SOMMAIRE. Vue générale de la géométrie.
D'après l'explication générale présentée dans la troisième leçon
relativement au caractère philosophique de la mathématique concrète,
comparé à celui de la mathématique abstraite, je n'ai pas besoin
d'établir ici, d'une manière spéciale, que la géométrie doit être
considérée comme une véritable science naturelle, seulement bien plus
simple et par suite beaucoup plus parfaite qu'aucune autre. Cette
perfection nécessaire de la géométrie, obtenue essentiellement par
l'application, qu'elle comporte si éminemment, de l'analyse
mathématique, fait ordinairement illusion sur la nature réelle de cette
science fondamentale, que la plupart des esprits conçoivent aujourd'hui
comme une science purement rationnelle, tout-à-fait indépendante de
l'observation. Il est néanmoins évident, pour quiconque examine avec
attention le caractère des raisonnemens géométriques, même dans l'état
actuel de la géométrie abstraite, que, si les faits qu'on y considère
sont beaucoup plus liés entr'eux que ceux relatifs à toute autre
science, il existe toujours cependant, par rapport à chaque corps étudié
par les géomètres, un certain nombre de phénomènes primitifs, qui,
n'étant établis par aucun raisonnement, ne peuvent être fondés que sur
l'observation, et constituent la base nécessaire de toutes les
déductions. L'erreur commune à cet égard doit être regardée comme un
reste d'influence de l'esprit métaphysique, qui a si long-temps dominé,
même dans les études géométriques. Indépendamment de sa gravité logique,
cette fausse manière de voir présente continuellement, dans les
applications de la géométrie rationnelle, les plus grands inconvéniens,
en ce qu'elle empêche de concevoir nettement le passage du concret à
l'abstrait.
La supériorité scientifique de la géométrie tient, en général, à ce que
les phénomènes qu'elle considère sont, nécessairement, les plus
universels et les plus simples de tous. Non-seulement tous les corps de
la nature peuvent évidemment donner lieu à des recherches géométriques,
aussi bien qu'à des recherches mécaniques, mais, de plus, les phénomènes
géométriques subsisteraient encore, quand même toutes les parties de
l'univers seraient supposées immobiles. La géométrie est donc, par sa
nature, plus générale que la mécanique. En même temps, ses phénomènes
sont plus simples; car ils sont évidemment indépendans des phénomènes
mécaniques, tandis que ceux-ci se compliquent toujours nécessairement
des premiers. Il en est de même, en comparant la géométrie à la
thermologie abstraite, qu'on peut concevoir aujourd'hui, depuis les
travaux de M. Fourier, ainsi que je l'ai indiqué dans la troisième
leçon, comme une nouvelle branche générale de la mathématique concrète.
En effet, les phénomènes thermologiques, considérés même indépendamment
des effets dynamiques qui les accompagnent presque constamment, surtout
dans les corps fluides, dépendent nécessairement des phénomènes
géométriques, puisque la forme des corps influe singulièrement sur la
répartition de la chaleur.
C'est pour ces diverses raisons que nous avons dû classer précédemment
la géométrie comme la première partie de la mathématique concrète, celle
dont l'étude, outre son importance propre, sert de base indispensable à
toutes les autres.
Avant de considérer directement l'étude philosophique des divers ordres
de recherches qui constituent la géométrie actuelle, il faut se faire
une idée nette et exacte de la destination générale de cette science,
envisagée dans son ensemble. Tel est l'objet de cette leçon.
On définit communément la géométrie d'une manière très-vague et
tout-à-fait vicieuse, en se bornant à la présenter comme _la science de
l'étendue_. Il conviendrait d'abord d'améliorer cette définition, en
disant, avec plus de précision, que la géométrie a pour objet la
_mesure_ de l'étendue. Mais une telle explication serait, par elle-même,
fort insuffisante, bien que, au fond, elle soit exacte. Un aperçu aussi
imparfait ne peut nullement faire connaître le véritable caractère
général de la science géométrique.
Pour y parvenir, je crois devoir éclaircir préalablement deux notions
fondamentales, qui, très-simples en elles-mêmes, ont été singulièrement
obscurcies par l'emploi des considérations métaphysiques.
La première est celle de l'_espace_, qui a donné lieu à tant de
raisonnemens sophistiques, à des discussions si creuses et si puériles
de la part des métaphysiciens. Réduite à son acception positive, cette
conception consiste simplement en ce que, au lieu de considérer
l'étendue dans les corps eux-mêmes, nous l'envisageons dans un milieu
indéfini, que nous regardons comme contenant tous les corps de
l'univers. Cette notion nous est naturellement suggérée par
l'observation, quand nous pensons à l'_empreinte_ que laisserait un
corps dans un fluide où il aurait été placé. Il est clair, en effet,
que, sous le rapport géométrique, une telle _empreinte_ peut être
substituée au corps lui-même, sans que les raisonnemens en soient
altérés. Quant à la nature physique de cet _espace_ indéfini, nous
devons spontanément nous le représenter, pour plus de facilité, comme
analogue au milieu effectif dans lequel nous vivons, tellement que si ce
milieu était liquide, au lieu d'être gazeux, notre _espace_ géométrique
serait sans doute conçu aussi comme liquide. Cette circonstance n'est
d'ailleurs évidemment que très-secondaire, l'objet essentiel d'une telle
conception étant seulement de nous faire envisager l'étendue séparément
des corps qui nous la manifestent. On comprend aisément _à priori_
l'importance de cette image fondamentale, puisqu'elle nous permet
d'étudier les phénomènes géométriques en eux-mêmes, abstraction faite de
tous les autres phénomènes qui les accompagnent constamment dans les
corps réels, sans cependant exercer sur eux aucune influence.
L'établissement régulier de cette abstraction générale doit être regardé
comme le premier pas qui ait été fait dans l'étude rationnelle de la
géométrie, qui eût été impossible s'il avait fallu continuer à
considérer avec la forme et la grandeur des corps l'ensemble de toutes
leurs autres propriétés physiques. L'usage d'une semblable hypothèse,
qui est peut-être la plus ancienne conception philosophique créée par
l'esprit humain, nous est maintenant devenu si familier, que nous avons
peine à mesurer exactement son importance, en appréciant les
conséquences qui résulteraient de sa suppression.
Les spéculations géométriques ayant pu ainsi devenir abstraites, elles
ont acquis non-seulement plus de simplicité, mais encore plus de
généralité. Tant que l'étendue est considérée dans les corps eux-mêmes,
on ne peut prendre pour sujet des recherches que les formes
effectivement réalisées dans la nature, ce qui restreindrait
singulièrement le champ de la géométrie. Au contraire, en concevant
l'étendue dans l'_espace_, l'esprit humain peut envisager toutes les
formes quelconques imaginables, ce qui est indispensable pour donner à
la géométrie un caractère entièrement rationnel.
La seconde conception géométrique préliminaire que nous devons examiner
est celle des différentes sortes d'étendue, désignées par les mots de
_volume_[20], _surface_, _ligne_, et même _point_, et dont l'explication
ordinaire est si peu satisfaisante.
[Note 20: M. Lacroix a critiqué avec raison l'expression
de _solide_, communément employée par les géomètres pour
désigner un _volume_. Il est certain, en effet, que lorsque
nous voulons considérer séparément une certaine portion de
l'_espace_ indéfini, conçu comme gazeux, nous en solidifions
par la pensée l'enceinte extérieure, en sorte qu'une _ligne_
et une _surface_ sont habituellement, pour notre esprit,
tout aussi _solides_ qu'un _volume_. On peut même remarquer
que, le plus souvent, afin que les corps se pénètrent
mutuellement avec plus de facilité, nous sommes obligés de
nous représenter comme creux l'intérieur des _volumes_, ce
qui rend encore plus sensible l'impropriété du mot
_solide_.]
Quoiqu'il soit évidemment impossible de concevoir aucune étendue
absolument privée de l'une quelconque des trois dimensions
fondamentales, il n'est pas moins incontestable que, dans une foule
d'occasions, même d'une utilité immédiate, les questions géométriques ne
dépendent que de deux dimensions, considérées séparément de la
troisième, ou d'une seule dimension, considérée séparément des deux
autres. D'un autre côté, indépendamment de ce motif direct, l'étude de
l'étendue à une seule dimension et ensuite à deux se présente clairement
comme un préliminaire indispensable pour faciliter l'étude des corps
complets ou à trois dimensions, dont la théorie immédiate serait trop
compliquée. Tels sont les deux motifs généraux qui obligent les
géomètres à considérer isolément l'étendue sous le rapport d'une ou de
deux dimensions, aussi bien que relativement à toutes les trois
ensemble.
C'est afin de pouvoir penser, d'une manière permanente, à l'étendue dans
deux sens ou dans un seul, que l'esprit humain se forme les notions
générales de _surface_, et de _ligne_. Les expressions hyperboliques
habituellement employées par les géomètres pour les définir, tendent à
en faire concevoir une fausse idée. Mais, examinées en elles-mêmes,
elles n'ont d'autre destination que de nous permettre de raisonner avec
facilité sur ces deux genres d'étendue, en faisant complétement
abstraction de ce qui ne doit pas être pris en considération. Or, il
suffit, pour cela, de concevoir la dimension que l'on veut éliminer
comme devenue graduellement de plus en plus petite, les deux autres
restant les mêmes, jusqu'à ce qu'elle soit parvenue à un tel degré de
ténuité qu'elle ne puisse plus fixer l'attention. C'est ainsi qu'on
acquiert naturellement l'idée réelle d'une _surface_, et, par une
seconde opération analogue, l'idée d'une _ligne_, en renouvelant pour la
largeur ce qu'on a d'abord fait pour l'épaisseur. Enfin, si l'on répète
encore le même travail, on parvient à l'idée d'un _point_, ou d'une
étendue considérée uniquement par rapport à son lieu, abstraction faite
de toute grandeur, et destinée, par conséquent, à préciser les
positions. Les surfaces ont d'ailleurs évidemment la propriété générale
de circonscrire exactement les volumes; et, de même les lignes, à leur
tour, circonscrivent les surfaces, et sont limitées par les points. Mais
cette considération, à laquelle on a donné souvent trop d'importance,
n'est que secondaire.
Les surfaces et les lignes sont donc réellement toujours conçues avec
trois dimensions; il serait, en effet, impossible de se représenter une
surface autrement que comme une plaque extrêmement mince, et une ligne
autrement que comme un fil infiniment délié. Il est même évident que le
degré de ténuité attribué par chaque individu aux dimensions dont il
veut faire abstraction, n'est pas constamment identique, car il doit
dépendre du degré de finesse de ses observations géométriques
habituelles. Ce défaut d'uniformité n'a d'ailleurs aucun inconvénient
réel, puisqu'il suffit, pour que les idées de surface et de ligne
remplissent la condition essentielle de leur destination, que chacun se
représente les dimensions à négliger comme plus petites que toutes
celles dont ses expériences journalières lui donnent occasion
d'apprécier la grandeur.
On doit sans doute regretter qu'il soit encore nécessaire aujourd'hui
d'indiquer expressément une explication aussi simple que la précédente,
dans un ouvrage tel que celui-ci. Mais j'ai cru devoir signaler
rapidement ces considérations à cause du nuage ontologique dont une
fausse manière de voir enveloppe ordinairement ces notions premières. On
voit par là combien sont dépourvues de toute espèce de sens les
discussions fantastiques des métaphysiciens sur les fondemens de la
géométrie. On doit aussi remarquer que ces idées primordiales sont
habituellement présentées par les géomètres d'une manière peu
philosophique, puisqu'ils exposent, par exemple, les notions des
différentes sortes d'étendue dans un ordre absolument inverse de leur
enchaînement naturel, ce qui engendre souvent, pour l'enseignement
élémentaire, les plus graves inconvéniens.
Ces préliminaires étant posés, nous pouvons procéder directement à la
définition générale de la géométrie, en concevant toujours cette science
comme ayant pour but final la _mesure_ de l'étendue.
Il est tellement nécessaire d'entrer à cet égard dans une explication
approfondie, fondée sur la distinction des trois espèces d'étendue, que
la notion de _mesure_ n'est pas exactement la même par rapport aux
surfaces et aux volumes que relativement aux lignes, en sorte que, sans
cet examen, on se formerait une fausse idée de la nature des questions
géométriques.
Si l'on prend le mot _mesure_ dans son acception mathématique directe et
générale, qui signifie simplement l'évaluation des _rapports_ qu'ont
entr'elles des grandeurs homogènes quelconques, on doit considérer, en
géométrie, que la _mesure_ des surfaces et des volumes, par opposition
à celle des lignes, n'est jamais conçue, même dans les cas les plus
simples et les plus favorables, comme s'effectuant immédiatement. On
regarde comme directe la comparaison de deux lignes; celle de deux
surfaces ou de deux volumes est, au contraire, constamment indirecte. En
effet, on conçoit que deux lignes puissent être superposées; mais la
superposition de deux surfaces, ou, à plus forte raison, celle de deux
volumes, est évidemment impossible à établir dans le plus grand nombre
des cas; et, lors même qu'elle devient rigoureusement praticable, une
telle comparaison n'est jamais ni commode, ni susceptible d'exactitude.
Il est donc bien nécessaire d'expliquer en quoi consiste proprement la
mesure vraiment géométrique d'une surface ou d'un volume.
Il faut considérer, pour cela, que, quelle que puisse être la forme d'un
corps, il existe toujours un certain nombre de lignes, plus ou moins
faciles à assigner, dont la longueur suffit pour définir exactement la
grandeur de sa surface ou de son volume. La géométrie, regardant ces
lignes comme seules susceptibles d'être mesurées immédiatement, se
propose de déduire, de leur simple détermination, le rapport de la
surface ou du volume cherchés, à l'unité de surface ou à l'unité de
volume. Ainsi l'objet général de la géométrie, relativement aux surfaces
et aux volumes, est proprement de ramener toutes les comparaisons de
surfaces ou de volumes, à de simples comparaisons de lignes.
Outre la facilité immense que présente évidemment une telle
transformation pour la mesure des volumes et des surfaces, il en
résulte, en la considérant d'une manière plus étendue et plus
scientifique, la possibilité générale de réduire à des questions de
lignes, toutes les questions relatives aux volumes et aux surfaces,
envisagés quant à leur grandeur. Tel est souvent l'usage le plus
important des expressions géométriques qui déterminent les surfaces et
les volumes en fonction des lignes correspondantes.
Ce n'est pas que les comparaisons immédiates entre surfaces ou entre
volumes ne soient jamais employées. Mais de telles mesures ne sont pas
regardées comme géométriques, et on n'y voit qu'un supplément
quelquefois nécessaire, quoique trop rarement applicable, à
l'insuffisance ou à la difficulté des procédés vraiment rationnels.
C'est ainsi que souvent on détermine le volume d'un corps, et, dans
certains cas, sa surface, d'après son poids. De même, en d'autres
occasions, quand on peut substituer au volume proposé un volume liquide
équivalent, on établit immédiatement la comparaison de deux volumes, en
profitant de la propriété que présentent les masses liquides, de
pouvoir prendre aisément toutes les formes qu'on veut leur donner. Mais
tous les moyens de cette nature sont purement mécaniques, et la
géométrie rationnelle les rejette nécessairement.
Pour rendre plus sensible la différence de ces déterminations avec les
véritables mesures géométriques, je citerai un seul exemple
très-remarquable, la manière dont Galilée évalua le rapport de l'aire de
la cycloïde ordinaire à celle du cercle générateur. La géométrie de son
temps étant encore trop inférieure à la solution rationnelle d'un tel
problème, Galilée imagina de chercher ce rapport par une expérience
directe. Ayant pesé le plus exactement possible deux lames de même
matière et d'égale épaisseur, dont l'une avait la forme d'un cercle et
l'autre celle de la cycloïde engendrée, il trouva le poids de celle-ci
constamment triple de celui de la première, d'où il conclut que l'aire
de la cyloïde est triple de celle du cercle générateur, résultat
conforme à la véritable solution obtenue plus tard par Pascal et Wallis.
Un tel succès, sur lequel d'ailleurs Galilée n'avait pas pris le change,
tient évidemment à l'extrême simplicité réelle du rapport cherché; et on
conçoit l'insuffisance nécessaire de semblables expédiens, même
lorsqu'ils seraient effectivement praticables.
On voit clairement, d'après ce qui précède, en quoi consistent
proprement la partie de la géométrie relative aux volumes et celle
relative aux surfaces. Mais on ne conçoit pas aussi nettement le
caractère de la géométrie des lignes, puisque nous avons semblé, pour
simplifier l'exposition, considérer la mesure des lignes comme se fesant
immédiatement. Il faut donc, par rapport à elles, un complément
d'explication.
À cet effet, il suffit de distinguer, entre la ligne droite et les
lignes courbes; la mesure de la première étant seule regardée comme
directe, et celle des autres comme constamment indirecte. Bien que la
superposition soit quelquefois rigoureusement praticable pour les lignes
courbes, il est évident néanmoins que la géométrie vraiment rationnelle
doit la rejeter nécessairement, comme ne comportant, lors même qu'elle
est possible, aucune exactitude. La géométrie des lignes a donc pour
objet général de ramener constamment la mesure des lignes courbes à
celle des lignes droites; et par suite, sous un point de vue plus
étendu, de réduire à de simples questions de lignes droites toutes les
questions relatives à la grandeur des courbes quelconques. Pour
comprendre la possibilité d'une telle transformation, il faut remarquer
que, dans toute courbe quelconque, il existe constamment certaines
droites dont la longueur doit suffire pour déterminer celle de la
courbe. Ainsi, dans un cercle, il est évident que de la longueur du
rayon on doit pouvoir conclure celle de la circonférence; de même, la
longueur d'une ellipse dépend de celle de ses deux axes; la longueur
d'une cycloïde, du diamètre du cercle générateur, etc.; et si, au lieu
de considérer la totalité de chaque courbe, on demande plus généralement
la longueur d'un arc quelconque, il suffira d'ajouter, aux divers
paramètres rectilignes qui déterminent l'ensemble de la courbe, la corde
de l'arc proposé, ou les coordonnées de ses extrémités. Découvrir la
relation qui existe entre la longueur d'une ligne courbe et celle de
semblables lignes droites, tel est le problème général qu'on a
essentiellement en vue dans la partie de la géométrie relative à l'étude
des lignes.
En combinant cette considération avec celles précédemment exposées sur
les volumes et sur les surfaces, on peut se former une idée très-nette
de la science géométrique, conçue dans son ensemble, en lui assignant
pour destination générale de réduire finalement les comparaisons de
toutes les espèces d'étendue, volumes, surfaces, ou lignes, à de simples
comparaisons de lignes droites, les seules regardées comme pouvant être
effectuées immédiatement, et qui, en effet, ne sauraient évidemment être
ramenées à d'autres plus faciles. En même temps qu'une telle conception
manifeste clairement le véritable caractère de la géométrie, elle me
semble propre à faire apercevoir, d'un coup-d'oeil unique, son utilité
et sa perfection.
Afin de compléter rigoureusement cette explication fondamentale, il me
reste à indiquer comment il peut y avoir, en géométrie, une section
spéciale relative à la ligne droite, ce qui paraît d'abord incompatible
avec le principe que la mesure de cette classe de lignes doit être
toujours regardée comme immédiate.
Elle l'est, en effet, par rapport à celle des lignes courbes, et de tous
les autres objets que la géométrie considère. Mais il est évident que
l'estimation d'une ligne droite ne peut être envisagée comme directe
qu'autant qu'on peut immédiatement porter sur elle l'unité linéaire. Or,
c'est ce qui présente le plus souvent des difficultés insurmontables,
comme j'ai eu occasion de l'exposer spécialement pour un autre motif
dans la troisième leçon. On doit alors faire dépendre la mesure de la
droite proposée d'autres mesures analogues, susceptibles d'être
immédiatement effectuées. Il y a donc nécessairement une première étude
géométrique distincte, exclusivement consacrée à la ligne droite; elle a
pour objet de déterminer les lignes droites, les unes par les autres,
d'après les relations propres aux figures quelconques résultant de leur
assemblage. Cette partie préliminaire de la géométrie, qui semble pour
ainsi dire imperceptible quand on envisage l'ensemble de la science, est
néanmoins susceptible d'un très-grand développement, lorsqu'on veut la
traiter dans toute son étendue. Elle est évidemment d'autant plus
importante, que, toutes les mesures géométriques devant se ramener,
autant que possible, à celle des lignes droites, l'impossibilité de
déterminer ces dernières suffirait pour rendre incomplète la solution de
chaque question quelconque.
Telles sont donc, suivant leur enchaînement naturel, les diverses
parties fondamentales de la géométrie rationnelle. On voit que, pour
suivre dans son étude générale un ordre vraiment dogmatique, il faut
considérer d'abord la géométrie des lignes, en commençant par la ligne
droite, et passer ensuite à la géométrie des surfaces, pour traiter
enfin celle des volumes. Il y a lieu de s'étonner, sans doute, qu'une
classification méthodique qui dérive aussi simplement de la nature même
de la science n'ait pas été constamment suivie.
Après avoir déterminé avec précision l'objet général et définitif des
recherches géométriques, il faut maintenant considérer la science sous
le rapport du champ embrassé par chacune de ses trois sections
fondamentales.
Ainsi envisagée, la géométrie est évidemment susceptible, par sa
nature, d'une extension rigoureusement indéfinie; car la mesure des
lignes, des surfaces ou des volumes, présente nécessairement autant de
questions distinctes que l'on peut concevoir de formes différentes,
assujetties à des définitions exactes, et le nombre en est évidemment
infini.
Les géomètres se sont bornés d'abord à considérer les formes les plus
simples que la nature leur fournissait immédiatement, ou qui se
déduisaient de ces élémens primitifs par les combinaisons les moins
compliquées. Mais ils ont senti, depuis Descartes, que, pour constituer
la science de la manière la plus philosophique, il fallait
nécessairement la faire porter, en général, sur toutes les formes
imaginables. Ils ont ainsi acquis la certitude raisonnée que cette
géométrie abstraite comprendrait inévitablement, comme cas particuliers,
toutes les diverses formes réelles que le monde extérieur pourrait
présenter, de façon à n'être jamais pris au dépourvu. Si, au contraire,
on s'était toujours réduit à la seule considération de ces formes
naturelles, sans s'y être préparé par une étude générale et par l'examen
spécial de certaines formes hypothétiques plus simples, il est clair que
les difficultés auraient été le plus souvent insurmontables au moment de
l'application effective. C'est donc un principe fondamental, dans la
géométrie vraiment rationnelle, que la nécessité de considérer, autant
que possible, toutes les formes qu'on peut concevoir rigoureusement.
L'examen le moins approfondi suffit pour faire comprendre que ces formes
présentent une variété tout-à-fait infinie. Relativement aux lignes
courbes, en les regardant comme engendrées par le mouvement d'un point
assujetti à une certaine loi, il est clair qu'on aura, en général,
autant de courbes différentes que l'on supposera de lois différentes
pour ce mouvement, qui peut évidemment s'opérer suivant une infinité de
conditions distinctes, quoiqu'il puisse arriver accidentellement
quelquefois que de nouvelles générations produisent des courbes déjà
obtenues. Ainsi, pour me borner aux seules courbes planes, si un point
se meut de manière à rester constamment à la même distance d'un point
fixe, il engendrera un cercle; si c'est la somme ou la différence de ses
distances à deux points fixes qui demeure constante, la courbe décrite
sera une ellipse ou une hyperbole; si c'est leur produit, on aura une
courbe toute différente; si le point s'écarte toujours également d'un
point fixe et d'une droite fixe, il décrira une parabole; s'il tourne
sur un cercle en même temps que ce cercle roule sur une ligne droite, on
aura une cycloïde; s'il s'avance le long d'une droite, tandis que cette
droite, fixée par une de ses extrémités, tourne d'une manière
quelconque, il en résultera ce qu'on appelle, en général, des spirales
qui, à elles seules, présentent évidemment autant de courbes
parfaitement distinctes, qu'on peut supposer de relations différentes
entre ces deux mouvemens de translation et de rotation, etc., etc.
Chacune de ces diverses courbes peut ensuite en fournir de nouvelles,
par les différentes constructions générales que les géomètres ont
imaginées, et qui donnent naissance aux développées, aux épicycloïdes,
aux caustiques, etc., etc. Enfin il existe évidemment une variété encore
plus grande parmi les courbes à double courbure.
Relativement aux surfaces, les formes en sont nécessairement bien plus
diverses encore, en les regardant comme engendrées par le mouvement des
lignes. En effet, la forme peut alors varier, non seulement en
considérant, comme dans les courbes, les différentes lois en nombre
infini auxquelles peut être assujetti le mouvement de la ligne
génératrice, mais aussi en supposant que cette ligne elle-même vienne à
changer de nature, ce qui n'a pas d'analogue dans les courbes, les
points qui les décrivent ne pouvant avoir aucune figure distincte. Deux
classes de conditions très-diverses peuvent donc faire varier les formes
des surfaces, tandis qu'il n'en existe qu'une seule pour les lignes. Il
est inutile de citer spécialement une série d'exemples propres à
vérifier cette multiplicité doublement infinie qu'on remarque parmi les
surfaces. Il suffirait, pour s'en faire une idée, de considérer
l'extrême variété que présente le seul groupe des surfaces dites
_réglées_, c'est-à-dire engendrées par une ligne droite, et qui comprend
toute la famille des surfaces cylindriques, celle des surfaces coniques,
la classe plus générale des surfaces développantes quelconques, etc. Par
rapport aux volumes, il n'y a lieu à aucune considération spéciale,
puisqu'ils ne se distinguent entr'eux que par les surfaces qui les
terminent.
Afin de compléter cet aperçu géométrique, il faut ajouter que les
surfaces elles-mêmes fournissent un nouveau moyen général de concevoir
des courbes nouvelles, puisque toute courbe peut être envisagée comme
produite par l'intersection de deux surfaces. C'est ainsi, en effet,
qu'ont été obtenues les premières lignes qu'on puisse regarder comme
vraiment inventées par les géomètres, puisque la nature donnait
immédiatement la ligne droite et le cercle. On sait que l'ellipse, la
parabole et l'hyperbole, les seules courbes complétement étudiées par
les anciens, avaient été seulement conçues, dans l'origine, comme
résultant de l'intersection d'un cône à base circulaire par un plan
diversement situé. Il est évident que par l'emploi combiné de ces
différens moyens généraux pour la formation des lignes et des surfaces,
on pourrait produire une suite rigoureusement infinie de formes
distinctes, en partant seulement d'un très-petit nombre de figures
directement fournies par l'observation.
Du reste, tous les divers moyens immédiats pour l'invention des formes,
n'ont presque plus aucune importance, depuis que la géométrie
rationnelle a pris, entre les mains de Descartes, son caractère
définitif. En effet, comme nous le verrons spécialement dans la douzième
leçon, l'invention des formes se réduit aujourd'hui à l'invention des
équations, en sorte que rien n'est plus aisé que de concevoir de
nouvelles lignes et de nouvelles surfaces, en changeant à volonté les
fonctions introduites dans les équations. Ce simple procédé abstrait
est, sous ce rapport, infiniment plus fécond que les ressources
géométriques directes, développées par l'imagination la plus puissante,
qui s'appliquerait uniquement à cet ordre de conceptions. Il explique
d'ailleurs, de la manière la plus générale et la plus sensible, la
variété nécessairement infinie des formes géométriques, qui correspond
ainsi à la diversité des fonctions analytiques. Enfin, il montre non
moins clairement que les différentes formes de surfaces doivent être
encore plus multipliées que celles des lignes, puisque les lignes sont
représentées analytiquement par des équations à deux variables, tandis
que les surfaces donnent lieu à des équations à trois variables, qui
présentent nécessairement une plus grande diversité.
Les considérations précédemment indiquées suffisent pour montrer
nettement l'extension rigoureusement infinie que comporte, par sa
nature, chacune des trois sections générales de la géométrie,
relativement aux lignes, aux surfaces et aux volumes, en résultat de la
variété infinie des corps à mesurer.
Pour achever de nous faire une idée exacte et suffisamment étendue de la
nature des recherches géométriques, il est maintenant indispensable de
revenir sur la définition générale donnée ci-dessus, afin de la
présenter sous un nouveau point de vue, sans lequel l'ensemble de la
science ne serait que fort imparfaitement conçu.
En assignant pour but à la géométrie la _mesure_ de toutes les sortes de
lignes, de surfaces et de volumes, c'est-à-dire, comme je l'ai expliqué,
la réduction de toutes les comparaisons géométriques à de simples
comparaisons de lignes droites, nous avons évidemment l'avantage
d'indiquer une destination générale très-précise et très-facile à
saisir. Mais, si écartant toute définition, on examine la composition
effective de la science géométrique, on sera d'abord porté à regarder la
définition précédente comme beaucoup trop étroite, car il n'est pas
douteux que la majeure partie des recherches qui constituent notre
géométrie actuelle ne paraissent nullement avoir pour objet la _mesure_
de l'étendue. C'est probablement une telle considération qui maintient
encore, pour la géométrie, l'usage de ces définitions vagues, qui ne
comprennent tout que parce qu'elles ne caractérisent rien. Je crois
néanmoins, malgré cette objection fondamentale, pouvoir persister à
indiquer la _mesure_ de l'étendue comme le but général et uniforme de la
science géométrique, et en y comprenant cependant tout ce qui entre dans
sa composition réelle. En effet, si, au lieu de se borner à considérer
isolément les diverses recherches géométriques, on s'attache à saisir
les questions principales, par rapport auxquelles toutes les autres,
quelque importantes qu'elles soient, ne doivent être regardées que comme
secondaires, on finira par reconnaître que la _mesure_ des lignes, des
surfaces et des volumes, est le but invariable, quelquefois _direct_, et
le plus souvent _indirect_, de tous les travaux géométriques. Cette
proposition générale étant fondamentale, puisqu'elle peut seule donner à
notre définition toute sa valeur, il est indispensable d'entrer à ce
sujet dans quelques développemens.
En examinant avec attention les recherches géométriques qui ne
paraissent point se rapporter à la _mesure_ de l'étendue, on trouve
qu'elles consistent essentiellement dans l'étude des diverses
_propriétés_ de chaque ligne ou de chaque surface, c'est-à-dire, en
termes précis, dans la connaissance des différens modes de génération,
ou du moins de définition, propres à chaque forme que l'on considère.
Or, on peut aisément établir, de la manière la plus générale, la
relation nécessaire d'une telle étude avec la question de _mesure_, pour
laquelle la connaissance la plus complète possible des propriétés de
chaque forme est un préliminaire indispensable. C'est ce que concourent
à prouver deux considérations également fondamentales, quoique de nature
tout-à-fait distincte.
La première, purement scientifique, consiste à remarquer que si l'on ne
connaissait, pour chaque ligne ou pour chaque surface, d'autre propriété
caractéristique que celle d'après laquelle les géomètres l'ont
primitivement conçue, il serait le plus souvent impossible de parvenir à
la solution des questions relatives à sa _mesure_. En effet, il est
facile de sentir que les différentes définitions dont chaque forme est
susceptible ne sont pas toutes également propres à une telle
destination, et qu'elles présentent même, sous ce rapport, les
oppositions les plus complètes. Or, d'un autre côté, la définition
primitive de chaque forme n'ayant pu évidemment être choisie d'après
cette condition, il est clair qu'on ne doit pas s'attendre, en général,
à la trouver la plus convenable; d'où résulte la nécessité d'en
découvrir d'autres, c'est à dire d'étudier, autant que possible, les
_propriétés_ de la forme proposée. Qu'on suppose, par exemple, que le
cercle soit défini, la courbe qui, sous le même contour, renferme la
plus grande aire, ce qui est certainement une propriété tout-à-fait
caractéristique, on éprouverait évidemment des difficultés
insurmontables pour déduire d'un tel point de départ la solution des
questions fondamentales relatives à la rectification ou à la quadrature
de cette courbe. Il est clair, _à priori_, que la propriété d'avoir tous
ses points à égale distance d'un point fixe, doit nécessairement
s'adapter bien mieux à des recherches de cette nature, sans qu'elle soit
précisément la plus convenable. De même, Archimède eût-il jamais pu
découvrir la quadrature de la parabole, s'il n'avait connu de cette
courbe d'autre propriété que d'être la section d'un cône à base
circulaire, par un plan parallèle à sa génératrice? Les travaux purement
spéculatifs des géomètres précédens, pour transformer cette première
définition, ont évidemment été des préliminaires indispensables à la
solution directe d'une telle question. Il en est de même, à plus forte
raison, relativement aux surfaces. Il suffirait, pour s'en faire une
juste idée, de comparer, par exemple, quant à la question de la cubature
ou de la quadrature, la définition ordinaire de la sphère avec celle,
non moins caractéristique sans doute, qui consisterait à regarder un
corps sphérique comme celui qui, sous la même aire, contient le plus
grand volume.
Je n'ai pas besoin d'indiquer un plus grand nombre d'exemples pour faire
comprendre, en général, la nécessité de connaître, autant que possible,
toutes les propriétés de chaque ligne ou de chaque surface, afin de
faciliter la recherche des rectifications, des quadratures, et des
cubatures, qui constitue l'objet final de la géométrie. On peut même
dire que la principale difficulté des questions de ce genre consiste à
employer, dans chaque cas, la propriété qui s'adapte le mieux à la
nature du problème proposé. Ainsi en continuant à indiquer, pour plus de
précision, la mesure de l'étendue, comme la destination générale de la
géométrie, cette première considération, qui touche directement au fond
du sujet, démontre clairement la nécessité d'y comprendre l'étude,
aussi approfondie que possible, des diverses générations ou définitions
propres à une même forme.
Un second motif, d'une importance au moins égale, consiste en ce qu'une
telle étude est indispensable pour organiser, d'une manière rationnelle,
la relation de l'abstrait au concret en géométrie.
La science géométrique devant considérer, ainsi que je l'ai indiqué
ci-dessus, toutes les formes imaginables qui comportent une définition
exacte, il en résulte nécessairement, comme nous l'avons remarqué, que
les questions relatives aux formes quelconques présentées par la nature,
sont toujours implicitement comprises dans cette géométrie abstraite,
supposée parvenue à sa perfection. Mais quand il faut passer
effectivement à la géométrie concrète, on rencontre constamment une
difficulté fondamentale, celle de savoir auxquels des différens types
abstraits on doit rapporter, avec une approximation suffisante, les
lignes ou les surfaces réelles qu'il s'agit d'étudier. Or, c'est pour
établir une telle relation qu'il est particulièrement indispensable de
connaître le plus grand nombre possible de propriétés de chaque forme
considérée en géométrie.
En effet, si l'on se bornait toujours à la seule définition primitive
d'une ligne ou d'une surface, en supposant même qu'on pût alors la
_mesurer_ (ce qui, d'après le premier genre de considérations, serait
le plus souvent impossible), ces connaissances resteraient presque
nécessairement stériles dans l'application, puisqu'on ne saurait point
ordinairement reconnaître cette forme dans la nature, quand elle s'y
présenterait. Il faudrait pour cela que le caractère unique, d'après
lequel les géomètres l'auraient conçue, fût précisément celui dont les
circonstances extérieures comporteraient la vérification, coïncidence
purement fortuite, sur laquelle évidemment on ne doit pas compter, bien
qu'elle puisse avoir lieu quelquefois. Ce n'est donc qu'en multipliant
autant que possible les propriétés caractéristiques de chaque forme
abstraites, que nous pouvons être assurés d'avance de la reconnaître à
l'état concret, et d'utiliser ainsi tous nos travaux rationnels, en
vérifiant, dans chaque cas, la définition qui est susceptible d'être
constatée directement. Cette définition est presque toujours unique dans
des circonstances données, et varie, au contraire, pour une même forme,
avec des circonstances différentes: double motif de détermination.
La géométrie céleste nous fournit, à cet égard, l'exemple le plus
mémorable, bien propre à mettre en évidence la nécessité générale d'une
telle étude. On sait, en effet, que l'ellipse a été reconnue par Képler
comme étant la courbe que décrivent les planètes autour du soleil et les
satellites autour de leurs planètes. Or, cette découverte fondamentale,
qui a renouvelé l'astronomie, eût-elle jamais été possible, si l'on
s'était toujours borné à concevoir l'ellipse comme la section oblique
d'un cône circulaire par un plan? Aucune telle définition ne pouvait
évidemment comporter une semblable vérification. La propriété la plus
usuelle de l'ellipse, que la somme des distances de tous ses points à
deux points fixes soit constante, est bien plus susceptible sans doute,
par sa nature, de faire reconnaître la courbe dans ce cas; mais elle
n'est point encore directement convenable. Le seul caractère qui puisse
être alors vérifié immédiatement, est celui qu'on tire de la relation
qui existe dans l'ellipse entre la longueur des distances focales et
leur direction, l'unique relation qui admette une interprétation
astronomique, comme exprimant la loi qui lie la distance de la planète
au soleil au temps écoulé depuis l'origine de sa révolution. Il a donc
fallu que les travaux purement spéculatifs des géomètres grecs sur les
propriétés des sections coniques eussent préalablement présenté leur
génération sous une multitude de points de vue différens, pour que
Képler ait pu passer ainsi de l'abstrait au concret, en choisissant
parmi tous ces divers caractères celui qui pouvait le plus facilement
être constaté pour les orbites planétaires.
Je puis citer encore un exemple du même ordre, relativement aux
surfaces, en considérant l'importante question de la figure de la terre.
Si on n'avait jamais connu d'autre propriété de la sphère que son
caractère primitif d'avoir tous ses points également distans d'un point
intérieur, comment aurait-on pu jamais découvrir que la surface de la
terre était sphérique? Il a été nécessaire pour cela de déduire
préalablement de cette définition de la sphère quelques propriétés
susceptibles d'être vérifiées par des observations effectuées uniquement
à la surface, comme, par exemple, le rapport constant qui existe pour la
sphère entre la longueur du chemin parcouru le long d'un méridien
quelconque en s'avançant vers un pôle, et la hauteur angulaire de ce
pôle sur l'horizon en chaque point. Il en a été évidemment de même, et
avec une bien plus longue suite de spéculations préliminaires, pour
constater plus tard que la terre n'était point rigoureusement sphérique,
mais que sa forme est celle d'un ellipsoïde de révolution.
Après de tels exemples, il serait sans doute inutile d'en rapporter
d'autres, que chacun peut d'ailleurs aisément multiplier. On y vérifiera
toujours que, sans une connaissance très-étendue des diverses
propriétés de chaque forme, la relation de l'abstrait au concret en
géométrie serait purement accidentelle, et que, par conséquent, la
science manquerait de l'un de ses fondemens les plus essentiels.
Tels sont donc les deux motifs généraux qui démontrent pleinement la
nécessité d'introduire en géométrie une foule de recherches qui n'ont
pas pour objet direct la _mesure_ de l'étendue, en continuant cependant
à concevoir une telle mesure comme la destination finale de toute la
science géométrique. Ainsi, nous pouvons conserver les avantages
philosophiques que présentent la netteté et la précision de cette
définition, et y comprendre néanmoins, d'une manière très-rationnelle,
quoiqu'indirecte, toutes les recherches géométriques connues, en
considérant celles qui ne paraissent point se rapporter à la _mesure_ de
l'étendue, comme destinées soit à préparer la solution des questions
finales, soit à permettre l'application des solutions obtenues.
Après avoir reconnu, en thèse générale, les relations intimes et
nécessaires de l'étude des propriétés des lignes et des surfaces avec
les recherches qui constituent l'objet définitif de la géométrie, il est
d'ailleurs évident que, dans la suite de leurs travaux, les géomètres ne
doivent nullement s'astreindre à ne jamais perdre de vue un tel
enchaînement. Sachant, une fois pour toutes, combien il importe de
varier le plus possible les manières de concevoir chaque forme, ils
doivent poursuivre cette étude sans considérer immédiatement de quelle
utilité peut être telle ou telle propriété spéciale pour les
rectifications, les quadratures ou les cubatures. Ils entraveraient
inutilement leurs recherches, en attachant une importance puérile à
l'établissement continu de cette coordination. L'esprit humain doit
procéder, à cet égard, comme il le fait en toute occasion semblable,
quand, après avoir conçu, en général, la destination d'une certaine
étude, il s'attache exclusivement à la pousser le plus loin possible, en
faisant complétement abstraction de cette relation, dont la
considération perpétuelle compliquerait tous ses travaux.
L'explication générale que je viens d'exposer est d'autant plus
indispensable, que, par la nature même du sujet, cette étude des
diverses propriétés de chaque ligne et de chaque surface compose
nécessairement la très-majeure partie de l'ensemble des recherches
géométriques. En effet, les questions immédiatement relatives aux
rectifications, aux quadratures et aux cubatures, sont évidemment, par
elles-mêmes, en nombre fort limité pour chaque forme considérée. Au
contraire, l'étude des propriétés d'une même forme présente à
l'activité de l'esprit humain un champ naturellement indéfini, où l'on
peut toujours espérer de faire de nouvelles découvertes. Ainsi, par
exemple, quoique les géomètres se soient occupés depuis vingt siècles,
avec plus ou moins d'activité sans doute, mais sans aucune interruption
réelle, de l'étude des sections coniques, ils sont loin de regarder ce
sujet si simple comme épuisé; et il est certain en effet qu'en
continuant à s'y livrer, on ne manquerait pas de trouver encore des
propriétés inconnues de ces diverses courbes. Si les travaux de ce genre
se sont considérablement ralentis depuis environ un siècle, ce n'est pas
qu'ils soient terminés; cela tient seulement, comme je l'expliquerai
tout-à-l'heure, à ce que la révolution philosophique opérée en géométrie
par Descartes a dû singulièrement diminuer l'importance de semblables
recherches.
Il résulte des considérations précédentes que non-seulement le champ de
la géométrie est nécessairement infini à cause de la variété des formes
à considérer, mais aussi en vertu de la diversité des points de vue sous
lesquels une même forme peut être envisagée. Cette dernière conception
est même celle qui donne l'idée la plus large et la plus complète de
l'ensemble des recherches géométriques. On voit que les études de ce
genre consistent essentiellement, pour chaque ligne ou pour chaque
surface, à rattacher tous les phénomènes géométriques qu'elle peut
présenter à un seul phénomène fondamental, regardé comme définition
primitive.
Après avoir exposé, d'une manière générale et pourtant précise, l'objet
final de la géométrie, et montré comment la science, ainsi définie,
comprend une classe de recherches très-étendue qui ne paraissaient point
d'abord s'y rapporter nécessairement, il me reste à considérer, dans son
ensemble, la méthode à suivre pour la formation de cette science. Cette
dernière explication est indispensable pour compléter ce premier aperçu
du caractère philosophique de la géométrie. Je me bornerai en ce moment
à indiquer à cet égard la considération la plus générale, cette
importante notion fondamentale devant être développée et précisée dans
les leçons suivantes.
L'ensemble des questions géométriques peut être traité suivant deux
méthodes tellement différentes, qu'il en résulte, pour ainsi dire, deux
sortes de géométries, dont le caractère philosophique ne me semble pas
avoir été encore convenablement saisi. Les expressions de géométrie
_synthétique_ et géométrie _analytique_, habituellement employées pour
les désigner, en donnent une très-fausse idée. Je préférerais de
beaucoup les dénominations purement historiques de _géométrie des
anciens_ et _géométrie des modernes_, qui ont, du moins, l'avantage de
ne pas faire méconnaître leur vrai caractère. Mais je propose d'employer
désormais les expressions régulières de _géométrie spéciale_ et
_géométrie générale_, qui me paraissent propres à caractériser avec
précision la véritable nature des deux méthodes.
Ce n'est point, en effet, dans l'emploi du calcul, comme on le pense
communément, que consiste précisément la différence fondamentale entre
la manière dont nous concevons la géométrie depuis Descartes, et la
manière dont les géomètres de l'antiquité traitaient les questions
géométriques. Il est certain, d'une part, que l'usage du calcul ne leur
était point entièrement inconnu, puisqu'ils faisaient, dans leur
géométrie, des applications continuelles et fort étendues de la théorie
des proportions, qui était pour eux, comme moyen de déduction, une sorte
d'équivalent réel, quoique très-imparfait et surtout extrêmement borné,
de notre algèbre actuelle. On peut même employer le calcul d'une manière
beaucoup plus complète qu'ils ne l'ont fait pour obtenir certaines
solutions géométriques, qui n'en auront pas moins le caractère essentiel
de la géométrie ancienne; c'est ce qui arrive très-fréquemment, par
rapport à ces problèmes de géométrie à deux ou à trois dimensions,
qu'on désigne vulgairement sous le nom de _déterminés_. D'un autre côté,
quelque capitale que soit l'influence du calcul dans notre géométrie
moderne, plusieurs solutions, obtenues sans algèbre, peuvent manifester
quelquefois le caractère propre qui la distingue de la géométrie
ancienne, quoique, en thèse générale, l'analyse soit indispensable; j'en
citerai, comme exemple, la méthode de Roberval pour les tangentes, dont
la nature est essentiellement moderne, et qui cependant conduit, en
certains cas, à des solutions complètes, sans aucun secours du calcul.
Ce n'est donc point par l'instrument de déduction employé qu'on doit
principalement distinguer les deux marches que l'esprit humain peut
suivre en géométrie.
La différence fondamentale, jusqu'ici imparfaitement saisie, me paraît
consister réellement dans la nature même des questions considérées. En
effet, la géométrie, envisagée dans son ensemble, et supposée parvenue à
son entière perfection, doit, comme nous l'avons vu, d'une part,
embrasser toutes les formes imaginables, et d'une autre part, découvrir
toutes les propriétés de chaque forme. Elle est susceptible, d'après
cette double considération, d'être traitée suivant deux plans
essentiellement distinctifs: soit en groupant ensemble toutes les
questions, quelque diverses qu'elles soient, qui concernent une même
forme, et isolant celles relatives à des corps différens, quelque
analogie qui puisse exister entre elles; soit, au contraire, en
réunissant sous un même point de vue toutes les recherches semblables, à
quelques formes diverses qu'elles se rapportent d'ailleurs, et séparant
les questions relatives aux propriétés réellement différentes d'un même
corps. En un mot, l'ensemble de la géométrie peut être essentiellement
ordonné ou par rapport aux corps étudiés, ou par rapport aux phénomènes
à considérer. Le premier plan, qui est le plus naturel, a été celui des
anciens; le second, infiniment plus rationnel, est celui des modernes
depuis Descartes.
Tel est, en effet, le caractère principal de la géométrie ancienne,
qu'on étudiait, une à une, les diverses lignes et les diverses surfaces,
ne passant à l'examen d'une nouvelle forme que lorsqu'on croyait avoir
épuisé tout ce que pouvaient offrir d'intéressant les formes connues
jusqu'alors. Dans cette manière de procéder, quand on entreprenait
l'étude d'une courbe nouvelle, l'ensemble des travaux exécutés sur les
précédentes ne pouvait présenter directement aucune ressource
essentielle, autrement que par l'exercice géométrique auquel il avait
dressé l'intelligence. Quelle que pût être la similitude réelle des
questions proposées sur deux formes différentes, les connaissances
complètes acquises pour l'une ne pouvaient nullement dispenser de
reprendre pour l'autre l'ensemble de la recherche. Aussi la marche de
l'esprit n'était-elle jamais assurée; en sorte qu'on ne pouvait être
certain d'avance d'obtenir une solution quelconque, quelqu'analogue que
fût le problème proposé à des questions déjà résolues. Ainsi, par
exemple, la détermination des tangentes aux trois sections coniques ne
fournissait aucun secours rationnel pour mener la tangente à
quelqu'autre courbe nouvelle, comme le conchoïde, la cissoïde, etc. En
un mot, la géométrie des anciens était, suivant l'expression proposée
ci-dessus, essentiellement _spéciale_.
Dans le système des modernes, la géométrie est, au contraire, éminemment
_générale_, c'est-à-dire, relative à des formes quelconques. Il est aisé
de comprendre d'abord que toutes les questions géométriques de
quelqu'intérêt peuvent être proposées par rapport à toutes les formes
imaginables. C'est ce qu'on voit directement pour les problèmes
fondamentaux, qui constituent, d'après les explications données dans
cette leçon, l'objet définitif de la géométrie, c'est-à-dire, les
rectifications, les quadratures, et les cubatures. Mais cette remarque
n'est pas moins incontestable, même pour les recherches relatives aux
diverses _propriétés_ des lignes et des surfaces, et dont les plus
essentielles, telles que la question des tangentes ou des plans tangens,
la théorie des courbures, etc., sont évidemment communes à toutes les
formes quelconques. Les recherches très-peu nombreuses qui sont vraiment
particulières à telle ou telle forme n'ont qu'une importance extrêmement
secondaire. Cela posé, la géométrie moderne consiste essentiellement à
abstraire, pour la traiter à part, d'une manière entièrement générale,
toute question relative à un même phénomène géométrique, dans quelques
corps qu'il puisse être considéré. L'application des théories
universelles ainsi construites à la détermination spéciale du phénomène
dont il s'agit dans chaque corps particulier, n'est plus regardée que
comme un travail subalterne, à exécuter suivant des règles invariables
et dont le succès est certain d'avance. Ce travail est, en un mot, du
même ordre que l'évaluation numérique d'une formule analytique
déterminée. Il ne peut y avoir sous ce rapport d'autre mérite que celui
de présenter, dans chaque cas, la solution nécessairement fournie par la
méthode générale, avec toute la simplicité et l'élégance que peut
comporter la ligne ou la surface considérée. Mais on n'attache
d'importance réelle qu'à la conception et à la solution complète d'une
nouvelle question propre à une forme quelconque. Les travaux de ce
genre sont seuls regardés comme faisant faire à la science de véritables
pas. L'attention des géomètres, ainsi dispensée de l'examen des
particularités des diverses formes, et dirigée tout entière vers les
questions générales, a pu s'élever par là à la considération de
nouvelles notions géométriques, qui, appliquées aux courbes étudiées par
les anciens, en ont fait découvrir des propriétés importantes qu'ils
n'avaient pas même soupçonnées. Telle est la géométrie depuis la
révolution radicale opérée par Descartes dans le système général de la
science.
La simple indication du caractère fondamental propre à chacune des deux
géométries, suffit sans doute pour mettre en évidence l'immense
supériorité nécessaire de la géométrie moderne. On peut même dire
qu'avant la grande conception de Descartes, la géométrie rationnelle
n'était pas vraiment constituée sur des bases définitives, soit sous le
rapport abstrait, soit sous le rapport concret. En effet, pour la
science considérée spéculativement, il est clair qu'en continuant
indéfiniment, comme l'ont fait les modernes avant Descartes et même un
peu après, à suivre la marche des anciens, en ajoutant quelques
nouvelles courbes au petit nombre de celles qu'ils avaient étudiées, les
progrès, quelque rapides qu'ils eussent pû être, n'auraient été, après
une longue suite de siècles, que fort peu considérables par rapport au
système général de la géométrie, vu l'infinie variété des formes qui
seraient toujours restées à étudier. Au contraire, à chaque question
résolue suivant la marche des modernes, le nombre des problèmes
géométriques à résoudre se trouve, une fois pour toutes, diminué
d'autant, par rapport à tous les corps possibles. Sous un second point
de vue, du défaut complet de méthodes générales il résultait que les
géomètres anciens, dans toutes leurs recherches, étaient entièrement
abandonnés à leurs propres forces, sans avoir jamais la certitude
d'obtenir tôt ou tard une solution quelconque. Si cette imperfection de
la science était éminemment propre à mettre dans tout son jour leur
admirable sagacité, elle devait rendre leurs progrès extrêmement lents:
on peut s'en faire une idée par le temps considérable qu'ils ont employé
à l'étude des sections coniques. La géométrie moderne, assurant d'une
manière invariable la marche de notre esprit, permet, au contraire,
d'utiliser au plus haut degré possible les forces de l'intelligence, que
les anciens devaient consumer fréquemment sur des questions bien peu
importantes.
Une différence non moins capitale se manifeste entre les deux systèmes,
quand on vient à considérer la géométrie sous le rapport concret. En
effet, nous avons remarqué plus haut que la relation de l'abstrait au
concret en géométrie ne peut être solidement fondée sur des bases
rationnelles qu'autant qu'on fait directement porter les recherches sur
toutes les formes imaginables. En n'étudiant les lignes et les surfaces
qu'une à une, quel que soit le nombre, toujours nécessairement fort
petit, de celles qu'on aura considérées, l'application de théories
semblables aux formes réellement existantes dans la nature n'aura jamais
qu'un caractère essentiellement accidentel, puisque rien n'assure que
ces formes pourront effectivement rentrer dans les types abstraits
envisagés par les géomètres.
Il y a certainement, par exemple, quelque chose de fortuit dans
l'heureuse relation qui s'est établie entre les spéculations des
géomètres grecs sur les sections coniques et la détermination des
véritables orbites planétaires. En continuant sur le même plan les
travaux géométriques, on n'avait point, en général, le droit d'espérer
de semblables coïncidences; et il eût été possible, dans ces études
spéciales, que les recherches des géomètres se fussent dirigées sur des
formes abstraites indéfiniment inapplicables, tandis qu'ils en auraient
négligé d'autres, susceptibles peut-être d'une application importante et
prochaine. Il est clair, du moins, que rien ne garantissait
positivement l'applicabilité nécessaire des spéculations géométriques.
Il en est tout autrement dans la géométrie moderne. Par cela seul qu'on
y procède par questions générales, relatives à des formes quelconques,
on a d'avance la certitude évidente que les formes réalisées dans le
monde extérieur se sauraient jamais échapper à chaque théorie, si le
phénomène géométrique qu'elle envisage vient à s'y présenter.
Par ces diverses considérations, on voit que le système de géométrie des
anciens porte essentiellement le caractère de l'enfance de la science,
qui n'a commencé à devenir complétement rationnelle que par suite de la
révolution philosophique opérée par Descartes. Mais il est évident, d'un
autre côté, que la géométrie n'a pu être conçue d'abord que de cette
manière _spéciale_. La géométrie _générale_ n'eût point été possible, et
la nécessité n'eût pu même en être sentie, si une longue suite de
travaux spéciaux sur les formes les plus simples n'avait point
préalablement fourni des bases à la conception de Descartes, et rendu
sensible l'impossibilité de persister indéfiniment dans la philosophie
géométrique primitive.
En précisant autant que possible cette dernière considération, il faut
même en conclure que, quoique la géométrie que j'ai appelé _générale_
doive être aujourd'hui regardée comme la seule véritable géométrie
dogmatique, celle à laquelle nous nous bornerons essentiellement,
l'autre n'ayant plus, principalement, qu'un intérêt historique,
néanmoins il n'est pas possible de faire disparaître entièrement la
géométrie _spéciale_ dans une exposition rationnelle de la science. On
peut sans doute se dispenser, comme on l'a fait depuis environ un
siècle, d'emprunter directement à la géométrie ancienne tous les
résultats qu'elle a fournis. Les recherches les plus étendues et les
plus difficiles dont elle était composée, ne sont plus même
habituellement présentées aujourd'hui que d'après la méthode moderne.
Mais, par la nature même du sujet, il est nécessairement impossible de
se passer absolument de la méthode ancienne, qui, quoi qu'on fasse,
servira toujours dogmatiquement de base préliminaire à la science, comme
elle l'a fait historiquement. Le motif en est facile à comprendre. En
effet, la géométrie _générale_ étant essentiellement fondée, comme nous
l'établirons bientôt, sur l'emploi du calcul, sur la transformation des
considérations géométriques en considérations analytiques, une telle
manière de procéder ne saurait s'emparer du sujet immédiatement à son
origine. Nous savons que l'application de l'analyse mathématique, par
sa nature, ne peut jamais commencer aucune science quelconque,
puisqu'elle ne saurait avoir lieu que lorsque la science a déjà été
assez cultivée pour établir, relativement aux phénomènes considérés,
quelques _équations_ qui puissent servir de point de départ aux travaux
analytiques. Ces équations fondamentales une fois découvertes, l'analyse
permettra d'en déduire une multitude de conséquences, qu'il eût été même
impossible de soupçonner d'abord; elle perfectionnera la science à un
degré immense, soit sous le rapport de la généralité des conceptions,
soit quant à la coordination complète établie entre elles. Mais, pour
constituer les bases mêmes d'une science naturelle quelconque, jamais,
évidemment, la simple analyse mathématique ne saurait y suffire, pas
même pour les démontrer de nouveau lorsqu'elles ont été déjà fondées.
Rien ne peut dispenser, à cet égard, de l'étude directe du sujet,
poussée jusqu'au point de la découverte de relations précises. Tenter de
faire rentrer la science, dès son origine, dans le domaine du calcul, ce
serait vouloir imposer à des théories portant sur des phénomènes
effectifs, le caractère de simples procédés logiques, et les priver
ainsi de tout ce qui constitue leur corrélation nécessaire avec le monde
réel. En un mot, une telle opération philosophique, si par elle-même
elle n'était pas nécessairement contradictoire, ne saurait aboutir
évidemment qu'à replonger la science dans le domaine de la métaphysique,
dont l'esprit humain a eu tant de peine à se dégager complétement.
Ainsi, la géométrie des anciens aura toujours, par sa nature, une
première part nécessaire et plus ou moins étendue dans le système total
des connaissances géométriques. Elle constitue une introduction
rigoureusement indispensable à la géométrie _générale_. Mais c'est à
cela que nous devons la réduire dans une exposition complétement
dogmatique. Je considérerai donc directement, dans la leçon suivante,
cette géométrie _spéciale_ ou _préliminaire_, restreinte exactement à
ses limites nécessaires, pour ne plus m'occuper ensuite que de l'examen
philosophique de la géométrie _générale_ ou _définitive_, la seule
vraiment rationnelle, et qui aujourd'hui compose essentiellement la
science.