SOMMAIRE. Exposition comparative des divers points de vue généraux sous
lesquels on peut envisager le calcul des fonctions indirectes.
Nous avons déterminé, dans la quatrième leçon, le caractère
philosophique propre à l'analyse transcendante, de quelque manière qu'on
puisse la concevoir, en considérant seulement la nature générale de sa
destination effective dans l'ensemble de la science mathématique. Cette
analyse a été, comme on sait, présentée par les géomètres sous plusieurs
points de vue réellement distincts, quoique nécessairement équivalens,
et conduisant toujours à des résultats identiques. On peut les réduire à
trois principaux, ceux de Leïbnitz, de Newton et de Lagrange, dont tous
les autres ne sont que des modifications secondaires. Dans l'état
présent de la science, chacune de ces trois conceptions générales offre
des avantages essentiels qui lui appartiennent exclusivement, sans
qu'on soit encore parvenu à construire une méthode unique réunissant
toutes ces diverses qualités caractéristiques. En méditant sur
l'ensemble de cette grande question, on est convaincu, je crois, que
c'est dans la conception de Lagrange, que s'opérera un jour cette
combinaison. Quand cet important travail philosophique, qui exige une
profonde élaboration de toutes les idées mathématiques fondamentales,
sera convenablement exécuté; on pourra se borner alors, pour connaître
l'analyse transcendante, à la seule étude de cette conception
définitive; les autres ne présentant plus essentiellement qu'un intérêt
historique. Mais jusqu'à cette époque, la science devra être considérée,
sous ce rapport, comme étant dans un véritable état provisoire, qui
exige absolument, même pour l'exposition dogmatique de cette analyse, la
considération simultanée des divers modes généraux propres au calcul des
fonctions indirectes. Quelque peu satisfaisante que puisse paraître,
sous le rapport logique, cette multiplicité de conceptions d'un sujet
toujours identique, il est certain que, sans cette indispensable
condition, on ne pourrait se former aujourd'hui qu'une notion
très-insuffisante de cette analyse, soit en elle-même, soit surtout
relativement à ses applications, quelque fût le mode unique que l'on
aurait cru devoir choisir. Ce défaut de systématisation dans la partie
la plus importante de l'analyse mathématique, ne paraîtra nullement
étrange, si l'on considère, d'une part, son extrême étendue, sa
difficulté supérieure, et d'une autre part, sa formation presque
récente. La génération des géomètres est à peine renouvelée depuis la
production primitive de la conception destinée sans doute à coordonner
la science, de manière à lui imprimer un caractère fixe et uniforme;
ainsi, les habitudes intellectuelles n'ont pu encore, sous ce rapport,
être suffisamment formées.
S'il s'agissait ici de tracer l'histoire raisonnée de la formation
successive de l'analyse transcendante, il faudrait préalablement
distinguer avec soin du calcul des fonctions indirectes proprement dit,
l'idée mère de la méthode infinitésimale, laquelle peut être conçue par
elle-même, indépendamment de tout calcul. Nous verrions, dès-lors, que
le premier germe de cette idée, se trouve déjà dans le procédé constant,
employé par les géomètres grecs, sous le nom de _méthode d'exhaustion_,
pour passer de ce qui est relatif aux lignes droites à ce qui concerne
les lignes courbes, et qui consistait essentiellement à substituer à la
courbe la considération auxiliaire d'un polygone inscrit ou circonscrit,
d'après lequel on s'élevait à la courbe elle-même, en prenant
convenablement les limites des relations primitives.
Quelqu'incontestable que soit cette filiation des idées, on lui
donnerait une importance fort exagérée, en voyant dans cette méthode
d'exhaustion, l'équivalent réel de nos méthodes modernes, comme l'ont
fait plusieurs géomètres. Car, les anciens n'avaient aucun moyen
rationnel et général pour la détermination de ces limites, qui
constituait ordinairement la plus grande difficulté de la question; en
sorte que leurs solutions n'étaient point soumises à des règles
abstraites et invariables, dont l'application uniforme dût conduire avec
certitude à la connaissance cherchée, ce qui est le principal caractère
de notre analyse transcendante. En un mot, il restait à généraliser la
conception employée par les anciens, et surtout, en la considérant d'une
manière purement abstraite, à la réduire en calcul, ce qui leur était
impossible. La première idée qui ait été produite dans cette nouvelle
direction, remonte véritablement à notre grand géomètre Fermat, que
Lagrange a justement présenté comme ayant ébauché la formation directe
de l'analyse transcendante, par sa méthode pour la détermination des
_maxima_ et _minima_, et pour la recherche des tangentes, qui consistait
essentiellement, en effet, à introduire la considération auxiliaire des
accroissemens corélatifs des variables proposées, accroissemens
supprimés ensuite comme nuls, après que les équations avaient subi
certaines transformations convenables. Mais, quoique Fermat eût le
premier conçu cette analyse d'une manière vraiment abstraite, elle était
encore loin d'être régulièrement formée en un calcul général et
distinct, ayant sa notation propre, et surtout dégagé de la
considération superflue des termes, qui finissaient par n'être plus
comptés dans l'analyse de Fermat, après avoir néanmoins singulièrement
compliqué par leur présence toutes les opérations. C'est ce qu'a si
heureusement exécuté Leïbnitz un demi-siècle plus tard, après quelques
modifications intermédiaires apportées par Wallis, et surtout par
Barrow, aux idées de Fermat; et par là il a été le véritable créateur de
l'analyse transcendante, telle que nous l'employons aujourd'hui. Cette
découverte capitale était tellement mûre, comme toutes les grandes
conceptions de l'esprit humain au moment de leur manifestation, que
Newton, de son côté, était parvenu en même temps, ou un peu auparavant,
à une méthode exactement équivalente, en considérant cette analyse sous
un point de vue très-différent, et qui, bien que plus rationnel en
lui-même, est réellement moins convenable pour donner à la méthode
fondamentale commune toute l'étendue et la facilité que lui ont
imprimées les idées de Leïbnitz. Enfin, Lagrange, écartant les
considérations hétérogènes qui avaient guidé Leïbnitz et Newton, est
parvenu plus tard à réduire l'analyse transcendante, dans sa plus grande
perfection, à un système purement algébrique, auquel il ne manque encore
que plus d'aptitude aux applications.
Après ce coup-d'oeil sommaire sur l'histoire générale de l'analyse
transcendante, procédons à l'exposition dogmatique des trois conceptions
principales, afin d'apprécier exactement leurs propriétés
caractéristiques, et de constater l'identité nécessaire des méthodes qui
en dérivent. Commençons par celle de Leïbnitz.
Elle consiste, comme on sait, à introduire dans le calcul, pour
faciliter l'établissement des équations, les élémens infiniment petits
dont on considère comme composées les quantités entre lesquelles on
cherche des relations. Ces élémens ou _différentielles_ auront entre eux
des relations constamment et nécessairement plus simples et plus faciles
à découvrir que celles des quantités primitives, et d'après lesquelles
on pourrait ensuite, par un calcul spécial ayant pour destination propre
l'élimination de ces infinitésimales auxiliaires, remonter aux équations
cherchées, qu'il eût été le plus souvent impossible d'obtenir
directement. Cette analyse indirecte pourra l'être à des degrés divers;
car, si on trouve quelquefois trop de difficulté à former immédiatement
l'équation entre les différentielles mêmes des grandeurs que l'on
considère, il faudra, par un emploi redoublé du même artifice général,
traiter, à leur tour, ces différentielles comme de nouvelles quantités
primitives, et chercher la relation entre leurs élémens infiniment
petits, qui, par rapport aux objets définitifs de la question, seront
les _différentielles secondes_; et ainsi de suite, la même
transformation pouvant être répétée un nombre quelconque de fois, à la
condition toujours d'éliminer finalement le nombre de plus en plus grand
des quantités infinitésimales introduites comme auxiliaires.
Un esprit encore étranger à ces considérations n'aperçoit pas
sur-le-champ comment l'emploi de ces quantités auxiliaires peut
faciliter la découverte des lois analytiques des phénomènes; car les
accroissemens infiniment petits des grandeurs proposées étant de même
espèce qu'elles, leurs relations ne paraissent pas devoir s'obtenir plus
aisément, la valeur plus ou moins petite d'une quantité ne pouvant, en
effet, exercer aucune influence sur une recherche nécessairement
indépendante, par sa nature, de toute idée de valeur. Mais il est aisé,
néanmoins, de s'expliquer très-nettement, et d'une manière tout-à-fait
générale, à quel point, par un tel artifice, la question doit se
trouver simplifiée. Il faut, pour cela, commencer par distinguer les
différens ordres d'infiniment petits, dont on peut se faire une idée
fort précise, en considérant que ce sont ou les puissances successives
d'un même infiniment petit primitif, ou des quantités qu'on peut
présenter comme ayant avec ces puissances des rapports finis, en sorte
que, par exemple, les différentielles seconde, troisième, etc., d'une
même variable, sont classées comme infiniment petits du second ordre, du
troisième, etc., parce qu'il est aisé de montrer en elles des multiples
finis des puissances seconde, troisième, etc., d'une certaine
différentielle première. Ces notions préliminaires étant posées,
l'esprit de l'analyse infinitésimale consiste à négliger constamment les
quantités infiniment petites à l'égard des quantités finies, et,
généralement, les infiniment petits d'un ordre quelconque vis-à-vis tous
ceux d'un ordre inférieur. On conçoit immédiatement combien une telle
faculté doit faciliter la formation des équations entre les
différentielles des quantités, puisque, au lieu de ces différentielles,
on pourra substituer tels autres élémens qu'on voudra, et qui seraient
plus simples à considérer, en se conformant à cette seule condition, que
les nouveaux élémens ne diffèrent des précédens que de quantités
infiniment petites par rapport à eux. C'est ainsi qu'il sera possible,
en géométrie, de traiter les lignes courbes comme composées d'une
infinité d'élémens rectilignes, les surfaces courbes comme formées
d'élémens plans; et, en mécanique, les mouvemens variés comme une suite
infinie de mouvemens uniformes, se succédant à des intervalles de temps
infiniment petits. Vu l'importance de cette conception admirable, je
crois devoir ici, par l'indication sommaire de quelques exemples
principaux, achever d'éclaircir son caractère fondamental.
Qu'il s'agisse de déterminer, en chaque point d'une courbe plane dont
l'équation est donnée, la direction de sa tangente, question dont la
solution générale a été l'objet primitif qu'avaient en vue les
inventeurs de l'analyse transcendante. On considérera la tangente comme
une sécante qui joindrait deux points infiniment voisins; et alors, en
nommant dy et dx les différences infiniment petites des coordonnées de
ces deux points, les premiers élémens de la géométrie fourniront
immédiatement l'équation t=/frac{dy}{dx}, pour la tangente
trigonométrique de l'angle que fait avec l'axe des x la tangente
cherchée, ce qui, dans un système de coordonnées rectilignes, est la
manière la plus simple d'en fixer la position. Cette équation, commune à
toutes les courbes, étant posée, la question est réduite à un simple
problème analytique, qui consistera à éliminer les infinitésimales dx et
dy, introduites comme auxiliaires, en déterminant, dans chaque cas
particulier, d'après l'équation de la courbe proposée, le rapport de dy
à dx, ce qui se fera constamment par des procédés uniformes et
très-simples.
En second lieu, qu'on veuille connaître la longueur de l'arc d'une
courbe quelconque, considéré comme une fonction des coordonnées de ses
extrémités. Il serait impossible d'établir immédiatement l'équation
entre cet arc s et ces coordonnées, tandis qu'il est aisé de trouver la
relation correspondante entre les différentielles de ces diverses
grandeurs. Les plus simples théorèmes de la géométrie élémentaire
donneront, en effet, sur-le-champ, en considérant l'arc infiniment petit
ds comme une ligne droite, les équations /[ds^2 = dy^2 + dx^2,
/mbox{ou}ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2, /] suivant que la courbe sera plane
ou à double courbure. Dans l'un et l'autre cas, la question est
maintenant tout entière du domaine de l'analyse, qui fera remonter,
d'après cette relation, à celle qui existe entre les quantités finies
elles-mêmes que l'on considère, par l'élimination des différentielles,
qui est l'objet propre du calcul des fonctions indirectes.
Il en serait de même pour la quadrature des aires curvilignes. Si la
courbe est plane et rapportée à des coordonnées rectilignes, on concevra
l'aire A comprise entre elle, l'axe des x, et deux coordonnées extrêmes,
comme augmentant d'une quantité infiniment petite dA, en résultat d'un
accroissement analogue de l'abcisse. Alors la relation entre ces deux
différentielles pourra s'obtenir immédiatement avec la plus grande
facilité, en substituant à l'élément curviligne de l'aire proposée le
rectangle formé par l'ordonnée extrême et l'élément de l'abcisse, dont
il ne diffère évidemment que d'une quantité infiniment petite du second
ordre, ce qui fournira aussitôt, quelle que soit la courbe, l'équation
différentielle très-simple /[dA = ydx,/] d'où le calcul des fonctions
indirectes, quand la courbe sera définie, apprendra à déduire l'équation
finie, objet immédiat du problème.
Pareillement, en dynamique, quand on voudra connaître l'expression de la
vitesse acquise à chaque instant par un corps animé d'un mouvement varié
suivant une loi quelconque, on considérera le mouvement comme uniforme
pendant la durée d'un élément infiniment petit du temps t, et on formera
ainsi immédiatement l'équation différentielle de=vdt, v désignant la
vitesse acquise quand le corps a parcouru l'espace e, et de là il sera
facile de conclure, par de simples procédés analytiques invariables, la
formule qui donnerait la vitesse dans chaque mouvement particulier,
d'après la relation correspondante entre le temps et l'espace; ou,
réciproquement, quelle serait cette relation si le mode de variation de
la vitesse était supposé connu, soit par rapport à l'espace, soit par
rapport au temps.
Enfin, pour indiquer une autre nature de questions, c'est par une marche
semblable que, dans l'étude des phénomènes thermologiques, comme l'a si
heureusement conçue M. Fourier, on peut former très-simplement, ainsi
que nous le verrons plus tard, l'équation différentielle générale qui
exprime la répartition variable de la chaleur dans un corps quelconque à
quelques influences qu'on le suppose soumis, d'après la seule relation,
fort aisée à obtenir, qui représente la distribution uniforme de la
chaleur dans un parallélipipède rectangle, en considérant
géométriquement tout autre corps comme décomposé en élémens infiniment
petits d'une telle forme, et thermologiquement le flux de chaleur comme
constant pendant un temps infiniment petit. Dès-lors, toutes les
questions que peut présenter la thermologie abstraite se trouveront
réduites, comme pour la géométrie et la mécanique, à de pures
difficultés d'analyse, qui consisteront toujours dans l'élimination des
différentielles introduites comme auxiliaires pour faciliter
l'établissement des équations.
Des exemples de nature aussi diverse sont plus que suffisans pour faire
nettement comprendre en général l'immense portée de la conception
fondamentale de l'analyse transcendante, telle que Leïbnitz l'a formée,
et qui constitue sans aucun doute la plus haute pensée à laquelle
l'esprit humain se soit jamais élevé jusqu'à présent.
On voit que cette conception était indispensable pour achever de fonder
la science mathématique, en permettant d'établir d'une manière large et
féconde, la relation du concret à l'abstrait. Sous ce rapport, elle doit
être envisagée comme le complément nécessaire de la grande idée-mère de
Descartes, sur la représentation analytique générale des phénomènes
naturels, idée qui n'a commencé à être dignement appréciée et
convenablement exploitée que depuis la formation de l'analyse
infinitésimale, sans laquelle elle ne pouvait encore produire, même en
géométrie, de résultats très-importans[11].
[Note 11: Il est bien remarquable, en effet, que des
hommes tels que Pascal, aient fait aussi peu d'attention à
la conception fondamentale de Descartes, sans pressentir
nullement la révolution générale qu'elle était
nécessairement destinée à produire dans le système entier de
la science mathématique. Cela est venu de ce que, sans le
secours de l'analyse transcendante, cette admirable méthode
ne pouvait réellement encore conduire à des résultats
essentiels, qui ne pussent être obtenus presqu'aussi bien
par la méthode géométrique des anciens. Les esprits mêmes
les plus éminens ont toujours bien moins apprécié jusqu'ici
les méthodes générales par leur simple caractère
philosophique, que par les connaissances effectives qu'elles
pouvaient procurer immédiatement.]
Quoique j'aie cru devoir, dans les considérations précédentes, insister
particulièrement sur l'admirable facilité que présente par sa nature
l'analyse transcendante pour la recherche des lois mathématiques de tous
les phénomènes, je ne dois pas négliger de faire ressortir une seconde
propriété fondamentale, peut-être aussi importante que la première, et
qui ne lui est pas moins inhérente: je veux parler de l'extrême
généralité des formules différentielles, qui expriment en une seule
équation chaque phénomène déterminé, quelque variés que puissent être
les sujets dans lesquels on le considère. Ainsi, sous le point de vue de
l'analyse infinitésimale, on voit, dans les exemples qui précèdent, une
seule équation différentielle donner les tangentes à toutes les courbes,
une autre leurs rectifications, une troisième leurs quadratures; et de
même, une formule invariable exprimer la loi mathématique de tout
mouvement varié; enfin une équation unique représenter constamment la
répartition de la chaleur dans un corps et pour un cas quelconques.
Cette généralité si éminemment remarquable, et qui est pour les
géomètres la base des considérations les plus élevées, est une heureuse
conséquence nécessaire et presqu'immédiate de l'esprit même de l'analyse
transcendante, surtout dans la conception de Leïbnitz. Elle résulte de
ce que, en substituant aux élémens infiniment petits des grandeurs
considérées, d'autres infinitésimales plus simples, qui seules entrent
dans les équations différentielles, ces infinitésimales se trouvent, par
leur nature, être constamment les mêmes pour chaque classe totale de
questions, quels que soient les objets divers du phénomène étudié.
Ainsi, par exemple, toute courbe, quelle qu'elle soit, étant toujours
décomposée en élémens rectilignes, on conçoit _à priori_ que la relation
entre ces élémens uniformes doit nécessairement être la même pour un
même phénomène géométrique quelconque, quoique l'équation finie
correspondante à cette loi différentielle doive varier d'une courbe à
une autre. Il en est évidemment de même dans tout autre cas quelconque.
L'analyse infinitésimale n'a donc pas seulement fourni un procédé
général pour former indirectement des équations qu'il eût été impossible
de découvrir d'une manière directe; elle a permis en outre de
considérer, pour l'étude mathématique des phénomènes naturels, un ordre
nouveau de lois plus générales et néanmoins offrant une signification
claire et précise à tout esprit habitué à leur interprétation. Ces lois
sont constamment les mêmes pour chaque phénomène, dans quelques objets
qu'on l'étudie, et ne changent qu'en passant d'un phénomène à un autre;
d'où l'on a pu d'ailleurs, en comparant ces variations, s'élever
quelquefois, par une vue encore plus générale, à des rapprochemens
positifs entre diverses classes de phénomènes tout-à-fait divers,
d'après les analogies présentées par les expressions différentielles de
leurs lois mathématiques. Dans l'étude philosophique de la mathématique
concrète, je m'attacherai à faire exactement apprécier cette seconde
propriété caractéristique de l'analyse transcendante, non moins
admirable que la première, et en vertu de laquelle le système entier
d'une science immense, comme la géométrie ou la mécanique, a pu se
trouver condensé en un petit nombre de formules analytiques, d'où
l'esprit humain peut déduire, par des règles certaines et invariables,
la solution de tous les problèmes particuliers.
Pour terminer l'exposition générale de la conception de Leïbnitz, il me
reste maintenant à considérer en elle-même la démonstration du procédé
logique auquel elle conduit, ce qui constitue malheureusement la partie
la plus imparfaite de cette belle méthode.
Dans les premiers temps de l'analyse infinitésimale, les géomètres les
plus célèbres, tels que les deux illustres frères Jean et Jacques
Bernouilli attachèrent, avec raison, bien plus d'importance à étendre,
en la développant, l'immortelle découverte de Leïbnitz, et à en
multiplier les applications, qu'à établir rigoureusement les bases
logiques sur lesquelles reposaient les procédés de ce nouveau
calcul[12]. Ils se contentèrent pendant long-temps de répondre par la
solution inespérée des problèmes les plus difficiles à l'opposition
prononcée de la plupart des géomètres du second ordre contre les
principes de la nouvelle analyse, persuadés sans doute, contrairement
aux habitudes ordinaires, que, dans la science mathématique bien plus
que dans aucune autre, on peut accueillir avec hardiesse les nouveaux
moyens, même quand leur rationnalité est imparfaite, pourvu qu'ils
soient féconds, puisque, les vérifications étant bien plus faciles et
plus multipliées, l'erreur ne saurait demeurer long-temps inaperçue.
Néanmoins, après le premier élan, il était impossible d'en rester là; et
il fallait revenir nécessairement sur les fondemens mêmes de l'analyse
leïbnitzienne pour constater généralement l'exactitude rigoureuse des
procédés employés, malgré les infractions apparentes qu'on s'y
permettait aux règles ordinaires du raisonnement. Leïbnitz, pressé de
répondre, avait lui-même présenté une explication tout-à-fait erronée,
en disant qu'il traitait les infiniment petits comme des
_incomparables_, et qu'il les négligeait vis-à-vis des quantités finies
_comme des grains de sable par rapport à la mer_, considération qui eût
complétement dénaturé son analyse, en la réduisant à n'être plus qu'un
simple calcul d'approximation, qui, sous ce rapport, serait radicalement
vicieux, puisqu'il serait impossible de prévoir, en thèse générale, à
quel point les opérations successives peuvent grossir ces erreurs
premières, dont l'accroissement pourrait même évidemment devenir ainsi
quelconque. Leïbnitz n'avait donc entrevu que d'une manière extrêmement
confuse les véritables fondemens rationnels de l'analyse qu'il avait
créée. Ses premiers successeurs se bornèrent d'abord à en vérifier
l'exactitude par la conformité de ses résultats, dans certains usages
particuliers, avec ceux que fournissait l'algèbre ordinaire ou la
géométrie des anciens, en reproduisant, autant qu'ils le pouvaient,
d'après les anciennes méthodes, les solutions de quelques problèmes,
une fois qu'elles avaient été obtenues par la méthode nouvelle, seule
capable primitivement de les faire découvrir. Quand cette grande
question a été considérée d'une manière plus générale, les géomètres, au
lieu d'aborder directement la difficulté, ont préféré l'éluder en
quelque sorte, comme l'ont fait Euler et d'Alembert, par exemple, en
démontrant abstraitement la conformité nécessaire et constante de la
conception de Leïbnitz, envisagée dans tous ses usages quelconques, avec
d'autres conceptions fondamentales de l'analyse transcendante, celle de
Newton surtout, dont l'exactitude était à l'abri de toute objection. Une
telle vérification générale est sans doute strictement suffisante pour
dissiper toute incertitude sur l'emploi légitime de l'analyse
leïbnitzienne. Mais la méthode infinitésimale est tellement importante,
elle présente encore, dans presque toutes les applications, une telle
supériorité effective sur les autres conceptions générales
successivement proposées, qu'il y aurait véritablement imperfection dans
le caractère philosophique de la science à ne pouvoir la justifier en
elle-même, et à la fonder logiquement sur des considérations d'un autre
ordre, qu'on cesserait ensuite d'employer efficacement. Il était donc
d'une importance réelle d'établir directement et d'une manière générale
la rationnalité nécessaire de la méthode infinitésimale. Après diverses
tentatives plus ou moins imparfaites pour y parvenir, les travaux
philosophiques de Lagrange ayant fortement reporté, vers la fin du
siècle dernier, l'attention des géomètres sur la théorie générale de
l'analyse infinitésimale, un géomètre très-recommandable, Carnot,
présenta enfin la véritable explication logique directe de la méthode de
Leïbnitz, en la montrant comme fondée sur le principe de la compensation
nécessaire des erreurs, ce qui est vraisemblablement, en effet, la
manifestation précise et lumineuse de ce que Leïbnitz avait vaguement et
confusément aperçu, en concevant les bases rationnelles de son analyse.
Carnot a rendu ainsi à la science un service essentiel[13], et dont
l'importance me semble n'être pas encore suffisamment appréciée,
quoique, comme nous le verrons à la fin de cette leçon, tout cet
échafaudage logique de la méthode infinitésimale proprement dite ne soit
susceptible très-vraisemblablement que d'une existence provisoire, en
tant que radicalement vicieux par sa nature. Je n'en crois pas moins,
cependant, devoir considérer ici, afin de compléter cette importante
exposition, le raisonnement général proposé par Carnot, pour légitimer
directement l'analyse de Leïbnitz. Voici en quoi il consiste
essentiellement.
[Note 12: On ne peut contempler, sans un profond
intérêt, le naïf enthousiasme de l'illustre Huyghens, au
sujet de cette admirable création, quoique son âge avancé ne
lui permît point d'en faire lui-même aucun usage important,
et qu'il se fût déjà élevé sans ce puissant secours à des
découvertes capitales. _Je vois avec surprise et avec
admiration_, écrivait-il, en 1692, au marquis de L'Hôpital,
_l'étendue et la fécondité de cet art; de quelque côté que
je tourne la vue, j'en aperçois de nouveaux usages; enfin,
j'y conçois un progrès et une spéculation infinis._]
[Note 13: Voyez l'ouvrage remarquable qu'il a publié
sous le titre de _Réflexions sur la Métaphysique du calcul
infinitésimal_, et dans lequel on trouve d'ailleurs une
exposition claire et utile, quoique trop peu approfondie, de
tous les divers points de vue sous lesquels a été conçu le
système général du calcul des fonctions indirectes.]
Lorsqu'on établit l'équation différentielle d'un phénomène, on substitue
aux élémens immédiats des diverses quantités considérées, d'autres
infinitésimales plus simples qui en diffèrent infiniment peu par rapport
à eux, et cette substitution constitue le principal artifice de la
méthode de Leïbnitz, qui, sans cela, n'offrirait aucune facilité réelle
pour la formation des équations. Carnot regarde une telle hypothèse
comme produisant véritablement une erreur dans l'équation ainsi obtenue,
et que, pour cette raison, il appelle _imparfaite_; seulement, il est
clair que cette erreur ne peut être qu'infiniment petite. Or, d'un autre
côté, tous les procédés analytiques, soit de différentiation, soit
d'intégration, qu'on applique à ces équations différentielles pour
s'élever aux équations finies en éliminant toutes les infinitésimales
introduites comme auxiliaires, produisent aussi constamment, par leur
nature, ainsi qu'il est aisé de le voir, d'autres erreurs analogues, en
sorte qu'il a pu s'opérer une exacte compensation, et que les équations
définitives peuvent, suivant l'expression de Carnot, être devenues
_parfaites_. Carnot considère comme un symptôme certain et invariable de
l'établissement effectif de cette compensation nécessaire, l'élimination
complète des diverses quantités infiniment petites, qui est constamment,
en effet, le but définitif de toutes les opérations de l'analyse
transcendante. Car, si on n'a jamais commis d'autres infractions aux
règles générales du raisonnement que celles ainsi exigées par la nature
même de la méthode infinitésimale, les erreurs infiniment petites
produites de cette manière n'ayant jamais pu engendrer que des erreurs
infiniment petites dans toutes les équations, les relations sont
nécessairement d'une exactitude rigoureuse aussitôt qu'elles n'ont plus
lieu qu'entre des quantités finies, puisqu'il ne saurait évidemment
exister alors que des erreurs finies, tandis qu'il n'a pu en survenir
aucune de ce genre. Tout ce raisonnement général est fondé sur la notion
des quantités infinitésimales, conçues comme indéfiniment décroissantes,
lorsque celles dont elles dérivent sont envisagées comme fixes.
Ainsi, pour éclaircir cette exposition abstraite par un seul exemple,
reprenons la question des tangentes, qui est la plus facile à analyser
complétement. On regardera l'équation t=/frac{dy}{dx} obtenue ci-dessus
comme affectée d'une erreur infiniment petite, puisqu'elle ne serait
tout-à-fait rigoureuse que pour la sécante. Maintenant, on achèvera la
solution en cherchant, d'après l'équation de chaque courbe, le rapport
entre les différentielles des coordonnées. Si cette équation est, je
suppose, y=ax^2, on aura évidemment /[dy = 2axdx + dx^2./]
Dans cette formule, on devra négliger le terme dx^2 comme infiniment
petit du second ordre. Dès lors la combinaison des deux équations
_imparfaites_ /[t=/frac{dy}{dx},/;dy = 2axdx,/] suffisant pour éliminer
entièrement les infinitésimales, le résultat fini t = 2ax sera
nécessairement rigoureux par l'effet de la compensation exacte des deux
erreurs commises puisqu'il ne pourrait, par sa nature, être affecté
d'une erreur infiniment petite, la seule néanmoins qu'il pût y avoir,
d'après l'esprit des procédés qui ont été suivis.
Il serait aisé de reproduire uniformément le même raisonnement par
rapport à toutes les autres applications générales de l'analyse de
Leïbnitz.
Cette ingénieuse théorie est sans doute plus subtile que solide, quand
on cherche à l'approfondir. Mais elle n'a cependant en réalité d'autre
vice logique radical que celui de la méthode infinitésimale elle-même,
dont elle est, ce me semble, le développement naturel et l'explication
générale, en sorte qu'elle doit être adoptée aussi long-temps qu'on
jugera convenable d'employer directement cette méthode.
Je passe maintenant à l'exposition générale des deux autres conceptions
fondamentales de l'analyse transcendante, en me bornant pour chacune à
l'idée principale, le caractère philosophique de cette analyse ayant
été, du reste, suffisamment déterminé ci-dessus, d'après la conception
de Leïbnitz, à laquelle j'ai dû spécialement m'attacher, parce qu'elle
permet de le saisir plus aisément dans son ensemble, et de le décrire
avec plus de rapidité.
Newton a présenté successivement, sous plusieurs formes différentes, sa
manière propre de concevoir l'analyse transcendante. Celle qui est
aujourd'hui le plus communément adoptée, du moins parmi les géomètres du
continent, a été désignée par Newton, tantôt sous le nom de _méthode des
premières et dernières raisons_, tantôt sous celui de _méthode des
limites_, qu'on emploie plus fréquemment.
Sous ce point de vue, l'esprit général de l'analyse transcendante
consiste à introduire comme auxiliaires, à la place des quantités
primitives ou concurremment avec elles, pour faciliter l'établissement
des équations, les limites des rapports des accroissemens simultanés de
ces quantités, ou, en d'autres termes, les dernières raisons de ces
accroissemens, limites ou dernières raisons qu'on peut aisément montrer
comme ayant une valeur déterminée et finie. Un calcul spécial, qui est
l'équivalent du calcul infinitésimal, est ensuite destiné à s'élever de
ces équations entre ces limites aux équations correspondantes entre les
quantités primitives elles-mêmes.
La faculté que présente une telle analyse pour exprimer plus aisément
les lois mathématiques des phénomènes tient, en général, à ce que le
calcul portant, non sur les accroissemens mêmes des quantités proposées,
mais sur les limites des rapports de ces accroissemens, on pourra
toujours substituer à chaque accroissement toute autre grandeur plus
simple à considérer, pourvu que leur dernière raison soit la raison
d'égalité, ou, en d'autres termes, que la limite de leur rapport soit
l'unité. Il est clair, en effet, que le calcul des limites ne saurait
être nullement affecté de cette substitution. En partant de ce principe,
on retrouve à peu près l'équivalent des facilités offertes par l'analyse
de Leïbnitz, qui sont seulement conçues alors sous un autre point de
vue. Ainsi, les courbes seront envisagées comme les limites d'une suite
de polygones rectilignes, les mouvemens variés comme les limites d'un
ensemble de mouvemens uniformes de plus en plus rapprochés, etc.
Qu'on veuille, par exemple, déterminer la direction de la tangente à une
courbe; on la regardera comme la limite vers laquelle tendrait une
sécante, qui tournerait autour du point donné, de manière que son second
point d'intersection se rapprochât indéfiniment du premier. En nommant
/Delta y et /Delta x les différences des coordonnées des deux points, on
aurait, à chaque instant, pour la tangente trigonométrique de l'angle
que fait la sécante avec l'axe des abcisses, t=/frac{/Delta y}{/Delta
x}; d'où, en prenant les limites, on déduira, relativement à la tangente
elle-même, cette formule générale d'analyse transcendante /[t =
L/frac{/Delta y}{/Delta x};[14]/] d'après laquelle le calcul des
fonctions indirectes enseignera, dans chaque cas particulier, quand
l'équation de la courbe sera donnée, à déduire la relation entre t et x,
en éliminant les quantités auxiliaires introduites. Si, pour achever la
solution, on suppose que y = ax^2 soit l'équation de la courbe proposée,
on aura évidemment, /[/Delta y = 2ax/Delta x + (/Delta x)^2;/] d'où l'on
conclura /[/frac{/Delta y}{/Delta x} = 2ax + /Delta x./] Or, il est
clair que la limite vers laquelle tend le second membre, à mesure que
/Delta x diminue, est 2ax. On trouvera donc par cette méthode, t=2ax,
comme nous l'avions obtenu ci-dessus pour le même cas, d'après l'analyse
de Leïbnitz.
[Note 14: J'emploie la caractéristique L pour désigner
la limite.]
Pareillement, quand on cherche la rectification d'une courbe, il faut
substituer à l'accroissement de l'arc s, la corde de cet accroissement,
qui est évidemment avec lui dans une relation telle, que la limite de
leur rapport est l'unité, et alors on trouve, en suivant d'ailleurs la
même marche qu'avec la méthode de Leïbnitz, cette équation générale des
rectifications /[/left(L/frac{/Delta s}{/Delta x}/right)^2 = 1 +
/left(L/frac{/Delta y}{/Delta x}/right)^2/] ou /[/left(L/frac{/Delta
s}{/Delta x}/right)^2 = 1 + /left(L/frac{/Delta y}{/Delta x}/right)^2 +
/left(L/frac{/Delta z}{/Delta x}/right)^2,/] selon que la courbe est
plane ou à double courbure. Il faudra maintenant, pour chaque courbe
particulière, passer de cette équation à celle entre l'arc et l'abcisse,
ce qui dépend du calcul transcendant proprement dit.
On reprendrait avec la même facilité, d'après la méthode des limites,
toutes les autres questions générales, dont la solution a été indiquée
ci-dessus, suivant la méthode infinitésimale.
Telle est, essentiellement, la conception que Newton s'était formée,
pour l'analyse transcendante, ou, plus exactement, celle que Maclaurin
et d'Alembert ont présentée comme la base la plus rationnelle de cette
analyse, en cherchant à fixer et à coordonner les idées de Newton à ce
sujet.
Je dois, néanmoins, avant de procéder à l'exposition de la conception de
Lagrange, signaler ici une autre forme distincte sous laquelle Newton a
présenté cette même méthode, et qui mérite de fixer particulièrement
notre attention, tant par son ingénieuse clarté dans quelques cas, que
comme ayant fourni la notation la mieux appropriée à cette manière
d'envisager l'analyse transcendante, et enfin, comme étant encore
aujourd'hui la forme spéciale du calcul des fonctions indirectes
communément adoptée par les géomètres anglais. Je veux parler du calcul
des _fluxions_ et des _fluentes_, fondé sur la notion générale des
_vitesses_.
Pour en faire concevoir l'idée-mère avec plus de facilité, considérons
toute courbe comme engendrée par un point animé d'un mouvement varié
suivant une loi quelconque. Les diverses quantités que la courbe peut
offrir, l'abcisse, l'ordonnée, l'arc, l'aire, etc., seront envisagées
comme simultanément produites par degrés successifs pendant ce
mouvement. La _vitesse_ avec laquelle chacune aura été décrite sera dite
la _fluxion_ de cette quantité, qui, en sens inverse, en serait nommée
la _fluente_. Dès lors, l'analyse transcendante consistera, dans cette
conception, à former immédiatement les équations entre les fluxions des
quantités proposées pour en déduire ensuite, par un calcul spécial, les
équations entre les fluentes elles-mêmes. Ce que je viens d'énoncer
relativement aux courbes peut d'ailleurs évidemment se transporter à des
grandeurs quelconques, envisagées, à l'aide d'une image convenable,
comme produites par le mouvement les unes des autres.
Il est aisé de comprendre l'identité générale et nécessaire de cette
méthode avec celle des limites, compliquée de l'idée étrangère du
mouvement. En effet, reprenant le cas de la courbe, si l'on suppose,
comme on peut évidemment toujours le faire, que le mouvement du point
décrivant est uniforme suivant une certaine direction, par exemple,
dans le sens de l'abcisse, alors la fluxion de l'abcisse sera constante,
comme l'élément du temps. Pour toutes les autres quantités engendrées,
le mouvement ne pourrait être conçu comme uniforme que pendant un temps
infiniment petit. Cela posé, la vitesse étant généralement, d'après sa
notion mécanique, le rapport de chaque espace au temps employé à le
parcourir, et ce temps étant ici proportionnel à l'accroissement de
l'abcisse, il s'ensuit que la fluxion de l'ordonnée, de l'arc, de
l'aire, etc., ne sont véritablement autre chose, en faisant disparaître
la considération intermédiaire du temps, que les dernières raisons des
accroissemens de ces diverses quantités comparés à celui de l'abcisse.
Cette méthode des fluxions et des fluentes n'est donc en réalité qu'une
manière de se représenter, d'après une comparaison mécanique, la méthode
des premières et dernières raisons, qui seule est réductible en calcul.
Elle comporte donc nécessairement les mêmes avantages généraux dans les
diverses applications principales de l'analyse transcendante, sans que
nous ayons besoin de le constater spécialement.
Je considère enfin la conception de Lagrange.
Elle consiste, dans son admirable simplicité, à se représenter l'analyse
transcendante comme un grand artifice algébrique, d'après lequel, pour
faciliter l'établissement des équations, on introduit, au lieu de
fonctions primitives ou avec elles, leurs fonctions _dérivées_,
c'est-à-dire, suivant la définition de Lagrange, le coëfficient du
premier terme de l'accroissement de chaque fonction, ordonné selon les
puissances ascendantes de l'accroissement de sa variable. Le calcul des
fonctions indirectes proprement dit, est toujours destiné, ainsi que
dans les conceptions de Leïbnitz et de Newton, à éliminer ces _dérivées_
employées comme auxiliaires, pour déduire de leurs relations les
équations correspondantes entre les grandeurs primitives.
L'analyse transcendante n'est alors autre chose qu'une simple extension
très-considérable de l'analyse ordinaire. C'était déjà depuis long-temps
un procédé familier aux géomètres, que d'introduire, dans les
considérations analytiques, au lieu des grandeurs mêmes qu'ils avaient à
étudier, leurs diverses puissances, ou leurs logarithmes, ou leurs
sinus, etc., afin de simplifier les équations, et même de les obtenir
plus aisément. La _dérivation_ successive est un artifice général de la
même nature, qui présente seulement beaucoup plus d'étendue, et procure,
en conséquence, pour ce but commun, des ressources bien plus
importantes.
Mais, quoiqu'on conçoive sans doute _à priori_ que la considération
auxiliaire de ces dérivées, _peut_ faciliter l'établissement des
équations, il n'est pas aisé d'expliquer pourquoi cela _doit_ être
nécessairement d'après le mode de dérivation adopté plutôt que suivant
toute autre transformation. Tel est le côté faible de la grande pensée
de Lagrange. On n'est point, en effet, réellement parvenu jusqu'ici à
saisir en général d'une manière abstraite, et sans rentrer dans les
autres conceptions de l'analyse transcendante, les avantages précis que
doit constamment présenter, par sa nature, cette analyse ainsi conçue,
pour la recherche des lois mathématiques des phénomènes. Il est
seulement possible de les constater, en considérant séparément chaque
question principale, et cette vérification devient même pénible, quand
on choisit une question compliquée.
Pour indiquer sommairement comment cette manière de concevoir l'analyse
transcendante peut s'adapter effectivement à la solution des problèmes
mathématiques, je me bornerai à reprendre sous ce point de vue le
problème le plus simple de tous ceux ci-dessus examinés, celui des
tangentes.
Au lieu de concevoir la tangente comme le prolongement de l'élément
infiniment petit de la courbe, suivant la notion de Leïbnitz; ou comme
la limite des sécantes, suivant les idées de Newton; Lagrange la
considère d'après ce simple caractère géométrique, analogue aux
définitions des anciens, d'être une droite telle qu'entre elle et la
courbe il ne peut passer, par le point de contact, aucune autre droite.
Dès lors, pour en déterminer la direction, il faut chercher l'expression
générale de sa distance à la courbe, dans un sens quelconque, dans celui
de l'ordonnée, par exemple, en un second point distinct du premier, et
disposer de la constante arbitraire relative à l'inclinaison de la
droite, qui entrera nécessairement dans cette expression, de manière à
diminuer cet écartement le plus possible. Or, cette distance étant
évidemment égale à la différence des deux ordonnées de la courbe et de
la droite qui correspondent à une même nouvelle abcisse x+h, sera
représentée par la formule /[(f'(x)-t)h + qh^2 + rh^3 + /mbox{/rm
etc.},/] où t désigne, comme ci-dessus, la tangente trigonométrique
inconnue de l'angle que fait avec l'axe des (x), la droite cherchée, et
f'(x), la fonction dérivée de l'ordonnée f(x). Cela posé, il est aisé de
voir qu'en disposant de t de façon à annuler le premier terme de la
formule précédente, on aura rendu l'intervalle des deux lignes le plus
petit possible, tellement que toute autre droite pour laquelle t
n'aurait point la valeur ainsi déterminée, s'écarterait nécessairement
davantage de la courbe proposée. On a donc, pour la direction de la
tangente cherchée, l'expression générale t=f'(x); résultat exactement
équivalent à ceux que fournissent la méthode infinitésimale, et la
méthode des limites. Il restera maintenant, dans chaque courbe
particulière, à trouver f'(x), ce qui est une pure question d'analyse,
tout-à-fait identique avec celles que prescrivent alors les autres
méthodes.
Après avoir suffisamment considéré dans leur ensemble les principales
conceptions générales successivement produites jusqu'ici pour l'analyse
transcendante, je ne dois pas m'arrêter à l'examen de quelques autres
théories proposées, telles que le _calcul des évanouissans_ d'Euler, qui
ne sont réellement que des modifications plus ou moins importantes, et
d'ailleurs inusitées, des méthodes précédentes. Il me reste maintenant,
afin de compléter cet ensemble de considérations, à établir la
comparaison et l'appréciation de ces trois méthodes fondamentales. Je
dois préalablement constater d'une manière générale, leur conformité
parfaite et nécessaire.
Il est d'abord évident, par ce qui précède, qu'à considérer ces trois
méthodes quant à leur destination effective, indépendamment des idées
préliminaires, elles consistent toutes en un même artifice logique
général, que j'ai caractérisé dans la quatrième leçon, savoir:
l'introduction d'un certain système des grandeurs auxiliaires,
uniformément corrélatives à celles qui sont l'objet propre de la
question, et qu'on leur substitue expressément pour faciliter
l'expression analytique des lois mathématiques des phénomènes,
quoiqu'elles doivent finalement être éliminées, à l'aide d'un calcul
spécial. C'est ce qui m'a déterminé à définir régulièrement l'analyse
transcendante _le calcul des fonctions indirectes_, afin de marquer son
vrai caractère philosophique, en écartant toute discussion sur la
manière la plus convenable de la concevoir et de l'appliquer. L'effet
général de cette analyse, quelle que soit la méthode employée, est donc
de faire rentrer beaucoup plus promptement chaque question mathématique
dans le domaine du _calcul_, et de diminuer ainsi considérablement la
difficulté capitale que présente ordinairement le passage du concret à
l'abstrait. Quoiqu'on fasse, on ne peut espérer que le calcul s'empare
jamais de chaque question de philosophie naturelle, géométrique, ou
mécanique, ou thermologique, etc., immédiatement à sa naissance, ce qui
serait évidemment contradictoire. Il y aura constamment dans tout
problème, un certain travail préliminaire à effectuer sans que le calcul
puisse être d'aucun secours, et qui ne saurait être, par sa nature,
assujéti à des règles abstraites et invariables; c'est celui qui a pour
objet propre l'établissement des _équations_, qui sont le point de
départ indispensable de toutes les recherches analytiques. Mais cette
élaboration préalable a été singulièrement simplifiée par la création de
l'analyse transcendante, qui a ainsi hâté l'époque où la solution
comporte l'application uniforme et précise de procédés généraux et
abstraits; en réduisant, dans chaque cas, ce travail spécial à la
recherche des équations entre les grandeurs auxiliaires, d'où le calcul
conduit ensuite aux équations directement relatives aux grandeurs
proposées, qu'il fallait, avant cette admirable conception, établir
immédiatement. Que ces équations indirectes soient des équations
_différentielles_, suivant la pensée de Leïbnitz; ou des équations _aux
limites_, conformément aux idées de Newton; ou enfin des équations
_dérivées_, d'après la théorie de Lagrange; le procédé général est
évidemment toujours le même.
Mais la coïncidence de ces trois méthodes principales ne se borne pas à
l'effet commun qu'elles produisent; elle existe, en outre, dans la
manière même de l'obtenir. En effet, non-seulement toutes trois
considèrent, à la place des grandeurs primitives, certaines grandeurs
auxiliaires; de plus, les quantités ainsi introduites subsidiairement,
sont exactement identiques dans les trois méthodes, qui ne diffèrent,
par conséquent, que par la manière de les envisager. C'est ce qu'on peut
aisément constater, en prenant pour terme général de comparaison une
quelconque des trois conceptions, celle de Lagrange surtout, la plus
propre à servir de type, comme étant la plus dégagée de considérations
étrangères. N'est-il pas évident, par la seule définition des _fonctions
dérivées_, qu'elles ne sont autre chose que ce que Leïbnitz appelle les
_coëfficiens différentiels_, ou les rapports de la différentielle de
chaque fonction à celle de la variable correspondante, puisque, en
déterminant la première différentielle, on devra, par la nature même de
la méthode infinitésimale, se borner à prendre le seul terme de
l'accroissement de la fonction qui contient la première puissance de
l'accroissement infiniment petit de la variable? De même, la fonction
dérivée n'est elle pas aussi par sa nature, la _limite_ nécessaire vers
laquelle tend le rapport entre l'accroissement de la fonction primitive
et celui de sa variable, à mesure que ce dernier diminue indéfiniment,
puisqu'elle exprime évidemment ce que devient ce rapport, en supposant
nul l'accroissement de la variable. Ce qu'on désigne par /frac{dy}{dx}
dans la méthode de Leïbnitz, ce qu'on devrait noter L /frac{/Delta
y}{/Delta x} dans celle de Newton, et ce que Lagrange a indiqué par
f'(x), est toujours une même fonction, envisagée sous trois points de
vue différens; les considérations de Leïbnitz et de Newton, consistant
proprement à faire connaître deux propriétés générales nécessaires de la
fonction dérivée. L'analyse transcendante, examinée abstraitement, et
dans son principe, est donc toujours la même, quelle que soit la
conception qu'on adopte: les procédés du calcul des fonctions indirectes
sont nécessairement identiques dans ces diverses méthodes, qui,
pareillement, doivent, pour une application quelconque, conduire
constamment à des résultats rigoureusement conformes.
Si maintenant nous cherchons à apprécier la valeur relative de ces trois
conceptions équivalentes, nous trouverons dans chacune des avantages et
des inconvéniens qui lui sont propres, et qui empêchent encore les
géomètres de s'en tenir strictement à une seule d'entr'elles, considérée
comme définitive.
La conception de Leïbnitz présente, incontestablement, dans l'ensemble
des applications, une supériorité très-prononcée, en conduisant d'une
manière beaucoup plus rapide, et avec bien moins d'efforts
intellectuels, à la formation des équations entre les grandeurs
auxiliaires. C'est à son usage que nous devons la haute perfection
qu'ont enfin acquise toutes les théories générales de la géométrie et de
la mécanique. Quelles que soient les diverses opinions spéculatives des
géomètres sur la méthode infinitésimale, envisagée abstraitement, tous
s'accordent tacitement à l'employer de préférence, aussitôt qu'ils ont à
traiter une question nouvelle, afin de ne point compliquer la difficulté
nécessaire par cet obstacle purement artificiel, provenant d'une
obstination déplacée à vouloir suivre une marche moins expéditive.
Lagrange lui-même, après avoir reconstruit sur de nouvelles bases
l'analyse transcendante, a rendu, avec cette haute franchise qui
convenait si bien à son génie, un hommage éclatant et décisif aux
propriétés caractéristiques de la conception de Leïbnitz, en la suivant
exclusivement dans le système entier de la _mécanique analytique_. Un
tel fait nous dispense, à ce sujet, de toute autre réflexion.
Mais quand on considère en elle-même, et sous le rapport logique, la
conception de Leïbnitz, on ne peut s'empêcher de reconnaître avec
Lagrange qu'elle est radicalement vicieuse, en ce que, suivant ses
propres expressions, la notion des infiniment petits, est une _idée
fausse_, qu'il est impossible, en effet, de se représenter nettement,
quoiqu'on se fasse quelquefois illusion à cet égard. L'analyse
transcendante, ainsi conçue, présente, à mes yeux, cette grande
imperfection philosophique, de se trouver encore essentiellement fondée
sur ces principes métaphysiques, dont l'esprit humain a eu tant de peine
à dégager toutes ses théories positives. Sous ce rapport, on peut dire
que la méthode infinitésimale porte vraiment l'empreinte caractéristique
de l'époque de sa fondation, et du génie propre de son fondateur. On
peut bien, il est vrai, par l'ingénieuse idée de la compensation des
erreurs, s'expliquer d'une manière générale, comme nous l'avons fait
ci-dessus, l'exactitude nécessaire des procédés généraux qui composent
la méthode infinitésimale. Mais cela seul n'est-il pas un inconvénient
radical, que d'être obligé de distinguer, en mathématique, deux classes
de raisonnemens, ceux qui sont parfaitement rigoureux, et ceux dans
lesquels on commet à dessein des erreurs qui devront se compenser plus
tard? Une conception qui conduit à des conséquences aussi étranges, est,
sans doute, rationnellement, bien peu satisfaisante.
Ce serait évidemment éluder la difficulté sans la résoudre, que de dire,
comme on l'a fait quelquefois, qu'il est possible, par rapport à chaque
question, de faire rentrer la méthode infinitésimale proprement dite
dans celle des limites, dont le caractère logique est irréprochable.
D'ailleurs, une telle transformation enlève presqu'entièrement à la
conception de Leïbnitz les avantages essentiels qui la recommandent si
éminemment, quant à la facilité et à la rapidité des opérations
intellectuelles.
Enfin n'eût-on même aucun égard aux importantes considérations qui
précèdent, la méthode infinitésimale n'en présenterait pas moins
évidemment, par sa nature, ce défaut capital de rompre l'unité de la
mathématique abstraite, en créant un calcul transcendant fondé sur des
principes si différens de ceux qui servent de base à l'analyse
ordinaire. Ce partage de l'analyse en deux mondes presque indépendans,
tend à empêcher la formation de conceptions analytiques véritablement
générales. Pour en bien apprécier les conséquences, il faudrait se
reporter, par la pensée, à l'état dans lequel se trouvait la science,
avant que Lagrange eût établi entre ces deux grandes sections une
harmonie générale et définitive.
Passant à la conception de Newton, il est évident que, par sa nature,
elle se trouve à l'abri des objections logiques fondamentales que
provoque la méthode de Leïbnitz. La notion des _limites_ est, en effet,
remarquable par sa netteté et par sa justesse. Dans l'analyse
transcendante présentée de cette manière, les équations sont envisagées
comme exactes dès l'origine, et les règles générales du raisonnement
sont aussi constamment observées que dans l'analyse ordinaire. Mais,
d'un autre côté, elle est bien loin d'offrir, pour la solution des
problèmes, d'aussi puissantes ressources que la méthode infinitésimale.
Cette obligation qu'elle impose de ne considérer jamais les
accroissemens des grandeurs séparément et en eux-mêmes, ni seulement
dans leurs rapports, mais uniquement dans les limites de ces rapports
ralentit considérablement la marche de l'intelligence pour la formation
des équations auxiliaires. On peut même dire qu'elle gêne beaucoup les
transformations purement analytiques. Aussi le calcul transcendant,
considéré séparément de ses applications, est-il loin d'offrir dans
cette méthode l'étendue et la généralité que lui a imprimées la
conception de Leïbnitz. C'est très-péniblement, par exemple, qu'on
parvient à étendre la théorie de Newton aux fonctions de plusieurs
variables indépendantes. Quoi qu'il en soit, c'est surtout par rapport
aux applications, que l'infériorité relative de cette théorie se trouve
marquée.
Je ne dois pas négliger à ce sujet de faire observer que plusieurs
géomètres du continent, en adoptant, comme plus rationnelle, la méthode
de Newton, pour servir de base à l'analyse transcendante, ont déguisé en
partie cette infériorité, par une grave inconséquence, qui consiste à
appliquer à cette méthode la notation imaginée par Leïbnitz pour la
méthode infinitésimale, et qui n'est réellement propre qu'à elle. En
désignant par /frac{dy}{dx} ce que, rationnellement, il faudrait, dans
la théorie des limites, noter L/frac{/Delta y}{/Delta x}, et en étendant
à toutes les autres notions analytiques ce déplacement de signes, on se
propose sans doute de combiner les avantages spéciaux des deux méthodes;
mais on ne parvient, en réalité, qu'à établir entr'elles une confusion
vicieuse, dont l'habitude tend à empêcher de se former des idées nettes
et exactes de l'une ou de l'autre. Il serait sans doute étrange, à
considérer cet usage en lui-même, que, par le seul moyen des signes, on
pût effectuer une véritable combinaison entre deux théories générales
aussi distinctes.
Enfin la méthode des limites, présente aussi, quoiqu'à un moindre degré,
l'inconvénient majeur que j'ai signalé ci-dessus, dans la méthode
infinitésimale, d'établir une séparation totale entre l'analyse
ordinaire et l'analyse transcendante. Car l'idée des _limites_, quoique
nette et rigoureuse, n'en est pas moins, par elle-même, comme Lagrange
l'a remarqué, une idée étrangère, dont les théories analytiques ne
devraient pas se trouver dépendantes.
Cette unité parfaite de l'analyse, ce caractère purement abstrait de ses
notions fondamentales, se trouvent au plus haut degré dans la conception
de Lagrange, et ne se trouvent que là. Elle est, pour cette raison, la
plus rationnelle et la plus philosophique de toutes. Écartant avec soin
toute considération hétérogène, Lagrange a réduit l'analyse
transcendante à son véritable caractère propre, celui d'offrir une
classe très-étendue de transformations analytiques, à l'aide desquelles
on facilite singulièrement l'expression des conditions des divers
problèmes. En même temps, cette analyse s'est nécessairement présentée
par là comme une simple extension de l'analyse ordinaire; elle n'a plus
été qu'une algèbre supérieure. Toutes les diverses parties, jusqu'alors
si incohérentes, de la mathématique abstraite, ont pu être conçues, dès
ce moment, comme formant un système unique.
Malheureusement, une conception douée, indépendamment de la notation si
simple et si lucide qui lui correspond, de propriétés aussi
fondamentales, et qui est, sans doute, destinée à devenir la théorie
définitive de l'analyse transcendante, à cause de sa haute supériorité
philosophique sur toutes les autres méthodes proposées, présente dans
son état actuel, trop de difficultés, quant aux applications, lorsqu'on
la compare à la conception de Newton, et surtout à celle de Leïbnitz,
pour pouvoir être encore exclusivement adoptée. Lagrange lui-même, n'est
parvenu que très-péniblement à retrouver, d'après sa méthode, les
résultats principaux déjà obtenus par la méthode infinitésimale pour la
solution des questions générales de géométrie et de mécanique; on peut
juger par là combien on trouverait d'obstacles à traiter, de la même
manière, des questions vraiment nouvelles et de quelque importance. Il
est vrai que Lagrange, en plusieurs occasions, a montré que les
difficultés, même artificielles, déterminent, dans les hommes de génie,
des efforts supérieurs, susceptibles de conduire à des résultats plus
étendus. C'est ainsi qu'en tentant d'adapter sa méthode à l'étude de la
courbure des lignes, qui paraissait si peu pouvoir en comporter
l'application, il s'est élevé à cette belle théorie des contacts, qui a
tant perfectionné cette partie importante de la géométrie. Mais, malgré
ces heureuses exceptions, la conception de Lagrange n'en est pas moins
jusqu'ici demeurée, dans son ensemble, essentiellement impropre aux
applications.
Le résultat final de la comparaison générale que je viens d'esquisser,
et qui exigerait de plus amples développemens, est donc, comme je
l'avais avancé en commençant cette leçon, que, pour connaître réellement
l'analyse transcendante, il faut non-seulement la considérer, dans son
principe, d'après les trois conceptions fondamentales distinctes,
produites par Leïbnitz, par Newton, et par Lagrange, mais, en outre,
s'habituer à suivre presqu'indifféremment d'après ces trois méthodes
principales, et surtout d'après les deux extrêmes, la solution de toutes
les questions importantes, soit du calcul des fonctions indirectes en
lui-même, soit de ses applications. C'est une marche que je ne saurais
trop fortement recommander à tous ceux qui désirent juger
philosophiquement cette admirable création de l'esprit humain, comme à
ceux qui veulent essentiellement apprendre à se servir avec succès et
avec facilité de ce puissant instrument. Dans toutes les autres parties
de la science mathématique, la considération de diverses méthodes pour
une seule classe de questions peut être utile, même indépendamment de
l'intérêt historique qu'elle présente; mais elle n'est point
indispensable: ici, au contraire, elle est strictement nécessaire.
Ayant déterminé avec précision, dans cette leçon, le caractère
philosophique du calcul des fonctions indirectes, d'après les
principales conceptions fondamentales dont il est susceptible, il me
reste maintenant à considérer, dans la leçon suivante, la division
rationnelle et la composition générale de ce calcul.