SOMMAIRE. Considérations générales sur la géométrie _spéciale_ ou
_préliminaire_.
La méthode géométrique des anciens devant avoir nécessairement, d'après
les motifs indiqués à la fin de la leçon précédente, une part
préliminaire dans le système dogmatique de la géométrie, pour fournir à
la géométrie _générale_ des fondemens indispensables, il convient
maintenant de fixer d'abord en quoi consiste strictement cette fonction
préalable de la géométrie _spéciale_, ainsi réduite au moindre
développement possible.
En la considérant sous ce point de vue, il est aisé de reconnaître qu'on
pourrait la restreindre à la seule étude de la ligne droite pour ce qui
concerne la géométrie des lignes, à la quadrature des aires planes
rectilignes, et enfin à la cubature des corps terminés par des faces
planes. Les propositions élémentaires relatives à ces trois questions
fondamentales constituent, en effet, le point de départ nécessaire de
toutes les recherches géométriques; elles seules ne peuvent être
obtenues que par une étude directe du sujet; tandis qu'au contraire la
théorie complète de toutes les autres formes quelconques, même celle du
cercle et des surfaces et volumes qui s'y rapportent, peut aujourd'hui
rentrer entièrement dans le domaine de la géométrie _générale_ ou
_analytique_, ces élémens primitifs fournissant déjà des _équations_,
qui suffisent pour permettre l'application du calcul aux questions
géométriques, qui n'eût pas été possible sans cette condition préalable.
Il résulte de cette considération que, dans l'usage ordinaire, on donne
à la géométrie _élémentaire_ plus d'étendue qu'il ne serait
rigoureusement nécessaire, puisque, outre la ligne droite, les polygones
et les polyèdres, on y comprend aussi le cercle et les corps _ronds_,
dont l'étude pourrait cependant être aussi purement _analytique_ que
celle, par exemple, des sections coniques. Une vénération irréfléchie
pour l'antiquité contribue, sans doute, à maintenir ce défaut de
méthode. Mais comme ce respect n'a point empêché de faire rentrer dans
le domaine de la géométrie moderne la théorie des sections coniques, il
faut bien que, relativement aux formes circulaires, l'habitude
contraire, encore universelle, soit fondée sur d'autres motifs. La
raison la plus sensible qu'on en puisse donner, c'est le grave
inconvénient qu'il y aurait, pour l'enseignement ordinaire, à ajourner à
une époque assez éloignée de l'éducation mathématique la solution de
plusieurs questions essentielles, susceptibles d'une application
immédiate et continuelle à une foule d'usages importans. Pour procéder,
en effet, de la manière la plus rationnelle, ce ne serait qu'à l'aide du
calcul intégral qu'on pourrait obtenir les intéressans résultats,
relatifs à la mesure de la longueur ou de l'aire du cercle, ou à la
quadrature de la sphère, etc., établis par les anciens d'après des
considérations extrêmement simples. Cet inconvénient serait peu
important, à l'égard des esprits destinés à étudier l'ensemble de la
science mathématique, et l'avantage de procéder avec une rationnalité
parfaite aurait, comparativement, une bien plus grande valeur. Mais, le
cas contraire étant encore le plus fréquent, on a dû s'attacher à
conserver dans la géométrie élémentaire proprement dite des théories
aussi essentielles. En admettant l'influence d'une telle considération,
et ne restreignant plus cette géométrie préliminaire à ce qui est
strictement indispensable, on peut même concevoir l'utilité, pour
certains cas particuliers, d'y introduire plusieurs études importantes
qui en ont été généralement exclues, comme celles des sections
coniques, de la cycloïde, etc., afin de renfermer, dans un enseignement
borné, le plus grand nombre possible de connaissances usuelles, quoique,
même sous le simple rapport du temps, il fût préférable de suivre la
marche la plus rationnelle.
Je ne dois point, à ce sujet, tenir compte ici des avantages que peut
présenter cette extension habituelle de la méthode géométrique des
anciens au-delà de la destination nécessaire qui lui est propre, par la
connaissance plus profonde qu'on acquiert ainsi de cette méthode, et par
la comparaison instructive qui en résulte avec la méthode moderne. Ce
sont là des qualités qui, dans l'étude d'une science quelconque,
appartiennent à la marche que nous avons nommée _historique_, et
auxquelles il faut savoir renoncer franchement, quand on a bien reconnu
la nécessité de suivre la marche vraiment _dogmatique_. Après avoir
conçu toutes les parties d'une science de la manière la plus
rationnelle, nous savons combien il importe, pour compléter cette
éducation, d'étudier l'_histoire_ de la science, et par conséquent, de
comparer exactement les diverses méthodes que l'esprit humain a
successivement employées; mais ces deux séries d'études doivent être, en
général, comme nous l'avons vu, soigneusement séparées. Cependant, dans
le cas dont il s'agit ici, la méthode géométrique des modernes est
peut-être encore trop récente pour qu'il ne convienne pas, afin de la
mieux caractériser par la comparaison, de traiter d'abord, suivant la
méthode des anciens, certaines questions qui, par leur nature, doivent
rentrer rationnellement dans la géométrie moderne.
Quoi qu'il en soit, écartant maintenant ces diverses considérations
accessoires, nous voyons que cette introduction à la géométrie, qui ne
peut être traitée que suivant la méthode des anciens, est strictement
réductible à l'étude de la ligne droite, des aires polygonales et des
polyèdres. Il est même vraisemblable qu'on finira par la restreindre
habituellement à ces limites nécessaires, quand les grandes notions
analytiques seront devenues plus familières, et qu'une étude de
l'ensemble des mathématiques sera universellement regardée comme la base
philosophique de l'éducation générale.
Si cette portion préliminaire de la géométrie, qui ne saurait être
fondée sur l'application du calcul, se réduit, par sa nature, à une
suite de recherches fondamentales très-peu étendues, il est certain,
d'un autre côté, qu'on ne peut la restreindre davantage, quoique, par un
véritable abus de l'esprit analytique, on ait quelquefois essayé, dans
ces derniers temps, de présenter sous un point de vue purement
algébrique l'établissement des théorèmes principaux de la géométrie
élémentaire. C'est ainsi qu'on a prétendu démontrer par de simples
considérations abstraites d'analyse mathématique la relation constante
qui existe entre les trois angles d'un triangle rectiligne, la
proposition fondamentale de la théorie des triangles semblables, la
mesure des rectangles, celle des parallélipipèdes, etc., en un mot,
précisément les seules propositions géométriques qui ne puissent être
obtenues que par une étude directe du sujet, sans que le calcul soit
susceptible d'y avoir aucune part. Je ne signalerais point ici de telles
aberrations, si elles n'avaient pas été déterminées par l'intention
évidente de perfectionner, au plus haut degré possible, le caractère
philosophique de la science géométrique, en la faisant rentrer
immédiatement, dès sa naissance, dans le domaine des applications de
l'analyse mathématique. Mais l'erreur capitale commise à cet égard par
quelques géomètres doit être soigneusement remarquée, parce qu'elle
résulte de l'exagération irréfléchie de cette tendance aujourd'hui
très-naturelle et éminemment philosophique, qui porte à étendre de plus
en plus l'influence de l'analyse dans les études mathématiques. La
contemplation des résultats prodigieux auxquels l'esprit humain est
parvenu en suivant une telle direction, a dû involontairement entraîner
à croire que même les fondemens de la mathématique concrète pourraient
être établis sur de simples considérations analytiques. Ce n'est point,
en effet, pour la géométrie seulement que nous devons noter de
semblables aberrations; nous aurons bientôt à en constater de
parfaitement analogues relativement à la mécanique, à l'occasion des
prétendues démonstrations analytiques du parallélogramme des forces.
Cette confusion logique a même aujourd'hui bien plus de gravité en
mécanique, où elle contribue effectivement à répandre encore un nuage
métaphysique sur le caractère général de la science; tandis que, du
moins en géométrie, ces considérations abstraites ont été jusqu'ici
laissées en dehors, sans s'incorporer à l'exposition normale de la
science.
D'après les principes présentés dans cet ouvrage, sur la philosophie
mathématique, il n'est pas nécessaire d'insister beaucoup pour faire
sentir le vice d'une telle manière de procéder. Nous avons déjà reconnu,
en effet, que le calcul n'étant et ne pouvant être qu'un moyen de
déduction, c'est s'en former une idée radicalement fausse que de vouloir
l'employer à établir les fondemens élémentaires d'une science
quelconque; car, sur quoi reposeraient, dans une telle opération, les
argumentations analytiques? Un travail de cette nature, bien loin de
perfectionner véritablement le caractère philosophique d'une science,
constituerait un retour vers l'état métaphysique, en présentant des
connaissances réelles comme de simples abstractions logiques.
Quand on examine en elles-mêmes ces prétendues démonstrations
analytiques des propositions fondamentales de la géométrie élémentaire,
on vérifie aisément leur insignifiance nécessaire. Elles sont toutes
fondées sur une manière vicieuse de concevoir le principe de
l'_homogénéité_, dont j'ai exposé, dans la cinquième leçon, la véritable
notion générale. Ces démonstrations supposent que ce principe ne permet
point d'admettre la coexistence dans une même équation de nombres
obtenus par des comparaisons concrètes différentes, ce qui est
évidemment faux et visiblement contraire à la marche constante des
géomètres. Aussi, il est facile de reconnaître qu'en employant la loi de
l'homogénéité dans cette acception arbitraire et illégitime, on pourrait
parvenir à _démontrer_ avec tout autant de rigueur apparente des
propositions dont l'absurdité est manifeste au premier coup-d'oeil. En
examinant avec attention, par exemple, le procédé à l'aide duquel on a
tenté de prouver analytiquement que la somme des trois angles d'un
triangle rectiligne quelconque est constamment égale à deux angles
droits, on voit qu'il est fondé sur cette notion préliminaire, que si
deux triangles ont deux de leurs angles respectivement égaux, le
troisième angle sera aussi, de part et d'autre, nécessairement égal. Ce
premier point étant accordé, la relation proposée s'en déduit
immédiatement, d'une manière très-exacte et fort simple. Or, la
considération analytique, d'après laquelle on a voulu établir cette
proposition préalable, est d'une telle nature que, si elle pouvait être
juste, on en déduirait rigoureusement, en la reproduisant en sens
inverse, cette absurdité palpable, que deux cotés d'un triangle
suffisent, sans aucun angle, à l'entière détermination du troisième
côté. On peut faire des remarques analogues sur toutes les
démonstrations de ce genre, dont le sophisme sera ainsi vérifié d'une
manière parfaitement sensible.
Plus nous devons ici considérer la géométrie comme étant aujourd'hui
essentiellement analytique, plus il était nécessaire de prémunir les
esprits contre cette exagération abusive de l'analyse mathématique,
suivant laquelle on prétendrait se dispenser de toute observation
géométrique proprement dite, en établissant sur de pures abstractions
algébriques les fondemens mêmes de cette science naturelle. J'ai dû
attacher d'autant plus d'importance à caractériser des aberrations ainsi
liées au développement normal de l'esprit humain, qu'elles ont été pour
ainsi dire consacrées dans ces derniers temps par l'assentiment formel
d'un géomètre fort distingué, dont l'autorité exerce sur l'enseignement
élémentaire de la géométrie une très-grande influence.
Je crois devoir remarquer à cette occasion que, sous plus d'un autre
rapport, on a, ce me semble, trop perdu de vue le caractère de science
naturelle nécessairement inhérent à la géométrie. Il est aisé de le
reconnaître, en considérant les vains efforts tentés si long-temps par
les géomètres pour _démontrer_ rigoureusement, non à l'aide du calcul,
mais d'après certaines constructions, plusieurs propositions
fondamentales de la géométrie élémentaire. Quoi qu'on puisse faire, on
ne saurait évidemment éviter de recourir quelquefois en géométrie à la
simple observation immédiate, comme moyen d'établir divers résultats.
Si, dans cette science, les phénomènes que l'on considère sont, en vertu
de leur extrême simplicité, beaucoup plus liés entr'eux que ceux
relatifs à toute autre science physique, il doit néanmoins s'en trouver
nécessairement quelques-uns qui ne peuvent être déduits, et qui servent
au contraire de point de départ. Qu'il convienne, en thèse générale,
pour la plus grande perfection rationnelle de la science, de les
réduire au plus petit nombre possible, cela est sans doute
incontestable; mais il serait absurde de prétendre les faire disparaître
complétement. J'avoue d'ailleurs que je trouve moins d'inconvéniens
réels à étendre un peu au delà de ce qui serait strictement nécessaire
le nombre de ces notions géométriques ainsi établies par l'observation
immédiate, pourvu qu'elles soient d'une simplicité suffisante, qu'à en
faire le sujet de démonstrations compliquées et indirectes, même quand
ces démonstrations peuvent être logiquement irréprochables.
Après avoir caractérisé aussi exactement que possible la véritable
destination dogmatique de la géométrie des anciens réduite à son moindre
développement indispensable, il convient de considérer sommairement dans
son ensemble chacune des parties principales dont elle doit se composer.
Je crois pouvoir me borner ici à envisager la première et la plus
étendue de ces parties, celle qui a pour objet l'étude de la ligne
droite; les deux autres sections, savoir: la quadrature des polygones et
la cubature des polyèdres, ne pouvant donner lieu, vu leur nature trop
restreinte, à aucune considération philosophique de quelque importance,
distincte de celles indiquées dans la leçon précédente relativement à
la mesure des aires et des volumes en général.
La question définitive que l'on a constamment en vue dans l'étude de la
ligne droite, consiste proprement à déterminer les uns par les autres
les divers élémens d'une figure rectiligne quelconque, ce qui permet de
connaître toujours indirectement une ligne droite dans quelques
circonstances qu'elle puisse être placée. Ce problème fondamental est
susceptible de deux solutions générales, dont la nature est tout-à-fait
distincte, l'une graphique, l'autre algébrique. La première, quoique
fort imparfaite, est celle qu'on doit considérer d'abord, parce qu'elle
dérive spontanément de l'étude directe du sujet; la seconde, bien plus
parfaite sous les rapports les plus importans, ne peut être étudiée
qu'en dernier lieu, parce qu'elle est fondée sur la connaissance
préalable de l'autre.
La solution graphique consiste à _rapporter_ à volonté la figure
proposée, soit avec les mêmes dimensions, soit surtout avec des
dimensions variées dans une proportion quelconque. Le premier mode ne
peut guère être mentionné que pour mémoire, comme étant le plus simple,
et celui que l'esprit doit envisager d'abord, car il est, évidemment,
d'ailleurs presque entièrement inapplicable par sa nature. Le second
est, au contraire, susceptible de l'application la plus étendue et la
plus utile. Nous en faisons encore aujourd'hui un usage important et
continuel, non-seulement pour représenter exactement les formes des
corps et leurs positions mutuelles, mais même pour la détermination
effective des grandeurs géométriques, quand nous n'avons pas besoin
d'une grande précision. Les anciens, vu l'imperfection de leurs
connaissances géométriques, employaient ce procédé d'une manière
beaucoup plus étendue, puisqu'il a été long-temps le seul qu'ils pussent
appliquer, même dans les déterminations précises les plus importantes.
C'est ainsi, par exemple, qu'Aristarque de Samos estimait la distance
relative du soleil et de la lune à la terre, en prenant des mesures sur
un triangle construit le plus exactement possible de façon à être
semblable au triangle rectangle formé par les trois astres, à l'instant
où la lune se trouve en quadrature, et où, en conséquence, il suffirait,
pour définir le triangle, d'observer l'angle à la terre. Archimède
lui-même, quoiqu'ayant, le premier, introduit en géométrie les
déterminations calculées, a plusieurs fois employé de semblables moyens.
La formation de la trigonométrie n'y a pas fait même renoncer
entièrement, quoiqu'elle en ait beaucoup diminué l'usage; les Grecs et
les Arabes ont continué à s'en servir pour une foule de recherches, où
nous regardons aujourd'hui l'emploi du calcul comme indispensable.
Cette exacte reproduction d'une figure quelconque suivant une échelle
différente, ne peut présenter aucune grande difficulté théorique lorsque
toutes les parties de la figure proposée sont comprises dans un même
plan. Mais, si l'on suppose, comme il arrive le plus souvent, qu'elles
soient situées dans des plans différens, on voit naître alors un nouvel
ordre de considérations géométriques. La figure artificielle, qui est
constamment plane, ne pouvant plus, en ce cas, être une image
parfaitement fidèle de la figure réelle, il faut d'abord fixer avec
précision le mode de représentation, ce qui donne lieu aux divers
systèmes de _projection_. Cela posé, il reste à déterminer suivant
quelles lois les phénomènes géométriques se correspondent dans les deux
figures. Cette considération engendre une nouvelle série de recherches
géométriques, dont l'objet définitif est proprement de découvrir comment
on pourra remplacer les constructions en relief par des constructions
planes. Les anciens ont eu à résoudre plusieurs questions élémentaires
de ce genre, pour les divers cas où nous employons aujourd'hui la
trigonométrie sphérique; et principalement pour les différens problèmes
relatifs à la sphère céleste. Telle était la destination de leurs
_analemnes_, et des autres figures planes qui ont suppléé pendant si
long-temps à l'usage du calcul. On voit par là que les anciens
connaissaient réellement les élémens de ce que nous nommons maintenant
la _géométrie descriptive_, quoiqu'ils ne les eussent point conçus d'une
manière distincte et générale.
Je crois convenable de signaler ici rapidement, à cette occasion, le
véritable caractère philosophique de cette géométrie descriptive, bien
que, comme étant une science essentiellement d'application, elle ne
doive pas être comprise dans le domaine propre de cet ouvrage, tel que
je l'ai circonscrit en commençant.
Toutes les questions quelconques de géométrie à trois dimensions,
donnent lieu nécessairement, quand on considère leur solution graphique,
à une difficulté générale qui leur est propre, celle de substituer aux
diverses constructions en relief nécessaires pour les résoudre, et qui
sont presque toujours d'une exécution impossible, de simples
constructions planes équivalentes, susceptibles de déterminer finalement
les mêmes résultats. Sans cette indispensable conversion, chaque
solution de ce genre serait évidemment incomplète et réellement
inapplicable dans la pratique, quoique, pour la théorie, les
constructions dans l'espace soient ordinairement préférables comme plus
directes. C'est afin de fournir les moyens généraux d'effectuer
constamment une telle transformation que la _géométrie descriptive_ a
été créée, et constituée en un corps de doctrine distinct et homogène
par une vue de génie de notre illustre Monge. Il a préalablement conçu
un mode uniforme de représenter les corps par des figures tracées sur un
seul plan, à l'aide des _projections_ sur deux plans différens,
ordinairement perpendiculaires entre eux, et dont l'un est supposé
tourner autour de leur intersection commune pour venir se confondre avec
le prolongement de l'autre; il a suffi, dans ce système, ou dans tout
autre équivalent, de regarder les points et les lignes, comme déterminés
par leurs projections, et les surfaces par les projections de leurs
génératrices. Cela posé, Monge, analysant avec une profonde sagacité les
divers travaux partiels de ce genre exécutés avant lui d'après une foule
de procédés incohérens, et considérant même, d'une manière générale et
directe, en quoi devaient consister constamment les questions
quelconques de cette nature, a reconnu qu'elles étaient toujours
réductibles à un très-petit nombre de problèmes abstraits invariables,
susceptibles d'être résolus séparément une fois pour toutes par des
opérations uniformes, et qui se rapportent essentiellement les uns aux
contacts et les autres aux intersections des surfaces. Ayant formé des
méthodes simples et entièrement générales pour la solution graphique de
ces deux ordres de problèmes, toutes les questions géométriques
auxquelles peuvent donner lieu les divers arts quelconques de
construction, la coupe des pierres, la charpente, la perspective, la
gnonomonique, la fortification, etc., ont pu être traitées désormais
comme de simples cas particuliers d'une théorie unique, dont
l'application invariable conduira toujours nécessairement à une solution
exacte, susceptible d'être facilitée dans la pratique en profitant des
circonstances propres à chaque cas.
Cette importante création mérite singulièrement de fixer l'attention de
tous les philosophes qui considèrent l'ensemble des opérations de
l'espèce humaine, comme étant un premier pas, et jusqu'ici le seul
réellement complet, vers cette rénovation générale des travaux humains,
qui doit imprimer à tous nos arts un caractère de précision et de
rationnalité, si nécessaire à leurs progrès futurs. Une telle révolution
devait, en effet, commencer inévitablement par cette classe de travaux
industriels qui se rapporte essentiellement à la science la plus simple,
la plus parfaite, et la plus ancienne. Elle ne peut manquer de
s'étendre successivement dans la suite, quoique avec moins de facilité,
à toutes les autres opérations pratiques. Nous aurons même bientôt
occasion de remarquer que Monge, qui a conçu plus profondément que
personne la véritable philosophie des arts, avait essayé d'ébaucher pour
l'industrie mécanique une doctrine correspondante à celle qu'il avait si
heureusement formée pour l'industrie géométrique, mais sans obtenir pour
ce cas, dont la difficulté est bien supérieure, aucun autre succès que
celui d'indiquer assez nettement la direction que doivent prendre les
recherches de cette nature.
Quelqu'essentielle que soit réellement la conception de la géométrie
descriptive, il importe beaucoup de ne pas se méprendre sur la véritable
destination qui lui est si expressément propre, comme l'ont fait,
surtout dans les premiers temps de cette découverte, ceux qui y ont vu
un moyen d'agrandir le domaine général et abstrait de la géométrie
rationnelle. L'événement n'a nullement répondu depuis à ces espérances
mal conçues. Et, en effet, n'est-il pas évident que la géométrie
descriptive n'a de valeur spéciale que comme science d'application,
comme constituant la véritable théorie propre des arts géométriques?
Considérée sous le rapport abstrait, elle ne saurait introduire aucun
ordre vraiment distinct de spéculations géométriques. Il ne faut point
perdre de vue que, pour qu'une question géométrique tombe dans le
domaine propre de la géométrie descriptive, elle doit nécessairement
avoir toujours été résolue préalablement par la géométrie spéculative,
dont ensuite, comme nous l'avons vu, les solutions ont constamment
besoin d'être préparées pour la pratique de manière à suppléer aux
constructions en relief par des constructions planes, substitution qui
constitue réellement la seule fonction caractéristique de la géométrie
descriptive.
Il convient néanmoins de remarquer ici que, sous le rapport de
l'éducation intellectuelle, l'étude de la géométrie descriptive présente
une importante propriété philosophique, tout-à-fait indépendante de sa
haute utilité industrielle. C'est l'avantage qu'elle offre si
éminemment, en habituant à considérer dans l'espace des systèmes
géométriques quelquefois très-composés, et à suivre exactement leur
correspondance continuelle avec les figures effectivement tracées,
d'exercer ainsi au plus haut degré de la manière la plus sûre et la plus
précise, cette importante faculté de l'esprit humain qu'on appelle
l'_imagination_ proprement dite, et qui consiste, dans son acception
élémentaire et positive, à se représenter nettement, avec facilité, un
vaste ensemble variable d'objets fictifs, comme s'ils étaient sous nos
yeux.
Enfin, pour achever d'indiquer la nature générale de la géométrie
descriptive en déterminant son caractère logique, nous devons observer
que si, par le genre de ses solutions, elle appartient à la géométrie
des anciens, d'un autre côté elle se rapproche de la géométrie des
modernes par l'espèce des questions qui la composent. Ces questions
sont, en effet, éminemment remarquables par cette généralité que nous
avons vue, dans la dernière leçon, constituer le vrai caractère
fondamental de la géométrie moderne; les méthodes y sont toujours
conçues comme applicables à des formes quelconques, les particularités
propres à chaque forme n'y pouvant avoir qu'une influence purement
secondaire. Les solutions y sont donc graphiques comme la plupart de
celles des anciens, et générales comme celles des modernes.
Après cette importante digression, dont le lecteur aura sans doute
reconnu la nécessité, poursuivons l'examen philosophique de la géométrie
_spéciale_, considérée toujours comme réduite à son moindre
développement possible, pour servir d'introduction indispensable à la
géométrie _générale_. Ayant suffisamment envisagé la solution graphique
du problème fondamental relatif à la ligne droite, c'est-à-dire, de la
détermination les uns par les autres des divers élémens d'une figure
rectiligne quelconque, nous devons maintenant en examiner d'une manière
générale la solution algébrique.
Cette seconde solution, dont il est inutile ici d'apprécier expressément
la supériorité évidente, appartient nécessairement, par la nature même
de la question, au système de la géométrie ancienne, quoique le procédé
logique employé l'en fasse ordinairement séparer mal à propos. Nous
avons lieu de vérifier ainsi, sous un rapport très-important, ce qui a
été établi en général dans la leçon précédente, que ce n'est point par
l'emploi du calcul qu'on doit distinguer essentiellement la géométrie
moderne de celle des anciens. Les anciens sont, en effet, les vrais
inventeurs de la trigonométrie actuelle, tant sphérique que rectiligne,
qui seulement était beaucoup moins parfaite entre leurs mains, vu
l'extrême infériorité de leurs connaissances algébriques. C'est donc
réellement dans cette leçon, et non, comme on pourrait le croire
d'abord, dans celles que nous consacrerons ensuite à l'examen
philosophique de la géométrie _générale_, qu'il convient d'apprécier le
caractère de cette importante théorie préliminaire, habituellement
comprise à tort dans ce qu'on appelle la _géométrie analytique_, et qui
n'est effectivement qu'un complément de la _géométrie élémentaire_
proprement dite.
Toutes les figures rectilignes pouvant être décomposées en triangles,
il suffit évidemment de savoir déterminer les uns par les autres les
divers élémens d'un triangle, ce qui réduit la _polygonométrie_ à la
simple _trigonométrie_.
Pour qu'une telle question puisse être résolue algébriquement, la
difficulté consiste essentiellement à former entre les angles et les
côtés d'un triangle trois équations distinctes, qui, une fois obtenues,
réduiront évidemment tous les problèmes trigonométriques à de pures
recherches de calcul. En considérant de la manière la plus générale
l'établissement de ces équations, on voit naître immédiatement une
distinction fondamentale relativement au mode d'introduction des angles
dans le calcul, suivant qu'on les y fera entrer directement par eux-mêmes
ou par les arcs circulaires qui leur sont proportionnels, ou que, au
contraire, on leur substituera certaines droites, comme, par exemple,
les cordes de ces arcs qui leur sont inhérentes, et que, par cette
raison, on appelle ordinairement leurs lignes trigonométriques. De ces
deux systèmes de trigonométrie, le second a dû être, à l'origine, le
seul adopté, comme étant le seul praticable, puisque l'état de la
géométrie permettait alors de trouver assez aisément des relations
exactes entre les côtés des triangles et les lignes trigonométriques des
angles, tandis qu'il eût été absolument impossible, à cette époque,
d'établir des équations entre les côtés et les angles eux-mêmes. La
solution pouvant aujourd'hui être obtenue indifféremment dans l'un et
dans l'autre système, ce motif de préférence ne subsiste plus. Mais les
géomètres n'en ont pas moins dû persister à suivre par choix le système
primitivement admis par nécessité; car, la même raison qui a permis
ainsi d'obtenir les équations trigonométriques avec beaucoup plus de
facilité, doit également, comme il est encore plus aisé de le concevoir
_à priori_, rendre ces équations bien plus simples, puisqu'elles
existent alors seulement entre des lignes droites, au lieu d'être
établies entre des lignes droites et des arcs de cercle. Une telle
considération a d'autant plus d'importance qu'il s'agit là de formules
éminemment élémentaires, destinées à être continuellement employées dans
toutes les parties de la science mathématique aussi bien que dans toutes
ses diverses applications.
On peut objecter, il est vrai, que, lorsqu'un angle est donné, c'est
toujours en effet par lui-même et non par sa ligne trigonométrique; et
que, lorsqu'il est inconnu, c'est sa valeur angulaire qu'il s'agit
proprement de déterminer, et non celle d'aucune de ses lignes
trigonométriques. Il semble, d'après cela, que de telles lignes ne sont
entre les côtés et les angles qu'un intermédiaire inutile, qui doit
être finalement éliminé, et dont l'introduction ne paraît point
susceptible de simplifier la recherche qu'on se propose. Il importe, en
effet, d'expliquer avec plus de généralité et de précision qu'on ne le
fait d'ordinaire l'immense utilité réelle de cette manière de procéder.
Elle consiste en ce que l'introduction de ces grandeurs auxiliaires
partage la question totale de la trigonométrie en deux autres
essentiellement distinctes, dont l'une a pour objet de passer des angles
à leurs lignes trigonométriques ou réciproquement, et dont l'autre se
propose de déterminer les côtés des triangles par les lignes
trigonométriques de leurs angles ou réciproquement. Or, la première de
ces deux questions fondamentales est évidemment susceptible, par sa
nature, d'être entièrement traitée et réduite en tables numériques une
fois pour toutes, en considérant tous les angles possibles, puisqu'elle
ne dépend que de ces angles, et nullement des triangles particuliers où
ils peuvent entrer dans chaque cas; tandis que la solution de la seconde
question doit nécessairement être renouvelée, du moins sous le rapport
arithmétique, à chaque nouveau triangle qu'il faut résoudre. C'est
pourquoi la première portion du travail total, qui serait précisément la
plus pénible, n'est plus comptée ordinairement, étant toujours faite
d'avance; tandis que si une telle décomposition n'avait point été
instituée, on se serait trouvé évidemment dans l'obligation de
recommencer dans chaque cas particulier le calcul tout entier. Telle est
la propriété essentielle du système trigonométrique adopté, qui, en
effet, ne présenterait réellement aucun avantage effectif si, pour
chaque angle à considérer, il fallait calculer continuellement sa ligne
trigonométrique ou réciproquement: l'intermédiaire serait alors plus
gênant que commode.
Afin de comprendre nettement la vraie nature de cette conception, il
sera utile de la comparer à une conception encore plus importante,
destinée à produire un effet analogue, soit sous le rapport algébrique,
soit surtout sous le rapport arithmétique, l'admirable théorie des
logarithmes. En examinant d'une manière philosophique l'influence de
cette théorie, on voit, en effet, que son résultat général est d'avoir
décomposé toutes les opérations arithmétiques imaginables en deux
parties distinctes, dont la première, qui est la plus compliquée, est
susceptible d'être exécutée à l'avance une fois pour toutes, comme ne
dépendant que des nombres à considérer et nullement des diverses
combinaisons quelconques dans lesquelles ils peuvent entrer, et qui
consiste à se représenter tous les nombres comme des puissances
assignables d'un nombre constant; la seconde partie du calcul, qui doit
nécessairement être recommencée pour chaque formule nouvelle à évaluer,
étant dès lors réduite à exécuter sur ces exposans des opérations
corrélatives infiniment plus simples. Je me borne à indiquer ce
rapprochement, que chacun peut aisément développer.
Nous devons de plus observer comme une propriété, secondaire
aujourd'hui, mais capitale à l'origine, du système trigonométrique
adopté, la circonstance très-remarquable que la détermination des angles
par leurs lignes trigonométriques ou réciproquement, est susceptible
d'une solution arithmétique, la seule qui soit directement indispensable
pour la destination propre de la trigonométrie, sans avoir préalablement
résolu la question algébrique correspondante. C'est sans doute à une
telle particularité que les anciens ont dû de pouvoir connaître la
trigonométrie. La recherche ainsi conçue a été d'autant plus facile que,
les anciens ayant pris naturellement la corde pour ligne
trigonométrique, les tables se trouvaient avoir été d'avance construites
en partie pour un tout autre motif, en vertu du travail d'Archimède sur
la rectification du cercle, d'où résultait la détermination effective
d'une certaine suite de cordes, en sorte que, lorsque plus tard
Hipparque eut inventé la trigonométrie, il put se borner à compléter
cette opération par des intercalations convenables, ce qui marque
nettement la filiation des idées à cet égard.
Afin d'esquisser entièrement cet aperçu philosophique de la
trigonométrie, il convient d'observer maintenant que l'extension du même
motif qui conduit à remplacer les angles ou les arcs de cercle par des
ligues droites dans la vue de simplifier les équations, doit aussi
porter à employer concurremment plusieurs lignes trigonométriques, au
lieu de se borner à une seule, comme le faisaient les anciens, pour
perfectionner ce système en choisissant celle qui sera algébriquement la
plus convenable en telle ou telle occasion. Sous ce rapport, il est
clair que le nombre de ces lignes n'est par lui-même nullement limité;
pourvu qu'elles soient déterminées d'après l'arc, et que réciproquement
elles le déterminent, suivant quelque loi qu'elles en dérivent
d'ailleurs, elles sont aptes à lui être substituées dans les équations.
En se bornant aux constructions les plus simples, les Arabes et les
modernes ensuite ont successivement porté à quatre ou à cinq le nombre
des lignes trigonométriques _directes_, qui pourrait être étendu bien
davantage. Mais, au lieu de recourir à des formations géométriques qui
finiraient par devenir très-compliquées, on conçoit avec une extrême
facilité autant de nouvelles lignes trigonométriques que peuvent
l'exiger les transformations analytiques, au moyen d'un artifice
remarquable, qui n'est pas ordinairement saisi d'une manière assez
générale. Il consiste, sans multiplier immédiatement les lignes
trigonométriques propres à chaque arc considéré, à en introduire de
nouvelles en regardant cet arc comme déterminé indirectement par toutes
les lignes relatives à un arc qui soit une fonction très-simple du
premier. C'est ainsi, par exemple, que souvent, pour calculer un angle
avec plus de facilité, on déterminera, au lieu de son sinus, le sinus de
sa moitié ou de son double, etc. Une telle création de lignes
trigonométriques _indirectes_ est évidemment bien plus féconde que tous
les procédés géométriques immédiats pour en obtenir de nouvelles. On
peut dire, d'après cela, que le nombre des lignes trigonométriques
effectivement employées aujourd'hui par les géomètres est réellement
indéfini, puisque, à chaque instant pour ainsi dire, les transformations
analytiques peuvent conduire à l'augmenter par le procédé que je viens
d'indiquer. Seulement, on n'a donné jusqu'ici de noms spéciaux qu'à
celles de ces lignes _indirectes_ qui se rapportent au complément de
l'arc primitif, les autres ne revenant pas assez fréquemment pour
nécessiter de semblables dénominations, ce qui a fait communément
méconnaître la véritable étendue du système trigonométrique.
Cette multiplicité des lignes trigonométriques fait naître évidemment,
dans la trigonométrie, une troisième question fondamentale, l'étude des
relations qui existent entre ces diverses lignes; puisque, sans une
telle connaissance, on ne pourrait point utiliser, pour les besoins
analytiques, cette variété de grandeurs auxiliaires, qui n'a pourtant
pas d'autre destination. Il est clair, en outre, d'après la
considération indiquée tout à l'heure, que cette partie essentielle de
la trigonométrie, quoique simplement préparatoire, est, par sa nature,
susceptible d'une extension indéfinie quand on l'envisage dans son
entière généralité, tandis que les deux autres sont nécessairement
circonscrites dans un cadre rigoureusement défini.
Je n'ai pas besoin d'ajouter expressément que ces trois parties
principales de la trigonométrie doivent être étudiées dans un ordre
précisément inverse de celui suivant lequel nous les avons vues dériver
nécessairement de la nature générale du sujet; car la troisième est
visiblement indépendante des deux autres, et la seconde de celle qui
s'est présentée la première, la résolution des triangles proprement
dite, qui doit, pour cette raison, être traitée en dernier lieu, ce qui
rendait d'autant plus importante la considération de la filiation
naturelle.
Il était inutile d'envisager ici distinctement la trigonométrie
sphérique, qui ne peut donner lieu à aucune considération philosophique
spéciale, puisque, quelque essentielle qu'elle soit par l'importance et
la multiplicité de ses usages, on ne peut plus la traiter aujourd'hui,
dans son ensemble, que comme une simple application de la trigonométrie
rectiligne, qui fournit immédiatement ses équations fondamentales, en
substituant au triangle sphérique l'angle trièdre correspondant.
J'ai cru devoir indiquer cette exposition sommaire de la philosophie
trigonométrique, qui pourrait d'ailleurs donner lieu à beaucoup d'autres
considérations intéressantes, afin de rendre sensibles, par un exemple
important, cet enchaînement rigoureux et cette ramification successive
que présentent les questions les plus simples en apparence de la
géométrie élémentaire.
Avant ainsi suffisamment considéré pour le but de cet ouvrage le
caractère propre de la géométrie _spéciale_, réduite à sa seule
destination dogmatique, de fournir à la géométrie _générale_ une base
préliminaire indispensable, nous devons désormais porter toute notre
attention sur la véritable science géométrique, envisagée dans son
ensemble de la manière la plus rationnelle. Il faut d'abord, à cet
effet, soigneusement examiner la grande idée-mère de Descartes, sur
laquelle elle est entièrement fondée, ce qui fera l'objet de la leçon
suivante.