SOMMAIRE. Considérations générales sur le calcul aux différences finies.
Les diverses considérations fondamentales indiquées dans les cinq leçons
précédentes constituent réellement toutes les bases essentielles d'une
exposition complète de l'analyse mathématique, envisagée sous le point
de vue philosophique. Néanmoins, pour ne négliger aucune conception
générale vraiment importante relative à cette analyse, je crois devoir,
avant de passer à l'étude philosophique de la mathématique concrète,
expliquer très-sommairement le véritable caractère propre à un genre de
calcul fort étendu, et qui, bien que rentrant au fond dans l'analyse
ordinaire, est cependant encore regardé comme étant d'une nature
essentiellement distincte. Il s'agit de ce qu'on appelle le _calcul aux
différences finies_, qui sera le sujet spécial de cette leçon.
Ce calcul, créé par Taylor, dans son célèbre ouvrage intitulé _méthodes
incrumentorum_, consiste essentiellement, comme on sait, dans la
considération des accroissemens finis que reçoivent les fonctions par
suite d'accroissemens analogues de la part des variables
correspondantes. Ces accroissemens ou _différences_, auxquels on
applique la caractéristique /Delta, pour les distinguer des
_differentielles_ ou accroissemens infiniment petits, peuvent être, à
leur tour, envisagés comme de nouvelles fonctions, et devenir le sujet
d'une seconde considération semblable, et ainsi de suite, d'où résulte
la notion des différences des divers ordres successifs, analogues, au
moins en apparence, aux ordres consécutifs des différentielles. Un tel
calcul présente, évidemment, comme le calcul des fonctions indirectes,
deux classes générales de questions: 1º déterminer les différences
successives de toutes les diverses fonctions analytiques à une ou à
plusieurs variables, en résultat d'un mode d'accroissement défini des
variables indépendantes, que l'on suppose, en général, augmenter en
progression arithmétique; 2º réciproquement, en partant de ces
différences, ou, plus généralement, d'équations quelconques établies
entre elles, remonter aux fonctions primitives elles-mêmes, ou à leurs
relations correspondantes. D'où la décomposition de ce calcul total en
deux calculs distincts, auxquels on donne ordinairement les noms de
_calcul direct aux différences finies_, et de _calcul inverse aux
différences finies_, ce dernier étant aussi appelé quelquefois _calcul
intégral aux différences finies_. Chacun de ces deux calculs serait
d'ailleurs évidemment susceptible d'une distribution rationnelle
semblable à celle exposée dans la septième leçon pour le calcul
différentiel et le calcul intégral, ce qui me dispense d'en faire une
mention distincte.
Il n'est pas douteux que, par une telle conception, Taylor a cru fonder
un calcul d'une nature entièrement nouvelle, absolument distinct de
l'analyse ordinaire, et plus général que le calcul de Leïbnitz, quoique
consistant dans une considération analogue. C'est aussi de cette manière
que presque tous les géomètres ont jugé l'analyse de Taylor. Mais
Lagrange, avec sa profondeur habituelle, a clairement aperçu que ces
propriétés appartenaient bien plus aux formes et aux notations employées
par Taylor qu'au fond même de sa théorie. En effet, ce qui fait le
caractère propre de l'analyse de Leïbnitz, et la constitue en un calcul
vraiment distinct et supérieur, c'est que les fonctions dérivées sont,
en général, d'une toute autre nature que les fonctions primitives, en
sorte qu'elles peuvent donner lieu à des relations plus simples et d'une
formation plus facile, d'où résultent les admirables propriétés
fondamentales de l'analyse transcendante, expliquées dans les leçons
précédentes. Mais il n'en est nullement ainsi pour les _différences_
considérées par Taylor. Car ces différences sont, par leur nature, des
fonctions essentiellement semblables à celles qui les ont engendrées, ce
qui les rend impropres à faciliter l'établissement des équations, et ne
leur permet pas davantage de conduire à des relations plus générales.
Toute équation aux différences finies est vraiment, au fond, une
équation directement relative aux grandeurs mêmes dont on compare les
états successifs. L'échafaudage de nouveaux signes, qui fait illusion
sur le véritable caractère de ces équations, ne le déguise cependant que
d'une manière fort imparfaite, puisqu'on pourrait toujours le mettre
aisément en évidence en remplaçant constamment les _différences_ par les
combinaisons équivalentes des grandeurs primitives, dont elles ne sont
réellement autre chose que les désignations abrégées. Aussi, le calcul
de Taylor n'a-t-il jamais offert et ne peut-il offrir, dans aucune
question de géométrie ou de mécanique, ce puissant secours général que
nous avons vu résulter nécessairement de l'analyse de Leïbnitz. Lagrange
a, d'ailleurs, très-nettement établi que la prétendue analogie observée
entre le calcul aux différences et le calcul infinitésimal était
radicalement vicieuse, en ce sens que les formules propres au premier
calcul ne peuvent nullement fournir, comme cas particuliers, celles qui
conviennent au second, dont la nature est essentiellement distincte.
D'après l'ensemble de considérations que je viens d'indiquer, je crois
que le calcul aux différences finies est ordinairement classé à tort
dans l'analyse transcendante proprement dite, c'est-à-dire dans le
calcul des fonctions indirectes. Je le conçois, au contraire, en
adoptant pleinement les importantes réflexions de Lagrange, qui ne sont
pas encore suffisamment appréciées, comme étant seulement une branche
très-étendue et fort importante de l'analyse ordinaire, c'est-à-dire, de
ce que j'ai nommé le calcul des fonctions directes. Tel est, en effet,
ce me semble, son vrai caractère philosophique, que les équations qu'il
considère sont toujours, malgré la notation, de simples équations
_directes_.
En précisant, autant que possible, l'explication précédente, on doit
envisager le calcul de Taylor comme ayant constamment pour véritable
objet la théorie générale des _suites_, dont, avant cet illustre
géomètre, on n'avait encore considéré que les cas les plus simples.
J'aurais dû, rigoureusement, mentionner cette importante théorie en
traitant, dans la cinquième leçon, de l'algèbre proprement dite, dont
elle est une branche si étendue. Mais, afin d'éviter tout double emploi,
j'ai préféré ne la signaler qu'en considérant le calcul aux différences
finies, qui, réduit à sa plus simple expression générale, n'est autre
chose, dans toute son étendue, qu'une étude rationnelle complète des
questions relatives aux _suites_.
Toute _suite_, ou succession de nombres déduits les uns des autres
d'après une loi constante quelconque, donne lieu nécessairement à ces
deux questions fondamentales: 1º la loi de la suite étant supposée
connue, trouver l'expression de son terme général, de manière à pouvoir
calculer immédiatement un terme d'un rang quelconque, sans être obligé
de former successivement tous les précédens; 2º dans les mêmes
circonstances, déterminer la _somme_ d'un nombre quelconque de termes de
la suite en fonction de leurs rangs, en sorte qu'on puisse la connaître
sans être forcé d'ajouter continuellement ces termes les uns aux autres.
Ces deux questions fondamentales étant supposées résolues, on peut en
outre se proposer réciproquement de trouver la loi d'une série d'après
la forme de son terme général, ou l'expression de la somme. Chacun de
ses divers problèmes comporte d'autant plus d'étendue et de difficulté,
que l'on peut concevoir un plus grand nombre de _lois_ différentes pour
les séries, suivant le nombre de termes précédens dont chaque terme
dépend immédiatement, et suivant la fonction qui exprime cette
dépendance. On peut même considérer des séries à plusieurs indices
variables, comme l'a fait Laplace dans la _théorie analytique des
probabilités_, par l'analyse à laquelle il a donné le nom de _théorie
des fonctions génératrices_, bien qu'elle ne soit réellement qu'une
branche nouvelle et supérieure du calcul aux différences finies, ou de
la théorie générale des suites.
Les divers aperçus généraux que je viens d'indiquer ne donnent même
qu'une idée imparfaite de l'étendue et de la variété vraiment infinie
des questions auxquelles les géomètres se sont élevés d'après cette
seule considération des séries, si simple en apparence, et si bornée à
son origine. Elle présente nécessairement autant de cas divers que la
résolution algébrique des équations envisagée dans toute son étendue; et
elle est, par sa nature, beaucoup plus compliquée, tellement même
qu'elle en dépend toujours, pour conduire à une solution complète. C'est
assez faire pressentir quelle doit être encore son extrême imperfection,
malgré les travaux successifs de plusieurs géomètres du premier ordre.
Nous ne possédons, en effet, jusqu'ici que la solution totale et
rationnelle des plus simples questions de cette nature.
Il est maintenant aisé de concevoir l'identité nécessaire et parfaite
que j'ai annoncée ci-dessus, d'après les indications de Lagrange, entre
le calcul aux différences finies, et la théorie des suites prise dans
son ensemble. En effet, toute différentiation à la manière de Taylor
revient évidemment à trouver la _loi_ de formation d'une suite à un ou à
plusieurs indices variables, d'après l'expression de son terme général;
de même, toute intégration analogue peut être regardée comme ayant pour
objet la sommation d'une suite, dont le terme général serait exprimé par
la différence proposée. Sous ce rapport, les divers problèmes de calcul
aux différences, direct ou inverse, résolus par Taylor et par ses
successeurs, ont réellement une très-grande valeur, comme traitant des
questions importantes relativement aux suites. Mais il est fort douteux
que la forme et la notation introduites par Taylor apportent réellement
aucune facilité essentielle dans la solution des questions de ce genre.
Il serait peut-être plus avantageux pour la plupart des cas, et
certainement plus rationnel, de remplacer les _différences_ par les
termes mêmes dont elles désignent certaines combinaisons. Le calcul de
Taylor ne reposant pas sur une pensée fondamentale vraiment distincte,
et n'ayant de propre que son système de signes, il ne saurait y avoir
réellement, dans la supposition même la plus favorable, aucun avantage
important à le concevoir comme détaché de l'analyse ordinaire, dont il
n'est, à vrai dire, qu'une branche immense. Cette considération des
_différences_, le plus souvent inutile quand elle ne complique pas, me
semble conserver encore le caractère d'une époque où les idées
analytiques n'étant pas assez familières aux géomètres, ils devaient
naturellement préférer les formes spéciales propres aux simples
comparaisons numériques.
Quoi qu'il en soit, je ne dois pas terminer cette appréciation générale
du calcul aux différences finies, sans signaler une nouvelle notion à
laquelle il a donné naissance, et qui a pris ensuite une grande
importance. C'est la considération de ces fonctions _périodiques_ ou
_discontinues_, conservant toujours la même valeur pour une suite
infinie de valeurs assujéties à une certaine loi dans les variables
correspondantes, et qui doivent être nécessairement ajoutées aux
intégrales des équations aux différences finies pour les rendre
suffisamment générales, comme on ajoute de simples constantes
arbitraires à toutes les quadratures afin d'en compléter la généralité.
Cette idée, primitivement introduite par Euler, est devenue, dans ces
derniers temps, le sujet de travaux fort étendus de la part de M.
Fourier, qui l'a transportée dans le système général de l'analyse, et
qui en a fait un usage tellement neuf et si essentiel pour la théorie
mathématique de la chaleur que cette conception, dans son état actuel,
lui appartient vraiment d'une manière exclusive.
Afin de signaler complétement le caractère philosophique du calcul aux
différences finies, je ne dois pas négliger de mentionner ici rapidement
les principales applications générales qu'on en a faites jusqu'à
présent.
Il faudrait placer au premier rang, comme la plus étendue et la plus
importante, la solution des questions relatives aux suites, si, d'après
les explications données ci-dessus, la théorie générale des suites ne
devait pas être considérée comme constituant, par sa nature, le fond
même du calcul de Taylor. Cette grande classe de problèmes étant donc
écartée, la plus essentielle des véritables _applications_ de l'analyse
de Taylor, est sans doute, jusqu'ici, la méthode générale des
_interpolations_, si fréquemment et si utilement employée dans la
recherche des lois _empiriques_ des phénomènes naturels. La question
consiste, comme on sait, à intercaler, entre certains nombres donnés,
d'autres nombres intermédiaires assujétis à la même loi que l'on suppose
exister entre les premiers. On peut pleinement vérifier, dans cette
application principale du calcul de Taylor, combien, ainsi que je l'ai
expliqué plus haut, la considération des _différences_ est vraiment
étrangère et souvent gênante, relativement aux questions qui dépendent
de cette analyse. En effet, Lagrange a remplacé les formules
d'interpolation déduites de l'algorithme ordinaire du calcul aux
différences finies par des formules générales beaucoup plus simples, qui
sont aujourd'hui presque toujours préférées, et qui ont été trouvées
directement, sans faire jouer aucun rôle à la notion superflue des
_différences_, qui ne faisaient que compliquer la question.
Une dernière classe importante d'applications du calcul aux différences
finies, qui mérite d'être distinguée de la précédente, consiste dans
l'usage éminemment utile qu'on en fait, en géométrie, pour déterminer
par approximation la longueur et l'aire de quelque courbe que ce soit,
et, de même, la quadrature et la cubature d'un corps ayant une forme
quelconque. Ce procédé, qui peut d'ailleurs être conçu abstraitement
comme dépendant de la même recherche analytique que la question des
interpolations, présente souvent un supplément précieux aux méthodes
géométriques entièrement rationnelles, qui conduisent fréquemment à des
intégrations qu'on ne sait point encore effectuer, ou à des calculs
d'une exécution très-compliquée.
Telles sont les diverses considérations principales que j'ai cru devoir
indiquer relativement au calcul des différences finies. Cet examen
complète l'étude philosophique que je m'étais proposé d'esquisser pour
la mathématique abstraite. Nous devons maintenant procéder à un travail
semblable sur la mathématique concrète, où nous nous attacherons surtout
à concevoir comment, en supposant parfaite la science générale du
calcul, on a pu, par des procédés invariables, réduire à de pures
questions d'analyse tous les problèmes que peuvent présenter la
géométrie et la mécanique, et imprimer ainsi à ces deux bases
fondamentales de la philosophie naturelle, un degré de précision et
surtout d'unité, en un mot, un caractère de haute perfection, qu'une
telle marche pouvait seule leur communiquer.