SOMMAIRE. Conception fondamentale de la géométrie _générale_ ou
_analytique_.
La géométrie _générale_ étant entièrement fondée sur la transformation
des considérations géométriques en considérations analytiques
équivalentes, nous devons d'abord examiner directement et d'une manière
approfondie la belle conception d'après laquelle Descartes a établi
uniformément la possibilité constante d'une telle corélation. Outre son
extrême importance propre, comme moyen de perfectionner éminemment la
science géométrique, ou plutôt de la constituer dans son ensemble sur
des bases rationnelles, l'étude philosophique de cette admirable
conception doit avoir à nos yeux un intérêt d'autant plus élevé, qu'elle
caractérise avec une parfaite évidence la méthode générale à employer
pour organiser les relations de l'abstrait au concret en mathématique,
par la représentation analytique des phénomènes naturels. Il n'y a
point, dans la philosophie mathématique, de pensée qui mérite davantage
de fixer toute notre attention.
Afin de parvenir à exprimer par de simples relations analytiques tous
les divers phénomènes géométriques que l'on peut imaginer, il faut
évidemment établir d'abord un mode général pour représenter
analytiquement les sujets mêmes dans lesquels ces phénomènes résident,
c'est-à-dire les lignes ou les surfaces à considérer. Le _sujet_ étant
ainsi habituellement envisagé sous un point de vue purement analytique,
on comprend que dès-lors il a été possible de concevoir de la même
manière les _accidens_ quelconques dont il est susceptible.
Pour organiser la représentation des formes géométriques par des
équations analytiques, on doit surmonter préalablement une difficulté
fondamentale, celle de réduire à des idées simplement numériques les
élémens généraux des diverses notions géométriques; en un mot, de
substituer, en géométrie, de pures considérations de _quantité_ à toutes
les considérations de _qualité_.
À cet effet, observons d'abord que toutes les idées géométriques se
rapportent nécessairement à ces trois catégories universelles: la
grandeur, la forme et la position des étendues à considérer. Quant à la
première, il n'y a évidemment aucune difficulté; elle rentre
immédiatement dans les idées de nombres. Pour la seconde, il faut
remarquer qu'elle est toujours réductible par sa nature à la troisième.
Car la forme d'un corps résulte évidemment de la position mutuelle des
différens points dont il est composé, en sorte que l'idée de position
comprend nécessairement celle de forme, et que toute circonstance de
forme peut être traduite par une circonstance de position. C'est ainsi,
en effet, que l'esprit humain a procédé pour parvenir à la
représentation analytique des formes géométriques, la conception n'étant
directement relative qu'aux positions. Toute la difficulté élémentaire
se réduit donc proprement à ramener les idées quelconques de situation à
des idées de grandeur. Telle est la destination immédiate de la
conception préliminaire sur laquelle Descartes a établi le système
général de la géométrie analytique.
Son travail philosophique a simplement consisté, sous ce rapport, dans
l'entière généralisation d'un procédé élémentaire qu'on peut regarder
comme naturel à l'esprit humain, puisqu'il se forme pour ainsi dire
spontanément chez toutes les intelligences, même les plus vulgaires. En
effet, quand il s'agit d'indiquer la situation d'un objet sans le
montrer immédiatement, le moyen que nous adoptons toujours, et le seul
évidemment qui puisse être employé, consiste à rapporter cet objet à
d'autres qui soient connus, en assignant la grandeur des élémens
géométriques quelconques, par lesquels on le conçoit lié à ceux-ci[21].
Ces élémens constituent ce que Descartes, et d'après lui tous les
géomètres, ont appelé les _coordonnées_ de chaque point considéré, qui
sont nécessairement au nombre de deux si l'on sait d'avance dans quel
plan le point est situé, et au nombre de trois, s'il peut se trouver
indifféremment dans une région quelconque de l'espace. Autant de
constructions différentes on peut imaginer pour déterminer la position
d'un point, soit sur un plan, soit dans l'espace, autant on conçoit de
systèmes de coordonnées distincts, qui sont susceptibles, par
conséquent, d'être multipliés à l'infini. Mais quelque soit le système
adopté, on aura toujours ramené les idées de situation à de simples
idées de grandeur, en sorte que l'on se représentera le déplacement d'un
point comme produit par de pures variations numériques dans les valeurs
de ses coordonnées. Pour ne considérer d'abord que le cas le moins
compliqué, celui de la géométrie plane, c'est ainsi qu'on détermine le
plus souvent la position d'un point sur un plan, par ses distances plus
ou moins grandes à deux droites fixes supposées connues, qu'on nomme
_axes_, et qu'on suppose ordinairement perpendiculaires entre elles. Ce
système est le plus adopté, à cause de sa simplicité; mais les géomètres
en emploient quelquefois encore une infinité d'autres. Ainsi, la
position d'un point sur un plan peut être déterminée par ses distances à
deux points fixes; ou par sa distance à un seul point fixe, et la
direction de cette distance, estimée par l'angle plus ou moins grand
qu'elle fait avec une droite fixe, ce qui constitue le système des
coordonnées dites _polaires_, le plus usité après celui dont nous avons
parlé d'abord; ou par les angles que forment les droites allant du point
variable à deux points fixes avec la droite qui joint ces derniers; ou
par les distances de ce point à une droite fixe et à un point fixe, etc.
En un mot, il n'y a pas de figure géométrique quelconque d'où l'on ne
puisse déduire un certain système de coordonnées, plus ou moins
susceptible d'être employé.
[Note 21: C'est ainsi, par exemple, que nous déterminons
habituellement la position des lieux sur la terre par leurs
distances plus ou moins grandes à l'équateur et à un premier
méridien.]
Une observation générale qu'il importe de faire à cet égard, c'est que
tout système de coordonnées revient à déterminer un point, dans la
géométrie plane, par l'intersection de deux lignes, dont chacune est
assujétie à certaines conditions fixes de détermination; une seule de
ces conditions restant variable, et tantôt l'une, tantôt une autre,
selon le système considéré. On ne saurait, en effet, concevoir d'autre
moyen de construire un point que de le marquer par la rencontre de deux
lignes quelconques. Ainsi, dans le système le plus fréquent, celui des
_coordonnées rectilignes_ proprement dites, le point est déterminé par
l'intersection de deux droites, dont chacune reste constamment parallèle
à un axe fixe, en s'en éloignant plus ou moins; dans le système
_polaire_, c'est la rencontre d'un cercle de rayon variable et dont le
centre est fixe, avec une droite mobile assujétie à tourner autour de ce
centre, qui marque la position du point; en choisissant d'autres
systèmes, le point pourrait être désigné par l'intersection de deux
cercles, ou de deux autres lignes quelconques, etc. En un mot, assigner
la valeur d'une des coordonnées d'un point dans quelque système que ce
puisse être, c'est toujours nécessairement déterminer une certaine ligne
sur laquelle ce point doit être situé. Les géomètres de l'antiquité
avaient déjà fait cette remarque essentielle, qui servait de base à leur
méthode des _lieux géométriques_, dont ils faisaient un si heureux usage
pour diriger leurs recherches dans la résolution des problèmes de
géométrie _déterminés_, en appréciant isolément l'influence de chacune
des deux conditions par lesquelles était défini chaque point constituant
l'objet, direct ou indirect, de la question proposée: c'est précisément
cette méthode dont la systématisation générale a été pour Descartes le
motif immédiat des travaux qui l'ont conduit à fonder la géométrie
analytique.
Après avoir nettement établi cette conception préliminaire, en vertu de
laquelle les idées de position, et, par suite implicitement, toutes les
notions géométriques élémentaires, sont réductibles à de simples
considérations numériques, il est aisé de concevoir directement, dans
son entière généralité, la grande idée-mère de Descartes, relative à la
représentation analytique des formes géométriques, ce qui constitue
l'objet propre de cette leçon. Je continuerai à ne considérer d'abord,
pour plus de facilité, que la géométrie à deux dimensions, la seule que
Descartes ait traitée, devant ensuite examiner séparément sous le même
point de vue ce qui est propre à la théorie des surfaces ou des courbes
à double courbure.
D'après la manière d'exprimer analytiquement la position d'un point sur
un plan, on peut aisément établir que, par quelque propriété qu'une
ligne quelconque puisse être définie, cette définition est toujours
susceptible d'être remplacée par une équation correspondante entre les
deux coordonnées variables du point qui décrit cette ligne, équation qui
sera dès lors la représentation analytique de la ligne proposée, dont
tout phénomène devra se traduire par une certaine modification
algébrique de son équation. Si l'on suppose, en effet, qu'un point se
meuve sur un plan sans que son cours soit déterminé en aucune manière,
on devra évidemment regarder ses deux coordonnées, dans quelque système
que ce soit, comme deux variables entièrement indépendantes l'une de
l'autre. Mais, si au contraire ce point est assujéti à décrire une
certaine ligne quelconque, il faudra nécessairement concevoir que ses
coordonnées conservent entre elles, dans toutes les positions qu'il peut
prendre, une certaine relation permanente et précise, susceptible, par
conséquent, d'être exprimée par une équation convenable, qui deviendra
la définition analytique très-nette et très-rigoureuse de la ligne
considérée, puisqu'elle exprimera une propriété algébrique exclusivement
relative aux coordonnées de tous les points de cette ligne. Il est
clair, en effet, que lorsqu'un point n'est soumis à aucune condition, sa
situation n'est déterminée qu'autant qu'on donne à la fois ses deux
coordonnées, distinctement l'une de l'autre; tandis que quand le point
doit se trouver sur une ligne définie, une seule coordonnée suffit pour
fixer entièrement sa position. La seconde coordonnée est donc alors une
_fonction_ déterminée de la première, ou, en d'autres termes, il doit
exister entre elles une certaine _équation_, d'une nature correspondante
à celle de la ligne sur laquelle le point est assujéti à rester. En un
mot, chacune des coordonnées d'un point l'obligeant à être situé sur une
certaine ligne, on conçoit réciproquement que la condition, de la part
d'un point, de devoir appartenir à une ligne définie d'une manière
quelconque, équivaut à assigner la valeur de l'une des deux coordonnées,
qui se trouve, dans ce cas, être entièrement dépendante de l'autre. La
relation analytique qui exprime cette dépendance peut être plus ou moins
difficile à découvrir; mais on doit évidemment en concevoir toujours
l'existence, même dans les cas où nos moyens actuels seraient
insuffisans pour la faire connaître. C'est par cette simple
considération que, indépendamment des vérifications particulières sur
lesquelles est ordinairement établie cette conception fondamentale à
l'occasion de telle ou telle définition de ligne, on peut démontrer,
d'une manière entièrement générale, la nécessité de la représentation
analytique des lignes par les équations.
En reprenant en sens inverse les mêmes réflexions, on mettrait aussi
facilement en évidence la nécessité géométrique de la représentation de
toute équation à deux variables, dans un système déterminé de
coordonnées, par une certaine ligne, dont une telle relation serait, à
défaut d'aucune autre propriété connue, une définition
très-caractéristique, et qui aura pour destination scientifique de fixer
immédiatement l'attention sur la marche générale des solutions de
l'équation, qui se trouvera ainsi notée de la manière la plus sensible
et la plus simple. Cette peinture des équations est un des avantages
fondamentaux les plus importans de la géométrie analytique, qui a par là
réagi au plus haut degré sur le perfectionnement général de l'analyse
elle-même, non seulement en assignant aux recherches purement abstraites
un but nettement déterminé et une carrière inépuisable, mais, sous un
rapport encore plus direct, en fournissant un nouveau moyen
philosophique de méditation analytique, qui ne pourrait être remplacé
par aucun autre. En effet, la discussion purement algébrique d'une
équation en fait sans doute connaître les solutions de la manière la
plus précise, mais en les considérant seulement une à une, de telle
sorte que, par cette voie, leur marche générale ne saurait être conçue
qu'en résultat définitif d'une longue et pénible suite de comparaisons
numériques, après laquelle l'activité intellectuelle doit ordinairement
se trouver émoussée. Au contraire, le lieu géométrique de l'équation
étant uniquement destiné à représenter distinctement et avec une
netteté parfaite le résumé de cet ensemble de comparaisons, permet de le
considérer directement en fesant complètement abstraction des détails
qui l'ont fourni, et par là peut indiquer à notre esprit des vues
analytiques générales, auxquelles nous serions difficilement parvenus de
toute autre manière, faute d'un moyen de caractériser clairement leur
objet. Il est évident, par exemple, que la simple inspection de la
courbe logarithmique ou de la courbe y = /sin x fait connaître d'une
manière bien plus distincte le mode général de variations des
logarithmes par rapport aux nombres ou des sinus par rapport aux arcs,
que ne pourrait le permettre l'étude la plus attentive d'une table de
logarithmes ou d'une table trigonométrique. On sait que ce procédé est
devenu aujourd'hui entièrement élémentaire, et qu'on l'emploie toutes
les fois qu'il s'agit de saisir nettement le caractère général de la loi
qui règne dans une suite d'observations précises d'un genre quelconque.
Revenant à la représentation des lignes par les équations, qui est notre
objet principal, nous voyons que cette représentation est, par sa
nature, tellement fidèle, que la ligne ne saurait éprouver aucune
modification, quelque légère qu'elle soit, sans déterminer dans
l'équation un changement correspondant. Cette complète exactitude donne
même lieu souvent à des difficultés spéciales, en ce que, dans notre
système de géométrie analytique, les simples déplacemens des lignes se
fesant aussi bien ressentir dans les équations que les variations
réelles de grandeur ou de forme, on pourrait être exposé à confondre
analytiquement les uns avec les autres, si les géomètres n'avaient pas
découvert une méthode ingénieuse expressément destinée à les distinguer
constamment. Cette méthode est fondée sur ce que, bien qu'il soit
impossible de changer analytiquement à volonté la position d'une ligne
par rapport aux axes des coordonnées, on peut changer d'une manière
quelconque la situation des axes eux-mêmes, ce qui est évidemment
équivalent; dès lors, à l'aide des formules générales très-simples par
lesquelles on opère cette transformation d'axes, il devient aisé de
reconnaître si deux équations différentes ne sont que l'expression
analytique d'une même ligne diversement située, ou se rapportent à des
lieux géométriques vraiment distincts, puisque, dans le premier cas,
l'une d'elles doit rentrer dans l'autre en changeant convenablement les
axes ou les autres constantes du système de coordonnées considéré. Du
reste, il faut remarquer à ce sujet que les inconvéniens généraux de
cette nature paraissent, en géométrie analytique, devoir être
strictement inévitables; puisque les idées de position étant, comme nous
l'avons vu, les seules idées géométriques immédiatement réductibles à
des considérations numériques, et les notions de forme ne pouvant y être
ramenées qu'en voyant en elles des rapports de situation, il est
impossible que l'analyse ne confonde point d'abord les phénomènes de
forme avec de simples phénomènes de position, les seuls que les
équations expriment directement.
Pour compléter l'explication philosophique de la conception fondamentale
qui sert de base à la géométrie analytique, je crois devoir indiquer ici
une nouvelle considération générale, qui me semble particulièrement
propre à mettre dans tout son jour cette représentation nécessaire des
lignes par des équations à deux variables. Elle consiste en ce que
non-seulement, ainsi que nous l'avons établi, toute ligne définie doit
nécessairement donner lieu à une certaine équation entre les deux
coordonnées de l'un quelconque de ses points; mais, de plus, toute
définition de ligne peut être envisagée comme étant déjà elle-même une
équation de cette ligne dans un système de coordonnées convenable.
Il est aisé d'établir ce principe, en faisant d'abord une distinction
logique préliminaire relativement aux diverses sortes de définition. La
condition rigoureusement indispensable de toute définition, c'est de
distinguer l'objet défini d'avec tout autre, en assignant une propriété
qui lui appartienne exclusivement. Mais ce but peut être atteint, en
général, de deux manières très-différentes: ou par une définition
simplement _caractéristique_, c'est-à-dire, indiquant une propriété qui,
quoique vraiment exclusive, ne fait pas connaître la génération de
l'objet; ou par une définition réellement _explicative_, c'est-à-dire,
caractérisant l'objet par une propriété qui exprime un de ses modes de
génération. Par exemple, en considérant le cercle comme la ligne qui,
sous le même contour, renferme la plus grande aire, on a évidemment une
définition du premier genre; tandis qu'en choisissant la propriété
d'avoir tous ses points à égale distance d'un point fixe, ou toute autre
semblable, on a une définition du second genre. Il est, du reste,
évident, en thèse générale, que quand même un objet quelconque ne serait
d'abord connu que par une définition _caractéristique_, on ne devrait
pas moins l'envisager comme susceptible de définitions _explicatives_,
que ferait nécessairement découvrir l'étude ultérieure de cet objet.
Cela posé, il est clair que ce n'est point aux définitions simplement
_caractéristiques_ que peut s'appliquer l'observation générale annoncée
ci-dessus, qui représente toute définition de ligne comme étant
nécessairement une équation de cette ligne dans un certain système de
coordonnées. On ne peut l'entendre que des définitions vraiment
_explicatives_. Mais, en ne considérant que celle-ci, le principe est
aisé à constater. En effet, il est évidemment impossible de définir la
génération d'une ligne, sans spécifier une certaine relation entre les
deux mouvemens simples, de translation ou de rotation, dans lesquels se
décomposera à chaque instant le mouvement du point qui la décrit. Or, en
se formant la notion la plus générale de ce que c'est qu'un _système de
coordonnées_, et admettant tous les systèmes possibles, il est clair
qu'une telle relation ne sera autre chose que l'_équation_ de la ligne
proposée, dans un système de coordonnées d'une nature correspondante à
celle du mode de génération considéré. Ainsi, par exemple, la définition
vulgaire du cercle peut évidemment être envisagée comme étant
immédiatement l'_équation polaire_ de cette courbe, en prenant pour pôle
le centre du cercle; de même, la définition élémentaire de l'ellipse ou
de l'hyperbole, comme étant la courbe engendrée par un point qui se meut
de telle manière que la somme ou la différence de ses distances à deux
points fixes demeure constante, donne sur-le-champ, pour l'une ou
l'autre courbe, l'équation y+x=c, en prenant pour système de coordonnées
celui dans lequel on déterminerait la position d'un point par ses
distances à deux points fixes, et choisissant pour ces pôles les deux
foyers donnés; pareillement encore, la définition ordinaire de la
cycloïde quelconque fournirait directement, pour cette courbe,
l'équation y=mx, en adoptant comme coordonnées de chaque point l'arc
plus ou moins grand qu'il marque sur un cercle de rayon invariable à
partir du point de contact de ce cercle avec une droite fixe, et la
distance rectiligne de ce point de contact à une certaine origine prise
sur cette droite. On peut faire des vérifications analogues et aussi
faciles relativement aux définitions habituelles des spirales, des
épicycloïdes, etc. On trouvera constamment qu'il existe un certain
système de coordonnées, dans lequel on obtient immédiatement une
équation très-simple de la ligne proposée, en se bornant à écrire
algébriquement la condition imposée par le mode de génération que l'on
considère.
Outre son importance directe, comme moyen de rendre parfaitement
sensible la représentation nécessaire de toute ligne par une équation,
la considération précédente me paraît pouvoir offrir une véritable
utilité scientifique, en caractérisant avec exactitude la principale
difficulté générale qu'on rencontre dans l'établissement effectif de
ces équations, et, par conséquent, en fournissant une indication
intéressante relativement à la marche à suivre dans les recherches de ce
genre, qui, par leur nature, ne sauraient comporter des règles complètes
et invariables. En effet, si une définition quelconque de ligne, du
moins parmi celles qui indiquent un mode de génération, fournit
directement l'équation de cette ligne dans un certain système de
coordonnées, ou pour mieux dire constitue par elle-même cette équation,
il s'ensuit que la difficulté qu'on éprouve souvent à découvrir
l'équation d'une courbe, d'après telle ou telle de ses propriétés
caractéristiques, difficulté qui quelquefois est très-grande, ne doit
provenir essentiellement que de la condition qu'on s'impose
ordinairement d'exprimer analytiquement cette courbe à l'aide d'un
système de coordonnées désigné, au lieu d'admettre indifféremment tous
les systèmes possibles. Ces divers systèmes ne peuvent pas être
regardés, en géométrie analytique, comme étant tous également
convenables; pour différens motifs, dont les plus importans vont être
discutés ci-dessous, les géomètres croient devoir presque toujours
rapporter, autant que possible, les courbes à des coordonnées
rectilignes proprement dites. Or, on conçoit, d'après ce qui précède,
que souvent ces coordonnées uniques ne seront pas celles relativement
auxquelles l'équation de la courbe se trouverait immédiatement établie
par la définition proposée. La principale difficulté que présente la
formation de l'équation d'une ligne consiste donc réellement, en
général, dans une certaine transformation de coordonnées. Sans doute,
cette considération n'assujétit point l'établissement de ces équations à
une véritable méthode générale complète, dont le succès soit toujours
assuré nécessairement, ce qui, par la nature même du sujet, est
évidemment chimérique; mais une telle vue peut nous éclairer utilement à
cet égard sur la marche qu'il convient d'adopter pour parvenir au but
proposé. Ainsi, après avoir d'abord formé l'équation préparatoire qui
dérive spontanément de la définition que l'on considère, il faudra, pour
obtenir l'équation relative au système de coordonnées qui doit être
admis définitivement, chercher à exprimer en fonction de ces dernières
coordonnées celles qui correspondent naturellement au mode de génération
dont il s'agit. C'est sur ce dernier travail qu'il est évidemment
impossible de donner des préceptes invariables et précis. On peut dire
seulement qu'on aura d'autant plus de ressources à cet égard, qu'on
saura davantage de véritable géométrie analytique, c'est-à-dire, qu'on
connaîtra l'expression algébrique d'un plus grand nombre de phénomènes
géométriques différens.
Pour compléter l'exposition philosophique de la conception qui sert de
base à la géométrie analytique, il me reste à indiquer les
considérations relatives au choix du système de coordonnées qui est, en
général, le plus convenable, ce qui fournira l'explication rationnelle
de la préférence unanimement accordée au système rectiligne ordinaire,
préférence qui a été plutôt jusqu'ici l'effet d'un sentiment empirique
de la supériorité de ce système, que le résultat exact d'une analyse
directe et approfondie.
Afin de décider nettement entre tous les divers systèmes de coordonnées,
il est indispensable de distinguer avec soin les deux points de vue
généraux, inverses l'un de l'autre, propres à la géométrie analytique,
savoir: la relation de l'algèbre à la géométrie, fondée sur la
représentation des lignes par les équations; et réciproquement la
relation de la géométrie à l'algèbre fondée sur la peinture des
équations par les lignes.
Il est évident que, dans toute recherche quelconque de géométrie
générale, ces deux points de vue fondamentaux se trouvent nécessairement
combinés sans cesse, puisqu'il s'agit toujours de passer
alternativement, et à des intervalles pour ainsi dire insensible, des
considérations géométriques aux considérations analytiques, et des
considérations analytiques aux considérations géométriques. Mais la
nécessité de les séparer ici momentanément n'en est pas moins réelle;
car la réponse à la question de méthode que nous examinons est, en
effet, comme nous allons le voir, fort loin de pouvoir être la même sous
l'un et sous l'autre de ces deux rapports, en sorte que sans cette
distinction on ne saurait s'en former aucune idée nette.
Sous le premier point de vue, rigoureusement isolé, le seul motif qui
puisse faire préférer un système de coordonnées à un autre, ne peut être
que la plus grande simplicité de l'équation de chaque ligne, et la
facilité plus grande d'y parvenir. Or, il est aisé de voir qu'il
n'existe et ne doit exister aucun système de coordonnées méritant à cet
égard une préférence constante sur tous les autres. En effet, nous avons
remarqué ci-dessus que, pour chaque définition géométrique proposée, on
peut concevoir un système de coordonnées dans lequel l'équation de la
ligne s'obtient immédiatement et se trouve nécessairement être en même
temps fort simple: de plus, ce système varie inévitablement avec la
nature de la propriété caractéristique que l'on considère. Ainsi, le
système rectiligne ne saurait être, en ce sens, constamment le plus
avantageux, quoiqu'il soit souvent très-favorable; il n'en est
probablement pas un seul qui, dans certains cas particuliers, ne doive
à cet égard lui être préféré, aussi bien qu'à tout autre système.
Il n'en est, au contraire, nullement de même sous le second point de
vue. On peut, en effet, facilement établir, en thèse générale, que le
système rectiligne ordinaire doit s'adapter nécessairement mieux que
tout autre à la peinture des équations par les lieux géométriques
correspondans, c'est-à-dire que cette peinture y est constamment plus
simple et plus fidèle.
Considérons, pour cela, que, tout système de coordonnées consistant à
déterminer un point par l'intersection de deux lignes, le système propre
à fournir les lieux géométriques les plus convenables doit être celui
dans lequel ces deux lignes sont les plus simples possibles, ce qui
restreint d'abord le choix à ne pouvoir porter que sur des systèmes
_rectilignes_. À la vérité, il y a évidemment une infinité de systèmes
qui méritent ce nom, c'est-à-dire qui n'emploient que des lignes droites
pour déterminer les points, outre le système ordinaire qui assigne pour
coordonnées les distances à deux droites fixes; tel serait, par exemple,
celui dans lequel les coordonnées de chaque point se trouveraient être
les deux angles que font les droites qui aboutissent de ce point à deux
points fixes avec la droite de jonction de ces derniers; en sorte que
cette première considération n'est pas rigoureusement suffisante pour
expliquer la préférence accordée unanimement au système ordinaire. Mais,
en examinant d'une manière plus approfondie la nature de tout système de
coordonnées, nous avons reconnu, en outre, que chacune des deux lignes
dont la rencontre détermine le point considéré, doit nécessairement
offrir à chaque instant, parmi ses diverses conditions quelconques de
détermination, une seule condition variable, qui donne lieu à l'ordonnée
correspondante, et toutes les autres fixes, qui constituent les _axes_
du système, en prenant ce terme dans son acception mathématique la plus
étendue: la variation est indispensable pour que toutes les positions
puissent être considérées, et la fixité ne l'est pas moins pour qu'il
existe des moyens de comparaison. Ainsi, dans tous les systèmes
_rectilignes_, chacune des deux droites sera assujétie à une condition
fixe, et l'ordonnée résultera de la condition variable. Sous ce rapport,
il est évident, en thèse générale, que le système le plus favorable à la
construction des lieux géométriques, sera nécessairement celui d'après
lequel la condition variable de chaque droite sera la plus simple
possible, sauf à compliquer pour cela, s'il le faut, la condition fixe.
Or, de toutes les manières possibles de déterminer deux droites
mobiles, la plus aisée à suivre géométriquement est certainement celle
dans laquelle, la direction de chaque droite restant invariable, elle ne
fait que se rapprocher ou s'éloigner plus ou moins d'un axe constant. Il
serait, par exemple, évidemment plus difficile de se figurer nettement
le déplacement d'un point produit par l'intersection de deux droites,
qui tourneraient chacune autour d'un point fixe en fesant avec un
certain axe un angle plus ou moins grand, comme dans le système de
coordonnées précédemment indiqué. Telle est la véritable explication
générale de la propriété fondamentale que présente, par sa nature, le
système rectiligne ordinaire, d'être plus apte qu'aucun autre à la
représentation géométrique des équations, comme étant celui dans lequel
il est le plus aisé de concevoir le déplacement d'un point en résultat
du changement de valeur de ses coordonnées. Pour sentir nettement toute
la force de cette considération, il suffirait, par exemple, de comparer
soigneusement ce système avec le système polaire, dans lequel cette
image géométrique si simple et si aisée à suivre, de deux droites se
mouvant chacune parallèlement à l'axe correspondant, se trouve remplacée
par le tableau compliqué d'une série infinie de cercles concentriques
coupés par une droite assujétie à tourner autour d'un point fixe. Il
est d'ailleurs facile de concevoir _à priori_ quelle doit être, pour la
géométrie analytique, l'extrême importance d'une propriété aussi
profondément élémentaire, qui, par cette raison, doit se reproduire à
chaque instant et prendre une valeur progressivement croissante dans
tous les travaux quelconques de cette nature[22].
[Note 22: Devant me borner ici à la comparaison la plus
générale, je n'ai point considéré plusieurs autres
inconvéniens élémentaires de moindre importance, mais
cependant fort graves, que présente le système des
coordonnées polaires, comme de ne point admettre
d'interprétation géométrique pour le signe du rayon recteur,
et même d'assigner quelquefois un point unique pour diverses
solutions distinctes, d'où il résulte que la peinture des
équations y est nécessairement imparfaite. Quels que soient
ces inconvéniens, comme plusieurs systèmes autres que le
système rectiligne ordinaire pourraient aussi en être
exempts, il ne fallait point en tenir compte pour établir la
supériorité générale de ce dernier.]
En précisant davantage la considération qui démontre la supériorité du
système de coordonnées ordinaire sur tout autre quant à la peinture des
équations, on peut même se rendre compte de l'utilité que présente sous
ce rapport l'usage habituel de prendre autant que possible les deux axes
perpendiculaires entre eux plutôt qu'avec aucune autre inclinaison. Sous
le rapport de la représentation des lignes par les équations, cette
circonstance secondaire n'est pas plus universellement convenable que
nous n'avons vu l'être la nature même du système; puisque, suivant les
occasions, toute autre inclinaison des axes peut mériter à cet égard la
préférence. Mais, sous le point de vue inverse, il est aisé de voir que
des axes rectangulaires permettent constamment de peindre les équations
d'une manière plus simple et même plus fidèle. Car, avec des axes
obliques, l'espace se trouvant partagé par eux en régions dont
l'identité n'est plus parfaite, il en résulte que, si le lieu
géométrique de l'équation s'étend à la fois dans toutes ces régions, il
y présentera, à raison de la seule inégalité des angles, des différences
de figure qui, ne correspondant à aucune diversité analytique,
altéreront nécessairement l'exactitude rigoureuse du tableau, en se
mêlant aux résultats propres des comparaisons algébriques. Par exemple,
une équation comme x^m + y^m = c, qui, par sa symétrie parfaite, devrait
donner évidemment une courbe composée de quatre quarts identiques, sera
représentée, au contraire, en prenant des axes non-rectangulaires, par
un lieu géométrique dont les quatre parties seront inégales. On voit que
le seul moyen d'éviter toute disconvenance de ce genre est de supposer
droit l'angle des deux axes.
La discussion précédente établit clairement que, si, sous l'un des deux
points de vue fondamentaux continuellement combinés en géométrie
analytique, le système des coordonnées rectilignes proprement dit n'a
aucune supériorité constante sur tout autre; comme il n'est pas non plus
à cet égard constamment inférieur, sa plus grande aptitude nécessaire et
absolue à la peinture des équations doit lui faire généralement accorder
la préférence, quoiqu'il puisse évidemment arriver, dans quelques cas
particuliers, que le besoin de simplifier les équations et de les
obtenir plus aisément détermine les géomètres à adopter un système moins
parfait. C'est, en effet, d'après le système rectiligne, que sont
ordinairement construites les théories les plus essentielles de
géométrie générale, destinées à exprimer analytiquement les phénomènes
géométriques les plus importans. Quand on juge nécessaire d'en choisir
un autre, c'est presque toujours le système polaire auquel on s'arrête,
ce système étant d'une nature assez opposée à celle du système
rectiligne pour que les équations trop compliquées relativement à
celui-ci deviennent, en général, suffisamment simples par rapport à
l'autre. Les coordonnées polaires ont d'ailleurs souvent l'avantage de
comporter une signification concrète plus directe et plus naturelle,
comme il arrive en mécanique pour les questions géométriques auxquelles
donne lieu la théorie des mouvemens de rotation, et dans presque tous
les cas de géométrie céleste.
Afin de simplifier l'exposition, nous n'avons jusqu'ici considéré la
conception fondamentale de la géométrie analytique que relativement aux
seules courbes planes, dont l'étude générale avait été l'objet unique de
la grande rénovation philosophique opérée par Descartes. Il s'agit
maintenant, pour compléter cette importante explication, de montrer
sommairement de quelle manière cette pensée élémentaire a été étendue,
environ un siècle après, par notre illustre Clairaut, à l'étude générale
des surfaces et des courbes à double courbure. Les considérations
indiquées ci-dessus me permettront de me borner à ce sujet à l'examen
rapide de ce qui est strictement propre à ce nouveau cas.
L'entière détermination analytique d'un point dans l'espace exige
évidemment qu'on assigne les valeurs de trois coordonnées; par exemple,
d'après le système le plus fréquemment adopté et qui correspond au
système _rectiligne_ de la géométrie plane, des distances de ce point à
trois plans fixes, ordinairement perpendiculaires entre eux, ce qui
présente le point comme l'intersection de trois plans dont la direction
est invariable. On pourrait également employer les distances du point
mobile à trois points fixes, ce qui le déterminerait par la rencontre de
trois sphères à centre constant. De même, la position d'un point serait
définie en donnant sa distance plus ou moins grande à un point fixe, et
la direction de cette distance, au moyen des deux angles que fait cette
droite avec deux axes invariables; c'est le système _polaire_ propre à
la géométrie à trois dimensions; le point est alors construit par
l'intersection d'une sphère à centre constant avec deux cônes droits à
base circulaire dont les axes et le sommet commun ne changent pas. En un
mot, il y a évidemment, dans ce cas, au moins la même variété infinie
entre les divers systèmes possibles de coordonnées que nous avons déjà
observée pour la géométrie à deux dimensions. En général, il faut
concevoir un point comme toujours déterminé par l'intersection de trois
surfaces quelconques, ainsi qu'il l'était auparavant par celle de deux
lignes; chacune de ces trois surfaces a pareillement toutes ses
conditions de détermination constantes, excepté une, qui donne lieu à la
coordonnée correspondante, dont l'influence géométrique propre est ainsi
d'astreindre le point à être situé sur cette surface.
Cela posé, il est clair que si les trois coordonnées d'un point sont
entièrement indépendantes entre elles, ce point pourra prendre
successivement dans l'espace toutes les positions possibles. Mais, si le
point est assujéti à rester sur une certaine surface, définie d'une
manière quelconque, alors deux coordonnées suffisent évidemment pour
déterminer à chaque instant sa situation, puisque la surface proposée
tiendra lieu de la condition imposée par la troisième coordonnée. On
doit donc concevoir nécessairement dans ce cas, sous le point de vue
analytique, cette dernière coordonnée comme une fonction déterminée des
deux autres, celles-ci demeurant entre elles complétement indépendantes.
Ainsi, il y aura entre les trois coordonnées variables une certaine
équation permanente, et qui sera unique afin de correspondre au degré
précis d'indétermination de la position du point. Cette équation, plus
ou moins facile à découvrir, mais toujours possible, sera la définition
analytique de la surface proposée, puisqu'elle devra se vérifier pour
tous les points de cette surface, et seulement pour eux. Si la surface
vient à éprouver un changement quelconque, même un simple déplacement,
l'équation devra subir une modification correspondante plus ou moins
profonde. En un mot, tous les phénomènes géométriques quelconques
relatifs aux surfaces seront susceptibles d'être traduits par certaines
conditions analytiques équivalentes propres aux équations à trois
variables, et c'est dans l'établissement et l'interprétation de cette
harmonie générale et nécessaire que consistera essentiellement la
science de la géométrie analytique à trois dimensions.
Considérant ensuite cette conception fondamentale sous le point de vue
inverse, on voit de la même manière que toute équation à trois variables
peut être, en général, représentée géométriquement par une surface
déterminée, primitivement définie d'après la propriété
très-caractéristique, que les coordonnées de tous ses points conservent
toujours entre elles la relation énoncée dans cette équation. Ce lieu
géométrique changera évidemment, pour la même équation, suivant le
système de coordonnées qui servira à la construction de ce tableau. En
adoptant, par exemple, le système rectiligne, il est clair que dans
l'équation entre les trois variables x, y, z, chaque valeur particulière
attribuée à z, donnera une équation entre x et y, dont le lieu
géométrique sera une certaine ligne située dans un plan parallèle au
plan des x, y, et à une distance de ce dernier égale à la valeur de z,
de telle sorte que le lieu géométrique total se présentera comme composé
d'une suite infinie de lignes superposées dans une série de plans
parallèles, sauf les interruptions qui pourront exister, et formera, par
conséquent, une véritable surface. Il en serait de même en considérant
tout autre système de coordonnées, quoique la construction géométrique
de l'équation devînt plus difficile à suivre.
Telle est la conception élémentaire, complément de l'idée-mère de
Descartes, sur laquelle est fondée la géométrie générale relativement
aux surfaces. Il serait inutile de reprendre directement ici les autres
considérations indiquées ci-dessus par rapport aux lignes, et que chacun
peut aisément étendre aux surfaces, soit pour montrer que toute
définition d'une surface par un mode quelconque de génération est
réellement une équation directe de cette surface dans un certain système
de coordonnées, soit pour déterminer entre tous les divers systèmes de
coordonnées possibles quel est généralement le plus convenable.
J'ajouterai seulement, sous ce dernier rapport, que la supériorité
nécessaire du système rectiligne ordinaire, quant à la peinture des
équations, est évidemment encore plus prononcée dans la géométrie
analytique à trois dimensions que dans celle à deux, à cause de la
complication géométrique incomparablement plus grande qui résulterait
alors du choix de tout autre système, ainsi qu'on peut le vérifier de la
manière la plus sensible en considérant, par opposition, le système
polaire en particulier, qui est, pour les surfaces comme pour les
courbes, et en vertu des mêmes motifs, le plus usité après le système
rectiligne proprement dit.
Afin de compléter l'exposition générale de la conception fondamentale
relative à l'étude analytique des surfaces, nous aurons encore à
examiner philosophiquement, dans la quatorzième leçon, un dernier
perfectionnement de la plus haute importance, que Monge a récemment
introduit dans les élémens mêmes de cette théorie, pour la
classification des surfaces en familles naturelles, établies d'après le
mode de génération, et exprimées algébriquement par des équations
différentielles communes, ou par des équations finies contenant des
fonctions arbitraires.
Considérons maintenant le dernier point de vue élémentaire de la
géométrie analytique à trois dimensions, celui qui se rapporte à la
représentation algébrique des courbes, envisagées dans l'espace de la
manière la plus générale. En continuant à suivre le principe constamment
employé ci-dessus, celui du degré d'indétermination du lieu géométrique,
correspondant au degré d'indépendance des variables, il est évident, en
thèse générale, que, lorsque un point doit être situé sur une certaine
courbe quelconque, une seule coordonnée suffit pour achever de
déterminer entièrement sa position, par l'intersection de cette courbe
avec la surface qui résulte de cette coordonnée. Ainsi, dans ce cas, les
deux autres coordonnées du point doivent être conçues comme des
fonctions nécessairement déterminées et distinctes de la première. Par
conséquent, toute ligne, considérée dans l'espace, est donc représentée
analytiquement, non plus par une seule équation, mais par le système de
deux équations entre les trois coordonnées de l'un quelconque de ses
points. Il est clair, en effet, d'un autre côté, que chacune de ces
équations, envisagée séparément, exprimant une certaine surface, leur
ensemble présente la ligne proposée comme l'intersection de deux
surfaces déterminées. Telle est la manière la plus générale de concevoir
la représentation algébrique d'une ligne dans la géométrie analytique à
trois dimensions. Cette conception est ordinairement envisagée d'une
manière trop étroite, lorsqu'on se borne à considérer une ligne comme
déterminée par le système de ses deux _projections_ sur deux des plans
coordonnés, système caractérisé analytiquement par cette particularité
que chacune des deux équations de la ligne ne contient alors que deux
des trois coordonnées, au lieu de renfermer simultanément les trois
variables. Cette considération, qui consiste à regarder la ligne comme
l'intersection de deux surfaces cylindriques parallèles à deux des trois
axes des coordonnées, outre l'inconvénient d'être bornée au système
rectiligne ordinaire, a le défaut, lorsqu'on croit devoir s'y réduire
strictement, d'introduire des difficultés inutiles dans la
représentation analytique des lignes, puisque la combinaison de ces
deux cylindres ne saurait être évidemment toujours la plus convenable
pour former les équations d'une ligne. Ainsi, envisageant cette notion
fondamentale dans son entière généralité, il faudra, dans chaque cas,
parmi l'infinité de couples de surfaces dont l'intersection pourrait
produire la courbe proposée, choisir celui qui se prêtera le mieux à
l'établissement des équations, comme se composant des surfaces les plus
connues. Par exemple, s'agit-il d'exprimer analytiquement un cercle dans
l'espace, il sera évidemment préférable de le considérer comme
l'intersection d'une sphère et d'un plan, plutôt que suivant toute autre
combinaison de surfaces qui pourrait également le produire.
À la vérité, cette manière de concevoir la représentation des lignes par
des équations dans la géométrie analytique à trois dimensions, engendre,
par sa nature, un inconvénient nécessaire, celui d'une certaine
confusion analytique, consistant en ce que la même ligne peut se trouver
ainsi exprimée, avec un même système de coordonnées, par une infinité de
couples d'équations différens, vu l'infinité de couples de surfaces qui
peuvent la former, ce qui peut présenter quelques difficultés pour
reconnaître cette ligne à travers tous les déguisemens algébriques dont
elle est susceptible. Mais il existe un procédé général fort simple
pour faire disparaître cet inconvénient, se priver des facilités qui
résultent de cette variété de constructions géométriques. Il suffit, en
effet, quel que soit le système analytique établi primitivement pour une
certaine ligne, de pouvoir en déduire le système correspondant à un
couple unique de surfaces uniformément engendrées, par exemple, à celui
des deux surfaces cylindriques qui _projettent_ la ligne proposée sur
deux des plans coordonnés, surfaces qui évidemment seront toujours
identiques de quelque manière que la ligne ait été obtenue, et ne
varieront que lorsque cette ligne elle-même changera. Or, en choisissant
ce système fixe, qui est effectivement le plus simple, on pourra
généralement déduire des équations primitives celles qui leur
correspondent dans cette construction spéciale, en les transformant, par
deux éliminations successives, en deux équations ne contenant chacune
que deux des coordonnées variables, et qui conviendront par cela seul
aux deux surfaces de projection. Telle est réellement la principale
destination de cette sorte de combinaison géométrique, qui nous offre
ainsi un moyen invariable et certain de reconnaître l'identité des
lignes malgré la diversité quelquefois très-grande de leurs équations.
Après avoir considéré dans son ensemble la conception fondamentale de
la géométrie analytique sous les principaux aspects élémentaires qu'elle
peut présenter, il convient, pour compléter, sous le rapport
philosophique, une telle esquisse, de signaler ici les imperfections
générales que présente encore cette conception, soit relativement à la
géométrie, soit relativement à l'analyse.
Relativement à la géométrie, il faut remarquer que les équations ne sont
propres jusqu'ici qu'à représenter des lieux géométriques entiers, et
nullement des portions déterminées de ces lieux géométriques. Il serait
cependant nécessaire, dans plusieurs circonstances, de pouvoir exprimer
analytiquement une partie de ligne ou de surface, et même une ligne ou
surface _discontinue_ composée d'une suite de sections appartenant à des
figures géométriques distinctes, par exemple le contour d'un polygone ou
la surface d'un polyèdre. La thermologie surtout donne lieu fréquemment
à de semblables considérations, auxquelles notre géométrie analytique
actuelle se trouve nécessairement inapplicable. Néanmoins il importe
d'observer que, dans ces derniers temps, les travaux de M. Fourier sur
les fonctions discontinues ont commencé à remplir cette grande lacune,
et ont par là directement introduit un nouveau perfectionnement
essentiel dans la conception fondamentale de Descartes. Mais cette
manière de représenter des formes hétérogènes ou partielles, étant
fondée sur l'emploi de séries trigonométriques procédant selon les sinus
d'une suite infinie d'arcs multiples, ou sur l'usage de certaines
intégrales définies équivalentes à ces séries et dont l'intégrale
générale est ignorée, présente encore trop de complication pour pouvoir
être immédiatement introduite dans le système propre de la géométrie
analytique.
Relativement à l'analyse, il faut commencer par reconnaître que
l'impossibilité où nous sommes de concevoir géométriquement pour des
équations contenant quatre, cinq variables ou un plus grand nombre, une
représentation analogue à celles que comportent toutes les équations à
deux ou à trois variables, ne doit pas être envisagée comme une
imperfection de notre système de géométrie analytique, car elle tient
évidemment à la nature même du sujet. L'analyse étant nécessairement
plus générale que la géométrie, puisqu'elle est relative à tous les
phénomènes possibles, il serait peu philosophique de vouloir constamment
trouver parmi les seuls phénomènes géométriques une représentation
concrète de toutes les lois que l'analyse peut exprimer. Mais il existe
une autre imperfection de moindre importance qu'on doit réellement
envisager comme provenant de la manière même dont nous concevons la
géométrie analytique. Elle consiste en ce que notre représentation
actuelle des équations à deux ou à trois variables par des lignes ou des
surfaces est évidemment toujours plus ou moins incomplète, puisque, dans
la construction du lieu géométrique, nous n'avons égard qu'aux solutions
_réelles_ des équations, sans tenir aucun compte des solutions
_imaginaires_. La marche générale de ces dernières serait cependant, par
sa nature, tout aussi susceptible que celle des autres d'une peinture
géométrique. Il résulte de cette omission que le tableau graphique de
l'équation est constamment imparfait, et quelquefois même au point qu'il
n'y a plus de représentation géométrique, lorsque l'équation n'admet que
des solutions imaginaires. Cependant, même dans ce dernier cas, il y
aurait évidemment lieu de distinguer sous le rapport géométrique des
équations aussi différentes en elles-mêmes que celles-ci, par exemple,
/[x^2+y^2+1=0,/;x^6+y^4+1=0,/;y^2+e^x=0./] On sait de plus que cette
imperfection principale entraîne souvent, dans la géométrie analytique à
deux ou à trois dimensions, une foule d'inconvéniens secondaires, tenant
à ce que plusieurs modifications analytiques se trouvent ne correspondre
à aucun phénomène géométrique.
Un de nos plus grands géomètres actuels, M. Poinsot, a présenté une
considération très-ingénieuse et fort simple, à laquelle on n'a pas fait
communément assez d'attention, et qui permet, lorsque les équations sont
peu compliquées, de concevoir la représentation graphique des solutions
imaginaires, en se bornant à peindre leurs rapports quand ils sont
réels[23]. Mais cette considération, qu'il serait aisé de généraliser
abstraitement, est jusqu'ici trop peu susceptible d'être effectivement
employée, à cause de l'état extrême d'imperfection où se trouve encore
la résolution algébrique des équations, et d'où il résulte ou que la
forme des racines imaginaires est le plus souvent ignorée, ou qu'elle
présente une trop grande complication; en sorte que de nouveaux travaux
sont indispensables à cet égard, avant qu'on puisse regarder comme
comblée cette lacune essentielle de notre géométrie analytique.
[Note 23: M. Poinsot a montré, par exemple, dans son
excellent _mémoire sur l'analyse des sections angulaires_,
que l'équation x^2+y^2+a^2=0, ordinairement écartée comme
n'ayant pas de lieu géométrique, peut être représentée, de
la manière la plus simple et la plus nette, par une
hyperbole équilatère, qui remplit à son égard le même office
que le cercle pour l'équation x^2+y^2-a^2=0.]
L'exposition philosophique essayée dans cette leçon de la conception
fondamentale de la géométrie analytique, nous montre clairement que
cette science consiste essentiellement à déterminer quelle est, en
général, l'expression analytique de tel ou tel phénomène géométrique
propre aux lignes ou aux surfaces, et réciproquement à découvrir
l'interprétation géométrique de telle ou telle considération analytique.
Nous avons maintenant à examiner, en nous bornant aux questions
générales les plus importantes, comment les géomètres sont parvenus à
établir effectivement cette belle harmonie, et à imprimer ainsi à la
science géométrique, envisagée dans son ensemble total, le caractère
parfait de rationalité et de simplicité qu'elle présente aujourd'hui si
éminemment. Tel sera l'objet essentiel des deux leçons suivantes, l'une,
consacrée à l'étude générale des lignes, et l'autre, à l'étude générale
des surfaces.