SOMMAIRE. Tableau général du calcul des fonctions indirectes.
Par suite des considérations exposées dans la leçon précédente, on
conçoit que le calcul des fonctions indirectes se divise nécessairement
en deux parties, ou, pour mieux dire, se décompose en deux calculs
tout-à-fait distincts, quoique, par leur nature, intimement liés;
suivant qu'on se propose de trouver les relations entre les grandeurs
auxiliaires, dont l'introduction constitue l'esprit général de ce
calcul, d'après les relations entre les grandeurs primitives
correspondantes; ou qu'on cherche, en sens inverse, à découvrir ces
équations directes d'après les équations indirectes établies
immédiatement. Tel est, en effet, le double objet qu'on a
continuellement en vue dans l'analyse transcendante.
Ces deux calculs ont reçu différens noms, selon le point de vue sous
lequel a été envisagé l'ensemble de cette analyse. La méthode
infinitésimale proprement dite étant jusqu'ici la plus usitée, par les
raisons que j'ai discutées, presque tous les géomètres du continent
emploient habituellement, pour désigner ces deux calculs, les
dénominations de _calcul différentiel_ et de _calcul intégral_, établies
par Leïbnitz, et qui sont, en effet, des conséquences très-rationnelles
de sa conception. Newton, d'après sa méthode, a nommé le premier, le
_calcul des fluxions_, et le second le _calcul des fluentes_,
expressions communément adoptées en Angleterre. Enfin, en suivant la
théorie éminemment philosophique fondée par Lagrange, on appellerait
l'un, le _calcul des fonctions dérivées_ et l'autre le _calcul des
fonctions primitives_. Je continuerai à me servir des termes de
Leïbnitz, comme plus propres, dans notre langue, à la formation des
expressions secondaires, quoique je doive, d'après les explications
contenues dans la leçon précédente, employer concurremment toutes les
diverses conceptions, en me rapprochant, autant que possible, de celle
de Lagrange.
Le calcul différentiel est évidemment la base rationnelle du calcul
intégral. Car nous ne savons et ne pouvons savoir intégrer immédiatement
que les expressions différentielles produites par la différentiation des
diverses fonctions simples qui constituent les élémens généraux de notre
analyse. L'art de l'intégration consiste ensuite essentiellement à
ramener, autant que possible, tous les autres cas à ne dépendre
finalement que de ce petit nombre d'intégrations fondamentales.
En considérant l'ensemble de l'analyse transcendante, tel que je l'ai
caractérisé dans la leçon précédente, on ne voit pas d'abord quelle peut
être l'utilité propre du calcul différentiel, indépendamment de cette
relation nécessaire avec le calcul intégral, qui semble devoir être, par
lui-même, le seul directement indispensable. En effet, l'élimination des
infinitésimales ou des dérivées, introduites comme auxiliaires pour
faciliter l'établissement des équations, constituant, d'après ce que
nous avons vu, l'objet définitif et invariable du calcul des fonctions
indirectes; il est naturel de penser que le calcul qui enseigne à
déduire des équations entre ces grandeurs auxiliaires, celles qui ont
lieu entre les grandeurs primitives elles-mêmes, doit strictement
suffire aux besoins généraux de l'analyse transcendante, sans qu'on
aperçoive, au premier coup-d'oeil, quelle part spéciale et constante
peut avoir, dans une telle analyse, la solution de la question inverse.
Ce serait abusivement que, suivant l'usage ordinaire, pour expliquer
l'influence directe et nécessaire propre au calcul différentiel, on lui
assignerait la destination de former les équations différentielles,
d'où le calcul intégral fait parvenir ensuite aux équations finies. Car
la formation primitive des équations différentielles n'est, et ne peut
être, à proprement parler, l'objet d'aucun calcul, puisqu'elle
constitue, au contraire, par sa nature, le point de départ indispensable
de tout calcul quelconque. Comment, en particulier, le calcul
différentiel qui, par lui-même, se réduit à enseigner les moyens de
_différentier_ les diverses équations, pourrait-il être un procédé
général pour en établir? Ce qui, dans toute application de l'analyse
transcendante, facilite en effet la formation des équations, c'est la
_méthode_ infinitésimale, et non le _calcul_ infinitésimal, qui en est
parfaitement distinct, quoiqu'en étant le complément indispensable. Une
telle considération donnerait donc une fausse idée de la destination
spéciale qui caractérise le calcul différentiel dans le système général
de l'analyse transcendante.
Mais ce serait, néanmoins, concevoir bien imparfaitement la véritable
importance propre de cette première branche du calcul des fonctions
indirectes, que d'y voir seulement un simple travail préliminaire,
n'ayant d'autre objet général et essentiel que de préparer au calcul
intégral des fondemens indispensables. Comme les idées sont
ordinairement confuses à cet égard, je crois devoir expliquer
sommairement ici cette importante relation, telle que je la conçois, et
montrer que, dans chaque application quelconque de l'analyse
transcendante, une première part directe et nécessaire est constamment
assignée au calcul différentiel.
En formant les équations différentielles d'un phénomène quelconque, il
est bien rare qu'on se borne à introduire différentiellement les seules
grandeurs dont on cherche les relations. S'imposer cette condition, ce
serait diminuer inutilement les ressources que présente l'analyse
transcendante pour l'expression des lois mathématiques des phénomènes.
Le plus souvent on fait entrer aussi par leurs différentielles, dans ces
équations premières, d'autres grandeurs, dont la relation est déjà
connue ou supposée l'être, et sans la considération desquelles il serait
fréquemment impossible d'établir les équations. C'est ainsi, par
exemple, que dans le problème général de la rectification des courbes,
l'équation différentielle, /[ds^2 = dy^2 + dx^2, /mbox{/rm ou}ds^2 =
dx^2 + dy^2 + dz^2, /] n'est pas seulement établie entre la fonction
cherchée s et la variable indépendante x à laquelle on veut la
rapporter; mais on a introduit en même temps, comme intermédiaires
indispensables, les différentielles d'une ou deux autres fonctions y et
z, qui sont au nombre des données du problème; il n'eût pas été
possible de former immédiatement l'équation entre ds et dx, qui serait
d'ailleurs particulière à chaque courbe considérée. Il en est de même
pour la plupart des questions. Or, dans ces cas, il est évident que
l'équation différentielle n'est pas immédiatement propre à
l'intégration. Il faut, auparavant, que les différentielles des
fonctions supposées connues, qui ont été employées comme intermédiaires,
soient entièrement éliminées, afin que les équations se trouvent
établies entre les différentielles des seules fonctions cherchées et
celles des variables réellement indépendantes, après quoi la question ne
dépend plus effectivement que du calcul intégral. Or, cette élimination
préparatoire de certaines différentielles, afin de réduire les
infinitésimales au plus petit nombre possible, est simplement du ressort
du calcul différentiel. Car elle doit se faire, évidemment, en
déterminant, d'après les équations entre les fonctions supposées connues
prises pour intermédiaires, les relations de leurs différentielles, ce
qui n'est qu'une question de différentiation. Ainsi, par exemple, dans
le cas des rectifications, il faudra d'abord calculer dy ou dy et dz, en
différentiant l'équation ou les équations de chaque courbe proposée; et,
d'après ces expressions, la formule différentielle générale énoncée
ci-dessus ne contiendra plus que ds et dx; parvenue à ce point,
l'élimination des infinitésimales ne peut plus être achevée que par le
calcul intégral.
Tel est donc l'office général nécessairement propre au calcul
différentiel dans la solution totale des questions qui exigent l'emploi
de l'analyse transcendante: préparer, autant que possible, l'élimination
des infinitésimales, c'est-à-dire réduire, dans chaque cas, les
équations différentielles primitives à ne plus contenir que les
différentielles des variables réellement indépendantes et celles des
fonctions cherchées, en faisant disparaître, par la différentiation, les
différentielles de toutes les autres fonctions connues qui ont pu être
prises pour intermédiaires lors de la formation des équations
différentielles du problème.
Pour certaines questions, qui, quoiqu'en petit nombre, n'en ont pas
moins, ainsi que nous le verrons plus tard, une très-grande importance,
les grandeurs cherchées se trouvent même entrer directement, et non par
leurs différentielles, dans les équations différentielles primitives,
qui ne contiennent alors différentiellement que les diverses fonctions
connues, employées comme intermédiaires d'après l'explication
précédente. Ces cas sont, de tous, les plus favorables, car, il est
évident que le calcul différentiel suffit alors entièrement à
l'élimination complète des infinitésimales, sans que la question puisse
donner lieu à aucune intégration. C'est ce qui arrive, par exemple, dans
le problème des tangentes, en géométrie; dans celui des vitesses, en
mécanique, etc.
Enfin, plusieurs autres questions, dont le nombre est aussi fort petit,
mais dont l'importance n'est pas moins grande, présentent un second cas
d'exception, qui est, par sa nature, exactement l'inverse du précédent.
Ce sont celles où les équations différentielles se trouvent être
immédiatement propres à l'intégration, parce qu'elles ne contiennent,
dès leur première formation, que les infinitésimales relatives aux
fonctions cherchées ou aux variables réellement indépendantes, sans
qu'on ait été obligé d'introduire différentiellement d'autres fonctions
comme intermédiaires. Si, dans ces nouveaux cas, on a effectivement
employé ces dernières fonctions, comme, par hypothèse, elles entreront
directement et non par leurs différentielles, l'algèbre ordinaire
suffira pour les éliminer, et réduire la question à ne plus dépendre que
du calcul intégral. Le calcul différentiel n'aura donc alors aucune part
spéciale à la solution complète du problème, qui sera tout entière du
ressort du calcul intégral. La question générale des quadratures en
offre un exemple important, car l'équation différentielle étant alors,
dA=ydx, deviendra immédiatement propre à l'intégration aussitôt qu'on
aura éliminé, d'après l'équation de la courbe proposée, la fonction
intermédiaire y, qui n'y entre point différentiellement: la même
circonstance a lieu pour le problème des cubatures, et pour quelques
autres aussi essentiels.
En résultat général des considérations précédentes, il faut donc
partager en trois classes les questions mathématiques qui exigent
l'emploi de l'analyse transcendante: la première classe comprend les
problèmes susceptibles d'être entièrement résolus au moyen du seul
calcul différentiel, sans aucun besoin du calcul intégral; la seconde,
ceux qui sont, au contraire, entièrement du ressort du calcul intégral,
sans que le calcul différentiel ait aucune part à leur solution; enfin,
dans la troisième et la plus étendue, qui constitue le cas normal, les
deux autres n'étant que d'exception, les deux calculs ont successivement
une part distincte et nécessaire à la solution complète du problème, le
calcul différentiel faisant subir aux équations différentielles
primitives, une préparation indispensable à l'application du calcul
intégral. Telles sont exactement les relations générales de ces deux
calculs, dont on se forme communément des idées trop peu précises.
Jetons maintenant un coup-d'oeil général sur la composition rationelle
de chacun d'eux, en commençant, comme il convient évidemment, par le
calcul différentiel.
Dans l'exposition de l'analyse transcendante, on a l'habitude de mêler à
la partie purement analytique, qui se réduit au traité abstrait de la
différentiation et de l'intégration, l'étude de ses diverses
applications principales, surtout de celles qui concernent la géométrie.
Cette confusion d'idées, qui est une suite du mode effectif suivant
lequel la science s'est développée, présente, sous le rapport
dogmatique, de graves inconvéniens en ce qu'elle empêche de concevoir
convenablement, soit l'analyse, soit la géométrie. Devant considérer ici
la coordination la plus rationnelle possible, je ne comprendrai, dans le
tableau suivant, que le calcul des fonctions indirectes proprement dit,
réservant, pour la portion de ce volume relative à l'étude philosophique
de la mathématique concrète, l'examen général de ses grandes
applications géométriques et mécaniques[15].
[Note 15: J'ai établi depuis long-temps, dans mon
enseignement ordinaire de l'analyse transcendante, l'ordre
que je vais exposer. Un nouveau professeur d'analyse
transcendante à l'École Polytechnique, avec lequel je me
félicite de m'être rencontré, M. Mathieu a adopté, dans son
cours de cette année, une marche essentiellement semblable.]
La division fondamentale du calcul différentiel pur, ou du traité
général de la différentiation, consiste à distinguer deux cas, suivant
que les fonctions analytiques qu'il s'agit de différentier sont
_explicites_ ou _implicites_; d'où deux parties ordinairement désignées
par les noms de différentiation _des formules_ et différentiation _des
équations_. Il est aisé de concevoir _à priori_ l'importance de cette
classification. En effet, une telle distinction serait illusoire si
l'analyse ordinaire était parfaite, c'est-à-dire, si l'on savait
résoudre algébriquement toutes les équations; car alors il serait
possible de rendre _explicite_ toute fonction _implicite_; et, en ne la
différentiant que dans cet état, la seconde partie du calcul
différentiel rentrerait immédiatement dans la première, sans donner lieu
à aucune nouvelle difficulté. Mais la résolution algébrique des
équations étant, comme nous l'avons vu, encore presque dans l'enfance,
et ignorée jusqu'à présent pour le plus grand nombre des cas, on
comprend qu'il en doit être tout autrement; puisqu'il s'agit dès lors, à
proprement parler, de différentier une fonction sans la connaître, bien
qu'elle soit déterminée. La différentiation des fonctions implicites
constitue donc, par sa nature, une question vraiment distincte de celle
que présentent les fonctions explicites, et nécessairement plus
compliquée. Ainsi c'est évidemment par la différentiation des formules
qu'il faut commencer, et on parvient ensuite à ramener généralement à ce
premier cas la différentiation des équations, par certaines
considérations analytiques invariables, que je ne dois pas mentionner
ici.
Ces deux cas généraux de la différentiation sont encore distincts sous
un autre rapport également nécessaire, et trop important pour que je
néglige de le signaler. La relation obtenue entre les différentielles
est constamment plus indirecte, par rapport à celle des quantités
finies, dans la différentiation des fonctions implicites que dans celle
des fonctions explicites. On sait, en effet, d'après les considérations
présentées par Lagrange sur la formation générale des équations
différentielles, que, d'une part, la même équation primitive peut donner
lieu à un plus ou moins grand nombre d'équations dérivées de formes
très-diverses, quoique, au fond, équivalentes, suivant celles des
constantes arbitraires que l'on élimine, ce qui n'a pas lieu dans la
différentiation des formules explicites; et que, d'une autre part, le
système infini d'équations primitives différentes qui correspondent à
une même équation dérivée, présente une variété analytique bien plus
profonde que celle des diverses fonctions susceptibles d'une même
différentielle explicite, et qui ne se distinguent les unes des autres
que par un terme constant. Les fonctions implicites doivent donc être
envisagées comme étant réellement encore plus modifiées par la
différentiation que les fonctions explicites. Nous retrouverons tout à
l'heure cette considération relativement au calcul intégral, où elle
acquiert une importance prépondérante.
Chacune des deux parties fondamentales du calcul différentiel se
subdivise elle-même en deux théories très-distinctes, suivant qu'il
s'agit de différentier des fonctions à une seule variable, ou des
fonctions à plusieurs variables indépendantes. Ce second cas est, par sa
nature, tout-à-fait distinct du premier, et présente évidemment plus de
complication, même en ne considérant que les fonctions explicites, et à
plus forte raison pour les fonctions implicites. Du reste, l'un se
déduit généralement de l'autre, à l'aide d'un principe invariable fort
simple, qui consiste à regarder la différentielle totale d'une fonction
en vertu des accroissemens simultanés des diverses variables
indépendantes qu'elles contient, comme la somme des différentielles
partielles que produirait l'accroissement séparé de chaque variable
successivement, si toutes les autres étaient constantes. Il faut,
d'ailleurs, soigneusement remarquer à ce sujet une notion nouvelle
qu'introduit, dans le système de l'analyse transcendante, la distinction
des fonctions à une seule variable et à plusieurs: c'est la
considération de ces diverses fonctions dérivées spéciales, relatives à
chaque variable isolément, et dont le nombre croît de plus en plus à
mesure que l'ordre de la dérivation s'élève, et aussi quand les
variables sont plus multipliées. Il en résulte que les relations
différentielles propres aux fonctions de plusieurs variables, sont, par
leur nature, et bien plus indirectes, et surtout beaucoup plus
indéterminées que celles relatives aux fonctions d'une seule variable.
Cela est principalement sensible pour les fonctions implicites où, au
lieu des simples constantes arbitraires que l'élimination fait
disparaître quand on forme les équations différentielles propres aux
fonctions d'une seule variable, ce sont des fonctions arbitraires des
variables proposées qui se trouvent éliminées, d'où doivent résulter,
lors des intégrations, des difficultés spéciales.
Enfin, pour compléter ce tableau sommaire des diverses parties
essentielles du calcul différentiel proprement dit, je dois ajouter que,
dans la différentiation des fonctions implicites, soit à une seule
variable, soit à plusieurs, il faut encore distinguer le cas où il
s'agit de différentier à la fois diverses fonctions de ce genre, mêlées
dans certaines équations primitives, de celui où toutes ces fonctions
sont séparées.
Les fonctions sont évidemment, en effet, encore plus implicites dans le
premier cas que dans le second, si l'on considère que la même
imperfection de l'analyse ordinaire, qui empêche de convertir toute
fonction implicite en une fonction explicite équivalente, ne permet pas
davantage de séparer les fonctions qui entrent simultanément dans un
système quelconque d'équations. Il s'agit alors de différentier,
non-seulement sans savoir résoudre les équations primitives, mais même
sans pouvoir effectuer entr'elles les éliminations convenables, ce qui
constitue une nouvelle difficulté.
Tels sont donc l'enchaînement naturel et la distribution rationnelle des
diverses théories principales dont se compose le traité général de la
différentiation. On voit que, la différentiation des fonctions
implicites se déduisant de celle des fonctions explicites par un seul
principe constant, et la différentiation des fonctions à plusieurs
variables se ramenant, par un autre principe fixe, à celle des fonctions
à une seule variable, tout le calcul différentiel se trouve reposer, en
dernière analyse, sur la différentiation des fonctions explicites à une
seule variable, la seule qui s'exécute jamais directement. Or, il est
aisé de concevoir que cette première théorie, base nécessaire du système
entier, consiste simplement dans la différentiation des dix fonctions
simples, qui sont les élémens uniformes de toutes nos combinaisons
analytiques, et dont j'ai présenté le tableau (4e leçon, page 173). Car
la différentiation des fonctions composées se déduit évidemment, d'une
manière immédiate et nécessaire, de celle des fonctions simples qui les
constituent. C'est donc à la connaissance de ces dix différentielles
fondamentales, et à celle des deux principes généraux, ci-dessus
mentionnés, qui y ramènent tous les autres cas possibles, que se réduit,
à proprement parler, tout le traité de la différentiation. On voit, par
la combinaison de ces diverses considérations, combien est à la fois
simple et parfait le système entier du calcul différentiel proprement
dit. Il constitue certainement, sous le rapport logique, le spectacle le
plus intéressant que l'analyse mathématique puisse présenter à notre
intelligence.
Le tableau général que je viens d'esquisser sommairement offrirait,
néanmoins, une lacune essentielle, si je n'indiquais ici distinctement
une dernière théorie, qui forme, par sa nature, le complément
indispensable du traité de la différentiation. C'est celle qui a pour
objet la transformation constante des fonctions dérivées, en résultat
des changemens déterminés de variables indépendantes, d'où résulte la
possibilité de rapporter à de nouvelles variables toutes les formules
différentielles générales établies primitivement pour d'autres. Cette
question est maintenant résolue de la manière la plus complète et la
plus simple, comme toutes celles dont se compose le calcul différentiel.
On conçoit aisément l'importance générale qu'elle doit avoir dans les
applications quelconques de l'analyse transcendante, dont elle peut être
considérée comme augmentant les ressources fondamentales, en permettant
de choisir, pour former d'abord plus aisément les équations
différentielles, le système de variables indépendantes qui paraîtra le
plus avantageux, bien qu'il ne doive pas être maintenu plus tard. C'est
ainsi, par exemple, que la plupart des questions principales de la
géométrie se résolvent beaucoup plus aisément en rapportant les lignes
et les surfaces à des coordonnées rectilignes, et qu'on peut néanmoins
être conduit à les appliquer à des formes exprimées analytiquement, à
l'aide de coordonnées _polaires_, ou de toute autre manière. On pourra
commencer alors la solution différentielle du problème en employant
toujours le système rectiligne, mais seulement comme un intermédiaire,
d'après lequel, par la théorie générale que nous avons en vue ici, on
passera au système définitif, qu'il eût été quelquefois impossible de
considérer directement.
Dans la classification rationnelle que je viens d'exposer pour
l'ensemble du calcul différentiel, on serait naturellement tenté de
signaler une omission grave, puisque je n'ai pas sous-divisé chacune des
quatre parties essentielles d'après une autre considération générale,
qui semble d'abord fort importante en elle-même, celle de l'ordre plus
ou moins élevé de la différentiation. Mais il est aisé de comprendre que
cette distinction n'a aucune influence réelle dans le calcul
différentiel, en ce qu'elle n'y donne lieu à aucune difficulté nouvelle.
En effet, si le calcul différentiel n'était pas rigoureusement complet,
c'est-à-dire, si on ne savait point différentier indistinctement toute
fonction quelconque, la différentiation au second ordre, ou à un ordre
supérieur, de chaque fonction déterminée, pourrait engendrer des
difficultés spéciales. Mais la parfaite universalité du calcul
différentiel donne évidemment l'assurance de pouvoir différentier à un
ordre quelconque toutes les fonctions analytiques connues, la question
se réduisant sans cesse à une différentiation au premier ordre,
successivement redoublée. Ainsi, la considération des divers ordres de
différentielles peut bien donner naissance à de nouvelles remarques plus
ou moins importantes, surtout en ce qui concerne la formation des
équations différentielles, et les dérivées partielles successives des
fonctions à plusieurs variables. Mais elle ne saurait, évidemment,
constituer aucun nouveau problème général dans le traité de la
différentiation. Nous verrons tout à l'heure que cette distinction, qui
n'a, pour ainsi dire, aucune importance dans le calcul différentiel, en
acquiert, au contraire, une très-grande dans le calcul intégral, en
vertu de l'extrême imperfection de ce dernier calcul.
Enfin, quoique j'aie cru, en thèse générale, ne devoir nullement
envisager en ce moment les diverses applications principales du calcul
différentiel, il convient néanmoins de faire une exception pour celles
qui consistent dans la solution de questions purement analytiques, qui
doivent, en effet, être rationnellement placées à la suite du traité de
la différentiation proprement dite, à cause de l'homogénéité évidente
des considérations. Ces questions peuvent se réduire à trois
essentielles: 1º le développement en séries des fonctions à une seule ou
à plusieurs variables, ou, plus généralement, la transformation des
fonctions, qui constitue la plus belle et la plus importante application
du calcul différentiel à l'analyse générale, et qui comprend, outre la
série fondamentale découverte par Taylor, les séries si remarquables
trouvées par Maclaurin, par Jean Bernouilli, par Lagrange, etc.; 2º la
théorie générale des valeurs maxima et minima pour les fonctions
quelconques à une seule ou à plusieurs variables, un des plus
intéressans problèmes que puisse présenter l'analyse, quelque
élémentaire qu'il soit devenu aujourd'hui, et à la solution complète
duquel le calcul différentiel s'applique très-naturellement; 3º enfin,
la détermination générale de la vraie valeur des fonctions qui se
présentent sous une apparence indéterminée pour certaines hypothèses
faites sur les valeurs des variables correspondantes, ce qui est le
problème le moins étendu et le moins important des trois, quoiqu'il
mérite d'être noté ici. La première question est, sans contredit, la
principale sous tous les rapports: elle est aussi la plus susceptible
d'acquérir dans la suite une extension nouvelle, surtout en concevant,
d'une manière plus large qu'on ne l'a fait jusqu'ici, l'emploi du calcul
différentiel pour la transformation des fonctions, au sujet de laquelle
Lagrange a laissé quelques indications précieuses, qui n'ont encore été
ni généralisées ni suivies.
Je regrette beaucoup d'être obligé, par les limites nécessaires de cet
ouvrage, de me borner à des considérations sommaires aussi insuffisantes
sur tous les divers sujets que je viens de passer en revue, et qui
comporteraient, par leur nature, des développemens beaucoup plus
étendus, en continuant toujours néanmoins à rester dans les généralités
qui sont le sujet propre de ce cours. Je passe maintenant à l'exposition
également rapide du tableau systématique du calcul intégral proprement
dit, c'est-à-dire du traité abstrait de l'intégration.
La division fondamentale du calcul intégral est fondée sur le même
principe que celle ci-dessus exposée pour le calcul différentiel, en
distinguant l'intégration des formules différentielles explicites, et
l'intégration des différentielles implicites, ou des équations
différentielles. La séparation de ces deux cas est même bien plus
profonde relativement à l'intégration, que sous le simple rapport de la
différentiation. Dans le calcul différentiel, en effet, cette
distinction ne repose, comme nous l'avons vu, que sur l'extrême
imperfection de l'analyse ordinaire. Mais, au contraire, il est aisé de
voir que, quand même toutes les équations seraient résolues
algébriquement, les équations différentielles n'en constitueraient pas
moins un cas d'intégration tout-à-fait distinct de celui que présentent
les formules différentielles explicites. Car, en se bornant, par
exemple, au premier ordre et à une fonction unique y d'une seule
variable x, pour plus de simplicité, si l'on suppose résolue, par
rapport à /fracdy{dx}, une équation différentielle quelconque entre x,
y, et /frac{dy}{dx}, l'expression de la fonction dérivée se trouvant
alors contenir généralement la fonction primitive elle-même qui est
l'objet de la recherche, la question d'intégration n'aurait nullement
changé de nature, et la solution n'aurait fait réellement d'autre
progrès que d'avoir amené l'équation différentielle, proposée à ne plus
être que du premier degré relativement à la fonction dérivée, ce qui
est, en soi, de peu d'importance. La différentielle n'en serait donc pas
moins déterminée d'une manière à peu près aussi _implicite_
qu'auparavant, sous le rapport de l'intégration, qui continuerait à
présenter essentiellement la même difficulté caractéristique. La
résolution algébrique des équations ne pourrait faire rentrer le cas que
nous considérons dans la simple intégration des différentielles
explicites, que dans les occasions très-particulières où l'équation
différentielle proposée ne contiendrait point la fonction primitive
elle-même, ce qui permettrait, par conséquent, en la résolvant, de
trouver /frac{dy}{dx} en fonction de x seulement, et de réduire ainsi la
question aux quadratures.
La considération que je viens d'indiquer pour les équations
différentielles les plus simples aurait évidemment encore plus
d'importance pour celles des ordres supérieurs ou qui contiendraient
simultanément diverses fonctions de plusieurs variables indépendantes.
Ainsi, l'intégration des différentielles qui ne sont déterminées
qu'implicitement constitue par sa nature, et, sans aucun égard à l'état
de l'algèbre, un cas entièrement distinct de celui relatif aux
différentielles explicitement exprimées en fonction des variables
indépendantes. L'intégration des équations différentielles est donc
nécessairement plus compliquée que celle des différentielles explicites,
par l'élaboration desquelles le calcul intégral a pris naissance, et
dont ensuite on s'est efforcé de faire, autant que possible, dépendre
les autres. Tous les divers procédés analytiques proposés jusqu'ici pour
intégrer les équations différentielles, soit la séparation des
variables, soit la méthode des multiplicateurs, etc, ont en effet pour
but de ramener ces intégrations à celles des formules différentielles,
la seule qui, par sa nature, puisse être entreprise directement.
Malheureusement, quelqu'imparfaite que soit jusqu'ici cette base
nécessaire de tout le calcul intégral, l'art d'y réduire l'intégration
des équations différentielles est encore bien moins avancé.
Chacune de ces deux branches fondamentales du calcul intégral se
sous-divise ensuite en deux autres, comme dans le calcul différentiel,
et par des motifs exactement analogues (que je me dispenserai, par
conséquent, de reproduire), suivant que l'on considère des fonctions à
une seule variable ou des fonctions à plusieurs variables indépendantes.
Je ferai seulement observer que cette distinction est, comme la
précédente, encore plus importante pour l'intégration que pour la
différentiation. Cela est surtout remarquable, relativement aux
équations différentielles. En effet, celles qui se rapportent à
plusieurs variables indépendantes peuvent évidemment présenter cette
difficulté caractéristique, et d'un ordre bien plus élevé, que la
fonction cherchée soit définie différentiellement par une simple
relation entre ses diverses dérivées spéciales relatives aux différentes
variables prises séparément. De là résulte la branche la plus difficile,
et aussi la plus étendue du calcul intégral, ce qu'on nomme
ordinairement le _calcul intégral aux différences partielles_, créé par
d'Alembert, et dans lequel, suivant la juste appréciation de Lagrange,
les géomètres auraient dû voir réellement un calcul nouveau, dont le
caractère philosophique n'est pas assez exactement jugé. Une différence
très-saillante entre ce cas et celui des équations à une seule variable
indépendante consiste, comme je l'ai observé ci-dessus, dans les
fonctions arbitraires qui remplacent les simples constantes arbitraires
pour donner aux intégrales correspondantes toute la généralité
convenable.
À peine ai-je besoin de dire que cette branche supérieure de l'analyse
transcendante est encore entièrement dans l'enfance, puisque, seulement
dans le cas le plus simple, celui d'une équation du premier ordre entre
les dérivées partielles d'une seule fonction à deux variables
indépendantes, on ne sait point même jusqu'ici complétement ramener
l'intégration à celle des équations différentielles ordinaires.
L'intégration relative aux fonctions de plusieurs variables est beaucoup
plus avancée, dans le cas, infiniment plus simple, à la vérité, où il ne
s'agit que des formules différentielles explicites. On sait alors en
effet, quand ces formules remplissent les conditions convenables
d'intégrabilité, réduire constamment leur intégration aux quadratures.
Une nouvelle distinction générale, applicable, comme sous-division, à
l'intégration des différentielles explicites ou implicites, à une seule
variable ou à plusieurs, se tire de l'ordre plus ou moins élevé des
différentiations, qui ne donne lieu à aucune question spéciale dans le
calcul différentiel, ainsi que nous l'avons remarqué.
Relativement aux différentielles explicites, soit à une variable, soit à
plusieurs, la nécessité de distinguer leurs divers ordres ne tient qu'à
l'extrême imperfection du calcul intégral. En effet, si l'on savait
constamment intégrer toute formule différentielle du premier ordre,
l'intégration d'une formule du second ordre ou de tout autre ne
constituerait point, évidemment, une question nouvelle, puisqu'en
l'intégrant d'abord au premier ordre, on parviendrait à l'expression
différentielle de l'ordre immédiatement précédent, d'où, par une suite
convenable d'intégrations analogues, on serait certain de remonter
finalement à la fonction primitive, objet propre d'un tel travail. Mais
le peu de connaissances que nous possédons sur les intégrations
premières fait qu'il n'en est point ainsi, et que l'ordre plus ou moins
élevé des différentielles engendre des difficultés nouvelles. Car, ayant
des formules différentielles d'un ordre quelconque supérieur au premier,
il peut arriver qu'on sache les intégrer une première fois ou plusieurs
fois de suite, et que, néanmoins, on ne puisse remonter ainsi aux
fonctions primitives, si ces travaux préliminaires ont produit, pour les
différentielles d'un ordre inférieur, des expressions dont les
intégrales ne sont pas connues. Cette circonstance doit se présenter
d'autant plus fréquemment, le nombre des intégrales connues étant encore
fort petit, que ces intégrales successives sont généralement, comme on
sait, des fonctions très-différentes des dérivées qui les ont
engendrées.
Par rapport aux différentielles implicites, la distinction des ordres
est encore plus importante; car, outre le motif précédent, dont
l'influence est évidemment ici analogue, et même à un plus haut degré,
il est aisé de sentir que l'ordre supérieur des équations
différentielles donne lieu nécessairement à des questions d'une nature
nouvelle. En effet, sût-on même intégrer indistinctement toute équation
du premier ordre relative à une fonction unique, cela ne suffirait
point pour faire obtenir l'intégrale définitive d'une équation d'un
ordre quelconque, toute équation différentielle n'étant pas réductible à
celle d'un ordre immédiatement inférieur. Si l'on a par exemple, pour
déterminer une fonction y de la variable x, une relation quelconque
entre x, y, /frac{dy}{dx}, et /frac{d^2y}{dx^2}, on n'en pourra point
déduire immédiatement, en effectuant une première intégration, la
relation différentielle correspondante entre x, y, et /frac{dy}{dx},
d'où, par une seconde intégration on remonterait à l'équation primitive.
Cela n'aurait lieu nécessairement, du moins sans introduire de nouvelles
fonctions auxiliaires, que si l'équation du second ordre proposée ne
contenait point la fonction cherchée y, concourremment avec ses
dérivées. En thèse générale, les équations différentielles devront donc
réellement être envisagées comme présentant des cas d'autant plus
_implicites_ que leur ordre est plus élevé, et qui ne pourront rentrer
les uns dans les autres que par des méthodes spéciales, dont la
recherche constitue, par conséquent, une nouvelle classe de questions, à
l'égard desquelles on ne sait jusqu'ici presque rien, même pour les
fonctions d'une seule variable[16].
[Note 16: Le seul cas important de ce genre qui ait été
complétement traité jusqu'ici, est l'intégration générale
des équations _linéaires_ d'un ordre quelconque, à
coefficiens constans. Encore se trouve-t-elle dépendre
finalement de la résolution algébrique des équations d'un
degré égal à l'ordre de la différentiation.]
Au reste, quand ou examine, d'une manière très-approfondie, cette
distinction des divers ordres d'équations différentielles, on trouve
qu'elle pourrait rentrer constamment dans une dernière distinction
générale, relative aux équations différentielles, que j'ai encore à
signaler. En effet, les équations différentielles à une seule ou à
plusieurs variables indépendantes peuvent ne contenir simplement qu'une
seule fonction, ou bien, dans un cas évidemment plus compliqué et plus
implicite, qui correspond à la différentiation des fonctions implicites
simultanées, on peut avoir à déterminer en même temps plusieurs
fonctions d'après des équations différentielles où elles se trouvent
mêlées, concurremment avec leurs diverses dérivées. Il est clair qu'un
tel état de la question présente nécessairement une nouvelle difficulté
spéciale, celle d'établir la séparation des différentes fonctions
cherchées, en formant pour chacune, d'après les équations
différentielles proposées, une équation différentielle isolée, qui ne
contienne plus les autres fonctions ni leurs dérivées. Ce travail
préliminaire, qui est l'analogue de l'élimination en algèbre, est
évidemment indispensable avant de tenter aucune intégration directe,
puisqu'on ne peut entreprendre généralement, à moins d'artifices
spéciaux très-rarement applicables, de déterminer immédiatement à la
fois plusieurs fonctions distinctes. Or, il est aisé d'établir la
coïncidence exacte et nécessaire de cette nouvelle distinction avec la
précédente, relative à l'ordre des équations différentielles. On sait,
en effet, que la méthode générale pour isoler les fonctions dans les
équations différentielles simultanées, consiste essentiellement à former
des équations différentielles, séparément relatives à chaque fonction,
et dont l'ordre est égal à la somme de tous ceux des diverses équations
proposées. Cette transformation peut s'effectuer constamment. D'un autre
côté, toute équation différentielle d'un ordre quelconque relative à une
seule fonction pourrait évidemment se ramener toujours au premier ordre,
en introduisant un nombre convenable d'équations différentielles
auxiliaires, contenant simultanément les diverses dérivées antérieures
considérées comme nouvelles fonctions à déterminer. Ce procédé a même
été quelquefois employé avec succès, quoique, en général, il ne soit pas
normal. Ce sont donc deux genres de conditions nécessairement
équivalens, dans la théorie générale des équations différentielles, que
la simultanéité d'un plus ou moins grand nombre de fonctions, et l'ordre
de différentiation plus ou moins élevé d'une fonction unique. En
augmentant l'ordre des équations différentielles, on peut isoler toutes
les fonctions; et, en multipliant artificiellement le nombre des
fonctions, on peut ramener toutes les équations au premier ordre. Il n'y
a, par conséquent, dans l'un et l'autre cas, qu'une même difficulté,
envisagée sous deux points de vue différens. Mais, de quelque manière
qu'on la conçoive, cette nouvelle difficulté commune n'en est pas moins
réelle, et n'en constitue pas moins, par sa nature, une séparation
tranchée entre l'intégration des équations du premier ordre et celle des
équations d'un ordre supérieur. Je préfère indiquer la distinction sous
cette dernière forme, comme plus simple, plus générale et plus
rationnelle.
D'après les diverses considérations indiquées ci-dessus sur
l'enchaînement rationnel des différentes parties principales du calcul
intégral, on voit que l'intégration des formules différentielles
explicites du premier ordre à une seule variable est la base nécessaire
de toutes les autres intégrations, qu'on ne parvient jamais à effectuer
qu'autant qu'on peut les faire rentrer dans ce cas élémentaire, le seul
évidemment qui, par sa nature, soit susceptible d'être traité
directement. Cette intégration simple et fondamentale est souvent
désignée par l'expression commode de _quadratures_, attendu que toute
intégrale de ce genre Sf(x)dx, peut, en effet, être envisagée comme
représentant l'aire d'une courbe dont l'équation en coordonnées
rectilignes serait y=f(x). Une telle classe de questions correspond,
dans le calcul différentiel, au cas élémentaire de la différentiation
des fonctions explicites à une seule variable. Mais la question
intégrale est, par sa nature, bien autrement compliquée, et surtout
beaucoup plus étendue que la question différentielle. Celle-ci se réduit
nécessairement, en effet, comme nous l'avons vu, à la différentiation
des dix fonctions simples, élémens de toutes celles que l'analyse
considère. Au contraire, l'intégration des fonctions composées ne se
déduit point nécessairement de celle des fonctions simples, dont chaque
nouvelle combinaison doit présenter, sous le rapport du calcul intégral,
des difficultés spéciales. De là, l'étendue naturellement indéfinie, et
la complication si variée de la question des quadratures, sur laquelle,
malgré tous les efforts des analystes, on possède encore si peu de
connaissances complètes.
En décomposant cette question, comme il est naturel de le faire, suivant
les diverses formes que peut affecter la fonction dérivée, on distingue
d'abord le cas des fonctions algébriques, et ensuite celui des fonctions
transcendantes. L'intégration vraiment analytique de ce dernier ordre
d'expressions est jusqu'ici fort peu avancée, soit pour les fonctions
exponentielles, soit pour les fonctions logarithmiques, soit pour les
fonctions circulaires. On n'a traité encore qu'un très-petit nombre de
cas de ces trois divers genres, en les choisissant parmi les plus
simples, qui conduisent même ordinairement à des calculs extrêmement
pénibles. Ce que nous devons surtout remarquer à ce sujet sous le
rapport philosophique, c'est que les divers procédés de quadrature ne
tiennent à aucune vue générale sur l'intégration, et consistent en de
simples artifices de calcul fort incohérens entre eux, et dont le nombre
est très-multiplié, à cause de l'étendue très-bornée de chacun d'eux. Je
dois cependant signaler ici un de ces artifices qui, sans être
réellement une méthode d'intégration, est néanmoins remarquable par sa
généralité: c'est le procédé inventé par Jean Bernouilli, et connu sous
le nom de l'_intégration par parties_, d'après lequel toute intégrale
peut être ramenée à une autre, qui se trouve quelquefois être plus
facile à obtenir. Cette ingénieuse relation mérite d'être notée sous un
autre rapport, comme ayant offert la première idée de cette
transformation les unes dans les autres des intégrales encore inconnues,
qui a reçu dans ces derniers temps une plus grande extension, et dont M.
Fourier surtout a fait un usage si nouveau et si important pour les
questions analytiques engendrées par la théorie de la chaleur.
Quant à l'intégration des fonctions _algébriques_, elle est plus
avancée. Cependant, on ne sait encore presque rien relativement aux
fonctions irrationnelles, dont les intégrales n'ont été obtenues que
dans des cas extrêmement bornés, et surtout en les rendant rationnelles.
L'intégration des fonctions rationnelles est jusqu'ici la seule théorie
de calcul intégral qui ait pu être traitée d'une manière vraiment
complète: sous le rapport logique, elle en constitue donc la partie la
plus satisfaisante, mais peut-être aussi la moins importante. Il est
même essentiel de remarquer, pour avoir une juste idée de l'extrême
imperfection du calcul intégral, que ce cas si peu étendu n'est
entièrement résolu que pour ce qui concerne proprement l'intégration,
envisagée d'une manière abstraite; car, dans l'exécution, la théorie se
trouve le plus souvent, indépendamment de la complication des calculs,
tout-à-fait arrêtée par l'imperfection de l'analyse ordinaire, attendu
qu'elle fait dépendre finalement l'intégration de la résolution
algébrique des équations, ce qui en limite singulièrement l'usage.
Pour saisir, d'une manière générale, l'esprit des divers procédés
d'après lesquels on procède aux quadratures, nous devons reconnaître
d'ailleurs que, par leur nature, ils ne peuvent être fondés
primitivement que sur la différentiation des dix fonctions simples, dont
les résultats, considérés sous le point de vue inverse, établissent
autant de théorèmes immédiats de calcul intégral, les seuls qui puissent
être connus directement, tout l'art de l'intégration consistant ensuite,
comme je l'ai exprimé en commençant cette leçon, à faire rentrer, autant
que possible, toutes les autres quadratures dans ce petit nombre de
quadratures élémentaires, ce qui malheureusement nous est encore le plus
souvent inconnu.
Dans cette énumération raisonnée des diverses parties essentielles de
calcul intégral suivant leurs relations logiques, j'ai négligé à
dessein, pour ne pas interrompre l'enchaînement, de considérer
distinctement une théorie fort importante, qui forme implicitement une
portion de la théorie générale de l'intégration des équations
différentielles, mais que je dois ici signaler séparément, comme étant,
pour ainsi dire, en dehors du calcul intégral, et offrant néanmoins le
plus grand intérêt, soit par sa perfection rationnelle, soit par
l'étendue de ses applications. Je veux parler de ce qu'on appelle les
solutions _singulières_ des équations différentielles, dites
quelquefois, mais à tort, solutions _particulières_, qui ont été le
sujet de travaux très-remarquables de la part d'Euler et de Laplace, et
dont Lagrange surtout a présenté une si belle et si simple théorie
générale. On sait que Clairaut, qui le premier, eut occasion d'en
remarquer l'existence, y vit un paradoxe de calcul intégral, puisque ces
solutions ont pour caractère propre de satisfaire aux équations
différentielles sans être néanmoins comprises dans les intégrales
générales correspondantes. Lagrange a, depuis, expliqué ce paradoxe de
la manière la plus ingénieuse et la plus satisfaisante, en montrant
comment de telles solutions dérivent toujours de l'intégrale générale
par la variation des constantes arbitraires. Il a aussi, le premier,
convenablement apprécié l'importance de cette théorie, et c'est avec
raison qu'il lui a consacré, dans ses _leçons sur le calcul des
fonctions_, un si grand développement. Sous le point de vue rationnel,
cette théorie mérite en effet toute notre attention, par le caractère de
parfaite généralité qu'elle comporte, puisque Lagrange a exposé des
procédés invariables et fort simples pour trouver la solution
_singulière_ de toute équation différentielle quelconque qui en est
susceptible; et, ce qui n'est pas moins remarquable, ces procédés
n'exigent aucune intégration, consistant seulement dans des
différentiations, et par là même toujours applicables. La
différentiation est ainsi devenue, par un heureux artifice, un moyen de
suppléer dans certaines circonstances à l'imperfection du calcul
intégral. En effet, certains problèmes exigent surtout, par leur nature,
la connaissance de ces solutions _singulières_. Telles sont, par
exemple, en géométrie, toutes les questions où il s'agit de déterminer
une courbe d'après une propriété quelconque de sa tangente ou de son
cercle osculateur. Dans tous les cas de ce genre, après avoir exprimé
cette propriété par une équation différentielle, ce sera, sous le
rapport analytique, l'équation _singulière_ qui constituera l'objet le
plus important de la recherche, puisqu'elle seule représentera la courbe
demandée, l'intégrale générale, qui devient dès lors inutile à
connaître, ne devant désigner autre chose que le système des tangentes
ou des cercles osculateurs de cette courbe. On conçoit aisément, d'après
cela, toute l'importance de cette théorie, qui me semble n'être pas
encore suffisamment appréciée par la plupart des géomètres.
Enfin, pour achever de signaler le vaste ensemble de recherches
analytiques dont se compose le calcul intégral proprement dit, il me
reste à mentionner une théorie fort importante dans toutes les
applications de l'analyse transcendante, que j'ai dû laisser en dehors
du système comme n'étant pas réellement destinée à une véritable
intégration, et se proposant au contraire de remplacer la connaissance
des intégrales vraiment analytiques, qui sont le plus souvent ignorées.
On voit qu'il s'agit de la détermination des _intégrales définies_.
L'expression, toujours possible, des intégrales en séries indéfinies,
peut d'abord être envisagée comme un heureux moyen général de compenser
souvent l'extrême imperfection du calcul intégral. Mais l'emploi de
telles séries, à cause de leur complication et de la difficulté de
découvrir la loi de leurs termes, est ordinairement d'une médiocre
utilité sous le rapport algébrique, bien qu'on en ait déduit quelquefois
des relations fort essentielles. C'est surtout sous le rapport
arithmétique que ce procédé acquiert une grande importance, comme moyen
de calculer ce qu'on appelle les intégrales _définies_, c'est-à-dire,
les valeurs des fonctions cherchées pour certaines valeurs déterminées
des variables correspondantes.
Une recherche de cette nature correspond exactement, dans l'analyse
transcendante, à la résolution numérique des équations dans l'analyse
ordinaire. Ne pouvant obtenir le plus souvent la véritable intégrale,
celle qu'on nomme par opposition, l'intégrale _générale_ ou _indéfinie_,
c'est-à-dire, la fonction qui, différentiée, a produit la formule
différentielle proposée, les analystes ont dû s'attacher à déterminer,
du moins, sans connaître une telle fonction, les valeur numériques
particulières qu'elle prendrait en assignant aux variables des valeurs
désignées. C'est évidemment résoudre la question arithmétique, sans
avoir préalablement résolu la question algébrique correspondante, qui,
le plus souvent, est précisément la plus importante. Une telle analyse
est donc par sa nature, aussi imparfaite que nous avons vu l'être la
résolution numérique des équations. Elle présente, comme celle-ci, une
confusion vicieuse du point de vue arithmétique avec le point de vue
algébrique; d'où résultent, soit sous le rapport purement logique, soit
relativement aux applications, des inconvéniens analogues. Je puis donc
me dispenser de reproduire ici les considérations indiquées dans la
cinquième leçon au sujet de l'algèbre. On conçoit néanmoins que, dans
l'impossibilité où nous sommes presque toujours de connaître les
véritables intégrales, il est de la plus haute importance d'avoir pu
obtenir au moins cette solution incomplète et nécessairement
insuffisante. Or, c'est à quoi on est heureusement parvenu aujourd'hui
pour tous les cas, l'évaluation des intégrales définies ayant été
ramenée à des méthodes entièrement générales, qui ne laissent à désirer,
dans un grand nombre d'occasions, qu'une moindre complication des
calculs, but vers lequel se dirigent aujourd'hui toutes les
transformations spéciales des analystes. Regardant maintenant comme
parfaite cette sorte d'_arithmétique transcendante_, la difficulté, dans
les applications, se réduit essentiellement à ne faire dépendre
finalement la recherche proposée que d'une simple détermination
d'intégrales définies, ce qui, évidemment, ne saurait être toujours
possible, quelque habileté analytique qu'on puisse employer à effectuer
une transformation aussi forcée.
Par l'ensemble des considérations indiquées dans cette leçon, on voit
que, si le calcul différentiel constitue, de sa nature, un système
limité et parfait auquel il ne reste plus à ajouter rien d'essentiel, le
calcul intégral proprement dit, ou le simple traité de l'intégration,
présente nécessairement un champ inépuisable à l'activité de l'esprit
humain, indépendamment des applications indéfinies dont l'analyse
transcendante est évidemment susceptible. Les motifs généraux par
lesquels j'ai tâché de faire sentir, dans la cinquième leçon,
l'impossibilité de découvrir jamais la résolution algébrique des
équations d'un degré et d'une forme quelconques, ont sans aucun doute,
infiniment plus de force encore relativement à la recherche d'un procédé
unique d'intégration, invariablement applicable à tous les cas. _C'est_,
dit Lagrange, _un de ces problèmes dont on ne saurait espérer de
solution générale_. Plus on méditera sur ce sujet, plus on sera
convaincu, je ne crains pas de l'affirmer, qu'une telle recherche est
totalement chimérique, comme étant beaucoup trop supérieure à la faible
portée de notre intelligence, bien que les travaux des géomètres doivent
certainement augmenter dans la suite l'ensemble de nos connaissances
acquises sur l'intégration, et créer aussi des procédés d'une plus
grande généralité. L'analyse transcendante est encore trop près de sa
naissance, il y a surtout trop peu de temps qu'elle est conçue d'une
manière vraiment rationelle, pour que nous puissions nous faire une
juste idée de ce qu'elle pourra devenir un jour. Mais, quelles que
doivent être nos légitimes espérances, n'oublions pas de considérer
avant tout les limites imposées par notre constitution intellectuelle,
et qui, pour n'être pas susceptibles d'une détermination précise, n'en
ont pas moins une réalité incontestable.
Au lieu de tendre à imprimer au calcul des fonctions indirectes, tel que
nous le concevons aujourd'hui, une perfection chimérique, je suis porté
à penser que lorsque les géomètres auront épuisé les applications les
plus importantes de notre analyse transcendante actuelle, ils se
créeront plutôt de nouvelles ressources, en changeant le mode de
dérivation des quantités auxiliaires introduites pour faciliter
l'établissement des équations, et dont la formation pourrait suivre une
infinité d'autres lois que la relation très-simple qui a été choisie,
d'après une conception que j'ai déjà indiquée dans la quatrième leçon.
Les moyens de cette nature me paraissent susceptibles, en eux-mêmes,
d'une plus grande fécondité que ceux qui consisteraient seulement à
pousser plus loin notre calcul actuel des fonctions indirectes. C'est
une pensée que je soumets aux géomètres dont les méditations se sont
tournées vers la philosophie générale de l'analyse.
Du reste, quoique j'aie dû, dans l'exposition sommaire qui était l'objet
propre de cette leçon, rendre sensible l'état d'extrême imperfection où
se trouve encore le calcul intégral, on aurait une fausse idée des
ressources générales de l'analyse transcendante, si on accordait à cette
considération une trop grande importance. Il en est ici, en effet, comme
dans l'analyse ordinaire, où l'on est parvenu à utiliser, à un degré
immense, un très-petit nombre de connaissances fondamentales sur la
résolution des équations. Quelque peu avancés qu'ils soient réellement
jusqu'ici dans la science des intégrations, les géomètres n'en ont pas
moins tiré, de notions abstraites aussi peu multipliées, la solution
d'une multitude de questions de première importance en géométrie, en
mécanique, en thermologie, etc. L'explication philosophique de ce
double fait général résulte de l'importance et de la portée
nécessairement prépondérantes des connaissances abstraites, dont la
moindre se trouve naturellement correspondre à une foule de recherches
concrètes, l'homme n'ayant d'autre ressource pour l'extension successive
de ses moyens intellectuels, que dans la considération d'idées de plus
en plus abstraites et néanmoins positives.
Pour achever de faire connaître, dans toute son étendue, le caractère
philosophique de l'analyse transcendante, il me reste à considérer une
dernière conception par laquelle l'immortel Lagrange, que nous
retrouvons sur toutes les grandes voies de la science mathématique, a
rendu cette analyse encore plus propre à faciliter l'établissement des
équations dans les problèmes les plus difficiles, en considérant une
classe d'équations encore plus _indirectes_ que les équations
différentielles proprement dites. C'est le _calcul_ ou plutôt la
_méthode des variations_, dont l'appréciation générale sera l'objet de
la leçon suivante.