SOMMAIRE. De la géométrie _générale_ à trois dimensions.
L'étude des surfaces se compose d'une suite de questions générales
exactement analogues à celles indiquées dans la leçon précédente par
rapport aux lignes. Il est inutile de considérer ici distinctement
celles qui ne dépendent que de l'analyse ordinaire, car elles se
résolvent par des méthodes essentiellement semblables; soit qu'il
s'agisse de connaître le nombre des points nécessaires à l'entière
détermination d'une surface, soit qu'on s'occupe de la recherche des
centres, soit qu'on demande les conditions précises de la similitude
entre deux surfaces du même genre, etc. Il n'y a d'autre différence
analytique que d'envisager des équations à trois variables au lieu
d'équations à deux variables. Je passe donc immédiatement aux questions
qui exigent l'emploi de l'analyse transcendante, en insistant seulement
sur les considérations nouvelles qu'elles présentent relativement aux
surfaces.
La première théorie générale est celle des plans tangens. En se servant
de la méthode infinitésimale proprement dite, on peut aisément trouver
l'équation du plan qui touche une surface quelconque en un point donné,
et qui est alors défini comme coïncidant avec la surface dans une
étendue infiniment petite tout autour du point de contact. Il suffit, en
effet, de considérer que, afin de remplir une telle condition,
l'accroissement infiniment petit reçu par l'ordonnée verticale en
résultat des accroissemens infiniment petits des deux coordonnées
horizontales, doit être le même pour le plan que pour la surface, et
cela indépendamment d'aucune relation déterminée entre ces deux derniers
accroissemens, sans quoi la coïncidence n'aurait pas lieu en tout sens.
D'après cette idée, l'analyse donne immédiatement l'équation générale:
/[z-z' = /frac{dz'}{dx'}(x-x') + /frac{dz'}{dy'}(y-y')/] pour celle du
plan tangent, x', y', z', désignant les coordonnées du point de contact.
La détermination de ce plan, dans chaque cas particulier, se trouve
ainsi réduite à une simple différentiation de l'équation de la surface
proposée.
On peut aussi obtenir cette équation générale du plan tangent, en
faisant dépendre sa recherche de la seule théorie des tangentes aux
courbes planes. Il faut, pour cela, considérer ce plan, ainsi qu'on le
fait habituellement en géométrie descriptive, comme déterminé par les
tangentes à deux sections planes quelconques de la surface passant au
point donné. En choisissant les plans de ces sections parallèles à deux
des plans coordonnés, on parvient sur-le-champ à l'équation précédente.
Cette manière de concevoir le plan tangent donne lieu d'établir
facilement un important théorème de géométrie générale, que Monge a
démontré le premier, et qui consiste en ce que les tangentes à toutes
les courbes qu'on peut tracer en un même point sur une surface
quelconque sont toujours comprises dans un même plan.
Enfin, il est encore possible de parvenir à l'équation générale du plan
tangent en le considérant comme perpendiculaire à la normale
correspondante, et définissant celle-ci par sa propriété géométrique
directe d'être le chemin _maximum_ ou _minimum_ pour aller d'un point
extérieur à la surface. La méthode ordinaire des _maxima_ et _minima_
suffit pour former, d'après cette notion, les deux équations de la
normale, en appliquant cette méthode à l'expression de la distance
entre deux points, l'un situé sur la surface, l'autre extérieur, dont
le premier conçu comme variable, est ensuite supposé fixe quand les
conditions analytiques ont été exprimées, tandis que le second,
primitivement constant, est alors envisagé comme mobile, et décrit la
droite cherchée. Les équations de la normale une fois obtenues, on en
déduit aisément celle du plan tangent. Cette ingénieuse manière de
l'établir est également due à Monge.
La question fondamentale que nous venons d'examiner devient, comme dans
le cas des courbes, la base d'un grand nombre de recherches relatives à
la détermination du plan tangent, lorsqu'on remplace le point de contact
donné par d'autres conditions équivalentes. Le plan tangent ne peut
point évidemment être déterminé par un seul point donné extérieur, comme
l'est la tangente: il faut l'assujétir à contenir une droite donnée; à
cela près, l'analogie est parfaite, et les deux questions se résolvent
de la même manière. Il en est de même si le plan tangent doit être
parallèle à un plan donné, ce qui fixe la valeur des deux constantes qui
assignent sa direction, et par suite détermine les coordonnées du point
de contact, dont ces constantes sont, pour chaque surface désignée, des
fonctions connues. Enfin on peut aussi trouver comme dans les courbes,
la relation analytique qui exprime généralement le simple phénomène du
contact entre un plan et une surface, sans spécifier le lieu de ce
contact; d'où résulte pareillement la solution de plusieurs questions
relatives aux plans tangens, entr'autres celle qui consiste à déterminer
un plan qui touche à la fois trois surfaces quelconques données,
recherche analogue à celle de la tangente commune à deux courbes.
La théorie générale des contacts plus ou moins intimes qui peuvent
exister entre deux surfaces quelconques par suite des relations plus ou
moins nombreuses de leurs équations, se forme d'après une méthode
exactement semblable à celle indiquée dans la leçon précédente
relativement aux courbes, en exprimant, à l'aide de la série de Taylor
pour les fonctions de deux variables, la distance verticale des deux
surfaces en un second point voisin de leur point d'intersection, et dont
les coordonnées horizontales auraient reçu deux accroissemens h et k
entièrement indépendans l'un de l'autre. La considération de cette
distance, développée selon les puissances croissantes de h et k, et dans
l'expression de laquelle on suprimera successivement les termes du
premier degré en h et k, ensuite ceux du second, etc., déterminera les
conditions analytiques des contacts de différens ordres que peuvent
avoir les deux surfaces suivant le plus ou moins grand nombre de
constantes arbitraires contenues dans l'équation générale de celle qu'on
regarde comme variable. Mais, malgré la conformité de méthode, cette
théorie présentera avec celle des courbes une différence fondamentale
relativement au nombre de ces conditions, par suite de la nécessité où
l'on se trouve dans ce cas de considérer deux accroissemens indépendant
au lieu d'un seul. Il en résulte, en effet, que, afin que chaque contact
ait lieu dans tous les sens possibles autour du point commun, on doit
annuler séparément tous les différens termes du même degré
correspondant, et, dont le nombre augmentera d'autant plus que ce degré
ou l'ordre du contact sera plus élevé. Ainsi, après la condition de
l'égalité des deux ordonnées verticales z nécessaire pour la simple
intersection, on trouvera que le contact du premier ordre exige, en
outre, deux relations distinctes, consistant dans l'égalité respective
des deux fonctions dérivées partielles du premier ordre propres à chaque
ordonnée verticale. En passant au contact du second ordre, il faudra
ajouter encore trois nouvelles conditions, à cause des trois termes
distincts du second degré en h et k dans l'expression de la distance, et
dont la suppression complète exigera l'égalité respective des trois
fonctions dérivées partielles du second ordre relatives au z de chaque
surface. On trouvera de la même manière que le contact du troisième
ordre donne lieu en outre à quatre autres relations, et ainsi de suite,
le nombre des dérivées partielles de chaque ordre restant constamment
égal au nombre de termes en h et k du degré correspondant. Il est aisé
d'en conclure, en général, que le nombre total des conditions distinctes
nécessaires au contact de l'ordre n, a pour valeur (n+1)(n+2)/2, tandis
que dans les courbes, il était simplement égal à n+1.
Par suite de cette seule différence essentielle, la théorie des surfaces
est loin d'offrir à cet égard la même facilité et de comporter la même
perfection que celle des courbes. Quand on se borne au contact du
premier ordre, il y a parité complète, puisque ce contact n'exige que
trois conditions, auxquelles on peut toujours satisfaire à l'aide des
trois constantes arbitraires que renferme l'équation générale d'un plan;
de là résulte, comme cas particulier, la théorie des plans tangens,
exactement analogue à celle des tangentes aux courbes, et présentant la
même utilité pour étudier la forme d'une surface quelconque. Mais il
n'en est plus ainsi lorsqu'on considère le contact du second ordre, afin
de mesurer la courbure des surfaces. Il serait naturel alors de comparer
toutes les surfaces à la sphère, la seule qui présente une courbure
uniforme, comme on compare toutes les courbes au cercle. Or, le contact
du second ordre entre deux surfaces exigeant six conditions, tandis que
l'équation la plus générale d'une sphère contient seulement quatre
constantes arbitraires, il n'est pas possible de trouver, en chaque
point d'une surface quelconque, une sphère qui soit complétement
osculatrice en tous sens, au lieu que nous avons vu un arc de courbe
infiniment petit pouvoir toujours être assimilé à un certain arc de
cercle. D'après cette impossibilité de mesurer la courbure d'une surface
en chaque point à l'aide d'une seule sphère, les géomètres ont déterminé
les coordonnées du centre et le rayon d'une sphère qui, au lieu d'être
osculatrice en tout sens indistinctement, le serait seulement dans une
certaine direction particulière, correspondante à un rapport donné entre
les deux accroissemens h et k. Il suffit alors, en effet, pour établir
ce contact du second ordre _relatif_, d'ajouter, aux trois conditions
ordinaires du contact du premier ordre, la condition unique qui résulte
de la suppression totale des termes du second degré en h et k envisagés
collectivement, sans qu'il soit nécessaire de les annuler chacun
séparément; le nombre des relations se trouve par là seulement égal à
celui des constantes disponibles renfermées dans l'équation générale de
la sphère, qui est ainsi déterminée. Ce procédé se réduit proprement à
étudier la courbure d'une surface en chaque point par celle des
différentes courbes que tracerait sur cette surface une suite de plans
menés par la normale correspondante.
D'après la formule générale qui exprime le rayon de courbure de chacune
de ces sections normales en fonction de sa direction, Euler, auquel est
essentiellement due toute cette théorie, a découvert plusieurs théorèmes
importans relatifs à une surface quelconque. Il a d'abord aisément
établi que, parmi toutes les sections normales d'une surface en un même
point, on en pouvait distinguer deux principales, dont la courbure,
comparée à celle de toutes les autres, était un _minimum_ pour la
première, et un _maximum_ pour la seconde, et dont les plans présentent
cette circonstance remarquable d'être constamment perpendiculaires entre
eux. Il a fait voir ensuite que, quelle que pût être la surface
proposée, et sans qu'il fût même nécessaire de la définir, la courbure
de ces deux sections principales suffisait seule pour déterminer
complétement celle d'une autre section normale quelconque, à l'aide
d'une formule invariable et très-simple, d'après l'inclinaison du plan
de cette section sur celui de la section de plus grande ou de plus
petite courbure. En considérant cette formule comme l'équation polaire
d'une certaine courbe plane, il en a déduit une ingénieuse construction,
éminemment remarquable par sa généralité et par sa simplicité. Elle
consiste en ce que, si l'on construit une ellipse telle que les
distances d'un de ses foyers aux deux extrémités du grand axe soient
égales aux deux rayons de courbure _maximum_ et _minimum_, le rayon de
courbure de toute autre section normale sera égal à celui des rayons
vecteurs de l'ellipse qui fera avec l'axe un angle double de
l'inclinaison du plan de cette section sur celui d'une des sections
principales. Cette ellipse se change en une hyperbole construite de la
même manière, quand les deux sections principales ne tournent pas leur
concavité dans le même sens: enfin elle devient une parabole, lorsque la
surface est du genre de celles qui peuvent être engendrées par une ligne
droite, ou qu'elle présente une _inflexion_ au point que l'on considère.
De cette belle propriété fondamentale, on a conclu plus tard un grand
nombre de théorèmes secondaires plus ou moins intéressans, que ce n'est
pas ici le lieu d'indiquer. Je dois seulement signaler le théorème
essentiel par lequel Meunier a complété le travail d'Euler, en
rattachant la courbure de toutes les courbes quelconques qui peuvent
être tracées sur une surface en un même point, à celle des sections
normales, les seules qu'Euler eût considérées. Ce théorème consiste en
ce que le centre de courbure de toute section oblique peut être envisagé
comme la projection sur le plan de cette section, du centre de courbure
correspondant à la section normale qui passerait par la même tangente:
d'où Meunier a déduit une construction fort simple, d'après laquelle,
par l'emploi d'un cercle analogue à l'ellipse d'Euler, on détermine la
courbure des sections obliques, connaissant celle des sections normales;
en sorte que, par la combinaison des deux théorèmes, la seule courbure
des deux sections normales _principales_ suffit pour obtenir celle de
toutes les autres courbes qu'on peut tracer sur une surface d'une
manière quelconque en chaque point considéré.
La théorie précédente permet d'étudier complétement, point par point, la
courbure d'une surface quelconque. Afin de lier plus aisément entre
elles les considérations relatives aux divers points d'une même surface,
les géomètres ont cherché à déterminer ce qu'ils appellent les _lignes
de courbure_ d'une surface, c'est-à-dire, celles qui jouissent de la
propriété que les normales consécutives à la surface peuvent y être
regardées comme comprises dans un même plan. En chaque point d'une
surface quelconque, il existe deux de ces lignes, qui se trouvent être
constamment perpendiculaires entre elles, et dont les directions
coïncident à leur origine avec celles des deux sections normales
_principales_ considérées ci-dessus, ce qui peut dispenser d'envisager
distinctement ces dernières. La détermination de ces lignes de courbure
s'effectue très-simplement sur les surfaces les plus usuelles, telles
que les surfaces cylindriques, coniques, et de révolution. Cette
nouvelle considération fondamentale est d'ailleurs devenue le point de
départ de plusieurs autres recherches générales moins importantes, comme
celle des _surfaces de courbure_, qui sont les lieux géométriques des
centres de courbure des diverses sections _principales_; celle des
surfaces développables formées par les normales à la surface menées aux
différens points de chaque ligne de courbure, etc.
Pour terminer l'examen de la théorie de la courbure, il me reste à
indiquer sommairement ce qui se rapporte aux _courbes à double
courbure_, c'est-à-dire, à celles qui ne peuvent être contenues dans un
plan.
Quant à la détermination de leurs tangentes, elle n'offre évidemment
aucune difficulté. Si la courbe est donnée analytiquement par les
équations de ses projections sur deux des plans coordonnées, les
équations de sa tangente seront simplement celles des tangentes à ces
deux projections, ce qui fait rentrer la question dans le cas des
courbes planes. Si, sous un point de vue plus général, la définition
analytique de la courbe consiste, ainsi que l'indique la douzième leçon,
dans le système des équations des deux surfaces quelconques dont elle
serait l'intersection, on regardera la tangente comme étant
l'intersection des plans tangens à ces deux surfaces, et le problème
sera ramené à celui du plan tangent, résolu ci-dessus.
La courbure des courbes de cette nature donne lieu à l'établissement
d'une notion nouvelle fort importante. En effet, dans une courbe plane,
la courbure se trouve être suffisamment appréciée en mesurant
l'inflexion plus ou moins grande des élémens consécutifs les uns sur les
autres, qui est estimée indirectement par le rayon du cercle osculateur.
Mais il n'en est nullement ainsi dans une courbe qui n'est point plane.
Les élémens consécutifs n'étant plus alors contenus dans un même plan,
on ne peut avoir une idée exacte de la courbure qu'en considérant
distinctement les angles qu'ils forment entre eux et aussi les
inclinaisons mutuelles des plans qui les comprennent. Il faut donc,
avant tout, commencer par fixer ce qu'on doit entendre à chaque instant
par _le plan_ de la courbe, c'est-à-dire, celui que déterminent trois
points infiniment voisins, et qu'on appelle, pour cette raison, le plan
_osculateur_, qui change continuellement d'un point à un autre. La
position de ce plan une fois obtenue, la mesure de la courbure
ordinaire, à l'aide du cercle osculateur, ne présente plus évidemment
aucune difficulté nouvelle. Quant à la seconde courbure, elle est
estimée par l'angle plus ou moins grand que forment entre eux deux plans
osculateurs consécutifs, et dont il est aisé de trouver généralement
l'expression analytique. Pour établir plus d'analogie entre la théorie
de cette courbure et celle de la première, on pourrait également la
regarder comme mesurée indirectement d'après le rayon de la sphère
_osculatrice_ qui passerait par quatre points infiniment voisins de la
courbe proposée, et dont l'équation se formerait de la même manière que
celle du plan osculateur. On l'apprécie ordinairement par la courbure
maximum que présente, au point considéré, la surface développable qui
est le lieu géométrique de toutes les tangentes à la courbe proposée.
Nous devons passer maintenant à l'indication des questions de géométrie
générale à trois dimensions qui dépendent du calcul intégral; elles
comprennent la quadrature des surfaces courbes, et la cubature des
volumes correspondans.
Relativement à la quadrature des surfaces courbes, il faut, pour établir
l'équation différentielle générale, concevoir la surface partagée en
élémens plans infinimens petits dans tous les sens, par quatre plans
perpendiculaires deux à deux aux axes des coordonnées x et y. Chacun de
ces élémens, situé dans le plan tangent correspondant, aurait évidemment
pour projection horizontale, le rectangle formé par les différentielles
des deux coordonnées horizontales, et dont l'aire serait dxdy. Cette
aire donnera celle de l'élément lui-même, d'après un théorème
élémentaire fort simple, en la divisant par le cosinus de l'angle que
fait le plan tangent avec le plan des x, y. On trouvera ainsi que
l'expression de cet élément est généralement: /[d^2S =
dxdy/sqrt{/frac{dz^2}{dx^2}+/frac{dz^2}{dy^2}+1}/] C'est donc par la
double intégration de cette formule différentielle à deux variables
qu'on connaîtra, dans chaque cas particulier, l'aire de la surface
proposée, autant que pourra le permettre l'imperfection actuelle du
calcul intégral. Les limites de chaque intégrale successive seront
déterminées par la nature des surfaces dont l'intersection avec celle
que l'on considère devra circonscrire l'étendue à mesurer, en sorte que,
dans l'application de cette méthode générale, il faudra apporter un soin
particulier à la manière de fixer les constantes arbitraires ou les
fonctions arbitraires introduites par l'intégration.
Relativement à la cubature des volumes terminés par les surfaces
courbes, le système de plans à l'aide duquel nous venons de différentier
l'aire, peut aussi servir immédiatement à décomposer le volume en
élémens polyèdres. Il est clair, en effet, que l'espace infiniment petit
du second ordre compris entre ces quatre plans, doit être envisagé,
suivant l'esprit de la méthode infinitésimale, comme égal au
parallélipipède rectangle ayant pour hauteur l'ordonnée verticale z du
point que l'on considère et pour base le rectangle dxdy, puisque leur
différence est évidemment un infiniment petit du troisième ordre,
moindre que dzdydz. D'après cela, un des plus simples théorèmes de la
géométrie élémentaire fournira directement, pour l'expression
différentielle du volume cherché, l'équation générale /[d^2V = zdxdy;/]
d'où l'on déduira, par une double intégration, dans chaque cas
particulier, la valeur effective de ce volume, en ayant le même égard
que précédemment à la détermination des limites de chaque intégrale,
conformément à la nature des surfaces qui devront circonscrire
latéralement le volume proposé.
Sans entrer ici dans aucun détail relatif à la solution définitive de
l'une ou de l'autre de ces deux questions fondamentales, il peut être
utile de remarquer, d'après les équations différentielles précédentes,
une analogie générale et singulière qui existe nécessairement entre
elles, et qui permettrait de transformer toute recherche relative à la
quadrature en une recherche correspondante relative à la cubature. On
voit, en effet, que les deux équations différentielles ne diffèrent que
par le changement de z en /sqrt{dz^2/dx^2+dz^2/dy^2+1} en passant de la
seconde à la première. Ainsi l'aire d'une surface courbe quelconque peut
être regardée comme numériquement égale au volume d'un corps terminé par
une surface dont l'ordonnée verticale aurait à chaque instant pour
valeur la sécante de l'angle que fait avec le plan horizontal le plan
tangent correspondant à la surface primitive, les limites étant
d'ailleurs supposées respectivement les mêmes.
Pour terminer l'examen philosophique de la géométrie générale à trois
dimensions, il me reste à considérer sommairement la belle conception
fondamentale établie par Monge relativement à la classification
analytique des surfaces en familles naturelles, qui doit être regardée
comme le perfectionnement le plus important qu'ait reçu la science
géométrique depuis Descartes et Leïbnitz.
Quand on se propose d'étudier, sous un point de vue général, les
propriétés spéciales des diverses surfaces, la première difficulté qui
se présente consiste dans l'absence d'une bonne classification,
déterminée par les caractères géométriques les plus essentiels, et
d'ailleurs suffisamment simple. Dès la fondation de la géométrie
analytique, les géomètres ont été involontairement conduits à classer
les surfaces, comme les courbes, par la forme et le degré de leurs
équations, seule considération qui s'offrît d'elle-même à l'esprit pour
servir de base à une distinction dont l'importance n'avait d'abord été
nullement sentie. Mais il est aisé de voir que ce principe de
classification, convenablement applicable aux équations du premier et du
second degré, ne remplit aucune des conditions principales auxquels doit
satisfaire un tel travail. En effet, on sait que Newton, en discutant
l'équation générale du troisième degré à deux variables, pour se borner
à la simple énumération des diverses courbes planes qu'elle peut
représenter, a reconnu que, bien qu'elles fussent toutes nécessairement
indéfinies en tout sens, on devait en distinguer 74 espèces
particulières, aussi différentes les unes des autres que le sont entre
elles les trois courbes du second degré. Quoique personne n'ait analysé
sous le même point de vue l'équation générale du quatrième degré à deux
variables, il n'est pas douteux qu'elle ne dût faire naître un nombre
beaucoup plus considérable encore de courbes distinctes; et ce nombre
devrait évidemment augmenter avec une prodigieuse rapidité d'après le
degré de l'équation. Si maintenant l'on passe aux équations à trois
variables, qui, vu leur plus grande complication, présentent
nécessairement bien plus de variété, il est incontestable que le nombre
des surfaces vraiment distinctes qu'elles peuvent exprimer doit être
encore plus multiplié, et croître beaucoup plus rapidement d'après le
degré. Cette multiplicité devient telle, qu'on s'est toujours borné à
analyser ainsi les équations des deux premiers degrés, aucun géomètre
n'ayant tenté pour les surfaces du troisième degré ce qu'a exécuté
Newton pour les courbes correspondantes. Il suit donc de cette
considération évidente que, quand même l'imperfection de l'algèbre ne
s'opposerait pas à l'emploi indéfini d'un procédé semblable, la
classification générale des surfaces par le degré et la forme de leurs
équations serait entièrement impraticable. Mais ce motif n'est pas le
seul qui doive faire rejeter une telle classification; il n'est point
même le plus important. En effet, cette manière de disposer les
surfaces, outre l'impossibilité de la suivre, se trouve directement
contraire à la principale destination de toute bonne classification
quelconque, consistant à rapprocher le plus les uns des autres les
objets qui offrent les relations les plus importantes, et à éloigner
ceux dont les analogies ont peu de valeur. L'identité du degré de leurs
équations est, pour les surfaces, un caractère d'une valeur géométrique
très-médiocre, qui n'indique pas même exactement le nombre des points
nécessaires à l'entière détermination de chacune. La propriété commune
la plus importante à considérer entre des surfaces consiste évidemment
dans leur mode de génération; toutes celles qui sont engendrées de la
même manière devant offrir nécessairement une grande analogie
géométrique, tandis qu'elles ne sauraient avoir que de très-faibles
ressemblances si elles sont engendrées d'après des modes essentiellement
différens. Ainsi, par exemple, toutes les surfaces cylindriques, quelle
que soit la forme de leur base, constituent une même famille naturelle,
dont les diverses espèces présentent un grand nombre de propriétés
communes de première importance: il en est de même pour toutes les
surfaces coniques, et aussi pour toutes les surfaces de révolution, etc.
Or, cet ordre naturel se trouve complétement détruit par la
classification fondée sur le degré des équations. Car des surfaces
assujéties à un même mode de génération, les surfaces cylindriques, par
exemple, peuvent fournir des équations de tous les degrés imaginables,
à raison de la seule différence secondaire de leurs bases; tandis, que
d'un autre côté, des équations d'un même degré quelconque expriment
souvent des surfaces de nature géométrique opposée, les unes
cylindriques, les autres coniques, ou de révolution, etc. Une telle
classification analytique est donc radicalement vicieuse, comme séparant
ce qui doit être réuni, et rapprochant ce qui doit être distingué.
Cependant, la géométrie générale étant entièrement fondée sur l'emploi
des considérations et des méthodes analytiques, il est indispensable que
la classification puisse prendre aussi un caractère analytique.
Tel était donc l'état précis de la difficulté fondamentale, si
heureusement vaincue par Monge: les familles naturelles entre les
surfaces étant clairement établies sous le point de vue géométrique
d'après le mode de génération, il fallait découvrir un genre de
relations analytiques destiné à présenter constamment une interprétation
abstraite de ce caractère concret. Cette découverte capitale était
rigoureusement indispensable pour achever de constituer la théorie
générale des surfaces.
La considération, que Monge a employée pour y parvenir, consiste dans
cette observation générale, aussi simple que directe: les surfaces
assujéties à un même mode de génération sont nécessairement
caractérisées par une certaine propriété commune de leur plan tangent en
un point quelconque; en sorte qu'en exprimant analytiquement cette
propriété d'après l'équation générale du plan tangent à une surface
quelconque, on formera une équation différentielle représentant à la
fois toutes les surfaces de cette famille.
Ainsi, par exemple, toute surface cylindrique présente ce caractère
exclusif: que le plan tangent en un point quelconque de la surface est
constamment parallèle à la droite fixe qui indique la direction des
génératrices. D'après cela, il est aisé de voir que les équations de
cette droite étant supposées être /[x=az,/;y=bz,/] l'équation générale
du plan tangent établie ci-dessus donnera, pour l'équation
différentielle commune à toutes les surfaces cylindriques,
/[a/frac{dz}{dx} + b/frac{dz}{dy} =1./]
De même, relativement aux surfaces coniques, elles sont toutes
caractérisées sous ce point de vue par la propriété nécessaire que leur
plan tangent en un point quelconque passe constamment par le sommet du
cône. Si donc /alpha, /beta, /gamma, désignent les coordonnées de ce
sommet, on trouvera immédiatement /[(x-/alpha)/frac{dz}{dx} +
(y-/beta)/frac{dz}{dy} = z-/gamma,/] pour l'équation différentielle
représentant la famille entière des surfaces coniques.
Dans les surfaces de révolution, le plan tangent en un point quelconque
est toujours perpendiculaire au plan _méridien_, c'est-à-dire à celui
qui passe par ce point et par l'axe de la surface. Afin d'exprimer
analytiquement cette propriété d'une manière plus simple, supposons que
l'axe de révolution soit pris pour celui des z: l'équation
différentielle commune à toute cette famille de surfaces, sera
/[y/frac{dz}{dx}-x/frac{dz}{dy} = 0./]
Il serait superflu de citer ici un plus grand nombre d'exemples pour
établir clairement, en général, que, quel que soit le mode de
génération, toutes les surfaces d'une même famille naturelle sont
susceptibles d'être représentées analytiquement par une même équation
_aux différences partielles_ contenant des constantes arbitraires,
d'après une propriété commune de leur plan tangent.
Afin de compléter cette correspondance fondamentale et nécessaire entre
le point de vue géométrique et le point de vue analytique, Monge a
considéré en outre les équations finies qui sont les intégrales de ces
équations différentielles, et qu'on peut d'ailleurs presque toujours
facilement obtenir aussi par des recherches directes. Chacune de ces
équations finies doit, comme on le sait par la théorie générale de
l'intégration, contenir une fonction arbitraire, si l'équation
différentielle est seulement du premier ordre; ce qui n'empêche pas que
de telles équations, quoique beaucoup plus générales que celles dont on
s'occupe ordinairement, ne présentent un sens nettement déterminé, soit
sous le rapport géométrique, soit sous le simple rapport analytique.
Cette fonction arbitraire correspond à ce qu'il y a d'indéterminé dans
la génération des surfaces proposées, à la base, par exemple, si les
surfaces sont cylindriques ou coniques, à la courbe méridienne, si elles
sont de révolution, etc.[27]. Dans certains cas même, l'équation finie
d'une famille de surfaces contient à la fois deux fonctions arbitraires,
affectées à des combinaisons distinctes des coordonnées variables; c'est
ce qui a lieu lorsque l'équation différentielle correspondante doit être
du second ordre; sous le point de vue géométrique, cette indétermination
plus grande indique une famille plus générale, et néanmoins
caractérisée. Telle est, par exemple, la famille des surfaces
développables, qui comprend, comme subdivisions, toutes les surfaces
cylindriques, toutes les surfaces coniques, et une infinité d'autres
familles analogues, et qui peut cependant être nettement définie, dans
sa plus grande généralité, comme étant l'_enveloppe_ de l'espace
parcouru par un plan qui se meut en restant toujours tangent à deux
surfaces fixes quelconques, ou comme le lieu géométrique de toutes les
tangentes à une même courbe quelconque à double courbure. Ce groupe
naturel de surfaces a, pour équation différentielle invariable, cette
équation très-simple, découverte par Euler, entre les trois dérivées
partielles du second ordre, /[/left(/frac{d^2z}{dxdy}/right)^2 =
/frac{d^2z}{dx^2}/frac{d^2z}{dy^2}/].
[Note 27: On trouve, par exemple, soit d'après les
considérations directes de géométrie analytique, soit en
résultat des méthodes d'intégration, que les surfaces
cylindriques et les surfaces coniques ont pour équations
finies /x-az = /varphi(y-bz),/; /frac{x-/alpha}{z-/gamma} =
/varphi/left(/frac{y-/beta}{z-/gamma}/right)/ /varphi,
désignant une fonction entièrement arbitraire.]
L'équation finie contient donc nécessairement deux fonctions arbitraires
distinctes, qui correspondent géométriquement aux deux surfaces
indéterminées sur lesquelles doit glisser le plan générateur, ou aux
deux équations quelconques de la courbe directrice.
Quoiqu'il soit utile de considérer les équations finies des familles
naturelles de surfaces, on conçoit néanmoins que l'indétermination des
fonctions arbitraires qu'elles renferment inévitablement, doit les
rendre peu propres à des travaux analytiques soutenus, pour lesquels il
est bien préférable d'employer les équations différentielles, où il
n'entre que de simples constantes arbitraires, malgré leur nature
indirecte. C'est par là que l'étude générale et régulière des propriétés
des diverses surfaces est réellement devenue possible, le point de vue
commun ayant pu ainsi être saisi et séparé par l'analyse. On conçoit
qu'une telle conception ait permis de découvrir des résultats d'un degré
de généralité et d'intérêt infiniment supérieurs à ceux qu'on pouvait
obtenir auparavant. Pour ne citer qu'un seul exemple très-simple, qui
est fort loin d'être le plus remarquable, c'est par une semblable
méthode de géométrie analytique qu'on a pu reconnaître cette singulière
propriété de toute équation _homogène_ à trois variables, de représenter
nécessairement une surface conique dont le sommet est situé à l'origine
des coordonnées; de même, parmi les recherches plus difficiles, il a
été possible de déterminer, à l'aide du calcul des variations, le plus
court chemin d'un point à un autre sur une surface développable
quelconque, sans qu'il fût nécessaire de la particulariser, etc.
J'ai cru devoir ici accorder quelque développement à l'exposition
philosophique de cette belle conception de Monge, qui constitue, sans
contredit, son premier titre à la gloire, et dont la haute importance ne
me semble point avoir encore été dignement sentie, excepté par Lagrange,
si juste appréciateur de tous ses émules. Je regrette même d'être
réduit, par les limites naturelles de cet ouvrage, à une indication
aussi imparfaite, où je n'ai pu seulement signaler l'heureuse réaction
nécessaire de cette nouvelle géométrie sur le perfectionnement de
l'analyse, quant à la théorie générale des équations différentielles à
plusieurs variables.
En méditant sur cette classification philosophique des surfaces,
essentiellement analogue aux méthodes naturelles que les physiologistes
ont tenté d'établir en zoologie et en botanique, on est conduit à se
demander si les courbes elles-mêmes ne comportent pas une opération
semblable. Vu la variété infiniment moindre qui existe entre elles, un
tel travail est à la fois moins important et plus difficile, les
caractères qui pourraient servir de base n'étant point alors à beaucoup
près aussi tranchés. Il a donc été naturel que l'esprit humain s'occupât
d'abord de classer les surfaces. Mais on doit sans doute espérer que cet
ordre de considérations s'étendra plus tard jusqu'aux courbes. On peut
même apercevoir déjà entre elles quelques familles vraiment naturelles,
comme celle des paraboles quelconques, et celle des hyperboles
quelconques, etc. Néanmoins, il n'a été encore produit aucune conception
générale directement propre à déterminer une telle classification.
Ayant ainsi exposé aussi nettement qu'il m'a été possible, dans cette
leçon et dans l'ensemble des quatre précédentes, le véritable caractère
philosophique de la section la plus générale et la plus simple de la
mathématique concrète, je dois maintenant entreprendre le même travail
relativement à la science immense et plus compliquée de la mécanique
rationnelle. Ce sera l'objet des quatre leçons suivantes.