SOMMAIRE. Considérations sur les théorèmes généraux de mécanique
rationnelle.
Le but et l'esprit de cet ouvrage, aussi bien que son étendue naturelle,
nous interdisent nécessairement ici tout développement spécial relatif à
l'application des équations fondamentales de l'équilibre et du
mouvement, à la solution effective d'aucun problème mécanique
particulier. Néanmoins, on ne se formerait qu'une idée incomplète du
caractère philosophique de la mécanique rationnelle envisagée dans son
ensemble, si, après avoir convenablement étudié la méthode, on ne
considérait enfin les grands résultats théoriques de la science,
c'est-à-dire les principales propriétés générales de l'équilibre et du
mouvement découvertes jusqu'ici par les géomètres, et qui nous restent
maintenant à examiner. Ces diverses propriétés ont été conçues dans
l'origine comme autant de véritables _principes_, dont chacun était
destiné primitivement à procurer la solution d'un certain ordre de
nouveaux problèmes mécaniques, supérieurs aux méthodes connues
jusqu'alors. Mais, depuis que l'ensemble de la mécanique rationnelle a
pris son caractère systématique définitif, chacun de ces anciens
_principes_ a été ramené à n'être plus qu'un simple _théorème_ plus ou
moins général, résultat nécessaire des théories fondamentales de la
statique et de la dynamique abstraites: c'est seulement sous ce point de
vue philosophique que nous devons les envisager ici. Commençons par ceux
qui se rapportent à la statique.
Le théorème le plus remarquable qui ait été déduit jusqu'à présent des
équations générales de l'équilibre est la célèbre propriété,
primitivement découverte par Torricelli, relativement à l'équilibre des
corps pesans. Elle consiste proprement en ce que, quand un système
quelconque de corps pesans est dans sa situation d'équilibre, son centre
de gravité est nécessairement placé au point le plus bas ou le plus haut
possible, comparativement à toutes les positions qu'il pourrait prendre
d'après toute autre situation du système. Torricelli à d'abord présenté
cette propriété comme immédiatement vérifiée par les conditions
d'équilibre connues de tous les systèmes de poids considérés
jusqu'alors. Mais les considérations générales d'après lesquelles il a
tenté ensuite de la démontrer directement sont réellement peu
satisfaisantes, et offrent un exemple sensible de la nécessité de se
défier, dans les sciences mathématiques, de toute idée dont le caractère
n'est point parfaitement précis, quelque plausible qu'elle puisse
d'ailleurs paraître. En effet le raisonnement de Torricelli consiste
essentiellement à remarquer que la tendance naturelle du poids étant de
descendre, il y aura nécessairement équilibre si le centre de gravité se
trouve placé le plus bas possible. L'insuffisance de cette considération
est évidente, puisqu'elle n'explique point pourquoi il y a également
équilibre quand le centre de gravité est placé le plus haut possible, et
qu'elle tendrait même à démontrer que ce second cas d'équilibre ne peut
exister, tandis que, sous le point de vue théorique, il est aussi réel
que le premier, quoique, par le défaut de stabilité, on ait rarement
occasion de l'observer dans la pratique. Ainsi, pour choisir un exemple
très-simple, la loi d'équilibre d'un pendule exige que le centre de
gravité du poids soit placé sur la verticale menée par le point de
suspension, ce qui offre une vérification palpable du théorème de
Torricelli; mais, quand on fait abstraction de la stabilité, il est
évident que ce centre de gravité peut d'ailleurs être indifféremment
au-dessus ou au-dessous du point de suspension, l'équilibre ayant
également lieu dans les deux cas.
La véritable démonstration générale du théorème de Torricelli consiste à
le déduire du principe fondamental des vitesses virtuelles, qui le
fournit immédiatement avec la plus grande facilité. Il suffit, en effet,
pour cela, d'appliquer directement ce principe à l'équilibre d'un
système quelconque de corps pesans, à l'égard duquel il donne aussitôt
l'équation /[/int Pdz = 0,/] où P désigne un quelconque des poids, et z
la hauteur verticale de son centre de gravité. Or, d'après la définition
générale du centre de gravité de tout système de poids, on a évidemment
en nommant P. le poids total du système, et z, l'ordonnée verticale de
son centre de gravité, la relation /[/int Pdz = P_1dz_1./] Ainsi
l'équation des vitesses virtuelles devient, dans ce cas, dz_1 = 0; ce
qui, conformément à la théorie analytique générale des _maxima_ et
_minima_, démontre immédiatement que la hauteur verticale du centre de
gravité du système est alors un _maximum_ ou un _minimum_, comme
l'indique le théorème de Torricelli.
Cette importante propriété, indépendamment du grand intérêt qu'elle
présente sous le point de vue physique, peut même être avantageusement
employée pour faciliter la solution générale de plusieurs problèmes
essentiels de statique rationnelle, relativement aux corps pesans.
Ainsi, par exemple, elle suffit à l'entière résolution de la célèbre
question de la _chaînette_, c'est-à-dire de la figure que prend une
chaîne pesante suspendue à deux points fixes, et ensuite librement
abandonnée à la seule influence de la gravité, en la supposant
parfaitement flexible, et de plus inextensible. En effet, le théorème de
Torricelli indiquant alors que le centre de gravité doit être placé le
plus bas possible, le problème appartient immédiatement à la théorie
générale des isopérimètres, indiquée dans la huitième leçon, puisqu'il
se réduit à déterminer, parmi toutes les courbes de même contour tracées
entre les deux points fixes donnés, quelle est celle qui jouit de cette
propriété caractéristique, que la hauteur verticale de son centre de
gravité totale soit un _minimum_, condition qui suffit pour déterminer
complétement, à l'aide du calcul des variations, l'équation
différentielle, et ensuite l'équation finie de la courbe cherchée. Il
en est de même dans quelques autres questions intéressantes relatives à
l'équilibre des poids.
Le théorème de Torricelli a éprouvé plus tard une importante
généralisation par les travaux de Maupertuis, qui, sous le nom de _loi
du repos_, a découvert une propriété très-étendue de l'équilibre, dont
celle ci-dessus considérée n'est plus qu'un simple cas particulier.
C'est seulement à la pesanteur terrestre, ou à la gravité proprement
dite, que s'applique la loi trouvée par Torricelli. Celle de Maupertuis
s'étend, au contraire, à toutes les forces attractives qui peuvent faire
tendre les corps d'un système quelconque vers des centres fixes, ou les
uns vers les autres, suivant une fonction quelconque de la distance,
indépendante de la direction, ce qui comprend toutes les grandes forces
naturelles. On sait que, dans ce cas, l'expression P/delta p+P'/delta
p'+ etc., qui forme le premier membre de l'équation générale des
vitesses virtuelles, se trouve nécessairement être toujours une
différentielle exacte. Par conséquent, le principe des vitesses
virtuelles consiste alors proprement en ce que la variation de son
intégrale est nulle, ce qui indique évidemment, d'après la théorie
fondamentale des _maxima_ et _minima_, que cette intégrale /int P/delta
p est constamment, dans le cas d'équilibre, un _maximum_ ou un
_minimum_. C'est en cela que consiste la loi de Maupertuis, considérée
sous le point de vue le plus général, et déduite ainsi directement avec
une extrême simplicité du principe fondamental des vitesses virtuelles,
qui doit nécessairement renfermer implicitement toutes les propriétés
auxquelles peut donner lieu la théorie de l'équilibre. Le théorème de
Maupertuis a été présenté par Lagrange sous un aspect plus concret et
plus remarquable, en le rattachant à la notion des _forces vives_, dont
nous nous occuperons plus bas. Lagrange, considérant que l'intégrale
/int P/delta p envisagée par Maupertuis est nécessairement toujours,
d'après la théorie analytique générale du mouvement, le complément de la
somme des forces vives du système à une certaine constante, en a conclu
que cette somme de forces vives est un _minimum_ lorsque l'intégrale
précédente est un _maximum_, et réciproquement. D'après cela, le
théorème de Maupertuis peut être envisagé plus simplement comme
consistant en ce que la situation d'équilibre d'un système quelconque
est constamment celle dans laquelle la somme des forces vives se trouve
être un _maximum_ ou un _minimum_. Il est évident que, dans le cas
particulier de la pesanteur terrestre, cette loi coïncide exactement
avec celle de Torricelli, la force vive étant alors égale, comme on
sait, au produit du poids par la hauteur verticale du centre de
gravité, laquelle doit donc devenir nécessairement un _maximum_ ou un
_minimum_, s'il y a équilibre.
Une autre propriété générale très-remarquable de l'équilibre, qui peut
être regardée comme le complément indispensable du théorème de
Torricelli et de Maupertuis, consiste dans la distinction fondamentale
des cas de _stabilité_ ou d'_instabilité_ de l'équilibre. On sait que
l'équilibre peut être _stable_ ou _instable_, c'est-à-dire que le corps,
infiniment peu écarté de sa situation d'équilibre, peut tendre à y
revenir, et y retourne en effet après un certain nombre d'oscillations
bientôt anéanties par la résistance du milieu, les frottemens, etc., ou
bien qu'il tend, au contraire, à s'en éloigner de plus en plus, pour ne
s'arrêter que dans une nouvelle position d'équilibre stable. Ce que nous
appelons physiquement l'état de _repos_ d'un corps n'est réellement
autre chose que l'_équilibre stable_, car le _repos_ abstrait, tel que
les géomètres le conçoivent, lorsqu'ils supposent un corps qui ne serait
sollicité par aucune force, ne saurait évidemment exister dans la
nature, où il ne peut y avoir que des équilibres plus ou moins durables.
L'équilibre _instable_, au contraire, constitue effectivement ce que le
vulgaire appelle proprement _équilibre_, qui désigne toujours un état
plus ou moins passager et artificiel. La propriété générale que nous
considérons maintenant, et dont la démonstration complète est due à
Lagrange, consiste en ce que, dans un système quelconque, l'équilibre
est _stable_ ou _instable_, suivant que l'intégrale envisagée par
Maupertuis, et qui a été indiquée, ci-dessus, se trouve être un
_minimum_ ou un _maximum_; ou, ce qui revient au même, comme nous
l'avons dit, suivant que la somme des forces vives est un _maximum_ ou
un _minimum_. Ce beau théorème de mécanique, appliqué au cas le plus
simple et le plus remarquable, à celui de l'équilibre des corps pesans
considéré par Torricelli, apprend alors que le système est dans un état
d'équilibre stable, quand le centre de gravité est placé le plus bas
possible, et dans un état d'équilibre instable quand, au contraire, le
centre de gravité est placé le plus haut possible, ce qu'il est aisé de
vérifier directement pour les systèmes les moins compliqués. Ainsi, par
exemple, l'équilibre d'un pendule est évidemment stable, quand le centre
de gravité du poids se trouve être situé au dessus du point de
suspension, et instable quand il est au dessous. De même, un ellipsoïde
de révolution, posé sur un plan horizontal, est en équilibre stable
quand il repose sur le sommet de son petit axe, et en équilibre instable
quand c'est sur le sommet de son grand axe. La seule observation aurait
suffi sans doute pour distinguer les deux états dans des cas aussi
simples. Mais la théorie la plus profonde a été nécessaire pour dévoiler
aux géomètres que cette distinction fondamentale était également
applicable aux systèmes les plus composés, en montrant que lorsque
l'intégrale relative à la somme des momens virtuels est un _minimum_, le
système ne peut faire autour de sa situation d'équilibre que des
oscillations très-petites et dont l'étendue est déterminée, tandis que,
si cette intégrale est, au contraire, un _maximum_, ces oscillations
peuvent acquérir et acquièrent en effet une étendue finie et quelconque.
Il est d'ailleurs inutile d'avertir que, par leur nature, ces
propriétés, ainsi que les précédentes, ont lieu dans les fluides tout
aussi bien que dans les solides, ce qui est également le caractère de
toutes les propriétés mécaniques générales à l'examen desquelles nous
avons destiné cette leçon.
Considérons maintenant les théorèmes généraux de mécanique relatifs au
mouvement.
Depuis que ces propriétés ont cessé d'être envisagées comme autant de
_principes_, et qu'on n'y a vu que des simples résultats nécessaires des
théories dynamiques fondamentales, la manière la plus directe et la plus
convenable de les établir consiste à les présenter, ainsi que l'a fait
Lagrange, comme des conséquences immédiates de l'équation générale de
la dynamique, déduite de la combinaison du principe d'Alembert avec le
principe des vitesses virtuelles, telle que nous l'avons exposée dans la
leçon précédente. On doit mettre au nombre des avantages les plus
sensibles de cette méthode, comme Lagrange l'a justement remarqué, cette
facilité qu'elle offre pour la démonstration de ces grands théorèmes de
dynamique dans leur plus grande généralité, démonstration à laquelle on
ne pouvait autrement parvenir que par des considérations indirectes et
fort compliquées. Néanmoins la nature de ce cours nous interdit
d'indiquer spécialement ici chacune de ces démonstrations, et nous
devons nous borner à considérer seulement les divers résultats.
Le premier théorème général de dynamique est celui que Newton a
découvert relativement au mouvement du centre de gravité d'un système
quelconque, et qui est habituellement connu sous le nom de _principe de
la conservation du mouvement du centre de gravité_. Newton a reconnu le
premier et démontré par des considérations extrêmement simples, au
commencement de son grand traité des _principes mathématiques de la
philosophie naturelle_, que l'action mutuelle des corps d'un système les
uns sur les autres, soit par attraction, soit par impulsion, en un mot
d'une manière quelconque, en ayant convenablement égard à l'égalité
constante et nécessaire entre la réaction et l'action, ne peut nullement
altérer l'état du centre de gravité, en sorte que, s'il n'y a pas
d'autres forces accélératrices que ces actions réciproques, et si les
forces extérieures du système se réduisent seulement à des forces
instantanées, le centre de gravité restera toujours immobile ou se
mouvera uniformément en ligne droite. D'Alembert a, depuis, généralisé
cette propriété, et prouvé que, quelqu'altération que puisse introduire
l'action mutuelle des corps du système dans le mouvement de chacun
d'eux, le centre de gravité n'en est jamais affecté, et que son
mouvement a constamment lieu comme si toutes les forces du système y
étaient directement appliquées parallèlement à leur direction, quelles
que soient les forces extérieures de ce système, et en supposant
seulement qu'il ne présente aucun point fixe. C'est ce qu'il est aisé de
démontrer, en développant, dans la formule générale de la dynamique, les
équations relatives au mouvement de translation, qui, par la propriété
analytique fondamentale du centre de gravité, se trouvent coïncider avec
celles qu'aurait fourni le mouvement isolé de ce centre si la masse
totale du système y eût été supposée condensée, et qu'on l'eût conçue
animée de toutes les forces extérieures du système. Le principal
avantage de ce beau théorème est de pouvoir ainsi, en ce qui concerne le
mouvement du centre de gravité, faire rentrer le cas d'un corps ou d'un
système quelconque dans celui d'une molécule unique. Comme le mouvement
de translation d'un système doit être estimé par le mouvement de son
centre de gravité, on parvient donc de cette manière à réduire la
seconde partie de la dynamique à la première pour tout ce qui se
rapporte aux mouvemens de translation, d'où résulte, ainsi qu'il est
aisé de le sentir, une importante simplification dans la solution de
tout problème dynamique particulier, puisqu'on peut alors négliger, dans
cette partie de la recherche, les effets de l'action mutuelle de tous
les corps proposés, dont la détermination constitue ordinairement la
principale difficulté de chaque question.
On ne se fait pas communément une assez juste idée de l'entière
généralité théorique des grands résultats de la mécanique rationnelle,
qui sont nécessairement applicables, par eux-mêmes, à tous les ordres de
phénomènes naturels, puisque nous avons reconnu que les lois
fondamentales sur lesquelles repose tout l'édifice systématique de la
science ne souffrent d'exception dans aucune classe quelconque de
phénomènes, et constituent les faits les plus généraux de l'univers
réel, quoiqu'on paraisse ordinairement, dans ce genre de conceptions,
avoir seulement en vue le monde inorganique. Aussi est-il à propos, ce
me semble, de faire remarquer formellement ici, au sujet de cette
première propriété générale du mouvement, que le théorème a également
lieu dans les corps vivans comme dans les corps inanimés. Quelle que
puisse être, en effet, la nature des phénomènes qui caractérisent les
corps vivans, ils ne sauraient consister tout au plus qu'en certaines
actions particulières des molécules les unes sur les autres, qui ne
s'observeraient point dans les corps bruts, sans qu'on doive douter
d'ailleurs que la réaction y soit toujours, aussi bien qu'en tout autre
cas, égale au contraire à l'action. Ainsi, par la nature même du
théorème que nous venons de considérer, il doit nécessairement se
vérifier aussi bien pour les corps vivans que pour les corps bruts,
puisque le mouvement du centre de gravité est indépendant de ces actions
intérieures mutuelles. Il en résulte, par exemple, qu'un corps vivant,
quel que soit le jeu interne de ses organes, ne saurait de lui-même
déplacer son centre de gravité, quoiqu'il puisse faire exécuter à
quelques-uns de ses points certains mouvemens partiels autour de ce
centre. Ne vérifie-t-on pas clairement, en effet, que la locomotion
totale d'un corps vivant serait entièrement impossible sans le secours
extérieur que lui fournit la résistance et le frottement du sol sur
lequel il se meut, ou du fluide qui le contient? On peut faire des
remarques exactement analogues, relativement à toutes les autres
propriétés dynamiques générales qui nous restent à considérer, et pour
chacune desquelles je me dispenserai, par conséquent, d'indiquer
spécialement son applicabilité nécessaire aux corps vivans aussi bien
qu'aux corps inertes.
Le second théorème général de dynamique consiste dans le célèbre et
important _principe des aires_, dont la première idée est due à Képler,
qui découvrit et démontra fort simplement cette propriété pour le cas du
mouvement d'une molécule unique, ou en d'autres termes, d'un corps dont
tous les points se meuvent identiquement. Képler établit, par les
considérations les plus élémentaires, que si la force accélératrice
totale dont une molécule est animée tend constamment vers un point fixe,
le rayon vecteur du mobile décrit autour de ce point des aires égales en
temps égaux, de telle sorte que l'aire décrite au bout d'un temps
quelconque croît proportionnellement à ce temps. Il fit voir en outre
que, réciproquement, si une semblable relation a été vérifiée dans le
mouvement d'un corps par rapport à un certain point, c'est une preuve
suffisante de l'action sur ce corps d'une force dirigée sans cesse vers
ce point. Cette belle propriété se déduit d'ailleurs très-aisément des
équations générales du mouvement curviligne d'une molécule, exposées
dans la leçon précédente, en plaçant l'origine des coordonnées au centre
des forces, et considérant l'expression de l'aire décrite sur l'un
quelconque des plans coordonnés par la projection correspondante du
rayon vecteur du mobile. Cette découverte de Képler est d'autant plus
remarquable qu'elle a eu lieu avant que la dynamique eût été réellement
créée par Galilée. Nous aurons occasion de remarquer, dans la partie
astronomique de ce cours, que Képler ayant reconnu que les rayons
vecteurs des planètes décrivent autour du soleil des aires
proportionnelles aux temps, ce qui constitue la première de ses trois
grandes lois astronomiques, en conclut ainsi que les planètes sont
continuellement animées d'une tendance vers le soleil, dont il était
réservé à Newton de découvrir la loi.
Mais, quelle que soit l'importance de ce premier théorème des aires, qui
est ainsi une des bases essentielles de la mécanique céleste, on ne doit
plus y voir aujourd'hui que le cas particulier le plus simple du grand
théorème général des aires, découvert presque simultanément et sous des
formes différentes par d'Arcy, par Daniel Bernouilli et par Euler, vers
le milieu du siècle dernier. La découverte de Képler n'était relative
qu'au mouvement d'un point: celle de d'Arcy se rapporte au mouvement de
tout système quelconque de corps agissant les uns sur les autres d'une
manière quelconque, ce qui constitue un cas, non-seulement plus
compliqué, mais même essentiellement différent, à cause de ces actions
mutuelles. Le théorème consiste alors en ce que, par suite de ces
influences réciproques, l'aire que décrira séparément le rayon vecteur
de chaque molécule du système à chaque instant autour d'un point
quelconque pourra bien être altérée, mais que la somme algébrique des
aires ainsi décrites par les projections sur un plan quelconque des
rayons vecteurs de toutes les molécules, en donnant à chacune de ces
aires le signe convenable d'après la règle ordinaire, ne souffrira aucun
changement, en sorte que, s'il n'y à pas d'autres forces accélératrices
dans le système que ces actions mutuelles, cette somme des aires
décrites demeurera invariable en un temps donné, et croîtra par
conséquent proportionnellement au temps. Quand le système ne présente
aucun point fixe, cette propriété remarquable a lieu relativement à un
point quelconque de l'espace; tandis qu'elle se vérifie seulement en
prenant le point fixe pour centre des aires, si le système en offre un.
Enfin, lorsque les corps du système sont animés de forces accélératrices
extérieures, si ces forces tendent constamment vers un même point, le
théorème des aires subsiste encore, mais uniquement à l'égard de ce
point. Cette dernière partie de la proposition générale fournit
évidemment comme cas particulier, le théorème de Képler, en supposant
que le système se réduise à une seule molécule.
Dans l'application de ce théorème, on remplace ordinairement la somme
des aires correspondantes à toutes les molécules du système par la somme
équivalente des produits de la masse de chaque corps par l'aire qui s'y
rapporte, ce qui dispense de partager le système en molécules de même
masse.
Telle est la forme sous laquelle le théorème général des aires a été
découvert par d'Arcy; c'est celle qu'on emploie habituellement. Comme
l'aire décrite par le rayon vecteur de chaque corps dans un instant
infiniment petit, est évidemment proportionnelle au produit de la
vitesse de ce corps par sa distance au point fixe que l'on considère, on
peut substituer à la somme des aires la somme des _momens_ par rapport à
ce point de toutes les forces du système projetées sur un même plan
quelconque. Sous ce point de vue, le théorème des aires présente,
suivant la remarque de Laplace, une propriété générale du mouvement
analogue à une de celles de l'équilibre, puisqu'il consiste alors en ce
que cette somme des momens, nulle dans le cas de l'équilibre, est
constante dans le cas du mouvement. C'est ainsi que ce théorème a été
trouvé par Euler et par Daniel Bernouilli.
Quelle que soit l'interprétation concrète qu'on juge convenable de lui
donner, il est une simple conséquence analytique directe de la formule
générale de la dynamique. Il suffit, pour l'en déduire, de développer
cette formule en formant les équations qui se rapportent au mouvement de
rotation, et dans lesquelles on apercevra immédiatement l'expression
analytique du théorème des aires ou des momens, en ayant égard aux
conditions ci-dessus indiquées. Sous le rapport analytique, on peut dire
que l'utilité de ce théorème consiste essentiellement à fournir dans
tous les cas trois intégrales premières des équations générales du
mouvement qui sont par elles-mêmes du second ordre, ce qui tend à
faciliter singulièrement la solution définitive de chaque problème
dynamique particulier.
Le théorème des aires suffit pour déterminer, dans le mouvement général
d'un système quelconque, tout ce qui se rapporte aux mouvemens de
rotation, comme le théorème du centre de gravité détermine tout ce qui
est relatif aux mouvemens de translation. Ainsi, par la seule
combinaison de ces deux propriétés générales, on pourrait procéder à
l'étude complète du mouvement d'un système quelconque de corps, soit
quant à la translation, soit quant à la rotation.
Je ne dois pas négliger de signaler sommairement ici, au sujet du
théorème des aires, la clarté inespérée et la simplicité admirable que
M. Poinsot y a introduites en y appliquant sa conception fondamentale
relative aux mouvemens de rotation, que nous avons considérée sous le
point de vue statique dans la seizième leçon. En substituant aux aires,
ou aux momens considérés jusqu'alors par les géomètres, les couples
qu'engendrent les forces proposées, M. Poinsot a fait éprouver à cette
théorie un perfectionnement philosophique très-important, qui ne me
paraît pas encore avoir été suffisamment senti. Il a donné ainsi une
valeur concrète, un sens dynamique propre et direct, à ce qui n'était
auparavant qu'un simple énoncé géométrique d'une partie des équations
fondamentales du mouvement. Une aussi heureuse transformation générale
est destinée, sans doute, à accroître nécessairement les ressources de
l'esprit humain pour l'élaboration des idées dynamiques, en tout ce qui
concerne la théorie des mouvemens de rotation. On peut voir dans le
beau mémoire de M. Poinsot sur les propriétés des momens et des aires,
qui se trouve annexé à sa _Statique_, avec quelle facilité il est
parvenu, d'après cette lumineuse conception, non-seulement à rendre
élémentaire une théorie jusqu'alors fondée sur la plus haute analyse,
mais à découvrir à cet égard de nouvelles propriétés générales
très-remarquables, que nous ne devons point considérer ici, et qu'il eût
été difficile d'obtenir par les méthodes antérieures.
Le théorème des aires a été, pour l'illustre Laplace, l'origine de la
découverte d'une autre propriété dynamique très-remarquable, celle de ce
qu'il a nommé le _plan invariable_, dont la considération est surtout si
importante dans la mécanique céleste. La somme des aires projetées par
tous les corps du système sur un plan quelconque étant constante en un
temps donné, Laplace a cherché la direction du plan à l'égard duquel
cette somme se trouvait être la plus grande possible. Or, d'après la
manière dont ce plan de la plus grande aire ou du plus grand moment est
déterminé, Laplace a démontré que sa direction est nécessairement
indépendante de la réaction mutuelle des différentes parties du système,
en sorte que, par sa nature, ce plan doit rester continuellement
invariable, quelles que puissent jamais être les altérations introduites
dans la situation de ces corps par leurs influences réciproques, pourvu
qu'il ne survienne aucune nouvelle force extérieure. On conçoit aisément
de quelle importance doit être, comme nous l'expliquerons spécialement
dans la seconde partie de ce cours, la détermination d'un tel plan
relativement à notre système solaire, puisque, en y rapportant tous nos
mouvemens célestes, il nous procure l'inappréciable avantage d'avoir un
terme de comparaison nécessairement fixe, à travers tous les dérangemens
que l'action mutuelle de nos planètes pourra faire subir dans la suite
des temps à leurs distances, à leurs révolutions et même aux plans de
leurs orbites, ce qui est une première condition évidemment
indispensable pour que nous puissions exactement connaître en quoi
consistent ces altérations. Malheureusement nous aurons occasion de
remarquer que l'incertitude où nous sommes jusqu'ici relativement à la
valeur exacte de plusieurs données essentielles, ne nous permet pas
encore de déterminer avec toute la précision suffisante la situation de
ce plan. Mais cette difficulté d'application n'affecte en aucune manière
le caractère de ce beau théorème, considéré sous le point de vue de la
mécanique rationnelle, le seul que nous devions adopter ici.
La théorie du plan invariable a été notablement perfectionnée dans ces
derniers temps par M. Poinsot, qui a dû naturellement y transporter sa
conception propre relativement à la théorie générale des aires ou des
momens. Il a d'abord considérablement simplifié la notion fondamentale
de ce plan, de façon à la rendre aussi élémentaire qu'il est possible,
en montrant qu'un tel plan n'est réellement autre chose que le plan du
couple général résultant de tous les couples engendrés par les
différentes forces du système, ce qui le définit immédiatement par une
propriété dynamique très-sensible, au lieu de la seule propriété
géométrique du maximum des aires. Quand une conception quelconque a été
vraiment simplifiée dans sa nature, l'élaboration en étant par cela même
facilitée, elle ne saurait manquer de prendre plus d'extension et de
conduire à des résultats nouveaux: telle est, en effet, la marche
ordinaire de l'esprit humain dans les sciences, que les théories les
plus fécondes en découvertes n'ont été le plus souvent, à leur origine,
qu'un moyen de rendre plus simple la solution de questions déjà
traitées. Le travail que nous considérons ici en a offert une nouvelle
preuve. Car la théorie de M. Poinsot a permis d'introduire un plus haut
degré de précision dans la détermination du plan invariable propre à
notre système solaire, en signalant et rectifiant une importante lacune
que Laplace y avait laissée. Ce grand géomètre, en calculant la
situation du plan du _maximum_ des aires, avait cru ne devoir prendre
en considération que les aires principales, produites par la circulation
des planètes autour du soleil, sans tenir aucun compte de celles dues
aux mouvemens des satellites autour des planètes, ou à la rotation de
tous ces astres et du soleil lui-même. M. Poinsot vient de prouver la
nécessité d'avoir égard à ces divers élémens, sans quoi le plan ainsi
déterminé ne pourrait point être regardé comme rigoureusement
invariable; et en cherchant la direction du véritable plan invariable
aussi exactement que le comporte l'imperfection actuelle de la plupart
des données, il a fait voir que ce plan diffère sensiblement de celui
trouvé par Laplace; ce qu'il est facile de concevoir par la seule
considération de l'aire immense que doit introduire dans le calcul la
masse énorme du soleil, quoique sa rotation soit très-lente.
Pour compléter l'indication des propriétés dynamiques les plus
importantes relatives au mouvement de rotation, il convient maintenant
de signaler ici les beaux théorèmes découverts par Euler sur ce qu'il a
nommé les _momens d'inertie_ et les _axes principaux_, qu'on doit mettre
au nombre des résultats généraux les plus importans de la mécanique
rationnelle. Euler a donné le nom de _moment d'inertie_ d'un corps à
l'intégrale qui exprime la somme des produits de la masse de chaque
molécule par le carré de sa distance à l'axe autour duquel le corps
tourne, intégrale dont la considération doit évidemment être
très-essentielle, puisqu'elle peut être naturellement regardée comme la
mesure exacte de l'énergie de rotation du corps. Quand la masse proposée
est homogène, ce moment d'inertie se détermine comme les autres
intégrales analogues relatives à la forme d'un corps; lorsque, au
contraire, cette masse est hétérogène, il faut de plus connaître la loi
de la densité dans les diverses couches qui la composent, et, à cela
près, l'intégration n'est alors seulement que plus compliquée. Cette
notion étant établie, Euler, comparant, en général, les momens d'inertie
d'un même corps quelconque par rapport à tous les axes de rotation
imaginables passant en un point donné, détermina les axes relativement
auxquels le moment d'inertie doit être un _maximum_ ou un _minimum_, en
considérant surtout ceux qui se coupent au centre de gravité, et qui se
distinguent en ce qu'ils produisent nécessairement des momens moindres
que si, avec la même direction, ils étaient placés partout ailleurs. Il
découvrit ainsi qu'il existe constamment, en un point quelconque d'un
corps, et particulièrement au centre de gravité, trois axes
rectangulaires, tels que le moment d'inertie du corps est un _maximum_ à
l'égard de l'un d'entre eux, et un _minimum_ à l'égard d'un autre. Ces
axes sont d'ailleurs caractérisés par une autre propriété commune qui
leur sert habituellement aujourd'hui de définition analytique, et qui
constitue, en effet, pour l'analyse, le principal avantage que l'on
trouve à rapporter le mouvement du corps à ces trois axes. Cette
propriété consiste en ce que, lorsque ces trois axes sont pris pour ceux
des coordonnées x, y, z, les intégrales /int xzdm, /int xydm, /int yzdm
(m exprimant la masse du corps), sont nulles relativement au corps tout
entier, ce qui simplifie notablement les équations générales du
mouvement de rotation. Mais le principal théorème dynamique découvert
par Euler à l'égard de ces axes, et d'après lequel il les a justement
appelés _axes principaux de rotation_, consiste dans la stabilité des
rotations qui leur correspondent; c'est-à-dire, que si le corps a
commencé à tourner autour d'un de ces axes, cette rotation persistera
indéfiniment de la même manière, ce qui n'aurait pas lieu pour tout
autre axe quelconque, la rotation instantanée s'exécutant en général
autour d'un axe continuellement variable. Ce système des axes principaux
est généralement unique dans chaque corps: cependant, si tous les momens
d'inertie étaient constamment égaux entre eux, la direction de ces axes
deviendrait totalement indéterminée, pourvu qu'on les choisît toujours
perpendiculaires entre eux, ce qui a lieu, par exemple, dans une sphère
homogène, où l'on peut regarder comme des axes permanens de rotation
tous les systèmes d'axes rectangulaires passant par le centre. Il y
aurait encore un certain degré d'indétermination si le corps était un
solide de révolution, l'axe géométrique étant alors un des axes
dynamiques principaux; mais les deux autres pouvant évidemment être pris
à volonté dans un plan perpendiculaire au premier. La détermination des
axes principaux présente souvent de grandes difficultés en considérant
des corps de figure et de constitution quelconques; mais elle s'effectue
avec une extrême facilité dans les cas peu compliqués, que la mécanique
céleste nous présente heureusement comme les plus communs. Par exemple
dans un ellipsoïde homogène, ou même seulement composé de couches
semblables et concentriques d'inégale densité, mais dont chacune est
homogène, les trois diamètres conjugués rectangulaires sont eux-mêmes
les axes dynamiques principaux: le moment d'inertie du corps est un
_maximum_ relativement du plus petit de ces diamètres, et un _minimum_ à
l'égard du plus grand. Quand les axes principaux d'un corps ou d'un
système sont déterminés ainsi que les momens d'inertie correspondans, si
le système ne tourne pas autour de l'un de ces axes, Euler a établi des
formules générales très-simples, qui font connaître constamment les
angles que doit faire avec eux la droite autour de laquelle s'exécute
spontanément la rotation instantanée, et la valeur du moment d'inertie
qui s'y rapporte, ce qui suffit pour l'analyse complète du mouvement de
rotation.
Tels sont les théorèmes généraux de dynamique qui se rapportent
directement à l'entière détermination du mouvement d'un corps ou d'un
système quelconque, soit quant à la translation, soit quant à la
rotation. Mais outre ces propriétés fondamentales, les géomètres en ont
encore découvert plusieurs autres très-générales, qui, sans être aussi
strictement indispensables, méritent singulièrement d'être signalés dans
un examen philosophique de la mécanique rationnelle, à cause de leur
extrême importance pour la simplification des recherches spéciales.
La première et la plus remarquable d'entre elles, celle qui présente les
plus précieux avantages pour les applications, consiste dans le célèbre
théorème de la _conservation des forces vives_. La découverte primitive
en est due à Huyghens, qui fonda sur cette considération sa solution du
problème du centre d'oscillation. La notion en fut ensuite généralisée
par Jean Bernouilli, car Huyghens ne l'avait établi que relativement au
mouvement des corps pesans. Mais Jean Bernouilli, accordant une
importance exagérée et vicieuse à la fameuse distinction introduite par
Leïbnitz, entre les forces _mortes_ et les forces _vives_, tenta
vainement d'ériger ce théorème en une loi primitive de la nature, tandis
qu'il ne saurait être qu'une conséquence plus ou moins générale des
théories dynamiques fondamentales. Les travaux les plus importans dont
cette propriété du mouvement ait été le sujet sont certainement ceux de
l'illustre Daniel Bernouilli, qui donna au théorème des forces vives sa
plus grande extension, ainsi que la forme systématique sous laquelle
nous le concevons aujourd'hui, et qui en fit surtout un si heureux usage
pour l'étude du mouvement des fluides.
On sait que, depuis Leïbnitz, les géomètres appellent _force vive_ d'un
corps le produit de sa masse par le carré de sa vitesse, en faisant
d'ailleurs complétement abstraction des considérations trop vagues qui
avaient conduit Leïbnitz à former une telle expression. Le théorème
général que nous envisageons ici consiste en ce que quelques altérations
qui puissent survenir dans le mouvement de chacun des corps d'un système
quelconque en vertu de leur action réciproque, la somme des forces vives
de tous ces corps reste constamment la même en un temps donné. C'est ce
qu'on démontre aujourd'hui avec la plus grande facilité d'après les
équations fondamentales du mouvement d'un système quelconque, et
surtout, comme l'a fait Lagrange, en partant de la formule générale de
la dynamique exposée dans la leçon précédente. Sous le point de vue
analytique, l'extrême utilité de ce beau théorème consiste
essentiellement en ce qu'il fournit toujours d'avance une première
équation finie entre les masses et les vitesses des différens corps du
système. Cette relation, qui peut être envisagée comme une des
intégrales définitives des équations différentielles du mouvement,
suffit à l'entière solution du problème, toutes les fois qu'il est
réductible à la détermination du mouvement d'un seul des corps que l'on
considère, détermination qui s'effectue alors avec une grande facilité.
Mais pour se faire une juste idée de cette importante propriété, il est
indispensable de remarquer qu'elle est assujétie à une limitation
considérable, qui ne permet point, sous le rapport de la généralité, de
la placer sur la même ligne que les théorèmes précédemment examinés.
Cette limitation, découverte à la fin du dernier siècle par Carnot,
consiste en ce que la somme des forces vives subit constamment une
diminution dans le choc des corps qui ne sont pas parfaitement
élastiques, et généralement toutes les fois que le système éprouve un
changement brusque quelconque. Carnot a démontré qu'alors il y a une
perte de forces vives égale à la somme des forces vives dues aux
vitesses perdues par ce changement. Ainsi le théorème de la conservation
des forces vives n'a lieu qu'autant que le mouvement du système varie
seulement par degrés insensibles, ou qu'il ne survient de choc qu'entre
des corps doués d'une élasticité parfaite. Cette importante
considération complète la notion générale qu'on doit se former d'une
propriété aussi remarquable.
De tous les grands théorèmes de mécanique rationnelle, celui que nous
venons d'envisager est sans contredit le plus important pour les
applications à la mécanique industrielle; c'est-à-dire en ce qui
concerne la théorie du mouvement des machines, en tant qu'elle est
susceptible d'être établie d'une manière exacte et précise. Le théorème
des forces vives a commencé à fournir jusqu'ici, sous ce point de vue,
des indications générales très-précieuses, qui ont été surtout
présentées avec une netteté et une concision parfaites dans le travail
de Carnot, auquel on n'a ajouté depuis rien de vraiment essentiel. Ce
théorème présente directement, en effet, la considération dynamique
d'une machine quelconque sous son véritable aspect, en montrant que,
dans toute transmission et modification du mouvement effectuée par une
machine, il y a simplement échange de force vive entre la masse du
moteur et celle du corps à mouvoir. Cet échange serait complet,
c'est-à-dire toute la force vive du moteur serait utilisée en évitant
les changemens brusques, si les frottemens, la résistance des milieux,
etc., n'en absorbaient nécessairement une portion plus ou moins
considérable suivant que la machine est plus ou moins compliquée. Cette
notion met dans tout son jour l'absurdité de ce qu'on a appelé le
mouvement perpétuel, en indiquant même d'une manière générale à quel
instant la machine abandonnée à sa seule impulsion primitive doit
s'arrêter spontanément; mais cette absurdité est d'ailleurs de sa nature
tellement sensible, qu'Huyghens avait, au contraire, fondé en partie sa
démonstration du théorème des forces vives sur l'évidence manifeste
d'une telle impossibilité. Quoi qu'il en soit, ce théorème donne une
idée nette de la véritable perfection dynamique d'une machine, en la
réduisant à utiliser la plus grande fraction possible de la force vive
du moteur, ce qui ne peut avoir lieu généralement qu'en s'efforçant de
simplifier le mécanisme autant que le comporte la nature du moteur. On
conçoit en effet que si l'on mesure, comme il semble naturel de le
faire, l'effet dynamique utile d'un moteur en un temps donné par le
produit du poids qu'il peut élever et de la hauteur à laquelle il le
transporte, cet effet équivaut immédiatement, d'après les lois du
mouvement vertical des corps pesans, à une force vive, et non à une
quantité de mouvement. Sous ce point de vue, la fameuse discussion
soulevée par Leïbnitz au sujet des forces vives, et à laquelle prirent
part tous les grands géomètres de cette époque, ne doit point être
regardée comme aussi dépourvue de réalité que d'Alembert a paru le
croire. On s'était sans doute mépris en pensant que la mécanique
rationnelle était intéressée dans cette contestation, qui ne saurait en
effet, selon la remarque de d'Alembert, exercer sur elle la moindre
influence réelle. Le point de vue théorique et le point de vue pratique
n'avaient pas été assez soigneusement séparés par les géomètres qui
suivirent cette discussion. Mais, sous le seul point de vue de la
mécanique industrielle, elle n'en avait pas moins une véritable
importance. Elle pourrait même être utilement reprise aujourd'hui, car
les objections qui ont été faites contre la mesure vulgaire de la valeur
dynamique des moteurs méritent d'être prises en sérieuse considération,
vu qu'il semble en effet peu rationnel de prendre pour unité un
mouvement qui n'est point uniforme.
Mais, quelque décision qu'on finisse par adopter sur cette contestation
non-terminée, l'application du théorème des forces vives n'en conservera
pas moins toute son importance pour montrer sous son vrai jour la
destination réelle des machines, en prouvant que nécessairement elles
font perdre en vitesse ou en temps ce qu'elles font gagner en force ou
réciproquement, de telle sorte que leur utilité consiste essentiellement
à échanger les uns dans les autres les divers facteurs de l'effet à
produire, sans pouvoir jamais l'augmenter par elles-mêmes dans sa
totalité, et en lui faisant constamment subir au contraire une
inévitable diminution, ordinairement très-notable. Il est douteux, du
reste, que l'application de ce théorème puisse à aucune époque être
poussée beaucoup plus loin que les indications générales de ce genre,
car le véritable calcul _à priori_ de l'effet précis d'une machine
quelconque donnée présente, comme problème de dynamique, une trop grande
complication, et exige la connaissance exacte d'un trop grand nombre de
relations encore complétement inconnues, pour pouvoir être efficacement
tenté dans la plupart des cas[29].
[Note 29: La véritable théorie propre de la mécanique
industrielle, qui n'est nullement, ainsi qu'on le croit
souvent, une simple dérivation de la _phoronomie_ ou
mécanique rationnelle, et qui se rapporte à un ordre d'idées
complétement distinct, n'a point encore été conçue. Il en
est, à cet égard, comme de toute autre _science
d'application_ dont l'esprit humain ne possède jusqu'ici que
quelques élémens insuffisans, selon la remarque indiquée
dans notre seconde leçon. La mécanique industrielle,
abstraction faite de la formation des moteurs, qui dépend de
l'ensemble de nos connaissances sur la nature, se compose de
deux classes de recherches très-différentes, les unes
dynamiques, les autres géométriques. Les premières ont pour
objet la détermination des appareils les plus convenables,
afin d'utiliser autant que possible les forces motrices
données; c'est-à-dire d'obtenir entre la force vive du corps
à mouvoir et celle du moteur le rapport le plus rapproché de
l'unité, en ayant égard aux modifications exigées dans la
vitesse par la destination connue de la machine. Quant aux
autres, on s'y propose de changer à volonté, à l'aide d'un
mécanisme convenable, les lignes décrites par les points
d'application des forces. En un mot, le mouvement est
modifié, dans les unes, quant à son intensité; dans les
autres, quant à sa direction. Les premières se rapportent à
une doctrine entièrement neuve, au sujet de laquelle il n'a
encore été produit aucune conception directe et vraiment
rationnelle. Il en est à peu près de même pour les autres,
qui dépendent de cette _géométrie de situation_ entrevue par
Leïbnitz, mais qui n'a fait jusqu'ici presqu'aucun progrès.
Je ne connais, à cet égard, d'autre travail réel qu'une
ingénieuse considération élémentaire présentée par Monge, et
qui, quoique simplement empirique, mérite d'être notée ici,
ne fut-ce que pour indiquer la véritable nature de cet ordre
d'idées.
Monge est parti de cette observation, très-plausible en
effet, que, dans la réalité, les mouvemens exécutés par les
machines sont ou rectilignes ou circulaires, chacun pouvant
être d'ailleurs ou continu ou alternatif. Il a, dès lors,
envisagé toute machine comme destinée, sous le rapport
géométrique, à transformer ces divers mouvemens élémentaires
les uns dans les autres. Cela posé, en épuisant toutes les
combinaisons diverses qu'une telle transformation peut
offrir, il en a vu résulter nécessairement dix séries
d'appareils dans lesquelles peuvent être rangées toutes les
machines connues, ainsi que celles qu'on imaginera plus
tard. Les tableaux résultant de cette classification peuvent
donc être envisagés comme présentant au mécanicien les
moyens empiriques de résoudre, dans chaque cas, le problème
de la transformation du mouvement, en choisissant, parmi
tous les appareils propres à remplir la condition proposée,
celui qui présente d'ailleurs le plus d'avantages.]
Le mouvement d'un système quelconque présente une autre propriété
générale très-remarquable, quoique moins importante, soit sous le
rapport analytique, soit surtout sous le rapport physique, que celle qui
vient d'être examinée: c'est la propriété exprimée par le célèbre
théorème général de dynamique auquel Maupertuis a donné la dénomination
si vicieuse de _principe de la moindre action_.
La filiation des idées au sujet de cette découverte remonte à une époque
très éloignée, car les géomètres de l'antiquité avaient déjà fait
quelques remarques qu'on peut concevoir aujourd'hui comme équivalentes
à la vérification de ce théorème dans le cas particulier le plus simple.
Ptolémée, en effet, observe expressément, quant à la loi de la réflexion
de la lumière, que par la nature de cette loi, la lumière en se
réfléchissant se trouve suivre le plus court chemin possible pour
parvenir d'un point à un autre. Lorsque Descartes et Snellius eurent
découvert la loi réelle de la réfraction, Fermat rechercha si on ne
pourrait point y arriver _à priori_ d'après quelque considération
analogue à la remarque de Ptolémée. Le _minimum_ ne pouvant alors avoir
lieu relativement à la longueur du chemin parcouru, puisque la route
rectiligne eût été possible dans ce cas, Fermat présuma qu'il existerait
à l'égard du temps. Il se proposa donc, en regardant la route de la
lumière comme composée de deux droites différentes, séparées, sous un
angle inconnu, à la surface du corps réfringent, quelle devait être
cette direction relative pour que le temps employé par la lumière dans
son trajet fût le moindre possible, et il eut le bonheur de trouver
d'après cette seule considération une loi de la réfraction exactement
conforme à celle directement déduite des observations par Snellius et
par Descartes. Cette belle solution est d'ailleurs éminemment
remarquable dans l'histoire générale des progrès de l'analyse
mathématique, comme ayant offert à Fermat la première application
importante de sa célèbre méthode _de maximis et minimis_, qui contient
le véritable germe primitif du calcul différentiel.
La comparaison de la remarque de Ptolémée avec le travail de Fermat
envisagé sous le point de vue dynamique, devint pour Maupertuis la base
de la découverte du théorème que nous considérons. Quoiqu'égaré, bien
plus que conduit, par de vagues considérations métaphysiques sur la
prétendue économie des forces dans la nature, il finit par arriver à ce
résultat important, que la trajectoire d'un corps soumis à l'action de
forces quelconques devait nécessairement être telle, que l'intégrale du
produit de la vitesse du mobile par l'élément de la courbe décrite fût
toujours un _minimum_, relativement à sa valeur dans toute autre courbe.
Mais Lagrange est avec justice généralement regardé par les géomètres
actuels comme le véritable fondateur de ce théorème, non-seulement pour
l'avoir généralisé autant que possible, mais surtout pour en avoir
découvert la véritable démonstration en le rattachant aux théories
dynamiques fondamentales, et en le dégageant des notions confuses et
arbitraires que Maupertuis avait employées. Il ne subsiste maintenant
d'autre trace du travail de Maupertuis que le nom qu'il a imposé à ce
théorème, et dont l'impropriété est universellement reconnue, quoique,
pour plus de brièveté, on ait continué à s'en servir. Le théorème, tel
qu'il a été établi par Lagrange relativement à un système quelconque de
corps, consiste en ce que, quelles que soient leurs attractions
réciproques, ou leurs tendances vers des centres fixes, les trajectoires
décrites par ces corps sont toujours telles que la somme des produits de
la masse de chacun d'eux, et de l'intégrale relative à sa vitesse
multipliée par l'élément de la courbe correspondante, est nécessairement
un _maximum_ ou un _minimum_, cette somme étant étendue à la totalité du
système. Il importe d'ailleurs de remarquer que la démonstration de ce
théorème général étant fondée sur le théorème des forces vives, il est
inévitablement assujéti aux mêmes limitations que celui-ci.
Outre la belle propriété du mouvement contenue dans cette proposition
remarquable, on conçoit que, sous le rapport analytique, elle peut être
envisagée comme un nouveau moyen de former les équations différentielles
qui doivent conduire à la détermination de chaque mouvement spécial. Il
suffit, en effet, conformément à la méthode générale des _maxima_ et
_minima_ fournie par le calcul des variations, d'exprimer que la somme
précédemment indiquée est un _maximum_ ou un _minimum_ (soit absolu,
soit relatif suivant les cas), en rendant sa variation nulle. Lagrange a
expressément montré comment, d'après cette seule considération, on peut,
en général, retrouver la formule fondamentale de la dynamique. Mais,
quelqu'utile que puisse être en certains cas une telle manière de
procéder, il ne faut point s'exagérer son importance; car on ne doit pas
perdre de vue qu'elle ne fournit par elle-même aucune intégrale finie
des équations du mouvement; elle se borne seulement à établir ces
équations d'une autre manière, qui peut quelquefois être plus
convenable. Sous ce rapport, le théorème de la moindre action est
certainement moins précieux que celui des forces vives. Quoi qu'il en
soit, il convient de remarquer ici avec Lagrange que l'ensemble de ces
deux théorèmes peut être regardé, en thèse générale, comme suffisant
pour l'entière détermination du mouvement d'un corps.
Le théorème de la moindre action a aussi été présenté par Lagrange sous
une autre forme générale, spécialement destinée à rendre plus sensible
son interprétation concrète. En effet, l'élément de la trajectoire
pouvant évidemment être remplacé dans l'énoncé de ce théorème par le
produit équivalent de la vitesse et de l'élément du temps, le théorème
consiste alors en ce que chaque corps du système décrit constamment une
courbe telle que la somme des forces vives consommées en un temps donné
pour parvenir d'une position à une autre est nécessairement un _maximum_
ou un _minimum_.
L'histoire philosophique des travaux relatifs au théorème de la moindre
action est particulièrement propre à mettre dans tout son jour
l'insuffisance complète et le vice radical des considérations
métaphysiques employées comme moyens de découvertes scientifiques. On ne
peut nier sans doute que le principe théologique et métaphysique des
causes finales n'ait eu ici quelque utilité, en contribuant dans
l'origine à éveiller l'attention des géomètres sur cette importante
propriété dynamique, et même en leur fournissant à cet égard quelques
indications vagues. L'esprit de ce cours, tel que nous l'avons déjà
expressément signalé, et tel qu'il se développera de plus en plus par la
suite, nous prescrit, en effet, de regarder, en thèse générale, les
hypothèses théologiques et métaphysiques comme ayant été utiles et même
nécessaires aux progrès réels de l'intelligence humaine, en soutenant
son activité aussi long-temps qu'a duré l'absence de conceptions
positives d'une généralité suffisante. Mais, alors même, les nombreux
inconvéniens fondamentaux inhérens à une telle manière de procéder
vérifient clairement qu'elle ne peut être envisagée que comme
provisoire. L'exemple actuel en offre une preuve sensible. Car, sans
l'introduction des considérations exactes et réelles fondées sur les
lois générales de la mécanique, on disputerait encore, ainsi que le
remarque Lagrange avec tant de raison, sur ce qu'il faut entendre par
_la moindre action_ de la nature, la prétendue économie des forces
consistant tantôt dans l'espace, tantôt dans le temps, et le plus
souvent n'étant en effet ni l'une ni l'autre. Il est d'ailleurs évident
que cette propriété n'a point ce caractère absolu qu'on avait d'abord
voulu lui imposer, puisqu'elle éprouve dans un grand nombre de cas des
restrictions déterminées. Mais ce qui rend surtout manifeste le vice
radical des considérations primitives, c'est que, d'après l'analyse
exacte de la question traitée par Lagrange, on voit que l'intégrale
ci-dessus définie n'est nullement assujettie à être nécessairement un
_minimum_, et qu'elle peut, au contraire, être tout aussi bien un
_maximum_, comme il arrive effectivement en certains cas, le véritable
théorème général consistant seulement en ce que la variation de cette
intégrale est nulle: que devient alors l'_économie_ des forces, de
quelque manière qu'on prétende caractériser l'_action_? L'insuffisance
et même l'erreur de l'argumentation de Maupertuis sont dès lors
pleinement évidentes. Dans cette occasion, comme dans toutes celles où
il a pu jusqu'ici y avoir concours, la comparaison a expressément
constaté la supériorité immense et nécessaire de la philosophie positive
sur la philosophie théologique et métaphysique, non-seulement quant à la
justesse et à la précision des résultats effectifs, mais même quant à
l'étendue des conceptions et à l'élévation réelle du point de vue
intellectuel.
Pour compléter cette énumération raisonnée des propriétés générales du
mouvement, je crois devoir enfin signaler ici une dernière proposition
fort remarquable, qu'on ne place point ordinairement dans la même
catégorie que les précédentes, et qui mérite cependant, à un aussi haut
degré, de fixer notre attention, soit par sa beauté intrinsèque, soit
surtout par l'importance et l'étendue de ses applications aux problèmes
dynamiques les plus difficiles. Il s'agit du célèbre théorème général
découvert par Daniel Bernouilli, sur la _coexistence des petites
oscillations_. Voici en quoi il consiste.
Nous avons vu, en commençant cette leçon, qu'il existe, pour tout
système de forces, une situation d'équilibre _stable_, celle dans
laquelle la somme des forces vives est un des _maximum_, suivant la loi
de Maupertuis généralisée par Lagrange. Quand le système est infiniment
peu écarté de cette situation par une cause quelconque, il tend à y
revenir, en faisant autour d'elle une suite d'oscillations infiniment
petites, graduellement diminuées et bientôt détruites par la résistance
du milieu et les frottemens, et qu'on peut assimiler à celles d'un
pendule d'une longueur convenable soumis à l'influence d'une gravité
déterminée. Mais plusieurs causes différentes peuvent faire
simultanément osciller le système de diverses manières autour de la
position de stabilité. Cela posé, le théorème de Daniel Bernouilli
consiste en ce que toutes les espèces d'oscillations infiniment petites
produites par ces divers dérangemens simultanés, quelle que soit leur
nature, ne font simplement que se superposer, en coexistant sans se
nuire, chacune d'elles ayant lieu comme si elle était seule. On conçoit
aisément l'extrême importance de cette belle proposition pour faciliter
l'étude d'un tel genre de mouvemens, puisqu'il suffit d'après cela
d'analyser isolément chaque sorte d'oscillations produite par chaque
perturbation séparée. Cette décomposition est surtout de la plus grande
utilité dans les recherches relatives au mouvement des fluides, où un
tel ordre de considérations se présente presque constamment. Mais la
propriété découverte par Daniel Bernouilli n'est pas moins intéressante
sous le rapport physique que sous le point de vue logique. En effet,
envisagée comme une loi de la nature, elle explique directement, de la
manière la plus satisfaisante, une foule de faits divers, que
l'observation avait depuis long-temps constatés, et qu'on cherchait
vainement à concevoir jusqu'alors. Telle est, par exemple, la
coexistence des ondes produites à la surface d'un liquide, lorsqu'elle
se trouve agitée à la fois en plusieurs points différens par diverses
causes quelconques. Telle est, surtout, dans l'acoustique, la
simultanéité des sons distincts produits par divers ébranlemens de
l'air. Cette coexistence qui a lieu sans confusion entre les
différentes ondes sonores, avait évidemment été souvent observée,
puisqu'elle est une des bases essentielles du mécanisme de notre
audition; mais elle paraissait inexplicable; on n'y voit plus maintenant
qu'une conséquence immédiate du beau théorème de Daniel Bernouilli.
En considérant ce théorème sous le point de vue le plus philosophique,
on ne le trouve peut-être pas moins remarquable par la manière dont il
résulte des équations générales du mouvement, que par son importance
analytique ou physique. En effet cette coexistence des divers ordres
d'oscillations infiniment petites d'un système quelconque, autour de sa
situation de stabilité, a lieu parce que l'équation différentielle qui
exprime la loi de l'un quelconque de ces mouvemens se trouve être
_linéaire_, et conséquemment de la classe de celles dont l'intégrale
générale est nécessairement la simple somme d'un certain nombre
d'intégrales particulières. Ainsi, sous le rapport analytique, la
superposition des divers mouvemens oscillatoires a pour cause l'espèce
de superposition qui s'établit alors entre les différentes intégrales
correspondantes. Cette importante corrélation est certainement, comme
l'observe avec raison Laplace, un des plus beaux exemples de cette
harmonie nécessaire entre l'abstrait et le concret, dont la philosophie
mathématique nous a offert tant de vérifications admirables.
Telles sont les principales considérations philosophiques relatives aux
différens théorèmes généraux découverts jusqu'ici dans la mécanique
rationnelle, et qui tous dérivent, comme de simples déductions
analytiques plus ou moins éloignées, des lois fondamentales du mouvement
sur lesquelles repose le système entier de la science phoronomique.
L'examen sommaire de ces théorèmes, dont l'ensemble constitue un des
monumens les plus imposans de l'activité de l'intelligence humaine
convenablement dirigée, était indispensable pour achever de déterminer
le caractère philosophique de la science de l'équilibre et du mouvement,
déjà suffisamment tracé dans les leçons précédentes, à l'égard de la
méthode. Nous pouvons donc maintenant nous former nettement une idée
générale de la nature propre de cette seconde branche de la mathématique
concrète, ce qui devait être le seul objet essentiel de notre travail à
ce sujet.
Je me suis efforcé, dans ce volume, de faire sentir, autant qu'il a été
en mon pouvoir, en quoi consiste réellement la philosophie
mathématique, soit quant à ses conceptions abstraites, soit quant à ses
divers ordres de considérations concrètes, soit enfin quant à la
corrélation intime et permanente qui existe nécessairement entre les
unes et les autres. Je regrette vivement que les limites dans lesquelles
j'ai dû me renfermer, vu la destination de cet ouvrage, ne m'aient point
permis de faire passer, autant que je l'aurais désiré, dans l'esprit du
lecteur mon sentiment profond de la nature de cette immense et admirable
science, qui, base nécessaire de la philosophie positive tout entière,
constitue d'ailleurs évidemment, en elle-même, le témoignage le plus
irrécusable de la portée du génie humain. Mais j'espère que les penseurs
qui n'ont pas le malheur d'être entièrement étrangers à cette science
fondamentale pourront, d'après les réflexions que j'ai indiquées,
parvenir à en concevoir nettement le véritable caractère philosophique.
Pour présenter un aperçu vraiment complet de la philosophie mathématique
dans son état actuel, j'ai indiqué d'avance (voyez la 3e Leçon) qu'il
me reste encore à considérer une troisième branche de la mathématique
concrète, celle qui consiste dans l'application de l'analyse à l'étude
des phénomènes thermologiques, dernière grande conquête de l'esprit
humain, due à l'illustre ami dont je déplore la perte récente,
l'immortel Fourier, qui vient de laisser dans le monde savant une si
profonde lacune, long-temps destinée à être de jour en jour plus
fortement sentie. Mais, afin de ne m'écarter que le moins possible des
habitudes encore universellement adoptées, j'ai annoncé que je croyais
devoir ajourner cet important examen jusqu'à ce que l'ordre naturel des
considérations exposées dans cet ouvrage nous ait conduits à la partie
de la physique qui traite de la thermologie. Quoiqu'une telle
transposition ne soit point véritablement rationnelle, il n'en saurait
résulter cependant qu'un inconvénient secondaire, l'appréciation
philosophique que je présenterai ayant d'ailleurs exactement le même
caractère que si elle eût été placée à son véritable rang logique.
Considérant donc maintenant la philosophie mathématique comme
complétement caractérisée, nous devons procéder à l'examen de son
application plus ou moins parfaite à l'étude des divers ordres de
phénomènes naturels suivant leur degré de simplicité, application qui,
par elle-même, est d'ailleurs évidemment propre à jeter un nouveau jour
sur les vrais principes de cette philosophie, et sans laquelle, en
effet, ils ne sauraient être convenablement appréciés. Tel sera l'objet
du volume suivant, en nous conformant à l'ordre encyclopédique
rigoureusement déterminé dans la seconde leçon, d'après la nature
spéciale de chacune des classes principales de phénomènes que nous avons
établies, et, par conséquent, en commençant par les phénomènes
astronomiques à l'étude approfondie desquels la science mathématique est
éminemment destinée.