SOMMAIRE. Vue générale de la statique.
L'ensemble de la mécanique rationnelle peut être traité d'après deux
méthodes générales essentiellement distinctes et inégalement parfaites,
suivant que la statique est conçue d'une manière directe, ou qu'elle est
considérée comme un cas particulier de la dynamique. Par la première
méthode, on s'occupe immédiatement de découvrir un principe d'équilibre
suffisamment général, qu'on applique ensuite à la détermination des
conditions d'équilibre de tous les systèmes de forces possibles. Par la
seconde, au contraire, on cherche d'abord quel serait le mouvement
résultant de l'action simultanée des diverses forces quelconques
proposées, et on en déduit les relations qui doivent exister entre ces
forces pour que ce mouvement soit nul.
La statique étant nécessairement d'une nature plus simple que la
dynamique, la première méthode a pu seule être employée à l'origine de
la mécanique rationnelle. C'est, en effet, la seule qui fût connue des
anciens, entièrement étrangers à toute idée de dynamique, même la plus
élémentaire. Archimède, vrai fondateur de la statique, et auquel sont
dues toutes les notions essentielles que l'antiquité possédait à cet
égard, commence à établir la condition d'équilibre de deux poids
suspendus aux deux extrémités d'un levier droit, c'est-à-dire la
nécessité que ces poids soient en raison inverse de leurs distances au
point d'appui du levier; et il s'efforce ensuite de ramener autant que
possible à ce principe unique la recherche des relations d'équilibre
propres à d'autres systèmes de forces. Pareillement, quant à la statique
des fluides, il pose d'abord son célèbre principe, consistant en ce que
tout corps plongé dans un fluide perd une partie de son poids égale au
poids du fluide déplacé; et ensuite il en déduit, dans un grand nombre
de cas, la théorie de la stabilité des corps flottans. Mais le principe
du levier n'avait point par lui-même une assez grande généralité pour
qu'il fût possible de l'appliquer réellement à la détermination des
conditions d'équilibre de tous les systèmes de forces. Par quelques
ingénieux artifices qu'on ait successivement essayé d'en étendre
l'usage, on n'a pu effectivement y ramener que les systèmes composés de
forces parallèles. Quant aux forces dont les directions concourent, on a
d'abord essayé de suivre une marche analogue, en imaginant de nouveaux
principes directs d'équilibre spécialement propres à ce cas plus
général, et parmi lesquels il faut surtout remarquer l'heureuse idée de
Stévin, relative à l'équilibre du système de deux poids posés sur deux
plans inclinés adossés. Cette nouvelle idée-mère eût peut-être suffi
strictement pour combler la lacune que laissait dans la statique le
principe d'Archimède, puisque Stévin était parvenu à en déduire les
rapports d'équilibre entre trois forces appliquées en un même point,
dans le cas du moins où deux de ces forces sont à angles droits; et il
avait même remarqué que les trois forces sont alors entre elles comme
les trois côtés d'un triangle dont les angles seraient égaux à ceux
formés par ces trois forces. Mais, la dynamique ayant été fondée dans le
même temps par Galilée, les géomètres cessèrent de suivre l'ancienne
marche statique directe, préférant procéder à la recherche des
conditions d'équilibre d'après les lois dès lors connues de la
composition des forces. C'est par cette dernière méthode que Varignon
découvrit la véritable théorie générale de l'équilibre d'un système de
forces appliquées en un même point, et que plus tard d'Alembert établit
enfin, pour la première fois, les équations d'équilibre d'un système
quelconque de forces appliquées aux différens points d'un corps solide
de forme invariable. Cette méthode est encore aujourd'hui la plus
universellement employée.
Au premier abord, elle semble peu rationnelle, puisque, la dynamique
étant plus compliquée que la statique, il ne paraît nullement convenable
de faire dépendre celle-ci de l'autre. Il serait, en effet, plus
philosophique de ramener au contraire, s'il est possible, la dynamique à
la statique, comme on y est parvenu depuis. Mais on doit néanmoins
reconnaître que, pour traiter complétement la statique comme un cas
particulier de la dynamique, il suffit d'avoir formé seulement la partie
la plus élémentaire de celle-ci, la théorie des mouvemens uniformes,
sans avoir aucun besoin de la théorie des mouvemens variés. Il importe
d'expliquer avec précision cette distinction fondamentale.
A cet effet, observons d'abord qu'il existe, en général, deux sortes de
forces: 1º les forces que j'appelle _instantanées_, comme les
impulsions, qui n'agissent sur un corps qu'à l'origine du mouvement, en
l'abandonnant à lui-même aussitôt qu'il est en marche; 2º les forces
qu'on appelle assez improprement _accélératrices_, et que je préfère
nommer _continues_, comme les attractions, qui agissent sans cesse sur
le mobile pendant toute la durée du mouvement. Cette distinction
équivaut évidemment à celle des mouvemens _uniformes_ et des mouvemens
_variés_; car il est clair, en vertu de la première des trois lois
fondamentales du mouvement exposées dans la leçon précédente, que toute
force instantanée doit nécessairement produire un mouvement uniforme,
tandis que toute force continue doit, au contraire, par sa nature,
imprimer au mobile un mouvement indéfiniment varié. Cela posé, on
conçoit fort aisément, _à priori_, comme je l'ai déjà indiqué plusieurs
fois, que la partie de la dynamique relative aux forces instantanées ou
aux mouvemens uniformes doit être, sans aucune comparaison, infiniment
plus simple que celle qui concerne les forces continues ou les mouvemens
variés, et dans laquelle consiste essentiellement toute la difficulté de
la dynamique. La première partie présente une telle facilité, qu'elle
peut être traitée dans son ensemble comme une conséquence immédiate des
trois lois fondamentales du mouvement, ainsi que je l'ai expressément
remarqué à la fin de la leçon précédente. Or il est maintenant aisé de
concevoir, en thèse générale, que c'est seulement de cette première
partie de la dynamique qu'on a besoin pour constituer la statique comme
un cas particulier de la dynamique.
En effet, le phénomène d'équilibre, dont il s'agit alors de découvrir
les lois, est évidemment, par sa nature, un phénomène instantané, qui
doit être étudié sans aucun égard au temps. La considération du temps ne
s'introduit que dans les recherches relatives à ce qu'on appelle la
_stabilité_ de l'équilibre; mais ces recherches ne font plus, à
proprement parler, partie de la statique, et rentrent essentiellement
dans la dynamique. En un mot, suivant l'aphorisme ordinaire déjà cité,
on fait toujours, en statique, abstraction du temps. Il en résulte qu'on
y peut regarder comme instantanées toutes les forces que l'on considère,
sans que les théories cessent pour cela d'avoir toute la généralité
nécessaire. Car, à chaque époque de son action, une force continue peut
toujours évidemment être remplacée par une force instantanée
mécaniquement équivalente, c'est-à-dire susceptible d'imprimer au mobile
une vitesse égale à celle que lui donne effectivement en cet instant la
force proposée. A la vérité, il faudra, dans le moment infiniment petit
suivant, substituer à cette force instantanée une nouvelle force de même
nature, pour représenter le changement effectif de la vitesse, de telle
sorte que, en dynamique, où l'on doit considérer l'état du mobile dans
les divers instans successifs, on retrouvera nécessairement par la
variation de ces forces instantanées la difficulté fondamentale
inhérente à la nature des forces continues, et qui n'aura fait que
changer de forme. Mais, en statique, où il ne s'agit d'envisager les
forces que dans un instant unique, on n'aura point à tenir compte de ces
variations, et les lois générales de l'équilibre, ainsi établies en
considérant toutes les forces comme instantanées, n'en seront pas moins
applicables à des forces continues, pourvu qu'on ait soin, dans cette
application, de substituer à chaque force continue la force instantanée
qui lui correspond en ce moment.
On conçoit donc nettement par là comment la statique abstraite peut être
traitée avec facilité comme une simple application de la partie la plus
élémentaire de la dynamique, celle qui se rapporte aux mouvemens
uniformes. La manière la plus convenable d'effectuer cette application
consiste à remarquer que, lorsque des forces quelconques sont en
équilibre, chacune d'entre elles, considérée isolément, peut être
regardée comme détruisant l'effet de l'ensemble de toutes les autres.
Ainsi la recherche des conditions de l'équilibre se réduit, en général,
à exprimer que l'une quelconque des forces du système, est égale et
directement opposée à la _résultante_ de toutes les autres. La
difficulté ne consiste donc, dans cette méthode, qu'à déterminer cette
résultante, c'est-à-dire à _composer_ entre elles les forces proposées.
Cette composition s'effectue immédiatement pour le cas de deux forces
d'après la troisième loi fondamentale du mouvement, et l'on en déduit
ensuite la composition d'un nombre quelconque de forces. La question
élémentaire présente, comme on sait, deux cas essentiellement distincts,
suivant que les deux forces à composer agissent dans des directions
convergentes ou dans des directions parallèles. Chacun de ces deux cas
peut être traité comme dérivant de l'autre, d'où résulte parmi les
géomètres une certaine divergence dans la manière d'établir les lois
élémentaires de la composition des forces, suivant le cas que l'on
choisit pour point de départ. Mais, sans contester la possibilité
rigoureuse de procéder autrement, il me semble plus rationnel, plus
philosophique et plus strictement conforme à l'esprit de cette manière
de traiter la statique, de commencer par la composition des forces qui
concourent, d'où l'on déduit naturellement celle des forces parallèles
comme cas particulier, tandis que la déduction inverse ne peut se faire
qu'à l'aide de considérations indirectes, qui, quelque ingénieuses
qu'elles puissent être, présentent nécessairement quelque chose de
forcé.
Après avoir établi les lois élémentaires de la composition des forces,
les géomètres, avant de les appliquer à la recherche des conditions de
l'équilibre, leur font éprouver ordinairement une importante
transformation, qui, sans être complétement indispensable, présente
néanmoins, sous le rapport analytique, la plus haute utilité, par
l'extrême simplification qu'elle introduit dans l'expression algébrique
des conditions d'équilibre. Cette transformation consiste dans ce qu'on
appelle la théorie des _momens_, dont la propriété essentielle est de
réduire analytiquement toutes les lois de la composition des forces à de
simples additions et soustractions. La dénomination de _momens_,
entièrement détournée aujourd'hui de sa signification première, ne
désigne plus maintenant que la considération abstraite du produit d'une
force par une distance. Il faut distinguer, comme on sait, deux sortes
de _momens_, les momens par rapport à un point, qui indiquent le produit
d'une force par la perpendiculaire abaissée de ce point sur sa
direction, et les momens par rapport à un plan, qui désignent le produit
de la force par la distance de son point d'application à ce plan. Les
premiers ne dépendent évidemment que de la direction de la force, et
nullement de son point d'application; ils sont spécialement appropriés
par leur nature à la théorie des forces non parallèles: les seconds au
contraire, ne dépendent que du point d'application de la force, et
nullement de sa direction; ils sont donc essentiellement destinés à la
théorie des forces parallèles. Nous aurons occasion d'indiquer plus bas
par quelle heureuse idée fondamentale M. Poinsot est parvenu à attribuer
généralement, et de la manière la plus naturelle, une signification
concrète directe à l'un et à l'autre genre de momens, qui n'avaient
réellement avant lui qu'une valeur abstraite.
La notion des momens une fois établie, leur théorie élémentaire consiste
essentiellement dans ces deux propriétés générales très-remarquables,
qu'on déduit aisément de la composition des forces: 1º si l'on considère
un système de forces toutes situées dans un même plan, et disposées
d'ailleurs d'une manière quelconque, le moment de leur résultante, par
rapport à un point quelconque de ce plan, est égal à la somme algébrique
des momens de toutes les composantes par rapport à ce même point, en
attribuant à ces divers momens le signe convenable, d'après le sens
suivant lequel chaque force tendrait à faire tourner son bras de levier
autour de l'origine des momens supposée fixe; 2º en considérant un
système de forces parallèles disposées d'une manière quelconque dans
l'espace, le moment de leur résultante par rapport à un plan quelconque
est égal à la somme algébrique des momens de toutes les composantes par
rapport à ce même plan, le signe de chaque moment étant alors
naturellement déterminé, conformément aux règles ordinaires, d'après le
signe propre à chacun des facteurs dont il se compose. Le premier de ces
deux théorèmes fondamentaux a été découvert par un géomètre auquel la
mécanique rationnelle doit beaucoup, et dont la mémoire a été dignement
relevée par Lagrange d'un injuste oubli, Varignon. La manière dont
Varignon établit ce théorème dans le cas de deux composantes, d'où
résulte immédiatement le cas général, est même spécialement remarquable.
En effet, regardant le moment de chaque force par rapport à un point
comme évidemment proportionnel à l'aire du triangle qui aurait ce point
pour sommet et pour base la droite qui représente la force, Varignon,
d'après la loi du parallélogramme des forces, présente d'abord le
théorème des momens sous une forme géométrique très-simple, en
démontrant que si, dans le plan d'un parallélogramme, on prend un point
quelconque, et que l'on considère les trois triangles ayant ce point
pour sommet commun, et pour bases les deux côtés contigus du
parallélogramme et la diagonale correspondante, le triangle construit
sur la diagonale sera constamment équivalent à la somme où à la
différence des triangles construits sur les deux côtés; ce qui est en
soi, comme l'observe avec raison Lagrange, un beau théorème de
géométrie, indépendamment de son utilité en mécanique.
A l'aide de cette théorie des momens, on parvient à exprimer aisément
les relations analytiques qui doivent exister entre les forces dans
l'état d'équilibre, en considérant d'abord, pour plus de facilité, les
deux cas particuliers d'un système de forces toutes situées d'une
manière quelconque dans un même plan, et d'un système quelconque de
forces parallèles. Chacun de ces deux systèmes exige, en général, trois
équations d'équilibre, qui consistent: 1º pour le premier, en ce que la
somme algébrique des produits de chaque force, soit par le cosinus, soit
par le sinus de l'angle qu'elle fait avec une droite fixe prise
arbitrairement dans le plan soit séparément nulle, ainsi que la somme
algébrique des momens de toutes les forces par rapport à un point
quelconque de ce plan; 2º pour le second, en ce que la somme algébrique
de toutes les forces proposées soit nulle, ainsi que la somme algébrique
de leurs momens pris séparément par rapport à deux plans différens
parallèles à la direction commune de ces forces. Après avoir traité ces
deux cas préliminaires, il est facile d'en déduire celui d'un système de
forces tout-à-fait quelconque. Il suffit, pour cela, de concevoir chaque
force du système décomposée en deux, l'une située dans un plan fixe
quelconque, l'autre perpendiculaire à ce plan. Le système proposé se
trouvera dès lors remplacé par l'ensemble de deux systèmes secondaires
plus simples, l'un composé de forces dirigées toutes dans un même plan,
l'autre de forces toutes perpendiculaires à ce plan et conséquemment
parallèles entre elles. Comme ces deux systèmes partiels ne sauraient
évidemment se faire équilibre l'un à l'autre, il faudra donc, pour que
l'équilibre puisse avoir lieu dans le système général primitif, qu'il
existe dans chacun d'eux en particulier, ce qui ramène la question aux
deux questions préliminaires déjà traitées. Telle est du moins la
manière la plus simple de concevoir, en traitant la statique par la
méthode dynamique, la recherche générale des conditions analytiques de
l'équilibre pour un système quelconque de forces; quoiqu'il fût
d'ailleurs possible évidemment, en compliquant la solution, de résoudre
directement le problème dans son entière généralité, de façon à y faire
rentrer au contraire, comme une simple application, les deux cas
préliminaires. Quelque marche qu'on juge à propos d'adopter, on trouve
pour l'équilibre d'un système quelconque de forces, les six équations
suivantes: /[SPcos/alpha = 0,/;SPcos/beta = 0,/;SPcos/gamma = 0,/]
/[SP(ycos/alpha-xcos/beta) = 0,/;SP(zcos/alpha-xcos/gamma) = 0,/]
/[SP(ycos/gamma-zcos/beta) = 0;/] en désignant par P l'intensité de
l'une quelconque des forces du système, par /alpha, /beta, /gamma, les
angles que forme sa direction avec trois axes fixes rectangulaires
choisis arbitrairement, et par x, y, z, les coordonnées de son point
d'application relativement à ces trois axes. J'emploie ici la
caractéristique S pour désigner la somme des produits semblables,
propres à toutes les forces du système P, P', P'', etc.
Telle est, en substance, la manière de procéder à la détermination des
conditions générales de l'équilibre, en concevant la statique comme un
cas particulier de la dynamique élémentaire. Mais, quelque simple que
soit en effet cette méthode, il serait évidemment plus rationnel et plus
satisfaisant de revenir, s'il est possible, à la méthode des anciens, en
dégageant la statique de toute considération dynamique, pour procéder
directement à la recherche des lois de l'équilibre envisagé en lui-même,
à l'aide d'un principe d'équilibre suffisamment général, établi
immédiatement. C'est effectivement ce que les géomètres ont tenté, quand
une fois les équations générales de l'équilibre ont été découvertes par
la méthode dynamique. Mais ils ont surtout été déterminés à établir une
méthode statique directe, par un motif philosophique d'un ordre plus
élevé et en même temps plus pressant que le besoin de présenter la
statique sous un point de vue logique plus parfait. C'est maintenant ce
qu'il nous importe éminemment d'expliquer, puisque telle est la marche
qui a conduit Lagrange à imprimer à l'ensemble de la mécanique
rationnelle cette haute perfection philosophique qui la caractérise
désormais.
Ce motif fondamental résulte de la nécessité où l'ont se trouve pour
traiter, en général, les questions les plus difficiles et les plus
importantes de la dynamique, de les faire rentrer dans de simples
questions de statique. Nous examinerons spécialement, dans la leçon
suivante, le célèbre principe général de dynamique découvert par
d'Alembert, et à l'aide duquel toute recherche relative au mouvement
d'un corps ou d'un système quelconque, peut être convertie immédiatement
en un problème d'équilibre. Ce principe, qui, sous le point de vue
philosophique, n'est vraiment, comme je l'ai déjà indiqué dans la leçon
précédente, que la plus grande généralisation possible de la seconde
loi fondamentale du mouvement, sont depuis près d'un siècle de base
permanente à la solution de tous les grands problèmes de dynamique, et
doit évidemment désormais recevoir de plus en plus une telle
destination, vu l'admirable simplification qu'il apporte dans les
recherches les plus difficiles. Or il est clair qu'une semblable manière
de procéder oblige nécessairement à traiter à son tour la statique par
une méthode directe, sans la déduire de la dynamique, qui ainsi est, au
contraire, entièrement fondée sur elle. Ce n'est pas qu'il y ait, à
proprement parler, aucun véritable cercle vicieux à persister encore
dans la marche ordinaire exposée ci-dessus, puisque la partie
élémentaire de la dynamique, sur laquelle seule on a fait reposer la
statique, se trouve, en réalité, être complétement distincte de celle
qu'on ne peut traiter qu'en la réduisant à la statique. Mais il n'en est
pas moins évident que l'ensemble de la mécanique rationnelle ne présente
alors, en procédant ainsi, qu'un caractère philosophique peu
satisfaisant, à cause de l'alternative fréquente entre le point de vue
statique et le point de vue dynamique. En un mot, la science, mal
coordonnée, se trouve, par là, manquer essentiellement d'unité.
L'adoption définitive et l'usage universel du principe de d'Alembert
rendaient donc indispensable aux progrès futurs de l'esprit humain une
refonte radicale du système entier de la mécanique rationnelle, où, la
statique étant traitée directement d'après une loi primitive d'équilibre
suffisamment générale, et la dynamique rappelée à la statique,
l'ensemble de la science pût acquérir un caractère d'unité désormais
irrévocable. Telle est la révolution éminemment philosophique exécutée
par Lagrange dans son admirable traité de _mécanique analytique_, dont
la conception fondamentale servira toujours de base à tous les travaux
ultérieurs des géomètres sur les lois de l'équilibre et du mouvement,
comme nous avons vu la grande idée mère de Descartes devoir diriger
indéfiniment toutes les spéculations géométriques.
En examinant les recherches des géomètres antérieurs sur les propriétés
de l'équilibre, pour y puiser un principe direct de statique qui pût
offrir toute la généralité nécessaire, Lagrange s'est arrêté à choisir
le _principe des vitesses virtuelles_, devenu désormais si célèbre par
l'usage immense et capital qu'il en a fait. Ce principe, découvert
primitivement par Galilée dans le cas de deux forces, comme une
propriété générale que manifestait l'équilibre de toutes les machines,
avait été, plus tard, étendu par Jean Bernouilli à un nombre quelconque
de forces, constituant un système quelconque; et Varignon avait ensuite
remarqué expressément l'emploi universel qu'il était possible d'en faire
en statique. La combinaison de ce principe avec celui de d'Alembert a
conduit Lagrange à concevoir et à traiter la mécanique rationnelle tout
entière comme déduite d'un seul théorème fondamental, et à lui donner
ainsi le plus haut degré du perfection qu'une science puisse acquérir
sous le rapport philosophique, une rigoureuse unité.
Pour concevoir nettement avec plus de facilité le principe général des
vitesses virtuelles, il est encore utile de le considérer d'abord dans
le simple cas de deux forces, comme l'avait fait Galilée. Il consiste
alors en ce que, deux forces se faisant équilibre à l'aide d'une machine
quelconque, elles sont entre elles en raison inverse des espaces que
parcouraient dans le sens de leurs directions leurs points
d'application, si on supposait que le système vînt à prendre un
mouvement infiniment petit: ces espaces portent le nom de _vitesses
virtuelles_, afin de les distinguer des vitesses réelles qui auraient
effectivement lieu si l'équilibre n'existait pas. Dans cet état
primitif, ce principe, qu'on peut très-aisément vérifier relativement à
toutes les machines connues, présente déjà une grande utilité pratique,
vu l'extrême facilité avec laquelle il permet d'obtenir effectivement
la condition mathématique d'équilibre d'une machine quelconque, dont la
constitution serait même entièrement inconnue. En appelant _moment
virtuel_ ou simplement _moment_, suivant l'acception primitive de ce
terme parmi les géomètres, le produit de chaque force par sa _vitesse
virtuelle_, produit qui, en effet, mesure alors l'effort de la force
pour mouvoir la machine, on peut simplifier beaucoup l'énonce du
principe en se bornant à dire que, dans ce cas, les momens des deux
forces doivent être égaux et de signe contraire pour qu'il y ait
équilibre; le signe positif ou négatif de chaque _moment_ est déterminé
d'après celui de la vitesse virtuelle, qu'on estimera, conformément à
l'esprit ordinaire de la théorie mathématique des signes, positive ou
négative selon que, par le mouvement fictif que l'on imagine, la
projection du point d'application se trouverait tomber sur la direction
même de la force ou sur son prolongement. Cette expression abrégée du
principe des vitesses virtuelles est surtout utile pour énoncer ce
principe d'une manière générale, relativement à un système de forces
tout-à-fait quelconque. Il consiste alors en ce que la somme algébrique
des momens virtuels de toutes les forces, estimés suivant la règle
précédente, doit être nulle pour qu'il y ait équilibre; et cette
condition doit avoir lieu distinctement par rapport à tous les
mouvemens élémentaires que le système pourrait prendre en vertu des
forces dont il est animé. En appelant P, P', P'', etc., les forces
proposées, et, suivant la notation ordinaire de Lagrange, /delta/rho,
/delta/rho', /delta/rho'', etc., les vitesses virtuelles
correspondantes, ce principe se trouve immédiatement exprimé par
l'équation /[P/delta/rho + P'/delta/rho' + P''/delta/rho'' + /mbox{/rm
etc.} = 0,/] ou, plus brièvement, /[/int P/delta/rho = 0,/] dans
laquelle, par les travaux de Lagrange, la mécanique rationnelle tout
entière peut être regardée comme implicitement renfermée. Quant à la
statique, la difficulté fondamentale de développer convenablement cette
équation générale se réduira essentiellement, lorsque toutes les forces
dont il faut tenir compte seront bien connues, à une difficulté purement
analytique, qui consistera à rapporter, dans chaque cas, d'après les
conditions de liaison caractéristiques du système considéré, toutes les
variations infiniment petites /delta p, /delta p', etc., au plus petit
nombre possible de variations réellement indépendantes, afin d'annuler
séparément les divers groupes de termes relatifs à chacune de ces
dernières variations, ce qui fournit, pour l'équilibre, autant
d'équations distinctes qu'il pourrait exister de mouvemens élémentaires
vraiment différens par la nature du système proposé. En supposant que
les forces soient entièrement quelconques, et qu'elles soient appliquées
aux divers points d'un corps solide, qui ne soit d'ailleurs assujetti à
aucune condition particulière, on parvient aussi immédiatement et de la
manière la plus simple aux six équations générales de l'équilibre
rapportées ci-dessus d'après la méthode dynamique. Si le solide, au lieu
d'être complétement libre, doit être plus ou moins gêné, il suffit
d'introduire au nombre des forces du système les résistances qui en
résultent après les avoir convenablement définies, ce qui ne fera
qu'ajouter quelques nouveaux termes à l'équation fondamentale. Il en est
de même quand la forme du solide n'est point supposée rigoureusement
invariable, et qu'on vient, par exemple, à considérer son élasticité. De
semblables modifications n'ont d'autre effet, sous le point de vue
logique, que de compliquer plus ou moins l'équation des vitesses
virtuelles, qui ne cesse point pour cela de conserver nécessairement son
entière généralité, quoique ces conditions secondaires puissent
quelquefois rendre presqu'inextricables les difficultés purement
analytiques que présente la solution effective de la question proposée.
Tant que le théorème des vitesses virtuelles n'avait été conçu que comme
une propriété générale de l'équilibre, on avait pu se borner à le
vérifier par sa conformité constante avec les lois ordinaires de
l'équilibre déjà obtenues autrement, et dont il présentait ainsi un
résumé très-utile par sa simplicité et son uniformité. Mais, pour faire
de ce théorème fondamental la base effective de toute la mécanique
rationnelle, en un mot, pour la convertir en un véritable principe, il
était indispensable de l'établir directement sans le déduire d'aucun
autre, ou du moins en ne supposant que des propositions préliminaires
susceptibles par leur extrême simplicité d'être présentées comme
immédiates. C'est ce qu'a si heureusement exécuté Lagrange par son
ingénieuse démonstration fondée sur le principe des mouffles et dans
laquelle il parvient à prouver généralement le théorème des vitesses
virtuelles avec une extrême facilité, en imaginant un poids unique, qui,
à l'aide de mouffles convenablement construites, se trouve remplacer
simultanément toutes les forces du système. On a successivement proposé
depuis quelques autres démonstrations directes et générales du principe
des vitesses virtuelles, mais qui, beaucoup plus compliquées que celle
de Lagrange, ne lui sont, en réalité, nullement supérieures quant à la
rigueur logique. Pour nous, sous le point de vue philosophique, nous
devons regarder ce théorème général comme une conséquence nécessaire des
lois fondamentales du mouvement, d'où elle peut être déduite de diverses
manières, et qui devient ensuite le point de départ effectif de la
mécanique rationnelle tout entière.
L'emploi d'un tel principe ramenant l'ensemble de la science à une
parfaite unité, il devient évidemment fort peu intéressant désormais de
connaître d'autres principes plus généraux encore, en supposant qu'on
puisse en obtenir. On peut donc regarder comme essentiellement oiseuses
par leur nature les tentatives qui pourraient être projetées pour
substituer quelque nouveau principe à celui des vitesses virtuelles. Un
tel travail ne saurait plus perfectionner nullement le caractère
philosophique fondamental de la mécanique rationnelle, qui, dans le
traité de Lagrange, est aussi fortement coordonnée qu'elle puisse jamais
l'être. On n'y pourrait réellement avoir en vue d'autre utilité
effective que de simplifier considérablement les recherches analytiques
auxquelles la science est maintenant réduite, ce qui doit paraître
presque impossible quand on envisage avec quelle admirable facilité le
principe des vitesses virtuelles a été adapté par Lagrange à
l'application uniforme de l'analyse mathématique.
Telle est donc la manière incomparablement la plus parfaite de concevoir
et de traiter la statique, et par suite l'ensemble de la mécanique
rationnelle. Dans un ouvrage tel que celui-ci surtout, nous ne pouvions
hésiter un seul moment à accorder à cette méthode une préférence
éclatante sur tout autre, puisque son principal avantage caractéristique
est de perfectionner au plus haut degré la philosophie de cette science.
Cette considération doit avoir à nos yeux bien plus d'importance que
nous ne pouvons en attribuer en sens inverse aux difficultés propres
qu'elle présente encore fréquemment dans les applications, et qui
consistent essentiellement dans l'extrême contention intellectuelle
qu'elle exige souvent, ce qui peut être regardé comme étant jusqu'à un
certain point inhérent à toute méthode très-générale où les questions
quelconques sont constamment ramenées à un principe unique. Néanmoins
ces difficultés sont assez grandes jusqu'ici pour qu'on ne puisse point
encore regarder la méthode de Lagrange comme vraiment élémentaire, de
manière à pouvoir dispenser entièrement d'en considérer aucune autre
dans un enseignement dogmatique. C'est ce qui m'a déterminé à
caractériser d'abord avec quelques développemens la méthode dynamique
proprement dite, la seule encore généralement usitée. Mais ces
considérations ne peuvent être évidemment que provisoires; les
principaux embarras qu'occasione l'emploi de la conception de Lagrange
n'ayant réellement d'autre cause essentielle que sa nouveauté. Une telle
méthode n'est point indéfiniment destinée sans doute à l'usage exclusif
d'un très-petit nombre de géomètres, qui en ont seuls encore une
connaissance assez familière pour utiliser convenablement les admirables
propriétés qui la caractérisent: elle doit certainement devenir plus
tard aussi populaire dans le monde mathématique que la grande conception
géométrique de Descartes, et ce progrès général serait vraisemblablement
déjà presqu'effectué si les notions fondamentales de l'analyse
transcendante étaient plus universellement répandues.
Je ne croirais pas avoir convenablement caractérisé toutes les notions
philosophiques essentielles relatives à la statique rationnelle, si je
ne faisais maintenant une mention distincte d'une nouvelle conception
fort importante, introduite dans la science par M. Poinsot, et que je
regarde comme le plus grand perfectionnement qu'ait éprouvé, sous le
point de vue philosophique, le système général de la mécanique, depuis
la régénération opérée par Lagrange, quoiqu'elle ne soit pas exactement
dans la même direction. Il s'agit, comme on voit, de l'ingénieuse et
lumineuse théorie des couples, que M. Poinsot a si heureusement créée
pour perfectionner directement dans ses conceptions fondamentales la
mécanique rationnelle, et dont la portée ne me paraît point avoir été
encore suffisamment appréciée par la plupart des géomètres. On sait que
ces _couples_, ou systèmes de forces parallèles égales et contraires,
avaient à peine été remarqués avant M. Poinsot comme une sorte de
paradoxe en statique, et qu'il s'est emparé de cette notion isolée pour
en faire immédiatement le sujet d'une théorie fort étendue et
entièrement originale relative à la transformation, à la composition et
à l'usage de ces groupes singuliers, qu'il a montrés doués de propriétés
si remarquables par leur généralité et leur simplicité. Ces propriétés
fondamentales consistent essentiellement: 1º sous le rapport de la
direction, en ce que l'effet d'un couple dépend seulement de la
direction de son plan ou de son axe, et nullement de la position de ce
plan, ni de celle du couple dans le plan; 2º quant à l'intensité, en ce
que l'effet d'un couple ne dépend proprement ni de la valeur de chacune
des forces égales qui le composent, ni du bras de levier sur lequel
elles agissent, mais uniquement du produit de cette force par cette
distance, auquel M. Poinsot a donné avec raison le nom de moment du
couple.
En adoptant la méthode dynamique proprement dite pour procéder à la
recherche des conditions générales de l'équilibre, M. Poinsot l'a
présentée sous un point de vue complétement neuf à l'aide de sa
conception des couples, qui l'a considérablement simplifiée et
éclaircie. Pour caractériser ici sommairement cette variété de la
méthode dynamique, il suffira de concevoir que, en ajoutant en un point
quelconque du système deux forces égales à chacune de celles que l'on
considère et qui agissent, en sens contraire l'une de l'autre, suivant
une droite parallèle à sa direction, on pourra ainsi, sans jamais
altérer évidemment l'état du système proposé, le regarder comme
remplacé: 1º par un système de forces égales aux forces primitives
transportées toutes parallèlement à leurs directions au point unique que
l'on aura choisi, et qui, en conséquence, seront généralement
réductibles en une seule; 2º par un système de couples ayant pour mesure
de leur intensité les momens des forces proposées relativement à ce même
point, et dont les plans, passant tous en ce même point, les rendront
aussi réductibles généralement à un couple unique. On voit, d'après
cela, avec quelle facilité on pourra procéder ainsi à la détermination
des relations d'équilibre, puisqu'il suffira de trouver, par les lois
connues de la composition des forces convergentes, cette résultante
unique, afin d'exprimer qu'elle est nulle; et ensuite, par les lois que
M. Poinsot a établies pour la composition des couples, obtenir également
ce couple résultant, et l'annuler aussi séparément; car il est clair
que, la force et le couple ne pouvant se détruire mutuellement,
l'équilibre ne saurait exister qu'en les supposant individuellement
nuls.
Il faut, sans doute, reconnaître que cette nouvelle manière de procéder
n'est point indispensable pour appliquer la méthode dynamique à la
détermination des conditions générales de l'équilibre. Mais, outre
l'extrême simplification qu'elle introduit dans une telle recherche,
nous devons surtout apprécier, quant aux progrès généraux de la science,
la clarté inattendue qu'elle y apporte, c'est-à-dire l'aspect éminemment
lucide sous lequel elle présente une partie essentielle de ces
conditions d'équilibre, toutes celles qui sont relatives aux _momens_
des forces proposées, et qui constituent la plus importante moitié des
équations statiques. Ces _momens_, qui n'indiquaient jusqu'alors qu'une
considération purement abstraite, artificiellement introduite dans la
statique pour faciliter l'expression algébrique des lois de l'équilibre,
ont pris désormais une signification concrète parfaitement distincte,
et sont entrés aussi naturellement que les forces elles-mêmes dans les
spéculations statiques, comme étant la mesure directe des couples
auxquels ces forces donnent immédiatement naissance. On conçoit aisément
_à priori_ quelle facilité cette interprétation générale et élémentaire
doit nécessairement procurer pour la combinaison de toutes les idées
relatives à la théorie des momens, comme on en voit déjà d'ailleurs la
preuve effective dans l'extension et le perfectionnement de cette
importante théorie, par les travaux de M. Poinsot lui-même.
Quelles que soient, en réalité, les qualités fondamentales de la
conception de M. Poinsot par rapport à la statique, on doit néanmoins
reconnaître, ce me semble, que c'est surtout au perfectionnement de la
dynamique qu'elle se trouve, par sa nature, essentiellement destinée; et
je crois pouvoir assurer, à cet égard, que cette conception n'a point
encore exercé jusqu'ici son influence la plus capitale. Il faut la
regarder, en effet, comme directement propre à perfectionner sous un
rapport très-important les élémens mêmes de la dynamique générale, en
rendant la notion des mouvemens de rotation aussi naturelle, aussi
familière, et presqu'aussi simple que celle des mouvemens de
translation. Car le couple peut être envisagé comme l'élément naturel
du mouvement de rotation, aussi bien que la force l'est du mouvement de
translation. Ce n'est pas ici le lieu d'indiquer plus distinctement
cette considération, qui sera convenablement reproduite dans les leçons
suivantes. Nous devons seulement concevoir, en thèse générale, qu'un
usage bien entendu de la théorie des couples établit la possibilité de
rendre l'étude des mouvemens de rotation, qui constitue jusqu'ici la
partie la plus compliquée et la plus obscure de la dynamique, aussi
élémentaire et aussi nette que l'étude des mouvemens de translation.
Nous aurons occasion de constater effectivement plus tard à quel degré
de simplicité et de clarté M. Poinsot est parvenu à réduire ainsi
diverses propositions essentielles, relatives aux mouvemens de rotation,
et qui n'étaient établies avant lui que de la manière la plus pénible et
la plus indirecte, principalement en ce qui concerne les propriétés des
_aires_, dont il a même sensiblement augmenté l'étendue et régularisé
l'application sous divers rapports importans, surtout, en dernier lieu,
quant à la détermination de ce qu'on appelle le _plan invariable_.
Pour compléter ces considérations philosophiques sur l'ensemble de la
statique, je crois devoir ajouter ici l'indication sommaire d'une
dernière notion générale, qu'il me paraît utile d'introduire dans la
théorie de l'équilibre, de quelque manière qu'on ait d'ailleurs jugé
convenable de l'établir.
Quand on veut se faire une juste idée de la nature des diverses
équations qui expriment les conditions de l'équilibre d'un système
quelconque de forces, il est, ce me semble, insuffisant de se borner à
constater que l'ensemble de ces équations est indispensable pour
l'équilibre, et l'établit inévitablement. Il faut, de plus, pouvoir
assigner nettement la signification statique distinctement propre à
chacune de ces équations envisagée isolément, c'est-à-dire déterminer
avec précision en quoi chacune contribue séparément à la production de
l'équilibre, analyse à laquelle on ne s'attache point ordinairement,
quoiqu'elle soit, sans doute, importante. Par quelque méthode qu'on
procède à l'établissement des équations statiques, il est clair _à
priori_ que l'équilibre ne peut résulter que de la destruction de tous
les mouvemens élémentaires que le corps pourrait prendre en vertu des
forces dont il est animé, si ces forces n'avaient point entr'elles les
relations nécessaires pour se contrebalancer exactement. Ainsi chaque
équation prise à part doit nécessairement anéantir un de ces mouvemens,
en sorte que l'ensemble de ces équations produise l'équilibre, par
l'impossibilité où se trouve dès-lors, le corps de se mouvoir d'aucune
manière. Examinons maintenant sommairement le principe général d'après
lequel une telle analyse me semble pouvoir s'opérer dans un cas
quelconque.
En considérant le mouvement sous le point de vue le plus positif, comme
le simple transport d'un corps d'un lieu dans un autre, indépendamment
du mode quelconque suivant lequel il peut être produit, il est évident
que tout mouvement doit être envisagé, dans le cas le plus général,
comme nécessairement composé à la fois de _translation_ et de
_rotation_. Ce n'est pas, sans doute, qu'il ne puisse réellement exister
de translation sans rotation, ou de rotation sans translation; mais on
doit regarder l'un et l'autre cas comme étant d'exception, le cas normal
consistant en effet dans la coexistence de ces deux sortes de mouvemens,
qui s'accompagnent constamment à moins de conditions particulières
très-précises, et par suite fort rares, relativement aux circonstances
du phénomène. Cela est tellement vrai, que la seule vérification de l'un
de ces mouvemens est habituellement regardée avec raison par les
géomètres, qui connaissent toute la portée de cette observation
élémentaire, comme un puissant motif, non d'affirmer, mais de présumer
très-vraisemblablement l'existence de l'autre. Ainsi, par exemple, la
seule connaissance du mouvement de rotation du soleil sur son axe,
parfaitement constaté depuis Galilée, serait _à priori_ pour un
géomètre une preuve presque certaine d'un mouvement de translation de
cet astre accompagné de toutes ses planètes, quand même les astronomes
n'auraient point commencé déjà à reconnaître effectivement, par des
observations directes, la réalité de ce transport, dans un sens encore
peu déterminé. Pareillement, c'est d'après une semblable considération
qu'on admet communément, avec raison, outre le motif d'analogie,
l'existence d'un mouvement de rotation dans les planètes même à l'égard
desquelles on n'a point encore pu le constater directement, par cela
seul qu'elles ont un mouvement de translation bien connu autour du
soleil.
Il résulte de cette première analyse que les équations qui expriment les
conditions d'équilibre d'un corps, sollicité par des forces quelconques,
doivent avoir pour objet, les unes de détruire tout mouvement de
translation, les autres d'anéantir tout mouvement de rotation. Voyons
maintenant, d'après le même point de vue, afin de compléter cet aperçu
général, quel doit être _a priori_ le nombre des équations de chaque
espèce.
Quant à la translation, il suffit de considérer que, pour empêcher un
corps de marcher dans un sens quelconque, il faut évidemment l'en
empêcher selon trois axes principaux situés dans des plans différens, et
qu'on suppose d'ordinaire perpendiculaires entr'eux. En effet, quelle
progression serait possible, par exemple, dans un corps qui ne pourrait
avancer ni de l'est à l'ouest ou de l'ouest à l'est, ni du nord au sud
ou du sud au nord, ni enfin du haut en bas ou du bas en haut? Toute
progression dans un autre sens quelconque, pouvant évidemment se
concevoir comme composée de progressions partielles correspondantes dans
ces trois sens principaux, serait dès lors devenue nécessairement
impossible. D'un autre côté, il est clair qu'on ne doit pas considérer
moins de trois mouvemens élémentaires indépendans, car le corps pourrait
se mouvoir dans le sens d'un des axes, sans avoir aucune translation
dans le sens d'aucun des deux autres. On conçoit ainsi que, en général,
trois équations de condition seront nécessaires et suffisantes pour
établir, dans un système quelconque, l'équilibre de translation; et
chacune d'elles sera spécialement destinée à détruire un des trois
mouvemens de translation élémentaires que le corps pourrait prendre.
On peut présenter une considération exactement analogue relativement à
la rotation: il n'y a de nouvelle difficulté que celle d'apercevoir
distinctement une image mécanique plus compliquée. La rotation d'un
corps dans un plan ou autour d'un axe quelconque, pouvant toujours se
concevoir décomposée en trois rotations élémentaires dans les trois
plans coordonnés ou autour des trois axes, il est clair que, pour
empêcher toute rotation dans un corps, il faut aussi l'empêcher de
tourner séparément par rapport à chacun de ces trois plans ou de ces
trois axes. Trois équations sont donc, pareillement, nécessaires et
suffisantes pour établir l'équilibre de rotation; et l'on aperçoit, avec
la même facilité que dans le cas précédent, la destination mécanique
propre à chacune d'elles.
En appliquant l'analyse précédente à l'ensemble des six équations
générales rapportées au commencement de cette leçon, pour l'équilibre
d'un corps solide animé de forces quelconques, il est aisé de
reconnaître que les trois premières sont relatives à l'équilibre de
translation, et les trois autres à l'équilibre de rotation. Dans le
premier groupe, la première équation empêche la translation suivant
l'axe des x, la seconde suivant l'axe des y, et la troisième suivant
l'axe des z. Dans le second groupe, la première équation empêche le
corps de tourner suivant le plan des x, y, la seconde suivant le plan
des x, z, et la troisième suivant le plan des y, z. On conçoit nettement
par là comment la coexistence de toutes ces équations établit
nécessairement l'équilibre.
Cette décomposition serait encore utile pour réduire, dans chaque cas,
les équations d'équilibre au nombre strictement nécessaire, quand on
vient à particulariser plus ou moins le système de forces considéré, au
lieu de le supposer entièrement quelconque. Sans entrer ici dans aucun
détail spécial à ce sujet, il suffira de dire, conformément au point de
vue précédent, que, la particularisation du système proposé restreignant
plus ou moins les mouvemens possibles, soit quant à la translation, soit
quant à la rotation, après avoir d'abord exactement déterminé dans
chaque cas, ce qui sera toujours facile, en quoi consiste cette
restriction, il faudra supprimer, comme superflues, les équations
d'équilibre relatives aux translations ou aux rotations qui ne peuvent
avoir lieu, et conserver seulement celles qui se rapportent aux
mouvemens restés possibles. C'est ainsi que, suivant la limitation plus
ou moins grande du système de forces particulier que l'on considère, il
peut, au lieu de six équations nécessaires en général pour l'équilibre,
n'en plus subsister que trois, ou deux, ou même une seule, qu'il sera
par là facile d'obtenir dans chaque cas.
On doit faire des remarques parfaitement analogues quant aux
restrictions de mouvemens qui résulteraient, non de la constitution
spéciale du système des forces, mais des gênes plus ou moins étroites
auxquelles le corps pourrait être assujetti dans certains cas, et qui
produiraient des effets semblables. Il suffirait également alors de voir
nettement quels mouvemens sont rendus impossibles par la nature des
conditions imposées, et de supprimer les équations d'équilibre qui s'y
rapportent, en conservant celles relatives aux mouvemens restés libres.
C'est ainsi, par exemple, que, dans le cas d'un système quelconque de
forces, on trouverait que les trois dernières équations suffisent pour
l'équilibre, si le corps est retenu par un point fixe autour duquel il
peut tourner librement en tout sens, tout mouvement de translation étant
alors devenu impossible; de même on verrait les équations d'équilibre
être au nombre de deux, ou même se réduire à une seule, s'il y avait à
la fois deux points fixes, suivant que le corps pourrait ou non glisser
le long de l'axe qui les joint; et enfin on arriverait à reconnaître que
l'équilibre existe nécessairement sans aucune condition, quelles que
soient les forces du système, si le corps solide présente trois points
fixes non en ligne droite. Enfin on pourrait encore employer le même
ordre de considérations lorsque les points, au lieu d'être
rigoureusement fixes, seraient seulement astreints à demeurer sur des
courbes ou des surfaces données.
L'esprit de l'analyse que je viens d'esquisser est, comme on le voit,
entièrement indépendant de la méthode quelconque d'après laquelle auront
été obtenues les équations de l'équilibre. Mais les diverses méthodes
générales sont loin cependant de se prêter avec la même facilité à
l'application de cette règle. Celle qui s'y adapte le mieux, c'est
incontestablement la méthode statique proprement dite, fondée, comme
nous l'avons vu, sur le principe des vitesses virtuelles. On doit
mettre, en effet, au nombre des propriétés caractéristiques de ce
principe, la netteté parfaite avec laquelle il analyse naturellement le
phénomène de l'équilibre, en considérant distinctement chacun des
mouvemens élémentaires que permettent les forces du système, et
fournissant aussitôt une équation d'équilibre spécialement relative à ce
mouvement. La méthode dynamique ne présente point cet avantage
important. Il faut reconnaître toutefois que, dans la manière dont M.
Poinsot l'a conçue, elle se trouve à cet égard considérablement
améliorée, puisque la seule distinction des conditions d'équilibre
relatives aux forces et de celles qui concernent les couples,
distinction qui s'établit alors nécessairement, réalise par elle-même la
détermination séparée entre l'équilibre de translation et l'équilibre de
rotation. Mais la méthode dynamique ordinaire, exclusivement usitée en
statique avant la réforme de M. Poinsot, et que j'ai caractérisée dans
son ensemble au commencement de cette leçon, ne remplit nullement cette
condition essentielle, sans laquelle néanmoins il me paraît impossible
de concevoir nettement l'expression analytique des lois générales de
l'équilibre.
Après avoir considéré les diverses manières principales de parvenir aux
lois exactes de l'équilibre abstrait pour un système quelconque des
forces, en supposant les corps dans cet état complétement passif que
nous avions d'abord reconnu, quoique purement hypothétique, être
strictement indispensable à l'établissement des principes fondamentaux
de la mécanique rationnelle; nous devons maintenant examiner comment les
géomètres ont pu tenir compte des propriétés générales naturelles aux
corps réels, et auxquelles il faut nécessairement avoir égard dans toute
application effective de la mécanique abstraite. La seule que l'on sache
jusqu'ici prendre en considération d'une manière vraiment complète,
c'est la pesanteur terrestre. Voyons comment on a pu l'introduire, en
effet, dans les équations statiques. Cet important examen constitue,
sans doute, dans l'ordre strictement logique de nos études
philosophiques, une anticipation vicieuse sur la partie de ce cours
relative à la physique proprement dite, où nous envisagerons
spécialement la science de la pesanteur. Mais la théorie des centres de
gravité, à laquelle se réduit essentiellement cette étude statique de la
pesanteur terrestre, joue un rôle trop étendu et trop important dans
toutes les parties de la mécanique rationnelle, pour que nous puissions
nous dispenser de l'indiquer ici, à l'exemple de tous les géomètres,
quoique ce ne soit pas strictement régulier. Du reste, je dois faire
observer à ce sujet qu'on éviterait presqu'entièrement tout ce qu'il y a
vraiment d'irrationnel dans cette disposition scientifique, sans se
priver néanmoins des avantages capitaux que présente la résolution
préalable d'une telle question, si on contractait l'habitude de classer
la théorie des centres de gravité parmi les recherches de pure
géométrie, comme je l'ai proposé à la fin de la treizième leçon.
Pour tenir compte de la pesanteur terrestre, dans les questions
statiques, il suffit, comme on sait, de se représenter, sous ce rapport,
chaque corps homogène comme un système de forces parallèles et égales,
appliquées à toutes les molécules du corps, et dont il faut déterminer
complétement la résultante, qu'on introduira dès lors sans aucune
difficulté parmi les forces extérieures primitives. En réalité, ce
parallélisme et cette égalité des pesanteurs moléculaires ne sont
effectivement que des approximations, puisque, de fait, toutes ces
forces concourraient au centre de la terre si cette planète était
rigoureusement sphérique, et que leur intensité absolue, indépendamment
des inégalités qui tiennent à la force centrifuge produite par le
mouvement de rotation de la terre, varie en raison inverse des carrés
des distances des molécules correspondantes au centre de notre globe.
Mais, quand il ne s'agit que des masses terrestres à notre disposition,
auxquelles sont ordinairement destinées ces applications de la statique,
les dimensions n'en sont jamais assez grandes pour que le défaut de
parallélisme et d'égalité entre les pesanteurs des diverses molécules de
chaque masse, doive être réellement pris en considération. On suppose
donc alors, avec raison, toutes ces forces rigoureusement parallèles et
égales, ce qui simplifie extrêmement la question de leur composition. En
effet, leur résultante est, dès ce moment, égale à leur somme, et agit
suivant une droite parallèle à leur direction commune, en sorte que son
intensité et sa direction sont immédiatement connues. Toute la
difficulté se réduit donc à trouver son point d'application,
c'est-à-dire ce qu'on appelle le _centre de gravité_ du corps. D'après
les propriétés générales du point d'application de la résultante dans un
système quelconque de forces parallèles, la distance de ce point à un
plan quelconque est égale à la somme des momens de toutes les forces du
système par rapport à ce même plan, divisée par la somme de ces forces
elles-mêmes. En appliquant cette formule au centre de gravité, et ayant
égard à la simplification que produit alors l'égalité de toutes les
forces proposées, on trouve que la distance du centre de gravité à un
plan quelconque est égale à la somme des distances de tous les points du
corps considéré, divisée par le nombre de ces points; c'est-à-dire, que
cette distance est, ce qu'on appelle proprement la moyenne arithmétique
entre les distances de tous les points proposés. Cette considération
fondamentale réduit évidemment la notion du centre de gravité à être
purement géométrique, puisqu'en le cherchant ainsi comme _centre des
moyennes distances_, suivant la dénomination très-rationnelle des
anciens géomètres, la question ne conserve plus aucune trace de son
origine mécanique, et consiste seulement dans ce problème de géométrie
générale: Étant donné un système quelconque de points disposés entr'eux
d'une manière déterminée, trouver un point dont la distance à un plan
quelconque soit moyenne entre les distances de tous les points donnés à
ce même plan. Il y aurait, comme je l'ai déjà indiqué, des avantages
importans à concevoir habituellement ainsi la notion générale du centre
de gravité, en faisant complétement abstraction de toute considération
de pesanteur, car cette idée simple et purement géométrique est
précisément celle qu'on doit s'en former dans la plupart des théories
principales de la mécanique rationnelle, surtout quand on envisage les
grandes propriétés dynamiques du centre des moyennes distances, où
l'idée hétérogène et surabondante de la gravité introduit ordinairement
une complication et une obscurité vicieuses. Cette manière de concevoir
la question conduit naturellement, il est vrai, à l'exclure de la
mécanique pour la faire rentrer dans la géométrie, comme je l'ai
proposé. Si je ne l'ai pas ainsi classée effectivement, c'est uniquement
afin de ne m'écarter que le moins possible des habitudes universellement
reçues, quoique je fusse très-convaincu qu'une telle transposition
serait la seule disposition vraiment rationnelle. Quoi qu'il en soit de
cette discussion d'ordre, ce qui importe essentiellement c'est de ne
point se méprendre sur la véritable nature de la question, à
quelqu'époque et sous quelque dénomination qu'on juge convenable de la
traiter.
La seule définition géométrique du centre de gravité donnerait
immédiatement le moyen de le déterminer, si le système des points que
l'on considère n'était composé que d'un nombre fini de points isolés,
car il en résulterait directement alors des formules très-simples et qui
n'auraient nullement besoin d'être transformées pour exprimer les
coordonnées du point cherché, relativement à trois axes rectangulaires
fixes arbitrairement. Mais ces formules fondamentales ne peuvent plus
être employées sans transformation, aussitôt qu'il s'agit d'un système
composé d'une infinité de points formant un véritable corps continu, ce
qui est le cas ordinaire. Car le numérateur et le dénominateur de chaque
formule devenant dès lors simultanément infinis, ces formules n'offrent
plus aucune signification distincte, et ne sauraient être appliquées
qu'après avoir été convenablement transformées. C'est dans cette
transformation générale que consiste, sous le rapport analytique, toute
la difficulté fondamentale de la question du centre de gravité envisagée
sous le point de vue le plus étendu. Or il est clair que le calcul
intégral donne immédiatement les moyens de la surmonter, puisque ces
deux sommes infinies qui constituent les deux termes de chaque formule,
sont évidemment par elles-mêmes de véritables intégrales, dont celle qui
exprime le dénominateur commun des trois formules se rapporte aux
élémens géométriques infiniment petits de la masse considérée, et celle
qui représente le numérateur propre à chaque formule se rapporte aux
produits de ces élémens par leurs coordonnées correspondantes. Il suit
de là, pour ne considérer ici que le cas le plus général, qu'en
décomposant le corps seulement en élémens infiniment petits dans deux
sens par deux séries de plans infiniment rapprochés parallèles les uns
au plan des x, z, les autres au plan des y, z, on trouvera aussitôt les
formules fondamentales, /[x_1 = /frac{/iint xzdxdy}{/iint zdxdy},/;y_1 =
/frac{/iint yzdxdy}{/iint zdxdy},/;z_1 = /frac{1}{2}/frac{/iint
z^2dxdy}{/iint zdydx}/] qui feront connaître les trois coordonnées du
centre de gravité du volume d'un corps homogène de forme quelconque,
limité par une surface dont l'équation en x, y, et z, est supposée
donnée. On obtiendra de la même manière, pour le centre de gravité de la
surface seule de ce corps, les formules /[x_1 = /frac{/iint
xdxdy/sqrt{1+/frac{dz^2}{dx^2}+/frac{dz^2}{dy^2}}}{/iint
dxdy/sqrt{1+/frac{dz^2}{dx^2}+/frac{dz^2}{dy^2}}}/]
/[y_1 = /frac{/iint
ydxdy/sqrt{1+/frac{dz^2}{dx^2}+/frac{dz^2}{dy^2}}}{/iint
dxdy/sqrt{1+/frac{dz^2}{dx^2}+/frac{dz^2}{dy^2}}}/] /[z_1 = /frac{/iint
zdxdy/sqrt{1+/frac{dz^2}{dx^2}+/frac{dz^2}{dy^2}}}{/iint
dxdy/sqrt{1+/frac{dz^2}{dx^2}+/frac{dz^2}{dy^2}}}/] La détermination des
centres de gravité sera donc réduite ainsi, dans chaque cas particulier,
à des recherches purement analytiques, tout-à-fait analogues à celles
qu'exigent, comme nous l'avons vu, les quadratures et les cubatures.
Seulement, ces intégrations étant, en général, plus compliquées, l'état
d'extrême imperfection dans lequel se trouve jusqu'ici le calcul
intégral permettra bien plus rarement encore de parvenir à une solution
définitive. Mais ces formules générales n'en ont pas moins, par
elles-mêmes, une importance capitale, pour introduire la considération
du centre de gravité dans les théories générales de la mécanique
analytique, ainsi que nous aurons spécialement occasion de le
reconnaître bientôt. Il faut d'ailleurs considérer, quant à la question
même, que ces formules éprouvent de très-grandes simplifications, quand
on vient à supposer que la surface qui termine le corps proposé est une
surface de révolution, ce qui heureusement a lieu dans la plupart des
applications vraiment importantes.
Telle est donc essentiellement la manière de tenir compte de la
pesanteur terrestre dans les applications de la statique abstraite.
Quant à la pesanteur universelle, on peut dire que jusqu'ici elle n'a
été prise en considération d'une manière vraiment complète, que
relativement aux corps sphériques. Ce n'est pas que, lorsque la loi de
la gravitation est supposée connue, et surtout en la concevant
inversement proportionnelle au carré de la distance, comme dans la
véritable pesanteur universelle, on ne puisse aisément construire, à
l'aide d'intégrales convenables, des formules qui expriment l'attraction
d'un corps de figure et de constitution quelconques sur un point donné,
et même sur un autre corps. Mais ces expressions symboliques générales
sont demeurées jusqu'ici le plus souvent inapplicables, faute de pouvoir
effectuer les intégrations qu'elles indiquent, même quand on suppose,
pour simplifier la question, que chaque corps est homogène. Ce n'est
encore que par une approximation fort imparfaite qu'on a pu parvenir à
la détermination définitive dans le cas très-simple de l'attraction de
deux ellipsoïdes, et les approximations n'ont pu être conduites jusqu'au
degré de précision convenable, qu'en supposant ces elipsoïdes très-peu
différens de la sphère, ce qui a lieu heureusement pour toutes nos
planètes. Il faut d'ailleurs considérer que, dans la réalité, ces
formules supposent la connaissance préalable de la loi de la densité à
l'intérieur de chaque corps proposé, ce que nous ignorons jusqu'ici
complétement.
Dans l'état présent de cette importante et difficile théorie, on peut
dire que les théorèmes primitifs de Newton sur l'attraction des corps
sphériques constituent effectivement encore la partie la plus utile de
cet ordre de notions. Ces propriétés si remarquables, et que Newton a si
simplement établies, consistent, comme on sait, en ce que 1º
l'attraction d'une sphère dont toutes les molécules attirent en raison
inverse du carré de la distance, est la même, sur un point extérieur
quelconque, que si la masse entière de cette sphère était toute
condensée à son centre; 2º quand un point est placé dans l'intérieur
d'une sphère dont les molécules agissent sur lui suivant cette même loi,
il n'éprouve absolument aucune attraction de la part de toute la portion
du globe qui se trouve à une plus grande distance que lui du centre, du
moins, en supposant, si le globe n'est pas homogène, que chacune de ses
couches sphériques concentriques présente en tous ses points la même
densité.
La pesanteur est la seule force naturelle dont nous sachions réellement
tenir compte en statique rationnelle: encore voit-on combien cette étude
est encore peu avancée par rapport à la gravité universelle. Quant aux
circonstances extérieures générales, dont on a dû également faire
d'abord complétement abstraction pour établir les lois rationnelles de
la mécanique, comme le frottement, la résistance des milieux, etc., on
peut dire que nous ne connaissons encore nullement la manière de les
introduire dans les relations fondamentales données par la mécanique
analytique, car on n'y est parvenu jusqu'ici qu'à l'aide d'hypothèses
fort précaires, et même évidemment inexactes, qui ne peuvent être
réellement considérées, dans le plus grand nombre des cas, que comme
propres à fournir des exercices de calcul. Du reste, nous devrons
naturellement revenir sur ce sujet dans la partie de ce cours relative à
la physique proprement dite.
Pour compléter l'examen philosophique de l'ensemble de la statique, il
nous reste enfin à considérer sommairement la manière générale d'établir
la théorie de l'équilibre, lorsque le corps auquel les forces sont
appliquées est supposé se trouver à l'état fluide, soit liquide, soit
gazeux.
L'hydrostatique peut être complétement traitée d'après deux méthodes
générales parfaitement distinctes, suivant qu'on cherche directement les
lois de l'équilibre des fluides d'après des considérations statiques
exclusivement propres à cette classe de corps, ou qu'on se borne à les
déduire simplement des principes fondamentaux qui ont déjà fourni les
équations statiques des corps solides, en ayant seulement égard, comme
il convient, aux nouvelles conditions caractéristiques qui résultent de
la fluidité.
La première méthode a dû naturellement commencer par être la seule
employée, comme étant primitivement la plus facile, sinon la plus
rationnelle. Tel a été effectivement le caractère des travaux des
géomètres du dix-septième et du dix-huitième siècle sur cette importante
section de la mécanique générale. Divers principes statiques
particuliers aux fluides, et plus ou moins satisfaisans, ont été
successivement proposés, principalement à l'occasion de la célèbre
question dans laquelle les géomètres se proposaient de déterminer _à
priori_ la véritable figure de la terre, supposée originairement toute
fluide, question capitale qui, envisagée dans son ensemble, se rattache
en effet, directement ou indirectement, à toutes les théories
essentielles de l'hydrostatique. On sait que Huyghens avait d'abord
essayé de la résoudre, en prenant pour principe d'équilibre la
perpendicularité évidemment nécessaire de la pesanteur à la surface
libre du fluide. Newton de son côté avait, à la même époque, choisi pour
considération fondamentale la nécessité non moins évidente de l'égalité
de poids entre les deux colonnes fluides allant du centre, l'une au
pôle, l'autre à un point quelconque de l'équateur. Bouguer, en discutant
plus tard cette importante question, montra clairement que ces deux
manières de procéder étaient également vicieuses, en ce que le principe
d'Huyghens et celui de Newton, bien que tous deux incontestables, ne
s'accordaient point, dans un grand nombre de cas, à donner la même forme
à la masse fluide en équilibre, ce qui mettait pleinement en évidence
leur insuffisance commune. Mais Bouguer se trompa gravement à son tour,
en croyant que la réunion de ces deux principes, lorsqu'ils
s'accordaient à indiquer une même figure, était entièrement suffisante
pour l'équilibre. Clairaut, dans son immortel traité _de la figure de la
terre_, découvrit, le premier, les véritables lois générales de
l'équilibre d'une masse fluide, en parlant de la considération évidente
de l'équilibre isolé d'un canal quelconque infiniment petit; et, d'après
ce _criterium_ infaillible, il montra qu'il pouvait exister une infinité
de cas dans lesquels la combinaison exigée par Bouguer se trouvait
observée sans que cependant l'équilibre eût lieu. Depuis que l'ouvrage
de Clairaut eut fondé dans son ensemble l'hydrostatique rationnelle,
plusieurs grands géomètres, continuant à adopter la même manière
générale de procéder, s'occupèrent d'établir la théorie mathématique de
l'équilibre des fluides sur des considérations plus naturelles et plus
distinctes que celle employée par son illustre inventeur. On doit
principalement distinguer, à cet égard, les travaux de Maclaurin et
surtout ceux d'Euler, qui ont donné à cette théorie fondamentale la
forme simple et régulière qu'elle a maintenant dans tous les traités
ordinaires, en la fondant sur le principe de l'égalité de pression en
tout sens, qu'on peut regarder comme une loi générale indiquée par
l'observation relativement à la constitution statique des fluides. Ce
principe est incontestablement, en effet, le plus convenable qu'on
puisse employer dans une telle recherche, lorsqu'on veut traiter
directement par quelque considération propre aux fluides la théorie de
leur équilibre, dont il fournit immédiatement les équations générales
avec une extrême facilité. Il suffit alors, pour les obtenir le plus
simplement possible, après avoir conçu la masse fluide partagée en
molécules cubiques par trois séries de plans infiniment rapprochés,
parallèles aux trois plans coordonnés, d'exprimer que chaque molécule
est également pressée suivant les trois axes perpendiculaires à ses
faces par l'ensemble des forces du système, la pression de la molécule
en chaque sens étant égale à la différence des pressions exercées sur
les deux faces opposées correspondantes. On trouve ainsi que la loi
mathématique de l'équilibre d'un fluide quelconque, par quelques forces
qu'il soit sollicité, est exprimée par les trois équations:
/[/frac{dP}{dx} = pX,/;/frac{dP}{dy} = pY,/;/frac{dP}{dz} = pZ,/] où P
exprime la pression supportée par la molécule dont les coordonnées sont
x, y, z, et la densité ou pesanteur spécifique p, et X, Y, Z, désignent
les composantes totales des forces dont le fluide est animé suivant les
trois axes coordonnés. Comme on peut évidemment déduire, de l'ensemble
de ces trois équations, la formule /[P = /int p(Xdx + Ydy + Zdz)/] pour
la détermination de la pression en chaque point, quand les forces seront
connues ainsi que la loi de la densité, il est possible de donner une
autre forme analytique à la loi générale de l'équilibre des fluides, en
se bornant à dire que la fonction différentielle, placée ici sous le
signe S, doit satisfaire aux conditions connues d'intégrabilité
relativement aux trois variables indépendantes x, y, z, ce qui est
précisément l'expression très-simple trouvée primitivement par Clairaut
quant à la théorie mathématique de l'hydrostatique.
L'étude de l'équilibre des fluides donne constamment lieu à une nouvelle
question générale fort importante qui leur est propre, celle qui
consiste à déterminer, dans le cas d'équilibre, la figure de la surface
qui limite la masse fluide. La solution abstraite de cette question est
implicitement comprise dans la formule fondamentale précédente,
puisqu'il suffit évidemment de supposer que la pression est nulle ou du
moins constante, pour caractériser les points de la surface, ce qui
donne indistinctement /[Xdx + Ydy + Zdz = 0/] quant à l'équation
différentielle générale de cette surface. Toute la difficulté concrète
se réduit donc essentiellement, en chaque cas, à connaître la loi réelle
relative à la variation de la densité dans l'intérieur de la masse
fluide proposée, à moins qu'elle ne soit homogène, détermination qui
présente des obstacles tout-à-fait insurmontables dans les applications
les plus importantes. Si l'on en fait abstraction, la question ne
présente dès lors qu'une recherche analytique plus ou moins compliquée,
consistant dans l'intégration, le plus souvent encore inconnue, de
l'équation précédente. On doit remarquer d'ailleurs que cette équation
est, par sa nature, assez générale pour qu'on puisse l'appliquer même à
l'équilibre d'une masse fluide qui serait animée d'un mouvement de
rotation déterminé, comme l'exige surtout la grande question de la
figure des planètes. Il suffit alors en effet de comprendre, parmi les
forces du système proposé, les forces centrifuges qui résultent de ce
mouvement de rotation.
Telle est, par aperçu, la manière générale d'établir la théorie
mathématique de l'équilibre des fluides, en la fondant directement sur
des principes statiques particuliers à ce genre de corps. On conçoit,
comme je l'ai déjà indiqué, que cette méthode ait dû d'abord être seule
employée; car, à l'époque des premières recherches, les différences
caractéristiques entre les solides et les fluides devaient
nécessairement paraître trop considérables pour qu'aucun géomètre pût
alors se proposer d'appliquer à ceux-ci les principes généraux
uniquement destinés aux autres, en ayant seulement égard, dans cette
déduction, à quelques nouvelles conditions spéciales. Mais, quand les
lois fondamentales de l'hydrostatique ont enfin été obtenues, et que
l'esprit humain, cessant d'être préoccupé de la difficulté de leur
établissement, a pu mesurer avec justesse la diversité réelle qui existe
entre la théorie des fluides et celle des solides, il était impossible
qu'il ne cherchât point à les ramener toutes deux aux mêmes principes
essentiels, et qu'il ne reconnût pas, en thèse générale, l'applicabilité
nécessaire des règles fondamentales de la statique à l'équilibre des
fluides, pourvu qu'on tînt compte convenablement de la variabilité de
forme qui les caractérise. En un mot, la science ne pouvait rester sous
ce rapport dans son état primitif, où l'on accordait une importance
évidemment exagérée aux conditions propres aux fluides. Mais, pour
subordonner l'hydrostatique à la statique proprement dite, et augmenter
ainsi par une plus grande unité la perfection rationnelle de la science,
il était indispensable que la théorie abstraite de l'équilibre fût
préalablement traitée d'après un principe statique suffisamment général,
qui seul pouvait être directement appliqué aux fluides aussi bien qu'aux
solides, car on ne pouvait point recourir, à cet effet, aux équations
d'équilibre proprement dites, dans la formation desquelles on avait
toujours eu, nécessairement, plus ou moins égard à l'invariabilité du
système. Cette condition inévitable a été remplie, lorsque Lagrange a
conçu la manière de fonder la statique, et par suite toute la mécanique
rationnelle, sur le seul principe des vitesses virtuelles. Ce principe
est évidemment, en effet, par sa nature, tout aussi directement
applicable aux fluides qu'aux solides, et c'est là une de ses propriétés
les plus précieuses. Dès lors l'hydrostatique, philosophiquement classée
à son rang naturel, n'a plus été, dans le traité de Lagrange, qu'une
division secondaire de la statique. Quoique cette manière de la
concevoir n'ait pas encore pu devenir suffisamment familière, et que la
méthode hydrostatique directe soit restée jusqu'ici la seule usuelle, il
n'est pas douteux que la méthode de Lagrange finira par être
habituellement et exclusivement adoptée, comme étant celle qui imprime à
la science son véritable caractère définitif, en la faisant dériver tout
entière d'un principe unique.
Pour se représenter nettement, en général, comment le principe des
vitesses virtuelles peut conduire aux équations fondamentales de
l'équilibre des fluides, il suffit de considérer que tout ce qu'une
telle application exige de particulier consiste seulement à comprendre
parmi les forces quelconques du système une force nouvelle, la pression
exercée sur chaque molécule, qui introduira un terme de plus dans
l'équation générale, ou, plus exactement, qui donnera lieu à trois
nouveaux momens virtuels, si l'on distingue, comme il convient, les
variations séparément relatives à chacun des trois axes coordonnés. En
procédant ainsi, on parviendra immédiatement aux trois équations
générales de l'équilibre des fluides, qui ont été rapportées ci-dessus
d'après la méthode hydrostatique proprement dite. Si le fluide considéré
est liquide, il faudra concevoir le système assujéti à cette condition
caractéristique de pouvoir changer de forme, sans cependant jamais
changer de volume. Cette condition d'incompressibilité s'introduira
d'autant plus naturellement dans l'équation générale des vitesses
virtuelles, qu'elle peut s'exprimer immédiatement, comme l'a fait
Lagrange, par une formule analytique analogue à celle des termes de
cette équation, en exprimant que la variation du volume est nulle, ce
qui même a permis à Lagrange de se représenter abstraitement cette
incompressibilité comme l'effet d'une certaine force nouvelle, dont il
suffit d'ajouter le moment virtuel à ceux des forces du système. Si l'on
veut établir, au contraire, la théorie de l'équilibre pour les fluides
gazeux, il faudra remplacer la condition de l'incompressibilité par
celle qui assujétit le volume du fluide à varier suivant une fonction
déterminée de la pression, par exemple en raison inverse de cette
pression, conformément à la loi physique sur laquelle Mariotte a fondé
toute la mécanique des gaz. Cette nouvelle circonstance donnera lieu à
une équation analogue à celle des liquides, quoique plus compliquée.
Seulement cette dernière section de la théorie générale de l'équilibre,
outre les grandes difficultés analytiques qui lui sont propres, se
ressentira nécessairement, dans les applications, de l'incertitude où
l'on est encore sur la véritable loi des gaz relativement à la fonction
de la pression qui exprime réellement la densité, car la loi de
Mariotte, si précieuse par son extrême simplicité, ne peut
malheureusement être regardée que comme une approximation, qui,
suffisamment exacte pour des circonstances moyennes, ne saurait être
étendue rigoureusement à un cas quelconque.
Tel est le caractère fondamental de la méthode incontestablement la plus
rationnelle qu'on puisse employer pour former la théorie abstraite de
l'équilibre des fluides, et que nous devons regarder, surtout dans cet
ouvrage, comme constituant désormais la conception définitive de
l'hydrostatique. Cette conception paraîtra d'autant plus philosophique
que, dans la statique ainsi traitée, on trouve une suite de cas en
quelque sorte intermédiaires entre les solides et les fluides, lorsqu'on
considère les questions relatives aux corps solides susceptibles de
changer de forme jusqu'à un certain degré d'après des lois déterminées,
c'est-à-dire quand on tient compte de la flexibilité et de
l'élasticité, ce qui établit, sous le rapport analytique, une filiation
naturelle qui fait passer, par une succession de recherches
presqu'insensible, des systèmes dont la forme est rigoureusement
invariable à ceux où elle est au contraire éminemment variable.
Après avoir examiné sommairement comment la statique rationnelle,
envisagée dans son ensemble, a pu être élevée enfin à ce haut degré de
perfection spéculative où toutes les questions qu'elle est susceptible
de présenter, constamment traitées d'après un principe unique
directement établi, sont uniformément réduites à de simples problèmes
d'analyse mathématique, nous devons maintenant entreprendre la même
étude relativement à la dernière branche de la mécanique générale,
nécessairement plus étendue, plus compliquée, et par suite plus
difficile, celle qui a pour objet la théorie du mouvement. Ce sera le
sujet de la leçon suivante.