SOMMAIRE. Considérations générales sur le calcul des variations.
Afin de saisir avec plus de facilité le caractère philosophique de la
méthode des variations, il convient d'abord de considérer sommairement
la nature spéciale des problèmes dont la résolution générale a nécessité
la formation de cette analyse hyper-transcendante. Ce calcul est encore
trop près de son origine, les applications en ont été jusqu'ici trop peu
variées, pour qu'on pût en concevoir une idée générale suffisamment
claire, si je me bornais à une exposition purement abstraite de sa
théorie fondamentale, bien qu'une telle exposition doive être ensuite,
sans aucun doute, l'objet principal et définitif de cette leçon.
Les questions mathématiques qui ont donné naissance au _calcul des
variations_ consistent, en général, dans la recherche des _maxima_ et
des _minima_ de certaines formules intégrales indéterminées, qui
expriment la loi analytique de tel ou tel phénomène géométrique ou
mécanique, considéré indépendamment d'aucun sujet particulier. Les
géomètres ont désigné pendant long-temps toutes les questions de ce
genre par le nom commun de _problèmes des isopérimètres_, qui ne
convient cependant qu'au plus petit nombre d'entre elles.
Dans la théorie ordinaire des _maxima_ et _minima_, on se propose de
découvrir, relativement à une fonction donnée d'une seule ou de
plusieurs variables, quelles valeurs particulières il faut assigner à
ces variables pour que la valeur correspondante de la fonction proposée
soit un _maximum_ ou un _minimum_, par rapport à celles qui précèdent et
qui suivent immédiatement, c'est-à-dire qu'on cherche, à proprement
parler, à quel instant la fonction cesse de croître pour commencer à
décroître, ou réciproquement. Le calcul différentiel suffit pleinement,
comme on sait, à la résolution générale de cette classe de questions, en
montrant que les valeurs des diverses variables qui conviennent, soit au
_maximum_, soit au _minimum_, doivent toujours rendre nulles les
différentes dérivées du premier ordre de la fonction donnée, prises
séparément par rapport à chaque variable indépendante; et en indiquant
de plus un caractère propre à distinguer le _maximum_ du _minimum_, qui
consiste, dans le cas d'une fonction d'une seule variable, par exemple,
en ce que la fonction dérivée du second ordre doit prendre une valeur
négative pour le _maximum_, et positive pour le _minimum_. Telles sont,
du moins, les conditions fondamentales qui se rapportent au plus grand
nombre des cas; les modifications qu'elles doivent subir pour que la
théorie soit complétement applicable à certaines questions, sont
d'ailleurs également assujetties à des règles abstraites aussi
invariables, quoique plus compliquées.
La construction de cette théorie générale ayant fait disparaître
nécessairement le principal intérêt que les questions de ce genre
pouvaient inspirer aux géomètres, ils se sont élevés presque aussitôt à
la considération d'un nouvel ordre de problèmes, à la fois beaucoup plus
importans et d'une difficulté bien supérieure, ceux des _isopérimètres_.
Ce ne sont plus alors les valeurs des variables propres au _maximum_ ou
au _minimum_ d'une fonction donnée, qu'il s'agit de déterminer. C'est la
forme de la fonction elle-même qu'on se propose de découvrir, d'après la
condition du _maximum_ ou du _minimum_ d'une certaine intégrale définie,
seulement indiquée, qui dépend de cette fonction.
La plus ancienne question de cette nature est celle du solide de moindre
résistance, traitée par Newton, dans le second livre des _Principes_, où
il détermine quelle doit être la courbe méridienne d'un solide de
révolution, pour que la résistance éprouvée par ce corps dans le sens de
son axe, en traversant avec une vitesse quelconque un fluide immobile,
soit la plus petite possible. Mais la marche suivie par Newton n'avait
point un caractère assez simple, assez général et surtout assez
analytique, par la nature de sa méthode spéciale d'analyse
transcendante, pour qu'une telle solution pût suffire à entraîner les
géomètres vers ce nouvel ordre de problèmes. L'impulsion vraiment
décisive à cet égard ne pouvait guère partir que de l'un des géomètres
occupés sur le continent à élaborer et à appliquer la méthode
infinitésimale proprement dite. C'est ce que fit, en 1695, Jean
Bernouilli, en proposant le problème célèbre de la brachystochrone, qui
suggéra depuis une si longue suite de questions analogues. Il consiste à
déterminer la courbe qu'un corps pesant doit suivre pour descendre d'un
point à un autre dans le temps le plus court. En se bornant à la simple
chute dans le vide, seul cas qu'on ait d'abord considéré, on trouve
assez facilement que la courbe cherchée doit être une cycloïde
renversée, à base horizontale, ayant son origine au point le plus élevé.
Mais la question peut être singulièrement compliquée, soit en ayant
égard à la résistance du milieu, soit en tenant compte du changement
d'intensité de la pesanteur.
Quoique cette nouvelle classe de problèmes ait été primitivement fournie
par la mécanique, c'est néanmoins dans la géométrie qu'on a puisé plus
tard les sujets des principales recherches. Ainsi, on s'est proposé de
découvrir, parmi toutes les courbes de même contour tracées entre deux
points donnés, quelle est celle dont l'aire est un _maximum_ ou un
_minimum_, d'où est venu proprement le nom de _problème des
ipérimètres_; ou bien on a demandé que le _maximum_ et le _minimum_
eussent lieu pour la surface engendrée par la révolution de la courbe
cherchée autour d'un axe, ou pour le volume correspondant; dans d'autres
cas, c'était la hauteur verticale du centre de gravité de la courbe
inconnue, ou de la surface et du volume qu'elle pouvait engendrer, qui
devait devenir un _maximum_ ou un _minimum_, etc. Enfin, ces problèmes
ont été successivement variés et compliqués, pour ainsi dire à l'infini,
par les Bernouilli, par Taylor, et surtout par Euler, avant que Lagrange
en eût assujetti la solution à une méthode abstraite et entièrement
générale, dont la découverte a fait cesser l'empressement des géomètres
pour un tel ordre de recherches. Il ne s'agit point ici de tracer, même
sommairement, l'histoire de cette partie supérieure des mathématiques,
quelque intéressante qu'elle fût. Je n'ai fait l'énumération de
certaines questions principales choisies parmi les plus simples,
qu'afin de rendre sensible la destination générale qu'avait
essentiellement, à son origine, la méthode des variations.
On voit que, considérés sous le point de vue analytique, tous ces
problèmes consistent, par leur nature, à déterminer quelle forme doit
avoir une certaine fonction inconnue d'une ou de plusieurs variables,
pour que telle ou telle intégrale dépendante de cette fonction se trouve
avoir, entre des limites assignées, une valeur qui soit un _maximum_ ou
un _minimum_, relativement à toutes celles qu'elle prendrait si la
fonction cherchée avait une autre forme quelconque. Ainsi, par exemple,
dans le problème de la brachystochrone, on sait que si y=f(z),
x=/varphi(z) sont les équations rectilignes de la courbe cherchée, en
supposant les axes des x et des y horizontaux, et l'axe z des vertical,
le temps de la chute d'un corps pesant le long de cette courbe, depuis
le point dont l'ordonnée est z_1 jusqu'à celui dont l'ordonnée est z_2
est généralement exprimé par l'intégrale définie[17]. /[/int^{z_1}_{z_2}
/sqrt{/frac{1+(f'(z))^2+(/varphi'(z))^2}{2gz}}dz/.]
[Note 17: J'emploie la notation simple et lumineuse
proposée par M. Fourier, pour désigner les intégrales
définies, en mentionnant distinctement leurs limites.]
Il faut donc trouver quelles doivent être les deux fonctions inconnues f
et /varphi pour que cette intégrale soit un minimum. De même, demander
quelle est, parmi toutes les courbes planes isopérimètres, celle qui
renferme la plus grande aire, c'est proposer de trouver, parmi toutes
les fonctions f(x) qui peuvent donner à l'intégrale /[/int
dx/sqrt{1+(f'(x))^2}/] une certaine valeur constante, celle qui rend un
maximum l'intégrale /int f(x)dx, prise entre les mêmes limites. Il en
est évidemment toujours ainsi dans toutes les autres questions de ce
genre.
Dans les solutions que les géomètres donnaient de ces problèmes avant
Lagrange, on se proposait essentiellement de les ramener à la théorie
ordinaire des maxima et minima. Mais les moyens employés pour effectuer
cette transformation consistaient en de simples artifices particuliers,
propres à chaque cas, et dont la découverte ne comportait point de
régles invariables et certaines, en sorte que toute question vraiment
nouvelle reproduisait constamment des difficultés analogues, sans que
les solutions déjà obtenues pussent être réellement d'aucun secours
essentiel, autrement que par les habitudes qu'elles avaient fait
contracter à l'intelligence. En un mot, cette branche des mathématiques
présentait alors l'imperfection nécessaire qui existe constamment tant
qu'on n'est point parvenu à saisir distinctement, pour la traiter d'une
manière abstraite et dès-lors générale, la partie commune à toutes les
questions d'une même classe.
En cherchant à réduire tous les divers problèmes des isopérimètres à
dépendre d'une analyse commune, organisée abstraitement en un calcul
distinct, Lagrange a été conduit à concevoir une nouvelle nature de
différentiations, auxquelles il a appliqué la caractéristique /delta, en
réservant la caractéristique d pour les simples différentielles
ordinaires. Ces différentielles d'une espèce nouvelle, qu'il a désignées
sous le nom de _variations_, consistent dans les accroissemens
infiniment petits que reçoivent les intégrales, non en vertu
d'accroissemens analogues de la part des variables correspondantes,
comme pour l'analyse transcendante ordinaire, mais en supposant que la
forme de la fonction placée sous le signe d'intégration vienne à changer
infiniment peu. Cette distinction se conçoit, par exemple, avec
facilité, relativement aux courbes, où l'on voit l'ordonnée ou toute
autre variable de la courbe, comporter deux sortes de différentielles
évidemment très-différentes, suivant que l'on passe d'un point à un
autre infiniment voisin sur la même courbe, ou bien au point
correspondant de la courbe infiniment voisine produite par une certaine
modification déterminée de la première[18]. Il est clair, du reste, que,
par leur nature, les _variations_ relatives de diverses grandeurs liées
entre elles par des lois quelconques, se calculent, à la caractéristique
près, exactement de la même manière que les différentielles. Enfin, on
déduit également de la notion générale des _variations_ les principes
fondamentaux de l'algorithme propre à cette méthode et qui consistent
simplement dans la faculté évidente de pouvoir transposer à volonté les
caractéristiques spécialement affectées aux variations avant ou après
celles qui correspondent aux différentielles ordinaires.
[Note 18: Leïbnitz avait déjà considéré la comparaison
d'une courbe à une autre infiniment voisine; c'est ce qu'il
appelait _différentiatio de curvâ in curvam_. Mais cette
comparaison n'avait aucune analogie avec la conception de
Lagrange, les courbes de Leïbnitz étant renfermées dans une
même équation générale, d'où elles se déduisent par le
simple changement d'une constante arbitraire.]
Cette conception abstraite une fois formée, Lagrange a pu réduire
aisément, de la manière la plus générale, tous les problèmes des
isopérimètres à la simple théorie ordinaire des _maxima_ et des
_minima_. Pour se faire une idée nette de cette grande et heureuse
transformation, il faut préalablement considérer une distinction
essentielle à laquelle donnent lieu les diverses questions des
isopérimètres.
On doit, en effet, partager ces recherches en deux classes générales,
selon que les _maxima_ et _minima_ demandés sont _absolus_ ou
_relatifs_, pour employer les expressions abrégées des géomètres. Le
premier cas est celui où les intégrales définies indéterminées dont on
cherche le _maximum_ ou le _minimum_, ne sont assujetties, par la nature
du problème, à aucune condition; comme il arrive, par exemple, dans le
problème de la brachystochrone, où il s'agit de choisir entre toutes les
courbes imaginables. Le second cas a lieu, quand, au contraire, les
intégrales variables ne peuvent changer que suivant certaines
conditions, consistant ordinairement en ce que d'autres intégrales
définies, dépendant également des fonctions cherchées, conservent
constamment une même valeur donnée; comme, par exemple, dans toutes les
questions géométriques concernant les figures _isopérimètres_ proprement
dites, et où, par la nature du problème, l'intégrale relative à la
longueur de la courbe ou à l'aire de la surface, doit rester constante
pendant le changement de celle qui est l'objet de la recherche proposée.
Le calcul des variations donne immédiatement la solution générale des
questions de la première espèce. Car, il suit évidemment de la théorie
ordinaire des _maxima_ et _minima_, que la relation cherchée doit rendre
nulle la _variation_ de l'intégrale proposée par rapport à chaque
variable indépendante, ce qui donne la condition commune au maximum et
au minimum; et, comme caractère propre à distinguer l'un de l'autre, que
la variation du second ordre de la même intégrale doit être négative
pour le maximum et positive pour le minimum. Ainsi, par exemple, dans le
problème de la brachystochrone, on aura, pour déterminer la nature de la
courbe cherchée, l'équation de condition, /[/delta/int_{z_1}^{z_2}
/sqrt{/frac{1+(f'(z))^2+(/varphi'(z))^2}{2gz}}dz=0/] qui, se décomposant
en deux, par rapport aux deux fonctions inconnues f et /varphi qui sont
indépendantes l'une de l'autre, exprimera complètement la définition
analytique de la courbe demandée. La seule difficulté propre à cette
nouvelle analyse consiste dans l'élimination de la caractéristique
/delta, pour laquelle le calcul des variations fournit des règles
invariables et complètes, fondées, en général, sur le procédé de
l'intégration par parties, dont Lagrange a su tirer ainsi un parti
immense. Le but constant de cette première élaboration analytique, dans
l'exposition de laquelle je ne dois nullement entrer ici, est de faire
parvenir aux équations différentielles proprement dites, ce qui se peut
toujours, et par-là la question rentre dans le domaine de l'analyse
transcendante ordinaire, qui achève la solution, du moins en la ramenant
à l'algèbre pure, si on sait effectuer l'intégration. La destination
générale, propre à la méthode des variations, est d'opérer cette
transformation, pour laquelle Lagrange a établi des règles simples,
invariables, et d'un succès toujours assuré.
Je ne dois pas négliger, dans cette rapide indication générale, de faire
remarquer, comme un des plus grands avantages spéciaux de la méthode des
variations comparée aux solutions isolées qu'on avait auparavant des
problèmes des isopérimètres, l'importante considération de ce que
Lagrange appelle les _équations aux limites_, entièrement négligées
avant lui, et sans lesquelles néanmoins la plupart des solutions
particulières restaient nécessairement incomplètes. Quand les limites
des intégrales proposées doivent être fixes, leurs variations étant
nulles, il n'y a pas lieu d'en tenir compte. Mais il n'en est plus ainsi
quand ces limites, au lieu d'être rigoureusement invariables, sont
assujetties seulement à certaines conditions; comme, par exemple, si
les deux points entre lesquels doit être tracée la courbe cherchée ne
sont pas fixes, et doivent seulement rester sur des lignes ou des
surfaces données. Alors, il faut avoir égard aux variations de leurs
coordonnées, et établir entr'elles les relations correspondantes aux
équations de ces lignes ou de ces surfaces.
Cette considération essentielle n'est que le dernier complément d'une
considération plus générale et plus importante relative aux variations
des diverses variables indépendantes. Si ces variables sont réellement
indépendantes les unes des autres, comme lorsqu'on compare toutes les
courbes imaginables susceptibles d'être tracées entre deux points, il en
sera de même de leurs variations, et par suite les termes relatifs à
chacune de ces variations devront être séparément nuls dans l'équation
générale qui exprime le maximum ou le minimum. Mais si, au contraire, on
suppose les variables assujetties à de certaines conditions quelconques,
il faudra tenir compte de la relation qui en résulte entre leurs
variations, de telle sorte que le nombre des équations dans lesquelles
se décompose alors cette équation générale soit toujours égal à celui
seulement des variables qui restent vraiment indépendantes. C'est ainsi,
par exemple, qu'au lieu de chercher le plus court chemin pour aller
d'un point à un autre, en choisissant parmi tous les chemins possibles,
on peut se proposer de trouver seulement quel est le plus court entre
tous ceux qu'on peut suivre sur une surface quelconque donnée, question
dont la solution générale constitue certainement une des plus belles
applications de la méthode des variations.
Les problèmes où l'on considère de telles conditions modificatrices se
rapprochent beaucoup, par leur nature, de la seconde classe générale
d'applications de la méthode des variations, caractérisée ci-dessus
comme consistant dans la recherche des maxima et minima _relatifs_. Il y
a néanmoins, entre les deux cas, cette différence essentielle, que, dans
ce dernier, la modification est exprimée par une intégrale qui dépend de
la fonction cherchée, tandis que, dans l'autre, elle se trouve désignée
par une équation finie qui est immédiatement donnée. On conçoit par là,
que la recherche des maxima et minima _relatifs_ est toujours et
nécessairement plus compliquée que celle des maxima et minima _absolus_.
Heureusement, un théorème général fort important, trouvé avant
l'invention du calcul des variations, et qui est une des plus belles
découvertes dues au génie du grand Euler, donne un moyen uniforme et
très-simple de faire rentrer ces deux classes de questions l'une dans
l'autre. Il consiste, en ce que si l'on ajoute à l'intégrale qui doit
être un maximum ou un minimum un multiple constant et indéterminé de
celle qui doit rester constante par la nature du problème, il suffira de
chercher, suivant le procédé général de Lagrange, ci-dessus indiqué, le
maximum ou le minimum _absolu_ de cette expression totale. On peut
aisément concevoir, en effet, que la partie de la variation complète qui
proviendrait de la dernière intégrale doit aussi bien être nulle, à
cause de la constance de celle-ci, que la portion due à la première
intégrale, qui s'anéantit en vertu de l'état maximum ou minimum. Ces
deux conditions distinctes, s'accordent évidemment pour produire, sous
ce rapport, des effets exactement semblables.
Telle est, par aperçu, la manière générale dont la méthode des
variations s'applique à toutes les diverses questions qui composent ce
qu'on appelait la théorie des isopérimètres. On aura sans doute remarqué
dans cette exposition sommaire, à quel degré s'est trouvée utilisée par
cette nouvelle analyse la seconde propriété fondamentale de l'analyse
transcendante, appréciée dans la sixième leçon, savoir: la généralité
des expressions infinitésimales pour représenter un même phénomène
géométrique ou mécanique, en quelque corps qu'il soit considéré. C'est,
en effet, sur cette généralité que sont fondées, par leur nature, toutes
les solutions dues à la méthode des variations. Si une formule unique ne
pouvait point exprimer la longueur ou l'aire de toute courbe quelconque,
si on n'avait point une autre formule fixe pour désigner le temps de la
chute d'un corps pesant, suivant quelque ligne qu'il descende, etc.,
comment eût-il été possible de résoudre des questions qui exigent
inévitablement, par leur nature, la considération simultanée de tous les
cas que peuvent déterminer dans chaque phénomène les divers sujets qui
le manifestent?
Quelle que soit l'extrême importance de la théorie des isopérimètres, et
quoique la méthode des variations n'ait eu primitivement d'autre objet
que la résolution rationnelle et générale de cet ordre de problèmes, on
n'aurait cependant qu'une idée incomplète de cette belle analyse, si on
bornait là sa destination. En effet, la conception abstraite de deux
natures distinctes de différentiations, est évidemment applicable
non-seulement aux cas pour lesquels elle a été créée, mais aussi à tous
ceux qui présentent, par quelque cause que ce soit, deux manières
différentes de faire varier les mêmes grandeurs. C'est ainsi que
Lagrange lui-même a fait, dans sa _mécanique analytique_, une immense
application capitale de son calcul des variations, en l'employant à
distinguer les deux sortes de changemens que présentent si naturellement
les questions de mécanique rationnelle pour les divers points que l'on
considère, suivant que l'on compare les positions successives qu'occupe,
en vertu du mouvement, un même point de chaque corps dans deux instans
consécutifs, ou que l'on passe d'un point du corps à un autre dans le
même instant. L'une de ces comparaisons produit les différentielles
ordinaires; l'autre donne lieu aux variations, qui ne sont, là comme
partout, que des différentielles prises sous un nouveau point de vue.
C'est dans une telle acception générale qu'il faut concevoir le calcul
des variations, pour apprécier convenablement l'importance de cet
admirable instrument logique, le plus puissant que l'esprit humain ait
construit jusqu'ici.
La méthode des variations n'étant qu'une immense extension de l'analyse
transcendante générale, je n'ai pas besoin de constater spécialement
qu'elle est susceptible d'être envisagée sous les divers points de vue
fondamentaux que comporte le calcul des fonctions indirectes, considéré
dans son ensemble. Lagrange a inventé le calcul des variations d'après
la conception infinitésimale proprement dite, et même bien avant d'avoir
entrepris la reconstruction générale de l'analyse transcendante. Quand
il eut exécuté cette importante réformation, il montra aisément comment
elle pouvait aussi s'appliquer au calcul des variations, qu'il exposa
avec tout le développement convenable, suivant sa théorie des fonctions
dérivées. Mais, plus l'emploi de la méthode des variations est difficile
pour l'intelligence à cause du degré d'abstraction supérieur des idées
considérées, plus il importe de ménager dans son application les forces
de notre esprit, en adoptant la conception analytique la plus directe et
la plus rapide, c'est-à-dire, celle de Leïbnitz. Aussi Lagrange lui-même
l'a-t-il constamment préférée dans l'important usage qu'il a fait du
calcul des variations pour la _mécanique analytique_. Il n'existe pas,
en effet, la moindre hésitation à cet égard parmi les géomètres.
Afin d'éclaircir aussi complétement que possible le caractère
philosophique du calcul des variations, je crois devoir terminer en
indiquant sommairement ici une considération qui me semble importante,
et par laquelle je puis le rapprocher de l'analyse transcendante
ordinaire à un plus haut degré que Lagrange ne me paraît l'avoir
fait[19].
[Note 19: Je me propose de développer plus tard cette
considération nouvelle, dans un travail spécial sur le
_calcul des variations_, qui a pour objet de présenter
l'ensemble de cette analyse hyper-transcendante sous un
nouveau point de vue, que je crois propre à en étendre la
portée générale.]
Nous avons remarqué, d'après Lagrange, dans la leçon précédente, la
formation du calcul aux différences partielles, créé par d'Alembert,
comme ayant introduit, dans l'analyse transcendante, une nouvelle idée
élémentaire, la notion de deux sortes d'accroissemens distincts et
indépendans les uns des autres que peut recevoir une fonction de deux
variables, en vertu du changement de chaque variable séparément. C'est
ainsi que l'ordonnée verticale d'une surface, ou toute autre grandeur
qui s'y rapporte, varie de deux manières tout-à-fait distinctes et qui
peuvent suivre les lois les plus diverses, en faisant croître tantôt
l'une tantôt l'autre des deux coordonnées horizontales. Or, une telle
considération me semble très-rapprochée, par sa nature, de celle qui
sert de base générale à la méthode des variations. Celle-ci, en effet,
n'a réellement fait autre chose que transporter aux variables
indépendantes elles-mêmes la manière de voir déjà adoptée pour les
fonctions de ces variables, ce qui en a singulièrement agrandi l'usage.
Je crois, d'après cela, que, sous le seul rapport des conceptions
fondamentales, on peut envisager le calcul créé par d'Alembert, comme
ayant établi une transition naturelle et nécessaire entre le calcul
infinitésimal ordinaire et le calcul des variations, dont une telle
filiation me paraît devoir éclaircir et simplifier la notion générale.
D'après les diverses considérations indiquées dans cette leçon, la
méthode des variations se présente comme le plus haut degré de
perfection connu jusqu'ici de l'analyse des fonctions indirectes. Dans
son état primitif, cette dernière analyse s'est présentée comme un
puissant moyen général de faciliter l'étude mathématique des phénomènes
naturels, en introduisant, pour l'expression de leurs lois, la
considération de grandeurs auxiliaires choisies de telle manière, que
leurs relations soient nécessairement plus simples et plus aisées à
obtenir que celles des grandeurs directes. Mais la formation de ces
équations différentielles n'était point conçue comme pouvant comporter
aucunes règles générales et abstraites. Or, l'analyse des variations,
considérée sous le point de vue le plus philosophique, peut être
envisagée comme essentiellement destinée, par sa nature, à faire
rentrer, autant que possible, dans le domaine du calcul, l'établissement
même des équations différentielles, car tel est, pour un grand nombre de
questions importantes et difficiles, l'effet général des équations
_variées_ qui, encore plus _indirectes_ que les simples équations
différentielles par rapport aux objets propres de la recherche, sont
aussi bien plus aisées à former, et desquelles on peut ensuite, par des
procédés analytiques invariables et complets, destinés à éliminer le
nouvel ordre d'infinitésimales auxiliaires introduit, déduire ces
équations différentielles ordinaires, qu'il eût été souvent impossible
d'établir immédiatement. La méthode des variations constitue donc la
partie la plus sublime de ce vaste système de l'analyse mathématique
qui, partant des plus simples élémens de l'algèbre, organise, par une
succession d'idées non-interrompue, des moyens généraux de plus en plus
puissans pour l'étude approfondie de la philosophie naturelle, et qui,
dans son ensemble, présente, sans aucune comparaison, le monument le
plus imposant et le moins équivoque de la portée de l'esprit humain.
Mais, il faut reconnaître aussi que les conceptions habituellement
considérées dans la méthode des variations étant, par leur nature, plus
indirectes, plus générales, et surtout beaucoup plus abstraites que
toutes les autres, l'emploi d'une telle méthode exige nécessairement, et
d'une manière soutenue, le plus haut degré connu de contention
intellectuelle, pour ne jamais perdre de vue l'objet précis de la
recherche en suivant des raisonnemens qui offrent à l'esprit des points
d'appui aussi peu déterminés, et dans lesquels les signes ne sont
presque jamais d'aucun secours. On doit, sans doute, attribuer en
grande partie à cette difficulté nécessaire le peu d'usage réel que les
géomètres, excepté Lagrange, ont fait jusqu'ici d'une conception aussi
admirable.