SOMMAIRE. De la géométrie _générale_ à deux dimensions.
D'après la marche habituellement adoptée jusqu'à ce jour pour
l'exposition de la science géométrique, la destination vraiment
essentielle de la géométrie analytique n'est encore sentie que d'une
manière fort imparfaite, qui ne correspond nullement à l'opinion que
s'en forment les véritables géomètres, depuis que l'extension des
conceptions analytiques à la mécanique rationnelle a permis de s'élever
à quelques idées générales sur la philosophie mathématique. La
révolution fondamentale opérée par la grande pensée de Descartes n'est
point encore dignement appréciée dans notre éducation mathématique, même
la plus haute. À la manière dont elle est ordinairement présentée et
surtout employée, cette admirable méthode ne semblerait d'abord avoir
d'autre but réel que de simplifier l'étude des sections coniques, ou de
quelques autres courbes, considérées toujours une à une suivant l'esprit
de la géométrie ancienne, ce qui serait sans doute de fort peu
d'importance. On n'a point encore convenablement senti que le véritable
caractère distinctif de notre géométrie moderne, ce qui constitue son
incontestable supériorité, consiste à étudier, d'une manière entièrement
générale, les diverses questions relatives à des lignes ou à des
surfaces quelconques, en transformant les considérations et les
recherches géométriques en considérations et en recherches analytiques.
Il est remarquable que dans les établissemens, même les plus justement
célèbres, consacrés à la haute instruction mathématique, on n'ait point
institué de cours vraiment dogmatique de géométrie générale, conçu d'une
manière à la fois distincte et complète[24]. Cependant une telle étude
est la plus propre à manifester clairement le vrai caractère
philosophique de la science mathématique, en démontrant avec une netteté
parfaite l'organisation générale de la relation de l'abstrait au concret
dans la théorie mathématique d'un ordre quelconque de phénomènes
naturels.
[Note 24: La profonde médiocrité qu'on observe
généralement à cet égard, surtout dans l'enseignement de la
partie élémentaire des mathématiques, quoique deux siècles
se soient écoulés déjà depuis la publication de la géométrie
de Descartes, montre combien notre éducation mathématique
ordinaire est encore loin de correspondre au véritable état
de la science; ce qui tient sans doute, en grande partie, on
ne doit pas se le dissimuler, à l'extrême infériorité de la
plupart des personnes auxquelles on confie un enseignement
aussi important, sur la haute direction duquel les
véritables chefs de la science ne sont d'ailleurs admis à
exercer aucune influence régulière et permanente.]
Ces considérations indiquent assez quelle peut être, outre son extrême
importance philosophique, l'utilité spéciale et directe de l'exposition
à laquelle nous conduit maintenant le plan de cet ouvrage. Il s'agit
donc, en partant de la conception fondamentale expliquée dans la leçon
précédente, relativement à la représentation analytique des formes
géométriques, d'examiner comment les géomètres sont parvenus à réduire
toutes les questions de géométrie générale à de pures questions
d'analyse, en déterminant les lois analytiques de tous les phénomènes
géométriques, c'est-à-dire les modifications algébriques qui leur
correspondent dans les équations des lignes et des surfaces. Je ne
m'occuperai d'abord que des courbes, et même des courbes planes,
réservant pour la leçon suivante l'étude générale des surfaces et des
courbes à double courbure. L'esprit de cet ouvrage prescrit d'ailleurs
de se borner à l'examen philosophique des questions générales les plus
importantes, et surtout d'écarter toute application à des formes
particulières. Le but essentiel que nous devons avoir en vue ici, est
seulement de constater avec précision comment la conception
fondamentale de Descartes a établi le système général de la science
géométrique sur des bases rationnelles et définitives. Toute autre étude
rentrerait dans un traité spécial de géométrie; mais, quant à celle-ci,
elle est indispensable pour l'objet que nous nous proposons. On peut
sans doute concevoir _à priori_, comme je l'ai indiqué dans la leçon
précédente, que, une fois le sujet des recherches géométriques
représenté analytiquement, tous les _accidens_ ou phénomènes quelconques
dont il est susceptible doivent comporter nécessairement une
interprétation semblable. Mais il est clair qu'une telle considération
ne dispense nullement, même sous le simple rapport philosophique,
d'étudier l'organisation effective de cette harmonie générale entre la
géométrie et l'analyse, dont on ne se formerait sans cela qu'une idée
vague et confuse, entièrement insuffisante.
La première et la plus simple question qu'on puisse se proposer
relativement à une courbe quelconque, c'est de connaître, d'après son
équation[25], le nombre de points nécessaire à sa détermination. Outre
l'importance propre d'une telle notion, qui n'est pas établie jusqu'ici
d'une manière assez rationnelle, je crois devoir exposer avec quelque
développement la solution générale de ce problème élémentaire, parce
qu'elle me semble éminemment apte, sous le rapport de la méthode, vu
l'extrême simplicité des considérations analytiques correspondantes, à
faire saisir le véritable esprit de la géométrie analytique,
c'est-à-dire la corrélation nécessaire et continue entre le point de vue
concret et le point de vue abstrait.
[Note 25: Je considérerai toujours, pour fixer les
idées, à moins d'avertissement formel, le système de
coordonnées rectilignes ordinaire, soit dans cette leçon,
soit dans la suivante.]
Pour résoudre complétement cette question, il faut distinguer deux cas,
suivant que la courbe proposée est définie analytiquement par son
équation la plus générale, c'est-à-dire convenant à toutes les positions
de la courbe relativement aux axes, ou par une équation particulière et
plus simple, qui n'a lieu que dans une certaine situation de la courbe à
l'égard des axes.
Dans le premier cas, il est évident que la condition, de la part de la
courbe, de devoir passer par un point donné, équivaut analytiquement à
ce que les constantes arbitraires que renferme son équation générale
conservent entre elles la relation marquée par la substitution des
coordonnées particulières de ce point dans cette équation. Chaque point
donné imposant ainsi à ces constantes une certaine condition algébrique,
pour que la courbe soit entièrement déterminée il faudra donc assigner
un nombre de points égal au nombre des constantes arbitraires contenues
dans son équation. Telle est la règle générale. Il convient cependant
d'observer qu'elle pourrait induire en erreur, et indiquer un nombre de
points trop considérable, si, dans l'équation proposée, le nombre des
termes distincts renfermant les constantes arbitraires était moindre que
celui de ces constantes, auquel cas il faudrait évidemment juger du
nombre de points nécessaire à l'entière détermination de la courbe,
seulement par celui de ces termes, ce qui signifierait géométriquement
que les constantes considérées pourraient alors éprouver certains
changemens sans qu'il en résultât aucun pour la courbe. Tel serait, par
exemple, le cas du cercle, si on le définissait comme la courbe décrite
par le sommet d'un angle de grandeur invariable qui se meut de manière à
ce que chacun de ses côtés passe toujours par un certain point fixe. Il
faut donc, pour plus de généralité, compter séparément le nombre des
constantes entrant dans l'équation de la courbe proposée et le nombre
des termes qui les contiennent, et déterminer combien de points exige
l'entière spécification de la courbe par le plus petit de ces deux
nombres, à moins qu'ils ne soient égaux.
Quand une courbe n'est primitivement définie que par une équation du
genre de celles que nous avons nommées plus haut _particulières_, on
peut, à l'aide d'une transformation invariable et fort simple, faire
rentrer ce cas dans le précédent, en _généralisant_ convenablement
l'équation proposée. Il suffit, pour cela, de rapporter la courbe,
d'après les formules connues, à un nouveau système d'axes, dont la
situation par rapport aux premiers soit regardée comme indéterminée. Si
cette transformation ne change pas essentiellement la composition
analytique de l'équation primitive, ce sera la preuve que celle-ci était
déjà suffisamment générale; dans le cas contraire, elle le sera devenue,
et dès lors la question se résoudra facilement par l'application de la
règle précédemment établie. On peut même observer, pour simplifier
encore davantage cette solution, que cette généralisation de l'équation
introduira toujours, quelle que soit l'équation primitive, trois
nouvelles constantes arbitraires, savoir les deux coordonnées de la
nouvelle origine et l'inclinaison des nouveaux axes sur les anciens; en
sorte que, sans effectuer le calcul, on pourra connaître le nombre des
constantes arbitraires qui entreraient dans l'équation la plus générale,
et par suite en déduire directement le nombre de points nécessaire à la
détermination de la courbe proposée, toutes les fois du moins qu'on
pourra être certain d'avance, ce qui a lieu très-fréquemment, que le
nombre des termes qui contiendraient ces constantes ne serait pas
moindre que celui des constantes elles-mêmes.
Afin de montrer à quel degré de facilité peut parvenir la solution
générale de cette question, il importe de remarquer que, l'opération
analytique prescrite pour la résoudre se réduisant à une simple
énumération, cette énumération peut être faite avant même que l'équation
de la courbe soit obtenue, et d'après sa seule définition géométrique.
Il suffit, en effet, d'analyser cette définition sous ce point de vue,
en estimant combien de points donnés, ou de droites données soit en
longueur, soit en direction, ou de cercles donnés, etc., elle exige pour
l'entière détermination de la courbe proposée. Cela posé, on saura aussi
d'avance combien il devra entrer de constantes arbitraires dans
l'équation la plus générale de cette courbe, en considérant que chaque
point fixe donné par la définition en introduira deux, chaque droite
donnée également deux, chaque longueur donnée une, chaque cercle
entièrement donné trois, etc. On pourra donc juger immédiatement par là
du nombre de points qu'exige la détermination de la courbe, avec autant
d'exactitude que si l'on avait sous les yeux son équation générale; à
cela près néanmoins de la restriction indiquée ci-dessus pour le cas où
le nombre des termes renfermant les constantes arbitraires serait
inférieur à celui des constantes; restriction qu'on pourra souvent
reconnaître comme inapplicable, si l'analyse de la définition proposée a
montré clairement que les données qu'elle prescrit ne pourraient
nullement varier, soit isolément, soit ensemble, sans qu'il en résultât
pour la courbe un changement quelconque. Mais, lorsque cette restriction
devra être réellement appliquée, cette considération ne fournira d'abord
qu'une limite supérieure du nombre cherché, qui ne pourra être alors
entièrement connu qu'en consultant effectivement l'équation générale.
J'ai supposé jusqu'ici que les points par lesquels on veut déterminer le
cours d'une ligne fussent absolument quelconques; mais, pour compléter
la méthode, il faut examiner le cas où l'on introduirait parmi eux des
points _singuliers_, c'est-à-dire distincts de tous les autres par une
propriété caractéristique quelconque, comme ce que l'on nomme les
_foyers_ dans les sections coniques, les _sommets_, les _centres_, les
points d'_inflexion_ ou de _rebroussement_, etc. Ces points ayant tous
pour caractère d'être uniques, ou du moins déterminés, dans une même
courbe, leurs deux coordonnées sont donc chacune une fonction
déterminée, connue ou inconnue, des constantes qui spécifient
exactement la courbe proposée. Ainsi, donner un seul de ces points,
c'est imposer à ces constantes arbitraires deux conditions algébriques,
ce qui, par conséquent, équivaut analytiquement à donner deux points
ordinaires. La règle générale et fort simple se réduit donc, à cet
égard, à compter toujours pour deux chaque point _singulier_, par
quelque propriété qu'il puisse être défini: à cela près, on rentrera
dans la loi établie ci-dessus.
Toute application spéciale de la théorie générale que je viens
d'indiquer serait ici déplacée. Je crois cependant utile de remarquer,
au sujet de cette application, que le nombre de points nécessaires à
l'entière détermination de chaque courbe, quoique constituant une
circonstance fort importante, n'est point aussi intimement lié qu'on le
croirait d'abord, soit à la nature analytique de l'équation, soit à la
forme géométrique de la ligne. Ainsi, par exemple, on trouve, d'après la
méthode précédente, que la parabole ordinaire, et même les paraboles de
tous les degrés, la logarithmique, la cycloïde, la spirale d'Archimède,
etc., exigent également quatre points pour leur détermination, quoiqu'on
n'ait pu découvrir jusqu'ici aucune autre propriété commune entre des
courbes aussi différentes sous le rapport analytique que sous le
rapport géométrique. Il est néanmoins vraisemblable que cette analogie
ne doit pas être entièrement isolée.
Je choisirai, comme second exemple intéressant, parmi les questions
élémentaires relatives à l'étude générale des lignes, la détermination
des _centres_ dans une courbe plane quelconque. Le caractère géométrique
du _centre_ d'une figure étant, en général, d'être le milieu de toutes
les cordes qui y passent, il en résulte évidemment que, si l'on y place
l'origine du système des coordonnées rectilignes, les points de la
figure auront, deux à deux, par rapport à une telle origine, des
coordonnées égales et de signe contraire. On peut donc reconnaître
immédiatement, d'après l'équation d'une courbe quelconque, si elle a
pour centre l'origine actuelle des coordonnées, puisqu'il suffit
d'examiner si cette équation n'est point altérée, en y changeant à la
fois les signes des deux coordonnées variables, ce qui exige, dans le
cas où il n'y entre que des fonctions algébriques, rationnelles et
entières, que les termes soient tous de degré pair ou tous de degré
impair, suivant le degré de l'équation. Cela posé, quand un tel
changement trouble l'équation, il faut déplacer l'origine d'une manière
indéterminée, et chercher à disposer des deux constantes arbitraires que
cette transformation introduit dans l'équation pour les coordonnées de
la nouvelle origine, de façon à ce que l'équation puisse jouir,
relativement aux nouveaux axes, de la propriété précédente. Si, par des
valeurs réelles convenables des coordonnées de la nouvelle origine, on
peut faire disparaître tous les termes qui empêchaient l'équation de
présenter ce caractère analytique, la courbe aura un centre dont ces
valeurs feront connaître la position: dans le cas contraire, il sera
constaté que la courbe n'a point de centre.
Parmi les questions de géométrie générale à deux dimensions dont la
solution complète ne dépend que de l'analyse ordinaire, je crois devoir
encore indiquer ici celle qui se rapporte à la détermination des
conditions de la _similitude_ entre des courbes quelconques d'un même
_genre_, c'est-à-dire susceptibles d'une même définition ou _équation_,
qui ne les distingue les unes des autres que par les diverses valeurs de
certaines constantes arbitraires relatives à la grandeur de chacune
d'elles. Cette question, importante en elle-même, a d'autant plus
d'intérêt sous le rapport de la méthode, que le phénomène géométrique
qu'il s'agit alors de caractériser analytiquement, est évidemment
purement relatif à la forme, et nullement un phénomène de situation, ce
qui, comme nous l'avons remarqué dans la leçon précédente, donne
toujours lieu à des difficultés spéciales par rapport à notre système
de géométrie analytique, où les idées de position sont seules
directement considérées.
L'emploi de l'analyse différentielle fournirait immédiatement la
solution de ce problème général, en étendant aux courbes, comme il
convient, la définition élémentaire de la similitude pour les figures
rectilignes. Il suffirait, en effet, 1º de calculer, d'après l'équation
de chacune des deux courbes, l'angle de _contingence_ en un point
quelconque, et d'exprimer que cet angle a la même valeur dans les deux
courbes pour des points correspondans; 2º d'après l'expression
différentielle générale de la longueur d'un élément infiniment petit de
chaque courbe, d'exprimer que les élémens homologues des deux courbes
sont entre eux dans un rapport constant. Les conditions analytiques de
la similitude se trouveraient ainsi dépendre des deux premières
fonctions dérivées de l'ordonnée rapportée à l'abcisse. Mais le problème
peut être résolu d'une manière beaucoup plus simple, et néanmoins tout
aussi générale, quoique moins directe, par le simple usage de l'analyse
ordinaire.
Pour cela, il faut d'abord remarquer une propriété élémentaire que
peuvent toujours présenter deux figures semblables de forme quelconque,
quand elles sont placées dans une situation _parallèle_, c'est-à-dire,
de telle façon que tous les élémens de chacune soient respectivement
parallèles aux élémens homologues de l'autre, ce que la similitude
permet évidemment de faire constamment. Dans cette situation, il est
aisé de voir que, si on joint deux à deux par des droites les points
homologues des deux figures, toutes ces lignes de jonction concourront
nécessairement en un point unique, à partir duquel leurs longueurs,
comptées jusqu'à l'une et à l'autre des deux figures semblables, auront
entre elles un rapport constant, égal à celui des deux figures. Il
résulte immédiatement de cette propriété, considérée sous le point de
vue analytique, que, si l'origine des coordonnées rectilignes est
supposée placée au point particulier dont nous venons de parler, les
points homologues des deux courbes semblables auront des coordonnées
constamment proportionnelles, en sorte que l'équation de la première
courbe devra rentrer dans celle de la seconde, en y changeant x en mx,
et y en my, m étant une constante arbitraire égale au rapport linéaire
des deux figures. Avec des coordonnées polaires z et /varphi, dont le
pôle serait placé au même point, les deux équations deviendraient
identiques en changeant seulement z en mz dans l'une d'elles, sans
changer /varphi. La vérification d'un tel caractère algébrique suffira
donc évidemment pour constater la similitude. Mais, de sa
non-vérification, il est clair qu'on ne devra point conclure
immédiatement la dissimilitude des deux courbes comparées, puisque
l'origine ou le pôle pourraient n'être pas placés au point unique pour
lequel cette relation a lieu, ou même que les deux courbes pourraient
n'être pas posées actuellement dans la situation _parallèle_. Il est
néanmoins facile de généraliser et de compléter la méthode sous l'un et
l'autre de ces deux rapports, quoiqu'il semble d'abord impossible
analytiquement de modifier la situation relative de deux courbes. Il
suffira pour cela de changer, à l'aide des formules connues, à la fois
l'origine et la direction des axes si les coordonnées sont rectilignes,
ou le pôle et la direction de l'axe si elles sont polaires, mais en
effectuant cette transformation seulement dans l'une des deux équations.
On cherchera alors à disposer des trois constantes arbitraires
introduites par là, pour que cette équation ainsi modifiée présente,
relativement à l'autre, la propriété analytique indiquée. Si cette
relation peut avoir lieu d'après certaines valeurs réelles des
constantes arbitraires, les deux courbes seront semblables; sinon, leur
dissimilitude sera constatée.
Quoiqu'il ne convienne point de considérer ici aucune application
spéciale de la théorie précédente, je crois cependant utile d'indiquer
à ce sujet une remarque générale. Elle consiste en ce que, toutes les
fois que l'équation d'une courbe, simplifiée le plus possible par la
disposition des axes, ne renfermera qu'une seule constante arbitraire,
toutes les courbes de ce genre seront nécessairement semblables entre
elles. On peut augmenter l'utilité de cette observation, en ce que, sans
considérer même l'équation de la courbe, il suffira d'examiner, dans ce
cas, si sa définition géométrique primitive ne fait dépendre que d'une
seule donnée l'entière détermination de sa grandeur[26]. Quand, au
contraire, l'équation la plus simple de la courbe proposée contiendra
deux constantes arbitraires ou davantage, ou, ce qui est exactement
équivalent, lorsque la définition fera dépendre sa grandeur de plusieurs
données distinctes, les courbes de ce genre ne pourront être semblables
qu'à l'aide de certaines relations entre ces constantes ou ces données,
qui consisteront ordinairement dans leur proportionnalité. C'est ainsi
que toutes les paraboles d'un même degré, d'ailleurs quelconque, sont
semblables entre elles, aussi bien que toutes les logarithmiques, toutes
les cycloïdes ordinaires, tous les cercles, etc.; tandis que deux
ellipses ou deux hyperboles, par exemple, ne sont semblables qu'autant
que leurs axes sont proportionnels.
[Note 26: Cette propriété, qui est une conséquence
évidente de la théorie indiquée ci-dessus, pourrait
d'ailleurs être établie directement par une considération
fort simple. Il suffirait de remarquer que, dans ce cas, les
diverses courbes de ce genre pourraient coïncider en les
construisant sur une échelle différente, d'où résulte
clairement leur similitude nécessaire.]
Je me borne à ce petit nombre de questions générales relatives aux
lignes, parmi celles dont la solution complète dépend seulement de
l'analyse ordinaire. On n'y doit pas comprendre la détermination de ce
qu'on appelle les _foyers_, la recherche des _diamètres_, etc., et
plusieurs autres problèmes de ce genre, qui, bien que susceptibles
d'être proposés et résolus pour des courbes quelconques, n'ont de
véritable intérêt qu'à l'égard des sections coniques. Relativement aux
_diamètres_, par exemple, c'est-à-dire aux lieux géométriques des
milieux d'un système quelconque de cordes parallèles, il est aisé de
former une méthode générale pour déduire de l'équation d'une courbe
l'équation commune de tous ses diamètres. Mais une telle considération
ne peut faciliter l'étude d'une courbe qu'autant que les diamètres se
trouvent être des lignes plus simples et plus connues que la courbe
primitive; et même cette recherche n'a vraiment une grande utilité que
lorsque tous les diamètres sont des lignes droites. Or, c'est ce qui n'a
lieu que dans les courbes du second degré. Pour toutes les autres, les
diamètres sont, en général, des courbes aussi peu connues et souvent
même d'une étude plus difficile que la courbe proposée. C'est pourquoi
je ne dois point ici considérer une telle question, ni aucune autre
semblable, quoique, dans les traités spéciaux de géométrie analytique,
il convînt d'ailleurs de les présenter d'abord, autant que possible,
sous un point de vue entièrement général.
Je passe donc immédiatement à l'examen des théories de géométrie
générale à deux dimensions qui ne peuvent être complétement établies
qu'à l'aide de l'analyse transcendante.
La première et la plus simple d'entre elles consiste dans la
détermination des tangentes aux courbes planes. Ayant eu occasion, dans
la sixième leçon, d'indiquer la solution générale de cet important
problème, d'après chacun des divers points de vue fondamentaux propres à
l'analyse transcendante, il est inutile d'y revenir ici. Je ferai
seulement observer à ce sujet que la question fondamentale ainsi
considérée suppose connu le point de contact de la droite avec la
courbe, tandis que la tangente peut être déterminée par plusieurs autres
conditions, qu'il faut alors faire rentrer dans la précédente, en
déterminant préalablement les coordonnées du point de contact, ce qui
est ordinairement très-facile. Ainsi, par exemple, si la tangente est
assujétie à passer par un point donné extérieur à la courbe, les
coordonnées de ce point devant satisfaire à la formule générale de
l'équation de la tangente à cette courbe, formule qui contient les
coordonnées inconnues du point de contact, ce dernier point sera
déterminé par une telle relation combinée avec l'équation de la courbe
proposée. De même, si la tangente cherchée doit être parallèle à une
droite donnée, il faudra égaler le coéfficient général qui marque sa
direction en fonction des coordonnées du point de contact à celui qui
détermine celle de la droite donnée, et la combinaison de cette
condition avec l'équation de la courbe fera encore connaître ces
coordonnées.
Afin de considérer sous un point de vue plus étendu les problèmes
relatifs aux tangentes, il peut être utile d'exprimer distinctement la
relation qui doit exister entre les deux constantes arbitraires
contenues dans l'équation générale d'une ligne droite et les diverses
constantes propres à une courbe quelconque donnée, pour que la droite
soit tangente à la courbe. À cet effet, il suffit d'observer que les
deux constantes par lesquelles se trouve fixée à chaque instant la
position de la tangente étant des fonctions connues des coordonnées du
point de contact, l'élimination de ces deux coordonnées entre ces deux
formules et l'équation de la courbe proposée fournira une relation
indépendante du point de contact et contenant seulement les constantes
des deux lignes, qui sera le caractère analytique cherché du phénomène
d'un contact indéterminé. On se servirait, par exemple, de telles
expressions pour déterminer une tangente commune à deux courbes données,
en calculant les deux constantes propres à cette droite d'après les deux
relations qu'entraînerait ainsi son contact avec l'une et l'autre
courbe.
La question fondamentale des tangentes est le point de départ de
plusieurs autres recherches générales plus ou moins importantes
relativement aux courbes, qu'il est aisé d'en faire dépendre. La plus
directe et la plus simple de ces questions secondaires consiste dans la
détermination des _asymptotes_, ou du moins des _asymptotes_
rectilignes, les seules, en général, qu'il soit intéressant de
connaître, parce qu'elles seules contribuent réellement à faciliter
l'étude d'une courbe. On sait que l'_asymptote_ est une droite qui
s'approche indéfiniment et d'aussi près qu'on veut d'une courbe, sans
cependant pouvoir jamais l'atteindre rigoureusement. Elle peut donc être
envisagée comme une tangente dont le point de contact s'éloigne à
l'infini. Ainsi, pour la déterminer, il suffit de supposer infinies les
coordonnées du point de contact dans les deux formules générales qui
expriment, d'après l'équation de la courbe, en fonction de ces
coordonnées, les deux constantes par lesquelles est fixée la position de
la tangente. Si ces deux constantes prennent alors des valeurs réelles
et compatibles entre elles, la courbe donnée aura des asymptotes dont un
tel calcul fera connaître le nombre et la situation; si ces valeurs sont
imaginaires ou incompatibles, ce sera la preuve que la courbe proposée
n'a point d'asymptotes, du moins rectilignes. On voit que cette
détermination est exactement analogue à celle d'une tangente menée par
un point de la courbe dont les coordonnées seraient finies. Il arrivera
seulement, dans un assez grand nombre de cas, que les deux valeurs
cherchées se présenteront sous une forme indéterminée, ce qui est un
inconvénient général des formules algébriques, quoiqu'il doive sans
doute avoir lieu plus fréquemment en attribuant aux variables des
valeurs infinies. Mais on sait qu'il existe une méthode analytique
générale pour estimer la vraie valeur de toute expression semblable; il
suffira donc alors d'y recourir.
On peut rattacher aussi, quoique d'une manière beaucoup moins directe, à
la théorie des tangentes, la théorie tout entière des divers points
_singuliers_, dont la détermination contribue éminemment à la
connaissance de toute courbe qui en présente, comme les points
d'_inflexion_, les points _multiples_, les points de _rebroussement_,
etc. Relativement aux points d'_inflexion_, par exemple, c'est-à-dire à
ceux où une courbe de concave devient convexe, ou de convexe concave, il
faut d'abord examiner le caractère analytique immédiatement propre à la
concavité ou à la convexité, ce qui dépend de la manière dont varie la
direction de la tangente. Quand la courbe est concave vers l'axe des
abcisses, elle fait avec lui un angle de plus en plus petit à mesure
qu'elle s'en éloigne; au contraire, lorsqu'elle est convexe, l'angle
qu'elle fait avec l'axe devient de plus en plus grand en s'en écartant
davantage. On peut donc directement reconnaître, d'après l'équation
d'une courbe, le sens de sa courbure à chaque instant: il suffit
d'examiner si le coéfficient qui marque l'inclinaison de la tangente,
c'est-à-dire la fonction dérivée de l'ordonnée, prend des valeurs
croissantes ou des valeurs décroissantes à mesure que l'ordonnée
augmente; dans le premier cas, la courbe tourne sa convexité vers l'axe
des abcisses; dans le second, sa concavité. Cela posé, s'il y a
_inflexion_ en quelque point, c'est-à-dire si la courbure change de
sens, il est clair qu'en ce point l'inclinaison de la tangente sera
devenue un _maximum_ ou un _minimum_, suivant qu'il s'agira du passage
de la convexité à la concavité, ou du passage inverse. On trouvera donc
en quels points ce phénomène peut avoir lieu, à l'aide de la théorie
ordinaire des _maxima_ et _minima_, dont l'application à cette recherche
apprendra évidemment que, pour l'abcisse du point d'inflexion, la
seconde fonction dérivée de l'ordonnée proposée doit être nulle, ce qui
suffira pour déterminer l'existence et la position de ce point. Cette
recherche peut ainsi être rattachée à la théorie des tangentes,
quoiqu'elle soit ordinairement présentée d'après la théorie du cercle
osculateur. Il en serait de même, avec plus ou moins de difficulté,
relativement à tous les autres points _singuliers_.
Un second problème fondamental que présente l'étude générale des
courbes, et dont la solution complète exige un emploi plus étendu de
l'analyse transcendante, est l'importante question de la mesure de la
_courbure_ des courbes au moyen du cercle _osculateur_ en chaque point,
dont la découverte suffirait seule pour immortaliser le nom du grand
Huyghens.
Le cercle étant la seule courbe qui présente en tous ses points une
courbure uniforme, d'autant plus grande d'ailleurs que le rayon est plus
petit, quand les géomètres se sont proposé de soumettre à une
estimation précise la courbure de toute autre courbe quelconque, ils ont
dû naturellement la comparer en chaque point au cercle qui pouvait avoir
avec elle le plus intime contact possible, et qu'ils ont nommé, pour
cette raison, cercle _osculateur_, afin de le distinguer des cercles
simplement _tangens_, qui sont en nombre infini au même point de courbe,
tandis que le cercle osculateur est évidemment unique. En considérant
cette question sous un autre aspect, on conçoit que la courbure d'une
courbe en chaque point pourrait aussi être estimée par l'angle plus ou
moins grand de deux élémens consécutifs, qu'on appelle angle de
_contingence_. Mais, il est aisé de reconnaître que ces deux mesures
sont nécessairement équivalentes, puisque le centre du cercle osculateur
sera d'autant plus éloigné que cet angle de contingence sera plus obtus:
on voit même, sous le point de vue analytique, que l'expression du rayon
de ce cercle fournit immédiatement la valeur de cet angle. D'après cette
conformité évidente des deux points de vue, les géomètres ont dû
préférer habituellement la considération du cercle osculateur, comme
plus étendue et se prêtant mieux à la déduction des autres théories
géométriques qui se rattachent à cette conception fondamentale.
Cela posé, la manière la plus simple et la plus directe de déterminer
le cercle osculateur consiste à l'envisager, d'après la méthode
infinitésimale proprement dite, comme passant par trois points
infiniment voisins de la courbe proposée, ou, en d'autres termes, comme
ayant avec elle deux élémens consécutifs communs, ce qui le distingue
nettement de tous les cercles simplement tangens, avec lesquels la
courbe n'a qu'un seul élément commun. Il résulte de cette notion, en
ayant égard à la construction nécessaire pour décrire un cercle passant
par trois points donnés, que le centre du cercle osculateur, ou ce qu'on
appelle le _centre de courbure_ de la courbe en chaque point, peut être
regardé comme le point d'intersection de deux normales infiniment
voisines, en sorte que la question se réduit à trouver ce dernier point.
Or, cette recherche est facile, en formant, d'après l'équation générale
de la tangente à une courbe quelconque, celle de la normale qui lui est
perpendiculaire, et faisant ensuite varier d'une quantité infiniment
petite, dans cette dernière équation, les coordonnées du point de
contact, afin de passer à la normale infiniment voisine: la
détermination de la solution commune à ces deux équations, qui sont du
premier degré par rapport aux deux coordonnées du point d'intersection,
suffit pour faire trouver les deux formules générales qui expriment les
coordonnées du centre de courbure d'une courbe en un point quelconque.
Ces formules une fois obtenues, la recherche du rayon de courbure
n'offre plus aucune difficulté, puisqu'elle se réduit à calculer la
distance de ce centre de courbure au point correspondant de la courbe.
En appelant /alpha, /beta, les coordonnées rectilignes du centre de
courbure d'une courbe quelconque en un point dont les coordonnées sont
x, y, et nommant r le rayon de courbe, on trouve par cette méthode les
formules connues. /[/alpha =
x-/frac{/frac{dy}{dx}/left(1+/frac{dy^2}{dx^2}/right)}{/frac{d^2y}{dx^2}},
;/beta
= y+/frac{/left(1+/frac{dy^2}{dx^2}/right)}{/frac{d^2y}{dx^2}},/]
/[r=/frac{/left(1+/frac{dy^2}{dx^2}/right)^{/frac{3}{2}}}{/frac{d^2y}
{dx^2}}/]
On conçoit de quelle importance est la détermination du rayon de
courbure, et combien la discussion de la manière générale dont il varie
aux différens points d'une courbe, doit contribuer à la connaissance
approfondie de cette courbe. Cet élément a surtout ceci de
très-remarquable, entre tous les autres sujets ordinaires de recherches
dans la géométrie analytique, qu'il se rapporte directement, par sa
nature, à la forme même de la courbe, sans dépendre aucunement de sa
position. On voit que, sous le rapport analytique, il exige la
considération simultanée des deux premières fonctions dérivées de
l'ordonnée.
La théorie des centres de courbure conduit naturellement à l'importante
notion des _développées_, qui sont maintenant définies comme étant les
lieux géométriques de tous les centres de courbure de chaque courbe en
ses différens points, quoique, au contraire, dans la conception
primitive de cette branche de la géométrie, Huyghens eût déduit l'idée
du cercle osculateur de celle de la développée, directement envisagée
comme engendrant par son développement la courbe primitive, ou la
_développante_. Il est aisé de reconnaître que ces deux manières de voir
rentrent l'une dans l'autre. Cette développée présente évidemment, par
quelque mode qu'on l'obtienne, deux propriétés générales et nécessaires
relativement à la courbe quelconque, dont elle dérive: la première,
d'avoir pour tangentes les normales à celle-ci; et la seconde, que la
longueur de ses arcs soit égale à celle des rayons de courbure
correspondans de la développante. Quant au moyen d'obtenir l'équation de
la développée d'une courbe donnée, il est clair qu'entre les deux
formules citées ci-dessus pour exprimer les coordonnées du centre de
courbure, il suffit d'éliminer, dans chaque cas, les coordonnées x, y,
du point correspondant de la courbe proposée, à l'aide de l'équation de
cette courbe: l'équation en /alpha, /beta qui résultera de
l'élimination, sera celle de la développée demandée. On pourrait
également entreprendre de résoudre la question inverse, c'est-à-dire de
trouver la développante d'après la développée. Mais il faut remarquer
qu'une élimination analogue à la précédente ne fournirait alors, pour la
courbe cherchée, qu'une équation contenant, outre x et y, les deux
fonctions dérivées dy/dx, d^2y/dx^2; en sorte qu'après cette analyse
préparatoire, la solution complète du problème exigerait encore
l'intégration de cette équation différentielle du second ordre ce qui,
vu l'extrême imperfection du calcul intégral, serait le plus souvent
impossible, si, par la nature propre d'une telle recherche, la courbe
demandée ne devait point, comme j'ai eu occasion de l'indiquer dans la
septième leçon, être représentée par la solution _singulière_, que la
simple différentiation peut toujours faire obtenir, l'intégrale générale
ne désignant ici que le système des cercles osculateurs, dont la
connaissance n'est point l'objet de la question proposée. Il en serait
de même toutes les fois qu'on aurait à déterminer une courbe d'après une
propriété quelconque de son rayon de courbure. Cet ordre de questions
est exactement analogue aux problèmes plus simples qui constituent ce
que, dans l'origine de l'analyse transcendante, on appelait la _Méthode
inverse des tangentes_, où l'on se proposait de déterminer une courbe
par une propriété donnée de sa tangente en un point quelconque.
Par des considérations géométriques plus ou moins compliquées, analogues
à celle qui fournit les développées, les géomètres ont déduit d'une même
courbe primitive quelconque diverses autres courbes secondaires, dont
les équations peuvent être obtenues d'après des procédés semblables. Les
plus remarquables d'entre elles sont les _caustiques_ par réflexion ou
par réfraction, dont la première idée est due à Tschirnaüs, quoique
Jacques Bernouilli en ait seul établi la véritable théorie générale. Ce
sont, comme on sait, des courbes formées par l'intersection continuelle
des rayons de lumière infiniment voisins qu'on supposerait réfléchis ou
réfractés par la courbe primitive. En partant de la loi géométrique de
la réflexion ou de la réfraction de la lumière, consistant en ce que
l'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence, ou en ce que le
sinus de l'angle de réfraction est un multiple constant et connu du
sinus de l'angle d'incidence, il est évident que la recherche de ces
_caustiques_ se réduit à une pure question de géométrie, parfaitement
semblable à celle des développées, conçues comme formées par
l'intersection continuelle des normales infiniment voisines. Le problème
se résoudra donc analytiquement en suivant une marche analogue, au sujet
de laquelle toute autre indication serait ici superflue. Le calcul sera
seulement plus laborieux, surtout si les rayons incidens ne sont pas
supposés parallèles entre eux ou émanés d'un même point.
Les développées, les caustiques, et toutes les autres lignes déduites
d'une même courbe principale à l'aide de constructions analogues, sont
formées par les intersections continuelles de droites infiniment
voisines soumises à une certaine loi. Mais on peut aussi, en
généralisant le plus possible cette considération géométrique, concevoir
des courbes produites par l'intersection continuelle de certaines
courbes infiniment voisines, assujéties à une même loi quelconque. Cette
loi consiste ordinairement en ce que toutes ces courbes sont
représentées par une équation commune, d'ailleurs quelconque, d'où elles
dérivent successivement en donnant diverses valeurs à une certaine
constante arbitraire. On peut alors se proposer de trouver le lieu
géométrique des points d'intersection de ces courbes consécutives, qui
correspondent à des valeurs infiniment rapprochées de cette constante
arbitraire conçue comme variant d'une manière continue. Leïbnitz a
imaginé le premier les recherches de cette nature, qui ont ensuite été
fort étendues par Clairaut et surtout par Lagrange. Pour traiter le cas
le plus simple, celui que je viens de caractériser exactement, il suffit
évidemment de différentier l'équation générale proposée par rapport à la
constante arbitraire que l'on considère, et d'éliminer ensuite cette
constante entre cette équation différentielle et l'équation primitive;
on obtiendra ainsi, entre les deux coordonnées variables, une équation
indépendante de cette constante, qui sera celle de la courbe cherchée,
dont la forme différera souvent beaucoup de celle des courbes
génératrices. Lagrange a établi, au sujet de cette relation géométrique,
un important théorème général, en montrant que, sous le point de vue
analytique, la courbe ainsi obtenue et les courbes génératrices ont
nécessairement une même équation différentielle, dont l'intégrale
complète représente le système des courbes génératrices, tandis que sa
solution _singulière_ correspond à la courbe des intersections.
J'ai considéré jusqu'ici la théorie de la courbure des courbes suivant
l'esprit de la méthode infinitésimale proprement dite, qui s'adapte en
effet bien plus simplement qu'aucune autre à toute recherche de ce
genre. La conception de Lagrange, relativement à l'analyse
transcendante, présentait surtout, par sa nature, de grandes
difficultés spéciales pour la solution directe d'une telle question,
comme je l'ai déjà remarqué dans la sixième leçon. Mais ces difficultés
ont si heureusement excité le génie de Lagrange, qu'elles l'ont conduit
à la formation de la théorie générale des contacts, dont l'ancienne
théorie du cercle osculateur se trouve n'être plus qu'un cas particulier
fort simple. Il importe au but de cet ouvrage de considérer maintenant
cette belle conception, qui est peut-être, sous le rapport
philosophique, l'objet le plus profondément intéressant que puisse
offrir jusqu'ici la géométrie analytique.
Comparons une courbe quelconque donnée y=f(x) à une autre courbe
variable z=/varphi(x), et cherchons à nous former une idée précise des
divers degrés d'intimité qui pourront exister entre ces deux courbes, en
un point commun, suivant les relations qu'on supposera entre la fonction
/varphi et la fonction f. Il suffira pour cela de considérer la distance
verticale des deux courbes en un autre point de plus en plus rapproché
du premier, afin de la rendre successivement la moindre possible, eu
égard à la corrélation des deux fonctions. Si h désigne l'accroissement
qu'éprouve l'abcisse en passant à ce nouveau point, cette distance, qui
est égale à la différence des deux ordonnées correspondantes, pourra
être développée, d'après la formule de Taylor, suivant les puissances
ascendantes de h, et aura pour expression la série,
/[D=/left(f'(x)-/varphi(x)/right)h +
/left(f''(x)-/varphi''(x)/right)/frac{h^2}{1.2}/] /[+
/left(f'''(x)-/varphi'''(x)/right)/frac{h^3}{1.2.3} + /mbox{/rm etc}./]
En concevant, ce qui est évidemment toujours possible, h tellement
petit, que le premier terme de cette série soit supérieur à la somme de
tous les autres, il est clair que la courbe z aura avec la courbe y un
rapprochement d'autant plus intime, que la nature de la fonction
variable /varphi permettra de supprimer un plus grand nombre de termes
dans ce développement, à partir du premier. Le degré d'intimité des deux
courbes sera donc exactement apprécié, sous le point de vue analytique,
par le nombre plus ou moins grand de fonctions dérivées successives de
leurs ordonnées qui auront la même valeur au point que l'on considère.
De là, l'importante conception générale des divers ordres de _contacts_
plus ou moins parfaits, dont la notion du cercle osculateur comparé aux
cercles simplement tangens n'avait présenté jusqu'alors qu'un seul
exemple particulier. Ainsi, après la simple intersection, le premier
degré de rapprochement entre deux courbes a lieu quand les premières
dérivées de leurs ordonnées sont égales; c'est le _contact du premier
ordre_, ou ce qu'on appelle ordinairement le simple contact, parce qu'il
a été long-temps le seul connu. Le _contact du second ordre_ exige de
plus que les secondes dérivées des fonctions f et /varphi soient égales:
en y joignant encore l'égalité de leurs troisièmes dérivées, on
constitue un _contact du troisième ordre_, et ainsi de suite à l'infini.
Au delà du premier ordre, les contacts portent souvent le nom
d'_osculations_ du premier ordre, du second ordre, etc.
Les contacts du premier et du second ordre peuvent être caractérisés
géométriquement par une observation fort simple, en ce qu'il en résulte
évidemment que les deux courbes comparées ont au point commun, dans un
cas, la même tangente, et, dans l'autre, le même cercle de courbure,
puisque la tangente à chaque courbe dépend de la première dérivée de son
ordonnée, et le cercle de courbure, des deux premières dérivées
successives. Mais cette considération ne conviendrait plus au-delà du
second ordre pour déterminer l'idée géométrique du contact. Lagrange
s'est borné, sous ce rapport, à assigner le caractère général qui
résulte immédiatement de l'analyse ci-dessus indiquée, et qui consiste
en ce que lorsque la courbe z est déterminée de manière à avoir avec la
courbe y un contact de l'ordre n, produit analytiquement par l'égalité
de toutes les fonctions dérivées jusqu'à celle de l'ordre n, aucune
autre courbe z, de même nature que la précédente, mais qui ne
satisferait qu'à un moindre nombre de conditions analytiques, et qui,
par conséquent, n'aurait avec la courbe y qu'un contact moins intime, ne
pourrait passer entre les deux courbes, puisque l'intervalle de
celles-ci a reçu la plus petite valeur dont il était susceptible d'après
une telle relation des deux équations.
Lorsqu'on a particularisé la nature de la courbe z ainsi comparée à une
courbe quelconque donnée y, l'ordre du contact le plus intime qu'elle
peut avoir avec celle-ci dépend évidemment du nombre plus ou moins grand
de constantes arbitraires que renferme son équation la plus générale, un
contact de l'ordre n exigeant n+1 conditions analytiques, qui ne
sauraient être remplies qu'avec un pareil nombre de constantes
disponibles. Par conséquent, une ligne droite, dont l'équation la plus
générale contient seulement deux constantes arbitraires, ne peut avoir
avec une courbe quelconque qu'un contact du premier ordre: d'où découle
la théorie ordinaire des tangentes. L'équation du cercle renfermant, en
général, trois constantes arbitraires, le cercle peut avoir avec une
courbe quelconque un contact du second ordre, et de là résulte, comme
cas particulier, l'ancienne théorie du cercle osculateur. En
considérant une parabole, comme il y a quatre constantes arbitraires
dans son équation la plus complète et la plus simple, elle est
susceptible, comparée à toute autre courbe, d'une intimité plus
profonde, qui peut aller jusqu'au contact du troisième ordre: de même,
une ellipse comporterait un contact du quatrième ordre, etc.
La considération précédente est propre à suggérer une interprétation
géométrique de cette théorie générale des contacts, qui me semble
destinée à compléter le travail de Lagrange, en assignant, pour définir
directement les divers ordres de contacts, un caractère concret plus
simple et plus clair que celui indiqué par Lagrange. En effet, ce nombre
plus ou moins grand de constantes arbitraires contenues dans une
équation a pour signification géométrique, comme nous l'avons établi en
commençant cette leçon, le nombre des points nécessaires à l'entière
détermination de la courbe correspondante, lequel se trouve ainsi
marquer le degré d'intimité dont cette courbe est susceptible
relativement à toute autre. Or, d'un autre côté, la loi analytique qui
exprime ce contact par l'égalité d'un pareil nombre de dérivées
successives des deux ordonnées, indique évidemment que les deux courbes
ont alors autant de points infiniment voisins communs; puisque, d'après
la nature des différentielles, il est clair que la différentielle de
l'ordre n dépend de la comparaison de n+1 ordonnées consécutives. On
peut donc se faire directement une idée nette des divers ordres de
contacts, en disant qu'ils consistent dans la communauté d'un nombre
plus ou moins grand de points infiniment voisins entre les deux courbes.
En termes plus rigoureux, on définirait, par exemple, l'ellipse
osculatrice au troisième ordre, en la regardant comme la limite vers
laquelle tendraient les ellipses passant par cinq points de la courbe
proposée, à mesure que quatre de ces points supposés mobiles se
rapprocheraient indéfiniment du cinquième supposé fixe.
Cette théorie générale des contacts est évidemment propre, par sa
nature, à fournir une connaissance de plus en plus profonde de la
courbure d'une courbe quelconque, en lui comparant successivement
diverses courbes connues, susceptibles d'un contact de plus en plus
intime; ce qui permettrait de rendre aussi exacte qu'on voudrait la
mesure de la courbure, en changeant convenablement le terme de
comparaison. Ainsi, il est clair, d'après les considérations
précédentes, que l'assimilation de tout arc de courbe infiniment petit à
un arc de parabole, en ferait connaître la courbure avec plus de
précision que par l'emploi du cercle osculateur; et la comparaison avec
l'ellipse procurerait encore plus d'exactitude, etc.; en sorte qu'en
destinant chaque type primitif à approfondir l'étude du type suivant, on
pourrait perfectionner à l'infini la théorie des courbes. Mais la
nécessité d'avoir une connaissance nette et familière de la courbe ainsi
adoptée comme unité de courbure, détermine les géomètres à renoncer à
cette haute perfection spéculative, pour se contenter, en réalité, de
comparer toutes les courbes au cercle seulement, en vertu de
l'uniformité de courbure, propriété caractéristique du cercle. Aucune
autre courbe, en effet, ne peut être regardée, sous ce rapport, comme
assez simple et assez connue pour pouvoir être utilement employée,
quoique l'on n'ignore plus que le cercle n'est pas l'unité de courbure
la plus convenable abstraitement. Lagrange s'est donc borné
définitivement à déduire de sa conception générale la théorie du cercle
osculateur, ainsi présentée sous un point de vue purement analytique. Il
est même remarquable que de cette seule considération il ait pu conclure
avec facilité les deux propriétés fondamentales ci-dessus indiquées pour
les développées, que la simple analyse paraissait d'abord si peu propre
à établir.
J'ai cru devoir considérer la théorie des contacts des courbes dans sa
plus grande extension spéculative, afin d'en faire saisir convenablement
le véritable caractère. Quoiqu'on doive la réduire finalement à la
seule détermination effective du cercle osculateur, il y a sans doute,
sous le rapport philosophique, une profonde différence entre concevoir
cette dernière considération, pour ainsi dire, comme le dernier terme
des efforts de l'esprit humain dans l'étude des courbes, ainsi qu'on le
faisait avant Lagrange, et n'y voir, au contraire, qu'un simple cas
particulier d'une théorie générale très-étendue, à l'examen duquel on
doit habituellement se borner, en sachant néanmoins que d'autres
comparaisons pourraient perfectionner davantage la doctrine géométrique.
Après avoir envisagé les principales questions de géométrie générale
relatives aux propriétés des courbes, il me reste à signaler celles qui
se rapportent aux rectifications et aux quadratures, dans lesquelles
consiste proprement, suivant l'explication donnée dans la dixième leçon,
le but définitif de la science géométrique. Mais ayant eu occasion
précédemment (_voyez_ la 6me leçon) d'établir les formules générales
qui expriment, à l'aide de certaines intégrales, la longueur et l'aire
d'une courbe plane quelconque dont l'équation rectiligne est donnée, et
devant d'ailleurs m'interdire ici toute application à aucune courbe
particulière, cette partie importante du sujet se trouve suffisamment
traitée. Je me bornerai seulement à indiquer les formules propres à
déterminer l'aire et le volume des corps produits par la révolution des
courbes planes autour de leurs axes.
Supposons, comme on peut évidemment toujours le faire, que l'axe de
rotation soit pris pour axe des abcisses; et, suivant l'esprit de la
méthode infinitésimale proprement dite, la seule bien convenable
jusqu'ici aux recherches de cette nature, concevons que l'abcisse
augmente d'une quantité infiniment petite: cet accroissement déterminera
dans l'arc et dans l'aire de la courbe des augmentations différentielles
analogues qui, par la révolution autour de l'axe, engendreront les
_élémens_ de la surface et du volume cherchés. Il est aisé de voir que,
en négligeant seulement un infiniment petit du second ordre tout au
plus, on pourra regarder ces élémens comme égaux à la surface et au
volume du tronc de cône ou du cylindre correspondant, ayant pour hauteur
la différentielle de l'abcisse, et pour rayon de sa base l'ordonnée du
point considéré. D'après cela, en appelant S et V la surface et le
volume demandés, les plus simples propositions de la géométrie
élémentaire fourniront immédiatement les équations différentielles
générales /[dS=2/pi ydx,/;dV=/pi y^2dx./] Ainsi, lorsque la relation
entre y et x sera donnée dans chaque cas particulier, les valeurs de S
et de V seront exprimées par les deux intégrales /[S=2/pi /int
yds,/;V=/pi/int y^2dx;/] prises entre les limites convenables. Telles
sont les formules invariables d'après lesquelles, depuis Leïbnitz, les
géomètres ont résolu un grand nombre de questions de ce genre, quand les
progrès du calcul intégral l'ont permis.
On pourrait aussi comprendre au nombre des recherches de géométrie
générale à deux dimensions, l'importante détermination des centres de
gravité des arcs ou des aires appartenant à des courbes quelconques,
quoique cette considération ait son origine dans la mécanique
rationnelle. Car, en définissant le centre de gravité comme étant le
_centre des moyennes distances_, c'est-à-dire un point dont la distance
à un plan ou à un axe quelconque est la moyenne arithmétique entre les
distances de tous les points du corps à ce plan ou à cet axe, il est
clair que cette question devient purement géométrique, et peut être
traitée sans aucun recours à la mécanique. Mais, malgré une telle
considération, dont nous reconnaîtrons plus tard l'importance pour
généraliser suffisamment et avec facilité la notion du centre de
gravité, il est certain, d'un autre côté, que la destination
essentielle de cette recherche doit continuer à la faire classer plus
convenablement parmi les questions de mécanique; quoique, par sa nature
propre, et aussi par le caractère analytique de la méthode
correspondante, elle appartienne réellement à la géométrie, ce qui m'a
engagé à l'indiquer ici par anticipation.
Telles sont les principales questions fondamentales dont se compose le
système actuel de notre géométrie générale à deux dimensions. On voit
que, sous le rapport analytique, elles peuvent être nettement
distinguées en trois classes: la première, comprenant les recherches
géométriques qui dépendent seulement de l'analyse ordinaire; la seconde,
celles dont la solution exige l'emploi du calcul différentiel; la
troisième, enfin, celles qui ne peuvent être résolues qu'à l'aide du
calcul intégral.
Il nous reste maintenant à considérer sous le même aspect, dans la leçon
suivante, l'ensemble de la géométrie générale à trois dimensions.