaire,
signalée dans la leçon précédente, entre les mouvemens de _translation_
et les mouvemens de _rotation_. Pour étudier convenablement le mouvement
d'un système quelconque, il faut, en effet, l'envisager comme composé
d'une translation commune à toutes ses parties, et d'une rotation propre
à chacun de ses points autour d'un certain axe constant ou variable. Par
des motifs de simplification analytique dont nous aurons occasion, dans
la leçon suivante, d'indiquer l'origine, les géomètres considèrent
toujours de préférence le mouvement de rotation d'un système quelconque
relativement à son centre de gravité, ou, pour mieux dire, à son centre
des moyennes distances, qui présente, sous ce rapport, des propriétés
générales très-remarquables, dont la découverte est due à Euler. Dès
lors l'analyse complète du mouvement d'un système animé de forces
quelconques consiste essentiellement: 1º à déterminer à chaque instant
la vitesse du centre de gravité et la direction dans laquelle il se
meut, ce qui suffit pour faire connaître, comme nous le constaterons,
tout ce qui concerne la translation du système; 2º à déterminer
également à chaque instant la direction de l'axe instantané de rotation
passant par le centre de gravité, et la vitesse de rotation de chaque
partie du système autour de cet axe. Il est clair, en effet, que toutes
les circonstances secondaires du mouvement pourront nécessairement être
déduites, dans chaque cas, de ces deux déterminations principales.
La formule générale de la dynamique, établie ci-dessus, est évidemment,
par sa nature, tout aussi directement applicable au mouvement des
fluides qu'à celui des solides, pourvu qu'on prenne convenablement en
considération les conditions qui caractérisent l'état fluide, soit
liquide, soit gazeux, ce que nous avons eu occasion d'indiquer dans la
leçon précédente au sujet de l'équilibre. Aussi d'Alembert, après avoir
découvert le principe fondamental qui lui a permis, vu les progrès de la
statique, de traiter dans son ensemble la dynamique d'un système
quelconque, en a-t-il fait immédiatement application à l'établissement
des équations générales du mouvement des fluides, entièrement inconnues
jusqu'alors. Ces équations s'obtiennent surtout avec une grande facilité
d'après le principe des vitesses virtuelles, tel qu'il est exprimé par
la formule générale précédente. Cette partie de la dynamique ne laisse
donc réellement rien à désirer sous le rapport concret, et ne présente
plus que des difficultés purement analytiques, relatives à l'intégration
des équations aux différences partielles auxquelles on parvient. Mais il
faut reconnaître que cette intégration générale offrant jusqu'ici des
obstacles insurmontables, les connaissances effectives qu'on peut
déduire de cette théorie sont encore extrêmement imparfaites, même dans
les cas les plus simples; ce qui nous semblera sans doute inévitable, en
considérant la grande complication que nous avons déjà reconnue à cet
égard dans les questions de pure statique, dont la nature est cependant
bien moins complexe. Le seul problème de l'écoulement d'un liquide
pesant par un orifice donné, quelque facile qu'il doive paraître, n'a pu
encore être résolu d'une manière vraiment satisfaisante. Afin de
simplifier suffisamment les recherches analytiques dont il dépend, les
géomètres ont été obligés d'adopter la célèbre hypothèse proposée par
Daniel Bernouilli sous le nom de _parallélisme des tranches_, qui permet
de ne considérer le mouvement que par tranches, au lieu de devoir
l'envisager molécule à molécule. Mais cette hypothèse, qui consiste à
regarder chaque section horizontale du liquide comme se mouvant en
totalité et prenant la place de la suivante, est évidemment en
contradiction formelle avec la réalité dans presque tous les cas,
excepté dans un petit nombre de circonstances choisies pour ainsi dire
expressément, à cause des mouvemens latéraux dont une telle hypothèse
fait complétement abstraction, et dont l'existence sensible impose
nécessairement la loi d'étudier isolément le mouvement de chaque
molécule. La science générale de l'hydrodynamique ne peut donc
réellement être encore envisagée que comme étant à sa naissance, même
relativement aux liquides, et à plus forte raison à l'égard des gaz.
Mais il importe éminemment de reconnaître, d'un autre côté, que tous les
grands travaux qui restent à faire sous ce rapport consistent
essentiellement dans les progrès de la seule analyse mathématique, les
équations fondamentales du mouvement des fluides étant irrévocablement
établies.
Après avoir considéré sous ses divers aspects principaux le caractère
général de la méthode en mécanique rationnelle, et indiqué comment
toutes les questions qu'elle petit offrir se réduisent à des recherches
purement analytiques, il nous reste maintenant, pour compléter l'examen
philosophique de cette science fondamentale, à envisager, dans la leçon
suivante, les résultats principaux obtenus par l'esprit humain en
procédant ainsi, c'est-à-dire les propriétés générales les plus
remarquables de l'équilibre et du mouvement.